Prof. Dirceu Pereira

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1 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica 3.4. OÇAS EM TAJETÓIAS CUILÍNEAS Se lançamos um copo hoizontalmente, póximo a supefície da Tea, com uma velocidade inicial de gande intensidade, da odem de 8 km/s km/h, o copo ficaá em óbita cicula em tono da Tea (figua 7). Esse é o caso dos satélites. A foça de atação da Tea sobe o satélite altea a dieção de sua velocidade, dando-lhe a aceleação centípeta necessáia paa pemanece em óbita. atuantes seá a foça centípeta, oientada paa o cento da tajetóia. Assim, do pincípio fundamental da Dinâmica, temos que: m a ESULTANTE CENTÍPETA E TANGENCIAL Neste caso, temos apenas uma foça atuando, que é a foça de atação gavitacional. Neste caso, esta foça equivale à foça centípeta. Considee, agoa, uma bola de feo pesa a um fio e que desceve uma cicunfeência hoizontal, confome mosta a figua 8. Sobe a bola atuam as foças peso P e tação do fio T, que lhe gaantem a aceleação centípeta. Neste caso, a foça centípeta é a soma vetoial da foça de tação no fio e do peso da bola, ou seja, P + T No item anteio, consideamos o movimento cicula unifome e, potanto, a esultante das foças que agiam no copo, oientada paa o cento da tajetóia. Entetanto, se a foça esultante não estive oientada paa o cento da tajetóia, o que ocoe nos movimentos cuvilíneos vaiados (figua 0), podemos decompo nas dieções nomal e tangente à tajetóia. A esultante das foças nomais à tajetóia é a esultante centípeta, esponsável pela vaiação da dieção da velocidade. A esultante das foças tangentes à tajetóia é a esultante tangencial t, esponsável pela vaiação do módulo de. Pelos exemplos acima, podemos conclui que, toda vez que um copo desceve uma cuva, sua velocidade vetoial vaia em dieção. Paa que isso ocoa, pelo pincípio fundamental da Dinâmica, as foças que atuam no copo devem gaanti a aceleação centípeta ESULTANTE CENTÍPETA Na figua 9, temos um copo de massa m ealizando um movimento plano, cuvilíneo e unifome sob ação das foças mostadas. Po se um movimento cuvilíneo, a aceleação é centípeta e a esultante das foças A esultante centípeta poduz a aceleação centípeta a e a esultante tangencial poduz a aceleação tangencial a t. Pelo pincípio da Dinâmica, temos: m a e m a Lembe que no movimento cicula unifome t 0 e a esultante das foças é a pópia foça centípeta. t t Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes

2 Polícia odoviáia edeal eja o pêndulo da figua. A foça de tação no fio T tem dieção nomal à tajetóia e o peso P é decomposto nas dieções nomal (P n ) e tangencial (P t ), confome a indica a posição A do pêndulo. Concluímos que as esultantes, centípeta e tangencial, têm módulo: T P cos θ e P senθ Quando a esfea passa pela posição mais baixa (), as foças T e P têm dieção nomal à tajetóia e, nesse instante: T P e 0 t t Pof. Diceu Peeia ísica Essa foça cf é chamada foça centífuga e somente existe em elação a efeenciais não-ineciais. Paa o obsevado exteio fixo na estada (efeencial inecial), a foça centífuga não existe. A foça centífuga não é eação da foça centípeta. A foça centífuga é uma foça de inécia EECÍCIOS ESOLIDOS 8) Um motociclista executa manobas dento do globo da mote, em um cico. O aio inteno do globo é,5 m. Adote g 0 m/s². Detee a mínima velocidade que a motocicleta deve te paa não pede contato com a supefície esféica. eja a figua abaixo. À medida que a moto sobe, tende a pede contato com a pista e o ponto cítico é o supeio. Considee o copo nessa posição supeio. Nele atuam o peso P e a nomal esultante centípeta. n, que dão a OÇA EM EEENCIAL NÃO-INECIAL Considee um cao numa cuva de aio. Paa um obsevado exteio fixo na estada (efeencial inecial), o veículo tende a sai pela tangente consevando sua velocidade, pelo pincípio da inécia. Paa esse obsevado exteio, as foças que atuam no veículo, peso P, nomal n e atito de escoegamento lateal at altea a dieção da velocidade., gaantem a esultante centípeta, que n n m a + P m a + P m m () Po essa fómula, à medida que decesce a velocidade, diui também a foça de contato n, pois P, m e são constantes. Sendo assim, a velocidade mínima paa se faze a cuva ocoe quando n 0. Obseve que o copo não cai, pois possui velocidade tangencial. Na fómula (), quando n 0. O fenômeno, poém, é difeente paa um obsevado no inteio do pópio cao, pois este possui aceleação em elação à estada e, po isso, é um efeencial nãoinecial. Esse obsevado inteio sente-se atiado paa foa do cao na cuva e intepeta o fenômeno consideando uma foça cf em elação ao pópio cao. n + P m g 5 m / s 8 km / h esposta: 8 km/h o + P m,5 0 m g m 5 9) Uma massa m está pesa a um fio inextensível, de peso despezível, e gia num plano hoizontal Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes

3 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica constituindo um pêndulo cônico. Se o compimento do fio é L m e o ângulo que o fio foma com a vetical é θ 60º (cos60º 0,5), detee a velocidade angula ω de otação da massa m. Adote g 0 m/s². Na massa pendula atuam o peso P e a tação T. A esultante centípeta é a soma de P e T confome se indica no diagama de foças. Pela equação fundamental da Dinâmica: UNIDADE 4 ESTÁTICA Do pincípio fundamental da Dinâmica, sabemos que: A esultante das foças aplicadas a um ponto mateial é igual ao poduto de sua massa pela aceleação adquiida: m a Se um copo está em epouso, sua velocidade é constante e igual a zeo. Sua aceleação também seá igual a zeo. m a m ϖ () Do tiângulo destacado da figua abaixo, vem: tanθ P m ϖ ϖ tanθ m g m g g ( ) Do pincípio acima, temos que a esultante de um sistema de foças que agem sobe um copo em epouso seá nula, o que coloca o copo em equilíbio estático. A Estática é o caso paticula da Dinâmica em que a esultante de um sistema de foças que agem sobe um copo é nula. Na Estática também são válidos e aplicáveis os pincípios da inécia (ª lei de Newton) e da ação-e-eação (3ª lei de Newton). 4.. UM POUCO MAIS SOE ETOES Considee um sistema de foças confome figua. O aio, poém, depende do compimento L do fio. Da elação tigonomética do tiângulo etângulo, tiamos que: L senθ (3 ) Substituindo (3) na fómula () e consideando senθ tan θ, obtemos: cosθ ϖ ϖ L senθ senθ ϖ tanθ g g cosθ g g ϖ ϖ (4 ) L cosθ L cosθ L senθ g Substituindo os dados do poblema na fómula (4), vem: 0 ϖ ϖ 0 ϖ 3, ad / s 0,5 esposta: 3, ad/s imos na Unidade, o método gáfico paa a soma e subtação de vetoes. Poém, podemos, atavés da pojeção do paalelogamo acima segundo eixos catesianos, enconta expessões matemáticas que nos pemitam faze tais opeações. Paa o caso da soma de dois vetoes, temos, em módulo: + + cos θ Paa o caso da subtação de dois vetoes, temos, em módulo: + cos θ Se θ 90º, temos que cos90º 0 e os vetoes fomam um tiângulo etângulo. Daí, temos que: + tanto paa a soma como paa a subtação, o que é coeente com o método gáfico. Alguns lembetes são impotantes: ) no método gáfico, a odem de colocação dos vetoes não altea o esultado final; Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 3

4 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ) se a extemidade do último veto coincidi com a oigem do pimeio, ou seja, tivemos uma linha poligonal fechada, veto esultante seá zeo; 3) dois vetoes seão iguais quando tiveem o mesmo módulo, a mesma dieção e o mesmo sentido. 0,86 T 0,50 P T,7 P 4.. EQUILÍIO DE UM PONTO MATEIAL amos estuda este assunto atavés de um exemplo. Considee a figua que epesenta um sistema em equilíbio, na iência de movimento. Detee o coeficiente de atito ente o copo A e o plano hoizontal. Os fios são inextensíveis e de massa despezível. Os pesos dos copos A e são, espectivamente, 40 N e P 0 N (senφ 0,50 e cosφ 0,86). De (), sendo T µ p A, vem: µ P A,7 P Logo : µ 0,86 µ 40,7 0 onde µ 0,86 Potanto, paa que o sistema pemaneça em equilíbio estático, o coeficiente de atito estático deve se de, no mínimo, 0,86. Sabemos que o sistema está em epouso. Potanto, a foça esultante que age sobe o ponto O deve se zeo. amos analisa o diagama de copo live paa o bloco A MOMENTO DE UMA OÇA EM ELAÇÃO A UM PONTO Chama-se momento de uma foça aplicada num ponto P, em elação a um ponto O, ao poduto da intensidade da foça pela distância d do ponto O à linha de ação da foça, confome mosta a figua 3. M ± d O bloco A é puxado pelo bloco geando uma tensão T no fio. A tendência de movimento é esistida pela foça de atito at, a qual é esultado do poduto da foça nomal N, decoente do peso P do bloco com o coeficiente de atito µ. As igualdades mostadas na figua acima demonstam que o bloco A está em equilíbio estático, donde podemos tia que: P A N T µ Do ponto C em equilíbio, temos: T cos θ T 0 T 0,86 T T senθ P p 0 T 0,50 P A () () (3) Dividindo-se, membo a membo, () po (3), esulta: O momento, também chamado de toque, pode se positivo ou negativo. Po convenção, adota-se: (+) a foça poduz otação no sentido anti-hoáio; (-) a foça poduz otação no sentido hoáio. A unidade de momento, ou toque, no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o Newton vezes meto (N.m), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos, quando necessáio. Costumeiamente, chamamos o ponto O de pólo e a distância d de baço. Daí, o famoso temo baço de alavanca. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 4

5 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica 4.4. INÁIO Na figua 4, temos duas foças de mesma intensidade, mesma dieção e sentidos opostos, cujos pontos de aplicação estão a uma ceta distância d ente si. Potanto, o sistema de foças que age sobe um copo em equilíbio deve se tal que: a) a esultante do sistema de foças seja nula (equilíbio de tanslação); n n 0 0 b) a soma algébica dos momentos das foças do sistema, em elação a qualque ponto, seja nula (equilíbio de otação). MO M + M + M3 +...M n 0 A distância d é chamada de baço de bináio. O momento do bináio é a soma algébica dos momentos das foças que o constituem. Desta foma, adotando-se um pólo abitáio C, confome figua 5, e levando em consideação a convenção de sinais, temos: M + a b M (a b) 4.6. TEOEMA DAS TÊS OÇAS onte: Os undamentos da ísica Mecânica amalho-nicolau-toledo, 8ª Ed., Editoa Modena. Se um copo estive em equilíbio sob a ação exclusiva de tês foças, estas deveão se coplanaes e suas linhas de ação seão, necessaiamente, concoentes num único ponto ou paalelas. M d Da expessão M.d, concluímos que o momento de um bináio independe do pólo C adotado. O sentido do momento do bináio da figua 5 é antihoáio, e, potanto, positivo, confome convenção adotada. Se aplicamos um bináio a um copo inicialmente em epouso, este não alteaá o seu estado de tanslação, mas tendeá a te movimento não-unifome de otação devido ao momento do bináio EQUILÍIO DOS COPOS ETENSOS amos entende melho este teoema atavés de um exemplo. Uma escada A enconta-se apoiada em uma paede lisa. Na figua 7, epesentamos duas das tês foças que atuam sobe a escada: o peso P e a foça execida pela paede. Podemos obte gaficamente a dieção da foça, que o chão exece na escada, na posição de equilíbio. asta detea o ponto C (ponto de concoência das linhas de ação de e P ) paa conclui que a linha de ação de é a eta deteada pelos pontos C e. Quando estudamos a Mecânica atavés de um ponto mateial, consideamos que este ponto possuía somente movimento de tanslação, etilíneo ou cicula, uma vez que suas dimensões eam despezíveis. Ao estudamos os copos extensos, pecisamos considea suas dimensões e, potanto, leva em conta que uma esultante de foças não-nula podeá impo a este copo um movimento de tanslação, um movimento de otação, ou ambos. Assim, uma esultante de foças coplanaes nula manteá o copo em equilíbio estático ou equilíbio dinâmico. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 5

6 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica 4.7. CENTO DE GAIDADE E CENTO DE MASSA onte: Os undamentos da ísica Mecânica amalho-nicolau-toledo, 8ª Ed., Editoa Modena. O ponto de aplicação do peso de um copo é denoado cento de gavidade (CG) ou baicento. É um ponto no qual, podemos imagina, concenta-se todo o peso do copo. Se o copo fo homogêneo e apesenta um elemento de simetia, o cento de gavidade coincidiá com o cento geomético deste copo (figua 8). A aticulação pemite que a baa gie no plano da figua em tono de A. A pincípio não sabemos em que dieção e sentido a foça de eação da aticulação na baa estaá agindo. amos então, no diagama de copo live abaixo, considea suas componentes x e y, confome mostado. O ponto no qual podemos considea concentada toda a massa de um copo é denoado cento de massa. Nos locais onde a aceleação da gavidade pode se consideada constante, o cento de gavidade coincide com o cento de massa. Um copo que se enconta no espaço, live da atação gavitacional da Tea e de outos copos celestes, tem cento de massa, mas não tem cento de gavidade TIPOS DE EQUILÍIO DE UM COPO Temos tês tipos de equilíbio: estável, instável e indifeente. Equilíbio estável: O copo, sendo movido de sua posição inicial de equilíbio, etona a esta após cessa a foça que poduziu o movimento. Equilíbio instável: O copo, sendo movido de sua posição inicial de equilíbio, afasta-se ainda mais desta de equilíbio. Equilíbio indifeente: O copo, sendo movido de sua posição inicial de equilíbio, iá atingi uma nova condição de equilíbio em outa posição EECÍCIOS ESOLIDOS ) Um viga A de secção eta e unifome está aticulada em A e é mantida na posição hoizontal pelo fio, inextensível e de massa despezível, C. Em sua extemidade, a baa, com peso de 500 N, suspende uma esfea maciça D com peso de 00 N. Detee a tacão no fio C e as eações hoizontal e vetical da aticulação A. São dados senφ 0,50 e cosφ 0,86. Note que a esfea tem peso 00 N atuando como indicado. A baa tem seu peso de 500 N aplicado no seu cento de gavidade, com sentido paa baixo. O somatóio destes pesos povoca a eação de tação T no fio, que pode se decomposta em suas componentes T x e T y. amos impo as condições de equilíbio da baa A. ) esultante das foças deve se nula: y 0 T cos ϕ 0 T () T senϕ 0 + T senϕ ( ) T T cos ϕ 0 0 ) Soma algébica dos momentos em elação ao ponto deve se nula. d d M N Substituindo o valo encontado de y na equação (), esulta: 50 + T 0,5 700 T 900 N Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 6

7 Polícia odoviáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica Da equação (), podemos enconta o valo de x atavés da substituição de T pelo seu valo encontado: 900 0, N Se x ou y esultassem negativo, significaia que os sentidos adotados no início não foam coetos. Em geal, escolhe-se como pólo o ponto em elação ao qual a maioia das foças tem momento nulo. esposta: 494 N, 50 N,T 900 N ) Considee uma tábua de madeia A 3 m, eta, plana e homogênea, suficientemente ígida, de peso 40 N, fixa e aticulada em um pisma na posição P, confome mosta a figua abaixo. Em sua extemidade A, é suspenso um bloco C de massa 00 kg. No outo lado do pisma, sobe a tábua, sobe um iogue, de massa 80 kg, e se posiciona em D. Considee g 0 m/s² e detee a distância AD paa que a tábua tenha equilíbio estável na posição hoizontal. Paa esolve este poblema, basta fazemos a soma algébica dos momentos em elação ao ponto P e toná-lo nulo. açamos o diagama de copo live da tábua. M P , (d ) d 70 d 0,9 m esposta: d 0,9 m Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 7

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