De Kepler a Newton. (através da algebra geométrica) 2008 DEEC IST Prof. Carlos R. Paiva

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1 De Keple a Newton (atavés da algeba geomética) 008 DEEC IST Pof. Calos R. Paiva

2 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 1 De Keple a Newton Vamos aqui mosta como, a pati das tês leis de Keple sobe o movimento planetáio, é possível infei a lei da gavitação univesal de Newton. A demonstação que se segue é mais complicada do que se podeia pensa: deduzi exclusivamente a lei da gavitação univesal de Newton a pati das leis de Keple é mais complicado do que a invesa. No entanto, foi este o caminho seguido po Newton emboa, clao está, seguindo uma via fisicamente mais claa como se elata em: Malcolm Longai, Theoetical Concepts in Physics An Altenative View of Theoetical Reasoning in Physics. Cambidge: Cambidge Univesity Pess, nd ed., 003 (Case Study I: The oigins of Newton s laws of motion and of gavity, pp ). A ideia pincipal do estudo que a segui se apesenta é a de mosta um exemplo de aplicação da álgeba geomética do espaço. Segue-se de peto a exposição de David Hestenes: David Hestenes, New Foundations fo Classical Mechanics. Dodecht, The Nethelands: Kluwe Academic Publishes, nd ed., 1999 (pp ). Comecemos po considea uma patícula cujo movimento é descito pelo aio vecto longo do tempo t. Sendo m a massa dessa patícula, vem t ao foça newtoniana f m (1) onde f epesenta a foça que sobe ela se exece. Definição: Uma foça f f x diz-se uma foça cental desde que esteja sempe diigida ao longo de uma linha ecta que passa num dado ponto fixo x 0.

3 Calos R. Paiva Matematicamente uma foça f f x é cental quando 0 foça cental x x f f 0. () Consideemos que o ponto que desceve a tajectóia da patícula pode se descito atavés de dois vectoes: atavés do vecto x em elação à oigem do sistema de coodenadas escolhido; atavés do vecto x x 0, onde x 0 detemina a oigem da foça cental (e.g., o foco de uma elipse). Define-se então o momento angula L como sendo o bivecto tal que momento angula L m m x x x. (3) 0 Daqui esulta que f m ou, tendo em consideação que d m m m m dt, d m f dt ou, atendendo ainda a (3), d f L. (4) dt Conclusão: Uma foça é cental sse (se e só se) o momento angula fo constante.

4 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 3 Figua 1 A tajectóia t desceve uma óbita em que o aio vecto vai vaendo uma áea oientada da d. A t tal que 1 De acodo com a Fig. 1, o bivecto A t da áea oientada é tal que t t bivecto da 1 1 At d dt áea oientada (5) 0 0 uma vez que d d dt. dt Logo, de acodo com (3), vem t 1 L At dt t m L A. (6) m 0 Conclusão: Numa foça cental o momento angula é constante e, consequentemente, o aio vecto vae áeas iguais em tempos iguais, i.e, o bivecto A é independente do tempo. Uma consequência imediata deste esultado é que a tajectóia da patícula está contida no plano definido pelo bivecto L. Com efeito, sendo momento angula L L Bˆ L B ˆ (7)

5 4 Calos R. Paiva um bivecto constante, infee-se de (3) que foça cental L 0. (8) Po outo lado, se a óbita é fechada, o movimento é peíódico com um peíodo tal que, de acodo com (6), áea oientada de um peíodo A L. (9) m Designando po ˆ o vecto unitáio do aio vecto, i.e., fazendo, ˆ vem ˆ ˆ. (10) Daqui esulta que 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL Lˆ ˆ L ˆ L L ˆ Lˆ ˆ. (11) m m Então, substituindo (11) em (10), obtém-se Lˆ L L ˆ ˆ ˆ. (1) m m m Note-se que L L L L L m m m m m ˆˆ. (13) No caso do movimento plana, é possível esceve ainda

6 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 5 ˆ εˆ exp B ˆ (14) em que ˆε é um vecto constante, ˆB é o bivecto unitáio que caacteiza o movimento obital e t detemina o movimento ao longo do tempo sobe a tajectóia. Deivando (14) em odem ao tempo, vem então ˆ ˆB ˆ. (15) Logo, de (11) e (15), tia-se que ˆ L ˆ ˆ B L m Bˆ L L m. (16) m Vamos agoa segui, usando a nossa linguagem matemática, o caminho teóico pecoido po Newton desde as tês leis de Keple sobe o movimento planetáio até à lei da gavitação univesal. Comecemos, potanto, po ecoda aqui as tês leis de Keple: (1) Os planetas movem-se sobe elipses ocupando o Sol um dos focos. () O aio vecto vae áeas iguais em tempos iguais. (3) O quadado do peíodo de evolução é popocional ao cubo do semi-eixo maio da elipse. F t x 0 O b x t P a Figua O planeta P desceve uma elipse à volta do Sol que ocupa o foco F. Tem-se t t 0 x x. O semi-eixo maio da elipse é a enquanto que o semi-eixo meno é b.

7 6 Calos R. Paiva De acodo com a pimeia lei de Keple, vem (ve texto sobe cónicas). (17) 1 ε ˆ Deivemos esta expessão em odem ao tempo. Vem ε ˆ 1ε ˆ. (18) De foma a calcula o numeado desta última expessão, vamos multiplica ambos os membos de (11) po ε, vindo então ˆ ˆ ˆ ˆ ε L ε L ε L ε L εˆ εˆ ε ˆ m m m m ε ˆ εˆ ε ˆ L m. (19) ε ˆ L m Agoa, da pimeia equação de (19) e tendo (17) em consideação, obtém-se ˆ 1 ˆ ε ˆ ε L ε. (0) m Logo, substituindo (0) em (18), infee-se que ˆ ε L. (1) m Deivando novamente esta última equação, obtém-se

8 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 7 ε ˆ L ε ˆ L m m ou, como ε ˆ 1, vem finalmente L L L L 1 1 m m L L m 3 m m. Assim, intoduzindo a constante L k 0 () m é possível esceve L k m 3 m. (3) Agoa, da segunda lei de Keple, conclui-se que o momento angula se conseva. Mas então, usando a equação (1), vem L L ˆ ˆ m m ou, atendendo ainda a (11),

9 8 Calos R. Paiva L Lˆ L L ˆ ˆ 3 m m m m L m m ˆ 3. (4) m Compaando as equações (3) e (4), infee-se então que foça gavitacional f k ˆ (5) e que nos dá a foma da foça gavitacional como sendo cental, atactiva e invesamente popocional ao quadado da distância. Falta-nos detemina a foma exacta da constante k que apaece na lei da gavitação de Newton a nossa equação (5). A tajectóia da patícula (um planeta neste caso) é uma elipse que pode se epesentada na foma paamética (ve texto sobe cónicas) x a cos b sin. (6) Nesta equação o semi-eixo maio da elipse de que fala a teceia lei de Keple é a a sendo o semi-eixo meno b tal que b a. A áea cobeta pela elipse é então dada po d x A d d d x x x d 1 cos sin sin cos d a b a b 1 ab cos sin d 0

10 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 9 áea oientada da elipse A ab. (7) Mas então, de acodo com (9), tia-se que L mab ab. m L Depois de eleva ao quadado a última expessão paa o peíodo obtém-se, de acodo com () e notando que b a, 4 m m a L k 4. (8) 3 O que a teceia lei de Keple afima é que esta elação é univesal, i.e., não depende do planeta consideado. Isto significa, potanto, que a contante k tem de se necessaiamente popocional à massa m, i.e., k m (9) em que 0. Ao chega a este ponto, Newton foi mais ambicioso: postulou que todas as massas se ataem de acodo com a lei expessa em (5) uma lei univesal potanto. Po outo lado, afimou o pincípio da acção e da eacção: se o Sol exece a foça cental (acção) sobe cada planeta, cada planeta exece sobe o Sol uma foça (eacção) igual emboa de sentido diametalmente oposto. Isto significa que, intoduzindo uma constante univesal G, deveá te-se (sendo M a massa do Sol) GM k G M m (30) 3 4 a M. (31) G

11 10 Calos R. Paiva Esta última equação pemite calcula a massa do Sol com base em dois valoes astonómicos: o valo de a e o valo de. Com efeito, G (a constante univesal da gavitação) pode se calculada po medidas locais ente dois gaves quaisque. Conclusão: A lei da gavitação univesal de Newton, apesentada em (5), assume potanto a foma explícita: lei da gavitação univesal de Newton GM m f ˆ. (3) Note-se, po fim, que nem a lei da gavitação univesal de Newton nem as tês leis do movimento planetáio de Keple são exactas. No entanto, a foça de Newton dada po (3) é mais exacta do que as tês leis de Keple: po exemplo, a atacção dos váios planetas ente si é despezada na fomulação das leis de Keple. Quanto à lei de Newton: ela enconta na teoia da elatividade geal uma coecção que, emboa muito pequena, mosta que também ela não passa de uma apoximação. A pati de (5) e (3) é quase imediato veifica que a tajectóia é uma elipse. Vejamos. k m L m ˆ ˆˆ L k ˆ d L k ˆ 0 L k ˆ ε L k ε. (33) dt Po outo lado, esulta de (3) que L L L L L L. (34) m m

12 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 11 Então, de (33) e (34), vem L m L k ε ε k ε k 1 ε ˆ L m L mk 1 ε ˆ (35) o que pova como, efectivamente, a tajectóia é uma elipse. Vamos agoa detemina a enegia total de cada patícula (planeta). Como a enegia potencial V é tal que f V d V ˆ k ˆ d V k d d vem, abitando que V 0, enegia potencial k V. (36) Deste modo a enegia total seá dada po enegia total 1 1 k E. (37) enegia enegia cinética potencial T V m V m Poém, de (33), esulta

13 1 Calos R. Paiva ˆ 1 ˆ L L L k ε k ε k k ˆ 1 1 ˆ ε ε 1 1 L L k 1. (38) L Logo, substituindo (38) em (37), vem k k E (39) a enegia total 1 uma vez que semi-eixo maio da elipse a. 1 Veifica-se, deste modo, que a enegia total se conseva (campo consevativo). Conclusão: O sinal da enegia total é deteminado pelo valo da excenticidade tal como se indica no quado anexo. Excenticidade Enegia Cónica 1 E 0 Hipébole 1 E 0 Paábola 0 1 E 0 Elipse 0 E k Cicunfeência Note-se que que a paábola que a cicunfeência equeem valoes da enegia muito pecisos. Na pática, poém, esses valoes são difíceis de mante. Assim, em conclusão, podemos afima que:

14 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 13 As tajectóias elípticas coespondem a estados confinados (com enegia negativa). As tajectóias hipebólicas coespondem a estados lives (com enegia positiva). Vejamos, po fim, como é possível deduzi a teceia lei de Keple a pati da lei de Newton. Comecemos po nota que, atendendo a (13), se tem sucessivamente 1 1 E m k m L k (40) m d L mk m m me dt donde se tia que t m t 0 me mk L d. (41) Atendendo então a que mk mk 1 a a me mk L a L a a a mk mk a me mk L a a podemos ainda esceve t ma t d. (4) k 0 a a Intoduzindo então o ângulo tal que (ve texto sobe cónicas)

15 14 Calos R. Paiva a1 cos (43) vem sucessivamente sin sin d a d a a a m k t t a 1 cos d a sin 0 m k pelo que, intoduzindo a fequência angula tal que k ma (44) 3 obtém-se finalmente t 1 t sin sin. (45) O peíodo coesponde, então, a 4 m a 3 (46) k de acodo com a teceia lei de Keple q.e.d. Na Fig. 3 epesenta-se gaficamente o ângulo em função do tempo decoido t paa difeentes valoes da excenticidade. Esta figua foi obtida po esolução numéica da equação (45) paa cada valo do paâmeto nomalizado t.

16 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 15 Figua 3 Vaiação de excenticidade da óbita elíptica. em função de t paa difeentes valoes da

17 16 Calos R. Paiva

18 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 17 Cónicas As cónicas são as cuvas que se obtêm pela intesecção de um plano com um cone duplo paa difeentes inclinações desse plano. Definição: Uma cónica é o conjunto de pontos de um plano em que a distância de cada ponto P a um dado ponto fixo F está numa elação constante com a distância desse ponto P a uma deteminada linha ecta. O ponto fixo F é chamado o foco e a linha ecta designa-se po diectiz da cónica. Na Fig. 1 epesenta-se geometicamente esta definição. O valo da elação é a constante que se chama excenticidade da cónica. Diectiz A E d P ˆε F B d d Figua 1 Definição de cónica. A excenticidade é a constante dada pela elação FP AP em que AB EF d, FP ˆ ε cos. e PB cos. Tem-se d d ε ˆ e Da definição esulta então que d. (47) dcos 1 cos

19 18 Calos R. Paiva Intoduzindo a distância d, que se designa po semi-latus ectum e que coesponde a paa (Fig. 1), vem ainda 1 cos 1 ˆ ε. (48) O caso em que 0 1 coesponde a uma elipse como iemos ve de seguida. Comecemos po nota que a cónica em questão cota o eixo X paa 0 e paa. 0 cos cos a a (49) Y E f d,0 b F f,0 O 0,0 P x, y X a Figua Elipse no efeencial OXY em que o semi-eixo maio vale a e o semi-eixo meno vale b. Tem-se ba 1 onde é a excenticidade da elipse, com 0 1. Um dos focos (o epesentado na Fig. ) é F f,0 expessão onde a distância f é dada pela

20 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 19 elipse f a a. (50) Note-se que, deste modo, se tem f f d. Em elação ao efeencial da Fig., vem então FP x f y AP x f d de modo que, depois de substitui estas expessões na definição FP AP, obtém-se sucessivamente x f y x f d x f f x 1 x y a y x f d f d x elipse x y 1 a b (51) onde se intoduziu a constante elipse 1 b a a (5) pelo que a excenticidade é dada pela expessão elipse 1 b. (53) a

21 0 Calos R. Paiva Uma cicunfeência coesponde ao caso paticula em que a nula 0. A coespondente equação catesiana seá então b, i.e., a uma excenticidade cicunfeência x y a (54) onde a é o espectivo aio. Passemos agoa ao caso em que 1. Tata-se, como iemos mosta, de uma hipébole. Note-se que b 0 de acodo com (5). Assim, deve-se escolhe hipébole a 1 (55) 1 elipse b a 1 1 hipébole b a 1 (56) de foma a te b 0 também paa o caso de uma hipébole. Potanto, ao faze a substituição b b em (51), a equação da hipébole teá de se hipébole x y 1 a b. (57) Note-se que esta equação não se efee ao efeencial da Fig.. Analogamente, em vez de (53), viá paa a excenticidade da hipébole hipébole 1 b. (58) a

22 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 1 O caso limite em que 1 coesponde a te-se b 0 pelo que nem (51) nem (57) são adequadas. Neste caso a cónica degenea numa paábola cuja equação canónica é paábola y p x (59) em que p 0 é o paâmeto da paábola como adiante se veá. Num efeencial catesiano em que o foco é,0 P x, y genéico da cónica é tal que, de acodo com a definição, F c e a diectiz a ecta x h, o ponto x c y x h y c h x 1 x h c. No caso da paábola é 1 pelo que, escolhendo a oigem de foma a que h c, vem paábola y 4 c x (60) o que confima a anteio equação (59). Com efeito basta faze p fazendo h c, obtém-se c. Quando 1, c p c h q 1 y p x q x (61) onde p 0 e q. Neste caso a equação desceve uma elipse se q 0 (exactamente uma cicunfeência se q 1) ou uma hipébole se q 0. Em altenativa, pode-se faze h c, vindo então

23 Calos R. Paiva x y 1 c c 1 (6) que se eduz a (51) no caso de uma elipse (quando 1) ou a (57) no caso de uma hipébole (quando 1). No quado seguinte apesenta-se então a classificação geal das cónicas em temos da excenticidade. CLASSIFICAÇÃO DAS CÓNICAS Excenticidade Cónica 1 1 Hipébole Paábola 0 1 Elipse 0 Cicunfeência Figua 3 Tês cónicas com o mesmo foco e a mesma diectiz. A distância em elação à diectiz comum é d : (i) 1.6 paa a elipse; (ii) paa a paábola; (iii).5 paa a hipébole.

24 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 3 Na Fig. 3 epesenta-se, em coodenadas polaes, uma família de cónicas (a cicunfeência não está epesentada) com o mesmo foco e a mesma diectiz paa d (em que d ): 0.8, no caso da elipse; 1, no caso da paábola; 1.5, no caso da hipébole. Paa uma elipse é possível defini os vectoes a e b, otogonais ente si (i.e., tem-se ab 0 ), tais que o seu poduto geomético define o bivecto B a b ab que estabelece o plano onde a cónica se enconta. Tem-se, potanto, ˆ a aεˆ, b bb a B ab εb ˆ a a ab 0 B ab B B Bˆ bˆ εb. ˆ ˆ O b x aε P F a Figua 4 A elipse tanto pode se descita em temos de x x em que cos sin x a b. Note-se que x aε. como em temos de O vecto da Fig. 4 é dado po

25 4 Calos R. Paiva ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ε ˆ exp B ε ˆ cos sin ˆ B ε cos b sin (63) onde obedece a (48). Assim, tal como se indica na Fig. 4, 0 ˆ εˆ a 1 1 de foma que OF aε, donde se infee que x aε. (64) Vamos agoa mosta que se pode esceve x a cos b sin (65) e que o ângulo tem a intepetação geomética indicada na Fig. 4. Comecemos po pova que existe o ângulo e qual a elação deste com de tal foma que se veifica a equação (65). De (64) e (65) vem sucessivamente x a ε x a a cos b sin a 1 cos a1 cos (66) se se atende a que b a 1. Logo, igualando (48) a (66), obtém-se cos cos (67) 1 cos

26 De Keple a Newton (atavés da álgeba geomética) 5 uma vez que d a1. Mas então 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 1 cos e, como 1 cos tan 1 cos, conclui-se que 1 tan tan 1. (68) Fica potanto povada a equação (65). Falta intepeta geometicamente o ângulo. Vejamos. De (66) e (67) tia-se que cos a a a cos cos. (69) cos Mas a equação (69) é, pecisamente, a intepetação geomética da Fig. 4 tal como se petendia mosta. Supondo que, em elação à Fig. 4, se tem εˆ e 1 e b ˆ e, viá em paticula x a cos e a 1 sin e x e y e 1 1 x y acos a 1 sin (70)

27 6 Calos R. Paiva obtendo-se, deste modo, uma epesentação paamética paa as coodenadas catesianas da elipse paa 0 tal como se epesenta na Fig. 5. Figua 5 Difeentes elipses, em coodenadas catesianas, paa a 1 e coespondendo a difeentes valoes da excenticidade.

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