Torque Eletromagnético de Máquinas CA. com Entreferro Constante

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1 1. Intodução Apotila 4 Diciplina de Coneão de Enegia B Toque Eletoagnético de Máquina CA co Entefeo Contante Neta apotila ão abodado o pincipai apecto elacionado co a podução de toque e áquina de coente altenada. A abodage é baeada nua áquina eleenta idealizada. Ua ez entendo o pincípio báico enolido neta análie, ela pode e facilente etenda paa áquina ai coplexa, copota de enolaento tifáico. O conteúdo deta apotila enconta-e detalhado no lio incado no início do eete, epecialente no capítulo 4 do lio Máquina Elética do auto A. E. Fitzgeald, o qual aconelha-e conulta. Confoe pode e eificado conultando-e a bibliogafia, exite áia abodagen poíei paa a obtenção da equação fundaentai de ua áquina elética. De acodo ponto de ita adotado neta apotila, a áquina é ita coo u conjunto de cicuito elético agneticaente acoplado, pate dele localizado no oto e pate no etato. A indutância útua aia quando houe oiento elatio ente o oto e o etato. Dento deta abodage, o fluxo concatenado e a enegia agnética da áquina eão ai expeo coo funçõe da indutância útua e pópia de cada enolaento. A tenão induzida e cada enolaento eá dada, então, pela aiação do fluxo concatenado, a qual conideada junto co a queda de tenão na eitência do enolaento e a tenão extena aplicada eultaá na equação de alha paa o enolaento e quetão. Po outo lado, o toque podeá e obtido po u balanço de potência. Altenatiaente o toque tabé pode e obtido a pati da deiada pacial da co-enegia agnética do capo e elação à poição do oto, confoe já etudado anteioente. Depezando-e o efeito de atuação agnética, pode-e conidea a elação ente fluxo e coente linea. Nete cao, a enegia e co-enegia agnética eão idêntica podendo-e tabé obte o toque a pati da deiada pacial da enegia, ao iné da co-enegia. A equaçõe de toque e a de tenão decee copletaente o copotaento da áquina, tanto e egie tanitóio (copotaento nâico) coo e egie peanente.

2 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante. Equaçõe Báica da Máquina Eleenta O entenento da foa de podução de toque da áquina CA pode e entendo conideando-e a áquina eleenta co entefeo contante e de doi pólo otada na figua 1a. A figua 1b é ua epeentação equeática da figua 1a, a qual elaciona a bobina co ua epeentação cou de enolaento, etudada eixo agnético do en. do etato θ eixo agnético do en. do oto (a) i oto i -i ω -i etato eixo agn. do etato i i eixo ag. do oto (b) ω θ figua 1 : (a) áquina eleenta de pólo e enolaento tibuído no oto e no etato, (b) epeentação equeática do enolaento

3 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante e cicuito elético. A áquina poui apena u enolaento no etato e outo no oto, o quai ão conideado coo tibuído, de tal foa que o capo ciado po ele pode e analiado conideando-e apena a fundaental. O ângulo θ epeenta o defaaento epacial ente o eixo agnético do oto e do etato. Quando o oto gia ete ângulo aia. O alo θ=0 coeponde a poição e que abo o eixo coincide, ou eja o capo agnético poduzido pelo oto e etato etão alinhado. Depezando-e o efeito de atuação e a toção do capo cauada pela peença da anhua onde o enolaento do etato etá alojado, pode -e ati que a indutância pópia de cada enolaento não aia co poição do oto, ou eja ela ão contante independente de θ. Ela ão epeentada po L (etato) e L (oto). Analiando-e a figua 1a e 1b, poe-e contata que a indutância útua ente oto e etato aia ente u áxio e u ínio. Quando o eixo do oto e etato coincide a indutância útua é áxia; quando ele etão delocado de u quato de olta do oto (u quato de peíodo) o alo da indutância útua é zeo. Ua ez que apena a coponente fundaentai do capo ão toada e conta, a indutância útua aia enoidalente co a poição do oto, de acodo co a equação: L ( θ ) = M co( θ) (1) M - alo áxio da indutância útua, o qual é obtido co θ = 0. O fluxo concatenado pode e obtido e função da coente do etato e do oto e da indutância pópia e útua: Ψ = L i M co( θ) i () Ψ = M co( θ) i L i (3) Ψ - fluxo concatenado co o enolaento do etato Ψ - fluxo concatenado co o enolaento do oto i - coente do enolaento do etato i - coente do enolaento do oto Conideando a tenão induzida e cada enolaento, dada pela aiação tepoal do fluxo concatenado co o eo, e a Lei da Tenõe de Kichhoff, obté-e a eguinte equaçõe de alha paa o cicuito do oto e do etato: dψ = R i (4) dψ = R i (5) 3

4 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante i R i L M co( θ) i M en( θ) ω figua : cicuito equialente do etato e a queda de tenão que copõe a equação de alha do etato. - tenão aplicada ao enolaento do etato - tenão aplicada ao enolaento do oto R - Reitência do enolaento do etato R - Reitência do enolaento do oto Conideando-e a equaçõe (), (3), a equaçõe de alha toa a eguinte foa: = R i L M co( θ) i M en( θ) ω (6) = R i L M co( θ) i M en( θ) ω (7) ω = dθ - elocidade angula do oto (ad/) A equação de alha de cada cicuito conté, alé da queda de tenão na eitência, tê teo que eulta da aiação do fluxo no tepo. Ete teo ão analiado no que egue toando coo bae a equação de alha do etato, a qual etá epeentada no cicuito equialente do oto na figua. O teo do oto poue ua intepetação idêntica: R i - queda de tenão na eitência do etato; 4

5 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante L - tenão induzida deido à peença da indutância pópia; exite apena quando a coente enolaento do etato aia no tepo; ete teo exite independente do oto eta paado ou e oiento; M co( θ) - tenão induzida deido à exitência da indutância útua ente oto e etato; exite epe que a coente do oto aia no tepo; depende do alo da indutância útua que coeponde à poição do oto; ete teo tabé exite independente do oto eta e oiento ou não. Ete Teo é chaada de tenão induzida de tanfoação. i M en( θ) ω - tenão induzida deido ao acoplaento agnético ente oto e etato (indutância útua) e tabé deida ao oiento elatio ente etato e oto; ó exite quando houe oiento elatio ente oto e etato. Ete teo é chaado tabé de tenão induzida de oiento. Dee-e alienta que ó ocoe coneão de enegia elética e enegia ecânica, e ice-ea, quando a tenão induzida de oiento fo feente de zeo. Eta tenão é epeentada pelo últio teo da equação (6) e (7). 3. Equação de Potência e Toque Eletoagnético Pode-e obte ua equação de balanço de potência a pati da equação de alha do etato (ou altenatiaente do oto) ultiplicando-e a equação de alha pela coente: ω (8) i = R i L i M co( θ) i i i M en( θ) Pode-e eifica que equação acia epeenta u balanço de potência do eguinte tipo: potência de entada=peda aiação da enegia agnética potência ecânica A potência de entada, dada po i, é fonecida pela fonte ligada ao etato. Ua pate deta potência é uada paa upi a peda do enolaento (pieio teo na eq. (8), R i ). Outa ate deta potência etá elacionada co a enegia agnética que eá aazenada no capo agnético (egundo e teceio teo na eq. (8), dado pela expeão L i M co( θ) i ). O etante é fonecido coo potência ecânica fonecida no eixo. A potência ecânica é dada potanto coo: P T ω = i i M en( θ) = ω (9) 5

6 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante P - potência ecânica T - toque eletoagnético aplicado no eixo Pela últia expeão, o toque pode e expeado coo: T = i i M en( θ) (10) Po outo lado, o toque pode e calculado a pati da expeão da co-enegia agnética, a qual paa a áquina eleenta otada na figua 1 poui a eguinte expeão: 1 1 W( θ ) = L i L i M i i co( θ) (11) Ua ez que e depezou o efeito de atuação, a expeão acia é idêntica à expeão da enegia agnética. Confoe ito na ciplina de Coneão de Enegia A, o toque eletoagnético pode e obtido coo: W( θ) T = (1) θ Conideando a equação (11) eulta, então paa o toque: () θ W T = = i i M en( θ) (13) θ Confoe epeado, a expeão obtida paa o toque a pati da co-enegia agnética é idêntica à expeão anteio. O inal negatio na expeão do toque ignifica que o entido do toque eletoagnético é epe no entido de faze co que o capo do etato e do oto e alinhe, ou eja o toque atua no entido de inui o ângulo θ. A expeõe obtida até ete ponto foa baeada nua áquina co doi pólo. Conideando ua áquina co p pólo, exitiá a eguinte elação ente o ângulo ecânico e o ângulo elético: θ θ = (14) p θ - ângulo ecânico de defaage ente o eixo agnético do etato e do oto Nete cao a expeõe do toque aue a eguinte foa: p p p T = i i M en( θ) = i i M en( θ) (15) 6

7 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante É inteeante alienta que, eboa o núeo de pólo apaeça ultiplicando equação do toque, ele não afeta etaente o toque fonecido pela áquina. Ito é explicado pelo fato que ao e auenta o núeo de pólo o alo áxio da indutância útua e eduz na ea popoção, deixando o toque paticaente inalteado. Ai, o núeo de pólo não auenta etaente a potência e o toque da áquina. Exite, no entanto, outo fatoe que peite que o toque fonecido auente u pouco auentando-e o núeo de pólo da áquina. Tata-e de fatoe ecundáio que afeta potência inetaente e e pequena popoção. O toque fonecido depende baicaente do olue de ateial atio epegado (cobefeo) e do gau de caegaento elético e agnético a que o ateiai etão ubetido (denidade de coente do condutoe e denidade de fluxo na pate feoagnética). E geal o ateiai tabalha dento de liite be conhecido, otio pelo qual pode e afiado que o toque da áquina elética depende paticaente do olue de ateial atio epegado. 4. Equação Mecânica A fi de deteina o copotaento do itea foado pela áquina ai a caga (ou outo itea ecânico a ela acoplado) tona-e neceáio etabelece a equação ecânica do oiento, a qual é obtida a pati da Lei de Newton coo endo (figua 3): θ d dθ J B K θ = T TL (16) dθ = ω (17) d θ dω = T L - toque eitente, o qual depende do itea ecânico acoplado ao eixo da (18) J T T l ω figua 3 : epeentação equeática do toque que atua no oto. 7

8 Apotila 4 - Coneão de Enegia B - Toque Eletoagnético e Máquina de CA co Entefeo Contante áquina (N.) B - contante de aoteciento otacional, epeentaa peda ecânica ( N K - contante de ola otacional ( ) ad N ad/ N J - oento de inécia da áquina ai o do itea a ela acoplado ( ) ad/ A equação (15)-(16) juntaente co a equaçõe (6) e (7) ão a equaçõe báica que decee o copotaento da áquina eleenta da figua 1 ligada a u itea ecânico qualque. No cao de u oto o itea ecânico nada ai é do que a caga e o toque eitente é epeentado pelo toque eitente da caga. Tata-e de u conjunto de equaçõe feenciai, cuja olução pode e obtida pelo étodo conhecido. Pode-e tabé etuda o copotaento do itea po eio de u do uito pogaa de iulação nuéica que ão atualente poníei (Matlab, Mathcad, Ppice, ViSi, etc...). O poceento adotado neta apotila pode e tabé aplicado paa o cao ai geal e que exite áio enolaento no etato e áio enolaento no oto. Cada u dele pouiá ua indutância pópia e útua contante. Ua ez que o entefeo é contante a indutância útua ente o enolaento do etato eão contante. Alé deta, haeá indutância útua ente oto e etato, a quai dependeão da poição do oto. Paa cada enolaento podeá haeá ua equação de alha, idêntica à etudada neta apotila. O toque tabé podeá e obtido de foa idêntica à apeentada aqui, apena que a equação do balanço de potência e da coenegia agnética conteão u núeo aio de teo. 5. Execício Popoto Conidee o equea otado na figua 1, onde o aanjo iplificado de ua áquina eleenta etá epeentado. A indutância pópia ão: L = 10 H (etato) e L = 40 H (oto). A indutância útua é dada po L ( θ ) = 19 co( θ) H. A eitência do etato e do oto ão depezíei. A coente que cicula no oto é do tipo contínua e de alo igual a i = 1 A. O oto gia a ua feqüência contante de 60 Hz. A. Deteine o que egue: a) O fluxo concatenado co o enolaento do etato e azio (ou eja, quando i = 0 ); b) a expeão da tenão induzida e azio no etato; c) o alo áxio e o alo eficaz da tenão induzida a azio no etato; d) conideando que a coente no etato eja de i (t) = 10 co(377 t), deteine a expeão do toque e da potência ecânica no eixo; e) eboce o gáfico da potência e função do tepo e deteine qual a potência éa e a áxia tanfeida à caga. ) 8