1. Mecanica do Sistema Solar (II): Leis de Kepler do movimento planetário

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1 . Mecanica do Sistea Sola (II): Leis de Keple do oviento planetáio Astonoy: A Beginne s Guide to the Univese, E. Chaisson & S. McMillan (Caps. 0 e ) Intoductoy Astonoy & Astophysics, M. Zeilek, S. A. Gegoy & E. v.. Sith (Cap.) Apostila (astoweb.iag.usp.b/~dalpino/aga5)

2 Johannes Keple Tycho Bahe Mateático e Astônoo Aleão Astônoo Dinaaquês

3 = Cicunfeência achatada = Elipse

4 Lei das Elipses : sobe óbitas dos planetas ª Lei: A óbita de cada planeta é ua elipse, co o Sol situado e u dos focos. Sabeos que na elipse, a soa das distâncias até os focos é constante: + = a, onde a é o sei-eixo aio. No caso de ua óbita planetáia, o sei-eixo aio da elipse é a distância édia do Sol até o planeta.

5 Elipse Q Elipse a + a

6 Eleentos de ua elipse B A a O b f e f/a B a = sei-eixo aio b = sei-eixo eno f = distância focal e = excenticidade f ae

7 Segunda Lei de Keple: Lei das Áeas ª Lei: O aio veto que liga o copo aciço (Sol, po ex.) ao copo ais leve (u planeta, po ex.) vae áeas iguais e tepos iguais afélio peiélio

8 Segunda Lei de Keple: Lei das Áeas É ua consequência da consevação do oento angula. Sistea de copos onde a assa de u dos copos é uito aio que o outo: L p v L: oento (quantidade de oviento) angula p: quantidade de oviento linea : aio veto v: velocidade do copo ais leve de assa

9 Lei Haônica Busca de haonia (Keple a deduziu 0 anos depois) 3ª Lei: O quadado do peíodo de u planeta é popocional ao cubo de sua distância édia ao Sol. a 3 k é o peíodo sideal do planeta e a o sei-eixo aio de sua óbita. A constante k te o eso valo paa todos os copos obitando e tono do Sol.

10 Tabela : Alguas opiedades dos lanetas lanet Obital Sei- Majo Axis, a Obital eiod, Obital Eccenticity /a 3 (astonoical units) (Eath yeas) Mecuy Venus Eath Mas Jupite Satun Uanus Neptune luto

11 Tabela : Alguas opiedades dos lanetas lanet Obital Sei-Majo Axis, a (astonoi cal units) Obital eiod, (Eath yeas) Obital Eccent icity /a 3 Mecuy Venus Logo se: : e ANOS Teestes Eat h Mas Jupite Satun Uanus a : e UA = distancia Tea- Sol k =! Neptune luto

12 Mosta que a édia dos aios obitais é o sei-eixo aio Q' Q ' ' A aa u pa de pontos siéticos Q + ' = a Q' ' + = a ' + ' + ' + = a + a + ' + ' + = 4a ( + ' + ' + ) / 4 = a = a O aa todos os paes de pontos siéticos Q e Q' = a Q e Q' = a... Q N e Q' N N = a N = N.a ( N ) / N = a = a

13 A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL O que ipede os planetas de saie flutuando pelo espaço? Keple havia atibuído as óbitas elípticas a ua foça de atação agnética. Newton (sec. VII) linha de aciocínio seelhante lei da gavitação univesal, deonstou-a po eio do oviento da Lua, explicou o oviento dos planetas e genealizou as leis de Keple

14 Leis de oviento de Newton Supõe-se: espaço-tepo absoluto, patícula ateial de assa descevendo ua tajetóia x (t) co velocidade v (t), co quantidade de oviento p(t) v e aceleação a (t). ª: Lei da inécia Qualque copo peanece e seu estado de epouso, ou de oviento etilíneo e unifoe, a enos que seja copelido a uda de estado po ua foça extena.

15 ª: Lei de Newton: da foça A taxa de vaiação da quantidade de oviento de u copo é igual à foça que atua sobe o copo.. A foça da ão acelea a caixa.. Duas vezes a foça poduz ua aceleação duas vezes aio (a é pop. à foça aplicada) 3. Duas vezes a foça sobe ua assa duas vezes aio, poduz a esa aceleação oiginal (a é invesaente pop. a ) dp d(v) dv a dt dt dt

16 3ª: Lei da ação e eação A cada ação existe sepe ua eação igual e de sentido contáio.

17 aa siplifica, vaos supo que o copo possui óbita cicula, de aio : foça centípeta: cent v Se é o peíodo obital do copo: v as, pela teceia lei de Keple: k 3, então: 4π 4 π k 3 4π k Assi, a foça que anté a óbita é invesaente popocional ao quadado do aio.

18 Lei da gavitação Univesal Matéia atai atéia na azão dieta das assas e invesa do quadado da distância., = assas dos copos envolvidos = distância ente as assas = foça de atação gavitacional G G a constante univesal da gavitação G= 6, c 3 g - s -. Newton cobinou suas tês leis do oviento e a lei da gavitação paa deduzi as leis epíicas de Keple.

19 3ª Lei de Keple na foulação Newtoniana Sistea isolado; dois copos e óbita cicula, sob ação de sua foça gavitacional útua (tabé se aplica a óbitas elípticas); assas e, que obita e tono de u cento de assa (CM) suposto estacionáio, do qual dista de e.

20 Ua vez que a foça gavitacional atua ao longo da linha iagináia que os une, abos os copos deve copleta ua óbita no eso peíodo (eboa se ova co velocidades difeentes). π π aa ua óbita cicula: v. v A foça centípeta necessáia paa ante as óbitas é: v

21 Lebando: podeos esceve: O copo de assa aio peanece ais póxio do cento de assa. 4 4 v π π 4 4 v π π as ()

22 Coo a a ) (a a ) ( () a Lebando que gav G (3) a G gav odeos efoula a 3ª lei de Keple, cobinando (), (), e (3): )G ( a a π π π 3 a ) G( 4 π então k!!

23 Aplicação ao Sistea Sola Ente as váias aplicações, podeos calcula, po exeplo, a assa do Sol: Se u dos copos te assa uito aio que a do outo ( M >> ), então, 4π G( a ) 3 4π GM a 3 paa o sistea Tea-Sol a distância é de U.A. e o peíodo é de ano π (,5x0 ) c M (6,67x0 )(3,6x0 ) (c g s ) (s ) então M =,99x0 33 g.

24 A oça Gavitacional que u objeto exece e outo é O etodo paa deteina-se MASSAS e Astonoia!