, (eq.1) Gravitação Universal Com Gabarito. 1. Lei da Gravitação Universal de Newton ( ): Turma ITA IME Professor Herbert Aquino

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1 Gavitação Univesal Co Gabaito 1. Lei da Gavitação Univesal de Newton ( ): Apoiado nos estudos de Copénico, Galileu e Keple, Isaac Newton apesentou sua lei da Gavitação Univesal. Ente dois copos quaisque, pelo siples fato de tee assa, existe ua foça de atação denoinada foça gavitacional. A edida da foça gavitacional é taduzida na apesentação da lei: A foça gavitacional ente dois pontos ateiais te intensidade dietaente popocional ao poduto de suas assas e invesaente popocional ao quadado da distância que os sepaa. II. A foça eletostática depende do eio inteposto ente os copos; a foça gavitacional é sepe de atação; Exeplo de classe: (UFC-04) Considee duas assas puntifoes sob ação da foça gavitacional útua. Assinale a altenativa que conté a elho epesentação gáfica da vaiação do ódulo da foça gavitacional sobe ua das assas, e função da distância ente abas. M F Mateaticaente: d F, (eq.1) A constante de popocionalidade G é denoinada constante de gavitação univesal (Obtido expeientalente po Cavendish): A constante de gavitação univesal independe dos copos que se atae, da distância ou do eio inteposto ente os copos. Notas: Foça Gavitacional vesus Foça Eletostática. I. A foça eletostática pode se de atação ou epulsão, poe a foça gavitacional é sepe de atação; esposta: B Exeplos de classe: (Fuvest-2001) A Estação Especial Intenacional, que está sendo constuída nu esfoço conjunto de divesos países, deveá obita a ua distância do cento da Tea igual a 1,05 do aio édio da Tea. A azão, ente a foça Fe co que a Tea atai u copo nessa Estação e a foça F co que atai o eso copo na supefície da Tea, é apoxiadaente de a) 0,02 b) 0,05 c) 0,10 d) 0,50 e) 0,90 esposta: E Exeplos de classe: O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule a foça gavitacional esultante sobe a patícula de assa. 1

2 3 C a) Paa pontos na supefície e extenos a u planeta: 5 A L 60º L L B U copo atai outos co ua foça gavitacional eso que eles não esteja e contato ente si. Isto é explicado utilizando o conceito de capo. O espaço ao edo do copo e que outos copos expeienta ua foça gavitacional é chaado de capo gavitacional. Considee u copo esféico hoogêneo de assa M, ieos agoa calcula a intensidade do capo gavitacional geado po este copo a ua distância que atua sobe u copo de pova de assa. esposta: M g Exeplo de classe: (UEJ-08) A figua a segui epesenta o instante no qual a esultante das foças de inteação gavitacional ente u asteoide X e os planetas A, B e C é nula. Definição de Capo Gavitacional:,(eq.2) De acodo co a Lei da Gavitação Univesal podeos esceve: Adita que: - da, db e dc epesenta as distâncias ente cada planeta e o asteoide; - os segentos de eta que liga os planetas A e B ao asteoide são pependiculaes e dc = 2dA = 3dB ; - A, B, C e x epesenta, espectivaente, as assas de A, B, C e X e A = 3B. Deteine a azão C/B nas condições indicadas. esposta: C/B = 5 2. Intensidade do Capo Gavitacional nas poxiidades de u planeta:,(eq.3) A expessão é utilizada paa se calcula a aceleação da gavidade e pontos extenos a supefície da Tea. A eq.3 nos osta que à edida que nos afastaento do planeta, a aceleação da gavidade vai diinuindo ( enfaquecendo ). O pofesso Hebet Aquino, chaa atenção paa o fato de a aceleação da gavidade só depende da assa do planeta (dietaente popocional) e do aio do planeta (invesaente popocional ao quadado). 2

3 Siplificando: Paa pontos na supefície do planeta (=),teos: M gs Exeplo esolvido: (AFA-98-Modificada) A aceleação da gavidade na supefície da Tea, de aio, é g. O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule a altua, e elação à supefície, na qual a aceleação da gavidade valeá. Solução do pofesso Hebet Aquino: = Usando a elação ostada anteioente, teos:,(eq.4) Paa pontos a ua altitude h da supefície do planeta, teos: M h =+h É siples deduzi a elação abaixo:,(eq.5) gh,(eq.6) Nota: Nas deduções acia consideaos o planeta esféico e hoogêneo despezando qualque efeito de otação. Exeplo de classe: (UFPI-2002) Sendo o aio da Tea, a que distância de sua supefície se enconta u objeto, quando a foça gavitacional execida pela Tea sobe ele fo igual a 1% do valo de seu peso na supefície? a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 esposta:c Exeplo de classe: (UFPI-2002) U planeta te assa igual a duas vezes a assa da Tea e te a foa de ua esfea cujo aio ede 20% do aio da Tea. O valo da foça F execida pelo planeta sobe u centíeto cúbico de água colocado e sua supefície é (a aceleação da gavidade na supefície da Tea é ), e newtons: a) 500 b) 50 c) 5,0 d) 0,5 e) 0,05 esposta: D 3

4 Exeplo esolvido: (FUVEST-07) ecenteente Plutão foi "ebaixado", pedendo sua classificação coo planeta. Paa avalia os efeitos da gavidade e Plutão, considee suas caacteísticas físicas, copaadas co as da Tea, que estão apesentadas, co valoes apoxiados, a segui. Massa da Tea (MT) = 500 Massa de Plutão (MP) aio da Tea (T) = 5 aio de Plutão (P) Agoa supondo o planeta esféico e hoogêneo, devido a azões de sietia (Teoea da Casca de Newton), a aceleação gavitacional e u ponto inteno ao planeta a ua distância do cento (C) do planeta é devido apenas à assa contida na esfea de cento C e aio. M a) Deteine o peso, na supefície de Plutão (PP), de ua assa que na supefície da Tea pesa 40N (PT = 40N). b) Estie a altua áxia H, e etos, que ua bola, lançada veticalente co velocidade V, atingiia e Plutão. Na Tea, essa esa bola, lançada co a esa velocidade, atinge ua altua ht = 1,5. INT gint Pi gs PS NOTE E ADOTE: F = (GM)/ 2 Peso = g esolução: a) A aceleação da gavidade na supefície de qualque asto é dada pela expessão: GM g 2 Onde: M assa do asto; aio do asto MT G GMP 1 GMT 1 g P 500. g P 20 T T 20 5 Coo a gavidade e Plutão é vinte vezes eno que a teeste, os copos pesa 20 vezes enos. P 40N P 2,0N T b) E u lançaento vetical: 2 gh V h P 2 1 V 2 2g Coo a altua é invesaente popocional a g e coo a gavidade e plutão é 20 vezes eno que a teeste, a altua alcançada seá 20 vezes aio. H 20H 30 P T b) Paa pontos no inteio do planeta: T Assi, e u ponto Pi inteno ao planeta e a ua distância de seu cento, teos:,(eq.7) Consideando-se a densidade (μ) constante, podeos esceve: (eq.8) Substituindo-se a eq.8 na eq.7, esulta: do planeta eescevendo a equação acia e usando a eq.4, ve: 4

5 Finalente:,(eq.9) Conclusão ipotante: A eq.8 nos osta que paa pontos intenos ao planeta a aceleação da gavidade é dietaente popocional à distância ao cento da Tea. Obsevações: I. Paa o cento do planeta (=0), teos: II. Paa pontos na supefície (=), teos: Copotaento gáfico da aceleação da gavidade: Aditindo que a Tea apesente ua constituição hoogênea e que a esistência do a seja despezível, a aceleação da gavidade e a velocidade da queda da pessoa, espectivaente, são nulas nos pontos indicados pelas seguintes letas: a) Y - W b) W - X c) X - Z d) Z Y esposta: C Exeplo de classe: (UEL-09) Consideando a Tea ua esfea hoogênea (densidade constante) de aio, deteine a pofundidade h' e que deve se colocado u copo de assa paa que o seu peso seja o eso quanto estive situado a ua altua h da supefície da Tea. g(/s 2 ) gs g gs/4 = =2 () Exeplo de classe: (UEJ-06) Eboa sua ealização seja ipossível, iagine a constução de u túnel ente os dois polos geogáficos da Tea, e que ua pessoa, e u dos polos, caia pelo túnel, que te k de extensão, coo ilusta a figua a segui. a) h = - b) h = - c) h = - 3 ( h) 2 3 ( h) ( h) 5

6 d) h = - e) h = - esposta: A 2 ( h) 3 3 ( h) 3.. patícula atua ua foça centífuga (foça de inécia obsevada nu efeencial ligado à Tea) e a foça peso ( ). N w 180º-λ Exeplos de classe: Qual a elação apoxiada ente altua H de ua ontanha e a pofundidade h de ua ina se o peíodo das oscilações de u pêndulo siples no pico da ontanha e no fundo da ina fo igual? a) h=2h b) h=h c) d) e) H=3H esposta: A O λ λ g PAP w 2 L Exeplos de classe: Deteine a pofundidade e elação à supefície teeste e que deve se enconta u copo paa que o valo da aceleação da gavidade local seja igual à aceleação da gavidade quando o copo se enconta a ua altua da supefície teeste. Considee a Tea ua esfea hoogênea de aio e despeze os efeitos de otação. a) /3 b) 3/4 c) 2/3 d) /2 e) 4/5 esposta: B 3. Efeito de otação da Tea: Agoa suponha que a Tea possa se consideada ua esfea hoogênea pefeita de aio e assa M, que otaciona co ua velocidade angula w constante e tono do eixo pola (Note-Sul). Se u copo está sobe a supefície da Tea (e epouso e elação a Tea), então ele copatilha da esa velocidade angula da Tea. Considee ua patícula colocada e ponto na supefície da Tea cuja latitude é λ. Esta patícula desceve u cículo de aio = cosλ. Sobe esta S Vaos aplica a ega do paalelogao paa deteinaos o peso apaente do copo colocado e ua latitude λ: g w 2 =w 2 cos 2 λ PAP 180º-λ Substituindo-se = cosλ na expessão acia e isolado o teo 2 e na sequência extai este teo da aiz quadada, obteos: (eq.10) 6

7 Dicas geais paa o ITA: Cálculo do peso apaente e dois casos especiais: I. Nos polos (λ=90º): Coo: II. No equado (λ=0º): De onde concluíos que: Obseve que o valo da aceleação da gavidade no equado teeste é ligeiaente do que o valo da aceleação da gavidade quando despezaos a otação da Tea. III. Se o valo efetivo da aceleação da gavidade no equado fosse igual à zeo (, a nova velocidade angula da Tea (w ) deveia se igual a: O valo acia é apoxiadaente 17 vezes aio que o valo atual da velocidade angula teeste atual (w =17 w). Exeplo esolvido: (UFPA-87) Suponha que a velocidade de otação da Tea auentasse até que o peso de u objeto sobe o equado ficasse nulo. Sabendo que o aio da Tea valo 6400 k e que a aceleação da gavidade na supefície na supefície teeste é 10 /s 2, o peíodo de otação da Tea e tono de seu eixo valeia: a) 800π s b) 1000 s c) 1200π s d) 1600π s e) 1800π s esolução do pofesso Hebet Aquino: Paa que o peso no equado se tone nulo, teos, que o valo efetivo da aceleação da gavidade no equado fosse igual à zeo (, a nova velocidade angula da Tea (w ) deveia se igual a: Exeplo esolvido: (Pobles in Physics) O pofesso Hebet Aquino pede que você deteine a velocidade angula w de otação da Tea e tono de seu eixo, paa que o peso de ua pessoa no equado seja igual a do seu peso nos polos. Considee que a aceleação da gavidade nos polos teeste é igual a g e que o aio da Tea é. Solução do pofesso Hebet Aquino: Paa que o peso no equado seja igual a do seu peso nos polos, teos, que o valo efetivo da aceleação da gavidade no equado fosse deveá se do seu valo nos polos (, a nova velocidade angula da Tea (w ) deveia se igual a: Exeplo esolvido: (ITA-87) Considee a Tea coo u copo hoogêneo, isotópico e esféico de aio, 7

8 giando e tono do seu eixo, co fequência V (núeo de voltas po unidade de tepo), sendo g a aceleação da gavidade edida no equado. Seja V a fequência co que a Tea deveia gia paa que o peso dos copos no equado fosse nulo. Podeos afia que: a) V =4V b) V =. c) Não existe V que satisfaça às condições do poblea. d) Escevendo a assa do planeta (M) e função de sua densidade teos: Lebe: Logo a foça gavitacional no equado (peso apaente= ) seá: e) esolução do pofesso Hebet Aquino: No equado podeos esceve a aceleação na foa: Do enunciado teos: Assi podeos esceve na situação inicial: A foça gavitacional nua altitude h é dada po: eescevendo a equação acia: Se o valo efetivo da aceleação da gavidade no equado fo igual à zeo (, a nova velocidade angula da Tea (w ) deveia se igual a: Finalente copaando-se: Logo: Escevendo: Logo: e Finalente obteos: Exeplo esolvido: (Poliedo) Sabe-se que, po causa do oviento de otação de u planeta, a foça gavitacional no equado é eno que nos polos. Suponha que o planeta é ua esfea de aio. O peíodo de otação do planeta ao edo de seu eixo é T e a densidade édia do planeta é ρ. O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule a que altua h sobe a supefície do planeta e u dos polos a foça gavitacional seá igual à foça gavitacional sobe a supefície do equado? No equado: Finalente: 8

9 4. Enegia no capo gavitacional: Enegia Potencial Gavitacional Consideeos u capo de foças atativas, tal que a intensidade (F) da foça de capo é invesaente popocional ao quadado da distância () ente os copos que se atae, isto é:, e que K é ua constante caacteística dos copos e questão. Consideando-se nula a enegia potencial do capo quando a distância d ente os copos tende paa infinito, pode-se deonsta, co auxílio de cálculo integal, que a enegia potencial, associada ao capo de foças, seá dada po: O fato de enegia potencial se negativa que dize apenas que: E todos os pontos do capo, a enegia potencial é eno do que no infinito. E outas palavas, podeíaos dize que, paa tanspota os copos que se atae paa o infinito, onde a enegia do capo é zeo, é peciso que u agente exteno foneça enegia aos copos. Assi, se a enegia potencial do capo fo de -50J, u agente exteno ao capo deve fonece aos copos 50J de enegia paa tanspotá-los ao infinito. É siples copeende que esta enegia vai se usada paa vence a foça de atação que existe ente os copos. M A enegia potencial gavitacional associada ao sistea de copos ostado na figua acia é dada po: (Estudaeos este esultado nos apêndices de apofundaento paa o ITA). Considee u copo de assa, aniado de velocidade escala v, a ua distância do cento de assa da Tea confoe a figua a segui. M Seja M a assa da Tea e G a constante de gavitação univesal. A enegia ecânica do sistea seá dada po:, (eq.11) 5. Estudo de u satélite e óbita: U satélite de u planeta, de acodo co as Leis de Keple, pode esta e óbita elíptica ou cicula e o seu oviento é antido pela foça de atação gavitacional aplicada pela Tea. Na óbita elíptica, a velocidade linea de tanslação é vaiável e o oviento não é unifoe (Estudaeos este caso nos apêndices de apofundaento paa o ITA). Estudaeos, no oento, u satélite e óbita cicula e, potanto, co oviento unifoe. a) Velocidade linea de tanslação: v 9

10 (M) Planeta C F v Satélite () Potanto, obseve que tabé o peíodo de u satélite só depende da assa do planeta e do aio de sua óbita. c) Teceia Lei de Keple: Da equação acia, teos: Seja M a assa do planeta, o aio da óbita e G a constante de gavitação univesal. A foça gavitacional que o planeta aplica sobe o satélite faá o papel de esultante centípeta: Na condição e que. d) Enegias: I. Enegia Cinética: Sendo e a assa do satélite, teos: Assi: II. Enegia Potencial Gavitacional: Conclusão: A velocidade de tanslação te ódulo dependente apenas da assa do planeta e do aio de sua óbita. Paa o eso planeta, quanto ais póxio fo o satélite, aio seá sua velocidade de tanslação. Copaando-se as expessões das enegias cinética e potencial, notaos que: III. Enegia ecânica: Cuiosidade ENEM: E elação ao sistea sola, Mecúio é o planeta que apesenta aio velocidade escala édia de tanslação ( ais veloz dos planetas) e Plutão é o que apesenta eno velocidade escala édia de tanslação (ais lento dos planetas ). b) Peíodo de otação (T): Lebe: Logo: e) Ipondeabilidade no inteio do satélite: A ipondeabilidade, isto é, a sensação de ausência de peso (os copos flutua dento da nave e óbita), não significa que inexista foça gavitacional, as apenas que está sendo utilizada coo esultante centípeta capaz de ante o copo 10

11 e óbita. Não há toca de foças de copessão (N=0) ente u astonauta e o chão da nave, de odo seelhante ao que ocoe quando, na Tea, u elevado está e queda live e o passageio não copie o piso do elevado. Quando u satélite está e óbita afiaos que u objeto no seu inteio e o pópio satélite cae, e elação ao planeta, co a esa aceleação ao longo de suas óbitas, aceleação esta iposta pela atação gavitacional do planeta. Exeplo de classe: (UNESP-06) Depois de anos de inteupção, ocoeu neste ano (2005) a etoada de lançaentos do ônibus espacial pela NASA, desta vez co sucesso. Nas iagens divulgadas do dia no ônibus espacial giando ao edo da Tea, pudeos ve os astonautas ealizando suas atividades, tanto foa da nave coo no seu inteio. Consideando que as óbitas da nave e dos astonautas seja ciculaes, analise as afiações seguintes. I. Não há tabalho ealizado pela foça gavitacional paa ante u astonauta e óbita ao edo da Tea. II. A aceleação de u astonauta giando ao edo da Tea deve-se exclusivaente à ação da foça gavitacional. III. A velocidade vetoial do astonauta ao edo da Tea é constante. Estão coetas as afiações: a) II, soente. b) III, soente. c) I e II, soente. d) II e III, soente. e) I, II e III. esposta: C Exeplo de classe: (PUCS- 06) Duante ceca de oito dias, u astonauta basileio dividiu co astonautas estangeios ua issão a bodo da Estação Espacial Intenacional (EEI). Inúeas fotogafias da pate intena da Estação ostaa objetos e os astonautas "flutuando" no seu inteio. Este fenôeno ocoe poque Pela análise das afiativas conclui-se que soente está / estão coeta(s) a) a I. b) a II. c) a III. d) a I e a III. e) a II e a III. esposta:b f) Satélite Estacionáio: U satélite é dito estacionáio quando ocupa sepe a esa posição e elação a u efeencial ligado à supefície do planeta. Paa que u satélite seja estacionáio, ele deve satisfaze as seguintes condições: I. Plano de óbita: a óbita deve esta contida no plano equatoial do planeta. II. Tajetóia: a óbita deve se cicula. III. Peíodo de otação: igual ao peíodo de otação do planeta. O satélite estacionáio te aplicação e telecounicações. Dica ITA: Vaos calcula a que altua deve fica u satélite geoestacionáio. (M) Planeta C =+h Satélite () Podeos esceve o peíodo de otação do satélite da seguinte foa: h F v I. a aceleação da gavidade sobe eles é zeo. II. os objetos e os astonautas tê a esa aceleação da Estação. III. não há foça esultante sobe eles. 11

12 Usando: T=86400s e. Substituindo-se os valoes obteos: aio da óbita geoestacionáia: Velocidade obital de u satélite geoestacionáio: Nota: A velocidade do satélite asante coesponde à velocidade de lançaento hoizontal de u copo paa tansfoá-lo e u satélite da Tea e é chaada de velocidade cósica pieia. Dica ITA: Peíodo do satélite asante: e) Satélite asante: Paa u satélite asante (junto à supefície teeste), despezando o efeito do a, teos: Planeta (M) C = F v Satélite () E teos páticos apoxiaos o peíodo do satélite asante paa 84 inutos. Exeplo esolvido: (ITA-1974) U satélite atificial desceve ua óbita cicula e tono da Tea co peíodo, onde é o aio da Tea e g a aceleação da gavidade na supefície teeste. A que altua acia da supefície se enconta o satélite? Solução: Vaos calcula a que altua deve fica u satélite atificial. (M) Planeta C h F =+h v Satélite () Paa a Tea, teos: Aceleação da gavidade nas poxiidades da Tea: g0=10/s 2 ; aio da Tea: =6, ; Podeos esceve o peíodo de otação do satélite da seguinte foa: 12

13 Obsevando a figua acia teos: =+h. Usando (aceleação da gavidade na supefície do planeta), podeos esceve o peíodo da seguinte foa: Copaando-se co a equação fonecida no poblea: (M) Planeta C F v Satélite () Da Teceia Lei de Keple: Usando (g: aceleação da gavidade na supefície do planeta), assi podeos eesceve a equação: Finalente: Exeplo esolvido: (IME-81/82) Moste que o aio da óbita da Lua pode se deteinado a pati do aio da Tea, da aceleação da gavidade na supefície da Tea e do tepo T necessáio paa a Lua desceve ua volta copleta e tono da Tea, ou seja, =f(g,,t). esolução: Exeplo esolvido: (UFPB-11) Os satélites atificiais são ua conquista da tecnologia odena e os seus popósitos são vaiados. Existe satélites co fins ilitaes, de counicação, de onitoaento etc. e todo satélite te ua óbita e ua velocidade obital be deteinadas. Nesse contexto, considee u satélite de counicação que desceve ua óbita cicula e tono da Tea co u peíodo de evolução de 8 x10 4 s. Co base nessas infoações e despezando o oviento da Tea, é coeto afia que esse satélite gia e tono da Tea co ua velocidade obital de: Dados: Aceleação da gavidade: g = 10 /s 2. Constante da gavitação univesal: G = 6 x N 2 / kg 2 Massa da Tea: M = 6 x kg. Constante π = 3. 13

14 a) 1000 /s b) 1500 /s c) 2000 /s d) 3000 /s e) 3500 /s esposta: D esolução: A foça de atação gavitacional é a esultante centípeta. GM v 2 2 GM v 2 GM 2π T GMT 6x10 x6x10 x64x x10 2 4π 7 4x10 7 4x9 2π 2x3x4x10 V 3000 / s T 4 8x10 Exeplo de classe: (Fgvj 2010) Muitos satélites utilizados e telefonia, tansissões de ádio e TV, intenet e outos seviços de telecounicações ocupa a óbita geoestacionáia. Nesta óbita, situada no plano da linha do equado, os satélites peanece sepe acia de u eso ponto da supefície teeste, paecendo paados paa u obsevado no equado. A altua de u satélite geocêntico, e elação à supefície da Tea, e óbita cicula, é apoxiadaente igual a Dados: G = constante de gavitação univesal M = assa da Tea = aio da Tea = 6, 4 x 10 6 [G M / 4 π 2 ] 1/3 = 2,2 x 10 4 s -2/3 [24 hoas] 2/3 = 2,0 x 10 3 s 2/3 a) k. b) k. c) k. d) k. e) k. esposta:a Exeplo de classe: (FUVEST-05) U satélite atificial, e óbita cicula e tono da Tea, anté u peíodo que depende de sua altua e elação à supefície da Tea.. 2 NOTE E ADOTE: A foça de atação gavitacional sobe u copo de assa é F= GM/ 2, e que é a distância ente a assa e o cento da Tea, G é a constante gavitacional e M é a assa da Tea. Na supefície da Tea, F = g e que g = GM/ 2 ; g = 10/s 2 e = 6, Considee π 3 Deteine: a) o peíodo T0 do satélite, e inutos, quando sua óbita está uito póxia da supefície. (Ou seja, está a ua distância do cento da Tea paticaente igual ao aio da Tea). b) o peíodo T4 do satélite, e inutos, quando sua óbita está a ua distância do cento da Tea apoxiadaente igual a quato vezes o aio da Tea. esposta: a) 80 in b) 640in 6. Fuga do capo gavitacional da Tea: A enegia ecânica de u copo, no capo gavitacional da Tea, é a soa de duas pacelas: A enegia cinética A enegia potencial negativa;, que é sepe positiva;, que é sepe A espeito do valo da enegia ecânica do copo, teos tês possibilidades: a) : isto significa que o copo te enegia ecânica suficiente paa se libeta do capo gavitacional da Tea e ainda lhe soba enegia paa 14

15 possegui viage. A enegia cinética do copo, foa do capo gavitacional da Tea (, seá igual a sua enegia ecânica. b) : isto significa que a enegia do copo é apenas suficiente paa escapa do capo gavitacional da Tea. c) : isto significa que o copo não te enegia suficiente paa se libeta do capo gavitacional da Tea; nesse caso, ou etona à supefície teeste ou enta e óbita e tono da Tea. Dizeos, então, que existe ua enegia que anté o copo peso, ligado à Tea, ipedindo-o de escapa do capo gavitacional teeste. Essa enegia é denoinada enegia de ligação ente o copo e a Tea e constitui ua espécie de baeia gavitacional ciada pela Tea. A enegia de ligação é nueicaente igual à enegia ecânica do copo co o sinal tocado, isto é: (M) Mateaticaente: Planeta C = ou ve Satélite () Finalente, podeos esceve: a) Enegia de ligação ente a Tea e u copo paado e sua supefície: Paa u copo paado, na supefície da Tea (= e v=0), teos: Sendo a aceleação da gavidade na supefície teeste, podeos eesceve a equação acia na foa: A velocidade escala ínia de lançaento, paa escapa ao capo gavitacional da Tea, seá a velocidade de escape (ve) dada po: Paa a Tea, teos: Aceleação da gavidade nas poxiidades da Tea: g0=10/s 2 ; aio da Tea: =6, ; b) Velocidade de Escape: Denoina-se enegia de escape a quantidade de enegia ecânica ínia a se fonecida a u copo paa que consiga escapa do capo gavitacional da Tea. E paticula, paa que u copo paado na supefície da Tea consiga escapa de seu capo gavitacional, ele deve ecebe ua enegia cinética aio ou igual à sua enegia de ligação co a Tea. Potanto, a velocidade de escape do planeta Tea, isto é, a ínia velocidade co que deveos lança u copo paa que não ais etone à Tea, a pati de sua supefície, é de, apoxiadaente, ( E teos páticos o valo da velocidade de escape deve se aio que este). Nota: A velocidade de escape é caacteística de cada planeta, dependendo apenas de sua assa e aio, na suposição de não se considea os efeitos de otação do planeta: 15

16 A velocidade de escape é denoinada velocidade cósica segunda. Cuiosidade: Dicas ITA: I. Vaos calcula a velocidade de escape paa u copo colocado a ua altua h acia da supefície da Tea: (M) Planeta C = Po consevação da enegia, teos: h Satélite () ve III. Se u copo é pojetado co ua velocidade aio que a velocidade de escape (,co k,então, ele chegaá ao infinito co velocidade não-nula. Assi, queeos deteina a velocidade do copo ao atingi o infinito (v). (M) Planeta C = Po consevação da enegia: h(tende ao infinito) Satélite () Lebando que, assi podeos esceve: vi v II. Cálculo da velocidade de escape paa u copo lançado ente dois planetas. Planeta (M1) ve Planeta (M2) IV. Buaco Nego: É ua egião do espaço e que a concentação de assa é tão gande, que a foça gavitacional é tão intensa, que a velocidade de escape é aio que a velocidade da luz no vácuo. Cálculo do aio de hoizonte: d1 d2 Po consevação da enegia, teos: V. Cálculo da velocidade (v0) necessáia paa u satélite atingi ua altua áxia h: 16

17 (M) Planeta h C V=0 = V0 Satélite () Po consevação da enegia, teos: () Coo h=, teos: Sendo a aceleação da gavidade na supefície do planeta igual a, teos: Exeplo esolvido: (AFA Modificada) A pati da supefície da Tea, u foguete, se populsão, de assa, é lançado veticalente co velocidade v0 e atinge ua altua áxia igual ao aio da Tea. O pofesso Hebet Aquino que você calcule o ódulo da velocidade inicial e função da assa da Tea (M) e da Constante de Gavitação Univesal (G). Solução: Planeta h C V0 V=0 (M) = Satélite () () Po consevação da enegia, teos: Exeplo de classe: U foguete de assa é lançado veticalente paa cia, co ua velocidade v a pati da supefície da Tea de assa M e aio. Considee a aceleação da gavidade na supefície teeste igual a,o pofesso Hebet Aquino pede que você deteine a altua áxia h que o pojétil atinge acia da supefície teeste. esposta: Exeplo classe: Ua nave espacial se enconta e óbita asante a supefície teeste. O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule o acéscio de velocidade da nave espacial paa que ela escape do capo gavitacional teeste. Considee a aceleação da gavidade na supefície teeste igual a e o aio da Tea igual a =6400 k. 17

18 c) Tajetóia executada pelo copo lançado a pati da supefície do planeta : Se lançaos u copo hoizontalente, de u ponto be póxio à supefície teeste, não levando e conta a otação e ne a esistência do a, teeos: I. Paa : Tajetóia paabólica, o pojétil etona a supefície do planeta. as apenas que a esultante de todas as foças gavitacionais que age sobe a patícula é nula. Deonstação ipotante: Vaos agoa calcula a intensidade da foça gavitacional que atua sobe ua patícula de assa localizada no inteio de ua casca esféica hoogênea. II. Paa : O pojétil passa a executa ua tajetóia cicula de peíodo apoxiado de 84 in. III. Paa : O pojétil assue óbita elíptica. IV. Paa : O pojétil assue tajetóia paabólica, não ais etonando à Tea. a M1 F1 F2 M2 b V. Paa : O pojétil assue tajetóia hipebólica, não ais etonando à Tea Copleentos paa o ITA e OBF: A. Gavitação no Inteio da Tea: Newton esolveu o poblea da atação ente a Tea e açã povando u ipotante teoea, conhecido coo teoea das cascas: Ua casca esféica unifoe de atéia atai ua patícula que se enconta foa da casca coo se toda a assa da casca estivesse concentada no seu cento. O teoea das cascas de Newton tabé pode se aplicado a ua situação na qual a patícula se enconta no inteio de ua casca unifoe, paa deonsta o seguinte: Ua casca unifoe de atéia não exece foça gavitacional esultante sobe ua patícula localizada no seu inteio. Escolheos agoa poções infinitesiais da casca esféica hoogênea, de assa M1 e M2, que são colineaes co a patícula de assa. Na figua acia, a patícula de assa inteage co a poção esféica de assa M1 e estabelece ua foça de inteação gavitacional dada po: De foa análoga, a patícula de assa inteage co a poção esféica de assa M2 e estabelece ua foça de inteação gavitacional dada po: Assi a foça gavitacional esultante é dada po: Atenção: Esta afiação não significa que as foças gavitacionais execidas pelos váios eleentos da casca sobe a patícula desapaece agicaente, 18

19 Obsevando a figua e consideando poções esféicas infinitesiais teos que as áeas supeficiais pode se apoxiadas po cículos de aios a e b. Lebando: Elevando-se ao quadado: Onde: L é espessua da casca. Logo: Utilizando as elações anteioes: Obsevando-se que as poções possue u pefil das áeas e destaque (quase plana), obteos a figua abaixo: a a De onde obteos: Assi, concluíos que: 1 θ A foça gavitacional esultante sobe a patícula de assa no inteio da casca é nula. Se continuaos nossa análise paa outo pa de pequenas poções esféicas de assa colineaes co, tabé esulta e ua foça gavitacional esultante nula sobe. Nota: O ódulo da aceleação da gavidade e pontos localizados no inteio de ua casca esféica é nulo. 2 θ Exeplo de classe: (UECE-08) Duas cascas esféicas concênticas, de densidades unifoes, tê assas M1 (aio 1) e M2 (aio 2), coo osta a figua. b Da geoetia da figua acia, obteos: b 19

20 Exeplo esolvido: Nua esfea de chubo de aio 2, faz-se ua cavidade esféica de tal odo que a sua supefície toca a supefície extena da esfea de chubo e passa pelo cento desta. A assa da esfea antes que a cavidade extena fosse feita ea M. Co que foça, de acodo co a lei da gavitação univesal, a esfea de chubo iá agoa atai ua pequena esfea de assa, que se enconta a ua distância 6 de supefície confoe a figua abaixo. Assinale a altenativa que conté o valo da foça gavitacional sobe ua patícula de assa localizada ente as cascas, a ua distância d dos seus centos. a) G [(M1 + M2)/d 2 ] b) G [(M1/1 2 ) + (M2/2 2 )] c) G [(M1 - M2)/d 2 ] d) G (M1/d 2 ) esposta: D Exeplo de classe: (OBF) E seu tabalho sobe gavitação univesal, Newton deonstou que ua distibuição esféica hoogênea de assa sute o eso efeito que ua assa concentada no cento de distibuição. Se no cento da Tea fosse ecotado u espaço oco esféico co etade do aio da Tea, o ódulo da aceleação na supefície teeste diinuiia paa (g é o ódulo da aceleação da gavidade na supefície teeste se a cavidade): a) b) c) 2 6 Solução: A inteação gavitacional ente a esfea ( co a assa extaída) e a esfea de assa pode se analisada usando o pincípio da supeposição. Pieiaente calculaos o efeito de toda a esfea aciça de assa M sobe a patícula de assa, e seguida estudase o efeito da pate etiada e po fi deteinaos o efeito esultante da esfea co a cavidade sobe a patícula de assa. M F1 A A d) e) X assa extaída F2 A esposta: E B. Pincípio da Supeposição aplicado a pobleas de Gavitação Univesal: M-X 2 F=F1-F2 A 20

21 Paa a esfea aio (M) e paa cavidade esféica extaída (X) a assa é distibuída unifoeente, assi, a densidade é constante, dessa foa esceveos: a figua abaixo. Nosso objetivo neste copleento é deteina o peíodo de otação do sistea e o valo da velocidade obital de cada ua das estelas. Após deteinaos a assa que foi extaída, vaos usa a lei da gavitação univesal e deteina a foças de inteação gavitacional. v1 1 CM w v2 2 A foça de inteação ente a esfea aciça e a patícula Se a esfea extaída de aio inteage co a patícula de assa, a foça é dada po: Agoa, a inteação da esfea gande (co a assa extaída) e a patícula colocada e A, seá ua foça gavitacional de ódulo igual a. Esse pensaento é válido no sentido e que ao extai ceta assa da esfea, esta pate não execeá ais atação sobe a patícula, potanto, a ação da esfea sobe a patícula diinui deste valo. Logo a inteação da esfea co a patícula é igual a: No sistea não atua foças extena (foça gavitacional ente as estelas é intena ao sistea), assi o oento linea total do sistea e a velocidade do cento de assa peanece constante e elação a u efeencial inecial, estando o cento de assa do sistea e epouso (vcm=0, pois há ua copensação da quantidade de oviento das patículas ). As patículas apenas apesenta oviento de otação e tono do cento de assa. C. Estela bináia: Considee ua estela bináia foada po duas estelas de assas 1 e 2 sepaadas po ua distância e que abas giando e tono do cento de assa co a esa velocidade angula confoe 21

22 v1 1 F CM w CM F 2 v2 Deteinando 2: 1 2 Agoa ieos deteina a velocidade obital de cada ua das estelas: Seja 1 e 2 as distâncias de 1 e 2 do cento de assa do sistea e a distancia ente elas indicadas na figua acia. Então, podeos esceve: Paa a estela de assa 1: A foça gavitacional está atuando coo foça esultante centípeta, de onde podeos esceve: Coo o cento de assa peanece e epouso, podeos esceve (Veja a figua abaixo): 1 CM x Paa a estela de assa 2: A foça gavitacional está atuando coo foça esultante centípeta, de onde podeos esceve: De onde ve: Deteinando 1: Logo: De onde esceveos: 22

23 Cálculo do peíodo de evolução do sistea bináio foado pelas estelas: d De onde, finalente obteos: 2 v1 1 F CM w CM F v2 Coo o sistea é isolado, abas as estelas desceve óbitas ciculaes e tono do cento de assa co o eso peíodo. Caso especial: Outo ponto de vista paa o sistea bináio (Inteação Tea- Satélite) Usando: e Na apoxiação: Obteos: (Tea e epouso) Paa o satélite: (velocidade obital) 1 2 Usando os esultados obtidos anteioente: Peíodo: (peíodo do satélite e óbita) Exeplo esolvido: Duas estelas de assas e 2 espectivaente, sepaadas po ua distância d e bastante afastadas de qualque outa assa consideável, executa ovientos ciculaes e tono do cento de assa cou. Nestas condições, o pofesso Hebet Aquino pede que você calcule o tepo paa ua evolução copleta e a velocidade da assa 2. Cálculo da velocidade da estela de assa 2: Solução do pofesso Hebet Aquino: 23

24 Ui=0 ( tende ao infinito) Exeplo de classe: (ITA-12) Boa pate das estelas do Univeso foa sisteas bináios nos quais duas estelas gia e tono do cento de assa cou, CM. Considee duas estelas esféicas de u sistea bináio e que cada qual desceve ua óbita cicula e tono desse cento. Sobe tal sistea são feitas duas afiações: d ds FG I. O peíodo de evolução é o eso paa as duas estelas e depende apenas da distância ente elas, da assa total deste bináio e da constante gavitacional. II. Considee que e são os vetoes que liga o CM ao espectivo cento de cada estela. Nu ceto intevalo de tepo, o aio veto vae ua ceta áea A. Duante este eso intevalo de tepo, o aio veto tabé vae ua áea igual a A. Δt Diante destas duas poposições, assinale a altenativa coeta. a) As afiações I e II são falsas. b) Apenas a afiação I é vedadeia. c) Apenas a afiação II é vedadeia. d) As afiações I e II são vedadeias, as a II não justifica a I. e) As afiações I e II são vedadeias e, alé disso, a II justifica a I. esposta: B D. Enegia potencial gavitacional (Deonstação de apofundaento ITA): Suponha que ua patícula esteja inicialente infinitaente sepaada da supefície da Tea. Estaos inteessados e enconta ua expessão paa a enegia potencial gavitacional U da bola no ponto P da sua tajetóia, a ua distância do cento da Tea, paa isso, pieio calculaos o tabalho WFG ealizado pela gavitacional de ua distância uito gande (infinita) da Tea até o ponto P (distância do cento da Tea).Coo a foça gavitacional é vaiável, usaeos o cálculo integal. M Condições: 1. Paa, teos:. 2. Paa, teos:. Da figua: Podeos eesceve a equação: 24

25 Quando toaos o infinito coo nível de efeência, a enegia potencial da patícula quando ela se enconta na supefície da Tea (=) é dada po: Fazendo o cálculo da integal obteos: A ua altitude h a enegia potencial gavitacional do sistea seá dada po: Logo, podeos calcula a vaiação de enegia potencial gavitacional quando ua patícula é tanspotada da supefície do planeta até ua altitude h, que dada po: Finalente: Nota 1: A enegia potencial dada pela equação é ua popiedade do sistea das duas patículas e não de ua delas isolada. Paa o sistea Tea-Patícula, é cou falaos e enegia potencial da patícula. Nota 2: O tabalho ealizado pela foça gavitacional é independente da tajetóia (Foça consevativa). Detalhe: Vaiação da enegia potencial. Lebando que a aceleação da gavidade na supefície do planeta é dada po, logo: h Finalente, paa pequenas altitudes teos:. M esultado: Exeplo esolvido: (Peuano) Considee duas patículas de assas e velocidades ostadas na figua abaixo. O pofesso Hebet Aquino pede que você deteine a áxia sepaação ente as patículas consideando-se apenas a foça gavitacional ente elas. 25

26 va=4v a 4 vb=v Solução: A sepaação ente as patículas seá áxia quando a velocidade elativa ente elas fo igual à zeo. va=4v a Início 4 4 vb=v eo cou é aplica equações de Moviento Unifoeente Vaiado e situações desse tipo. Exeplo esolvido: (New Patten- DC Pandey )Tês patículas de esa assa e aio estão inicialente e epouso nos vétices de u tiângulo de lado d. O pofesso Hebet Aquino pede que deteine a velocidade das patículas iediataente antes das colisões ente elas consideando-se apenas a inteação gavitacional ente as patículas. d d va =u d Final vb =u Aplicando-se o pincípio de consevação do oento linea teos: Logo: Sendo assi a áxia sepaação ocoe quando abas as esfeas fica e epouso (instantâneo) siultaneaente. Agoa podeos aplica o pincípio de consevação da enegia: d Solução do Pof. Hebet Aquino: Vaos aplica o pincípio de consevação da enegia ecânica ente as configuações inicial e final: O exeplo anteio é exteaente ipotante, pois tataos de duas leis de consevação: consevação do oento linea e consevação da enegia. U tipo de 26

27 Finalente: Exeplo esolvido: (Moysés Nussenzveig) Duas patículas de assa 1 e 2 são soltas e epouso, sepaadas de ua distância inicial 0, ovendo-se apenas sob o efeito de sua atação gavitacional útua. Calcule as velocidades de duas patículas quando se apoxia até ua distância ( ) ua da outa, confoe indica a figua abaixo Exeplo de classe: (Halliday) Duas patículas de assas e M estão inicialente e epouso a ua distância infinita ua da outa. Moste que, e cada instante, a sua velocidade de apoxiação elativa, devido à atação gavitacional, é, onde d é a sepaação ente elas e cada instante. 1 v1 v2 2 Aplicando-se a consevação do oento linea (sistea isolado: foça gavitacional é intena ao sistea de patículas), teos: Algebicaente esceveos: Exeplo de classe: (Peuano) Deteine a enegia potencial gavitacional associada ao sistea de patículas ostado na figua abaixo. 3 C E seguida, aplicaos a consevação da enegia ecânica: L L A 60º L B 2 esposta: 27

28 Coentáio paa o ITA: A enegia potencial de u sistea de patículas é igual ao tabalho que pecisa se ealizado po u agente exteno paa foa o sistea, tendo coo ponto de patida ua configuação de efeência padão. Se quisésseos sepaa o sistea e tês assas isoladas, teíaos que fonece ua quantidade de enegia igual a. ódulo pela áea do tapézio destacada na figua acia: E. Cálculo da enegia potencial gavitacional de ua patícula (patícula-planeta) quando localizada no inteio a ua distância de seu cento. O pofesso Hebet Aquino chaa a atenção paa o caso e que o copo é lançado de u ponto qualque no inteio do planeta, paa calcula o tabalho ealizado pela foça gavitacional, teos: M gint v Obseve que o tabalho ealizado pela foça gavitacional é negativo (a foça gavitacional possui sentido oposto ao veto deslocaento da patícula: tabalho esistente). Assi podeos esceve o tabalho ealizado pela foça gavitacional ente os pontos A e B: FG g0 g0/ Lebando que a foça gavitacional é ua foça consevativa (tabalho ealizado pelo peso é independente da tajetóia), assi podeos esceve: X() Módulo do tabalho ealizado pela Foça Gavitacional O tabalho ealizado pela foça gavitacional ente u ponto no inteio do planeta a ua distância do cento e outo ponto na supefície (=) é dado e Lebando que enegia potencial da patícula quando ela se enconta na supefície da Tea (=) é dada po: 28

29 Co, co isso podeos esceve: Logo, a enegia potencial gavitacional do sistea patícula-planeta paa u ponto localizado no inteio do planeta: M A v B ve Meoize o esultado acia. Finalente, a enegia potencial quando a patícula se enconta no cento (=0) do planeta é dada po: Paa calculaos a velocidade de lançaento do cento da Tea basta aplicaos o Teoea Tabalho- Vaiação da Enegia Cinética ente os pontos A e B: Exeplo esolvido: (Tiple) U buaco é feito da supefície da Tea até seu cento, confoe indica a figua abaixo. Ignoando a otação da Tea e esistência do a e odelo da Tea coo ua esfea de densidade unifoe, deteine a velocidade de escape paa ua patícula lançada do cento da Tea expessando sua esposta e função de, g0 e. Solução do Pof. Hebet Aquino: Agoa ieos aboda o lançaento do copo de u ponto no inteio do planeta. Considee que fosse possível escava u túnel até o cento da Tea confoe osta a figua abaixo. Ignoando a otação da Tea e esistência do a e odelo da Tea coo ua esfea de densidade unifoe, vaos deteina a velocidade ínia necessáia paa ua patícula lançada do cento da Tea escapa do capo gavitacional teeste. Sobe a patícula a única foça que atua ente os pontos A e B é a foça gavitacional (peso), assi constuíos o gáfico abaixo. g0 g0/ M gint FG v X() O tabalho ealizado pela foça gavitacional (Peso) e ódulo é igual à áea do tiângulo e destaque na figua acia. 29

30 Solução do Pof. Hebet Aquino: Obseve que o tabalho ealizado pela foça gavitacional é negativo (a foça gavitacional possui sentido oposto ao veto deslocaento da patícula: tabalho esistente). Assi podeos esceve o tabalho ealizado pela foça gavitacional ente os pontos A e B: v M B h A vi=0 Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: Paa que o copo escape do capo gavitacional do planeta é necessáio que a velocidade e B seja igual à velocidade de escape quando o copo é lançado da supefície do planeta ( ), assi podeos esceve ( ): No cento da Tea teos =0: Usando: (aceleação da gavidade na supefície do planeta) Exeplo esolvido:(alonso e Finn) Ua patícula de assa é abandonada de ua altua h ( ) iediataente acia de u túnel que passa pelo cento da Tea. Consideando a Tea coo ua esfea de constituição hoogênea e despezando os efeitos de otação, o pofesso Hebet Aquino pede que você deteine o valo da velocidade da patícula ao passa pelo cento da Tea e função de h, g0 e : Dado: (g0: aceleação da gavidade na supefície da Tea e é o aio da Tea). 30

31 Exeplo esolvido: (enato Bito) É sabido que a intensidade do capo gavitacional atativo, no inteio da Tea (constituição hoogênea) vaia lineaente co a distância ao cento do planeta, desde o valo nulo (g=0, no cento da Tea) até seu valo áxio ( na sua supefície. Adita que seja possível cava u poço que atavesse a Tea diaetalente. Se ua peda fo abandonada na entada desse poço, a pati do epouso, co que velocidade ela atingiá o cento do planeta? Usando: (aceleação da gavidade na supefície do planeta) e (velocidade de escape do planeta). Solução do Pof. Hebet Aquino: Do execício anteio teos: Onde é o aio da Tea e h é altua e elação a supefície da Tea. Assi, caso a patícula fosse abandonada da supefície do planeta (h=0) teíaos: O valo da velocidade no cento do planeta nesse caso seia igual à de u satélite de óbita asante. (Paa alunos de Tua ITA lebe-se que a pojeção de u Moviento Cicula Unifoe é u Moviento Haônico Siples). Exeplo esolvido: (Solved Pobles in Physics) Qual a pofundidade da catea que deveos faze nu planeta de aio paa que, lançando u pojétil do fundo da esa co a velocidade de escape do planeta, sua altua áxia alcançada seja igual a 3? Logo a pofundidade da catea (x), é dada po: Solução do Pof. Hebet Aquino: M gint A ve x H=3 B vf=0 Exeplo esolvido: (ITA-2005-Modificada) Suponha que na Lua, cujo aio e, exista ua catea de pofundidade /100, do fundo da qual u pojetil é lançado veticalente paa cia co velocidade inicial v igual à velocidade de escape da supefície da Lua. Deteine litealente a altua áxia alcançada pelo pojetil. Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: Solução do Pof. Hebet Aquino: 31

32 M =99/100 A ve H B vf=0 ecenteente uitos pobleas de Gavitação Univesal na pova do ITA, paa see esolvidos necessita da aplicação de duas leis de consevação, são elas: consevação da enegia ecânica e consevação do oento angula. Este copleento te po finalidade deixa você estudante acostuado co estas feaentas. v θ X=/100 M Satélite Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: Planeta Consevação do oento angula: Usando: na supefície do planeta) e de escape do planeta). (aceleação da gavidade (velocidade Justificativa ápida: A foça gavitacional é ua foça cental, logo toque esultante e elação a qualque ponto ao longo de sua linha de ação é nulo. Potanto, paa ovientos de satélites e tono de planetas (ou de planetas e tono e estelas), o oento angula não se altea (peanece constante). Paa as posições do afélio e peiélio, teos θ=90º: Consevação da enegia: Justificativa ápida: A enegia ecânica se conseva, pois a foça gavitacional é consevativa. Coentáio: Esta questão está no livo do D.C. Gupta e esteve na pova do IIT.JEE. Dica ITA: Satélite descevendo óbita elíptica: e tono da Tea. F. Moento angula na pova do ITA: 32

33 P A Peiélio va Afélio Velocidade no afélio: Tea vp c Considee u satélite de assa descevendo ua óbita elíptica de excenticidade (e) e tono da Tea de assa M. O sei-eixo aio da elipse é a. a Velocidade no peiélio: Deteinando a distância A e P da figua acia: Logo: Assi teos: Usando a consevação do oento angula, obteos: Aplicando a consevação da enegia ecânica: azão ente as velocidades no afélio e no peiélio: Coentáio: O esultado acia osta que se a distância ente o planeta e o satélite diinui a enegia potencial diinui e a enegia cinética do satélite auenta, assi a velocidade no afélio seá eno que no peiélio. Exeplo esolvido: O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule a enegia total (de u satélite de assa giando ao edo de u planeta de assa M), no caso de oviento elíptico, elacionando ao sei-eixo aio a da elipse descita e a excenticidade e da elipse. Solução do Pof. Hebet Aquino: Agoa deteinaeos a enegia ecânica total do sistea Satélite-Tea: Finalente, obteos: 33

34 Coentáio: Este esultado confia o fato de que a enegia total é negativa e depende apenas do seieixo aio a da elipse. Assi, paa todas as óbitas elípticas que tenha o eso sei-eixo aio teão a esa enegia total, eboa tenha difeentes excenticidades. Exeplo esolvido: O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule oento angula (de u satélite de assa giando ao edo de u planeta de assa M), no caso de oviento elíptico, elacionando ao sei-eixo aio a da elipse descita e a excenticidade e da elipse Solução do Pof. Hebet Aquino: Cálculo do oento angula total do sistea: Coentáio do pofesso Hebet Aquino: paa a cicunfeência teos que a excenticidade (e) é nula. De onde podeos esceve: Este coentáio é baseado e u execício do livo indiano Physics Challenge (Auto: E. Deepak Agawal) Exeplo esolvido: O pofesso Hebet Aquino pede que você deteine a excenticidade e da óbita elíptica (de u satélite de assa giando ao edo de u planeta de assa M) e função da enegia ecânica do sistea E e do oento angula do sistea L. Solução do Pof. Hebet Aquino: A enegia ecânica total do sistea Satélite-Tea: E esuo: Podeos dize que o taanho da óbita( dada pelo seieixo aio) é deteinada pela enegia, e que, paa ua dada enegia, a foa da óbita (dada pela excenticidade) é deteinada pelo oento angula(alonso e Finn). Exeplo esolvido: Usando a consevação da enegia no oviento planetáio oste que a velocidade v de u objeto nua óbita elíptica satisfaz à elação: De onde ve: O oento angula total do sistea: Solução do Pof. Hebet Aquino: 34

35 v θ P=3 A=6 M Satélite va Planeta Coo já deonstaos anteioente, enegia ecânica total do sistea Satélite-Tea é dada po: vp v c a Aplicando a consevação do oento angula, teos: Aplicando a consevação da enegia ecânica: Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: Finalente: Exeplo esolvido: U satélite é lançado da supefície de u planeta se atosfea de aio, de odo a enta e óbita elíptica, co distâncias do apogeu à supefície do planeta de 5 e do peigeu à supefície do planeta de 2. O pofesso Hebet Aquino pede que você calcule a velocidade de lançaento, sabendo que g é a aceleação da gavidade na supefície do planeta. Aplicando-se novaente a consevação da enegia ente u ponto na supefície do planeta e o afélio, teos: Solução do Pof. Hebet Aquino: 35

36 Lebando: na supefície do planeta)., (aceleação da gavidade De onde obteos: Velocidade no afélio: Finalente: Velocidade no peiélio: Exeplo esolvido: (D.C. Pandey) A áxia e a ínia distância de u satélite a Tea são espectivaente, iguais a 2 e 4. Consideado a assa da Tea igual a M e o seu aio igual a. O pofesso Hebet Aquino pede que você deteine: a) A velocidade ínia e a velocidade áxia; b) O aio de cuvatua no ponto e que a distância ao planeta é ínia; Solução do Pof. Hebet Aquino: a) P=2 A=4 b) Paa calculaos o aio de cuvatua no peiélio, basta pecebe que a foça gavitacional atua nesse ponto coo ua foça esultante centípeta. Logo: Lebe: va De onde esulta: vp c Aplicando a consevação do oento angula, teos: Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: a Exeplo esolvido: (Solved Pobles in Physics) U íssil é dispaado do solo co velocidade inicial v0, foando u ângulo α co a vetical coo osta a figua abaixo. Se o íssil deve atingi ua altitude áxia igual ao aio da Tea, o pofesso Hebet Aquino pede que você deonste que o ângulo necessáio é definido pela elação de escape., onde é a velocidade 36

37 B α v0 A H= Aplicando a consevação da enegia ecânica, obteos: C Solução do Pof. Hebet Aquino: v0 senα Lebando-se da velocidade de escape: v0 cosα α v 0 A v B H= C etonando a equação de consevação da enegia, teos: etoando a equação obtida co a consevação do oento angula: Aplicando a consevação do oento angula, teos: 37

38 e) 2GM v. a e Dividindo abos os ebos da equação po : Finalente: Exeplo de classe: (Poble Book- D.C. Pandey) U copo é lançado da supefície da Tea foando u ângulo α=30º co a hoizontal co ua velocidade. Considee a Tea ua esfea hoogênea de aio e assa M. Despezando a esistência do a e a otação da Tea, o pofesso Hebet Aquino pede que você deteine a altua áxia atingida pelo copo e elação a supefície da Tea. esposta: h=2,33(valo apoxiado) Exeplo de classe: (ITA-13) Ua lua de assa de u planeta distante, de assa desceve ua óbita elíptica co seieixo aio a e seieixo eno b, pefazendo u sistea de enegia E. A lei das áeas de Keple elaciona a velocidade v da lua no apogeu co sua velocidade v no peigeu, isto é, v'(a e) v(a e), e que e é a edida do cento ao foco da elipse. Nessas condições, podeos afia que a) GM E. 2a GM b) E. 2b c) GM E. 2e GM d) E. 2 2 a b Exeplo de classe: (ITA-12) O oento angula é ua gandeza ipotante na Física. O seu ódulo é definido coo L psenθ, e que é o ódulo do veto posição co elação à oige de u dado sistea de efeência, p o ódulo do veto quantidade de oviento e paticula, no caso de u satélite giando ao edo da Tea, e óbita elíptica ou cicula, seu oento angula (edido e elação ao cento da Tea) é consevado. Considee, então, tês satélites de esa assa co óbitas difeentes ente si, I, II e III, sendo I e III ciculaes e II elíptica e tangencial a I e III, coo osta a figua. Sendo LI, LII e LIII os espectivos ódulos do oento angula dos satélites e suas óbitas, odene, de foa cescente, LI, LII e LIII. Justifique co equações a sua esposta. θ o ângulo po eles foado. E esolução etiada do site O enunciado nos infoa a existência de duas óbitas ciculaes (I e III) e ua elíptica (II), confoe figua abaixo: Sendo I e III os vetoes posição das óbitas ciculaes I e III, espectivaente, e, e, os vetoes posição do afélio e do peiélio, a p 38

39 espectivaente, da óbita elíptica II, obsevaos que: e. I p III a O execício tata do oento angula L psenθ, onde p.v, sendo a assa do satélite que está giando ao edo da Tea e v a intensidade de sua velocidade. L psenθ L vsenθ L L L I II III.. I.. I Coo.. III G.M I 2.G.M. III.( ) I. I III I G.M III é constante paa 2.G.M. III G.M L II L I.( I III I) I Coo III I LIII LII. L I e L II, e Coo θ 90 L vsen θ L..v L..v (eq.1) senθ 1 Execícios de Teinaento Dos estudos de gavitação, teos que: Paa óbitas ciculaes V G.M Substituindo na eq.1, teeos: L L I III.. I.. III G.M I G.M III Paa óbitas elípticas V p 2.G.M. a.( ) p a p sendo V p velocidade do satélite no peiélio; Va 2.G.M. p a.(a p ) sendo V a a intensidade da a intensidade da velocidade do satélite no afélio. Coo o oento angula do satélite giando ao edo da Tea e consevado, podeos utiliza ou V. Consideando L II.. Coo p V p 2.G.M. V a e substituindo na eq.1, teeos: a.( ) p a p I 2.G.M. 2.G.M. L.. L...( ).( ) p a III II p II I p a p I III I e III p a : 1. (IME-74) U astonauta equipado, utilizando o esfoço áxio, salta 0,60 de altua na supefície teeste. Calcula o quanto saltaia na supefície luna, nas esas condições. Considea o diâeto e a densidade da lua coo e dos da Tea, espectivaente. esposta: h=3,6. 2. (IME-81) U planeta hipotético, esféico e de assa hoogênea, co assa específica de 2500 e de aio k, copleta seu oviento de otação de 16 hoas e 40 inutos. Calcula a que altua deve se colocado u satélite atificial paa que antenha, enquanto e óbita, distâncias constantes e elação a estações de asteaento fixas na supefície do planeta. Considea: e. esposta: h=30000 k. 3. (IME-85) Na supefície de u planeta hipotético, de aio igual ao da Tea, u pêndulo siples oscila co peíodo de 2,0 s. Sabendo, que, na pópia Tea, o peíodo de oscilação do eso pêndulo vale s, deteine a azão ente as assas do planeta e da Tea. esposta:. Conclusão 39

40 4. (IME-88) U astonauta e taje especial e copletaente equipado pode da pulos veticais de 0,5 na Tea. Deteine a altua áxia que o astonauta podeá pula e u outo planeta, sabendo-se que o seu diâeto é u quato do da Tea e sua assa específica dois teços da teeste. Considee que o astonauta salte e abos os planetas co a esa velocidade inicial. esposta: 3 5. (ITA-65) Aditindo-se que a aceleação da gavidade seja ao nível do a, pode-se dize que, a ua altitude igual ao aio da Tea acia do nível do a (nível do a entende-se coo nível édio do a), a aceleação da gavidade vale apoxiadaente: a) b) c) d) e) esposta: A 6. (ITA-71) A aceleação da gavidade a 3, k acia da supefície teeste (o aio da Tea é igual a 6, k) vale apoxiadaente: a) b) c) d) e) Nenhua das espostas acia é válida; esposta: A 7. (ITA-71) Consideando os dados e o esultado da questão anteio veifique que o peíodo de evolução de u satélite atificial colocado e óbita cicula da Tea naquela altitude é de apoxiadaente: a) 90 in; b) 90 s; c) 22 h; d) 24 h; e) 12h. esposta: D 8. (ITA-74) A enegia potencial de u copo de assa na supefície da Tea é. No infinito essa enegia potencial é nula. Consideando-se o pincípio de consevação da enegia (cinética+ potencial), que velocidade deve se dada a esse copo de assa (velocidade de escape) paa que ele se live da atação da Tea, isto é, chegando ao infinito co v=0? Dados: ; ; ; Despeze o atito co a atosfea. a) ; b) ; c) ; d) ; e) Depende do ângulo de lançaento. esposta: C 9. (ITA-87) A espeito da Lei da Gavitação Univesal podeos afia que: a) expie-se pela fóula P=g. b) pode se deduzida das Leis de Keple do oviento planetáio. c) evidencia a esfeicidade da Tea. d) iplica e que todos os ovientos planetáios seja ciculaes. e) é copatível co as Leis de Keple do oviento planetáio. 10. (ITA-89) U astonauta faz expeiências dento do seu satélite esféico, que está e óbita ao edo da Tea. Colocando co cuidado u objeto de assa 0 be no cento do satélite o astonauta obseva que o objeto anté sua posição ao longo do tepo. Baseado na 2ª Lei de Newton, u obsevado no Sol tenta explica esse fato co as hipóteses abaixo. Qual delas é coeta? a) Não existe foças atuando sobe o objeto ( o pópio astonauta sente-se ipondeável). b) Se a foça de gavitação da Tea está atuando sobe o objeto e este fica ióvel é poque existe ua foça centífuga oposta que a equiliba. c) A cacaça do satélite seve de blindage conta qualque foça extena. 40

41 d) As foças aplicadas pelo Sol e pela Lua equiliba a atação da Tea. e) A foça que age sobe o satélite é a da gavitação, as a velocidade tangencial v do satélite deve se tal que. esposta: E 11. (ITA-60) U pêndulo siples colocado nu satélite atificial cou, já e óbita: a) oscila co peíodo igual ao que possui na Tea. b) não oscila e si peanece paado e elação ao satélite. c) oscila co peíodo aio que o que possui na Tea. d) oscila co peíodo eno que o que possui na Tea. e) n.d.a. esposta: B 12. (ITA-81) U satélite atificial de diensões despezíveis gia e tono da Tea e óbita cicula de aio. Sua assa é e a da Tea é M ( ). Consideando a Tea coo ua esfea hoogênea e indicando a constante de gavitação univesal po G, podeos afia que: a) a aceleação noal do satélite é diigida paa o cento da Tea e sua aceleação tangencial vale. b) se a atação gavitacional pudesse se substituída pela ação de u cabo de assa despezível, ligando o satélite ao cento da Tea a tensão nesse cabo seia dada po. c) o peíodo de otação do satélite é. d) e elação ao satélite, a Tea pecoe ua cicunfeência de aio. e) a Tea é ataída pelo satélite co ua foça de intensidade vezes eno que a foça co a qual o satélite é ataído pela Tea. esposta: C nua óbita cicula, a elação ente a sua enegia cinética T e a enegia potencial gavitacional U seá: a) b) c) d) e) esposta: A 14. (ITA-80) U foguete lançado veticalente, da supefície da Tea, atinge ua altitude áxia igual a tês vezes o aio da Tea. Calcula a velocidade inicial do foguete. Considee M é a assa da Tea e G constante gavitacional. a) b) c) d) e) esposta: A 15. (ITA-88) Duas estelas de assa e 2 espectivaente, sepaadas po ua distância d e bastante afastadas de qualque outa assa consideável, executa ovientos ciculaes e tono do cento de assa cou. Nestas condições, o tepo T paa ua evolução copleta, a velocidade v(2) da estela aio, be coo a enegia ínia W paa sepaa copletaente as duas estelas são: a) b) T V(2) W 13. (ITA-86) Se colocaos u satélite atificial de assa giando ao edo de Mate ( ) 41

42 c) d) a) ; ; ; ; e) b) c) d) e) Nenhu dos valoes apesentados é adequado. esposta: C esposta: E 16. (ITA - 91) Considee u planeta cuja assa é o tiplo da assa da Tea e seu aio, o dobo do aio da Tea. Deteine a elação ente a velocidade de escape deste planeta e a da Tea (vp/vt) e a elação ente a aceleação gavitacional na supefície do planeta e da Tea (gp/gt). a) b) c) d) e e) Nenhua das anteioes esposta: B 17. (ITA-91) Considee a Tea coo sendo ua esfea de aio e assa M, unifoeente distibuída. U satélite atificial desceve ua óbita cicula a ua altua h da supefície da Tea, onde a aceleação gavitacional (sobe a óbita) é g. E teos de algaisos significativos, o quadado da velocidade do satélite é elho epesentado po: Dados: 18. (ITA - 91) U satélite atificial geo-estacionáio peanece acia de u eso ponto na supefície da Tea e ua óbita de aio. Usando u valo de paa o aio da Tea. A azão é apoxiadaente igual a: Dado: ( Na supefície teeste). a) 290 b) 66 c) 6,6 d) 11,2 e) Indeteinada pois a assa do satélite não é conhecida. esposta: C 19. (ITA-92) Na 3ª Lei de Keple, a constante de popocionalidade ente o cubo do sei-eixo aio da elipse (a) descita po u planeta e o quadado do peíodo (p) de tanslação do planeta, pode se deduzida do caso paticula do oviento cicula. Sendo G a constante da gavitação univesal, M a assa do Sol, o aio do Sol teos: a) b) c) d) 42

43 e) esposta: E 20. (ITA-93) Qual seia o peíodo (T) de otação da Tea e tono do seu eixo, paa que u objeto apoiado sobe a supefície da Tea no equado, ficasse despovido de peso? Dados: aio da Tea: ; Massa da Tea: ; Constante de Gavitação Univesal:. a) T=48 h b) T=12 h c) T=1,4 h d) T=2,8 h e) T=0 esposta: C 21. (ITA-94) As distâncias édias ao Sol dos seguintes planetas são: Tea: T; Mate: M=1,5T; Júpite: J=5,2T. Assi os peíodos de evolução de Mate (TM) e Júpite (TJ) e anos teestes (A) são: a) TM=1,5A; TJ=9,7A; b) TM=1,5A; TJ=11,0A; c) TM=1,8A; TJ=11,9A; d) TM=2,3A; TJ=14,8A; e) TM=3,6A; TJ=23,0A. esposta: C 21. (ITA ) Deixa-se cai u copo de assa da boca de u poço que atavessa a Tea, passando pelo seu cento. Despezando atitos e otação da Tea, paa /x/ o copo fica sob ação da foça F = -.g.x/, onde a aceleação gavitacional g = 10,0 /s 2, o aio da Tea = 6,4 x 10 6 e x é a distância do copo ao cento da Tea (oige de x).nestas condições podeos afia que o tepo de tânsito da boca do poço ao cento da Tea e a velocidade no cento são: a) 21 in e 11,3 x 10 3 /s b) 21 in e 8,0 x 10 3 /s c) 84 in e 8,0 x 10 3 /s d) 42 in e 11,3 x 10 3 /s e) 42 in e 8,0 x 10 3 /s esposta: B 22.(ITA-95) Considee que MT é assa da Tea, T o seu aio, g a aceleação da gavidade e G a constante de gavitação univesal. Da supefície teeste e veticalente paa cia, desejaos lança u copo de assa paa que, despezada a esistência do a ele se eleve a ua altua acia da supefície da Tea igual ao aio da Tea. A velocidade inicial V do copo neste caso deveá se de: a) b) c) d) e) esposta: C 23. (ITA-97) O pieio planeta descobeto foa do sistea sola, 51 Pegasi B, obita a estela 51 Pegasi, copletando ua evolução a cada 4,2 dias. A descobeta do 51 Pegasi B, feita po eios espectoscópicos, foi confiada logo e seguida po obsevação dieta do oviento peiódico da estela devido ao planeta que a obita. Concluiu-se que 51 Pegasi B obita a estela 51 Pegasi à 1/20 da distância ente o Sol e a Tea. Considee as seguintes afiações: se o sei-eixo aio da óbita do planeta 51 Pegasi B fosse 4 vezes aio do que é, então: 43

44 I) A aplitude do oviento peiódico da estela 51 Pegasi, coo visto da Tea, seia 4 vezes aio do que é. II) A velocidade áxia associada ao oviento peiódico da estela 51 Pegasi, coo visto da Tea, seia 4 vezes aio do que é. III) O peíodo de evolução do planeta 51 Pegasi B seia de 33,6 dias. a) Apenas I é coeta. b) I e II são coetas. c) I e III são coetas. d) II e III são coetas. e) As infoações fonecidas são insuficientes paa conclui quais são coetas. esposta: C 24. (ITA-98) Estia-se que, e alguns bilhões de anos, o aio édio da óbita da Lua estaá 50% aio do que é atualente. Naquela época, seu peíodo, que hoje é de 27,3 dias, seia: a) 14,1 dias. b) 18,2 dias. c) 27,3 dias. d) 41,0 dias. e) 50,2 dias. esposta: E 25. (ITA-99) Considee a Tea ua esfea hoogênea e que a aceleação da gavidade nos polos seja de 9,8/s2. O núeo pelo qual seia peciso ultiplica a velocidade de otação da Tea de odo que o peso de ua pessoa no Equado ficasse nulo é: a) 4π. b) 2π. c) 3. d) 10. e) 17. copiento do pêndulo a 0 C e que o elógio peaneça ao pé da toe, então a tepeatua paa a qual obté-se o eso ataso é dada pela elação: a) b) 2h h 2 h 2 h 2 L c) L (2h ) d) h 2 e) 2 h 27. (ITA-99) Suponha u cenáio de ficção científica e que a Tea é atingida po u ienso eteoo. E consequência do ipacto, soente o ódulo da velocidade da Tea é alteado, sendo V0 seu valo iediataente após o ipacto, coo osta a figua adiante. O eteoo colide co a Tea exataente na posição onde a distância ente a Tea e o Sol é ínia (distância OA = na figua). Considee a atação gavitacional execida pelo Sol, tido coo efeencial inecial, coo a única foça de inteação que atua sobe a Tea após a colisão, e designe po M a assa do Sol e po G a constante da gavitação univesal. Considee ainda que o oento angula da Tea seja consevado, isto é, a quantidade de ódulo..v.senα peanece constante ao longo da nova tajetóia elíptica da Tea e tono do Sol (nessa expessão, é a assa da Tea, é o ódulo do veto posição da Tea e elação ao Sol, V o ódulo da velocidade da Tea e α o ângulo ente e e V). A distância (OB), do apogeu ao cento do Sol, da tajetóia que a Tea passa a pecoe após o choque co o eteoo, é dada pela elação: esposta: E 26. (ITA-99) U elógio de pêndulo, constuído de u ateial de coeficiente de dilatação linea α, foi calibado a ua tepeatua de 0 C paa aca u segundo exato ao pé de ua toe de altua h. Elevando-se o elógio até o alto da toe obseva-se u ceto ataso, eso antendo-se a tepeatua constante. Consideando o aio da Tea, L o a) 44

45 b) V 2.G.M.V c) V G.M.V V.sen ( α) d) 2.G.M.V V G.M.V.sen ( α) e) esposta: A 28. (ITA-00) Ua casca esféica te aio inteno 1, aio exteno 2 e assa M distibuída unifoeente. Ua assa puntifoe está localizada no inteio dessa casca, a ua distância d de seu cento (1 < d < 2). O ódulo da foça gavitacional ente as assas é e) GM d d. esposta: E Sugestão do pofesso Hebet Aquino constua o gáfico da foça no exeplo acia e função da distância d ao cento da casca. 29. (ITA-00) O aio do hoizonte de eventos de u buaco nego coesponde à esfea dento da qual nada, ne eso a luz, escapa da atação gavitacional po ele execida. Po coincidência, esse aio pode se calculado não-elativisticaente coo o aio paa o qual a velocidade de escape é igual à velocidade da luz. Qual deve se o aio do hoizonte de eventos de u buaco nego co ua assa igual à assa da Tea? Dados: Massa da Tea: ; Constante de Gavitação Univesal: ; Velocidade da luz no vácuo: a) 9 μ. b) 9. c) 30 c. d) 90 c. e) 3 k. esposta: B a) 0. b) c) d) GM d d 2. GM 2 3 d 3 GM (ITA-02) U dos fenôenos da dinâica de galáxias, consideado coo evidência da existência de atéia escua, é que estelas gia e tono do cento de ua galáxia co a esa velocidade angula, independenteente de sua distância ao cento. Seja M1 e M2 as poções de assa (unifoeente distibuída) da galáxia no inteio de esfeas de aios e 2, espectivaente. Nestas condições, a elação ente essas assas é dada po: a) M2 = M1. b) M2 = 2M1. c) M2 = 4M1. d) M2 = 8M1. e) M2 = 16M1. esposta: D 31. (ITA-03) 45

46 Vaiações no capo gavitacional na supefície da Tea pode advi de iegulaidades na distibuição de sua assa. Considee a Tea coo ua esfea de aio e de densidade ρ, unifoe, co ua cavidade esféica de aio a, inteiaentente contida no seu inteio. A distância ente os centos O, da Tea, e C, da cavidade, é d, que pode vaia de 0 (zeo) até - a, causando, assi, ua vaiação do capo gavitacional e u ponto P, sobe a supefície da Tea, alinhado co O e C. (Veja a figua). Seja G1 a intensidade do capo gavitacional e P se a existência da cavidade na Tea, e G2, a intensidade do capo no eso ponto, consideando a existência da cavidade. Então, o valo áxio da vaiação elativa: (G1 - G2)/G1, que se obté ao desloca a posição da cavidade, é a) 3 a 2 a b) (a/)3. c) (a/)2. d) a/. e) nulo. esposta: D (ITA-03) Sabe-se que a atação gavitacional da lua sobe a caada de água é a pincipal esponsável pelo apaeciento de aés oceânicas na Tea. A figua osta a Tea, supostaente esféica, hoogeneaente ecobeta po ua caada de água. Nessas condições, considee as seguintes afiativas: I. As assas de água póxias das egiões A e B expeienta aés altas siultaneaente. II. As assas de água póxias das egiões A e B expeienta aés opostas, isto é, quando A te aé alta, B te aé baixa e vice-vesa. III. Duante o intevalo de tepo de u dia ocoe duas aés altas e duas aés baixas. Então, está(ão) coeta(s), apenas a) a afiativa I. b) a afiativa II. c) a afiativa III. d) as afiativas I e II. e) as afiativas I e III. esposta: E 33. (Ita 2004) Ua estela anté pesos, po eio de sua atação gavitacional, os planetas Alfa, Beta e Gaa. Todos desceve óbitas elípticas, e cujo foco cou se enconta a estela, confoe a pieia Lei de Keple. Sabe-se que o seieixo aio da óbita de Beta é o dobo daquele da óbita de Gaa. Sabe-se tabé que o peíodo de Alfa é vezes aio que o peíodo de Beta. Nestas condições, pode-se afia que a azão ente o peíodo de Alfa e o de Gaa é: a) 2. b) 2. c) 4. d) 4. e) esposta: C 34. (ITA-05) Satélite síncono é aquele que te sua óbita no plano do equado de u planeta, antendo- 46

47 se estacionáio e elação a este. Considee u satélite síncono e óbita de Júpite cuja assa é MJ = 1, kg e cujo aio é J = 7, Sendo a constante da gavitação univesal G = 6, kg-1 S-2 e consideando que o dia de Júpite é de apoxiadaente 10 h, deteine a altitude do satélite e elação à supefície desse planeta. esposta: 9, (ITA-05) Dois copos esféicos de assa M e 5M e aios e 2, espectivaente, são libeados no espaço live. Consideando que a única foça inteveniente seja a da atação gavitacional útua, e que seja de 12 a distância de sepaação inicial ente os centos dos copos, então, o espaço pecoido pelo copo eno até a colisão seá de a) 1,5 b) 2,5 c) 4,5 d) 7,5 e) 10,0 esposta: D 36. (ITA-07) Lançado veticalente da Tea co velocidade inicial V0, u paafuso de assa chega co velocidade nula na óbita de u satélite atificial, geoestacionáio e elação à Tea, que se situa na esa vetical. Despezando a esistência do a, deteine a velocidade V0 e função da aceleação da gavidade g na supefície da Tea, aio da Tea e altua h do satélite. esposta: 37. (ITA-08) A estela anã veelha Gliese 581 possui u planeta que, nu peíodo de 13 dias teestes, ealiza e tono da estela ua óbita cicula, cujo aio é igual a 1/14 da distância édia ente o Sol e a Tea. Sabendo que a assa do planeta é apoxiadaente igual à da Tea, pode-se dize que a azão ente as assas da Gliese 581 e do nosso Sol é de apoxiadaente: a) 0,05 b) 0,1 c) 0,6 d) 0,3 e) 4,0 esposta:d 38. (ITA-08) Nua dada balança, a leitua é baseada na defoação de ua ola quando u objeto é colocado sobe sua platafoa. Consideando a Tea coo ua esfea hoogênea, assinale a opção que indica ua posição da balança sobe a supefície teeste onde o objeto teá a aio leitua. a) Latitude de 45. b) Latitude de 60. c) Latitude de 90. d) E qualque ponto do Equado. e) A leitua independe da localização da balança já que a assa do objeto é invaiável. esposta: C 47

48 39. (ITA-09) Desde os idos de 1930, obsevações astonôicas indica a existência da chaada atéia escua. Tal atéia não eite luz, as a sua pesença é infeida pela influência gavitacional que ela exece sobe o oviento de estelas no inteio de galáxias. Suponha que, nua galáxia, possa se eovida sua atéia escua de assa específica ρ > 0, que se enconta unifoeente distibuída. Suponha tabé que no cento dessa galáxia haja u buaco nego de assa M, e volta do qual ua estela de assa desceve ua óbita cicula. Consideando óbitas de eso aio na pesença e na ausência de atéia escua, a espeito da foça gavitacional esultante F execida sobe a estela e seu efeito sobe o oviento desta, pode-se afia que: a) F é atativa e a velocidade obital de não se altea na pesença da atéia escua. b) F é atativa e a velocidade obital de é eno na pesença da atéia escua. c) F é atativa e a velocidade obital de é aio na pesença da atéia escua. d) F é epulsiva e a velocidade obital de é aio na pesença da atéia escua. e) F é epulsiva e a velocidade obital de é eno na pesença da atéia escua. esposta: C 40. (ITA-09) Lua e Sol são os pincipais esponsáveis pelas foças de aé. Estas são poduzidas devido às difeenças na aceleação gavitacional sofida po assas distibuídas na Tea e azão das espectivas difeenças de suas distâncias e elação a esses astos. A figua osta duas assas iguais, 1 = 2 =, dispostas sobe a supefície da Tea e posições diaetalente opostas e alinhadas e elação à Lua, be coo ua assa 0 = situada no cento da Tea. Considee G a constante de gavitação univesal, M a assa da Lua, o aio da Tea e a distância ente os centos da Tea e da Lua. Considee, tabé, f0z, f1z e f2z as foças poduzidas pela Lua espectivaente sobe as assas 0, 1 e 2. Deteine as difeenças (f1z f0z) e (f2z f0z) sabendo que deveá usa a apoxiação,quando esposta: f1z f0z = GM f2z f0z = 2GM (ITA-10) Considee a Tea coo ua esfea hoogênea de aio que gia co velocidade angula unifoe ω e tono do seu pópio eixo Note-Sul. Na hipótese de ausência de otação da Tea, sabe-se que a aceleação da gavidade seia dada po g = G M/ 2. Coo ω 0, u copo e epouso na supefície da Tea na ealidade fica sujeito foçosaente a u peso apaente, que pode se edido, po exeplo, po u dinaôeto, cuja dieção pode não passa pelo cento do planeta. Então, o peso apaente de u copo de assa e epouso na supefície da Tea a ua latitude λ é dado po a) g ω2cos λ. b) g ω2sen2 λ g 1 2ω / g ω / g sen λ c) g 1 2ω / g ω / g cos λ d)

49 e) g 12ω / g ω / g sen λ. e) ais longo apoxiadaente u quato do que ea antes. esposta: D 42. (ITA-10) Considee u segento de eta que liga o cento de qualque planeta do sistea sola ao cento do Sol. De acodo co a 2ª Lei de Keple, tal segento pecoe áeas iguais e tepos iguais. Considee, então, que e dado instante deixasse de existi o efeito da gavitação ente o Sol e o planeta. Assinale a altenativa coeta. a) O segento de eta e questão continuaia a pecoe áeas iguais e tepos iguais. b) A óbita do planeta continuaia a se elíptica, poe co focos difeentes e a 2ª Lei de Keple continuaia válida. c) A óbita do planeta deixaia de se elíptica e a 2ª Lei de Keple não seia ais válida. d) A 2ª Lei de Keple só é valida quando se considea ua foça que depende do inveso do quadado das distâncias ente os copos e, potanto, deixaia de se válida. e) O planeta iia se diigi e dieção ao Sol. esposta: A 43. (ITA-10) Deive a 3ª Lei de Keple do oviento planetáio a pati da Lei da Gavitação Univesal de Newton consideando óbitas ciculaes. esposta: Ve co o pofesso 44. (ITA-11) Na ficção científica A Estela, de H.G. Wells, u gande asteoide passa póxio a Tea que, e consequência, fica co sua nova obita ais póxia do Sol e te seu ciclo luna alteado paa 80 dias. Pode-se conclui que, após o fenôeno, o ano teeste e a distância Tea-Lua vão tona-se, espectivaente, a) ais cuto apoxiadaente a etade do que ea antes. b) ais cuto apoxiadaente duas vezes o que ea antes. c) ais cuto apoxiadaente quato vezes o que ea antes. d) ais longo apoxiadaente a etade do que ea antes. esposta: B 45. (UFPI-PSE) Suponha que u asteóide esféico, de aio, possui ua cavidade esféica de aio /4, confoe a figua a segui: A pate aciça do asteóide é hoogênea. Se sua cavidade fosse peenchida co igual densidade, sua assa seia M. A aceleação da gavidade no ponto S da supefície do asteóide vale: a) b) c) d) e) esposta: C (Falta confei) 46. (ITA-Modificada) O pofesso Hebet Aquino pede que você deteine o tabalho necessáio paa leva a patícula de assa do ponto A até o ponto B, e função da constante de gavitação G, quando essa patícula se enconta sob a ação de 2 assas, M e 2M, confoe indica a figua abaixo. Obsevação: Faze a figua 47. (P.Lucie) Ua nave espacial tipulada po acianos chega à vizinhança da Tea (de assa M) 49