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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO PRÁ MESTRDO EM ENGENHRI MECÂNIC GRUPO DE VIRÇÕES E CÚSTIC nálise Modal Expeimental Pofesso: Newton Sue Soeio, D. Eng. elém Paá Outubo/00

2 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental. INTRODUÇÃO Em um sentido amplo, podeíamos dize que a análise modal é um pocesso po meio do qual descevemos uma estutua em temos de suas caacteísticas natuais, que são as feqüências natuais, os fatoes de amoetecimento e as fomas modais, ou sea, suas popiedades dinâmicas. Tal definição, entetanto, está baseada em temos técnicos usados na áea das vibações e, assim sendo, de compeensão difícil po pate daqueles que não têm um contato maio com esta áea. ssim, visando melho explica o que estas popiedades dinâmicas significam, usaemos o exemplo da vibação de uma placa simples. Considee uma placa plana, com as bodas lives, sobe a qual foi aplicada, em um de seus cantos, uma foça F, confome ilustado na Fig.. Nomalmente, pensamos em uma foça estática que causaia alguma defomação estática na placa. Entetanto, o que gostaíamos de faze é aplica uma foça que vaie com o tempo de um modo senoidal. Esta foça apesentaá um valo de pico constante, mas sua feqüência de oscilação pode vaia, e a esposta da placa devido a esta foça seá medida com um aceleômeto fixado a um outo canto da placa. Figua Placa live excitada po foça vaiável. Figua Resposta da placa. goa, se medimos a esposta da placa, notaemos que a amplitude de vibação muda quando modificamos a feqüência de oscilação da foça F aplicada, confome pode se visualizado na Fig.. ssim, vaiando a feqüência de oscilação da foça, haveá aumentos, como também diminuições, na amplitude de vibação em pontos difeentes da escala de tempo. Isto paece muito estanho, mas é exatamente o que acontece. Lembese que apesa de estamos aplicando o mesmo pico de foça a sua feqüência de oscilação vaia e, assim, a esposta amplia quando nós aplicamos a foça com uma feqüência de oscilação o mais póximo da feqüência natual da placa (feqüência de essonância e alcança um máximo quando a feqüência de oscilação fo igual à feqüência natual da placa. Fig., que apesenta dados no domínio do tempo, fonece infomações muito úteis. Entetanto, se manuseamos os dados que estão no domínio do tempo e tansfoma-los paa o domínio da feqüência, usando a tansfomada de Fouie, podemos obte a Função Resposta em Feqüência (FRF, apesentada na Fig. 3. Nesta figua, existem alguns itens inteessantes paa seem notados, po exemplo, notamos que existem picos nesta FRF que ocoem nas feqüências natuais do sistema (placa, ou sea, estes picos ocoem exatamente nas feqüências que coespondem a pate do diagama tempoal onde foi obsevado te um máximo na esposta, devido a excitação de entada epesentada pela foça F. ssim, sobepondo as espostas no domínio do tempo e da feqüência, confome se visualiza na Fig. 4, obsevaemos que existe uma coincidência ente as posições em que os máximos valoes dos dois diagamas ocoem. Potanto, podemos usa tanto a esposta no domínio do tempo quanto a no domínio da UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

3 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental feqüência paa detemina as feqüências natuais do sistema. Po outo lado, é tanspaente que a Função Resposta em Feqüência pemite uma avaliação mais dieta e, potanto, claamente mais fácil de se ealiza. Figua 3 FRF paa a Placa. Figua 4 Sobeposição das espostas. Você deve está pensando em como estas caacteísticas natuais se manifestam na estutua em foma de defomação. Na ealidade, os padões de defomação da estutua assumem uma vaiedade de fomas difeentes dependendo de qual feqüência é usada paa a foça de excitação. Potanto, veamos o que acontece em temos de defomação da estutua em cada uma daquelas feqüências natuais obsevadas, po exemplo, na Função Resposta em Feqüência. Paa tal, admitamos que tenhamos egistado a esposta atavés de um aceleômeto que foi movimentado sobe a supefície da placa e posicionado em 45 pontos sobe a mesma, obtendo-se assim, 45 amplitudes de esposta paa difeentes feqüências de excitação, ou sea, uma cuva de esposta associada a cada um dos 45 pontos posicionados sobe a supefície da placa. ssim, a pati das infomações de amplitude em cada um dos 45 pontos, obtidas em cada uma das feqüências, veíamos um padão de defomação difeente da estutua, elacionado a esta feqüência. Fig. 5 mosta os padões de defomação que esultaão quando a feqüência da excitação coincide com cada uma das feqüências natuais do sistema. Nesta figua, podemos ve que na pimeia feqüência natual o padão de defomação coesponde a uma pimeia foma de defomação po flexão da placa, a qual é mostada em azul. Quando obsevamos o que ocoe na segunda feqüência natual, notamos que o padão de defomação da estutua se modifica, assumindo uma pimeia foma de defomação po toção, a qual é mostada em vemelho. ssim, paa as outas duas feqüências, que são destacadas na FRF, é possível pecebe, ainda, dois outos padões de defomação, sendo um efeente à segunda foma de defomação po flexão, mostada em vede, e outo elativo à segunda foma de defomação po toção, mostada em maom. Estes padões de defomação são denominados de fomas modais da estutua (Na ealidade, emboa do ponto de vista puamente matemático isto não estea coeto, paa todos os popósitos páticos, estes padões de defomação são muito póximos das fomas modais da estutua. Figua 5 Fomas modais da placa coespondentes a cada feqüência natual. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

4 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental s feqüências natuais e as espectivas fomas modais associadas a estas feqüências são ineentes a cada estutua que poetamos. asicamente, elas são caacteísticas que dependem da inécia e da igidez. Como um engenheio de poeto, pecisamos identifica estas feqüências e sabe como elas podem afeta a esposta da estutua quando esta é excitada po uma foça qualque. O entendimento das fomas modais e de como a estutua vibaá quando excitada audaá o engenheio poetista a poeta melho a estutua paa aplicações de vibação e uído. ssim, a análise modal é uma feamenta podeosa de auxílio ao poeto de estutuas de automóveis, estutuas de aeonaves, estutuas civis, estutuas navais, etc. - FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI E FUNÇÃO RESPOST EM FREQUÊNCI DE UM SISTEM DE UM GRU DE LIERDDE.. Função de Tansfeência Sea o sistema mostado na Fig. 6, que consiste de uma massa, m, conectada a uma efeência fixa po uma mola de igidez,, e um amotecedo com coeficiente de amotecimento viscoso c. Paa uma foça F atuando sobe a massa do sistema o movimento esultante da massa é estito à dieção x, assim, um único gau de libedade é suficiente paa defini a configuação do sistema. Figua 6 Sistema com um gau de libedade. equação de movimento paa este sistema é dada po: m.x (t c.x (t.x(t F(t ( Tansfomada de Laplace de uma difeencial de segunda odem com condições iniciais é dada po: {x (t} s.x(s s.x(0 x (0 ( onde x(0 e x (0 são as condições iniciais de deslocamento e velocidade, espectivamente, e x(s é a Tansfomada de Laplace de x(t. Po outo lado, como estamos inteessados na Função de Tansfeência, que epesenta a esposta em egime pemanente do sistema, as condições iniciais são tomadas iguais a zeo e a Tansfomada de Laplace, dada pela Eq. (, tona-se: {x (t} s.x(s (3 plicando a Tansfomada de Laplace na Eq. (, temos: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

5 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental m. s.x(s c.s.x(s.x(s F(s (4 onde F(s é a Tansfomada de Laplace de F(t. Função de Tansfeência, po definição, é a função que elaciona a esposta do sistema a uma excitação a ele aplicada. Neste caso, ela toma a seguinte foma: x(s (5 F(s ms cs ( H que leva a obtenção de valoes complexos, em função de s, e é epesentada como uma supefície no domínio de Laplace, confome pode se visualizado de fomas difeentes nas figuas 7, 8, 9 e 0. O denominado da Eq. (5 é a equação caacteística que pemite a deteminação de duas aízes, as quais, paa um sistema sub-amotecido, são dadas po: s, σ ± i. d (6 com e σ - ξ. n (7 d n ξ (8 onde n é a feqüência natual, d é a feqüência natual amotecida e ξ é o fato de amotecimento. Figua 7 Pate eal de H(s. Figua 8 Pate Imagináia de H(s. Figua 9 Magnitude de H(s. Figua 0 Fase de H(s. Eq. (5 pode, agoa, se eescita como: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

6 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental H( (9 m(s s (s s onde s σ i. d e s s * σ - i. d, que são as duas aízes da equação caacteística dadas pela Eq. (6, são denominadas de pólos da Função de Tansfeência, os quais podem se visualizados no plano s como mostado na Fig.. Figua Repesentação do Pólo no plano de Laplace. Tomando a Eq. (9 e expandindo em fações paciais, a Função de Tansfeência pode se eescita como: * (0 m(s s (s s (s s (s s ( H * onde os conugados complexos e * são definidos como sendo os esíduos da Função de Tansfeência e dietamente elacionados à amplitude da Função Resposta Implusiva, que seá apesentada posteiomente. Os valoes dos esíduos podem se facilmente obtidos e são dados po: i m d ( Emboa paa um sistema com um gau de libedade o esíduo sea um númeo imagináio puo, paa sistemas com múltiplos gaus de libedade os esíduos são, em geal, númeos complexos completos, isto é, com pate eal e imagináia.. Função Resposta em Feqüência (FRF Com base no que foi apesentado anteiomente, podemos dize que o domínio de Laplace desceve o sistema sob análise em temos de pólos e esíduos. goa, avaliando a Função de Tansfeência somente no domínio da feqüência nós obtemos: H( H(s * s i * i s i s i( d ξn i( d * ξ n ( Eq. ( epesenta a expansão em fações paciais da FRF de um sistema de um gau de libedade. Entetanto, a foma mais comum de se apesenta a FRF é como segue: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

7 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental H( (3 ( m ic ssim, a FRF nada mais é do que um caso paticula da Função de Tansfeência. plicando-se as definições da feqüência natual e do fato de amotecimento, ou sea, n m e ξ c/(.m. n, a Eq. (3 pode se eescita como: / m H( (4 iξ n n FRF fonece valoes complexos de acodo com os valoes de e, paa a elação / n, ela tem algumas popiedades inteessantes. ssim, em feqüências abaixo da feqüência natual, n >>. n >>, a FRF é dada po: / m H( (5 n m m Visto que o valo da FRF em qualque feqüência é um númeo complexo, podemos detemina o seu módulo (magnitude e a sua fase como: o H ( e ag.h( 0 (6 ssim, o ganho em baixa feqüência é uma constante igual a (/, ou ao inveso da igidez, e a fase assume o valo de 0. Em feqüências acima da feqüência natual, >>. n >> n, a FRF é dada po: / m H ( (7 m Podemos novamente detemina a sua magnitude e a sua fase: o H ( e ag.h( 80 (8 m ssim, em altas feqüências o ganho é dado po / (m. e a fase é de Na essonância, n, a FRF é dada po: H( / m ξ n (9 ξ m ξ ξ m m e deteminando o ganho e a fase na essonância, temos: ξ o H ( e ag.h( 90 (0 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 7

8 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental ssim, o ganho na essonância é igual ao ganho em baixa feqüência dividido po.ξ. Uma vez que ξ é gealmente um númeo pequeno, po exemplo, % do amotecimento cítico ou 0,0, a magnitude na essonância é amplificada. Po outo lado, a fase na essonância é de s figuas e 3 são, espectivamente, a magnitude e a fase da FRF paa um sistema de um gau de libedade onde m g, N/m e ξ assume valoes na faixa de 0. a, com incementos de 0.. Paa os valoes de m e dados, a feqüência natual do sistema é de d/s. Figua Magnitude da FRF Figua 3 Fase da FRF Uma vez que a feqüência natual é de d/s, os picos das cuvas na Fig. ocoem póximo a esta feqüência, de foma mais pecisa em d n ξ. magnitude em baixa feqüência foi mostada se igual a /.0 e pode se visto que as cuvas coespondentes a valoes distintos de ξ apoximam-se deste valo nas baixas feqüências. Po outo lado, nas altas feqüências a magnitude é dada po / (m. e, sendo m, a magnitude deve se dada po /. Potanto, veificando a Fig. a magnitude na feqüência de 0 d/s deveá se igual a /00 ou 0,0. Note que a declividade das cuvas em baixa feqüência é nula, significando que a FRF não muda com a feqüência. Contudo, a declividade das cuvas em alta feqüência é -, o que significa que cada década de aumento na feqüência coesponde a um decaimento de duas décadas na magnitude da FRF, em vitude do temo no denominado. declividade de - em um diagama log x log pode se mostada analiticamente po: log ( H(i log ( / log ( - -.log ( ( Obsevando a Fig. 3, veifica-se que na essonância ( n d/s a fase paa todas as cuvas é de Em baixa feqüência a fase apoxima-se de 0 e em alta feqüência apoxima-se de Função Resposta Impulsiva vibação live do sistema pode se obtida assumindo que o sistema foi excitado po uma função de foça do tipo impulso no tempo t 0. Função esposta impulsiva de um sistema de um gau de libedade pode se facilmente deteminada das Eq s. (5 e (0, UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 8

9 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental assumindo condições iniciais nulas e que F(s paa uma função de foça impulsiva. ssim, temos: * x (s H(s ( F(s * (s s (s s e, potanto: (3 x(t - {X(s} e s.t * e s*.t e -ξ n ( e i. d.t * e i. d.t que é, pecisamente, a mesma equação obtida pelo método clássico. Eq. (3 epesenta uma oscilação amotecida de feqüência d, confome pode se visualizada na Fig. 4. ssim, a feqüência de oscilação coesponde à pate imagináia do pólo, a taxa de decaimento coesponde à pate eal e o esíduo contola a amplitude inicial da esposta impulsiva. Figua 4 Função Resposta Impulsiva. 3 MECNISMO DE MORTECIMENTO VISCOSO E HISTERÉTICO Em geal, os sistemas em vibação eais dissipam enegia po váios mecanismos difeentes. ssim, o pocesso de dissipação de enegia de um sistema eal é o esultado da ação de todos aqueles mecanismos, sendo difícil a identificação e modelagem de todos aqueles mecanismos. Potanto, a inclusão de um amotecimento viscoso no modelo matemático do sistema eal é uma tentativa de epesenta o mecanismo de enegia do sistema atavés do uso de um elemento linea equivalente. O amotecimento viscoso é, do ponto de vista teóico, o mecanismo de amotecimento que leva a epesentação mais simples do elemento de amotecimento do modelo e, ainda, pemite que a equação de movimento do sistema, que incopoa este mecanismo de amotecimento, possa se esolvida paa qualque tipo de entada. Po definição, o amotecedo viscoso é um dispositivo que opõe à velocidade elativa ente os seus extemos uma foça que é popocional àquela velocidade (Fac.x. ssim, consideando-se o sistema mostado na Fig. 5, a cuva caga hamônica vesus deslocamento dinâmico exibe uma elipse que epesenta o mecanismo de dissipação de enegia. enegia E d dissipada po ciclo de oscilação é dada pela áea da elipse, isto é: π E πx d F(xdx c (4 0 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 9

10 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental onde c é a constante de amotecimento viscoso, a feqüência da vibação e X a amplitude de movimento. Figua 5 Cuva caga / deflexão dinâmica típica paa amotecimento viscoso. Pela Eq. (4, a enegia de dissipação é popocional à feqüência e ao quadado da amplitude. Entetanto, quando uma estutua eal, ou pate dela, é posta em movimento hamônico veifica-se que não existe esta popocionalidade ente enegia dissipada po ciclo e feqüência. É bem vedade que esta enegia depende, de alguma foma, da feqüência, mas nunca de maneia popocional. Paa estutuas, ou peças metálicas, a enegia dissipada po ciclo depende apenas discetamente da feqüência. Sendo os mecanismos de extação e dissipação de enegia de uma estutua eal complexos, qualque tentativa de se leva em conta estes váios mecanismos, individualmente, em uma análise matemática do movimento do sistema é impaticável. ssim, o que de melho se pode faze é modifica o modelo de amotecimento viscoso, geando outo modelo de simples manipulação matemática, o modelo de amotecimento histeético. Supõe-se, inicialmente, que o modelo viscoso sobeviva, poém com a constante de amotecimento dependente da feqüência (o temo constante aqui se efee apenas ao tempo. Em seguida, supõe-se que esta constante de amotecimento viscoso sea da foma: c( d( / (5 que é equivalente a usa um amotecedo viscoso mas fazendo-o vaia invesamente com a feqüência. Este elemento é conhecido como um amotecedo histeético, sólido ou estutual e o paâmeto d é denominado de coeficiente de amotecimento histeético. Esta denominação esulta do fato de que este mecanismo de dissipação desceve apoximadamente o compotamento do laço de histeese de muitos mateiais. Desta maneia a Eq. (4 pode se eescita como: Ed π.d(.x (6 dependência de d com a feqüência é, em geal, estabelecida expeimentalmente. Entetanto, como paa estutuas metálicas, ou peças, a dependência de d da feqüência é disceta, costuma-se, nesses casos, toná-lo constante, de sote que apoximadamente, temos: Ed π.d.x (7 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 0

11 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Paa uma estutua completa (múltiplos gaus de libedade supõe-se, em analogia com o caso viscoso, que inúmeos mecanismos histeéticos esteam distibuídos, de sote que, paa uma estutua excitada em movimento hamônico, de feqüência, a matiz de amotecimento fica: [C] (/ [D] (8 onde [D] é a matiz de amotecimento histeético. Note que como [C] é simética, também [H] o é. equação de movimento paa um sistema com um gau de libedade, com amotecedo histeético, excitado hamonicamente, pode se escita como: (- m id. X. e it F.e it (9 que pemite sea obtida a seguinte expessão paa a FRF do sistema, com amotecedo do tipo histeético: X / m H( (30 F ( m id iη n n onde η d / é conhecido como o fato de peda. Compaando as Eq. s (4 e (30 e fazendo n, pode-se conclui que os modelos viscoso e histeético são apoximadamente equivalentes na essonância com η ξ. 4 REPRESENTÇÃO E PROPRIEDDES DE UM FRF 4. Receptância Função Resposta em Feqüência definida e discutida anteiomente é somente uma das possíveis fomas de uma FRF e é denominada de Receptância, sendo gealmente denotada po α( ou α(i. Esta quantidade complexa desceve completamente a elação ente a esposta em temos de deslocamento e a foça de excitação aplicada a um sistema, caacteizando completamente as suas popiedades dinâmicas. Sendo a FRF uma função complexa da feqüência, existem tês quantidades a seem levadas em conta, ou sea, pate eal, pate imagináia e feqüência, quando se vai taça um gáfico da FRF. ssim, uma epesentação completa de uma FRF em um único gáfico somente pode se feita usando um sistema de efeência tidimensional, como ilustado na Fig. 6. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

12 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 6 Repesentação tidimensional da Receptância. É obvio que esta não é a foma mais conveniente de se epesenta a FRF. ssim, como uma altenativa, podemos mosta a FRF em dois gáficos sepaados, ou sea, pate eal x feqüência e pate imagináia x feqüência, como mostado nas figuas 7 e 8 espectivamente. Nestes gáficos, n 0 d/s e cada um deles coesponde a uma poeção, da cuva mostada na Fig. 6, nos planos Pate Real/feqüência e Pate Imagináia/feqüência, espectivamente. É inteessante nota que a pate eal da Receptância α( cuza o eixo das feqüências na essonância enquanto, na mesma egião, a pate imagináia apesenta um mínimo. Figua 7 Pate eal da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. Figua 8 Pate imagináia da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng.

13 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Se tomamos a poeção de α( no plano Real/Imagináio, isto é, no plano complexo ou de gand, o esultado é um laço que contém todas as infomações. inconveniência deste gáfico é que, nomalmente, não somos capazes de identifica os valoes de feqüência coespondentes aos pontos da cuva. Cada ponto da cuva, mostada na Fig. 9, que apesenta pontos igualmente espaçados na feqüência, deve se acompanhado po uma indicação do valo da feqüência coespondente. Esta epesentação é conhecida como Diagama de Nyquist e tem a paticulaidade de aumenta a egião de essonância e apesenta o laço cicula somente peto da essonância (coespondendo a uma mudança de fase da FRF de 80 gaus. Esta caacteística faz com que o Diagama de Nyquist sea muito popula na análise modal. Figua 9 Diagama de Nyquist da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. tualmente, a foma mais comum de epesentação de uma FRF é o Diagama de ode, que nada mais é do que o conunto de dois gáficos onde se tem uma cuva que epesenta a magnitude da FRF x feqüência e outa epesentando a fase da FRF x feqüência, pemitindo uma fácil intepetação visual da infomação contida em α(, confome mostado nas figuas 0 e. Figua 0 Magnitude da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 3

14 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua Fase da Receptância (m g, K 00 N/m e c 0.6 Ns/m. 4. Fomas ltenativas da FRF s popiedades dinâmicas de um sistema podem se expessas em temos de qualque caacteística de esposta conveniente e não necessaiamente em temos de deslocamento como foi apesentado no item anteio. vibação, gealmente, é medida em temos de movimento e, potanto, a FRF coespondente pode se apesentada em temos de deslocamento, velocidade ou aceleação. Esta elação simples de movimento-foça pode também se descita em liteatua mais antiga não como a elação movimento/foça, mas o seu inveso, isto é, a azão foça/movimento. nomenclatua usada paa identifica as FRF s pode vaia de auto paa auto, emboa o esfoço atual paa a padonização. De modo a evita confusão, a teminologia usada neste cuso é a seguinte: deslocamento α ( (Receptância (3 foça Velocidade Y ( (Mobilidade (3 foça aceleação ( (celeância (33 foça foça deslocamento Rigidez Dinâmica (34 foça velocidade foça aceleação Im pedância Mecânica (35 Massa paente (36 FRF celeância é, também, comumente chamada de Inetância. nomalização intenacional ecomenda o uso do temo celeância. Contudo, o temo Inetância pemanece sendo lagamente usado pela comunidade de análise modal. Finalmente, é impotante nota que o temo Mobilidade é, também, lagamente aceito como uma designação geal paa qualque foma de FRF definida pela elação movimento/foça. De foma simila, o temo Impedância Mecânica é usado paa a elação invesa. Sendo o deslocamento, a velocidade e a aceleação quantidades de espostas elacionadas matematicamente, pode-se a pati de uma FRF obtida com base em algum dos paâmetos de movimento, obte-se as outas fomas de FRF. Consideando vibação hamônica e tomando a Mobilidade como a FRF conhecida, as demais podem se deteminadas como segue: x(t & Y( F(t i Xe i i Fe t t iα( (37 UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 4

15 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Potanto, Y( α( e π ag.[y( ] ag.[ α( ] (38 Paa a celeância, de foma simila, temos: x(t && ( F(t levando a: i Xe i Fe t t α( (39 ( e, ainda, α( e ( Y( e ag.[( ] ag.[ α( ] π (40 π ag.[( ] ag.[y( ] (4 s cuvas mostadas nas figuas, 3 e 4 epesentam, paa valoes de m g, 00 N/m e c 0.6 N.s/m, espectivamente, em escala log-log, a Receptância, a Mobilidade e a celeância. Destas figuas é possível pecebe que existem algumas difeenças, pois as linhas etas de igidez e massa paa a Mobilidade e celeância apesentam inclinações difeentes daquelas do gáfico da Receptância, isto é, paa a Mobilidade a inclinação da linha de igidez é e da linha de massa e paa a celeância estas inclinações são, espectivamente, e 0. Figua Magnitude da Receptância em escala log-log. Figua 3 Magnitude da Mobilidade em escala log-log. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 5

16 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 4 Magnitude da celeância em escala log-log. Não podemos esquece que a cuva de magnitude da FRF não contém todas as infomações necessáias e, potanto, existe a necessidade de se considea a fase ou agumento da FRF complexa, como mostado na Fig. 5. cuva da fase pode usa escala logaítmica somente paa o eixo da feqüência. Na Fig. 5 é possível veifica que em todas as FRF s a mudança de fase na essonância é de 80. Figua 5 Fase da Receptância, Mobilidade e celeância. Emboa não seam lagamente usados, é inteessante compaa os gáficos das pates eal e imagináia vesus feqüência paa as tês fomas distintas de FRF. ssim, a Fig. 6 apesenta todas as tês fomas de FRF, pemitindo visualiza que a mudança de fase na egião de essonância coesponde a uma mudança de sinal em uma das pates do valo complexo da FRF, enquanto que a outa pate apesenta um ponto extemo, ou sea, um ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da FRF consideada. UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 6

17 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental Figua 6 Pates Real e Imagináia da Receptância, Mobilidade e celeância. Finalmente, a Fig. 7 mosta os Diagamas de Nyquist paa as FRF s mostadas na Fig. 6, que dizem espeito a um sistema de um gau de libedade, com mecanismo de amotecimento viscoso. Fica clao que, emboa cada ponto nestes diagamas coesponda a um valo de feqüência igualmente espaçado, somente aqueles pontos que estão póximos da feqüência de essonância podem se distintamente identificados, uma vez que os pontos foa da egião de essonância estão tão póximos que não podem se claamente identificados. Esta paticulaidade do Diagama de Nyquist tona-o muito conveniente paa váias aplicações de teste modal. Figua 7 Diagama de Nyquist paa a Receptância, Mobilidade e celeância. Poém, se lembamos que o laço cicula descito coesponde a mudança de fase sofida pela esposta elativa à foça de excitação e que esta mudança de fase tende a acontece dento de uma faixa mais laga de feqüência a medida que diminui o UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 7

18 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental amotecimento, é fácil conclui que o Diagama de Nyquist deixa de se útil quando o amotecimento é muito baixo. Isto é mostado na Fig. 8, onde a Receptância é mostada paa dois valoes distintos de amotecimento viscoso. Nesta figua, os pontos são igualmente espaçados na feqüência, com incementos de 0. d/s. Paa o caso onde ξ os pontos estão todos concentados póximos a oigem e não existe um laço visível no diagama. Potanto, o Diagama de Nyquist não é conveniente de se usado na análise de sistemas levemente amotecidos. Figua 8 Diagama de Nyquist da Receptância paa valoes distintos de ξ. Uma outa caacteística inteessante e útil do Diagama de Nyquist esulta da foma da taetóia geada pelos dados da FRF. Fica clao da Fig. 7 que, em cada um dos diagamas, os dados descevem um laço que paece com um cículo. Este compotamento paticula é caacteístico paa os dois mecanismos de amotecimento, ou sea, amotecimento histeético e amotecimento viscoso. Entetanto, seá mostado mais tade que sistemas com o mecanismo de amotecimento histeético possibilitam dados da FRF que taçam exatamente um cículo quando a Receptância é consideada enquanto que a Mobilidade e a celeância fonecem cículos distocidos. Po outo lado, paa o mecanismo de amotecimento viscoso, é a mobilidade que pemite o taçado de um cículo pefeito enquanto que a Receptância e a celeância taçam cículos distocidos. 5 ESTIMTIV DO MORTECIMENTO Foi mostado anteiomente que uma FRF mostada em um gáfico log-log pode fonece infomação imediata das caacteísticas de massa e igidez paa um sistema de um gau de libedade. Contudo, paa uma definição completa do modelo de um gau de libedade é, ainda, necessáio detemina o valo do amotecimento. ssim, nesta seção, seão apesentados tês métodos que podem se usados paa a deteminação do valo do amotecimento pesente no sistema. 5. Método do Pico na Ressonância Lembando da definição do Fato de mplificação (R, é possível elaciona-lo com a magnitude da Receptância confome abaixo: α ( R (4 é obvio que UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 8

19 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental log(r log( α( log (43 Potanto, na essonância ( n log( Rmax log( log log( η η (44 paa o modelo de amotecimento histeético. Isto significa que o fato de peda pode se facilmente deteminado da distância ente o pico de amplitude e a linha de igidez, no gáfico log-log mostado na Fig. 9. O mesmo método pode se aplicado ao modelo de amotecimento viscoso, confome segue: log( R max log( log log( ξ ξ (45 5. Método da anda de Meia Potência Emboa o método anteio leve a uma deteminação simples do valo de amotecimento pesente no sistema, pode ocoe uma impecisão na deteminação deste valo, uma vez que o valo peciso do pico da eceptância não é fácil de se obtido em uma medição e a egião de baixa feqüência, também, é difícil de se definida, devido a intodução de eos de medição po uído de fundo e do equipamento eletônico de medição. ssim, uma altenativa é aplica o método da banda de meia potência. Figua 9 Deteminação do amotecimento pelo método do pico. Tome, po exemplo, um sistema de um gau de libedade, com modelo de amotecimento histeético e sob vibação hamônica em egime pemanente. Neste caso, a enegia dissipada po ciclo de oscilação na essonância é dada po: E max πx d πα( F η max max (46 goa, considee os valoes coespondentes aos flancos do pico de esposta paa os quais a enegia dissipada po ciclo de vibação é metade da quantidade dada pela Eq. (46. Pela Fig. 30, pode-se pecebe que existem dois pontos, denotados pelos índices e, pemitindo que se esceva: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 9

20 Gupo de Vibações e cústica UFP nálise Modal Expeimental E, E α( max max α( (47, Figua 30 Definição dos pontos da banda de meia potência. Estes pontos deteminam uma faixa de feqüência conhecida como banda de meia potência, emboa devêssemos fala de enegia e não de potência. ssim, com base na Eq. (47 e da Eq. (30, podemos facilmente esceve: η (48 n Eq. (48 é exata e pemite que o valo de η sea calculado baseado somente nos valoes de feqüência. Se o amotecimento fo baixo, n podemos eesceve a Eq. (48 como: ( ( η η n n (49 e, lembando que paa baixo amotecimento η ξ, podemos esceve paa o modelo de amotecimento viscoso: ξ (50 n 5.3 Método do Cículo de Nyquist goa, seá desenvolvida uma investigação da foma da cuva do Diagama de Nyquist paa a Receptância. Paa tal, eesceva a Eq. (30 como: m d ( H( i Re ( m d ( m d α [ α( ] iim [ α( ] (5 Sabendo que: UFP DEM - Pof. Newton Sue Soeio, D. Eng. 0

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