Modelagem Matemática e Simulação computacional de um atuador pneumático considerando o efeito do atrito dinâmico

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1 Modelagem Matemática e Simulação computacional de um atuador pneumático coniderando o efeito do atrito dinâmico Antonio C. Valdiero, Carla S. Ritter, Luiz A. Raia Depto de Ciência Exata e Engenharia, DCEEng, UNIJUÍ Campu Panambi 9898-, Panambi, RS valdiero@unijui.edu.br;carlamtmritter@yahoo.com.br; raia@unijui.edu.br Reumo: Ete trabalho apreenta a modelagem matemática da principai caracterítica não lineare de atuadore pneumático e ua aplicação na imulação do comportamento dinâmico em aplicaçõe de engenharia. A modelagem matemática de itema dinâmico é importante no projeto de máquina inteligente, poi é utilizada para fin de imulação, de projeto de controladore e no etudo do comportamento da variávei de etado do itema. O atuadore pneumático ão utilizado na maioria da intalaçõe indutriai e pouem a eguinte vantagen: manutenção imple e fácil, baixo cuto, boa relação força/tamanho e flexibilidade de intalação. Porém, alguma caracterítica de comportamento dinâmico dificultam eu controle: a compreibilidade do ar, a relação não linear da vazão no orifício da ervoválvula de controle e o atrito no atuadore. Para a decrição do comportamento dinâmico do atuador pneumático é utilizado um modelo matemático não linear de 5ª ordem, o qual inclui a não linearidade da zona morta, da vazão no orifício da ervoválvula, a dinâmica da preõe na câmara do cilindro e movimento do êmbolo do cilindro, que conidera o atrito dinâmico. O reultado obtido na imulaçõe computacionai ilutram a caracterítica do modelo matemático deenvolvido. Introdução Ete trabalho apreenta a modelagem matemática não linear de atuadore pneumático e imulação computacional do eu comportamento dinâmico. O uo de atuadore pneumático é muito comum em aplicaçõe indutriai [5], poi poui a eguinte vantagen: manutenção imple e fácil, baixo cuto, boa relação força/tamanho e flexibilidade de intalação. Além dio, o ar comprimido etá diponível na maioria da intalaçõe indutriai [1, 4]. Apear deta vantagen, o atuadore pneumático apreentam dificuldade de modelagem devido a divera caracterítica não lineare do itema, tai como a zona morta na ervoválvula [8], a compreibilidade do ar, a relação não linear da vazão no orifício de controle [3] e o atrito dinâmico [, 4, 6, 7]. Atualmente divero trabalho apreentam o etudo da caracterítica não lineare de atuadore pneumático [1, 3, 4, 6, 7, 8]. Valdiero et al. [8] apreenta o etudo, o modelo matemático e uma propota inovadora de identificação do parâmetro para a zona morta em ervovalvula pneumática, onde o método utilizado para a compenação da zona morta é feito adicionando a invera da função da zona morta no controle do itema. Na modelagem de Perondi [4], o modelo matemático da válvula é dado pelo produto de uma função que depende da tenõe aplicada à ervoválvula por uma função da preõe a montante e ajuante, além de incluir uma modelagem completa do atrito dinâmico. Um modelo precio do atuador pneumático é uma condição importante para o projeto do controle para otimização da operação. Com ete propóito, a modelagem matemática deenvolvida no preente trabalho apreenta uma itematização deta caracterítica não lineare, reultando em um modelo matemático não linear de 5ª ordem para o atuador pneumático e a ua imulação computacional para fin de aplicaçõe de engenharia na indútria e em equipamento agrícola. A eçõe eguinte apreentam a decrição do itema dinâmico do atuador pneumático, a modelagem matemática, 465

2 a implementação da imulaçõe computacionai e o reultado que ilutram a caracterítica do modelo deenvolvido. Decrição do Atuador Pneumático O atuador pneumático coniderado nete trabalho é compoto por uma ervoválvula de controle direcional e um cilindro pneumático em hate. Ete atuador permite poicionar uma carga em um determinado ponto do curo do atuador ou eguir uma trajetória variável em função do tempo. A Figura 1 motra o deenho equemático de um atuador pneumático. Figura 1: Deenho equemático de um atuador pneumático O funcionamento do atuador pneumático ocorre da eguinte maneira: o ar comprimido é fornecido à ervoválvula a uma dada preão de uprimento regulada. A partir do inai da malha de realimentação, o controlador gera uma tenão de controle u, que energiza a bobina do olenóide da ervoválvula e produz um delocamento x v do carretel com o objetivo de eguir a referência. Quando o carretel é delocado, gera orifício de paagem e fornece o ar comprimido para uma da câmara do cilindro, permitindo que o ar da outra ecoe para a atmofera. Logo apó ocorre a variação da preõe na câmara, o que reulta numa força que movimenta o êmbolo do cilindro e gera um delocamento y, poitivo ou negativo, dependendo do entido do movimento. A eguir apreenta-e a formulação do modelo matemático dete itema dinâmico. Modelagem Matemática do Atuador Pneumático Eta eção apreenta a modelagem matemática que decreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático e ua principai caracterítica não lineare. O modelo propoto é de 5ª ordem e apreenta a combinação da dinâmica da ervoválvula com a do cilindro, coniderando- 466

3 e como hipótee implificadora que a dinâmica da ervoválvula é deprezada, poi a dinâmica elétrica da válvula é coniderada muito rápida em relação à dinâmica do movimento de eu carretel; o ar e comporta como um gá perfeito; a energia cinética do gá é deprezada; o proceo ão reverívei e adiabático (proceo ientrópico); a temperatura do ar de uprimento é contante; o vazamento interno que ocorrem na válvula ão deconiderado; o atrito entre o pórtico da válvula e o carretel não é coniderado. A Figura motra o diagrama de bloco equemático do principai elemento incluído na modelagem matemática utilizada para repreentar o comportamento dinâmico do atuador pneumático, coniderando-e a não linearidade da zona morta, a equação da vazão máica, a dinâmica da preõe e a equação do movimento, que inclui a dinâmica do atrito. Figura : Diagrama equemático da modelagem matemática do atuador pneumático A zona morta é uma imperfeição comum em válvula pneumática, poi a largura do realto do carretel é maior que a largura do orifício. Dea forma em algun trecho do carretel não há paagem de ar. Eta não linearidade etá localizada no itema dinâmico como um bloco de entrada do inal de controle, conforme motrado na Figura, é dado por: md( u( zmd) e u( zmd u zm ( = e zme < u( < zmd (1) me( u( zme) e u( zme onde u é o inal de entrada, u zm é o valor de aída, zmd é o limite direito da zona morta, zme o valor equerdo da zona morta, md é a inclinação direita da zona morta e me é a inclinação equerda da zona morta. A relação entre vazão-preão no orifício da válvula é uma função não linear e depende da diferença de preão no orifício da válvula e da abertura da válvula. Nete trabalho, erá utilizado um inovador equacionamento da vazão máica dada pela equaçõe: qma ( u, pa ) = g1( pa, ign( arctg( () qmb ( u, pb ) = g ( pb, ign( arctg( (3) onde g 1 e g ão funçõe inal dada por: ench ( pup pa ) β e u g1( pa, ign( = β pa = (4) ev ( pa patm ) β e u < ench ( pup pb ) β e u < g ( pb, ign( = β pb = (5) ev ( pb patm ) β e u 467

4 ench ev onde p up é a preão de uprimento, patm é a preão atmoférica e β e β ão coeficiente contante caracterítico repectivamente do enchimento e do evaziamento da câmara do cilindro. O modelo para a dinâmica da preõe é obtido a partir da equação da continuidade e reulta em dua equaçõe não lineare de primeira ordem: Aγ y& R γ T p& a = pa + qma ( pa, (6) A y + Va A y + Va Aγ y& R γ T p& b = pb qmb ( pb, (7) Vb A y Vb A y onde T é a temperatura do ar de uprimento, R é a contante univeral do gae, q = ma dma dt é a vazão máica na câmara a do cilindro, p a é a preão na câmara a do cilindro, γ = C p Cv é uma relação entre o calore epecífico do ar com C p endo o calor epecífico do ar à preão contante e Cv o calor epecifico do ar a volume contante, A é a área do êmbolo, y é o delocamento do êmbolo e Va é o volume da câmara a na poição inicial y=, incluindo o volume da tubulação. Aume-e que a vazõe máica ão funçõe não lineare da preõe na câmara do cilindro e da tenão u aplicada a ervoválvula, ou eja, qma = qma( pa, e qmb = qmb( pb,. A aplicação da ª Lei de Newton para o equilíbrio da força no êmbolo do atuador pneumático reulta em: M & y + F atr = F p (8) onde M é a maa delocada, & y& é a aceleração do cilindro, F p é a força pneumática, dada pela diferença de preão na câmara do cilindro, ou eja, A( p a pb ) e F atr é a força de atrito dinâmico adotada na forma do chamado modelo LuGre [] dado pela eguinte equação: = σ z + σ z + y& (9) F atr 1& σ onde σ repreenta o coeficiente de rigidez da deformaçõe microcópica, z é um etado interno não menurável que repreenta a deformação média que ocorre entre a uperfície, σ 1 é um coeficiente de amortecimento aociado a taxa de variação de z, σ é o coeficiente de amortecimento vicoo e y& é a velocidade relativa entre a uperfície. A dinâmica da microdeformação z é dada por: dz σ y& ( z, y& ) () = α y& z dt g ( y& ) onde (y& ) é uma função poitiva que decreve parte da caracterítica do atrito em regime g permanente, e é decrita por: g y& y & ( y& ) = F + ( F F ) e (11) c onde F c é o atrito de Coulomb, F é o atrito etático e y& é a velocidade de Stribeck. A função α( z, y& ) é incorporada ao modelo LuGre, conforme propõem Valdiero et al. [7] e é uada para repreentar o regime de atrito etático em velocidade baixíima. Simulação Computacional do Modelo do Atuador Pneumático Eta eção apreenta a implementação computacional em malha aberta do modelo matemático não linear de 5ª ordem propoto para o atuador pneumático na eção anterior. A imulaçõe computacionai ão feita com o auxílio do oftware MatLab/Simulink, e o método c 468

5 numérico utilizado na olução da equaçõe é o Runge Kutta, com pao de integração.1 egundo. O modelo de 5ª ordem do atuador pneumático, repreentado pela equaçõe (1), (), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), () e (11), é implementado na forma de um diagrama de bloco, conforme a Figura 3, onde o primeiro bloco repreenta o inal de entrada do itema dinâmico, caracterizando um inal de controle em malha aberta u, que permite o etudo do comportamento da variávei de etado do itema. Figura 3: Diagrama de bloco do modelo matemático do atuador pneumático O parâmetro utilizado na imulaçõe numérica do modelo matemático do atuador pneumático foram obtido teórica e experimentalmente na bancada de tete do Núcleo de Inovação em Máquina Automática e Servo Sitema do Campu Panambi da UNIJUÍ. A Tabela 1, e 3 apreentam o valore do parâmetro utilizado na imulaçõe numérica. Tabela 1: Valore do parâmetro do modelo da não linearidade da ervoválvula pneumática utilizada (fabricante Feto, código MPYE-5-1/8). Decrição do Parâmetro Simbologia Valor Limite direito da zona morta zmd 1 Volt limite equerdo da zona morta zme 1 Volt Inclinação direita da zona morta md 1 inclinação equerda da zona morta me 1 Coeficiente de vazão para a câmara enchendo Coeficiente de vazão para a câmara evaziando ench β ev β Tabela : Valore do parâmetro relacionado ao fluido ar. Parâmetro e valor p Decrição 5 = 6 Pa Preão de uprimento up 5 p atm = 1 Pa Preão atmoférica R = 87 Jkg / K Contante univeral do gae T = 93 K Temperatura do ar de uprimento γ = 1.4 Adimenional Relação entre o calore epecífico do ar 8 469

6 Tabela 3: Epecificaçõe e valore do parâmetro do modelo da não linearidade do cilindro pneumático utilizado. Decrição Simbologia Atuador 1 Atuador Atuador 3 Fabricante ---- Rexroth Rexroth Código do catálogo Diâmetro do êmbolo (m) D Curo total (m) L Área do êmbolo (m ) A 4.91 Volume da câmara A (m 3 ) para poição y = Volume da câmara B (m 3 ) para poição y = Va 1.5 Vb Atrito etático (N) F Atrito Coulomb (N) Fc Atrito Vicoo (N/m) σ Velocidade Stribek (m/) y&...85 Coeficiente de rigidez da σ microdeformaçõe (N/m) Coeficiente de amortecimento da microdeformaçõe (N/m) Delocamento de força de quebra Maa inercial (incluindo a carga) (kg) σ 1 6 zba 3 M. 15 Reultado de Simulação Computacional Eta eção apreenta o reultado da imulação computacional em malha aberta do modelo matemático não linear de 5ª propoto para o atuador pneumático. O diagrama de bloco utilizado para realizar eta imulaçõe foi apreentado na eção anterior e o parâmetro utilizado etão decrito na Tabela 1, e 3. Foi realizada a imulação com entrada em degrau, e eu reultado permitem obervar diferente efeito na variávei de etado do itema. O inal de controle em degrau permite a análie do comportamento da variávei de etado do atuador pneumático em partida rápida, que ão muito comun em divera de ua aplicaçõe. Para realizar a imulaçõe com inal de entrada em degrau, é neceário que para cada valor eja regulado um tempo de imulação que repeite o limite de curo do atuador, poi o diagrama de bloco utilizado na imulação não conidera tai limite. Para o inal de entrada em degrau com uma entrada de 3 Volt, foi regulado um tempo de imulação de.3. A Figura 4 apreenta o delocamento do êmbolo para cada um do cilindro da Tabela 3. O reultado de imulação em malha aberta apreentado ilutram a eficiência da metodologia propota para a implementação do diagrama de bloco e permitem obervar o comportamento dinâmico do atuador pneumático. 47

7 .5. Poição Atuador (1) Poição Atuador () Poição Atuador (3) Poição [m] Tempo [] Figura 4: Poição do êmbolo do cilindro para o cao: Atuador (1): d=5mm e L=5mm; Atuador (): d=5mm e L=1m e Atuador (3): d=6mm e L=5mm. Referência [1] D. Bavareco, Modelagem matemática e controle de um atuador pneumático, Diertação de Metrado, Metrado em Modelagem Matemática-UNIJUÍ, 7. [] C. Canuda-de-Wit, P. Lichinky, Adaptive friction compenation with partially known dynamic friction model, International Journal of Adaptive Control and Signal Proceing, vol.11, pp. 65-8, [3] L. Endler, Modelagem da Vazão Máica de uma Servoválvula Pneumática e ua aplicação no Controle Ótimo de um Servopoicionador Pneumático, Diertação de Metrado, Metrado em Modelagem Matemática-UNIJUÍ, 9. [4] E. A. Perondi, Controle Não-Linear em Cacata de um Servopoicionador Pneumático com Compenação de Atrito, Tee de Doutorado, POSMEC-UFSC,. [5] Z. Rao, G. M. Bone. Nonlinear Modeling and Control of Servo Pneumatic Actuator IEEE Tranaction on Control Sytem Technology, vol. 16, no. 3, May 8. [6] C.S. Ritter, Modelagem Matemática da Caracterítica Não Lienare de Atuadore Pneumático, Diertação de Metrado, Metrado em Modelagem Matemática-UNIJUÍ,. [7] A. C. Valdiero, C. S. Ritter, C. F. Rio, M. Rafikov, NonLinear Mathematical Modeling in Pneumatic Servo Poition Application, Mathematical Problem in Engineering (Online), vol. 11, pp.1-16, (11). [8] A. C. Valdiero, D. Bavareco, P. L. Andrighetto, Experimental identification of the dead zone in proportional directional pneumatic valve, International Journal of Fluid Power, vol.9, pp.7-34,