Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 4 - Soluções

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1 Univesidade Fedeal de Pelotas Disciplina de Micoeconomia Pofesso Rodigo Nobe Fenandez Lista 4 - Soluções ) Resolva o poblema de maximização dos lucos de uma fima com a tecnologia Cobb Douglas f x,x ) x x. S:Pimeiamente montaemos a função de lucos:π pf x,x ) x + x ) O poblema da fima é escolhe a quantidade de insumos que maximiza essa função: As CPOs são: maxπ pf x,x ) x + x ) x,x px x ) Multiplicaemos a equação ) po x e a ) po x obtendo: px x ) px x x 3) Lembe que y x x. Usando este fato em 3) e 4): px x x 4) Inseindo 5) e 6) na função de podução obtemos a função de ofeta ótima: py x 5) py x 6) ) py y py ) p y ) p ) Inseindo 7) em 5) e 6) obteemos as escolhas ótimas po insumos, isto é, as demandas ótimas: x p x p ) ) ) ) 7) 8) 9) ) Considee a função de podução f x,x ) {minx,x )}. Enconte as demandas ótimas po insumos, a função de ofeta e a função de luco. Que estição deve satisfaze? S: Na solução ótima devemos te x x. O poblema da fima nesse caso é equivalente a:

2 A CPO desse poblema é: max x Π px x + ) px + 0) Desse modo teemos que: A função de ofeta é: ) p x + ) E a função de lucos: ) p y ) + escala. ) p Π p + p + ) + ) Π ) + ) p Apenas necessitamos que <, ou seja, a função de podução deve apesenta etonos decescentes de 3) Enconte as demandas condicionais e a função custo paa os tês casos abaixo: a) Tecnologia Linea: f x,x ) x + x S: As demandas condicionais são: A função de custos mínimos é dada po: y, se j > i x i qualque valo ente 0 e y, se j i 0, se se j < i a) Tecnologia Leontief: f x,x ) min{x,x } c,,y) ymin{, } S: Devemos usa uma quantidade igual de ambos os insumos paa podução, desse modo: x x y. A função de custos mínimos é dada po b) Tecnologia CES f x,x ) x + x ) S: Devemos fomula o Lagangiano: c,,y) y + ) [ L x + x + y ] x + ) x As CPOs são: [ ] x + ) x x [ ] x + ) x x 3) 4)

3 y x + x ) 5) Sabemos que: y x + x ) Potanto: Usando esses fatos nas duas CPOS temos que: y x + ) x y x O que esulta em: y x Substituindo as equações 6) e 7) na equação 5) obtemos que: y x ) y 6) x ) y 7) ) y + ) p + ) ) y p Substituindo essa expessão nas equações 6) e 7) teemos: x x + + ) 8) ) y 9) ) y 0) Podemos insei 9) e 0) na função objetivo paa obtemos a função de custos mínimos: x,,y) + x,,y) Denote c,,y) + ) y + + ) y, então e e com um pouco de álgeba tediosa teemos: c,,y) + ) y ) Ou seja, a função de custos mínimos CES tem um fomato análogo a pópia função de podução. 4) Considee uma fima com uma tecnologia Cobb Douglas f k,l) k l, onde k denota unidades de capital usadas pela fima, l denota unidades de tabalho usadas pela fima, o saláio pago aos tabalhadoes e o 3

4 peço do insumo capital. A fima que minimiza o custo de poduzi y unidades do bem final e possui acesso a mecados de fatoes pefeitamente competitivos. po µ. a) Qual é o poblema de minimização de custos da fima? Denote o multiplicado de Lagange desse poblema S: e. b) Quais são os paâmetos do poblema? L k + l + µ [y k l ] S: Os paâmetos do poblema são os peços dos fatoes, e, e os paâmetos da função de podução c) Enconte as funções de demanda condicionais. Denote-as po l,,y) e k,,y) S: As CPOs do poblema são: µk l ) µk l 3) y k l 4) Divida ) po 3) paa obte: Insia 5) em 4) e obtenha: k ) l 5) Substituindo 6) em 5): l y ) 6) k y ) d) Enconte a função custo c,,y). Qual a intepetação econômica dessa função? S: A função de custo é: 7) Insia 6) e 7) na equação acima paa obte: c,,y) k,,y) + l,,y) c,,y) e) Ache µ,,y). Qual a intepetação do multiplicado? S: As duas pimeias CPOs esultam em: µy Substituindo essas duas equações na equação 4) obtemos: ) ) + y k 8) µy l 9) 4

5 y µy ) µ ) ) µy ) y 30) Dizemos que o multiplicado de Lagange é o peço somba da estição do poblema de minimização de custos, isto é, µ,,y) mede o aumento no custo da fima decoente de um pequeno aumento na quantidade poduzida. f) Ache dy dc e moste que é igual ao multiplicado de Lagange. S: Pimeio note que a seguinte elação é válida: ) ) ) ) + ) Deivando a função de custos em elação a y: dc,,y) dy Usando a elação acima: dc,,y) dy ) + ) ) + ) ) + ) + ) ) y ) ) ) ) ) + ) ) + ) y ) y µ g) Como dy dc com elação a + )? S: Se aumentamos + ) então dy dc diminui. Isto é espeado: significa que poduzi a mesma quantidade é mais baato quanto maio o etono de escala que a fima tive. h) Moste que as demandas condicionais são homogêneas de gau 0 em e. S: Seja t>0, então usando as equações das demandas condicionais, teemos que: l t,t,y) y k y t t ) y ) t y t ) ) i) Moste que a função custo é homogênea linea em e. Qual é a intuição desse esultado? S: ct,t,y) t) t) ) ) + y 3) 3) 5

6 ct,t,y) t ) ) ) ) + y ct,t,y) tc,,y) A homogeneidade da função custo significa que se todos os peços dos insumos mudam na mesma popoção, o custo ótimo de podução também muda na mesma popoção. j) Moste que d dc dc 0 e que d 0. Qual a intuição desse esultado? S: Deive a função de custos em elação a estes dois paâmetos, obtendo: dc,,y) d dc,,y) d ) ) + + ) ) ) ) + ) ) + y > 0 y > 0 Se o o peço do insumo aumenta, então o custo de se obte o mesmo nível de podução que antes não pode diminui. k) Moste que a função custo é côncava em. Em temos econômicos o que significa esse esultado? S: Veja a segunda deivada da função custo com elação a : [ d c,,y) d + ) ] ) ) ) + y < 0 O que implica que a função de custos é côncava com espeito a. A função de custo se côncava com elação ao peço do insumo significa que a fima pode se beneficia da possibilidade de substitui insumos. 5) Suponha que uma fima competitiva poduz eleticidade em duas usinas difeentes, uma hidelética e outa nuclea. O custo de poduzi y h megaatts de eleticidade na hidelética é C h y h ) y h + 5y h. O custo de poduzi y n megaatts de eleticidade na usina nuclea é C n y n ) 0 + 0y n + 5y n. Qual a foma de meno custo possível de se poduzi um total de megaatts? S: O poblema é descito po: O Lagangiano desse poblema é: maxc h y h ) + C n y n ) sujeito à y n + y h y h,y n As CPOs do poblema são: L 0 + 0y n + 5y n y h + 5y h + [ y n y h ] y h 33) 0 + 0y n 34) Igualando as duas CPOs teemos: y h + y n 35) y h 0 + 0y n 6

7 3 + y h y n Substituindo na equação 35): y h + 3 y h 4 36) Usando a equação 36) temos que: y n 7 37) 7