No interior do horizonte de um buraco negro de Schwarzschild

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1 No inteio do hoizonte de um buaco nego de Schwazschild Matheus Peeia Lobo Instituto de Física Teóica, Uniesidade Estadual Paulista, Rua Pamplona 145, , São Paulo, SP, Basil Resumo O conceito de um buaco nego newtoniano é discutido leando a um hoizonte de eentos que coincide com o aio de Schwazschild A mética de Schwazschild é apesentada e em seguida é deduzido um sistema de coodenadas no qual não há singulaidades no hoizonte de eentos A pati desse sistema de coodenadas é calculado o tempo pópio que um obseado lea paa pecoe a distância do hoizonte ao cento de um buaco nego de Schwazschild Em seguida é definida uma egião de desconfoto, no qual um obseado em lie começa a se esticado com uma foça equialente ao seu peso Finalmente, a duação do desconfoto duante a é calculada e conclui-se que esse tempo ale 0,3 segundo paa todo e qualque buaco nego de Schwazschild 1 Intodução A idéia sobe a existência de estelas escuas", hoje denominados buacos negos, é antiga e data, pelo menos, do final do século XVIII Em 1784, o geólogo e astônomo John Michell especulou sobe a existência de copos celestes tão massios que nem mesmo a luz seia capaz de escapa de sua atação gaitacional [1] Seus cálculos baseaam-se na teoia de Newton em que a luz ea constituída de patículas Michell supôs coetamente que as patículas de luz eam ataídas gaitacionalmente do mesmo modo que outos copos massios Ele agumentou que, paa um copo escapa pemanentemente de um campo gaitacional, o mesmo dee se lançado da supefície com uma elocidade mínima - a elocidade de escape No caso da Tea, po exemplo, a elocidade de escape é de 11, km/s Michell obseou que, se a massa de um objeto fosse gande o suficiente, a elocidade de escape seia supeio à elocidade da luz Dessa foma, a luz poeniente do copo não chegaia a um obseado distante tonando-o escuo Alguns anos mais tade essas idéias foam defendidas pelo famoso matemático fancês Piee Laplace Apesa da econhecida eputação de Laplace como cientista, a especulação sobe estelas escuas" leou bastante tempo paa se leada a séio Um estudo mais peciso sobe buacos negos só foi possíel com o adento da teoia da elatiidade geal, fomulada po Einstein em 1915 [] Em menos de dois meses após a publicação da elatiidade, o astônomo alemão Kal Schwazschild, que já acompanhaa os tabalhos de Einstein em gaitação, encontou uma solução paa as equações de Einstein A solução de Schwazschild descee o campo gaitacional geado po fontes esféicas e sem otação Cuiosamente, a solução de Schwazschild eela a existência de um aio cítico, denominado aio de Schwazschild, no qual nada consegue escapa, nem mesmo a luz Objetos menoes que o aio de Schwazschild são chamados buacos negos Toda a massa de um buaco nego está concentada em seu cento O temo buaco nego em do fato de que em seu inteio há um gande buaco pois toda sua massa está concentada em seu cento e como nem mesmo a luz escapa de sua atação gaitacional ele é dito nego No ocidente, o maio esponsáel po taze a questão do colapso gaitacional paa o campo científico foi John Achibald Wheele, da Uniesidade de Pinceton, cunhado do temo buaco nego Mas, na época, deido à singulaidade contida no aio de Schwazschild, boa pate da comunidade aceditaa que tal aio epesentaa uma baeia física intansponíel, denominada cículo mágico" O poblema da singulaidade no aio de Schwazschild foi esolido fomalmente e de foma independente em 1960 po Matin Kuskal [3] e em 1958 po Daid Finkelstein [4] dos Estados Unidos e Geoge Szekees da Austália [5] Eles pecebeam que a singulaidade do aio de Schwazschild ea um atifício puamente matemático: não há singulaidades físicas de fato Dessa foma, é possíel estuda as conseqüências, no níel clássico, de um objeto no inteio do hoizonte de eentos de um buaco nego de Schwazschild, como eemos a segui Buaco Nego newtoniano Confome mencionado anteiomente, a teoia de Newton peê a existência de estelas escuas No sentido newtoniano, qualque patícula lançada de uma estela 1

2 Matheus Peeia Lobo escua a pati de seu aio cítico, incluindo a luz, seia inicialmente pojetada paa foa da estela mas etonaia a ela deido sua atação gaitacional intensa O objetio desta seção é calcula o aio cítico de uma estela escua de acodo com a teoia de Newton Inicialmente seá calculada a elocidade de um objeto com massa m solto a pati do epouso caindo em dieção a um buaco nego de massa M Em unidades conencionais, a enegia potencial V() de um copo de massa m no campo gaitacional de um objeto esféico de massa M ale: GM m V ( ) = onde G é a constante gaitacional de Newton A enegia do copo de massa m é conseada e ale: 1 E = 0 = m con, GM m onde con é a elocidade do objeto em medida em unidades conencionais, metos/segundo Assim, temos: con GM = Tansfomando a elocidade em unidades natuais e a massa em unidades de compimento pelas elações = / con c e ( / M = M G c ), temos: M = (1) A equação acima pode se usada paa encontamos o aio cítico do buaco nego de massa M Suponha que o copo seja aemessado paa foa do cento de atação a pati de um aio com uma elocidade dada pela equação (1) A mecânica newtoniana, que funciona igualmente bem, inetendo a odem tempoal do pocesso, pediz que o copo entaá em epouso a uma gande distância da estela de massa M Potanto, a equação (1) nos fonece a elocidade de escape do objeto, isto é, sua elocidade mínima necessáia paa escapa do cento de atação Consideemos que a máxima elocidade de escape seja a elocidade da luz, que em unidades natuais ale 1 Substituindo este alo em (1) encontamos o meno aio da estela de massa M no qual a luz pode escapa: hoizonte = M (), Este alo epesenta o aio do hoizonte de eentos de uma estela pedito pela teoia de Newton, que coincide com o alo peisto pela elatiidade geal de Einstein Vale a pena essalta a difeença ente a teoia de Newton e a teoia de Einstein na descição de buacos negos De acodo com Newton, um objeto lançado do hoizonte com uma elocidade meno que a da luz iajaia a uma distância finita e depois etonaia à estela A teoia de Einstein pediz que nada, nem mesmo a luz, consegue escapa do hoizonte de eentos de um buaco nego Segundo a elatiidade geal, se um aio de luz fosse lançado exatamente no hoizonte de eentos de um buaco nego, o aio seia incapaz de iaja seque um milímeto paa foa! 3 Buaco Nego de Schwazschild Os buacos negos de Schwazschild são os mais simples que podem se encontados no unieso [6,7] A solução de Schwazschild descee o espaço-tempo ao edo de um cento de atação esfeicamente simético e sem otação Em elatiidade geal, descee o espaço-tempo coespondente é equialente a fonece uma mética que seja solução das equações de Einstein [8,9,10] A mética é um objeto matemático que fonece distâncias espaçotempoais, isto é, ela mosta como nossas éguas e elógios são afetados pela pesença de um copo massio A mética de Schwazschild, que descee o espaçotempo paa dois eentos infinitesimalmente póximos e foa de um cento de atação de massa M esfeicamente simético e sem otação, na foma tipo-tempo ale M d dτ = 1 dφ, (3) M 1 e na foma tipo-espaço é dada po M d d σ = dφ, (4) M 1 onde d τ é o tempo pópio e d σ é a distância pópia A mética de Schwazschild possui uma aplicação tecnológica imediata nos dias de hoje em um dispositio denominado GPS (Global Positioning System) [11,1] O GPS é amplamente usado nos sistemas de aiação e opea gaças à eolução científica engendada po Einstein Sem a elatiidade geal o GPS não teia utilidade alguma O Sistema de Posicionamento Global (GPS) possibilita-nos detemina nossa posição tidimensional na Tea com uma Reista Physicae 6-006

3 No inteio do hoizonte pecisão de poucos metos O GPS inclui 4 satélites em óbitas ciculaes em tono da Tea, cada uma com um peíodo de 1 hoas, distibuídos em 6 planos com ângulos igualmente espaçados Cada satélite possui um elógio atômico e emite sinais eletomagnéticos com infomações sobe sua localização Paa o funcionamento de um GPS, são necessáios pelo menos 4 satélites, 3 esponsáeis po cada coodenada espacial e 1 paa que o dispositio fique sinconizado e tenha a pecisão de um elógio atômico Hoje, existem apaelhos GPS do tamanho de um celula e podem se adquiidos po ceca de cem dólaes O intuito deste atigo não é deia a mética de Schwazschild Contudo, as seguintes consideações mostam-se esclaecedoas: O fato de cuatua (1-M/) que apaece em e d depende apenas de uma ez que o cento de atação é esfeicamente simético, isto é, o objeto é o mesmo paa qualque alo de φ Po isso não se pode te um alo de cuatua dependente deφ No limite de gandes distâncias a cuatua tende a 1 como ea de se espea Longe da fonte o campo gaitacional se apoxima de zeo e a mética de Schwazschild se apoxima a uma mética do espaço-tempo plano Paa M=0, a mética de Schwazschild se eduz noamente a uma mética onde o espaço-tempo é plano, como deeia Ausência de fontes não poduz cuatua A mética de Schwazschild descee todo e qualque fenômeno não quântico do espaço-tempo ao edo de um cento de atação esfeicamente simético e sem otação A equação (3) apesenta uma singulaidade em =M, nesta egião o temo espacial de cuatua diege No entanto, tal singulaidade pode se emoida com uma escolha apopiada do sistema de coodenadas, como eemos a segui Na seção 5 seá calculado o tempo pópio que um obseado cuzando o hoizonte de um buaco nego de Schwazschild lea paa atingi o seu cento 4 Refeencial de Queda Lie Os difeenciais, d, e d φ das equações (3) e (4) epesentam as coodenadas de Schwazschild, isto é, medidas feitas po obseadoes distantes como se o espaço-tempo fosse plano Consideaemos um efeencial em lie aquele em que o obseado cai a pati do epouso a uma gande distância em elação ao cento de atação Sejam, d e dφ medidas feitas po obseadoes no efeencial em lie É necessáio adotamos um teceio sistema de coodenadas, coneniente paa nossos cálculos Seja um dado sistema de coodenadas cujas medidas são ealizadas po obseadoes situados em pequenas s distibuídas ao edo do cento de atação As medidas de tais obseadoes são dadas po, d e dφ (Note que, pela simetia da fonte, temos dφ = dφ = dφ A mética no efeencial em lie é obtida em duas etapas Pimeio, elacionando as coodenadas usuais (Schwazschild) com as coodenadas na e em seguida elacionando as coodenadas na com as coodenadas em lie Considee dois eentos simultâneos no efeencial da cuja sepaação seja descita pela equação (4) A distância pópia medida ente os dois eentos (com d φ = 0 ) no efeencial da ale: 1/ M d σ = d = 1 d (5) Similamente, sejam dois eentos não simultâneos no efeencial da com sepaação espacial zeo Neste caso, a equação (3) fonece o tempo pópio medido ente os dois eentos no efeencial da : M d τ = = 1 (6) Cada enxega localmente o obseado em com uma elocidade constante Po isso, a tansfomação de coodenada da paa o efeencial em é dada pela tansfomação de Loentz da elatiidade especial [13,14]: = γ d + γ, (7) el onde el é a elocidade do obseado em lie medida na e 1/ γ = (1 el ) Substituindo as equações (5) e (6) em (7), temos: = γ (1 M / ) eld + γ (1 M / ) Um objeto de massa m e enegia E, caindo a pati do epouso no infinito tem o obseáel E/m constante duante todo o tajeto (mais detalhes, e ef [7]) Na geometia de Schwazschild, E/m ale: (8) Reista Physicae

4 Matheus Peeia Lobo E m M = 1 (9) dτ Lembando que no infinito E/m=1 e combinando as equações (3) e (9), a elocidade do obseado em, medida nas coodenadas do efeencial distante ale: d M M = 1 Dessa foma, usando as equações (5), (6) e (10), temos: d = M = (10) el (11) em dieção ao cento de um buaco nego de Schwazschild Em pimeio luga seá calculado o tempo pópio de do hoizonte ao cento do buaco nego de um obseado solto a pati do epouso no infinito Confome discutido anteiomente, usando o fato que E/m=1 [equação (9)] e associando à equação (10), temos: d dτ = (13) (M ) Integando ambos os lados desta expessão de =M a =0: 0 d 4 τ = = M (14) (M ) 3 M Usando o fato que d = γ d (contação espacial de Loentz) combinado com a equação (5) é fácil e que d = d, isto é, as distâncias medidas po um obseado em são as mesmas que as medidas po um obseado distante Substituindo a equação (11) em (8) e combinando o esultado com a equação (3), encontamos finalmente a mética no efeencial em lie: d τ M M = 1 d d dφ (1) A mética (1) pode se usada em qualque egião ao edo de um buaco nego sem otação A equação (1) é a mética de Schwazschild escita no efeencial em lie, sem a singulaidade em =M A nossa habilidade em escee a mética de Schwazschild em uma foma sem singulaidades em =M é uma indicação de que não há baeias físicas intansponíeis no hoizonte de eentos 5 Entando no Hoizonte de Eentos A entada no hoizonte de eentos de um buaco nego de Schwazschild po um obseado em lie, é sentida, em toda a sua glóia, de foma não muito difeente do que em qualque outo tajeto de sua Nada de especial ocoe, nenhuma tubulência é sentida quando um obseado cuza o hoizonte de eentos Enta no hoizonte de eentos é um caminho sem olta O objetio desta seção é calcula quão dolooso e desconfotáel é cai Esse é o tempo pópio que um obseado mede do hoizonte ao cento do buaco nego, expesso em unidades natuais Paa tansfoma em segundos basta diidi pela elocidade da luz: M τ seg = 10 M = 6,57 10 (15) 9 M Potanto, paa um buaco nego com 1 massa sola, o tempo pópio de do hoizonte ao cento seá de 6,57μs Paa um buaco nego com massa 17 M =1,4 10 m, um obseado caindo a pati do epouso no infinito leaia ceca de 0 anos paa pecoe a distância do hoizonte ao cento desse gigantesco buaco nego Tomando a deiada com elação ao tempo pópio na equação (13), encontamos a aceleação do obseado em nas coodenadas mistas e τ : d M g = (16) d τ A aceleação da gaidade seá maio nos pés e meno na cabeça de um obseado que cai em dieção ao cento de um buaco nego Essa difeença é dada po: Sol M dg = d (17) 3 Suponha que o obseado em questão comece a senti um desconfoto a pati do momento em que a difeença gaitacional ente os seus pés e a sua cabeça seja igual à 4 Reista Physicae 6-006

5 No inteio do hoizonte aceleação da gaidade na Tea, isto é, quando começa a senti os seus pés sendo puxados paa baixo com uma foça equialente a metade de seu peso e a sua cabeça sendo puxada paa cima com a mesma foça Assim, sendo dg = g, temos: do Tea 1/ 3 Md do =, (18) gtea A do e o desconfoto começam a apaece em do, podendo se foa ou dento do hoizonte de eentos Paa um objeto com 10 massas solaes, po exemplo, do situase a uma distância 84 ezes maio que o hoizonte de eentos; já paa uma estela com 50 mil massas solaes, o desconfoto começa no pópio hoizonte de eentos Po mais paadoxal que possa paece, paa o buaco nego de 0 anos mencionado acima, o desconfoto começa a apaece a uma distância de apoximadamente 178 milhões de km do cento, 600 mil ezes meno que o aio de Schwazschild Integando a equação (13) e usando a equação (18) podemos enconta o tempo pópio de desconfoto sentido pelo obseado em lie: 0 ' d' d τ = = ( ) 3 do (19) M gtea do Supeendentemente, o tempo de aflição ente o início do desconfoto e a colisão com o cento independe da massa do buaco nego! Consideando d=m (compimento do objeto em ) e sendo g = m 1 Tea, temos que τ = 0, Potanto, paa do 3s todo e qualque buaco nego de Schwazschild, o tempo de desconfotáel é de 0,3 segundo Alguns médicos afimam que o sinal de do se popaga pelo copo a uma elocidade de apoximadamente 1m/s Potanto, podemos conclui que cai em um buaco nego de Schwazschild pode não se tão uim! objetos A compoação expeimental de sua existência po meios mais dietos, poém, constitui um dos maioes desafios expeimentais da atualidade Agadecimento: O auto agadece o apoio financeio da CAPES (Coodenação de Apefeiçoamento de Pessoal de Níel Supeio) 7 Bibliogafia [1] J Michell, Philos Tans R Soc London 74, 35 (1784) [] A Einstein, HA Loentz, H Weyl, H Minkowski, The Pinciple of Relatiity, Doe Publications, New Yok, 195 [3] MD Kuskal, Phys Re 119, 1743 (1960) [4] D Finkelstein, Phys Re 110, 965 (1958) [5] P Daies, About Time, Simon & Schuste, New Yok, 1996 [6] KS Thone, Black Holes and Time Waps, WW Noton & Company, New Yok, 1994 [7] EF Taylo, JA Wheele, Exploing Black Holes: Intoduction to Geneal Relatiity, Addison Wesley, Boston, 000 [8] CW Misne, KS Thone, JA Wheele, Gaitation, WH Feeman, New Yok, 1973 [9] RM Wald, Geneal Relatiity, Uniesity of Chicago Pess, Chicago, 1984 [10] PAM Diac, Geneal Theoy of Relatiity, Pinceton Uniesity Pess, Pinceton, 1996 [11] CM Will, Was Einstein Right? Putting Geneal Relatiity to the Test, Basic Books/Peseus Goup, New Yok, 1993 [1] CO Alley, Quantum Optics, Expeimental Gaity, and Measuement Theoy, Plenum Publishing, New Yok, 1983 [13] EF Taylo, JA Wheele, Spacetime Physics: Intoduction to Special Relatiity, WH Feeman, New Yok, nd edition, 199 [14] AP Fench, Special Relatiity, WW Noton & Company, New Yok, Conclusões Os buacos negos epesentam um gande desafio teóico paa a comunidade científica Emboa os desafios mais significatios encontem-se no níel quântico, a análise de suas popiedades clássicas é um execício constutio pois possibilita-nos teina, guia e disciplina a nossa intuição física Apesa da existência de buacos negos te sido especulada no final do século XVIII, a elatiidade geal foi a esponsáel po taze subsídios teóicos que nos pemitem infei cetas popiedades quantitatias de tais Reista Physicae