Mecânica Clássica (Licenciaturas em Física Ed., Química Ed.) Folha de problemas 4 Movimentos de corpos sob acção de forças centrais
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1 Mecânica Clássica (icenciatuas em Física Ed., Química Ed.) Folha de oblemas 4 Movimentos de coos sob acção de foças centais 1 - Uma atícula de massa m move-se ao longo do eixo dos xx, sujeita à acção de uma a foça F ( x) = kx +, onde a e k são constantes ositivas. 3 x x a a) Calcule a enegia otencial E (x) da qual a foça deiva. R: E (x)= k + x b) Detemine as osições de equilíbio. Estas osições são de equilíbio estável ou 1/ 4 a instável? Justifique. x = ± ; estável. k c) Calcule as osições dos ontos de etono coesondentes a um dado valo de enegia, E m. R: x = ± E m ± E k m ka Calcule o valo da aceleação da gavidade: a) na Tea, ao nível do ma; R: 9,8 ms - b) na Tea, no cimo da Sea da Estela; R: 8,9 ms - c) em Mate. R: 3,7 ms - M Tea = 5, kg; R Tea = 6, m; M Mate = 6, kg; R Mate =3, m; G=6, Nm kg - 3 Considee um lançamento na vetical (movimento unidimensional) de um objecto de massa m. Admita que a foça de esistência do a é desezável e que a Tea é um efeencial de inécia. GMT a) Moste como vaia a aceleação da gavidade com a altitude. R: g = ( RT + h) b) Esceva a equação que emite detemina a velocidade em função da altitude e v moste que a altua máxima que o objecto atinge é h = 0 g se h<<r T, onde v 0 é a 0 velocidade inicial do objecto, g 0 é a aceleação da gavidade à suefície da Tea e R T é GMT h o aio da Tea. R: v = v0 RT ( h + RT ) c) Desenhe o gáfico da enegia otencial E(y) e discuta qualitativamente o tio de movimento aa as situações E m <0, E m =0 e E m >0. Detemine a velocidade de escae, v e. GMT R: ve = R T
2 4 Uma atícula de massa m está sujeita à acção de um camo de foças ao qual está 3 associada a enegia otencial E ( x) = ax bx, onde a e b são constantes ositivas e a>b. Desenha o gáfico da enegia otencial e discuti o movimento da atícula aa difeentes valoes da enegia mecânica, salientando em cada caso as ossíveis estições ao movimento. 5 Os asteóides têm uma densidade tíica de ceca de 500 kg/m 3 e aios desde ceca de 470 km até menos de 1 km. Assumindo que um asteóide tem uma distibuição unifome de massa, estime o aio do maio asteóide do qual ode escaa simlesmente com um salto. R: = 3,75 10 Nota: ode estima a sua velocidade de salto atavés da máxima altua (h máx )que consegue salta na Tea. 3 hmáx 6 Obtenha a velocidade de escae de um asteóide de 300 km de diâmeto e com uma densidade de 500 kg/m 3. R:1, m/s. 7 Uma exeiência é ealizada no esaço sideal com esfeas unifomes, A e B, ambas com aio igual a 1 m, com massas iguais a 5 kg e 100 kg, esectivamente. As esfeas são libetadas do eouso quando os seus centos se encontam afastados de 40 m. Elas são aceleadas uma de enconto à outa devido à sua mútua atacção gavítica. a) Obtenha a massa eduzida deste sistema e a osição do seu cento de massa, elativamente à osição inicial da esfea A, no instante inicial. R: µ=0 kg; R CM =3 m. b) Qual a enegia do sistema no instante inicial? R: E m =-4, J c) Obtenha a velocidade elativa das esfeas no instante em que os seus centos se encontam a uma distância de 0 m. R: v= 10-5 m/s d) Calcule a velocidade de cada esfea nesse mesmo instante, elativamente ao efeencial do cento de massa. R: v A =1, m/s, v B =-0, m/s e) Qual a osição do cento da esfea A, elativamente à sua osição inicial, quando as duas esfeas colidem? R: 30,4 m. 8 a) Pova que dada a equação da óbita, = (θ), de uma atícula de massa m e conhecidos os valoes do momento angula,, e enegia mecânica, E m, é ossível obte uma exessão aa a enegia otencial. b) Exemlifica aa o caso em que a atícula se move numa óbita esial, dada o = aθ, onde a é uma constante. 1 d 4a R: a) E 1 ; + b) E + 1 m dθ m
3 9 - Uma atícula de massa m e momento angula de módulo move-se sob acção de um camo de foças centais, descevendo a óbita = a, onde a é uma ( θ +1) constante. a) Deduzi a exessão geal que emite obte a enegia otencial a ati da equação 1 d da óbita. R: E 1 ; + m dθ b) Obte a exessão da enegia otencial aa a óbita dada, consideando E ( )=0, e indica qual a enegia mecânica da atícula neste caso. 4 R: E + 1 m a ; E m =0. c) Paa o onto da óbita que coesonde a θ=0, obte as comonentes adial e d dθ tansvesa da velocidade da atícula. R: v = = ; v θ = = dt m dt ma 10 - O cometa Halley move-se numa óbita elítica em tono do Sol. No eiélio (onto mais óximo) este cometa está a 8, km do Sol e no afélio (onto mais distante) está a 5, km dele. a) Em que onto tem o cometa maio velocidade? Obtenha a exessão aa a velocidade, consideando M S e m H as massas do Sol e do cometa Halley, esectivamente. b) Obtenha o comimento do semi-eixo maio, a excenticidade da óbita e o eíodo da óbita. KMsmH R: a) no eiélio (onto mais óximo do cento de foças); v = ( Em + ; m b) a=, km; ε=0,968; T=75 anos; 11 A obsevação de um cometa evelou que a excenticidade da sua óbita é igual a 0,998 e o seu eiélio fica a uma distância de 0,3 UA. Admitindo que a massa do Sol é muito sueio à do cometa, e utilizando, se necessáio, as seguintes elações: α = ( 1 + ε cosθ ) E, α =, 1 m ε = +, mk mk onde θ é o ângulo ente o semieixo maio e o vecto osicional do cometa, m é a massa do cometa; K=GM s m a) Faça um esboço do gáfico da enegia otencial efectiva do camo gavitacional e discuta as caacteísticas da óbita descita elo cometa. b) Calcule o afélio da óbita deste cometa. R: 9,77 UA c) Obtenha a exessão da velocidade do cometa em qualque onto da óbita. ε 1 1 R: v( ) = GMs +
4 1 Alguns cometas têm o afélio muito afastado do Sol, tiicamente a ceca de km do Sol, tendo o isso um eíodo muito longo. Considee que um destes cometas de longo eíodo, tem o eiélio localizado na Tea. a) Obtenha o eíodo (em anos) deste cometa. R: T 4, anos. b) Estime a velocidade deste cometa de longo eíodo no eiélio. (Nota: no afélio este cometa move-se muito lentamente) R: v = 4, 10 4 m/s c) O núcleo de um cometa ode te uma massa igual a kg. Se a Tea fosse atingida o um cometa com esta massa, estime, fazendo as aoximações que considea necessáias, a enegia cinética deste cometa imediatamente antes do imacto. R: E c =8, J Nota: a enegia libetada o uma gande eução vulcânica é tiicamente da odem de J. Um imacto do tio consideado neste oblema aece te ocoido há ceca de 65 milhões de anos no Yucatan, estando eventualmente elacionado com o desaaecimento dos dinossauos e outas esécies extintas da suefície da Tea. 13 Um cometa foi obsevado elos chineses em Abil do ano 574 e novamente em Maio de Admitindo que o temo ente as obsevações coesonde ao eíodo do movimento do cometa em tono do Sol e que a excenticidade da sua óbita é igual a 0,11, a) Obtenha o comimento do semieixo maio da óbita deste cometa. R: a=1, m b) Qual a enegia mecânica total do cometa, admitindo que a massa do cometa é igual a GM sm ε kg? R: Em = 1 = 3,64 10 J c) Obtenha a exessão do módulo da velocidade da atícula em qualque onto da GMsm óbita. R: v( ) = ( Em + ) m Nota: Se necessáio utilize as elações do oblema Um meteoito C de massa m desceve uma óbita aabólica, no mesmo lano da óbita da Tea, situando-se o seu eiélio ente o Sol e a Tea. Seja M S a massa do Sol e R o aio da óbita da Tea que se suõe cicula. A velocidade do meteoito no eiélio é dula da velocidade da Tea. a) Calcule o momento angula do meteoito em elação ao cento de foças. R: = m GMsR b) Obtenha a velocidade do meteoito em GMs qualque onto da óbita. R: v = c) Iluste a sua esosta ecoendo ao gáfico do otencial efectivo, onde deve também assinala a distância ao eiélio.
5 d) Veificou-se que o coo celeste emaneceu no inteio da óbita teeste duante ceca de 11 semanas. Obtenha a equação (na foma integal) que emitiia comova este esultado. R: T = T d GMsm m m 15 Um equeno satélite de massa m=10 6 kg desceve uma óbita cicula em tono da Tea sendo a sua distância à suefície da Tea igual a 300 km e o seu momento angula elativamente ao cento de foças igual a Kg m s -1. a) Detemine a enegia mecânica e a velocidade escala do satélite em qualque onto da óbita. R: E m = J; v=4, m/s b) Reesente gaficamente a enegia mecânica e enegia otencial eficaz aa esta óbita, indicando a osição do aio da óbita. c) Num dado instante, a diecção da velocidade do satélite é alteada, assando aquele a desceve uma óbita elítica com a mesma enegia mecânica total, mas com o módulo do momento angula eduzido aa metade do seu valo inicial. Obtenha a exessão da enegia otencial eficaz em qualque onto da óbita e eesente gaficamente a enegia otencial eficaz e a enegia mecânica total, identificando os ( GMm ontos de etono desta nova óbita. R: E ef 0 / ) = m d) Calcula, aa esta nova óbita, as distâncias ao cento da Tea do eigeu (onto mais óximo) e aogeu (onto mais distante). R: a = 7, m; =, m Nota: M Tea =6, kg; R Tea =6, m; G=6, Nm kg -
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