Exercícios Resolvidos de Biofísica

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1 Exercício Reolvido de Biofíica Faculdade de Medicina da Univeridade de oimbra

2 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina MEMBRNS HOMOGÉNES Exercício 1. Numa experiência com uma membrana homogénea verificou-e que eta apreentava uma permeabilidade de 4x10-3 cm -1 a um dado oluto. Sabendo que a concentração do oluto num do lado da membrana é igual a 10-6 mol cm -3, o módulo da denidade de corrente de difuão é 0x10-9 mol cm - -1, determine: a) concentração de oluto do outro lado da membrana; b) O módulo da denidade de corrente de difuão para uma membrana com permeabilidade 6x10-3 cm -1. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: P m = 4 10 = 1 10 = cm mol cm mol cm a) pena é conhecido valor de concentração de um lado do recipiente, podendo, por io, er o outro valor maior ou menor do que ete. O facto do valor da concentração deconhecida er maior ou menor que o valor da concentração conhecida implica que o entido da corrente de difuão eja diferente conoante o cao. Tendo em conta ete facto é neceário reolver o problema para a dua circuntância poívei que e materializam matematicamente na conideração da denidade de corrente vir afectada de inal poitivo (ituação ) ou de inal negativo (ituação ). denidade de corrente de difuão é dada pela expreão: m ( ) = P 1.1 1

3 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Situação : denidade corrente tem valor poitivo e aume-e que o valor de concentração conhecido correponde ao do compartimento. Subtituindo valore e reolvendo em ordem a, temo: = 4 10 = 10 = 4 10 ( 10 ) mol cm 1. O reultado obtido não tem ignificado fíico! Situação : denidade corrente tem valor negativo e continua a aumir-e que o valor de concentração conhecido correponde ao do compartimento. Subtituindo valore e reolvendo em ordem a ( ) = = = 6 10 molcm, vem: 1.3 Nete cao o valor obtido é poível endo, portanto a repota correcta. b) Trata-e de uma aplicação directa, pelo que, bata ubtituir valore: ( ) = = 3 10 mol cm 8 1.4

4 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício. Uma membrana homogénea com 1,5 m de área total e 0,5 mm de epeura, epara dua oluçõe de doi oluto, e B, num itema de doi compartimento. concentraçõe do oluto B no compartimento e num ponto do interface da membrana com o compartimento ão iguai a 1 mol cm -3 e 3,1 mol cm -3, repectivamente. Sabe-e ainda que a permeabilidade da membrana é igual para o doi oluto, é igual a 0 mol cm -3 e o coeficiente de partição é 0,1 para o doi oluto. Sabendo que por minuto atraveam a membrana 3600 mole do oluto de para, determine a denidade total de corrente de difuão. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: = 1,5 m x B B = 1 = 0,5 mm = 0,05 cm ( 0,05) K = 01, = 0 = 1,5 10 mol cm = 31, mol cm = 3600 mol min 4 mol cm cm = 60 mol a) Temo de analiar o doi oluto, e B, eparadamente: Para o oluto, podemo deenhar o gráfico que traduz a variação de concentração no interior da membrana: / mol cm ,05 x / cm 3

5 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Podemo determinar a denidade de corrente do oluto a partir do valor da corrente de oluto: =.1 Subtituindo valore: 60 1 = = 4 10 mol cm 4 1,5 10. Note-e que a denidade de corrente do oluto tem valor poitivo uma vez a difuão dete oluto e dá no entido convencionado como poitivo (de para ). O coeficiente de difuão pode agora er calculado com bae na eguinte expreão: D m =.3 x K Subtituindo o valore: 4 D 0,1 m 4 10 = 0 Dm = 1 10 cm 0,05.4 Para o oluto B, podemo, igualmente, deenhar o gráfico que traduz a variação de concentração no interior da membrana: / mol cm -3 3, ,05 x / cm 4

6 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina concentração no interface da membrana com o compartimento pode er determinada atravé da expreão: B ( ) K = 0.5 B Subtituindo valore, tem-e: B ( 0) = 01, 1 = 01, mol cm.6 Podemo agora determinar a expreão analítica que traduz a variação da concentração do oluto B no interior da membrana. condiçõe iniciai ão: B B = 01, = 31, x x = 0 = 0,05.7 Podemo então determinar o coeficiente, a e b, da recta: 01, 31, = a 0 + b = a 0,05 + b b a = 01, mol cm = 60 mol cm 4.8 Logo, B ( x ) = 60 x + 01, ( mol cm ).9 denidade de corrente de difuão do oluto B vem: ( x ) 4 d B B = Dm B = = 10 mol cm.10 d x Finalmente, podemo determinar a denidade total de corrente: total total = + = 4 10 B + ( 6 10 ) = 10 mol cm.11 5

7 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina MEMBRNS POROSS Exercício 3. onidere um itema de doi compartimento eparado por uma membrana poroa com 1 mm de epeura e 10 cm de área total. Sabendo que: atravé do poro paam 1 mole de oluto por unidade de tempo; 30% da área total de membrana é atraveada por poro; a concentração de oluto no recipiente é de 4,5 M; a concentração do oluto no ponto médio da membrana é de 3 M. Determine: a) concentração do oluto no compartimento. b) contante de difuão livre do oluto no olvente. c) denidade de corrente de difuão de oluto e repectivo entido; Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: x = 1mm = 0,1cm = 10 cm ( x ) = 1 mol 30% atraveada por poro = 4,5 M = 4,5 10 mol cm = 3M = 3 10 mol cm a) Para determinar a concentração no compartimento podemo deenhar um gráfico que traduz a variação de concentração no itema. No cao da membrana poroa não exitem decontinuidade de concentração no interface da membrana, pelo facto, deta er atraveada por poro e, portanto, o olvente preencher também ete epaço. 6

8 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina / mol cm -3 4,5x10-3 3x ,05 0,1 x / cm omo a variação da concentração de oluto ao longo da epeura da membrana é linear é repreentada matematicamente por uma recta, cuja equação pode er ecrita da eguinte forma: ( x) a x b + = 3.1 E tendo em conta a condiçõe do problema ( 0) = ( 0,05) 4,5 10 = 3 10 x x = 0 = 0, , = a 0 + b b = 4,5 10 mol cm 4 = a 0,05 + b a = 0,03 mol cm 3.3 Logo, ( x) = 0,03x + 4,5 10 ( mol cm ) 3.4 Para determinar a concentração no compartimento, bata ubtituir, na equação 3.4, a variável x por 0,1. Note-e que o valor da concentração no compartimento é igual ao valor da concentração na interface da membrana com ee memo compartimento. im, tem-e: ( 01, ) = 0,03 01, + 4,5 10 = 1,5 10 mol = cm 3.5 7

9 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina b) contante de difuão livre do oluto no olvente pode er determinada com bae na 1ª Lei de Fick, ito é: ( poro) = D d dx 3.6 que para o preente problema pode er ecrita na forma: ( poro) = D x 3.7 denidade de corrente de difuão, por eu lado, pode er calculada, por: 1 = 0, ( poro) = = 0,33 mol cm 3.8 Note-e que a área de poro repreenta 30% da área total ( 0, 3 ) =. poro Total diferença de concentraçõe entre o compartimento e é dada por: = = 4,5 10 = 3 10,5 10 mol cm 3.9 Finalmente, ubtituindo o valore anteriormente calculado na equação 3.7, e reolvendo a equação em ordem a D, teremo: ,33 = D D = 11,1 cm 0, c) denidade de corrente de difuão de oluto é dada pela eguinte expreão: ( poro ) = 3.11 φ w Em que, φ w, repreenta a fracção de área poroa. 8

10 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina φ w poroa = φw total 0,3 10 = 10 = 0,3 3.1 Subtituindo o valore na equação 3.11, tem-e, então o valor da denidade de corrente de difuão: = 0,3 0,33 = 01, mol cm 3.13 difuão dá-e do compartimento para o compartimento, facto que também e encontra repreentado pelo valor poitivo de denidade de corrente, que ignifica que a difuão e faz no entido convencionado como poitivo. 9

11 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 4. Uma membrana poroa com 100 µm de epeura, 100 cm de área total e 0 cm da ua área ocupada por poro, epara dua oluçõe de um memo oluto num itema de doi compartimento. Supondo que atravé da membrana paam 0 mole de oluto por unidade de tempo e que a contante de difuão livre do oluto no olvente é igual a 0,0 cm -1, determine: a) concentração de uma da oluçõe, abendo que a concentração da outra olução é de 0, mol cm -3. b) denidade de corrente de difuão atravé da membrana. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: x = 100 µ m = total tporo = 100 cm = 0 cm = 0 mol D = 0,0 cm 4 cm a) Sabemo que a concentração num do compartimento ( ou ) é igual a: = 0, mol cm 4.1 Determinando a denidade de corrente, podemo calcular a diferença de concentraçõe de oluto entre o compartimento e, a partir deta, calcular a concentração que deejamo aber. Por definição a denidade de corrente é dada por: = = = 0, mol cm Por outro lado a denidade de corrente também pode er decrita por: 10

12 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina = D φ w x 4.3 Em que, φ w, repreenta a fracção de poro, e portanto é determinada por: φ w poro = φw total = 0 = 100 0, 4.4 Subtituindo o valore na equação 4.3, e reolvendo em ordem a, vem: 0, = 0,0 0, = 0, 5 mol cm diferença de concentração é dada por: = 4.6 omo o enunciado do problema é omio no facto do valor de concentração dado referir-e ao compartimento ou é neceário coniderar a dua hipótee. im: Hipótee 1: = 0, mol cm Subtituindo o valore na equação 4.6, vem: 0,5 = 0, cm = 0,3 mol 4.7 O que contitui uma olução impoível! Hipótee : = 0, mol cm Subtituindo o valore na equação 4.6, vem: 0,5 = cm 0, = 0,7 mol 4.8 Que contitui uma olução poível! 11

13 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina b) denidade de corrente de difuão atravé da membrana foi já determinada na alínea anterior, pelo que a repota é: = 0, mol cm 4.9 1

14 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 5. Uma membrana poroa epara oluçõe de doi oluto, e B, num itema de doi compartimento. Sabendo que: D () = D (B) B = 0,100 mol cm -3 = 0,050 mol cm -3 + B = 0,050 mol cm -3 S() = 0,500 mol cm - -1 S(Total) = 0,50 mol cm - -1 e que a dimenõe da molécula do doi oluto ão inferiore à dimenõe do poro, determine a concentraçõe do oluto e B em cada um do compartimento. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: D B = D = total B = D 0, 100 = 0,050 mol cm + B mol cm = 0,500 mol cm = 0,050 mol cm = 0,50 mol cm a) denidade total de corrente de difuão é igual à oma algébrica da denidade de corrente do doi oluto, e B, e é decrita pela equação: + total = 5.1 B Podemo determinar, então, a denidade de corrente de difuão do oluto B. Subtituindo o valore na equação anterior, vem: 13

15 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina 0,50 = 0,500 + B B = 0,50 mol cm 5. Por outro lado, e uma vez que pode er exprea da eguinte forma: D = D D, a denidade total de corrente de difuão B = D φ + B w total = D φ w total = + B = P + B x x 5.3 Subtituindo o valore conhecido na equação 5.3, podemo determinar o valor de P: 0,50 = P 0,050 P = 5 cm 5.4 denidade de corrente de difuão de cada oluto, e B, ão dada por: = D φ w x D φw = x = P 5.5 B = D B φ w B x B D φw = x B = P B 5.6 Subtituindo valore na equaçõe 5.5 e 5.6, determinamo o valore da diferença de concentração para o oluto e B. im: 0,500 = 5 cm = 0, 100 mol 5.7 0,50 = 5 B B = 0,050 mol cm 5.8 Recordando que a diferença de concentração ão dada por: = 5.9 = 5.10 B B B 14

16 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina e ubtituindo o valore, determinamo o valore da concentração do oluto no compartimento e da concentração do oluto B no compartimento. 0,100 = 0,100 cm = 0 mol ,050 = B 0,050 B = 0 mol cm

17 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina SSTEMS DE MEMBRNS Exercício 6. onidere um itema formado por trê compartimento. O compartimento e encontram-e eparado por uma membrana poroa com µm de epeura, 00 cm de área total e 0% de área permeável. O compartimento e encontram-e eparado por uma membrana homogénea de epeura igual a µm e coeficiente de partição igual a 0,8. Sabendo que a contante de difuão do oluto na membrana poroa é igual a cm -1 e que a concentração no interior da membrana homogénea é dada por S (x) = x mol cm -3, determine: a) contante de difuão para a membrana homogénea, abendo que o módulo da denidade de corrente de difuão que atravea a membrana homogénea é igual a mol cm b) concentração do oluto no compartimento, abendo que por unidade de tempo atraveam a membrana poroa, por difuão, 4, mole de oluto. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: Membrana poroa x = µ m = 10 φ total w = 00 cm = 0, D = 8 10 cm 4 cm Membrana homogénea x = µ m = 10 k = 0,8 4 cm ( x ) = x + 10 ( mol cm ) a) O itema do problema pode er repreentado como na figura eguinte: 16

18 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina M.P. M.H O valor da denidade de corrente que atravea a membrana homogénea é dado e é igual a: ( M. H. ) = 6 10 mol cm 6.1 denidade de corrente de difuão na membrana homogénea é dada pela expreão: d. = Dm 6. dx ( M H. ) Uma vez que é dada a função da concentração na membrana homogénea, pode determinar-e a derivada da concentração em ordem a x, d dx = mol cm Subtituindo na expreão dada pela equação 6., vem: = Dm Dm = 10 cm 6.4 Note-e que o valor da denidade de corrente tem de vir afectada de inal negativo vito que o coeficiente de difuão tem valor poitivo por definição. O inal negativo na denidade de corrente ignifica que a difuão e dá do compartimento para o compartimento. b) corrente que atravea a membrana poroa é dada e igual a: 17

19 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina = 4,4 10 mol 6.5 partir dete valor podemo determinar o valor da denidade de corrente, atravé da expreão: = 6.6 Subtituindo o valore repectivo, vem: 4, = =, 10 mol cm denidade de corrente, na membrana poroa é dada por: = D φ w 6.8 x diferença de concentraçõe de oluto é dada por: = 6.9 concentração no compartimento pode er determinada atravé da expreão: M. H. ( 0) = k 6.10 concentração no interface da membrana homogénea com o compartimento determina-e com bae na expreão da concentração em que e ubtitui x por 0. ( 0) = = 10 mol cm 6.11 Subtituindo agora o valore na equação 6.10, calculamo a concentração no compartimento : im: 18

20 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina 10 = 0,8 =,5 10 mol cm 6.1 Etamo em condiçõe de determinar a concentração no compartimento, batando para io ubtituir todo o valore conhecido na equação 6.8., 10 8,5 10 = , 4 10 = 5,5 10 mol cm

21 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 7. onidere um itema de doi compartimento eparado por uma membrana homogénea com 1 dm de área total, 10 µm de epeura e 0% de área atraveada por poro. O compartimento contêm oluçõe de um oluto cuja dimenõe da molécula ão muito inferiore à dimenõe do poro. Sabendo que a contante de difuão livre do oluto no olvente é igual a 10-5 cm -1, a concentração média de oluto interior de um poro é igual a 17, mol cm -3, a concentração de oluto no compartimento é igual a mol cm -3, e que S =, determine a corrente de difuão de oluto que atravea ( Difuão M.H. ) S( Difuão M.P. ) 15 a membrana por minuto. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: = 1 dm x = 1µ m = % área com poro D = 1 10 total ( x ) = 17,5 10 mol cm ( interior do poro) = 5 10 ( M. H. ) 5 = = 1 10 cm ( mol cm ) ( M. P. ) 15 4 cm cm variação de concentração no interior de um poro pode er repreentada pelo eguinte gráfico: / mol cm -3 5x ,5x ,5x10-4 1x10-4 x / cm 0

22 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Para determinar a concentração no compartimento, é neceário achar a expreão analítica que repreenta a variação de concentração no interior de um poro. variação da concentração é linear e é repreentada matematicamente por uma recta, cuja equação pode er ecrita da eguinte forma: ( x ) a x b + = 7.1 São conhecido doi ponto da recta, pelo que o parâmetro a (declive) e b (ordenada na origem), podem er determinado por um itema de dua equaçõe. = 5 10 = 17,5 10 x = 0 x = 0, Logo: ,5 10 = a 0 + b = a 0, b = 5 10 mol cm 4 + b a = 0, 15 mol cm 7.3 Pelo que, a expreão analítica que traduz a variação de concentração no interior do poro é: ( x ) = 0, 15 x ( mol cm ) 7.4 concentração no compartimento é igual à concentração de um ponto no interface do poro com o compartimento. im: = 4 ( 1 10 ) = 0, = mol cm diferença de concentraçõe entre o compartimento e é dada pela expreão: = 7.6 1

23 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Subtituindo o valore repectivo, vem: = = mol cm 7.7 denidade total de corrente é igual à oma da denidade de corrente de difuão da componente homogénea e poroa da membrana. expreão que traduz a denidade total de corrente de difuão é a eguinte: ( total) = ( M. H. ) + ( M. P ) = P m ( 1 φ ) w + D φ w x 7.8 No cao preente φ = 0,, tendo em conta a relação de 0% de área ocupada por poro. E, P = ( M. H. ) w m = ( M. P. ) 15. Pelo que teremo: 1 = w w + D w x φ 15 ( total) D φ ( 1 φ ) x 7.9 Subtituindo o valore: ( ) , ( 1 0,) total = , = 3, mol cm corrente de difuão relaciona-e com a denidade de corrente pela expreão: = 7.11 Portanto, a corrente de difuão virá: 3, , = = mol

24 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina omo etamo intereado na corrente de difuão por minuto e não por egundo, temo de multiplicar o reultado anterior por 60 (60 = 1 minuto). 5 = 3, = 1, mol min

25 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina RRSTMENTO Exercício 8. onidere um itema de doi compartimento eparado por uma membrana homogénea com 0 cm de área total e 10 µm de epeura. O compartimento e contêm oluçõe de um memo oluto cuja concentraçõe ão mol cm -3 e mol cm -3, repectivamente. Sabendo que por unidade de tempo atraveam a membrana 0,1 mole de olvente, do compartimento para o compartimento, determine: a) O número total de mole de oluto que atraveam a membrana, por unidade de tempo. b) O número total de mole reflectida, por unidade de tempo. Na reolução do problema conidere, e neceário, o eguinte dado: D m = 0, cm -1 K = 1, σ = 0,4 V W = 0 cm 3 mol -1 Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: x = 10µ m = D = k = 1, σ = 0,4 V w total m w = 0 cm = 0,5 10 = 0 cm 3 = = 01, mol mol cm 4 mol cm mol cm cm a) denidade de corrente de oluto que atravea a membrana por difuão é dada pela expreão: 4

26 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina ( dif ). = Dm k 8.1 x Subtituindo valore, vem: ( ) ( ) 5 dif. = 0,5 10 1, = 10 mol cm denidade de corrente de oluto devido ao arratamento é dada pela expreão: ( arrat ) = k ( 1 σ ) v. 8.3 Subtituindo o valore temo: ( 01, ) ( arrat. ) = 1, ( 1 0,4) =,5 10 mol cm denidade de corrente de oluto total é a oma da denidade de corrente devida à difuão e ao arratamento. im: ( total) ( dif.) ( arrat. ) = Subtituindo o reultado obtido na equação anterior, vem: ( total) = 10 + (,5 10 ) = 8,5 10 mol cm 8.6 quantidade de oluto que atravea a membrana por unidade de tempo é a corrente de oluto, a qual é dada por: ( total) 5 ( total) = ( total) = 8, =,7 10 mol 8.7 total 5

27 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina b) Para determinar o número total de mole reflectida, por unidade de tempo, podemo uar a eguinte expreão: ( reflectida) ( reflectida) = k σ = 8.8 v Subtituindo o valore: ( reflectida) = = 3, , mol 0,4 01, 0 0 6

28 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina PRESSÃO OSMÓT Exercício 9. onidere um itema formado por doi compartimento eparado por uma membrana poroa de 1 µm de epeura e permeabilidade igual a cm -1. concentração média do oluto no interior da membrana é igual M e o gradiente de concentração é igual a 0, mol cm -4. alcule a diferença de preão que deve exitir entre o doi compartimento por forma a que a corrente total de oluto atravé da membrana eja nula. Na reolução do problema conidere, e neceário, o eguinte dado: σ = 0,8 R = 8,314 mol -1 K -1 t = 37 L p = mol dyn -1-1 V W = 0 cm 3 mol -1 Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: = = 4 x 1µ m 1 10 cm W = 6 10 ( x ) ( ) = M = mol cm d 4 = 0, mol cm dx total = 0 mol cm σ = 0,8 T = 37 º = 310 K R = 8,314 mol K = 8, ergmol K L = 0 10 mol dyn V p w cm = 0 cm mol 7 3 denidade total de corrente de oluto é dada pela expreão: ( ) (.) (.) total = dif + arrat 9.1 7

29 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Sendo a denidade total de corrente de oluto nula vem: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = dif. + arrat. dif. = arrat. 9. Ou, reecrevendo a equação anterior: ( 1 σ ) W = V 9.3 w w Para e determinar a denidade de corrente de olvente, w, a partir da equação anterior é neceário conhecer o valor da concentração média, concentraçõe, e da diferença de. Por ea razão vamo primeiro determinar a equação que traduz a variação da concentração de oluto no interior da membrana, a qual é dada pela eguinte equação geral: ( x) a x b + = 9.4 O gráfico que traduz a variação da concentração de oluto no interior da membrana é: / mol cm -3 15x ,5 1 x x10-4 / cm O coeficiente a da equação 9.4 (o declive da recta) é igual ao gradiente de concentração, aim: a = 0, mol cm onhecendo o declive e um ponto da recta podemo determinar a ordenada na origem, b: 8

30 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina ( ) 4 6 0, , 0, = mol cm = + b b =,5 10 mol cm Então a equação que traduz a variação de concentração do oluto no interior da membrana é: 5 ( ) = 0, +,5 10 ( ) x x mol cm 9.7 Pode agora calcular-e o valor da concentração no recipiente e : ( ) ( ) = 0 = 0, 0+,5 10 mol cm =,5 10 mol cm 5 5 ( ) ( ) = 1 10 = 0, ,5 10 mol cm = 5 10 mol cm E deta forma a concentração média e a diferença de concentraçõe virão: 5 +, = = = 1, 5 10 mol cm = =, = 10 mol cm Podemo agora determinar a denidade de corrente de olvente fazendo uo da equação 9.3. ( ) , ,8 0 = w = 10 cm w 9.1 Por outro lado a denidade de corrente de olvente é dada por: ( ) = L P σ π 9.13 w p om π = RT π = 8, π = 5, dyn cm

31 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina E finalmente, ubtituindo ete reultado na equação 9.15, vem ( P ) 5 10 = ,8 5, P = 99,59 10 dyncm

32 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina EQUÇÃO DE BERNOULL Exercício 10. onidere o itema horizontal repreentado na figura, onde circula um fluído líquido, em atrito interno, de maa epecífica 0,9 g cm -3. Sabendo que a maa de fluído que atravea a ecção B por egundo é de 900 π g, determine a B variação da energia potencial por unidade de maa entre a ecçõe e. onidere, e neceário, que diâmetro da ecçõe, B e ão iguai a 4, e 4 cm, repectivamente. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: ρ = 0,9 gcm. m= 900π g φ = 4 cm r = cm φ = cm r = 1cm B φ = 4cm r = cm B plicando o teorema de Bernoulli entre um ponto da ecção e um ponto da ecção, temo: E + E + E = E + E + E 10.1 cinética p. gravitica p. preão cinética p. gravitica p. preão energia potenciai gravítica em e ão iguai, uma vez que a cota é a mema, pelo que a equação anterior e reduz a: E + E = E + E 10. cinética p. preão cinética p. preão 31

33 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Rearranjando a equação vem: E E = E E 10.3 p. preão p. preão cinética cinética variação da energia potencial de preão é, nete cao, igual ao imétrico da variação da energia cinética. energia cinética por unidade de maa é dada pela expreão: E c = 10.4 m 1 v expreão 10.3 pode er reecrita na forma: E p. preão m E p. preão m 1 = v c 1 v a 10.5 É neceário, então, determinar a velocidade em e. omo há conervação da maa que e traduz pelo facto do caudal máico que paa na ecção er igual ao que paa na ecção, tem-e: M = M = M 10.6 B Sabendo que a maa de líquido que por unidade de tempo atravea uma ecção( M ) etá relacionado com o caudal F atravé da expreão M = ρf, temo: 10.7 M = ρ vπ r Podemo determinar a velocidade na ecçõe e. im: M = M ρv π r = M B B ( ) 0,9v π = 900π v = 15 cm

34 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina M = M ρv π r = M B B ( ) 0,9v π = 900π v = 50 cm 10.9 Subtituindo em 10.5 o valore já calculado: E p. preão m E p. preão m = = 3437,5 erg g

35 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 11. onidere a figura, que repreenta um tubo horizontal com um etrangulamento percorrido por um líquido não vicoo de denidade 10 3 Kg m -3. Sabendo que a energia total da maa de líquido que por egundo percorre o itema é igual a , determine a preão em e em B. B Na reolução do problema conidere, e neceário, o eguinte dado: S = 0,04 m S B = 0,01 m v = 0,0 m -1 Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: ρ = 10 P = 3 10 S S v B kg m 3 = 0,04 m = 0,01 m = 0,0 m O enunciado refere-e à energia total do líquido que por egundo percorre o itema; eta grandeza é a potência de ecoamento do fluído. Recordando que a potência é a energia por unidade de tempo, facilmente e entende que eta pode er repreentada pelo produto da energia por unidade de volume pelo caudal. im: E E P = P F t = V

36 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina energia por unidade de volume, E, é dada pela expreão: V 1 = E ρv ρ gh P E o caudal, ( F ), é dado por: F = Sv 11.3 Então: 1 = + + P ρv ρ gh P Sv 11.4 oniderando que o nível a que o líquido ecoa itua-e numa linha do campo gravítico a que correponde energia potencial zero ( h h 0) valor da velocidade em, vem: = = e, tendo em conta o B 1 = + + P , , 04 0, 0 P = 35,5 N m 11.5 velocidade de ecoamento na ecção B pode er determinada pela conervação da maa, que pode er traduzida pela expreão: S v = S v 11.6 B B Subtituindo o valore e reolvendo em ordem a v B temo: 0,04 0,0 0,01 0,08 1 = vb vb = m

37 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina plicando, agora, o teorema de Bernoulli entre a ecçõe e B, podemo determinar a preão em B. im: 1 1 ρv + ρ gh + P = ρvb + ρ ghb + PB 11.8 Subtituindo o repectivo valore: ,55 = P = 0,55 N m B + P B

38 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 1. onidere o itema repreentado na figura, no qual ecoa um líquido não vicoo com denidade ρ e caudal contante. O raio em é duplo do raio em B, que e itua 50 mm abaixo de. Tubo 1 Tubo B a) Se no tubo 1 o líquido ubir a uma altura de 3 dm, medido a partir do ponto, e e a velocidade média em for de 1 m min -1, quanto ubirá o líquido no tubo, relativamente ao ponto B? b) Qual deve er a relação entre o raio de e B, para que o líquido no tubo 1 e atinja a mema altura relativamente ao ponto B? Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: ρ = c V = c r te te = r B ( ) ( ) h = h 50 mm = h 5 cm B a) lém do dado gerai do problema temo de coniderar para a reolução da preente alínea o eguinte dado: 37

39 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina h = 3dm = 30cm v = 1 m min = = 0 cm Deigna-e por h 1 a altura que o fluído atinge no tubo 1, e por h a altura que o líquido atinge no tubo. partir da conervação da maa pode etabelecer-e uma relação entre a velocidade no ponto e B. r S v = S v r v = r v v = v 1. B B B π π B B r B relação entre o raio é conhecida pelo que: rb 1 v = v 4 B v = vb vb = v ( r ) B preõe em e B podem er relacionada com a altura a que o líquido obe no tubo 1 e, repectivamente. im, teremo: P = ρ gh + P P = ρ gh + P 1.5 B 0 Em que P 0 repreenta a preão atmoférica. plicando agora o teorema de Bernoulli entre o ponto e B, temo: 1 1 ρv + ρ gh + P = ρvb + ρ ghb + PB 1.6 ontinuando a aumir para nível de energia potencial gravítica zero o do ponto, e ubtituindo na expreão anterior o reultado expreo na equaçõe 1.3, e 1.4 e 1.5: 38

40 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina 1 1 ρv ( ) + ρ gh + ρ gh1 + P0 = ρ 4 v + ρ g( h 5) + ρ gh + P0 1.7 Reolvendo eta equação em ordem a h, obtemo: 15 h h 5 v g = Subtituindo o valore, vem: h 15 = + = cm 1.9 b) Neta alínea temo de coniderar: h h1 5 = plicando, novamente, o teorema de Bernoulli entre o ponto e B e, fazendo uo da expreõe para a preõe no ponto e B obtida anteriormente, tem-e: 1 1 ρv + ρ gh + ρ gh1 + P0 = ρvb + ρ g( h 5) + ρ gh + P Tendo em conta a relação entre a altura no tubo 1 e, exprea pela equação 1.10, a expreão 1.11 implifica-e, obtendo-e: v = v 1.1 B conervação da maa permite etabelecer a relação: r v S v = S v π r v = π r v = 1.13 B B B B B rb v 39

41 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina omo a velocidade v e v B ão iguai, conclui-e que: r 1 r rb r = = 1.14 B 40

42 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina EQUÇÃO DE POSEULLE Exercício 13. onidere um tubo cilíndrico com 3,5 m de comprimento e raio interior 1, cm. Faz-e circular no tubo um líquido de vicoidade 3, poie. Qual é o caudal de líquido quando a queda de preão atravé do tubo é igual a 5, N m -? Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: L = 3,5 m = 350 cm r = 1, cm η = 3,5 10 poie P = 5,3 10 N m = dyncm 4 4 Pela equação de Poieuille temo: F 4 π r = P η L Pelo que bata ubtituir na equação para reolver o exercício. im: F 4 π 1, = = 3, , cm

43 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 14. No itema repreentado na figura circula um fluído líquido de maa epecífica 1 g cm -3 e vicoidade nula. Poteriormente faz-e circular um outro fluído líquido de maa epecífica 1 g cm -3 e vicoidade 10 - π poie. Sabendo que a velocidade média do fluído no ponto é igual a 4 π cm -1, para o doi fluído, determine a relação entre a altura H e H 1, repreentada na figura, relacionada H 1 com η = 0 poie e H com η = 10 - π poie. (Deprezar fenómeno de capilaridade). P 0 H = 0π cm H H 1 B 100 π cm π cm P 0 Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: Situação (fluído ideal): ρ = 1 gcm η = 0 Situação (fluído real): ρ = 1 gcm η = 10 π poie Geral: v c H L = 4 B π cm = 0π cm = 100 π cm φ = π cm r = π cm 4

44 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Ete problema apreenta dua ituaçõe ditinta, em que o memo itema é uado com doi fluído de caracterítica ditinta. Por eta razão vamo tratar a dua ituaçõe de forma independente e, por fim, obter a relação pedida. Situação (fluído ideal): plicando o teorema de Bernoulli entre o ponto B e, tem-e: 1 1 ρvb + ρ ghb + PB = ρv + ρ gh + P 14.1 Tendo em conta que o ponto B e etão ao memo nível ( h h ) ordem à preão em ( P ), vem: B = e reolvendo em 1 P = ρ ( vb v) + PB 14. plicando novamente o teorema de Bernoulli entre o ponto e B, temo: 1 1 ρv + ρ gh + P = ρvb + ρ ghb + PB 14.3 O nível a que e encontra o ponto e B é o memo ( h h ) =. umindo que a dimenõe do recipiente ão batante grande, pode coniderar-e nula a velocidade no ponto ( v = 0). Reolvendo eta equação em ordem à preão no ponto B ( ) obtemo a eguinte expreão: B P, B 1 PB = P ρ vb 14.4 Por outro lado a preão em é dada por: P = ρ gh + P

45 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Subtituindo-e eta expreão na equação 14.4, fica-e com: 1 PB = ρ gh + P0 ρ vb 14.6 Podemo agora ubtituir na equação 14.: 1 1 P = ρ( vb v) + ρ gh + P0 ρvb 1 P = P0 + ρ gh ρv 14.7 preão em também é dada pela expreão: ( ) P = ρ g H H + P Pelo que igualando a equaçõe 14.7 e 14.8, e reolvendo em ordem a H 1 e obtém: 1 P0 + ρ gh ρv = ρ g( H H1) + P0 v H1 = g 14.9 Situação (fluído real): Neta ituação podemo começar por aplicar a equação de Poieuille entre o ponto B e. im: 8η L PB P = F π r Recordando que o caudal ( F ) é dado por: F = π r v

46 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina equação pode er reecrita em função da velocidade e reolvida em ordem à preão em ( P ): 8η L 8η L PB P = v P = PB v 14.1 r r Entre o ponto e B pode er aplicado o teorema de Bernoulli. Ete raciocínio já foi feito anteriormente pelo que podemo uar o memo reultado expreo na equação 14.6: 1 PB = ρ gh + P0 ρ vb Subtituindo ete reultado na equação 14.1, fica-e com: 1 8η L P = ρ gh + P0 ρvb v r Por outro lado a preão em, pode er exprea, por: ( ) P = ρ g H H + P gualando agora a equaçõe e 14.15, e reolvendo em ordem a H, vem: 1 8η L ρ gh + P0 ρvb v= ρ g ( H H) + P0 r vb 8η L H = + v g ρ gr Finalmente, podemo obter a relação entre a altura H e H 1, uando expreõe 14.9 e obtida anteriormente. im, notando que v = v B = v : 45

47 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina H H v 8η L v g ρ gr ρr v 16ηL = = r v B + H + 1 v H1 ρ g Subtituindo o valore, vem: H H H H 1 1 ( ) π π π π = 1 4 π 0π π = = 5 4π π ( π )

48 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina TENSÃO SUPERFL Exercício 15. Sabendo que a tenão uperficial de uma olução de abão é igual a 5 dyn cm -1, calcule o trabalho neceário para aumentar o diâmetro de uma bola de abão de cm para 4 cm. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: σ = 5 dyn cm φ = cm r = 1cm 1 1 φ = 4cm r = cm O trabalho realizado por força de preão quando há uma variação ( S ) da uperfície de uma efera de fluído é dado por: W = σ S 15.1 No preente cao etamo perante uma bola de abão a qual apreenta uma uperfície externa e uma uperfície interna pelo que quando o diâmetro da bola de abão aumenta eta dua uperfície aumentam também. im, o trabalho realizado é dado para ete cao por: W = σ S + S ) = σ S ( 15. int ext Notar que e depreza a epeura da bola de abão, pelo que o raio interno da bola de abão é igual ao raio externo e a variação da uperfície interna S int é igual à variação da uperfície externa, S ext. variação de uperfície pode er determinada da eguinte forma: 47

49 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina ( ) S = 4π r 4π r S = 4π 1 = 1π Subtituindo o valore na equação 15., vem: W = 5 1π = 1885 erg

50 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 16. alcular a preão no interior de um gota líquida eférica com mm de raio, endo a preão atmoférica igual a 760 mmhg. oniderar que a tenão uperficial do líquido em quetão é igual a 7,8 dyn cm -1. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: r = mm = 0,cm P = 760 mmhg 0 σ = 7,8 dyn cm g = 1000 cm ρ Hg = 13,6 gcm diferença de preão entre o interior e o exterior numa gota líquida eférica é dada pela equação de Laplace: σ P = 16.1 r Subtituindo o valore conhecido vem: 7,8 0, P = = 78 dyncm 16. diferença de preão traduzida pela altura de uma coluna de mercúrio é dada por: P = ρ gh 78 = 13, h Hg h = 0, 0535 cmhg h = 0,535 mmhg 16.3 Podemo então determinar a preão no interior da gota líquida: 49

51 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina P = P P 0,535 = P 760 int 0 int P = 760,535 mmhg int

52 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 17. alcule a preão no interior de uma bola de abão de raio exterior R, endo σ a tenão uperficial da olução de abão e P 0 a preão no exterior. Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: rext = R P0 = P0 σ = σ diferença de preão entre o interior e o exterior numa bola de abão é dada por: 4σ P = 17.1 r diferença de preão é, por outro lado, dada por: P = Pint P0 17. Vem então: 4σ 4σ Pint P0 = Pint = P r r 51

53 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Exercício 18. onidere um vao anguíneo onde e formaram 3 êmbolo gaoo. tenão uperficial do angue é de 47 dyn cm -1. Suponha ainda a eguinte contante: ρ Hg = 13, 6 gcm g = 9,8 m a) Se a preão do lado venoo for de 15 mmhg e e o vao tiver um diâmetro de 1 mm, calcule a preão do lado arterial que coloca o êmbolo na iminência de e defazerem. b) Se a preão do lado arterial for de 40 mmhg, qual o raio do vao anguíneo abaixo do qual o êmbolo já não e defazem? Reolução: Dado do problema e converõe de unidade: σ = 47 dyn cm ρ = 13,6 gcm g = 9,8 m a) onideremo um vao em que e formaram trê êmbolo gaoo. Vamo analiar a ituação apena para um êmbolo, generalizando poteriormente para o trê embolo. R P1 P P3 R1 5

54 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina Podemo aplicar a equação de Laplace à dua calote eférica de cada um do lado do êmbolo. im para a calote eférica do lado equerdo vem: P σ P1 = R E para a calote eférica do lado direito temo: σ P P3 = 18. R diferença de preão P 1 -P 3 pode er obtida ubtraindo a dua equaçõe anteriore: ( P P ) ( P 3 P ) = 1 σ σ P1 P3 R R 1 1 = σ ( R 1 ) R À medida que a diferença de preão P 1 -P 3 for aumentando, o raio R 1 tende a aumentar enquanto que o raio R tende a diminuir. Na ituação limite imediatamente ante do êmbolo e defazer o raio R 1 torna-e infinito, ignificando ito que a calote eférica e tranforma num plano e que a preão no interior do êmbolo e torna igual à preão P 1 e, o raio R fica igual ao raio do tubo onde e encontra o êmbolo. im na ituação limite, temo: P 1 1 σ ( ) P1 P r σ r 1 P3 = 3 = 18.4 No preente cao, havendo trê êmbolo, a diferença de preão entre o lado arterial e o lado venoo é dada por: P art σ Pven = r preão do lado venoo é conhecida. Podemo converter para unidade do itema c.g..: 53

55 Exercício Reolvido de Biofíica Metrado ntegrado em Medicina P = 15 mmhg = 1,5 cmhg P = ρ g h P ven ven = 13, ,5 = 1999 dyncm ven 18.6 O diâmetro do vao também é dado, e é igual a 1 mm, pelo que o raio é igual a 0,05 cm. Subtituindo o valore na equação 18.5, vem: 47 P P dyncm 0,05 art 1999 = 3 art = b) preão do lado arterial é agora igual a 40 mmhg. onvertendo para o itema c.g.., temo: P = 40 mmhg = 4 cmhg P = ρ g h P art ven art = 13, = 5331 dyncm 18.8 Subtituindo o valore da preõe na equação 18.5 e reolvendo em ordem ao raio, vem: , r = r = cm

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