Movimentos: Variações e Conservações

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2 Movimentos: Vaiações e Consevações Volume único Calos Magno S. da Conceição Licinio Potugal Lizado H. C. M. Nunes Raphael N. Púbio Maia Apoio:

3 Fundação Ceciej / Extensão Rua Visconde de Niteói, 1364 Mangueia Rio de Janeio, RJ CEP Tel.: (1) Fax: (1) Pesidente Masako Oya Masuda Vice-pesidente e Dietoa de Extensão Miian Capez Goveno do Estado do Rio de Janeio Govenado Ségio Cabal Filho Secetáio de Estado de Ciência e Tecnologia Alexande Cadoso Coodenado da Equipe de Extensão em Física Lizado H. C. M. Nunes Mateial Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Calos Magno S. da Conceição Licinio Potugal Lizado H.C.M. Nunes Raphael N. Púbio Maia COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cistine Costa Baeto SUPERVISÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Ana Paula Abeu-Fialho DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Solange Nascimento Wilson Paulo de O. J AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Thaïs de Sievi Copyight 008, Fundação Ceciej / Consócio Cedej Nenhuma pate deste mateial podeá se epoduzida, tansmitida e gavada, po qualque meio eletônico, mecânico, po fotocópia e outos, sem a pévia autoização, po escito, da Fundação. C744m Depatamento de Podução EDITORA Teeza Queioz REVISÃO TIPOGRÁFICA Daniela de Souza Elaine Bayma Patícia Paula COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Joge Moua PROGRAMAÇÃO VISUAL Sanny Reis ILUSTRAÇÃO Claa Gomes CAPA Claa Gomes PRODUÇÃO GRÁFICA Andéa Dias Fiães Fábio Rapello Alenca Conceição, Calos Magno S. da. Movimentos: vaiações e consevações. volume único / Calos Magno S. da Conceição; Licínio Potugal; Lizado H. C. M. Nunes; Raphael N. P. Maia. Rio de Janeio : Fundação CECIERJ, p.; 19 x 6,5 cm. ISBN: / 1. Movimentos.. Vetoes. 3. Leis de Newton. 4. Hidostática. I. Potugual, Licínio. 3. Nunes, Lizado H. C. M. 4. Maia, Raphael N. P. II. Título. CDD: Refeências Bibliogáficas e catalogação na fonte, de acodo com as nomas da ABNT.

4 Movimentos: Vaiações e Consevações Volume único SUMÁRIO Aula 1 Movimento unidimensional 5 Aula Cinemática vetoial 39 Aula 3 As leis de Newton 89 Aula 4 As aplicações das leis de Newton 15 Aula 5 Enegia e tabalho 193 Aula 6 Colisões 35 Aula 7 Momento angula 85 Aula 8 Hidostática 35 Apêndice - Vetoes 363 Refeências 385

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6 Movimento unidimensional A U L A 1 Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes das apostilas: Meta da aula Discuti os pincipais aspectos instucionais elacionados ao movimento unidimensional de uma patícula. - Souza, Calos Faina de; PINTO, Macus Venicius C.; SOARES FILHO, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, v. - ALMEIDA, Maia Antonieta T. de. Intodução às Ciências Físicas: v.3. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: calcula a velocidade média e a aceleação média de uma patícula, conhecendo a duação de um intevalo de tempo e o deslocamento da patícula nesse intevalo; calcula a velocidade e a aceleação instantâneas de uma patícula paa uma dada lei hoáia do movimento ; usa as equações do movimento unidimensional de uma patícula com aceleação nula ou constante paa enconta a posição, a velocidade ou a aceleação instantâneas; epesenta gaficamente a posição, a velocidade e a aceleação de uma patícula em movimento unidimensional com aceleação nula ou constante, como função do tempo paa um intevalo dado; calcula o deslocamento, a velocidade média e a aceleação média paa um intevalo de tempo de uma patícula em movimento unidimensional, a pati dos gáficos hoáios do movimento.

7 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional DESLOCAMENTO Considee uma patícula que pode move-se apenas ao longo de uma eta. Tal movimento é dito etilíneo ou unidimensional. Vamos dize também que a posição da patícula seja deteminada pela coodenada x do eixo coodenado OX. Veja agoa a Figua x(t 1 ) = 30 t 1 A 40 x(t ) = t B x(m) Figua 1.1: Cao se desloca de (A) paa (B). Podemos pecebe que inicialmente o cao estava em (A) e que, depois de um ceto tempo, ele passou paa (B). Vamos dize que (A) esteja elacionado a um instante t 1 e que (B) esteja elacionado a t. A duação desse intevalo é dada po t = t t 1. (1.1) Se tomamos a placa acima como efeencial, de onde medimos a posição do cao, em (A) o cao estava 30m à dieita da placa, ou seja, a posição do cao em (A) é dada po x(t 1 ) = 30m. Analogamente, em (B), a posição do cao é dada po x(t ) = 50m. 6 CECIER J Extensão

8 A vaiação da posição da patícula, do instante t 1 ao instante t, é a difeença x(t ) x(t 1 ). Essa vaiação é chamada de deslocamento da patícula do instante t 1 ao instante t. AULA 1 x = x( t ) x( t ). 1 (1.) A unidade de deslocamento é, natualmente, a mesma da posição. Se, po exemplo, expimimos as posições em metos, os deslocamentos seão dados também em metos. É fácil ve que um deslocamento é positivo somente se x(t ) > x(t 1 ). Nesse caso, dizemos que o deslocamento ocoe no sentido positivo do eixo OX. De maneia análoga, o deslocamento é negativo somente se x(t ) < x(t 1 ) e o deslocamento ocoe no sentido negativo do eixo OX. Duante um movimento qualque, podem ocoe deslocamentos no sentido positivo e negativo do eixo OX. Po exemplo, duante um intevalo de tempo, você pode anda paa fente e depois, em outo intevalo, você pode anda paa tás.! Um deslocamento é nulo somente se x(t ) = x(t 1 ), isto é, as posições iniciais e finais são iguais. Mas não devemos necessaiamente conclui que a patícula tenha ficado paada. Ela pode te ficado paada, mas também pode te ealizado outo movimento qualque, desde que tenha voltado à posição inicial no instante t. Isso acontece, po exemplo, quando jogamos uma peda veticalmente paa cima, e ela volta paa a sua mão exatamente no ponto de onde saiu. x Descida Subida t = t t = t 1 O Figua 1.: A patícula passa pelo mesmo ponto na subida e na descida. CECIER J Extensão 7

9 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Podemos conclui então que o deslocamento de uma patícula duante um ceto intevalo de tempo não é, obigatoiamente, a distância pecoida po ela duante esse intevalo. De fato, no exemplo ilustado pela figua, a distância pecoida pela peda não é zeo, mas o dobo da altua que ela alcança acima da posição inicial. VELOCIDADE MÉDIA Você já deve te ouvido fala na fábula da lebe e da tatauga. Caso você não a conheça, acesse o link abaixo: Paa ilusta o conceito de velocidade média, vamos conta a fábula da lebe e da tatauga: Ao enxega uma ávoe distante no meio de uma planície, a lebe via-se paa a tatauga e diz: Aposto com você uma caixa de alfaces fesquinhas que chego lá antes de você. A tatauga (que não ea muito espeta) topa a aposta, e a lebe sai em dispaada deixando paa tás a tatauga. Ao chega no meio do caminho, a lebe olha paa tás, vê que a tatauga é apenas um pontinho no hoizonte e decide paa paa descansa. A lebe acaba pegando no sono e, ao acoda, pecebe que a tatauga está quase alcançando a ávoe. A lebe, então, coe a toda tentando, desespeadamente, alcança a tatauga, mas já ea tade... A tatauga alcança a ávoe apenas alguns segundos antes da lebe. Agoa você podeia faze a seguinte pegunta: "Po que a lebe, sendo muito mais ápida, chegou depois da tatauga?" Poque a velocidade média da tatauga foi maio que a velocidade média da lebe duante a coida. Po definição, a velocidade média num intevalo de tempo só depende das posições iniciais e finais nesse intevalo. De fato, se a posição de uma patícula no instante inicial t 1 fo x(t 1 ) e se a posição no instante final t fo x(t ), a velocidade média nesse intevalo é dada po v t1 t x t x t1 x = ( ) ( ), t t t 1 (1.3) 8 CECIER J Extensão

10 onde t t 1. (Note que, se t = t 1, o intevalo se eduz ao instante t 1, e paa um único instante não é possível usa o conceito de velocidade média.) Peceba que a velocidade média é a azão ente o deslocamento da patícula no intevalo de t 1 a t e a duação desse intevalo. Sendo velocidade média a azão ente deslocamento e um intevalo de tempo, a sua unidade seá a azão ente as unidades de compimento e de tempo que foem usadas. Po exemplo, se usamos o meto paa os deslocamentos e o segundo paa o tempo, a unidade de velocidade média é o meto po segundo, usualmente escita como m/s. AULA 1 Como a duação do intevalo, t t 1, é positiva, a velocidade média é positiva somente se o deslocamento da patícula no intevalo é positivo. Do mesmo modo, a velocidade média é negativa somente se o deslocamento é negativo. Finalmente, note que a velocidade média dá apenas uma infomação global sobe a maneia como a patícula se moveu nesse intevalo. Paa sabe a velocidade da patícula em um instante em paticula, pecisamos ecoe ao conceito de velocidade instantânea que você veá a segui. ATIVIDADE 1. Na célebe coida ente a lebe e a tatauga, a velocidade da tatauga é de 1,5m/min. A distância a pecoe é de 450m, e a lebe coe duante 0,6 min. antes de paa paa uma soneca. a. Sabendo que a lebe é capaz de completa o pecuso em 54s, calcule a sua velocidade média. b. Qual é o deslocamento da lebe da patida até a paada paa a soneca? c. Qual é a duação máxima da soneca paa que a lebe não peca a coida? CECIER J Extensão 9

11 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional RESPOSTAS COMENTADAS a. Antes de calcula a velocidade média, vamos adota a oigem do eixo x como o ponto de patida, x 1 = 0, e a linha de chegada é epesentada pelo ponto x = 450m. A lebe é capaz de desloca-se x = x x1 = 450m = 0, 45km em um intevalo de tempo t minimo = 54s = 0, 015h. Potanto, segundo a definição v = x/ t, a velocidade média é 0, 45 km v = = 30km / h 0, 015 h b. Chamaemos t o tempo gasto pela lebe paa alcança o ponto em que páa paa tia uma soneca. Sabemos que a lebe coe po t = 0,6 min = 0,01h antes de paa. A pati da velocidade encontada no item (a), podemos calcula o deslocamento x = v g t : x = ( 30 0, 01) km = 0, 3km c. Em pimeio luga, de acodo com o item a, a lebe é capaz de completa o pecuso em 54s. Agoa você deve se pegunta: Quanto tempo a tatauga leva paa completa a coida? A tatauga pecoe x = 0, 45km com uma velocidade v = 1, 5m/min = 0,09km/h. A pati da elação t = x / v, calculamos a duação da coida, Logo, é possível mosta que o tempo máximo da soneca deve se de t tminimo = 4h 59min 6s. 0, 45 t" = h = 5h 0, 09 v = 1, 5m/min = 0,09km/h VELOCIDADE INSTANTÂNEA Paa ilusta o conceito de velocidade instantânea, vamos paafasea uma anedota contada po Richad Feynman, um dos maioes físicos do século passado, em seu livo The Feynman Lectues on Physics, que foi adaptada pelo Pofesso H. Moysés Nussenzveig em seu livo Cuso de física básica: Um policial páa o cao de uma loua que andava em alta velocidade e exclama: 10 CECIER J Extensão

12 Dona, a senhoa estava andando a 10km/h, quando o limite nesta ua é de 60km/h! Então, a loua esponde: Mas, seu guada, como é que eu podia esta andando a 10km po hoa, quando eu só estou diigindo faz 0 minutos! Daí o Feynman diz no livo dele: Vamos supo que ao invés do guada dize: Então a senhoa explique isso ao Detan, poque vai ecebe uma multa! ele esolva da uma lição de Física paa a loua: O que eu queo dize é que, se a senhoa seguisse em fente nessa velocidade, depois de uma hoa teia pecoido 10km!" Mas, seu guada, se eu seguisse em fente, eu iia bate nesse pédio aí da fente! Bem, isso é vedade, mas se a senhoa tivesse continuado assim po 1 minuto, teia pecoido km; se a senhoa continuasse po 1 segundo, teia pecoido 33,3m; e, se fosse em fente po 0,1s, teia pecoido 3,33m. Desse jeito, a senhoa podeia pefeitamente te infingido a lei duante 0,1 segundo. Mas, seu guada disse a loua o limite de velocidade é de 60km/h, e não de 1,66 metos em 0,1 segundo. Então, o guada se sai com essa: Dá no mesmo, minha senhoa. O que impota aqui é a velocidade instantânea. AULA 1 Conheça mais sobe o físico Richad Feynman ( ) atavés do link: Paa fixa as idéias, considee o seguinte exemplo: suponha que você veja um ada a 100m de distância quando diigia seu cao a 100km/h. Paa não se multado, você pecisa passa pelo ada a menos de 50km/h. Então, imediatamente você pisa nos feios fazendo com o que o cao vá diminuindo a velocidade. CECIER J Extensão 11

13 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Vamos faze o gáfico da posição do seu cao em função do tempo. Paa faze isso, vamos fixa a oigem no ada. Assim, quando você vê o ada, ele está na posição -100 apoximadamente (medida em metos) e enconta o ada 5,74 segundos depois (na posição zeo), como pode se visto na Figua 1.3. x(m) t(s) Figua 1.3: As posições de um cao que se apoxima de um ada em função do tempo. Qual a velocidade do cao no instante t = 5,74s? Paa calcula a velocidade nesse instante, vamos diminui o intevalo de tempo até que ele seja tão pequeno, que o intevalo se eduza a esse instante. Vamos começa com o intevalo ente 0s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo, usando os valoes vistos na Figua 1.3, é: x( 5, 74s) x( 0s) m m v0 5, 74 = = 17, 4 63km/h. 5, 74 0 s s 1 CECIER J Extensão

14 Vamos agoa diminui paa o intevalo de tempo ente os instantes 4,74s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: v x( 5, 74s) x( 4, 74s) m m = = 1, 06 43km/h. 5, 74 4, 74 s s 4, 74 5, 74 AULA 1 Vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,73s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,749s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Só paa se chato, vamos diminui ainda mais paa o intevalo ente 5,7399s e 5,74s. A velocidade média nesse intevalo é: Você está vendo? Quando estamos no limite em que o intevalo é zeo, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu cao passa pelo ada. Podemos expessa matematicamente esta última fase da seguinte foma: v v v Esse limite (lim) define a deivada da posição com elação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a deivada com elação ao tempo da função que desceve a posição da patícula nesse dado instante. Logo, a velocidade instantânea num dado instante t 0 é expessa po x( 5, 74s) x( 5, 73s) m m = = 10, 57 38km/h. 5, 74 5, 73 s s 5, 73 5, 74 x( 5, 74s) x( 5, 739s) m m = = 10, 56 38km/h. 5, 74 5, 739 s s 5, 739 5, 74 x( 5, 74s) x( 5, 739s) m m = = 10, 56 38km/h. 5, 74 5, 739 s s 5, 739 5, 74 x t + t x t v( t) = lim. t 0 t dx( t) v( t ) = 0 ( ) ( ) dt t = t0. (1.4) CECIER J Extensão 13

15 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional (A expessão dx( t) é a deivada da função posição, denotada po dt x(t), com elação ao tempo, que denotamos po t.)! A velocidade instantânea é igual ao valo limite de velocidades médias (em intevalos de tempo cada vez menoes), e a unidade da velocidade instantânea seá a mesma da velocidade média: uma unidade de compimento dividida po uma unidade de tempo. Assim, a velocidade instantânea também pode se dada em metos po segundo, po exemplo, como a velocidade média. Pela Equação (1.4), se soubemos x(t), que nos fonece a posição como função do tempo, podemos detemina a função velocidade v(t) em qualque instante do domínio desta função. Aliás, x(t) também é chamada de lei hoáia do movimento. Agoa, você podeia nos pegunta: Se você conhece a velocidade de uma patícula em todos os instantes do movimento e a posição que ela ocupa num instante em paticula, é possível descobi qual é o movimento ealizado pela patícula? A esposta é sim! Se conhecemos a função velocidade e sua posição num dado instante, podemos enconta a função posição, que nesse caso é obtida po meio do conceito matemático de integal. Assim, dada a posição x 0 de uma patícula no instante t 0 e a sua função velocidade v(t), a função posição é dada po t (1.5) (A expessão v( t ) dt é a integal, do instante t 0 ao instante t, da t0 x( t) = x0 + v( t ) dt. função velocidade, denotada po v(t), e t é a vaiável de integação.) O cálculo de deivadas e integais está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações. t t0 14 CECIER J Extensão

16 ATIVIDADE. A posição de uma patícula que se move ao longo do eixo x vaia no tempo de acodo com a expessão x = t, com x em metos e t em segundos. Calcule sua posição: AULA 1 a. no instante t = 3,0s b. em t = 3,0s + t. c. Calcule o limite de x/ t, consideando que t se apoxima de zeo, paa enconta a velocidade instantânea em t = 3,0s. RESPOSTAS COMENTADAS a. No instante t = 3,0s, a posição da patícula vale x( 3, 0s) = ( 3, 0) m = 18m. b. Em um instante póximo, t = 3,0s + t, a posição calculada é x( 3, 0s + t) = 3, 0 + t m 18 1 t t m. t = 3,0s vale ( ) = + + ( ) c. O deslocamento da patícula ente os instantes 3,0s e 3,0s + t é dado po x = x(3,0 + t) x(3,0) = [1 t +,0( t) ]m. Ao dividi o deslocamento pelo intevalo de tempo, encontamos o seguinte esultado: x m = ( 1 +, 0 t). t s No limite em que t 0, o segundo temo do lado dieito da igualdade acima tende a zeo. Potanto, a velocidade instantânea da patícula em v x 3, 0s lim t 0 1m/s. t ( ) = = ACELERAÇÃO CONSTANTE A aceleação desceve quão apidamente vaia a velocidade duante o movimento. De ceto modo, pecebemos aceleações com mais facilidade do que velocidades. Imagine que você esteja de olhos fechados viajando em um automóvel de janelas fechadas, que pecoe uma estada CECIER J Extensão 15

17 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional hoizontal e eta (suponha, além disso, que a estada esteja em bom estado e que o cao seja bom): as aceleações são facilmente pecebidas. Se o cao acelea, você sente o banco do cao pessionando as suas costas. Se a aceleação é negativa, isto é, se o cao desacelea, você sente agoa o cinto de seguança pessionando o seu peito paa tás (sendo uma pessoa inteligente, você cetamente usaá cinto de seguança). Já estamos habituados ao uso coloquial do conceito de aceleação. Todos nós entendemos o que significa dize que o automóvel está aceleando; significa que a velocidade do automóvel está aumentando. Se dissemos que a aceleação é gande, entende-se que a velocidade está vaiando apidamente, ou seja, em um ceto intevalo de tempo, a velocidade vaia de uma quantidade consideada gande. Se um automóvel é feado, sua velocidade também vaia, o que eduz o valo da velocidade. Nesse caso, diz-se que o automóvel foi desaceleado. Em linguagem coloquial, vaiações positivas de velocidade são chamadas de aceleações, e vaiações negativas são chamadas de desaceleações. Em Física, o conceito de aceleação num movimento etilíneo é de uma gandeza que pode se positiva, negativa ou nula. Po aceleação nula entende-se, é clao, a ausência de aceleação. Nesse caso, a velocidade é constante ou o copo se enconta em epouso. Aceleação média e instantânea Considee um intevalo de tempo [t 1, t ], com t > t 1. Se v(t 1 ) é a velocidade da patícula no instante t 1 e v(t ) é a velocidade da patícula no instante t, a vaiação da velocidade no intevalo de t 1 a t é v = v( t ) v( t ) 1 (1.6) e a duação desse intevalo é t t t. (1.7) = 1 A azão ente a vaiação da velocidade no intevalo de t 1 a t e a duação desse intevalo é chamada de aceleação média da patícula no intevalo [t 1, t ], ou seja, a = v( t) v( t1) v t t t. t t1 1 (1.8) 16 CECIER J Extensão

18 Uma vaiação de velocidade é expessa, natualmente, em unidade de velocidade, isto é, unidade de compimento dividida po unidade de tempo. Sendo a aceleação média a azão ente a vaiação de velocidade e a duação de um intevalo de tempo, a sua unidade seá a de velocidade dividida pelo tempo. AULA 1 No S.I. ( unidades) a unidade de aceleação média é o meto po segundo po segundo, ou simplesmente m/s. Sendo a duação do intevalo t t 1 uma gandeza positiva, concluímos que a aceleação média é positiva somente se a vaiação da velocidade da patícula no intevalo de t 1 a t é positiva, isto é, se a velocidade aumenta nesse intevalo de tempo. A aceleação média é negativa somente se a velocidade diminui no intevalo. Finalmente, o caso da aceleação média nula coesponde à situação em que a velocidade da patícula em t é igual à sua velocidade em t 1. Poém, isso não significa necessaiamente que duante esse intevalo a velocidade da patícula tenha pemanecido constante. Isso pode ou não te acontecido, mas, conhecendo-se apenas a velocidade média nesse intevalo, nada podemos afima. A aceleação média dá apenas uma idéia global de como vaia a velocidade em um intevalo.! Po exemplo, a velocidade média nula em um intevalo não significa necessaiamente que a velocidade tenha pemanecido constante nesse intevalo; ela pode te vaiado de modo a volta, no final do intevalo, ao valo que tinha no início. Paa te uma infomação mais detalhada sobe a apidez da vaiação da velocidade, devemos considea o conceito de aceleação instantânea, que nos fonece a apidez com que a velocidade vaia num instante em paticula. A aceleação instantânea da patícula no instante t é o limite da azão ente v e t, quando a duação do intevalo tende a zeo, ou seja, ( ) ( ) v t + t v t a( t) = lim. t 0 t (1.9) CECIER J Extensão 17

19 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Esse limite (lim) define a deivada da velocidade com elação ao tempo, ou seja, a aceleação instantânea num dado instante é a deivada com elação ao tempo da função que desceve a velocidade da patícula nesse dado instante. Logo, a aceleação instantânea num dado instante t 0 é expessa po a( t ) = 0 dv t dt ( ) t= t0. (1.10) (A expessão dv ( t ) é a deivada da função velocidade, denotada dt po v(t), com elação ao tempo, que denotamos po t.) Agoa você podeia dize com convicção: "Mas a função velocidade já não é a deivada com elação ao tempo da função posição? Logo, posso conclui então que devo deiva com elação ao tempo duas vezes a função posição paa obte a função aceleação." Isso mesmo, a expessão matemática da sua afimação nos mosta como calcula a função aceleação a pati da função posição: (1.11) d (A expessão indica que estamos deivando duas vezes uma dt função com elação ao tempo. O índice não significa que estamos elevando ao quadado.) De acodo com o que você viu, no final da seção anteio, você podeia nos pegunta agoa: Se você conhecesse a aceleação de uma patícula em todos os instantes do movimento e a sua velocidade num instante em paticula, seia possível detemina a sua função velocidade? A esposta é sim! Se conhecemos a função aceleação e uma dada velocidade instantânea v 0, podemos enconta a função velocidade. A função velocidade é obtida po meio do conceito matemático de integal. Assim, dv( t) d dx( t) d x( t) a( t) = =. dt dt dt dt v( t) = v0 + a( t ) dt. t t0 (1.1) 18 CECIER J Extensão

20 t (A expessão a( t ) dt é a integal, do instante t 0 ao instante t, da t0 função aceleação, denotada po a(t), e t é a vaiável de integação.) Como já dissemos, o cálculo de deivadas e de integais está foa do objetivo deste cuso e não seá cobado nas avaliações, mas ele é necessáio paa deduzimos as equações do movimento etilíneo com aceleação constante a segui. AULA 1 Aceleação constante ou Movimento Retilíneo Unifomemente Vaiado (MRUV) Suponha que uma patícula se mova com aceleação constante duante um deteminado intevalo de tempo. Como você viu anteiomente, se você soube a velocidade instantânea no instante inicial desse intevalo, podeá conhece a velocidade em qualque instante desse intevalo. Vamos epesenta a aceleação da patícula po a e vamos chama de v 0 a velocidade no instante inicial t 0 = 0. Pela Equação (1.1), podemos esolve a integal paa obte a função velocidade em qualque instante t petencente a esse intevalo, (1.13) Agoa, se conhecemos também a posição da patícula no instante inicial, podemos obte a sua posição em qualque instante desse intevalo, como você já viu na seção anteio. Assim, se epesentamos x 0 como a posição inicial da patícula, podemos substitui o esultado da Equação (1.13) na Equação (1.5) paa obte (1.14) que é a conhecida expessão paa a lei hoáia do movimento no MRUV, estudada no ensino médio. v( t) = v + a dt = v + at. x( t) = x + v( t ) dt 0 t 0 t = x + v + at dt Finalmente, vamos temina esta seção com o seguinte execício: combine os esultados obtidos pelas Equações (1.13) e (1.5) e enconte que, paa um instante qualque do intevalo, a seguinte elação é válida: 0 0 t 1 = x0 + v0t + at, 0 ( ) v v a x x. = + ( ) 0 0 (1.15) CECIER J Extensão 19

21 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional ATIVIDADES 3. Uma moto está em alta velocidade, a 5m/s, quando o limite de velocidade pemitido na ua é de 60km/h. Um cao de polícia, paado no momento em que a moto passa, pate depois de 4s. O cao começa a acelea a uma taxa constante de 5m/s até atingi a sua velocidade máxima de 50 m/s. A pati daí, ele mantém essa velocidade até o final da peseguição. a. Em quanto tempo o cao de polícia atinge a sua velocidade máxima? b. Qual é a distância ente a moto e o cao nesse instante? c. Quando o cao vai esta 160m atás da moto? Qual é a velocidade do cao de polícia nesse instante? d. Quando o cao da polícia consegue alcança a moto? e. Se o motoqueio tivesse pecebido que estava acima do limite de velocidade e avistasse o cao de polícia a 100m de distância, que desaceleação constante ele deveia impimi paa atingi o limite de velocidade pemitido ao passa pelo guada? 0 CECIER J Extensão

22 RESPOSTAS COMENTADAS Vamos adota o eixo hoizontal x ao longo da ua onde ocoe a peseguição, sendo que a oigem x 0 = 0 está colocada no ponto em que o cao da polícia começa a acelea. Veja a Figua 1.4, que mosta o instante em que o cao de polícia começa a acelea. AULA 1 Cao da polícia Moto x(m) Figua 1.4: O eixo x está colocado ao longo da ua onde ocoe a peseguição. a. Em pimeio luga, você deve esceve a função hoáia do cao de polícia. O cao da polícia pate do epouso, aceleando a uma taxa constante de a p = 5m/s. A posição do cao de polícia, x p (t), é dada po um movimento unifomemente aceleado até atingi a velocidade máxima do cao, v max = 50m/s. Você sabe que em um MRUV a velocidade é dada pela fómula v = v 0 + at. Como o cao patiu do epouso, v 0 = 0, a velocidade tem que vale v(t) = a p t. Em um ceto instante t 1, a velocidade máxima é alcançada pelo cao v max = a pt1. Assim, você enconta o instante calculando ( 50m/s) t 1 = = 10s. ( 5m/s ) b. Se você usa a função hoáia do MRUV, então podeá esceve a posição do cao de polícia, x p (t)= a p t/. No instante t 1, o deslocamento do cao foi de ( 5m/s ) x p ( 10) = ( 10s) = 50m. Note que a moto diige a uma velocidade constante, v m = 5m/s. Duante os t 0 = 4s em que o cao de polícia ficou paado, a moto se deslocou de x m (0) = v m t 0 = 100m. A posição dela, x m (t), é dada pela equação x ( t ) = + t. m 100 m 5 CECIER J Extensão 1

23 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional O deslocamento da moto até o instante t 1 vale x m ( 10) = 100m + ( 5m/s) ( 10s) = 350m. Assim, a distância ente os dois caos no instante em que o cao de polícia atinge a velocidade máxima é dada po x m (t) x p (t) = (300 50)m = 100m. c. Agoa é necessáio compaa o movimento da moto com o do cao. A distância ente a moto e o cao é dada po x m (t) x p (t) = x m (0) + v m t a p t /. Você pode então esceve que x ( t) x ( t) 100m 5m/s t, 5m/s t. m p = + ( ) ( ) Você deve calcula o tempo tal que x m (t) x p (t) = 160m. Esta equação do segundo gau é equivalente à elação t 10t + 4 = 0. A equação acima tem duas soluções, t = 4s ou t = 6s. A velocidade instantânea do cao de polícia, v(t) = a p t, no instante t = 6s vale v( 6s) = ( 5m/s )( 6s) = 30m/s e no instante t = 4s vale v( 4s) = ( 5m/s )( 4s) = 0m/s. d. A pati do instante t 1 = 10s, o cao da polícia alcança a sua velocidade máxima e mantém-se a 30m/s. Logo após esse instante, você deve esceve a posição do cao como x p (t) = x p (10s) + v max (t t 1 ). O esultado que você enconta é o seguinte: x ( t ) ( t ), t 10s. p 50 m 50 m/s 10 s = + ( ) Vamos novamente compaa o movimento da moto com o do cao. A peseguição acaba quando a posição do cao da polícia fo igual à posição da moto, x p (t) = x m (t). Esta equação é a seguinte: 100m 5m/s t 50m 50m/s ( t 10s) + ( ) = + ( ) Quando você esolve a equação acima, vai enconta o instante t, ou o tempo que o cao alcança a moto depois de atingi a sua velocidade máxima. O esultado que você obtém é t = 14s. Uma vez que o cao ficou paado po 4s, aceleou duante t 1 = 10s e levou mais um tempo t = 14s paa alcança a moto; o tempo total da peseguição foi de ttotal = t0 + t1 + t = ( )s = 8s. CECIER J Extensão

24 e. Caso o motoqueio tivesse feado ao longo de 100m, iia diminui sua velocidade de v 0 = 5m/s paa v = 60Km/h 16,7m/s. Você pode usa a elação v = v + a x. Assim, a aceleação constante seia de ( 77, 7 65) m/s a ( 100m) 0 ( ) 1, 74m/s. AULA 1 4. O sinal amaelo em um cuzamento fica ligado duante 3s. A lagua do cuzamento é de 15m. A aceleação máxima de um cao que se enconta a 30m do cuzamento quando o sinal muda paa amaelo é 3m/s, e ele pode se feado a 5m/s. a. Que velocidade mínima o cao pecisa te na mudança do sinal paa atavessa no amaelo? Qual é a velocidade quando acaba de passa pelo cuzamento? b. Qual é a velocidade máxima que lhe pemite paa antes de atingi o cuzamento? Considee que o tempo de eação do motoista é da odem de 0,7s. CECIER J Extensão 3

25 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional RESPOSTAS COMENTADAS O eixo hoizontal x que vamos adota fica ao longo da ua. A oigem x 0 = 0 fica a 30m do cuzamento, como está mostado na Figua 1.5. Cao v x(m) Figua 1.5: O eixo x que nós escolhemos se estende pela ua até o cuzamento. a. Você deve nota que: (I) O cao deve pecoe a distância até o cuzamento mais a lagua do cuzamento, dando um total de 45m. (II) Paa atavessa no sinal amaelo, ele tem t s = 3s, mas leva t = 0,7s paa o motoista eagi e pisa no aceleado. (III) O cao pate com uma velocidade inicial v min, aceleando a uma taxa constante de a = 3m/s. Paa você calcula quanto vale a velocidade mínima paa que o cao ultapasse o cuzamento duante o sinal amaelo, é necessáio calcula quanto vale v min. No entanto, você deve pecebe que, duante o tempo de eação, t = 0,7s, o motoista se desloca de A pati desse instante, o motoista começa a acelea. Resta agoa um tempo de t s t =,3s paa o cao pecoe 45m d. A posição do cao, x(t), é dada po um movimento unifomemente aceleado até atingi a velocidade no final do cuzamento, v f. Você sabe que em um MRUV a posição como função do tempo é dada pela seguinte equação: Agoa, você deve faze x(t =,3s) = 45m, ou seja, a posição do cao no tempo que esta deve se a do final do cuzamento. Quando você calcula isso, vai enconta d = v min t 1 1 x( t) = d + vmint + at = vmin( t + t) + at 3 x(, 3s) = 45m = ( 3s) vmin + (, ) 3 s 4 CECIER J Extensão

26 Basta esolve a equação anteio paa calcula quanto vale v min. Você vai chega à conclusão de que a velocidade mínima paa ultapassa o sinal amaelo é de: A velocidade em um MRUV é dada pela fómula v = v 0 + at. Como o cao patiu com velocidade v min, a velocidade no final do cuzamento, v f, tem que vale 45 1, 5 (, 3) v min = 3 m s 1, 4m/s. AULA 1 v f = 1, 4m/s + ( 3m/s )(, 3s) 19, 3m/s. b. Paa calcula a velocidade máxima, você deve obseva que: (I) O cao deve pecoe a distância até o cuzamento,30m. (II) O motoista tem t s = 3s paa paa no sinal, mas leva t = 0,7s paa eagi e pisa no feio. (III) O cao está a uma velocidade v máx e feia com uma aceleação de a = -5m/s. Duante o tempo de eação, t = 0,7s, o motoista se desloca de d = v máx t. Em seguida, a posição do cao, x(t), é dada po um movimento unifomemente etadado até paa, v f = 0. Quando você esceve a posição como função do tempo, temos: 1 1 x( t) = d + vmáx t + at = vmáx( t + t) + at. Agoa, a posição do cao, no tempo que esta, deve vale x(t =,3s) = 30m. Quando você faz isso, deve enconta 5 x(, 3s) = 30m = ( 3s) v m/s (, 3s) mæx. Basta esolve a equação acima paa calcula quanto vale v máx. Você vai chega à conclusão de que a velocidade máxima paa paa no sinal amaelo é de 30 +, 5 (, 3) v m á x = 3 m s 14, 4m/s. CECIER J Extensão 5

27 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional GRÁFICOS DO MOVIMENTO Significado geomético da velocidade A tajetóia de uma patícula que se desloca no eixo OX é deteminada pela sua posição x(t), mas a velocidade média e a velocidade instantânea também têm um significado geomético de fácil visualização no gáfico de x vesus t. De fato, na Figua 1.6 está epesentada a posição x(t) da patícula paa os instantes de tempo t 1 e t. x(t) x(t ) x x(t 1 ) t t 1 t t Figua 1.6: Significado geomético da velocidade média. O coeficiente angula da eta secante à cuva que passa pelos pontos com coodenadas (t 1, x(t 1 )) e (t, x(t )) é x( t) x( t1). t t 1 (1.16) Compaando a equação acima com a Equação (1.3), vemos que essa é a intepetação geomética da velocidade média em um movimento unidimensional. 6 CECIER J Extensão

28 Considee agoa a Figua 1.7.a a segui, onde foam desenhadas váias etas secantes associadas às velocidades médias em intevalos de tempos cada vez menoes (t > t 3 > t 4 ). Obseve que, à medida que o intevalo de tempo tende a zeo, a eta secante se apoxima da eta tangente. Po isso, a velocidade instantânea v(t 1 ) é epesentada geometicamente pelo coeficiente angula da eta tangente à cuva de x vesus t no ponto da cuva com coodenadas (t 1, x(t 1 )). AULA 1 x(t) Tangente x x 3 x 4 x x 1 t 14 t 13 t 1 t 1 t 4 t 3 t t Figua 1.7.a: Repesentação geomética da velocidade instantânea. x(t) Obseve então a Figua 1.7.b. No caso em que o gáfico de x vesus t é uma eta, a velocidade média é o coeficiente angula da eta, sendo, potanto, constante. Mas a eta tangente em cada ponto da eta também coincide com a pópia eta. Como a velocidade instantânea é o coeficiente angula da eta tangente, ela é constante e igual à velocidade média. (Note ainda que, neste caso, a aceleação média e a aceleação instantânea são nulas. "Você sabeia explica o poquê?") x x 1 t 1 t Figua 1.7.b: Gáfico x vesus t. CECIER J Extensão 7

29 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Como você viu anteiomente, quando o gáfico de x vesus t não é uma eta, o cálculo da velocidade instantânea tem que se feito com a definição exata do limite dada pela deivada. Significado geomético da aceleação A aceleação média e a aceleação instantânea têm um significado geomético que é de fácil visualização quando fazemos o gáfico de v vesus t. Na Figua 1.8, está epesentada a velocidade instantânea da patícula v paa os instantes de tempo t 1 e t. O coeficiente angula da eta secante à cuva que passa pelos pontos com coodenadas (t 1, v(t 1 )) e (t, v(t )) é v( t) v( t1). t t 1 (1.17) Compaando a equação acima com a Equação (1.8), vemos que essa é a intepetação geomética da aceleação média em um movimento unidimensional. v x (t) v x v x (t ) t t 1 t t Figua 1.8: Significado geomético da componente da aceleação instantânea. 8 CECIER J Extensão

30 Na Figua 1.9, foam desenhadas váias etas secantes associadas às aceleações médias em intevalos de tempos cada vez menoes. Neles, o instante que define a aceleação média fica cada vez mais póximo do instante de tempo t 1. Obseve que, à medida que o intevalo de tempo tende a zeo, a eta secante se apoxima da eta tangente. Potanto, a aceleação instantânea a(t 1 ) é epesentada geometicamente pelo coeficiente angula da eta tangente à cuva no gáfico de v vesus t no ponto da cuva com coodenadas (t 1, v(t 1 )). AULA 1 v x (t) Tangente à cuva v x v x3 v x4 x v x1 t 14 t 13 t 1 t 1 t 4 t 3 t t Figua 1.9: Significado geomético da componente da aceleação instantânea. No caso em que o gáfico de v vesus t é uma eta, como mosta a Figua 1.10, a aceleação média é o coeficiente angula da eta, sendo, potanto, constante. A eta tangente em cada ponto da eta coincide com a pópia eta. Como a aceleação instantânea é o coeficiente da eta tangente, ela é também constante e igual à aceleação média. v x (t) v x (t ) v x (t 1 ) t 1 t t 1 Figua 1.10: Movimento unifomemente aceleado. CECIER J Extensão 9

31 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional O poblema inveso No movimento unidimensional no eixo OX, a tajetóia da patícula fica completamente deteminada quando conhecemos x(t). Como você já viu na seção anteio, a pati do conhecimento de a(t), podemos enconta x(t) se conhecemos a posição inicial e a velocidade inicial. Este poblema é denominado de poblema inveso. Nesta seção, ele seá esolvido de foma geomética paa o movimento etilíneo unifome (a(t) = 0) e paa o movimento unifomemente aceleado (a(t) = constante 0). Movimento Retilíneo Unifome (MRU) O Movimento Retilíneo Unifome é aquele em que a velocidade instantânea é constante e, potanto, a aceleação instantânea e a aceleação média são nulas. No MRU, o gáfico de x vesus t é uma eta, como mosta a Figua x(t) x x 1 t 1 t t Figua 1.11: Movimento Retilíneo Unifome. Potanto, a velocidade média é constante e igual à velocidade instantânea, que vamos chama simplesmente de v. Conseqüentemente, podemos obte x(t) utilizando a definição de velocidade média, v t1 t x( t) x( t1) = t t 1 x( t ) = x( t ) + v ( t t ) 1 t1 t 1 x t = x t + v ( t t ) ( ) ( ), 1 1 (1.18) 30 CECIER J Extensão

32 onde usamos acima o fato de que a velocidade instantânea e a velocidade média são iguais paa o MRU. Note que, paa obtemos a posição x(t ), é necessáio conhece a posição inicial da patícula x(t 1 ) e a velocidade v. Mas também podemos obte x(t) utilizando a intepetação geomética da velocidade média. Pela Equação (1.18), o deslocamento é AULA 1 x x( t ) x( t ) v t t, = ( ) 1 1 (1.19) que é justamente a áea do etângulo mostado na Figua 1.1. v x (t) v x 0 t 1 t t Figua 1.1: Repesentação geomética do deslocamento x. Movimento Retilíneo Unifomemente Vaiado (MRUV) O Movimento Retilíneo Unifomemente vaiado é aquele em que a aceleação instantânea é constante, a qual vamos chamá-la de a. Já sabemos que nesse caso a aceleação média também é constante. Potanto, podemos obte com facilidade a dependência da velocidade instantânea com o tempo, usando a definição da velocidade média, a t1 t v( t) v( t1) = t t 1 v( t ) = v( t ) + a ( t t ) 1 t1 t 1 v t = v t + a( t t ) ( ) ( ), 1 1 (1.0) CECIER J Extensão 31

33 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional onde usamos acima o fato de que a aceleação instantânea e a aceleação média são iguais paa o MRUV. Note que, paa obtemos a velocidade v(t ), é necessáio conhece a velocidade inicial da patícula v(t 1 ) e a aceleação a. Se consideamos o intevalo de tempo ente os instantes t 1 = 0 e t = t, temos que v(t) = v(0) + at, que é a equação hoáia que desceve a velocidade instantânea MRUV. "Mas como podemos detemina a posição da patícula em cada instante?" A posição no MRUV pode se obtida a pati do gáfico v vesus t da seguinte foma: pimeiamente, vamos dividi o intevalo em N subintevalos, cada um deles com duação t t = f ti, N onde t i e t f são os instantes inicial e final do intevalo espectivamente. Paa ilusta esse pocedimento, na figua abaixo dividimos o movimento em 10 subintevalos (N = 10) e mostamos o gáfico v vesus t na Figua v x (t) v xf v x10 v x9 v x8 v x7 v x6 v x5 v x4 v x3 v x v x1 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 t f t Figua 1.13: Repesentação geomética do deslocamento x. 3 CECIER J Extensão

34 Vamos agoa faze uma estimativa paa o deslocamento imaginando que a patícula se mova com velocidade constante em cada um desses subintevalos. Como vimos anteiomente, quando a velocidade é constante, podemos obte exatamente o deslocamento em cada um desses subintevalos, que é a áea de cada etângulo epesentado no gáfico acima. Assim, o deslocamento total desse movimento imagináio é a soma de todos os deslocamentos de cada subintevalo, ou seja, AULA 1 x x( t ) x( t ) = v t. f i N i= 1 (1.1) Podemos intui que, quando o númeo de subintevalos tende paa o infinito, o deslocamento imagináio se tansfomaá no deslocamento eal e a soma das áeas dos etângulos se tansfomaá na áea sob a eta que epesenta v vesus t. Logo, o deslocamento no MRUV é a áea do tapézio etângulo de bases v(t i ) e v(t f ) e altua h = t f t i. Assim, x x t x t ( ) ( ) = f i ( ) + ( ) v tf v t i h ( ) + ( ) = v t f v ti tf ti. (1.) Mas pela Equação (1.0), temos que v( t ) v( t ) a t t. = + ( ) f i f i Substituindo o esultado acima na Equação (1.), obtemos finalmente a x( tf ) = x( ti ) + v( ti )( tf ti ) + ( t f t i ). (1.3) Note que, se consideamos o intevalo de tempo ente os instantes t i = 0 e t f = t, temos 1 x( t) = x( 0) + v( 0) t + at, (1.4) que é a lei hoáia do movimento no MRUV, obtida também na Equação (1.14). CECIER J Extensão 33

35 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional ATIVIDADE 5. Um menino binca com um cainho de contole emoto em um coedo esteito de sua casa. Ele coloca o cainho em epouso no início do coedo e aciona o contole. O cainho vai paa fente, aumentando gadualmente a velocidade até atingi 1,m/s em 6s. Depois de s, ele aciona novamente o contole de maneia que em 5s a velocidade do binquedo diminui continuamente, até paa no final do coedo. O cainho pemanece paado po 3s e começa a se move paa tás, com um aumento gadual de velocidade até 1,m/s em 4s. Subitamente, é aceleado unifomemente e páa após 4s. a. Faça os gáficos de v vesus t e a vesus t. Com base nos gáficos, esponda: b. Qual é o compimento do coedo? Em que posição, em elação ao início do coedo, o cainho paou pela segunda vez? c. Quanto vale a velocidade instantânea em t = s? Quanto vale a aceleação média do cainho ente t = 0 e t = 8s? E ente t = 16s e t = s? 34 CECIER J Extensão

36 RESPOSTAS COMENTADAS a. Vamos escolhe o eixo hoizontal x ao longo do coedo, como você pode ve na Figua A oigem x 0 = 0 vai epesenta o início do coedo. AULA 1 t = 0 t = 4s t = 13s x(m) 0 4, 9 Figua 1.14: Neste diagama, você pode ve o eixo x e também o cainho de contole emoto nos tês instantes em que ele está paado. Paa taça o gáfico de v vesus t, nós vamos esceve a velocidade do cainho como função do tempo em todos os intevalos descitos. Você deve lemba que a elação ente as velocidades inicial e final de um MRUV depende da aceleação e do intevalo de tempo, v( t ) = v( t ) + a( t t ). 1 1 Inicialmente, o cainho de contole emoto está em epouso, v(0s) = 0. Quando o menino aciona o contole, o cainho pate em um movimento unifomemente aceleado até atingi uma velocidade v(6s) = 1,m/s em 6s. Nesse intevalo de tempo, a vaiação da velocidade do cainho foi de v = v(6s) v(0s) = 1,m/s. Você pode então conclui que a aceleação constante vale a = v/ t = 0,m/s, e também que a velocidade como função do tempo, v(t) = v(0s) + 0, (t 0), é dada po v( t) = ( 0, m/s ) t, se 0 t 6s. Você deve nota que a velocidade, paa t < 6s, é dada pela equação da eta acima. O menino paou de aciona o contole e o cainho manteve a mesma velocidade po mais dois segundos. Assim, quando você olha paa o cainho, pecebe que v( t) = 1, m/s, se 6s t 8s. Logo após t = 8s, o cainho segue em um movimento unifomemente etadado até paa, v(13s) = 0. A vaiação da velocidade, v = v(13s) v(8s) = 1,m/s, ocoe em um intevalo de 5s. Logo, você calcula que a feada do cainho acontece com uma aceleação a = 0,4m/s. CECIER J Extensão 35

37 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional Na feada, você deve conclui que a velocidade, v(t) = v(8s) (0,4m/s) (t 8s), é dada pela seguinte equação da eta: v( t) 3, 1m/s 0, 4m/s = ( ) t, 8s t 13s. Você vê o cainho paado po 3s, ou seja, a velocidade é nula, v( t) = 0, se 13s t 16s. A pati de t = 16s, o menino dá é no cainho duante 4s, impondo uma vaiação de velocidade v = v(0s) v(16s) = 1,m/s. A aceleação nesse intevalo que você tem que enconta vale a = 0,3m/s. Enquanto o cainho anda paa tás, a velocidade, v(t) = v(16s) (0,3m/s)(t 16s), é dada po uma equação da eta, v( t) = ( 4, 8 0, 3t) m/s, se 16s t 0s. Nos 4s seguintes, o menino faz com que o cainho sofa uma vaiação de velocidade v = v(4s) v(0s) = 1,m/s. Você veifica então que a aceleação do cainho foi de a = 0,3m/s. A velocidade, v(t) = v(0s) + (0,3m/s)(t 0s), antes da segunda paada do cainho, é a seguinte: v( t) = ( 7, + 0, 3t) m/s, se 0s t 4s. A Figua 1.15 mosta o gáfico da velocidade e da aceleação do cainho no intevalo 0 t 4s. v(m/s) a(m/s ) 1, 0,3 0,6 0, 0, t(s) 0 0, t(s) 0,6 0, 0,3 1, Figua 1.15: Velocidade e a aceleação do cainho de contole emoto como função do tempo. 36 CECIER J Extensão

38 b. Quando nós calculamos a áea abaixo da cuva no gáfico de v vesus t, encontamos também quanto vale o deslocamento do cainho. Na pimeia vez em que o cainho paou, em t = 13s, ele pecoeu todo o coedo da casa. Veja agoa na Figua 1.15 que esse deslocamento é igual à áea do tapézio. Se você obseva, a base maio do tapézio vale B = 13, enquanto que a base meno vale b = 8 6 =. A áea do tapézio é dada pela elação (B + b) h/, onde h = 1, é a altua. A conclusão a que você deve chega é que o compimento do coedo vale AULA 1 1, ( 13 + ) x = m = 9 m. Na segunda vez em que o cainho paou, o deslocamento foi paa tás. Isso você pode nota, poque o tiângulo isósceles da Figua 1.15 está abaixo do eixo t. A áea do tiângulo coesponde a um deslocamento x = 1, (4 16)/m = 4,8m. A posição em que você vai ve o cainho paa pela segunda vez, em elação ao início do coedo, é dada po x x = ( 9 4, 8) m = 4, m. c. Quando você olha o instante t = s no gáfico de v vesus t, enconta que a velocidade instantânea do cainho é igual a 0,6m/s. A aceleação média ente dois instantes é calculada como a = (v 1 v ) / (t 1 t ). No gáfico da velocidade como função do tempo, você deve calcula a aceleação média como o coeficiente angula da eta que conecta os pontos (v 1, t 1 ) e (v, t ). O coeficiente angula da eta que conecta os pontos (0, 0) e (8, 1,) vale, a = v( 8s) v( 0s) = ( 1, m/s) 8 = 0, 15 m/s, s s ( s) que é igual à aceleação média do cainho ente t = 0 e t = 8s. Po outo lado, a eta que conecta os pontos (16, 0) e (, 0,6) tem um coeficiente angula a = v( s) v( 16s) = (. m/s) ( 6 ) =, m/s s s s 16 CECIER J Extensão 37

39 Movimentos: Vaiações e Consevações Movimento unidimensional R E S U M O Nesta aula, definimos conceitos que são usados paa desceve o movimento unidimensional. Definimos o deslocamento e a duação de um intevalo de tempo utilizando-os na deteminação da velocidade média nesse intevalo. Entendemos que a velocidade num dado instante (velocidade instantânea) é a velocidade média no limite em que o intevalo de tempo tende a zeo, em que o intevalo é medido a pati do instante dado. De maneia análoga, definimos a aceleação média e vimos que a aceleação instantânea é a aceleação média no limite em que o intevalo de tempo tende a zeo. Descevemos o significado físico da velocidade e da aceleação e vimos como essas gandezas podem se usadas paa desceve a posição de uma patícula em um dado instante. Finalmente, epesentamos gaficamente a posição, a velocidade ou a aceleação de uma patícula como função do tempo; também mostamos a intepetação geomética dessas gandezas. LEITURA RECOMENDADA Uma explicação sobe coodenadas e eixo coodenado pode se vista na Aula 1 da Apostila Física 1A, Módulo 1. Uma explicação detalhada sobe como podemos calcula a função posição a pati da função velocidade pode se vista na Aula 5 da Apostila Física 1A, Módulo CECIER J Extensão

40 Cinemática vetoial A U L A Meta da aula Discuti os pincipais aspectos elacionados à cinemática vetoial. Texto adaptado po Lizado H. C. M. Nunes e Licinio Potugal das apostilas: - SOUZA, Calos Faina de; Pinto, Macus Venicius C.; Soaes Filho, Paulo Cailho. Física 1A. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ, 004. v.1. objetivos Ao final desta aula, você deveá se capaz de: deduzi as equações do movimento quando o veto aceleação é constante; enconta o veto posição, o veto velocidade instantânea e o veto aceleação instantânea usando as equações vetoiais paa uma patícula em movimento não-etilíneo com aceleação nula ou constante; aplica as equações deduzidas paa discuti o lançamento de pojéteis; utiliza as tansfomações de Galileu paa desceve o movimento em difeentes efeenciais. Pé-equisito Paa melho compeensão desta aula, você pecisa te estudado a Aula 1 Movimento unidimensional.

41 Movimentos: Vaiações e Consevações Cinemática vetoial VETOR DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERACÃO Pelo que você já apendeu, cetamente deve se capaz de pecebe que o conceito de veto é pefeito paa desceve deslocamentos. Mas você veá, a segui, que os vetoes também são um meio excelente de desceve as demais gandezas cinemáticas, como a posição, a velocidade e a aceleação. VETOR POSIÇÃO E VETOR DESLOCAMENTO Considee uma patícula em um ponto P, com coodenadas x, y e z em elação a um sistema de eixos OXYZ, tal como indicado na Figua.1. Z z P O y y X x Figua.1: Veto posição de uma patícula com coodenadas x, y e z. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9.1, p Essas coodenadas especificam a posição da patícula em elação ao sistema de eixos, mas também especificam um único veto, que vai da oigem do sistema até a posição da patícula. Logo, dado o veto, com sua dieção, seu módulo e seu sentido, a posição da patícula fica univocamente deteminada. Colocando-se o ponto inicial do veto na oigem O, a sua extemidade final detemina exatamente a posição da patícula. Esse veto, que vai da oigem O do sistema de eixos até a posição da patícula, é chamado de veto posição da patícula em elação ao sistema de eixos. 40 CECIER J Extensão

42 ! Como o veto detemina a posição da patícula, muitas vezes nos efeimos ao veto posição como sendo a posição da patícula. AULA Paa detemina a posição de uma patícula no espaço, usamos também as coodenadas x, y e z da patícula em elação ao sistema de eixos OXYZ. Assim, temos duas opções paa detemina a posição da patícula em elação ao sistema de eixos OXYZ, usando o veto posição ou suas coodenadas. As duas opções são equivalentes. De fato, considee os vetoes unitáios u x, u y e u z do sistema de eixos OXYZ. Como fica clao pela Figua.1, as componentes do veto posição ao longo desses vetoes unitáios são exatamente as espectivas coodenadas da patícula: = xu + yu + zu x y z. (.1) Vamos agoa considea que a patícula se mova. Como u x, u y e u z fomam uma base paa qualque veto no espaço tidimensional, paa um dado instante t do movimento, existe um único veto posição nesse instante deteminado pela tinca de componentes escalaes desse veto, ou seja, ( t) = x( t) u + y( t) u + z( t) u. x y z (.) O veto posição é agoa uma função do z tempo, que desceve o movimento da patícula. De fato, se o ponto inicial do veto posição pemanece fixo na oigem do sistema de eixos coodenados, o ponto final vai taçando 1 = f(t 1 ) uma cuva, que é a tajetóia da patícula. A Figua. mosta vetoes posição de O = f(t ) y uma patícula em tês instantes difeentes. Essa figua também mosta a tajetóia da patícula. x 3 = f(t 3 ) Figua.: Tês vetoes posição nos instantes t 1, t e t 3 e a tajetóia da patícula. Fonte: Física 1A v.1 - Figua 9., p CECIER J Extensão 41