PR I. Teoria das Linhas de Transmissão. Carlos Alberto Barreiro Mendes Henrique José da Silva

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1 PR I II Teoia das Linhas de Tansmissão Calos Albeto Baeio Mendes Henique José da Silva 5

2 Linhas de Tansmissão 1 LINHAS DE TRANSMISSÃO 1.1 Paâmetos distibuídos Um cabo coaxial ou uma linha bifila (mostados na Figua 1 em cote tansvesal) são dois exemplos de estutuas que pemitem guia enegia electomagnética ente dois pontos. A distibuição dos campos nestas estutuas é mostada na mesma figua. E H a a b b a) b) Figua 1 Campos em linhas de tansmissão: a) linha coaxial b) linha bifila Ambas as estutuas supotam modos de popagação TEM Tansvese ElectoMagnetic, isto é, o campo eléctico e o campo magnético são otogonais ente si e ambos tansvesais à diecção de popagação. Quando assim é, tona-se possível o estudo da popagação ecoendo à análise convencional de cicuitos não sendo necessáio ecoe à teoia electomagnética geal. Associado a um toço de cabo coaxial ou de linha bifila existe uma deteminada capacidade C e uma deteminada indutância L. Duplicando o tamanho deste toço então a capacidade e a indutância também duplicam. Isto é vedade poque a capacidade e a indutância estão distibuídas ao longo de todo o compimento da linha. Assim, conhecendo a capacidade po unidade de compimento e sabendo o tamanho total do cabo então a capacidade total é obtida pelo poduto de ambos. O mesmo se veifica paa a indutância. Além da capacidade e da indutância, qualque linha de tansmissão apesenta ainda uma esistência de pedas R, associada às pedas nos condutoes, e uma condutância de pedas G, associada a condutividade do dieléctico utilizado paa sepaa os dois condutoes. Os paâmetos CLRG,,, são denominados de paâmetos distibuídos da linha. A título de exemplo mostam-se na Tabela 1 as expessões de cálculo destes paâmetos, obtidos atavés da análise electomagnética, paa a linha coaxial e paa a linha bifila. Aqui [ ε, µ, σ ] são os paâmetos constitutivos do dieléctico ente condutoes e [ σc, δ] são, espectivamente, a condutividade dos condutoes e pofundidade de penetação nos mesmos. 18

3 Popagação de Ondas I Tabela 1 Paâmetos distibuídos da linha coaxial e linha bifila Linha Coaxial Linha Bifila C [F/m] 1 ln b πε a µ b L [H/m] ln π a R [ Ω /m] G [ /m] πδσ c a b 1 ln b a µ π cosh πε 1 cosh 1 1 πaδσ πσ 1 cosh πσ d a c d a d a Consideemos então um geado ligado a uma caga po uma qualque linha de tansmissão, tal como mostado na Figua. De toda a linha concentemo-nos num pequeno toço de tamanho z. Baseado nos paâmetos distibuídos, o cicuito eléctico equivalente deste pequeno toço é o mostado na mesma Figua. Tendo como base este modelo, o pimeio objectivo do nosso estudo pende-se então em descobi qual o compotamento da tensão e da coente ao longo da linha e qual a sua elação com os paâmetos distibuídos. z Vg z L Izt (,) L z R z Iz ( + zt, ) Vzt (,) C z G z Vz ( + zt, ) z Figua Cicuito equivalente de um toço de tamanho z de uma linha de tansmissão 19

4 Linhas de Tansmissão 1. Equações geais de tensão e coente Ciculando na malha do cicuito equivalente podemos esceve V ( z, t) = L z I(,) z t + R zi( z, t) + V( z + z,) t t (1.1) Aanjando os váios temos, a equação anteio é equivalente a V ( z + z, t) V ( z, t) = L I(,) z t + RI( z, t) z t (1.) Se agoa eduzimos o tamanho do toço a uma dimensão elementa, isto é, se fizemos então a equação anteio toma a seguinte foma z tende paa, V ( z, t) = L I( z, t) + RI( z, t) z t (1.3) Temos assim uma pimeia equação difeencial extaída do cicuito em estudo e que elaciona a tensão com a coente num deteminado ponto da linha. O objectivo que petendemos atingi é o de descobi equações que sepaadamente taduzam o compotamento da tensão e da coente na linha. No entanto a equação (1.3) tem duas incógnitas (I e V ) pelo que é necessáio aanja outa equação de modo a que tenhamos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Analisando então o nó do mesmo cicuito podemos esceve I(,) z t = G zv( z + z,) t + C z V( z + z,) t + I( z + z,) t t (1.4) Aanjando novamente os váios temos desta equação esulta Iz ( + zt, ) Izt (, ) = GV( z + z, t) + C z V( z + z, t) z t (1.5) Mais uma vez, fazendo z tende paa, chega-se a que Izt (,) = GVzt (,) + C Vzt (,) (1.6) z t Temos agoa uma segunda equação difeencial que também elaciona a tensão com a coente no cicuito. As equações (1.3) e (1.6) são as equações que egem todo o compotamento eléctico da linha. Note-se que elas nada nos dizem sobe a foma da coente e da tensão mas sim apenas a elação ente ambas e a dependência destas com os paâmetos distibuídos.

5 Popagação de Ondas I Apesa da foma da tensão ou da coente pode se qualque, admitamos que o geado impõe um egime sinusoidal, isto é, o sinal do geado é do tipo V = V cos( ωt) (1.7) g Nestas condições a coente e a tensão podem se escitas na foma fasoial. Relembe-se que a obtenção da tensão ou da coente a pati do espectivo faso é feita como se segue Vzt (,) = R Izt (,) = R jωt { V() ze } jωt { I() ze } (1.8) onde Vz () e Iz () são os fasoes da tensão e coente, espectivamente. Notando que t t () j ω t jωt V z e = jωv () z e = j ω (1.9) então as equações (1.3) e (1.6) podem se escitas, espectivamente, na seguinte foma Vz () = ( R+ jωliz )() z Iz () = ( G+ jωcvz ) () z (1.1) (1.11) O objectivo que petendemos atingi é o de descobi equações que sepaadamente taduzam o compotamento da tensão e da coente na linha. Paa obtemos equações apenas em função da tensão ou da coente podemos começa po deiva (1.1) e (1.11) em odem a z, obtendo-se, espectivamente Vz () = ( R+ jωl) Iz () z z (1.1) Iz () = ( G+ jωc) Vz () z z (1.13) Utilizando (1.13) com (1.1) e (1.1) com (1.11) esulta finalmente Vz () = ( R+ jωl)( G+ jωcvz ) () z (1.14) Iz () = ( R+ jωl)( G+ jωciz )() z (1.15) 1

6 Linhas de Tansmissão Agoa sim, dispomos de uma equação só com temos de tensão e outa só com temos de coente. Estas são equações difeenciais tiviais e cuja solução é amplamente conhecida. Paticulaizando paa a equação da tensão, temos que a solução desta é da seguinte foma onde γ é a denominada constante de popagação e é dada po γz + γz Vz () = Ve + Ve (1.16) i γ = ( R + jωl)( G + jωc) (1.17) Facilmente se infee que γ é complexa e potanto pode se posta na seguinte foma Utilizando (1.18) em (1.16) esulta Podeia ainda se demonstado que γ = α + jβ (1.18) z j z z j z Vz () Ve α β α β = e + Ve e (1.19) i ( )( ) RG ω LC + R + ω L G + ωc α = [ Np/m] (1.) 1Np = 8.686dB β ( )( ) ω LC RG + R + ω L G + ωc = [ ad/m] (1.1) Analisemos agoa com atenção os esultados obtidos. A análise da equação da tensão fica facilitada se ecupeamos a dependência tempoal em (1.19). Paa tal fazemos jωt αz βz jωt αz βz jωt (, ) = R { ( ) } = R { + } V z t V z e Ve i e e Ve e e (1.) αz αz = Ve i cos( ωt βz) + Ve cos( ωt + βz) Podemos agoa claamente ve que na linha podem existi simultaneamente duas ondas: uma que se popaga do geado paa a caga (associada à exponencial negativa) e à qual chamaemos de onda incidente e outa que se popaga da caga paa o geado (associada à exponencial positiva) e à qual chamaemos de onda eflectida. Note-se que a equação não obiga a que existam as duas ondas mas apenas admite essa possibilidade. Se a constante V fo nula então a onda eflectida não existiá. Mais à fente veemos que condições levam a que esta onda exista ou não. Antes de continuamos, vejamos que mais infomação se pode ainda extai destes

7 Popagação de Ondas I esultados. Paa tal, admitamos que apenas existe onda incidente, de modo a que a tensão ao longo da linha é dada simplesmente po αz jβz Vz () = Ve e (1.3) i Veifica-se que esta é dada pelo poduto de 3 pacelas: uma constante V i, uma exponencial negativa e uma exponencial imagináia. A exponencial negativa vai tendo uma amplitude cada vez meno à medida que z aumenta, ou seja, à medida que nos deslocamos ao longo da linha. Que isto dize que esta pacela é esponsável po uma atenuação da tensão à medida que a onda se vai popagando. Como no modelo eléctico utilizado eam R e G os esponsáveis pelas pedas, é expectável que se estes foem nulos então as pedas também o seão e a onda não se atenuaá. De facto, mais à fente iemos confima este aciocínio. A exponencial imagináia tem módulo unitáio e potanto não intoduz qualque vaiação na amplitude da tensão sendo apenas esponsável pela vaiação da fase à medida que o sinal se vai popagando. Estas mesmas conclusões podem se etidas analisando a onda incidente com dependência tempoal incluída (, ) { ( ) j ω t α } { z j β z j ω t α } z cos( ω β ) V z t = R V z e = R Ve e e = Ve t z (1.4) i Confima-se aqui que a exponencial negativa é esponsável pela atenuação do sinal e que βz é esponsável pela vaiação da fase. Se fixamos o tempo num deteminado instante e fizemos um gáfico com a evolução da amplitude da onda incidente em cada ponto da linha obteíamos os esultados mostado na Figua 3. Aqui são mostados 3 exemplos paa 3 valoes difeentes de α, onde se pode veifica que quanto maio fo α mais apidamente o sinal se atenua. i 1 α= V(z) α=1 V(z) α= V(z) z Figua 3 - Evolução da amplitude da onda incidente ao longo da linha Conhecida a foma da tensão ao longo da linha podemos inteogamo-nos sobe a foma da coente que lhe está associada. Paa esponde a esta pegunta comecemos po elemba que a tensão e a coente não são 3

8 Linhas de Tansmissão independentes uma vez que ambas estão elacionadas ente si pelas equações (1.1) e (1.11). Paa obte a solução paa a coente podemos então deiva (1.16) em odem a z e substitui em (1.1). Manipulando os temos chegaíamos a ( G + jωc) γ Iz = Ve i Ve R + jωl () z z ( ) ( + γ ) (1.5) Utilizando (1.18) pode-se ainda esceve ( G + jωc) Iz () = Ve i e Ve e R + jωl ( ) ( αz jβz αz jβz ) (1.6) Analisando (1.6) com atenção podemos etia as mesmas conclusões da análise de (1.19). Existem no entanto duas gandes difeenças elativamente à equação da tensão. A pimeia difeença está no sinal da coente da onda eflectida, uma vez que este é negativo. Isto acontece poque na análise do cicuito eléctico equivalente da linha convencionamos que a coente é positiva quando se desloca do geado paa a caga. Po consequência, a coente teá sinal negativo quando se desloca da caga paa o geado. Outa difeença eside num facto multiplicativo comum às ondas incidente e eflectida. Paa o estuda admitamos que não existe onda eflectida e concentemo-nos apenas na onda incidente. Se dividimos a tensão pela coente associadas a esta onda obteemos algo que tem as mesma unidades que uma impedância. Facilmente se conclui que o esultado desta divisão é = ( R + jωl) ( G + jωc) (1.7) e potanto podemos esceve αz jβz αz jβz ( Ve e Ve e ) i Iz () = (1.8) Note-se que esta impedância é independente da posição da linha e é apenas função dos seus paâmetos distibuídos, ou seja, depende unicamente da geometia da linha de tansmissão e do tipo de mateiais utilizados no seu fabico. Po este motivo esta impedância é denominada de impedância caacteística da linha. 1.3 Equações de tensão e coente paa linhas sem pedas No caso paticula duma linha sem pedas veifica-se que R = G = (1.9) 4

9 Popagação de Ondas I Nestas condições esulta que a constante de popagação passa a se dada simplesmente po γ = jω LC (1.3) esultando também α = (1.31) e β = ω LC (1.3) Como se veifica γ = jβ (1.33) em linhas sem pedas é usual chama-se constante de popagação a β em vez de γ. Podemos agoa confima algo que já espeávamos po intuição: a onda incidente e eflectida popagam-se sem se atenua, uma vez que α =. Se pegamos nas expessões de L e C da Tabela 1, que paa o cabo coaxial que paa a linha bifila, e substituimos em LC chegaíamos a LC = µε. Relembando que a velocidade de popagação de uma onda electomagnética num meio sem pedas é dada po 1 1 c v = = = assumindo µ = 1 (1.34) µε µµεε ε então 1/ LC epesenta a velocidade de popagação na linha. A equação (1.3) pode então se posta na foma ω πf π β = = = (1.35) v v λ uma vez que é também sabido que v λ = (1.36) f Paa o caso paticula de um linha sem pedas, a tensão e coente ao longo da linha passam agoa a se dadas simplesmente po jβz + jβz Vz () = Ve + Ve (1.37) i 5

10 Linhas de Tansmissão onde jβz + jβz ( Ve Ve ) i Iz () = (1.38) L = (1.39) C Mais uma vez, se pegamos nas expessões de L e C da Tabela 1, que paa o cabo coaxial que paa a linha bifila, e substituimos em (1.39) chegaíamos a µ µ µ 1π = = = assumindo µ = 1 (1.4) ε ε ε ε que epesenta pecisamente a impedância caacteística de um qualque meio sem pedas Impedância ao longo da linha e Coeficiente de Reflexão y z V g l L Figua 4 Coodenadas da linha de tansmissão A dimensão z é medida do geado paa a caga. No entanto, no estudo de poblemas associados às linhas de tansmissão, é pefeível estuda o poblema da caga paa o geado. Definamos então y = l z (1.41) onde l é a dimensão total da linha de tansmissão e y passa a se medido da caga paa o geado, tal como mostado na Figua 4. Assim, a equação da tensão passa a se dada po V() y = Ve + Ve = Ve e + Ve e (1.4) γ( l y) + γ( l y) γl γy γl γy i i 6

11 Popagação de Ondas I Fazendo a seguinte substituição esulta que V V i = Ve γl i = Ve γl (1.43) γy Vy () = Ve + Ve (1.44) γy i De igual modo, a equação da coente toma a foma γy γy Ve i Ve Iy () = (1.45) Paa o caso paticula de linhas sem pedas vem simplesmente jβy Vy () = Ve + Ve (1.46) jβy i jβy jβy Ve i Ve Iy () = (1.47) Já vimos anteiomente que, como esposta ao sinal intoduzido po um geado, podem existi simultaneamente duas ondas na linha: a onda incidente e a onda eflectida. Pocuemos agoa a condição que leva a que exista a onda eflectida. Das equações (1.44) e (1.45) esulta que na caga ( y = ) a tensão e a coente valem V = V + V V V Iy= = y= i i Po outo lado, aplicando a lei de Ohm na caga, temos também (1.48) Utilizando estes dois esultados podemos esceve V = I (1.49) g= L g= V + V = ( V V ) (1.5) L i i O 7

12 Linhas de Tansmissão Definamos então coeficiente de eflexão de tensão na caga como sendo a elação ente a tensão da onda eflectida e a tensão da onda incidente na caga K V V = (1.51) i Manipulando (1.5) pode-se chega a K = L L + (1.5) Da definição de K esulta que se este fo nulo obviamente não existiá onda eflectida. Analisando (1.5) facilmente se infee que paa que tal aconteça é necessáio que a impedância da caga e a impedância da linha sejam iguais. Então a gande conclusão a que chegamos é que sempe que uma caga é ligada a uma linha de tansmissão e ambas apesentam impedâncias difeentes existiá uma onda eflectida. Nesta condições diz-se que existe uma desadaptação. Existindo desadaptação pate da enegia associada à onda incidente é tansmitida à caga e outa pate é eflectida. Obviamente isto coesponde a uma peda de sinal na caga e potanto é uma situação que se deve evita. No caso oposto, isto é, sempe que a impedância caacteística da linha e a impedância de caga foem iguais, não existe onda eflectida e diz-se que existe adaptação de impedâncias. Adiante veemos que técnicas se podem utiliza paa tansfoma um sistema desadaptado num sistema adaptado. Utilizando (1.5) em (1.44) e (1.45) vem i γy ( ) γy Vy () = Ve 1+ K e (1.53) Ve γy = ( Ke ) (1.54) γy i () 1 Iy Do mesmo modo, utilizando (1.5) em (1.46) e (1.47) esulta paa as linhas sem pedas i β ( ) jβy j y Vy () = Ve 1+ K e (1.55) jβy Ve i j βy Iy () = ( 1 Ke ) (1.56) 8

13 Popagação de Ondas I Admitamos então que existe onda incidente e onda eflectida. Dividindo a tensão ao longo da linha pela coente ao longo da linha obtém-se novamente uma impedância. No caso geal duma linha com pedas esta impedância vale V ( y) ( y) = = I( y) 1 + K e γy γy 1 Ke (1.57) e paa o caso paticula duma linha sem pedas vale V ( y) ( y) = = I( y) 1 + K e j βy j βy 1 Ke (1.58) Manipulando (1.57) e (1.58), estas podem-se esceve, espectivamente, na seguinte foma ( ) ( y ) L + tanh γy = + tanh( γ y ) L (1.59) L + j tan( βy) ( y) = + j tan( β y ) L (1.6) Analisemos com atenção estas equações. Podemos veifica que num sistema desadaptado a impedância depende de y, ou seja, a difeentes distâncias da caga obteemos impedâncias distintas. Apaece potanto aqui uma dependência ente a impedância nos teminais da linha e o seu compimento. Po outo lado a impedância depende de K impedância de caga., ou seja, depende da elação ente a impedância caacteística da linha e a Cetamente já todos efectuamos expeiências laboatoiais em que, po exemplo, um geado de sinais é utilizado paa alimenta uma esistência de modo a veifica a lei de Ohm. Quando esta expeiência é efectuada não nos peocupamos com o tamanho do cabo que liga o geado à esistência nem com o valo da sua impedância caacteística e os esultados obtidos coincidem com o espeado teoicamente. No entanto, o estudo que temos vindo a faze até aqui evela que estes dois paâmetos são muito impotantes pois influenciam a impedância aos teminais do geado. Paece have aqui um conta-censo. Na ealidade ele não existe. Vejamos poquê. Consideemos como valoes paa efectua a expeiência uma esistência de 1kΩ ligada a um geado com um cabo coaxial. Admitamos que o cabo não tem pedas, a velocidade de popagação é de /3 da velocidade da luz, o seu compimento é de um 1 meto e a sua impedância 9

14 Linhas de Tansmissão caacteística vale 5Ω. Na Figua 5 mosta-se a evolução da impedância aos teminais do geado obtida a pati de (1.6) e paa váios compimentos de onda (ou fequências) R{(y)} 5 I{(y)} λ [m] a) Pate eal b) Pate imagináia Figua 5 Impedância aos teminais do geado λ [m] Podemos veifica que paa compimentos de onda muito gandes (ou fequência muito baixas, o que é o típico nesta expeiência laboatoial) a impedância aos teminais do geado apesenta de facto o valo 1k Ω espeado. No entanto, a pati de um deteminado compimento de onda a impedância começa a desvia-se do valo espeado. Repetindo esta mesma expeiência utilizando linhas de tansmissão com outos compimentos pode-se-ia etia uma gande conclusão: sempe que a fequência de tabalho fo tal que o compimento de onda seja muito maio que o compimento das linhas de tansmissão então o efeito destas é despezável. Caso contáio, isto é, sempe que o compimento de onda fo da odem de gandeza ou muito meno que o compimento das linhas, então a pesença da linha deve se tida em consideação. Ainda no exemplo mostado, veifica-se que a pati de deteminado compimento de onda a impedância apesenta um compotamento oscilatóio. Isto não é de todo supeendente uma vez que a impedância de entada envolve uma tangente que, como é bem sabido, é uma função peiódica Coeficiente de onda estacionáia Já vimos que se o sistema estive desadaptado iá existi simultaneamente uma onda incidente e uma onda eflectida. Estas ondas em isolado são denominadas de ondas pogessivas, poque uma pogide do geado paa a caga e a outa pogide da caga paa o geado. No entanto a onda total existente na linha esulta da intefeência destas duas ondas. O esultado da intefeência das duas ondas povoca o apaecimento de uma nova onda denominada de onda estacionáia. Paa pecebemos o significado da onda estacionáia consideemos um sistema desadaptado no qual é injectada uma onda e suponhamos que espeamos o tempo 3

15 Popagação de Ondas I suficiente paa a onda i à caga e pate desta etona ao geado. Se agoa fomos medi a tensão (ou a coente) ao longo da linha, veificaíamos que em todos os pontos existiá uma onda sinusoidal a oscila à fequência imposta pelo geado mas cuja amplitude máxima vaia de ponto paa ponto. Então, se fizemos um gáfico com estas amplitudes máximas ao longo da linha, obtemos a onda estacionáia. Resulta daqui que a onda estacionáia é a envolvente da onda eal. Na Figua 6 mosta-se a onda estacionáia paa uma linha de 9cm quando alimentada a 1GHz e paa K = V(y) y..1 Figua 6 Onda estacionáia Define-se então o facto de onda estacionáia como sendo o quociente ente o valo máximo e o valo mínimo da onda estacionáia V max ρ = (1.61) V min Po exemplo, o caso da Figua 6 coesponde a um coeficiente de onda estacionáia de 1.5/.5=3. Patindo de (1.55) pode-se conclui que V = V (1 + K ) max i V = V (1 K ) min i (1.6) pelo que esulta 1 + K ρ = (1.63) 1 K O coeficiente de eflexão de tensão na caga ou o coeficiente de onda estacionáia são dois coeficientes que nos pemitem medi o quanto o sistema está desadaptado. 31

16 Linhas de Tansmissão Facilmente se infee que o intevalo de valoes que ambos podem toma é < < 1 K < ρ < (1.64) coespondendo aos limites infeioes a uma situação de adaptação e os limites supeioes a uma situação de desadaptação máxima. 1.4 Linhas de tansmissão impessas micostip As linhas de tansmissão impessas são outo tipo de linhas que pemitem a popagação guiada de enegia electomagnética. Das váias estutuas impessas possíveis, a micostip é a que é mais amplamente utilizada pelo que vamos da um pouco mais de atenção às suas caacteísticas e pincípio de funcionamento. A sua populaidade deve-se essencialmente à sua fácil constução (utiliza os mesmos pocessos que os cicuitos impessos convencionais) e à vasta gama de aplicações, não só como linhas de tansmissão, mas também como filtos, antenas, acopladoes, etc. A estutua geomética pomenoizada é mostada na Figua 7. A linha é composta po um plano de massa e uma fita condutoa de espessua W sepaados po uma camada de dieléctico de espessua h e constante dieléctica elativa ε. ε Figua 7 Estutua de uma linha micostip Figua 8 - Campo eléctico numa linha micostip Na Figua 8 mostam-se as linhas de campo eléctico na estutua. Como o topo da estutua está em contacto com o a, algumas linhas de campo fecham-se no plano de massa passando pelo a e pelo dieléctico. Há outas linhas que se fecham diectamente pelo dieléctico sem passa pelo a. Este facto faz com que esta estutua não seja homogénea e não supote o modo TEM. No entanto, a maio pate do campo fecha-se 3

17 Popagação de Ondas I sem passa pelo a, pelo que o desvio elativamente ao modo TEM é baixo dizendo-se então que a estutua supota um modo quasi-tem. Pode-se assim tata a estutua como sendo homogénea e imesa num meio de constante dieléctica elativa ε ef. Esta é uma espécie de constante dieléctica elativa média ente a constante dieléctica elativa do substato e a do a (que é unitáia). Po outas palavas, ε ef é o valo da constante dieléctica elativa de tal modo que a estutua eal imesa num meio não homogéneo tenha o mesmo compotamento que a estutua imesa num meio homogéneo de constante dieléctica dada po ε ef, tal como mostado na Figua 9. Como a maio pate das linhas de foça se fecham pelo substato, a constante dieléctica elativa efectiva estaá mais póxima de ε do que de 1. ε = 1 ε ε ef Figua 9 Tansfomação da estutua não homogénea numa estutua homogénea Apesentam-se de seguida algumas expessões apoximadas que nos pemitem calcula a impedância caacteística e a pemitividade elativa efectiva de uma linha micostip válidas paa fequências baixas A admitância caacteística e a indutância caacteística são dadas po µ ε L = Ca C = εefc a (1.65) Onde C a epesenta a capacidade po meto de uma linha em que o dieléctico é a. De (1.65) esulta que a impedância caacteística vale L µ ε 1 = = (1.66) C ε C ef a O valo de C a é dado po C a πε W Ca = 1 8H W ln H + W 4H W W W = ε ln H H H (1.67) 33

18 Linhas de Tansmissão Resulta daqui que W Paa 1 h < : 6 8h W = ln + ε W 4h ef (1.68) ε ef 1 ε + 1 ε 1 h W = W h (1.69) W Paa 1 h > : 1π 1 = ε W W ef ln h h (1.7) ε ef ε + 1 ε 1 = h W 1 (1.71) Nomalmente a espessua da fita condutoa é muito baixa pelo que pode se consideada de espessua nula. No entanto, se quisemos considea a espessua da fita condutoa as expessões anteioes podem também se utilizadas desde que se faça W = Wef, onde ef W é dado po h W 1 Wef = W + t 1+ ln paa > t h π (1.7) 4 πw W W 1 ln paa 1 ef = W + t + < t h π (1.73) As expessões anteioes não dependem da fequência poque estas expessões são válidas apenas paa fequências baixas. Paa fequências supeioes a impedância caacteística e a constante dieléctica elativa efectiva podem se obtidas a pati de 34 εef ( ) = ( ) (1.74) ε ( f ) ef

19 Popagação de Ondas I onde ε ef ε εef ( ) ( f ) = ε (1.75) εef ( ) f 1 + ε f t f t ( ) = (1.76) µ h e ( ) e ε ef ( ) são obtidas pelas equações (1.68) a (1.71). Assim sendo, a linha impessa micostip é uma estutua de popagação dispesiva poque o seu funcionamento depende da fequência. 1.5 Paâmetos S Em baixas fequências (entenda-se fequências onde a pesença das linhas de tansmissão é despezável) é possível medi diectamente a impedância aos teminais de um qualque dispositivo elacionando a tensão com a coente nos teminais. É possível também medi o ganho de um amplificado compaando a tensão de entada com a de saída. Quando o compimento das linhas se tona um facto impotante, esta medição não é possível pois a pesença das linhas associadas ao apaelho de medida altea po completo a mediação. A solução paa este poblema passa então po medi as tensões incidentes e eflectidas e a pati destas infei a impedância de entada ou o ganho. Da caacteização assim feita esultam os denominados paâmetos S. V1i Vi V 1o V o Figua 1 Dispositivo com dois potos Considee-se um qualque dispositivo com dois potos, tal como mostado na Figua 1. O paâmeto S 11 é definido como sendo a elação ente a tensão da onda incidente e a tensão da onda eflectida no poto 1, quando o poto se enconta adaptado S 11 V = V 1o 1i (quando V i=) (1.77) 35

20 Linhas de Tansmissão De igual modo define-se o paâmeto S como sendo a elação ente a tensão da onda incidente no poto e a tensão da onda eflectida no mesmo poto, quando o poto 1 se enconta adaptado S V o = (quando V 1i=) (1.78) V i Pode-se ainda defini o paâmetos S 1 como sendo S 1 V o = (quando V i=) (1.79) V 1i e o paâmetos S 1 como sendo S 1 V1 o = (quando V 1i=) (1.8) V i Os paâmetos S 11 e S têm uma definição idêntica ao K pelo que epesentam uma medida da adaptação dos potos 1 e, espectivamente. Facilmente se infee que o paâmeto S 1 epesenta o ganho de tensão do dispositivo e o paâmeto S 1 epesenta o ganho inveso. Facilmente se infee também que V = V S + V S (1.81) 1o 1i 11 i 1 ou seja V = V S + V S (1.8) o i 11 1i 1 V S S V i V = S1 S V i (1.83) Define-se então a matiz de paâmetos S como sendo S S S 11 1 S 1 (1.84) 36

21 Popagação de Ondas I 1.6 Adaptação Existem váias técnicas que pemitem tansfoma um sistema desadaptado num sistema adaptado. Apesentam de seguida duas delas: o tansfomado de λ /4 e o stub Tansfomadoes de λ /4 Consideemos um geado com uma impedância de saída, ligado a uma caga de impedância L atavés de uma linha de tansmissão. Com base no que vimos até aqui, paa que exista adaptação ente o geado e a linha é necessáio que a impedância caacteística da linha também valha. Po outo lado, se a caga tive uma impedância difeente, então iá existi uma desadaptação na caga. Admitindo que a caga tem um valo eal pode-se pocede à adaptação da caga à linha utilizando um toço adicional de linha cujo compimento eléctico seja λ /4. Paa pecebe poquê, comecemos po elemba que na pesença de desadaptação a impedância ao longo da linha (consideada sem pedas) é dada po ( y) = 1+ K e jβ y O jβ y 1 Ke (1.85) Se fo então utilizado um toço de linha adicional ente a caga e a pimeia linha cujo compimento da linha seja de y = λ /4esulta que a impedância no fim deste toço vale πλ j λ 4 λ 1 Ke 1 in = = = ( ) = O = πλ O 4 j 1 λ 4 1 Ke + K y y + K (1.86) Fazendo uso de (1.5) e manipulando os temos esulta ainda in 1 = (1.87) L O que podemos conclui de (1.87) é que dada uma deteminada impedância de caga L (suposta eal) e escolhendo um valo adequado paa a impedância caacteística do toço de λ /4, podemos faze com que a impedância vista no fim deste coincida com a impedância caacteística do geado e assim o sistema fique adaptado, tal como se mosta na Figua

22 Linhas de Tansmissão in = G = λ /4 L = R L V g Figua 11 Adaptação de duma impedância eal com um tansfomado de λ /4 Po exemplo, consideemos que a impedância de saída do geado é de 5Ω e a da caga é de 1Ω. Então, paa tansfoma os 1Ω em 5Ω pode-se utiliza um toço de linha de tamanho λ /4 e de impedância caacteística 7.7Ω. Na ealidade esta técnica pode também se utilizada com cagas complexas. A difeença eside no facto de que o tansfomado de λ /4 não se colocado imediatamente a segui à caga mas sim num ponto da linha onde a impedância seja eal pua, tal como se mosta na Figua 1. = = R1 + j G = λ /4 L = RL + jxl V g Figua 1 - Adaptação de duma impedância complexa com um tansfomado de λ /4 Neste exemplo utilizou-se paa o pimeio toço de tamanho l 1 impedância caacteística igual a, mas na ealidade ela pode te um qualque valo Stubs Consideemos uma impedância de caga infinita (cicuito abeto). Nesta situação esulta que K = 1 e a impedância ao longo da linha vale 38

23 Popagação de Ondas I 1+ K e ( y) = = j jβ y O O jβ y 1 Ke tan( β y) (1.88) De igual modo, se a impedância de caga fo nula (cuto cicuito), esulta que K = 1 e a impedância ao longo da linha vale 1 K e ( y) = = j jβ y O O jβ y 1+ Ke tan( β y) (1.89) Em ambas as situações a impedância ao longo da linha é sempe imagináia pua. Esta situação é paticulamente útil em situações em que a impedância de caga tenha uma pate eal e uma pate imagináia. Colocando linhas teminadas em abeto ou em cuto-cicuito em paalelo com a linha de tansmissão e em pontos estatégicos, é possível elimina a pate imagináia de impedância nesse ponto e a pate eal esultante seja pecisamente a impedância caacteística da linha (que se assume igual a impedância de saída do geado). A utilização de tansfomadoes de λ /4 e de stubs, como técnicas de adaptação, iá fica mais claa quando a aplicamos à esolução de poblemas concetos. Impota neste momento salienta apenas que, tanto os tansfomadoes como os stubs, epesentam novos componentes, que se podem no desenho de cicuitos e sistemas. São esultado da aplicação da teoia das linhas e podem se vistos como esultado benéfico da existência de eflexão A Cata de Smith Apesa da matemática apesentada, associada às linhas de tansmissão, se simples, veifica-se que em muitas cicunstâncias páticas, na esolução de deteminados poblemas, a sua utilização conduz a pocessos de alguma foma complexos e demoados, pincipalmente poque se manipulam entidades complexas e poque o númeo de incógnitas do poblema é gande. A cata de smith é uma engenhosa técnica gáfica de simples utilização e que pode se aplicada paa uma gande vaiedade de situações. Pemite elaciona coeficientes de eflexão complexos com impedâncias complexas, pode se utilizada paa a deteminação de impedâncias, medida de distâncias na linha, ou ainda paa a deteminação imediata do coeficiente de eflexão e de onda estacionáia. É efectivamente muito útil na esolução de poblemas de adaptação de impedâncias. 39

24 Linhas de Tansmissão A cata de smith foi ciada em 1939 po Phillip Haga Smith nos laboatóios Bell. A pimeia cata ea ectangula. Ea limitada no númeo de vaiáveis e dados que pemitia manipula. A cata que se utiliza nos dias de hoje foi ciada mais tade. O gafismo da Cata de smith Como se viu anteiomente, a impedância ao longo duma linha pode se descita pela expessão Fazendo ( y) = 1+ K e jβ y O jβ y 1 Ke (1.9) K e = K e e = K e j β y j θ j β y j( β y θ ) e j β y Ke = u+ jv (1.91) podemos esceve y = O 1 + ( u+ jv) 1 + ( u jv) (1.9) Se definimos uma impedância nomalizada (adimensional) como sendo R X = = + = + (1.93) y y y y j jx O O O podemos esceve + jx= O 1 + ( u+ jv) 1 + ( u jv) (1.94) que estabelece num plano complexo uma elação ente o facto de eflexão e a impedância nomalizada. A pati desta equação podemos deduzi equações paa constante e paa x constante. te = + = C u v ( ) te 1 1 x= C ( u 1) + 1 = x x (1.95) 4

25 Popagação de Ondas I Estas equações coespondem a cicunfeências de cento e aio dados po 1 1 c, ; aio= c 1, ; aio= x x (1.96) Tendo em atenção que o módulo do facto de eflexão é meno ou igual a 1, as cicunfeências apenas epesentam valoes com existência eal u + v 1 (1.97) É a epesentação gáfica destas cicunfeências que dá foma gáfica à cata de smith. O modelo mais divulgado é o que se apesenta na figua. Figua 13 - Cata de Smith 41

26 Linhas de Tansmissão A leitua da Cata de Smith As cicunfeências anteiomente efeidas encontam-se bem destacadas na cata. Na figua 14 não se epesentam todas as cicunfeências apenas se petende ilusta que as cicunfeências de constante são as que evoluem confome a figua 14-A. Já as cicunfeências de x constante são as que evoluem confome a figua 14-B. Ambos os conjuntos de cicunfeências se mostam impotantes em temos páticos. As pimeias poque se taduzem em alteações do valo duma impedância pela adição de um elemento eactivo e as segundas pela adição dum elemento esistivo puo. A B Figua 44 - Cata de Smith onde se identificam as cicunfeências de constante e x constante As cicunfeências de e x constante ocupam toda uma áea da cata que coesponde a um plano de Agand onde se epesentam impedâncias complexas. Neste plano podemos identifica o eixo dos eais e os eixos da pate imagináia, como se mosta na figua 45. Já na figua 46 pode-se ve em pomeno as váias escalas associadas à cata. Começamos po identifica as escalas associadas aos eixos efeidos anteiomente. Ambas as escalas vão de até infinito. A escala dos eais diz espeito apenas a valoes positivos uma vez que dizem espeito à pate esistiva das impedâncias. As escalas da pate imagináia apesentam valoes positivos e negativos que dizem espeito ao caácte capacitivo ou indutivo que a impedância pode assumi. 4

27 Popagação de Ondas I Eixo dos imagináios positivos Eixo dos eais Eixo dos imagináios negativos Figua 45 - Cata de Smith onde se identificam os eixos dos valoes eais e imagináios Escala da fase do facto de eflexão Escalas de deslocamentos ao longo da linha Escala dos valoes imagináios negativos Escala do eixo dos eais Escala do facto de onda estacionáia Escala dos valoes imagináios negativos Escala do módulo do facto de eflexão Figua 46 As váias escalas associadas à Cata de Smith 43

28 Linhas de Tansmissão A Cata de Smith apesenta ainda duas escalas coespondentes ao facto de eflexão: - uma paa o módulo, que se enconta na base da cata como se mosta na figua 46 e outa paa a fase, esta última em gaus. O facto de onda estacionáia tem igualmente uma escala paa leitua dos espectivos valoes. Existem finalmente mais duas escalas que pemitem medi distâncias ente duas impedâncias ao longo duma linha de tansmissão. Estas escalas apesentam valoes em pacelas de compimento de onda e vaiam ente e λ/. Recode-se que o peíodo da onda estacionáia é exactamente λ/ e potanto tudo o que fo obsevado num peíodo epete-se depois em igual peíodo ao longo da linha de tansmissão. Na figua 47 podemos obseva um exemplo de aplicação da cata. Consideada uma impedância z petencente a uma linha, pode-se taça uma ecta que passa pelo cento da cata e po esta impedância. Polongando a ecta tanto paa um lado como paa o outo encontamos os valoes da fase do facto de eflexão e a posição que a impedância tem na escala de distâncias. Podemos medi o módulo do facto de eflexão e o facto de onda estacionáia, abindo paa isso um compasso ente o cento da cata e a impedância, tanspondo depois esta abetua paa as escalas espectivas. Com o compasso no cento da cata e a abetua anteio podemos taça uma cicunfeência que epesenta as impedâncias ao longo da linha. Com esta cicunfeência e a ecta taça da anteiomente chegamos à admitância de z. Macando sobe a linha uma outa impedância z encontamos facilmente a distância desta impedância à impedância z. 44 Figua 47 Exemplo de aplicação da Cata de Smith

29 Popagação de Ondas I Actualmente a cata de smith não tem a mesma impotância de outos tempos já que as potencialidades computacionais disponíveis pemitem o desenho e a simulação de qualque cicuito ou sistema. Ainda assim não pedeu de todo a sua utilidade. Paa que se possa simula um cicuito é muitas vezes necessáio obte de foma ápida alguns valoes apoximados com que se inicia a simulação. Po outo lado quem tabalha em sistemas de alta fequência enconta as caacteísticas desse sistema, pincipalmente a impedância ou os factoes de eflexão, epesentados numa Cata de Smith. Mesmo a caacteização de alguns componentes como po exemplo tansístoes figua 48, é feita atavés duma cata. Equipamentos de medida como os analizadoes vectoiais, apesentam no seu ecã uma cata onde se podem obseva os esultados da medida efectuada figua 49. Po estas váias azões continua a se impotante conhece esta feamenta gáfica. Figua 48 Exemplo de aplicação da Cata de Smith Figua 49 Exemplo de aplicação da Cata de Smith 45