PPNL. Conjuntos Convexos. Exemplos. Otimização e Conjuntos Convexos

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1 PPNL Min (Max) f(x). a. g i (x) (,, =) b i, i =,,m onde x = (x,,x n ) T é o veto n-dimenional da vaiávei de decião; f (x) é a função objetivo; g i (x) ão a funçõe de etição e o b i ão contante conhecida. Conjunto Convexo Exemplo Definição: Um conjunto S R n é convexo e cada ponto, no egmento de linha x conectando doi ponto quaique x, y em S, etá também em S. Fomalmente: x y x y z = x + ( - λ)y S paa todo λ tal que y 0 λ. Otimização e Conjunto Convexo Seja S = { x R n : g i (x) b i, i =,,m } Se g i (x) é uma função convexa paa cada i =,, m, então S é um conjunto convexo. Teoema da Pogamação Convexa: Seja x R n e eja f (x) uma função convexa definida obe um um conjunto convexo S. Se exite uma olução finita paa o poblema Min (Max) { f (x): x S } Então todo o ótimo local é global. Se f(x) é etitamente convexa então a olução ótima é única.

2 Pogamação Convexa Exemplo Min (Max) f (x,,x n ). a g i (x,,x n ) b i paa i =,,m e x 0,, x n 0 é um poblema convexo e f é convexa (côncava) e cada g i é convexa (côncava). Max f (x) = z = (x ) + (y ) Sujeito a x y 6 x + y x + y 7 x y 4 x x Poblema Não Convexo Min f (x) = -4x -0,9y. a x /x + 0,8y,7 x + y 0 x 7 x, y 0 Condiçõe de Otimalidade de Pimeia Odem Min (Max) {f (x): g i (x) bi, i =,,m } Lagangiano: L(x, λ) = f(x) + Condiçõe de Otimalidade m λ i ( g (x) bi) i i= Etationaidade: L(x, λ) = f(x) + λi Complementaidade: λ i g i (x), i =,,m Viabilidade: g i (x) bi, i =,,m Não negatividade: λ i 0, i =,,m m i= g i (x) Impotância do Poblema Convexo Softwae de otimização comeciai não podem gaanti que a olução é globalmente ótima e o poblema não é convexo. O algoitmo de PNL tentam enconta um ponto onde o gadiente da função Lagangiana é zeo um ponto etacionáio e exita uma folga completmenta. Dado L(x, µ) = f(x) + µ(g(x) b) Queemo L(x, µ) = f(x) + µ g(x) λ(g(x) b) g(x) b 0, λ 0 Paa um poblema convexo, toda a olução local é um ótimo global.

3 Exemplo: pacote potal Solução via Lagangiano Um pacote potal é uma caixa de dimenõe x, y, z, que deve atende a eguinte etição paa pode e enviado via coeio. A altua e mai o peímeto da bae não pode excede 08 cm. O objetivo é obte um pacote com o maio volume poível cuja dimenõe atendam a epecificaçõe do coeio. Max V(x, y, z) = xyz. a. x + y + z 08 x 0, y 0 e z 0 L(x, y, z, λ) = xyz + λ(x + y + z 08) Deivando e igualando a zeo a deivada paciai em elação a cada vaiável, incluive λ. = yz + λ x = xz + λ y = xy + λ z = x + y + z 08 λ Igualando ea expeõe a zeo, tem-e: yz + λ λ = yz xz + λ λ = xz xy + λ λ = xy x + y + z 08 x + y + z = 08 Aim, concluí-e que: z = y e z = x. Logo x = y. Subtituindo ee eultado na quata equação, tem-e: x + y + z = 08 x + x + x = 08 6x = 08 x=8. Logo y = 8 e z = 6.

4 Exemplo: pojeto de um tanque Modelagem Queemo contui um tanque na foma de um cilindo fechado tanto em cima quanto embaixo. O volume do tanque deve e máximo e a áea da upefície total não deve e upeio a unidade. Max V(, h) = π h. a. π + πh = 0, h 0 h Solução via Cálculo Em eumo π π = = π = π h V h = π. π π dv d dv = d π π = = = π Como h =.Subtituindo =, egue que : π π / π 6. h = 6 = = = = = = π 9π π.π π / = = / e h = = Dea foma egue que o volume eá :. / = π V h = π = = = / / = =,ito é : / V = Ea é uma olução global ótima? Tete de Convexidade Reolução pelo Lagangiano Temo V h π = π = π π ito é,v() = π. = π dv() d V() Aim = π = d d d V() = 0 paa todo 0. d Como V( ) é côncava em R, a olução encontada é um máximo global. Dado o poblema: Max V(, h) = π h. a. π + πh = O Lagangiano eá: L(, h) = π h + λ(π + πh ). Deivando ea expeão em elação a, h e λ, tem-e: 4

5 = πh + 4πλ + πλh = π + πλ h = π + πh λ πh + 4πλ + πλh π + πλ π + πh Igualando ea expeõe a zeo, tem-e: Manipulando a egunda equação: π + πλ π( + λ) = λ Subtituindo ee eulltado na pimeia equação, egue que: πh + 4πλ + πλh π(h + 4λ + λh) h + 4λ + λh h h h = h Subtituindo agoa na teceia equação, vem: Solução pelo Solve π π + πh π + π = π = = = Como h =, egue que: + πh = + 4π = / Max,90 h,0,6 = Sinal LD R = h = / Paa utiliza o Solve o valo de deve e fixado. Nee cao: =. Execício: áea de decano O depatamento de Etada e Rodagen planeja contui uma áea de decano paa o motoita ao longo de uma longa autoetada. Ela deve e etangula, com uma áea de 5000 meto quadado, e deveá e cecada no tê lado nãoadjacente à etada. Qual é a meno quantidade de ceca que eá neceáia paa completa o tabalho? Modelagem Min x + y. a. xy = 5000 x 0, y 0 Reolve po cálculo e via Lagangiano. 5

6 Refeência BERTSEKAS, Dimiti P. Nonlinea Pogamming. Belmont (MA): Athena Scientific, 995. WINSTON, Wayne L. Opeation Reeach: Application and Algoithm. ed. Belmont (CA): Duxbuy Pe,