TICA. Rígidos MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA CAPÍTULO. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

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1 CAPÍTULO 4 Equilíbio MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA TICA Fedinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Notas de Aula: J. Walt Ole Texas Tech Univesity de Copos Rígidos 2010 The McGaw-Hill Companies, Inc. All ights eseved

2 Conteúdo Intodução Diagama de Copo Live Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Bidimensional Equilíbio de um Copo Rígido em Duas Dimensões Reações Estamente Indeteminadas Poblema Resolvido 4.1 Poblema Resolvido 4.3 Poblema Resolvido 4.4 Equilíbio de um Copo Sujeito à Ação de Duas Foças Equilíbio de um Copo Sujeito à Ação de Tês Foças Poblema Resolvido 4.6 Equilíbio de um Copo Rígido em Tês Dimensões Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Tidimensional Poblema Resolvido

3 Intodução Paa um copo ígido em equilíbio estático, as foças e momentos extenos estão balenceadas e não impõem movimento de tanslação ou de otação ao copo. As condições necessáias e suficientes paa o equilíbio estático de um copo são que a foça e o bináio esultantes de todas as foças extenas fomam um sistema equivalente a zeo, F 0 M F 0 O ( ) Decompondo cada foça e cada momento em seus componentes etangulaes, podemos indica as condições necessáias e suficientes paa o equilíbio po meio de 6 equações escalaes, F 0 x M 0 x F 0 y M 0 y F 0 z M 0 z 4-3

4 Diagama de Copo Live O pimeio passo na análise do equilíbio estático de um copo ígido é identifica todas as foças que atuam no copo com um diagama de copo live. Selecionamos a extensão do copo live e o destacamos do solo e de todos os outos copos. Indicamos o ponto de aplicação, intensidade, dieção e sentido das foças extenas, incluindo o peso do copo ígido. Indicamos o ponto de aplicação e as dieções e sentidos abitados paa as foças desconhecidas. Estas gealmente consistem nas eações de apoio po meio das quais o solo e os outos copos se opõem a um possível movimento do copo ígido. Incluimos as dimensões necessáias ao cálculo dos momentos das foças. 4-4

5 Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Bidimensional Reações equivalentes a uma foça com linha de ação conhecida. 4-5

6 Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Bidimensional Reações equivalentes a uma foça de dieção, sentido e intensidade desconhecidos Reações equivalentes a uma foça de dieção, sentido e intensidade desconhecidos e a um bináio de intensidade desconhecida 4-6

7 Equilíbio de um Copo Rígido em Duas Dimensões Paa todas as foças e momentos aplicados a uma estutua bidimensional: F 0 M M 0 M M z x y z O As equações de equilíbio se eduzem a: F F 0 M 0 x 0 y A sendo A qualque ponto no plano da estutua. As 3 equações podem se esolvidas paa no máximo 3 incógnitas. As 3 equações não podem se ampliadas com equações adicionais, mas qualque uma delas pode se substituída po outa equação. F M 0 M 0 x 0 A B 4-7

8 Reações Estamente Indeteminadas Estutua com mais incógnitas do que equações Estutua com menos incógnitas do que equações: pacialmente vinculada Estutua com númeo de incógnitas igual ao númeo de equações mas impopiamente vinculada 4-8

9 Poblema Resolvido 4.1 SOLUÇÃO: Taçamos um diagama de copo live do guindaste. Deteminamos a eação em B esolvemos a equação paa a soma dos momentos de todas as foças em elação a A. Obsevamos que as eações em A não geam momento em elação àquele ponto. Um guindaste fixo tem massa de 1000 kg e é usado paa suspende um caixote de 2400 kg. Ele é mantido no luga po um pino em A e um supote basculante em B. O cento de gavidade do guindaste está localizado em G. Detemine os componentes das eações em A e B. Deteminamos as eações em A esolvendo as equações paa a soma dos componentes hoizontais e veis de todas as foças. Confeimos se os esultados obtidos estão coetos veificando se a soma dos momentos de todas as foças em elação a B é zeo. 4-9

10 Poblema Resolvido 4.1 Deteminamos a eação em B esolvendo a equação paa a soma dos momentos de todas as foças em elação a A. M A 0 : + B B +107,1 kn ( 1,5 m) 9,81 kn( 2 m) ( ) 0 23,5 kn 6 m Taçamos um diagama de copo live do guindaste. Deteminamos as eações em A esolvendo as equações paa a soma dos componentes hoizontais e veis de todas as foças. F A x A y x 0 : A + B 0 x 107,1kN F y 0 : A 9,81kN 23,5 kn 0 y kn Confeimos os esultados obtidos. 4-10

11 Poblema Resolvido 4.3 Um vagão de caga está em epouso sobe um tilho inclinado. O peso buto do vagão e sua caga é N e está aplicado em G. O vagão é mantido no luga pelo cabo. Detemine a tação no cabo e a eação em cada pa de odas. SOLUÇÃO: Ciamos um diagama de copo live paa o vagão com sistema de coodenadas alinhado com o tilho. Deteminamos as eações nas odas esolvendo as equações paa a soma dos momentos em elação aos eixos das odas. Deteminamos a tação no cabo esolvendo a equação paa a soma dos componentes das foças paalelos ao tilho. Confeimos os esultados obtidos veificando se a soma dos componentes das foças pependiculaes ao tilho é zeo. 4-11

12 Poblema Resolvido 4.3 Deteminamos as eações nas odas. M A 0: R N ( N) 62,5 cm ( ) + R ( 125cm) 0 2 N 15cm Taçamos um diagama de copo live W W x y + ( N) N ( N) N cos 25 sen 25 o o M B 0 : + R N ( N) 62,5 cm ( ) R ( 125 cm) 0 1 Deteminamos a tação no cabo T Fx 0 : N T N N 15 cm 4-12

13 Poblema Resolvido 4.4 SOLUÇÃO: Taçamos um diagama de copo live da estutua e do cabo BDF. Resolvemos as 3 equações de equilíbio paa os componentes da foça e do bináio em E. A estutua epesentada na figua sustenta pate do teto de uma pequeno edifício. Sabendo que a tação no cabo é 150 kn. Detemine a eação na extemidade E. 4-13

14 Poblema Resolvido 4.4 Resolvemos as 3 equações de equilíbio paa os componentes da foça e do bináio em E. 4,5 F x 0 : E x + ( 150 kn ) 0 7,5 E x E y 90,0 kn 6 F y 0 : Ey 4 7, kn ( 20kN) ( 150kN) 0 Taçamos um diagama de copo live da estutua e do cabo BDF. M E 0 : + 20 kn 7,2 + M E ,5 kn ( m ) + 20 kn ( 5,4 m ) ( 3,6 m ) + 20 kn ( 1,8 m ) ( 150 kn ) 4,5 m ,0 kn m M E 4-14

15 Execícios 2-15

16 Execícios 2-16

17 Execícios 2-17

18 Execícios 2-18

19 Equilíbio de um Copo Sujeito à Ação de Duas Foças Considee uma placa do tipo cantoneia sujeita à ação de duas foças F 1 e F 2 Se a placa estive em equilíbio, a soma dos momentos em elação a A deve se zeo. Como o momento de F 1 é obviamente zeo, o momento de F 2 também deve se zeo, ou seja, a linha de ação de F 2 deve passa po A. De foma simila, a linha de ação de F 1 deve passa po B paa que a soma dos momentos em elação a B seja zeo. Como a soma das foças em qualque dieção deve se zeo, conclui-se que F 1 e F 2 devem te a mesma intensidade, mas sentidos opostos 4-19

20 Equilíbio de um Copo Sujeito à Ação de Tês Foças Considee um copo ígido sujeito a ação de foças atuando em apenas 3 pontos. Assumindo que as linhas de ação das foças F 1 e F 2 se inteceptam, o momento de ambas em elação ao ponto de inteseção epesentado po D é zeo. Como o copo ígido está em equilíbio, a soma dos momentos de F 1, F 2 e F 3 em elação a qualque eixo deve se zeo. Potanto, o momento de F 3 em elação a D também deve se zeo e a linha de ação de F 3 deve passa po D. As linhas de ação das tês foças devem se concoentes ou paalelas 4-20

21 Poblema Resolvido 4.6 SOLUÇÃO: Taçamos um diagama de copo live da viga obsevando que a viga é um copo sob a ação de 3 foças que são o seu peso, a foça execida pela coda e a eação em A. Um homem leventa uma viga de 10 kg e 4 m de compimento puxando-a com uma coda. Enconte a tação T na coda e a eação em A. Paa que o copo esteja em equilíbio, as tês foças devem se concoentes. Potanto, a eação R deve passa pela inteseção das linhas de ação do peso e da foça execida pela coda. Dessa foma detemina-se a dieção da eação R. Utilizamos um tiângulo de foças paa detemina a intensidade da eação R. 4-21

22 Poblema Resolvido 4.6 Taçamos um diagama de copo live da viga. Deteminamos a dieção da eação R. AF ABcos45 CD AE BD CDcot(45 + CE tanα 1 2 BF BD CE AE o α 58,6 2,313 1,414 ( ) 4m cos45 AF 1,414 m 25) ( 1,414 m) ( 2,828 0,515) 1,636 tan20 0,515 m m 2,828m 2,313m 4-22

23 Poblema Resolvido 4.6 Deteminamos a intensidade da eação R. T sen 31,4 o R sen110 o 98,1 N sen 38,6 o T R 81,9 N 147,8 N 4-23

24 Execícios 2-24

25 Execícios 2-25

26 Execícios 2-26

27 Execícios 2-27

28 Equilíbio de um Copo Rígido em Tês Dimensões São necessáias seis equações escalaes paa expessa as condições paa o equilíbio de um copo ígido no caso geal tidimensional. F 0 x M 0 x F 0 y M 0 y F 0 z M 0 Essas equações podem se esolvidas paa no máximo 6 incógnitas que, gealmente, epesentam eações em apoios ou conexões. As equações escalaes seão obtidas mais convenientemente se expessamos, inicialmente, as condições de equilíbio na foma vetoial. F 0 M F 0 O ( ) z 4-28

29 Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Tidimensional 4-29

30 Reações em Apoios e Conexões paa uma Estutua Tidimensional 4-30

31 Poblema Resolvido 4.8 SOLUÇÃO: Taçamos um diagama de copo live da placa. Aplicamos as condições de equilíbio paa obte equações que possibilitem o cálculo das eações desconhecidas. Uma placa de massa específica unifome pesa N e é sustentada po uma ótula em A e po dois cabos. Detemine a tação em cada cabo e a eação em A. 4-31

32 Poblema Resolvido 4.8 Taçamos um diagama de copo live da placa. Como há apenas 5 incógnitas, a placa está pacialmente vinculada. Ela pode gia livemente em tono do eixo x. No entanto, ela está em equilíbio sob o caegamento dado. T T BD EC T T T T T T BD BD BD EC EC EC BD BD 2,4i ( i j k ) EC EC 1,8i + + 1,2 j 3,6 0,9 j 2,1 ( i j k ) ,6k 7 2,4k 4-32

33 Poblema Resolvido 4.8 Aplicamos as condições de equilíbio paa desenvolve equações paa as eações desconhecidas F A + TBD + TEC ( N) j i : Ax 3 TBD 7 TEC j : Ay + 3 TBD + 7 TEC N k : Az 3 TBD + 7 TEC 0 M A B TBD + E TEC + j : 1,6 TBD 0,514TEC 0 k : 0,8T + 0,771T 1,458 N 0 TBD A BD 455,9 N v T EC EC ( 1,2 m) i ( N) Resolvemos as 5 equações paa as 5 incógnitas e obtemos: 1.417,5 N ( N) i + ( 455,4 N) j ( 101,25 N)k j