Análise de Correlação e medidas de associação

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1 Análise de Coelação e medidas de associação Pof. Paulo Ricado B. Guimaães 1. Intodução Muitas vezes pecisamos avalia o gau de elacionamento ente duas ou mais vaiáveis. É possível descobi com pecisão, o quanto uma vaiável intefee no esultado de outa. As técnicas associadas à Análise de Coelação epesentam uma feamenta fundamental de aplicação nas Ciências Sociais e do compotamento, da Engenhaia e das Ciências natuais. A impotância de se conhece os difeentes métodos e suas suposições de aplicação é exatamente pelo cuidado que se deve te paa não se utiliza uma técnica inadequada. Existem divesos citéios de avaliação desta elação, alguns pópios paa vaiáveis que seguem uma distibuição nomal e outos paa vaiáveis que não seguem uma distibuição teóica conhecida. É comum a utilização do Coeficiente de coelação de Peason. No entanto, existem situações em que o elacionamento ente duas vaiáveis não é linea, ou uma delas não é contínua ou as obsevações não são selecionadas aleatoiamente. Nestes casos, outas altenativas de coeficientes deveão se aplicadas. Ente as divesas altenativas, veemos aqui algumas das mais impotantes: Coeficiente de Speaman e coeficiente de Contingência. Segundo o dicionáio Auélio, coelação significa elação mútua ente dois temos, qualidade de coelativo, coespondência. Coelaciona, significa estabelece elação ou coelação ente; te coelação. Enquanto que a palava egessão significa: ato ou efeito de egessa, de volta, etono, egesso; dependência funcional ente duas ou mais vaiáveis aleatóias. A palava egedi significa i em macha egessiva, etocede. Mas, onde e como sugiam os temos coelação e egessão? Foi Fancis Galton ( ), pimo de Chales Dawin, quem usou pela pimeia vez esses temos, cujo tabalho influenciou a Estatística e a Psicologia. Galton publicou o livo Gênio Heeditáio, em 1869, onde aplicou conceitos estatísticos a poblemas da heeditaiedade. O pimeio elato onde Galton usou o temo co-elações foi em Diagamas de Dispesão Um dos métodos mais usados paa a investigação de paes de dados é a utilização de diagamas de dispesão catesianos (ou seja, os conhecidos diagamas x-y). Geometicamente, um diagama de dispesão é simplesmente uma coleção de pontos num plano cujas duas coodenadas Catesianas são os valoes de cada membo do pa de dados. E paa quê fazemos um diagama de dispesão? Este é o melho método de examina os dados no que se efee à ocoência de tendências (lineaes ou não), agupamentos de uma ou mais vaiáveis, mudanças de espalhamento de uma vaiável em elação à outa e veifica a ocoência dos valoes discepantes. Obseve o exemplo a segui:

2 Relacao ente Tempeatua e Umidade 3 T E m p E R A T U R a Umidade (%) Podemos nota pela análise da figua acima, a elação linea ente as duas vaiáveis. Os coeficientes apesentados a segui nos auxiliam na quantificação do gau de elacionamento ente as vaiáveis de inteesse. 3. A Covaiância e o Coeficiente de coelação de Peason Quando estudamos a elação ente duas vaiáveis X e Y devemos pimeiamente compeende o conceito de covaiância. Se a vaiância é uma estatística atavés da qual chegamos ao desvio padão que é uma medida de dispesão, da mesma maneia a covaiância é uma estatística atavés da qual chegamos ao coeficiente de coelação que mede o gau de associação linea ente duas vaiáveis aleatóias X e Y. Obseve o exemplo abaixo. Sejam X e Y duas vaiáveis aleatóias quaisque, que tomam os seguintes valoes: Tabela 1. Cálculo do coeficiente de coelação de Peason X Y DESVIOX (X i -X) DESVIOY (Y i -Y) DXDY (X i -X)*(Y i -Y) DESVIOX DESVIOY PRE_1 (X i -X) (Y i -Y) Ya+bX 1 0-4,50-6,00 7,00 0,5 36,00,977-3,50-4,00 14,00 1,5 16,00, ,50 -,00 5,00 6,5 4,00 3, ,50-1,00 1,50,5 1,00 4, ,50-1,00,50,5 1,00 5, ,50,00 1,00,5 4,00 6, ,50 1,00 1,50,5 1,00 7, ,50 1,00,50 6,5 1,00 8, ,50 5,00 17,50 1,5 5,00 9, ,50 5,00,50 0,5 5,00 11, ,00 8,50 114,00 60,0000

3 Na tabela acima está uma ilustação dos cálculos dos componentes da covaiância e coelação. A Figua abaixo mosta a elação ente as duas vaiáveis X e Y, bem como a linha ajustada a esses valoes pelo método de mínimos quadados. Obseve que a média de X é 5,5 e a média de Y é 6,0, e que elas estão fomadas pelas linhas paalelas ao eixo Y e ao eixo X espectivamente. Vejamos agoa o que significa os desvios de cada ponto em elação a média. Obseve que cada ponto está fomado pelo pa odenado (X i,y i ), onde X i indica o valo da vaiável X e Y i o valo da vaiável Y naquele ponto. Y DesvioX(X 9 -X) (9-5,5) + 3,5 III IV (X 9, Y 9 ) X II I Y6,0 X 5,5 DesvioY(Y 9 -Y) (11-6,0) + 5,0 Figua 41. Relação ente X e Y Tome agoa, po exemplo, DesvioX (X 9 -X)( 9-5,5) + 3,5 e Desvio Y (Y 9 -Y)(11-6,0) + 5,0 O poduto dos desvios: Desvíos X DesvioY (X 9 -X)*(Y 9 -Y) (9-5,5)*(11-6,0) (+ 3,5)*(+5,0)17,5 Se calculamos esses podutos paa todos os valoes de X e Y e somamos temos o numeado da covaiância de X e Y: ( X i X ) *( Yi Y ) 93 C( X, Y ) 9,3 n 10 (1)

4 Logo, covaiância significa co-vaiação, como as duas vaiáveis vaiam de foma conjunta. Agoa, vejamos o que acontece se os pontos estivessem no quadante I. Neste caso, os desvios de X seiam todos positivos, enquanto que os desvios de Y seiam todos negativos, logo os podutos tomaão valoes negativos. O mesmo vai acontece com os pontos do quadante III, nele, os desvios de X tomaão valoes negativos e os desvios de Y, valoes positivos, logo os podutos tomaão valoes negativos. Assim, se a maioia dos pontos caem nos quadantes I e III a covaiância tomaá valoes negativos, indicando que essas duas vaiáveis se elacionam de foma negativa ou invesa, ou seja, que quando uma cesce a outa diminui e vice-vesa. Quando os pontos se distibuem nos quato quadantes, haveá valoes positivos e negativos, logo a soma tendeá paa zeo, e neste caso, afimaemos que não existe elação linea ente essas vaiáveis. Obsevamos que esta estatística tendeá paa zeo, mesmo havendo uma elação que não fo linea, po exemplo se os dados tivessem o fomato de uma paábola, ou elação quadática. A pesa da covaiância se uma estatística adequada paa medi elação linea ente duas vaiáveis, ela não é adequada paa compaa gaus de elação ente vaiáveis, dado que ela está influenciada pelas unidades de medida de cada vaiável, que pode se metos, quilometo, quilogamas, centímetos, etc. Paa evita a influência da odem de gandeza e unidades de cada vaiável, dividimos a covaiância pelo desvio padão de X e de Y, dando oigem ao coeficiente de coelação de Peason: Notação: Coeficiente de coelação amostal: Coeficiente de coelação populacional: ρ C X Y (, ) S * S Y () X 9, 3 0, 95896, 873* 3, 3764 Onde: S x 8,5 / 10 8,5 S x,873 S y114,0 / 10 11,4 S y 3,3764 Como o coeficiente de coelação está isento de unidades e da odem de gandeza das vaiáveis, este toma valoes ente 1 e 1. Quando a elação é positiva tomaá o valo 1 quando a elação é pefeita. Quando a elação é negativa tomaá o valo -1 quando a elação é pefeita. Quando a elação é difusa ou não linea seá igual a 0.

5 No Excel, usando a opção Coelação em Análise de dados, obtemos: O coeficiente de Deteminação Outo coeficiente amplamente utilizado paa mensua o gau de coelação ente duas vaiáveis é o coeficiente de deteminação. É definido elevando o valo do coeficiente de Peason ao quadado e denotado po. Pode se intepetado como sendo a popoção da vaiação de Y que é explicada pela vaiável X (e vice vesa). Muito emboa o coeficiente de deteminação seja elativamente fácil de intepeta, ele não pode se testado estatisticamente. Contudo, a aiz quadada do coeficiente de deteminação, que é o coeficiente de coelação (), pode se testada estatisticamente, pois está associada à uma estatística de teste que é distibuída segundo uma distibuição t de Student, quando a coelação populacional ρ 0. O coeficiente de coelação paa dados populacionais é: População: ρ ρ O coeficiente de coelação paa dados amostais é: Amosta:

6 Significância do coeficiente de coelação Paa compovamos se o coeficiente de coelação é significativo, devemos ealiza o seguinte teste de hipóteses: t c Hipóteses: H : ρ 0 H 0 1 : ρ 0 A estatística de teste é n 1 com n- gaus de libedade na tabela t de Student. Caso o valo de t c seja supeio ao valo cítico de t, devemos ejeita a hipótese nula. Se a hipótese nula, ao nível de significância α, fo ejeitada podemos conclui que efetivamente existe uma elação significativa ente as vaiáveis. Exemplo: 1. Paa estuda a poluição de um io, um cientista mediu a concentação de um deteminado composto ogânico (Y) e a pecipitação pluviomética na semana anteio (X): X Y 0,91 0,10 1,33 1,10 4,19 3,40,68,10 1,86,60 1,17 1,00 Existe alguma elação ente o nível de poluição e a pecipitação pluviomética? Teste sua significância, ao nível de 5%. Calculando a média de X e de Y temos X,03 e Y 1,717. Calculando a covaiância ente X e Y pela expessão (1), C( X, Y ) 1,0989 ( 0,91,03)( 0,10 1,717 ) + ( 1,33,03)( 1,10 1,717 ) + L + ( 1,17,03)( 1,00 1,717 ) Calculando os desvios padões de X e Y temos: S X 1,15 e S Y 1,10 6

7 E assim, pela expessão (), C( X, Y ) S Y * S X 1,0989 0,888 1,15 1,1 Testando a significância do coeficiente, t c n 1 0, (0,888 ) 3,86 O valo cítico de t paa n- 4 gaus de libedade e 5% de nível de significância é,78. Note que o teste de significância do coeficiente seá sempe bilateal. Como o valo calculado de t é supeio ao valo cítico, podemos conclui que existem evidências suficientes paa afima que o composto ogânico (Y) e a pecipitação pluviomética (X) estejam coelacionados.. Pocuando quantifica os efeitos da escassez de sono sobe a capacidade de esolução de poblemas simples, um agente tomou ao acaso 10 sujeitos e os submeteu a expeimentação. Deixou-os sem domi po difeentes númeos de hoas, após o que solicitou que os mesmos esolvessem os itens "contas de adiciona" de um teste. Obteve, assim, os seguintes dados: No de eos - Y Hoas sem domi - X Calcule o coeficiente de coelação linea de Peason e teste a sua significância ao nível de 1%. Calculando a média de X e de Y temos X 16 e Y 10,6. Calculando a covaiância ente X e Y pela expessão (1), ( 8 16)( 8 10,6) + ( 8 16)( 6 10,6) + L + ( 4 16)( 1 10,6) C( X, Y ) 15, 10 Calculando os desvios padões de X e Y temos: S X 5, e S Y 3,5611

8 E assim, pela expessão (), C( X, Y ) S Y * S X 15, 0, , ,5611 Obs: pocue sempe usa o maio númeo de casas decimais possível. Usando a planilha Excel podeíamos também obte uma matiz de covaiância, que iá nos fonece a covaiância ente X e Y além da vaiância de X e de Y. Agoa testando a significância do coeficiente, t c n 1 0, (0, ) 3,79 O valo cítico de t paa n- 8 gaus de libedade e 1% de nível se significância é 3,355 (bilateal). Como o valo calculado de t é supeio ao valo cítico, podemos conclui que existem evidências suficientes paa afima que o númeo de hoas sem domi (X) influencia significativamente o númeo de eos (Y).

9 4. Medidas de Associação Feqüentemente estamos inteessados em veifica a existência de associação ente dois conjuntos de escoes e também o gau desta associação. No caso paamético, a medida usual é o coeficiente de coelação de Peason que exige mensuação dos escoes no mínimo ao nível intevala. Ainda, se estivemos inteessados em compova a significância de um valo obsevado de de Peason deveemos supo que os escoes povenham de uma distibuição nomal. Quando estas suposições não são atendidas podemos utiliza um dos coeficientes de coelação não-paaméticos e suas espectivas povas de significância. 4.1 Coeficiente de Contingência C Este coeficiente mede a associação ente dois conjuntos de atibutos quando um ou ambos os conjuntos são medidos em escala nominal. Considee uma tabela de contingência k x, que epesenta as feqüências cuzadas dos escoes A (divididos em k categoias) e escoes B (divididos em categoias). O gau de associação ente dois conjuntos de atibutos é calculado po: χ C onde χ é a estatística Qui-quadado. n + χ O p-valo associado ao valo da estatística Qui-quadado com (-1) x (k-1) gaus de libedade é a pova de significância do coeficiente de contingência C. O coeficiente C se caacteiza po assumi valo zeo quando há inexistência de associação poém nunca seá igual à 1. O limite supeio do coeficiente é dado po k 1 (quando k ). Note que paa calcula o coeficiente C, a tabela de contingência k deve satisfaze as estições do teste Qui-quadado. Exemplo: Estudantes de escolas paticulaes e de escolas públicas selecionados aleatoiamente foam submetidos a testes padonizados de conhecimento, e poduziam os esultados abaixo. Veifique o gau de associação ente as vaiáveis mensuadas e teste a significância ao nível de 5%. Escoes Escola Paticula Pública Queemos aqui veifica o gau de associação ente as vaiáveis Escola e Escoe de conhecimento. A vaiável Escola é mensuada em nível nominal, o que inviabiliza a utilização do coeficiente de Peason.

10 Obtendo então o coeficiente de Contingência, necessitamos inicialmente calcula o valo da estatística χ : Feq Obs Feq. 1,94 16,53 1, 4,31 Esp. 3,06 9,47 1,78 7,69 6 1,94 1, ,53 16,53 3 7,69 L 17,8 7,69 χ ( ) ( ) ( ) O coeficiente de contingência seá: C χ n + χ 17, ,8 0,345 Paa testa a significância do coeficiente pecisamos veifica o valo cítico de χ consideando α0,05 e (-1) x (k-1) 3 gaus de libedade. Este valo é igual a 7,81. Compaando com o valo calculado de 17,8, podemos admiti a existência de associação significativa ente a Escola e o escoe de conhecimento. Analisando atentamente, podeíamos acescenta que o fato de um estudante petence a uma escola paticula faz com que ele obtenha um escoe de conhecimento mais alto. 4. Coeficiente de coelação de Speaman É uma medida de associação que exige que ambas as vaiáveis se apesentem em escala de mensuação pelo menos odinal. Basicamente equivale ao coeficiente de coelação de Peason aplicado a dados odenados. Assim, Σ xy Σ x Σ y s ou seja, o coeficiente de coelação de Speaman se utiliza da expessão do coeficiente de Peason poém calculado com postos. Esta expessão equivale à s 6 i i onde d i x i y i a difeença de postos dos escoes X e Y. n n n d Paa veifica a significância do valo obsevado de s podemos usa a expessão de t de Student

11 n t s 1 s onde t tem n- gaus de libedade. Exemplo: As notas obtidas po 10 estudantes de Administação e o seu QI (quociente de inteligência) são apesentadas no quado abaixo Notas 8 9,5 10 9,1 6,5 9 9,5 5, 9,1 9,3 QI Utilize o coeficiente de Speaman paa veifica se as vaiáveis estão associadas e qual o seu gau de associação. Inicialmente odenamos os valoes oiginais, tansfomando-os em postos. Aqui então substituímos os valoes oiginais pelos seus espectivos postos, ou seja, o meno valo da vaiável em questão seá substituído pelo valo 1 e assim po diante. Em seguida, calculamos as difeenças de postos: Notas 3 8,5 10 5,5 4 8,5 1 5,5 7 QI d i 0-0,5 0 0, ,5 0-0,5 0 (d i ) 0 0,5 0 0, ,5 0 0,5 0 Calculando o coeficiente: s i i n 10 n n d ( 0 + 0, ) 6. 0, 5 0, 998 K Veificando a significância estatística do coeficiente: t s n 8 8 0,998 0, ( 0,998 ) 0,004 s 44,63 O valo cítico da estatística t de Student é obtido definindo-se n- 8 gaus de libedade e o nível de significância, que admitiemos igual a 1%. Este valo é igual a 3,36. Mais uma vez temos aqui um teste bilateal pois estamos veificando se o coeficiente é difeente de zeo. Assim, podemos compova que o coeficiente de associação é altamente significativo, ou seja, existem fotes indícios que apontam paa notas altas obtidas po aqueles que possuem maioes quocientes de inteligência.

12 5. Ampliando seus conhecimentos Teste de Kappa O Teste de Kappa é uma medida de concodância inteobsevado e mede o gau de concodância além do que seia espeado tão somente pelo acaso. Paa descevemos se há ou não concodância ente dois ou mais avaliadoes, ou ente dois métodos de classificação, utilizamos a medida Kappa que é baseada no númeo de espostas concodantes, ou seja, no númeo de casos cujo esultado é o mesmo ente os avaliadoes. Esta medida de concodância assume valo máximo igual a 1, que epesenta total concodância ou ainda pode assumi valoes póximos e até abaixo de 0, os quais indicam nenhuma concodância. O coeficiente Kappa é calculado a pati da seguinte fómula: PO P Kappa 1 P E E Onde P O númeo de númeo de concodâncias concodâncias + númeo de discodâncias n e P E ( ) i 1 p i 1 p i sendo que: - n é o númeo de categoias; - i é o índice da categoia (que vale de 1 a n); - p i1 é a popoção de ocoência da categoia i paa o avaliado 1; - p i é a popoção de ocoência da categoia i paa o avaliado ; Paa avalia se a concodância é azoável, Landis, JR e Koch, GG (1977) sugeem a seguinte intepetação: Valoes obtidos de Kappa Intepetação <0 Nenhuma concodância 0-0,19 Concodância pobe 0,0-0,39 Concodância leve 0,40-0,59 Concodância modeada 0,60-0,79 Concodância substancial 0,80-1,00 Concodância quase pefeita Exemplo: Em ceto ógão de financiamento, em cada edital abeto se apesentam divesos pesquisadoes que enviam pojetos solicitando ecusos paa desenvolve-los. Estes pojetos ecebem uma avaliação, muitas vezes subjetiva, baseada na opinião de um consulto.

13 Considee a tabela abaixo que esume as avaliações feitas po dois avaliadoes a 30 pojetos que concoem ao financiamento. O inteesse deste estudo é sabe qual é a concodância ente estes dois pofissionais e se há alguma classificação com concodância maio do que as demais. AVALIADOR A B C Total AVALIADOR 1 A 14 (0,47) 1 (0,03) 1 (0,03) 16 (0,53) B 3 (0,10) 3 (0,10) (0,07) 8 (0,7) C 0 (0,00) 1 (0,03) 5 (0,17) 6 (0,0) Total 17 (0,57) 5 (0,16) 8 (0,7) 30 (1,00) * ente paênteses as popoções Calculando o coeficiente Kappa: P O 0, n P E ( ) i 1 0,3993 p i 1 p i (0,57. 0,53) + (0,16. 0,7) + (0,7. 0,0) 0, , ,054 0,733 0,3993 Kappa 0, ,3993 Note que a concodância geal pode se consideada apenas modeada. Avaliando cada uma das tês classificações, notamos que a concodância é alta quando os avaliadoes atibuem o conceito A e o conceito C. No entanto, paa atibui o conceito B, um conceito intemediáio, a concodância já não é tão satisfatóia. Fonte: Landis JR, Koch GG. The measuement of obseve ageement fo categoical data. Biometics 6. Atividades de aplicação 1. Foi tomada uma amosta aleatóia de 10 caegamentos ecentes po caminhão feitos po uma companhia, anotada a distância em quilômetos e o tempo de entega. Os dados seguem abaixo: Caegamento Distância em Km (X) Tempo de entega em dias (Y) 3,5 1,0 4,0,0 1,0 3,0 4,5 1,5 3,0 5,0

14 a) Constua o diagama de dispesão; b) Calcule o coeficiente de coelação de Peason paa os dados desta amosta; c) Calcule o coeficiente de deteminação; d) Veifique se o coeficiente de coelação é significativo (α0,05).. Paa uma amosta de n 10 tomadoes de empéstimos em uma companhia financeia, o coeficiente de coelação ente a enda familia média e débitos a descobeto de cuto pazo foi calculado 0,50. Teste a hipótese de que não existe coelação ente as duas vaiáveis, usando um nível de significância de 5%. 3. Paa avalia a elação ente habilidade vebal e habilidade matemática, escoes de 8 estudantes foam obtidos, geando a tabela abaixo: estudantes Escoe Matemática Vebal Calcule o coeficiente de coelação e teste sua significância. 4. Em um estudo conduzido com 10 pacientes, estes foam colocados sob uma dieta de baixas goduas e altos caboidatos. Antes de inicia a dieta, as medidas de colesteol e de tigliceídeos foam egistadas paa cada indivíduo. a) Constua um gáfico de dispesão paa esses dados. b) Há alguma evidência de elação linea ente os níveis de colesteol e de tigliceídeos? c) Calcule o coeficiente de coelação de Speaman e teste sua significância. paciente Colesteol (mmol/l) Tigliceídeos (mmol/l) 1 5,1,30 6,18,54 3 6,77,95 4 6,65 3,77 5 6,36 4,18 6 5,90 5,31 7 5,48 5,53 8 6,0 8, ,34 9, ,51 14,0

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