Física Geral I - F 128 Aula 8: Energia Potencial e Conservação de Energia. 2 o Semestre 2012

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1 Física Geal I - F 18 Aula 8: Enegia Potencial e Consevação de Enegia o Semeste 1

2 Q1: Tabalho e foça Analise a seguinte afimação sobe um copo, que patindo do epouso, move-se de acodo com a foça mostada abaixo: A velocidade deste copo é negativa em x = 3 m A. Vedadeio B. Falso F18 1 o Semeste de 1

3 Relembando Enegia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e pemanece útil também na mecânica quântica, elatividade, eletomagnetismo, etc. A consevação da enegia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natueza. Enegia Cinética: 1 K= mv O tabalho da foça esultante que atua sobe uma patícula ente as posições x 1 e x é igual à vaiação da enegia cinética da patícula ente estas posições. F18 1 o Semeste de 1 3

4 Enegia Potencial A enegia potencial U é uma foma de enegia que pode se associada com a configuação (ou aanjo) de um sistema de objetos, que execem foças uns sobe os outos. Se a configuação muda, a enegia potencial também pode muda. Vamos começa discutindo o caso unidimensional. Depois genealizaemos paa mais dimensões. Dois tipos de enegia potencial com os quais estaemos lidando são a enegia potencial gavitacional e a enegia potencial elástica. F18 1 o Semeste de 1 4

5 Enegia Potencial em 1D Vaiação de enegia potencial (caso unidimensional): x ΔU( x x) = U( x) U( x ) = W = F( x) dx É usual toma x como uma configuação de efeência fixa. Assim, a enegia potencial da patícula na configuação x é: U( x) = U( x) Notem que é peciso que a foça seja uma função apenas da posição (configuação). Não se pode defini U(x) em outos casos (a foça de aaste dependente da velocidade, po exemplo): ve mais detalhes adiante. Do ponto de vista físico, apenas as vaiações de enegia potencial são elevantes. Então, pode-se sempe atibui o valo zeo à configuação de efeência: U ( x ) = x x F( x) dx x F du = dx F18 1 o Semeste de 1 5

6 Consevação da Enegia Mecânica Do teoema do tabalho-enegia cinética paa uma foça que só depende da posição: W =ΔK Como ( ) W U( x f ) U xi = 1 1 U x U x mv mv ( ) ( ) = i f f i 1 1 mv + U x = mv + U x ( ) ( ) i i f f 1 = + ( ) = E mv U x constante ( a enegia mecânica total não vaia). F18 1 o Semeste de 1 6

7 Enegia Potencial Gavitacional (campo unifome) Nas poximidades da Tea a foça gavitacional pode se apoximada po mg. Tomando como efeência paa U o ponto y = (U()=): y U( y) = ( mg) dy= mgy U ( y) = mgy Consevação da enegia: 1 = + = E mv mgy constante F18 1 o Semeste de 1 7

8 Enegia Potencial Gavitacional (campo unifome) Exemplo: Qual é a mínima altua h paa que o copo deslizando complete o loop? N mg m h No limia: N = v mg = m v = g Po consevação de enegia mecânica: 1 E= mghmin = mg+ mv 1 5 mg + mg= mg hmin =, 5 = F18 1 o Semeste de 1 8

9 Enegia Potencial Elástica 1 Configuação de efeência: x = U( x) = ( k) xdx = kx 1 1 E = mv + kx = constante 1 v= e x= A E = ka 1 v= vmax e x= E = mv 1 v= e x= A E = ka 1 v= vmax e x= E = mv 1 v= e x= A E = ka x max max F18 1 o Semeste de 1 9

10 Enegia Potencial em mais de uma dimensão Como no caso unidimensional, só é possível defini a enegia potencial paa foças consevativas. Uma foça é dita consevativa se o tabalho que ela ealiza sobe um copo que se desloca ente dois pontos não depende da tajetóia seguida pelo copo, mas apenas das posições inicial e final. Equivalentemente, uma foça é consevativa se o tabalho que ela ealiza sobe um copo que desceve um pecuso fechado é zeo. Exemplos de foças consevativas: 1. foça gavitacional. foça elástica 3. qualque foça unidimensional que só dependa da posição: F(x) Com técnicas de cálculo mais avançadas, é possível estabelece um citéio matemático simples paa detemina se uma foça é consevativa. F18 1 o Semeste de 1 1

11 Foças Consevativas Tabalho ealizado pela foça gavitacional ao longo do cicuito fechado indicado: A B C d A B L θ C WA+ WB + WC = mgd+ mglsenθ + = F18 1 o Semeste de 1 11

12 Foças Não-Consevativas Foças não-consevativas: seu tabalho depende da tajetóia. Exemplos: foça de atito e foça de aaste. W = at ( A B) = fat ds= fat LA C µ c mgd eta µ mgπ d / semi cicunfeência c B = Nesse caso, não é possível defini uma enegia potencial poque o tabalho da foça de atito depende da tajetóia descita pelo copo. F18 1 o Semeste de 1 1

13 Enegia Potencial em mais de uma dimensão Genealizando, sempe se pode associa uma enegia potencial a uma foça consevativa: U ( ) U ( ) = W ( ) = F d Note que não é peciso dize qual tajetóia toma ente e, pois nesse caso o tabalho independe da tajetóia. Se só há foças consevativas, então a enegia mecânica total (potencial + cinética) é consevada: E = K + U = constante F18 1 o Semeste de 1 13

14 Enegia mecânica na pesença de foças nãoconsevativas Entetanto, se há foças não-consevativas: W W W K W = não cons + cons =Δ não cons =Δ +Δ =Δ cons = ΔU W K U E mec No caso de foças como de atito e de aaste, o tabalho é sempe negativo (a foça é sempe no sentido oposto ao deslocamento): W = f L< Δ E < atito atito mec Como o tabalho foças dissipativas é sempe negativo, a enegia mecânica do sistema sempe diminui na pesença delas. F18 1 o Semeste de 1 14

15 Foças dissipativas e enegia intena O tabalho das foças dissipativas (e a consequente diminuição da enegia mecânica) é acompanhado de um aumento da tempeatua dos copos em contato (aumento da agitação témica das moléculas): vaiação da enegia intena = - tabalho das foças dissipativas W W atito atito = ΔEint Δ Eint +Δ Emec =Δ ( Eint + Emec ) = Emec =Δ E = E + E = total int mec constante A enegia total de um sistema isolado, mecânica mais intena, é consevada. Em geal, há outas fomas adicionais de enegia (elética, magnética,...) que, uma vez adicionadas acima, fonecem uma quantidade que se conseva. F18 1 o Semeste de 1 15

16 Foças dissipativas e enegia intena Exemplo: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é sua velocidade em x =? a) Sem atito d F 1 Δ K = mv Δ K = Δ 1 Δ U = kd 1 1 k m mv = kd v = d U b) Com atito F Δ E =Δ K +Δ U = W = µ mgd 1 1 at mv = kd µ cmgd c d f a v kd = µ cgd m F18 1 o Semeste de 1 16

17 Relação ente Foça e Enegia Potencial U ( x) U ( x) = W ( x x) = x x F( x) dx F( x) = du dx du dx = x x o = F(x ) = U(x ): Mínima ou Máxima F18 1 o Semeste de 1 17

18 Exemplo: Ligação Química Exemplo de ligação epesentada po um potencial Lenad - Jones F F> epulsão F< atação F ( ) ε = 1 a a 13 7 a U Mínimo de enegia F18 1 o Semeste de 1 18

19 Diagamas de Enegia Enegia potencial de um bloco de massa m peso a uma mola de constante elástica k : U(x) 1 U ( x) = k x Consevação de enegia: E K 1 1 E = mv + kx = constante K = E U(x) x m -x m x Desta elação e do diagama, vemos que o movimento do bloco é limitado a pontos x compeendidos no intevalo xm x x m. De fato, paa pontos x foa deste intevalo, teíamos U ( x) > E, e potanto K<, o que é obviamente impossível. x e são os pontos de etono, onde a velocidade é nula: m x m E kx v( x) =± m m U F18 1 o Semeste de 1 19

20 Diagamas de Enegia Ponto de etono ou evesão: a velocidade se anula e toca de sinal Ponto de equilíbio instável: F(x) = e U(x) é máximo K U Pontos de equilíbio indifeente: F(x) = e U(x) não é máximo nem mínimo F du = dx Pontos de equilíbio estável: F(x) = e U(x) é mínimo F18 1 o Semeste de 1

21 Q: Enegia Potencial e Foça A enegia potencial gavitacional da Tea pode se descita e exemplificada pelo equação abaixo. Paa qual distância a foça do potencial gavitacional é nula? U() GMm R A. = R Tea B. = C. = infinito R F18 1 o Semeste de 1 1

22 Enegia Potencial Gavitacional Foça gavitacional: GMm F= ˆ F ds U( ) U( ) = F d = F( ) d Tomando a configuação de efeência U( ) = : U ( ) = = GMm GMm d = d GMm ˆ, pois d = d F18 1 o Semeste de 1

23 Enegia potencial gavitacional: campo unifome U() R F18 1 o Semeste de 1 y R+y 1 1 U( R+ y) U( R) = GMm R y R = + y GM = GMm my = mgy R R+ y R GMm R R 6, km ( ) g 9,8 m/ s Pode-se estima g a uma altua de 4 km: GM GM R g ( h= 4 km) = = = R R+ h ( R+ h) 6, 4 = 9,83 8,7 m/s 6,8 3

24 Velocidade de Escape v v esc = v = Velocidade limia paa escapa da atação gavitacional de um asto: velocidade de lançamento tal que chegue ao infinito com velocidade nula. Po consevação de enegia mecânica: E = K( R) + U( R) = K( ) + U( ) = 1 1 GMm E = mvesc + U( R) = U( ) = mvesc = R GM GM ves c = = R = gr R R v Tea esc = 11, km/ s F18 1 o Semeste de 1 4

25 Buacos Negos Velocidade de escape igual à velocidade da luz: Raio de um buaco nego de massa M GM GM v = esc c R R = = c Raio de Schwazschild Paa a Tea, v esc = c = 3, 1 Tea R Schw = 8,8 mm m/s Se a Tea se tansfomasse num buaco nego, seu aio diminuiia paa 8,87 mm! 8 F18 1 o Semeste de 1 5

26 Buacos Negos Velocidade de escape igual à velocidade da luz: v esc = c = 3, 1 m/s Raio de um buaco nego de massa M GM GM v = esc c R R = = c Raio de Schwazschild 8 Emboa esse esultado da mecânica newtoniana seja igual ao que é obtido na Teoia da Relatividade Geal, isso é apenas uma coincidência! F18 1 o Semeste de 1 6

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