Volume. 2ª edição Joaquim Lopes Neto. Mecânica

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1 Volume ª edição Joaquim Lopes Neto Mecânica

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3 Mecânica Volume - Módulo ª edição Joaquim Lopes Neto Apoio:

4 Fundação Ceciej / Consócio Cedej Rua Visconde de Niteói, 364 Mangueia Rio de Janeio, RJ CEP 943- Tel.: () Fax: () Pesidente Masako Oya Masuda Vice-pesidente Miian Capez Coodenação do Cuso de Física Luiz Felipe Canto Mateial Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Joaquim Lopes Neto COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cistine Costa Baeto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Luciana Messede Janeth Pinto COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Déboa Baeios AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Aoaldo Veneu Depatamento de Podução EDITORA Teeza Queioz REVISÃO TIPOGRÁFICA Elaine Bayma Macus Knupp Daniela de Souza COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Joge Moua PROGRAMAÇÃO VISUAL Sanny Reis ILUSTRAÇÃO Eduado Bodoni Jeffeson Caçado CAPA Eduado Bodoni PRODUÇÃO GRÁFICA Oséias Feaz Paticia Seaba REDATOR FINAL Aoaldo Veneu Copyight 6, Fundação Ceciej / Consócio Cedej Nenhuma pate deste mateial podeá se epoduzida, tansmitida e gavada, po qualque meio eletônico, mecânico, po fotocópia e outos, sem a pévia autoização, po escito, da Fundação. L864p Lopes Neto, Joaquim. Mecânica. v. / Joaquim Lopes Neto. a ed. Rio de Janeio: Fundação CECIERJ,. 98p.; x 9,7 cm. ISBN: /. Movimento.. Oscilação hamônica. 3. Enegia potencial. 3. Método Lagangiano. 4. Colisões. I. Título. CDD: 53 Refeências Bibliogáficas e catalogação na fonte, de acodo com as nomas da ABNT.

5 Goveno do Estado do Rio de Janeio Govenado Ségio Cabal Filho Secetáio de Estado de Ciência e Tecnologia Alexande Cadoso Univesidades Consociadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reito: Almy Junio Codeio de Cavalho UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reito: Aloísio Teixeia UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reito: Ricado Vieialves UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reito: Ricado Motta Mianda UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reito: Robeto de Souza Salles UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitoa: Malvina Tania Tuttman

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7 Mecânica Volume - Módulo SUMÁRIO Aula Movimento em uma dimensão 7 Aula Movimento em uma dimensão e foças consevativas 37 Aula 3 O oscilado hamônico simples 59 Aula 4 Oscilações acopladas 85 Aula 5 Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Aula 6 O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação 4 Aula 7 O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton e Teoema de Liouville, foças de vínculo 73 Aula 8 O movimento sob a ação de uma foça cental 3 Aula 9 Movimento em um efeencial não inecial 35 Aula Colisões 63

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9 Movimento em uma dimensão A U L A Metas da aula Discuti a equação difeencial que desceve o movimento de uma patícula em uma dimensão sob a ação de uma foça geal, o método de solução numéica, e o papel das condições iniciais; apesenta métodos simples de solução desta equação quando a foça depende somente do tempo ou somente da velocidade; mosta a utilidade das expansões em séies nas apoximações e análise de esultados. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: esolve a equação do movimento paa foças do tipo F(t) e F(v); usa a séie de Taylo paa obte soluções apoximadas simples a pati das soluções analíticas exatas.

10 Mecânica Movimento em uma dimensão POR QUE MAIS MECÂNICA? Vamos da início ao nosso cuso de Mecânica Clássica com algumas obsevações geais sobe seus objetivos. Você vai se pofesso de Física paa alunos do Ensino Médio e nas disciplinas Física I e Física II já estudou, povavelmente, mais do que vai pode ensina de Mecânica paa seus alunos. Então, qual a elevância de um apofundamento maio ainda nos seus estudos? Pimeio, poque você vai se um pofesso e não um meo epetido e não há como ensina sem um conhecimento sólido dos fundamentos do conteúdo do que está sendo ensinado. Você deveá te uma noção claa das apoximações envolvidas nas aplicações que apesenta aos seus alunos, assim como se capaz de analisa situações novas que cetamente sugião. Depois, é impotante sabe situa a Mecânica Clássica no contexto da Física Modena e conhece os limites de validade dos seus esultados. Com o seu maio e melho conhecimento, acima de tudo você também seá mais capaz de motiva seus futuos alunos. Paa concetiza esses objetivos, espeamos teiná-lo neste cuso a pensa sobe fenômenos físicos em temos matemáticos. Isso não que dize que você deva abandona uma abodagem qualitativa, guiada po sua intuição do fenômeno mecânico, mas que você desenvolva uma igual intuição paa a fomulação matemática de poblemas físicos e paa a intepetação física de soluções matemáticas. O PROBLEMA GERAL DO MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO Começaemos estudando o movimento de uma patícula de massa m ao longo de uma linha eta, que vamos toma como sendo o eixo x. A patícula move-se sob a ação de uma foça F diigida ao longo do eixo x. O movimento da patícula, como você já apendeu, é dado pela segunda lei de Newton, onde a é a aceleação F = ma d x a = = x&& dt (.) (.) 8 C E D E R J

11 A foça F em geal depende do que a patícula está fazendo. Paa sabe o que a patícula está fazendo, é peciso conhece sua posição e sua velocidade x(t) = dx(t)/dt num dado instante de tempo t. Logo, em geal, a foça F é alguma função de x(t), &x(t) e t, ou seja, F(x, &x(, t). Então, a segunda lei de Newton assume a seguinte foma: AULA MÓDULO m d x F x x t dt = (, &, ) (.3) Execício.. Dê exemplos de foças: (a) constantes; (b) que dependem da posição; (c) que dependem da velocidade; (d) que dependem do tempo. A Equação (.3) é uma equação difeencial de segunda odem poque ela envolve uma deivada segunda e nenhuma outa deivada de odem supeio. Uma equação difeencial de segunda odem paa x tem, em geal, um númeo infinito de soluções que podem se otuladas pelos valoes de x e &x(num dado tempo, digamos, no instante em que começamos a obseva o movimento. Estas condições que especificam a solução são chamadas condições iniciais. Uma vez dadas as condições iniciais, ou seja, a posição inicial e a velocidade inicial, a solução da equação difeencial estaá completamente especificada. Exemplo.. Considee o poblema mais simples da mecânica que é o de enconta o movimento de uma patícula movendo-se em uma linha eta sob a ação de uma foça constante. Neste caso, F(x, &x(, t) = F e a Equação (.3) fica d x = F dt m = const (.4) Mas d x dt = dx& dt = dv dt e assim, Integando ou dv v = F m dt F t dv = m dt t v dx v = F v dt = + m t t ( ) (.5) (.6) (.7) C E D E R J 9

12 Mecânica Movimento em uma dimensão Integando novamente ou x t F dx = dt ( v + m t t t ( )) x x x = F v t t + m t t ( ) ( ) (.8) (.9) A solução geal da Equação (.4) é, potanto, x ( F t ) = m ( t t ) + x & ( t )( t t ) + x( t ) (.) Dados os valoes de x( t ) e &x ( t) no instante inicial t, a solução x(t) estaá completamente especificada e seá única. RESOLVENDO A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO NUMERICAMENTE Se você tive uma foça complicada, dependendo de x, &x(, e t, você não podeá, na maioia das vezes, enconta uma solução em temos de funções conhecidas. No entanto, você sempe podeá esolve a Equação (.3) numeicamente. O modo de esolve seia assim: se você conhece a posição x( t ) e a velocidade &x ( t ) no instante inicial t, você pode usa esta infomação paa detemina a posição da patícula em um tempo muito cuto t + t posteio (ou anteio) atavés da expessão x( t + t) = x( t ) + x& ( t ) t (.) Esta expessão vem da definição de deivada e é tanto mais acuada quanto meno fo t. Nós queemos itea este pocedimento e acha x(t + n t), o que significaia acha x(t) (pelo menos apoximadamente) em toda uma seqüência de tempos futuos (ou passados). Na etapa seguinte à equação (.), isto é, paa n =, teemos: x( t + t) = x( t + t) + x& ( t + t) t (.) C E D E R J

13 Note que agoa pecisamos de &x ( t + t) que não é dado pela condição inicial. Aqui enta em cena a segunda lei de Newton. Como AULA MÓDULO x& ( t + t) = x& ( t ) + x&& ( t ) t, (.3) paa possegui pecisamos sabe qual o valo de &&x ( t ). Mas a segunda lei de Newton diz que &&x ( t ) é dado dividindo-se a foça no instante t pela massa da patícula x&& ( t ) & m F ( x ( t ), x ( t ), t = ) (.4) Pondo este valo da aceleação na Equação (.3), obtemos a velocidade no instante t + t que, po sua vez, substituído na Equação (.), pemite enconta x(t + t). Note que a aceleação necessáia em um passo é sempe dada em temos dos valoes de x, &x(já calculados no passo anteio. Na póxima etapa, temos de calcula x(t + 3 t), e assim po diante. Execício.. Esceva os passos necessáios paa calcula x, &x( em t + 3 t. O método numéico deixa muito clao o papel da segunda lei de Newton e desceve a estutua da solução do poblema do movimento da patícula em uma foma extemamente simples. Quando pecisamos do valo da aceleação em um dado instante, a segunda lei nos diz paa toma o valo da foça naquele instante e dividi pela massa. Nada mais simples. Po outo lado, a Equação (.), que apesentamos como conseqüência da definição de deivada, também pode se vista como obtida a pati da definição da velocidade média x( t + t) x( t) &x ( t) = t (.5) Quando t as duas coisas coincidem. O mesmo comentáio vale paa a Equação (.3): vem da definição de aceleação média. Você já deve esta pensando: não há nada neste método numéico que não possa se ensinado a um aluno do ensino médio. Até ceto ponto isto é vedade. Você veá este tema abodado nas aulas de Infomática paa o C E D E R J

14 Mecânica Movimento em uma dimensão Ensino do Pofesso C.E. M. de Aguia. Veja também a póxima aula, na qual você teá como execício esolve numeicamente o poblema do oscilado hamônico unidimensional. Uma outa coisa inteessante do método numéico diz espeito às condições iniciais e à unicidade da solução da equação difeencial. Obsevando as Equações (.), (.3) e (.4) vemos que duas condições iniciais bastam paa especifica como a patícula se move, ou seja, paa fixa a solução da equação difeencial. Isto poque a equação que desceve o movimento é uma equação difeencial de segunda odem. Paa uma equação difeencial de pimeia odem é evidente que pecisaíamos de somente uma condição inicial. Uma equação difeencial de teceia odem iia equee tês condições iniciais: x( t ), &x ( t ), &&x ( t ). A deivada teceia seia dada pela equação difeencial. E assim po diante. A nossa patícula, po sua vez, está se movendo somente em uma dimensão. Se o movimento fosse em tês dimensões, teíamos uma equação do movimento paa cada dimensão e seiam necessáias seis condições iniciais. O númeo de gaus de libedade de um sistema é igual ao númeo de modos independentes no qual o sistema pode se move. Assim, pecisamos de duas condições iniciais po gau de libedade paa dize como um sistema se move. FORÇA APLICADA DEPENDENTE DO TEMPO Paa começa a desenvolve nossa intuição na solução de poblemas mais complicados, é inteessante esolve poblemas que possam se tatados po métodos simples e que tenham solução analítica. O exemplo mais simples de uma lei de foça paa a qual a Equação (.3) pode se esolvida fomalmente po integação é uma foça que depende somente de t, F(t). Como a( t) = dv( t) dt = d x dt, escevemos a Equação (.3) como d dt v( t) = m F( t) (.6) Integando ambos os lados da Equação (.6), obtemos t v( t) = m dt F ( t ) + v ( t ) t (.7) C E D E R J

15 onde usamos a condição inicial &x ( t) epetindo o pocedimento, temos paa x(t) = v(t). Como v(t) = dx(t)/dt, AULA MÓDULO x( t) = x( t ) + dt v( t ) t t (.8) Então, substituindo a Equação (.7) na (.8), ou t t x( t) = x( t ) + dt v( t ) + m dt F ( t ) t t t t x( t) = x( t ) + v( t )( t t ) + dt dt F( t ) m t t (.9) (.) Esta é a solução pocuada, x(t), em temos de duas integais que podem se calculadas quando a foça F(t) é dada. Uma integal definida pode sempe se calculada. Se uma fómula explícita não pude se encontada, então ela pode se computada po métodos numéicos com a pecisão que fo desejada. Os temos na solução (.) são fáceis de entende. O pimeio é onde a patícula começou, a posição inicial. O segundo temo desceve um movimento com velocidade constante v(t ), que é o que a patícula teia feito se não houvesse uma foça atuando sobe ela. E o último temo é o efeito da foça. Execício.3. Faça F(t) = F na solução (.) e ecupee a Equação (.). Exemplo.. Como uma aplicação menos tivial da Equação (.), considee uma foça do tipo F( t) = F cos( ωt + θ) (.) Esta podeia se a foça sobe uma patícula live caegada quando submetida a um campo elético oscilante ao longo da dieção x, de feqüência angula ω. A pimeia integal na (.) dá, tomando o instante inicial como sendo igual a zeo, F t m dt t F cos( ω + θ) = [ sen( ωt m + θ) senθ ] ω (.) C E D E R J 3

16 Mecânica Movimento em uma dimensão Fazendo a segunda integal obtemos t (.3) m dt t dt F t F t ( ) = m dt [ sen( ωt + θ) senθ ] ω F cosθ senθ = ω θ mω Fm ω t F cos( t + ) mω O esultado final paa x(t), supondo, po simplicidade, que a patícula está inicialmente em epouso em x =, é F cosθ F senθ x t m m t F ( ) = cos( ωt + θ) ω ω mω (.4) Deixamos paa você, como execício, explica a oigem do temo constante e do temo linea em t na Equação (.4) em temos da fase da foça no instante inicial. EXEMPLOS DE FORÇAS DEPENDENTES DE VELOCIDADE Considee uma foça dependente da velocidade, F(v), aplicada a uma patícula que se move em uma dimensão. A segunda lei de Newton, F = ma, toma a foma m d x F v dt = ( ) (.5) Usando v = dx/dt, podemos eescevê-la m dv dt = F( v) (.6) Paa intega esta equação, é conveniente expessá-la como dt = m dv F( v) (.7) Agoa integamos os dois lados t dt = t t = m v( t) t v ( t ) dv F( v ) (.8) onde, como de costume, colocamos uma linha nas vaiáveis do integando paa distingui-las dos limites de integação. A Equação (.8) detemina implicitamente v(t) em temos de (t t ) e da condição inicial v(t ). Uma vez deteminado, podemos intega 4 C E D E R J

17 paa obte x(t) usando a outa condição inicial x(t ). Vejamos como isso funciona em dois casos envolvendo uma foça dissipativa dependente da velocidade, a foça de aasto: (a) F = βv, (b) F = mγv². Antes, diemos o que é uma foça de aasto. Se você é apaixonado po caos espotivos povavelmente já leu ou ouviu citaem coeficientes de aasto paa ealça as qualidades aeodinâmicas de um cao. Então o que significa isso? AULA MÓDULO Figua.: Van de seção eta S movendo-se atavés do a com velocidade v. F é a foça de aasto. A Figua. mosta uma van (que tem uma foma nada aeodinâmica mas simplifica nossos agumentos) movendo-se com velocidade v. A van está sujeita a uma foça de aasto de intensidade dada po F = CAρSv (.9) onde S é a áea da seção eta da van, C A é o coeficiente (adimensional) de aasto e ρ é a densidade do a. A foça (.9) tem uma intepetação simples. A quantidade (.3) p = ρsv t é o momento de um cilindo de a de seção eta S movendo-se com velocidade v e de compimento v t. Se supomos que este momento é completamente tansfeido do a paa o cao no tempo t, nós obtemos a foça f = p t = ρsv. A pesença na Equação (.9) do fato exta C A < sugee que somente uma fação desse momento é tansfeida. C E D E R J 5

18 Mecânica Movimento em uma dimensão Pode-se mosta que, paa um escoamento incompessível, o coeficiente de aasto é uma função de um paâmeto adimensional chamado númeo de Reynolds, Re, C = C ( Re) O númeo de Reynolds é definido po A A (.3) Re Lv = ρ η (.3) onde L é um compimento caacteístico, digamos, S /, e η é o coeficiente de viscosidade do fluido. Você vai te que espea até a Aula paa sabe mais sobe o númeo de Reynolds. Figua.: Coeficiente de aasto C A em função do númeo de Reynolds Re. A linha cheia é o esultado de medidas ealizadas em túneis de vento. A linha tacejada coesponde à fómula de Stokes (foça de aasto popocional à velocidade). A Figua. mosta um gáfico típico de medidas pecisas do coeficiente de aasto em função de Re. Na egião onde Re é pequeno (velocidades baixas em um gás denso ou líquido), C ( A Re ) Re e a foça de aasto fica então popocional à velocidade. Paa valoes altos do númeo de Reynolds (velocidades altas), o coeficiente de aasto é paticamente constante e a foça de aasto é popocional ao quadado da velocidade. Temos, potanto, dois egimes de foças paa o objeto movendo-se no fluido, F = βv = mγv e F = mγv², onde o sinal menos é utilizado paa indica que a foça tem sentido oposto ao da velocidade. 6 C E D E R J

19 Execício.4. Quais são as dimensões dos paâmetos β, Γ e γ? Agoa que explicamos a oigem das foças dissipativas dependentes de velocidade, as foças de aasto, passemos à solução da equação do movimento em cada caso. (a) Caso em que F = βv = mγv Substituindo esta foça na Equação (.8), AULA MÓDULO t dt = t t = v( t) dv v t v( t ) Γ (.33) Efetuando a integal, obtemos: ou v Γ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( t t t v t v t ) = + = v( t ) (.34) v( t) = v( t ) e Γ( t t ) (.35) Antes de possegui, é bom veifica se a Equação (.35) faz sentido. Você encontou acima que Γ tem dimensão de /T e, potanto, a exponencial é adimensional como deveia se. Em seguida, note que no limite Γ, onde a foça desapaece, a velocidade vai paa um valo constante, como deveia se. Paa Γ difeente de zeo, o objeto estaá pedendo enegia, sua velocidade gadualmente diminui. 6 Figua.3: Gáfico mostando a diminuição exponencial da velocidade, medida em unidades de v, em função do tempo, medido em unidades de Γ. C E D E R J 7

20 Mecânica Movimento em uma dimensão Na Figua.3 temos um gáfico da velocidade como função do tempo mostando a diminuição exponencial de v. Agoa vamos enconta x(t) integando a Equação (.35) x( t) = x( t ) + dt v( t ) t = x( t ) + v( t ) dt e t t t Γ ( t t ) (.36) Se você não se lemba α como calcula a integal da função exponencial, faça uma mudança de vaiável de t' paa u e então, t t = e Γ( ) t t. Assim, du = e dt Γ Γ( ) t t Γ Γ( t ) ( ) Γ ( t t ) dt e = du = ( e ) Γ Γ t t t (.37) Substituindo este esultado na (.36), encontamos v( t) t t x( t) x( t ) ( ( ) = + e Γ ) Γ (.38) 6 Figua.4: Gáfico do deslocamento em função do tempo. A linha eta é a extapolação linea da velocidade inicial. 8 C E D E R J

21 Na Figua.4 temos um gáfico do deslocamento da patícula, x = x x (em unidades de v / Γ) em função do tempo (em unidades de /Γ). AULA MÓDULO Execício.5. A expessão matemática lim t Γ( t t ) e nos leva a conclui da Equação (.38) que o objeto leva um tempo infinito paa pecoe uma distância finita v(t )/Γ. Analise esta conclusão com base no intevalo de tempo caacteístico /Γ. Paa uma função f(t) suave (e a maioia das funções em Física são suaves) podemos usa a expansão de Taylo: f ( t) = f ( t ) + ( t t ) f ( t ) + f ( t) +...! (.39) A expansão de Taylo, ou séie de Taylo, é uma das fómulas matemáticas mais impotantes na Física e você vai usá-la com muita feqüência. Paa a função exponencial, Γ( t t ) e = Γ( t t) + Γ ( t t) +... (.4) Paa intevalos de tempo muito cutos, ou seja, Γ(t t )<<, você só pecisa usa até o pimeio temo da expansão (.4). Então, Γ( t t ) substituindo e = Γ( t t ) na (.38) obtemos ou v( t ) x( t) = x( t ) + ( ( Γ ( t t )) Γ x( t) = x( t ) + v( t )( t t ) (.4) (.4) que é a apoximação linea da Figua.4. Vamos dize isto de outa foma: Quando os efeitos da viscosidade do fluido podem se despezados, o objeto se move, na ausência de outas foças, em movimento etilíneo unifome. Exemplo.3. Considee que o objeto movendo-se no fluido viscoso esteja também sob a ação de uma foça constante, F. A foça total sobe o objeto é então F(v) = F mγv, que substituindo na Equação (.8) e integando, obtemos Γ( t t F ) Γ( t t ) v( t) = v( t ) e + ( e ) (.43) mγ C E D E R J 9

22 Mecânica Movimento em uma dimensão Veja que, quando (t t ) >> /Γ, qualque que seja sua velocidade inicial v(t ), a velocidade do objeto tende ao valo v T = F / mγ chamado velocidade teminal. No gáfico da Figua.5 ilustamos esse fato. Figua.5: Gáfico da velocidade em unidades de F mγ. Na cuva supeio, fizemos v = 3( F mγ ). Na cuva infeio, a velocidade inicial é v =. O tempo está em unidades de /Γ. Note que o objeto atinge a velocidade teminal em um tempo da odem de /Γ. Uma vez atingido este egime estacionáio, a foça execida po quem está empuando o objeto satisfaz a elação F = mγv T, ou seja, é popocional à velocidade com que o objeto está se movendo. Imagine um meio muito viscoso. A fase tansiente podeia se tão ápida que as pessoas nem pecebessem. Paa elas a foça seia popocional à velocidade e não à aceleação como diz a segunda lei de Newton. Execício.6. Faça uma estimativa do valo de Γ paa que a fase tansiente não possa se pecebida visualmente. Sugestão: aqui vai uma dica: um filme é uma seqüência de fotos. O númeo de fotos (quados) po segundo é tal que seu céebo não pecebe a passagem de uma seqüência paa a seguinte, dando a impessão de um fluxo contínuo. Os antigos gegos achavam que um copo só podeia se move se estivesse sob a ação de uma foça (eles ainda não tinham descobeto a lei da inécia). Eles também achavam que a velocidade com que um copo se move ea popocional à foça aplicada. Como pofesso de Física você vai nota que muitos alunos, antes de apendeem as leis de Newton, pensam muito paecido com os gegos antigos. (b) Caso em que F = mγv² C E D E R J

23 Esta é a foça de aasto que atua em uma bola de futebol quando ela está se deslocando no a. AULA MÓDULO Execício.7. Calcule o númeo de Reynolds paa velocidades típicas de uma bola de futebol. Depois, na Figua. (a que coesponde a uma esfea é muito semelhante) veja como se compota o coeficiente de aasto. Substituindo a foça F = mγv² na (.8), agoa temos, t dt = t t = v( t) dv v t v t ( ) γ (.44) que fica mais bem escita na foma γ t dt = γ ( t t ) = dv v t v ( t ) v ( t) (.45) Fazendo a integal, obtemos: ou γ( t t ) = v( t) v( t ) v( t) v( t) = + γ v( t )( t t ) (.46) (.47) Integando novamente paa obte x(t) chegamos ao esultado x( t) = x( t) + l n + γv( t)( t t) γ ( ) (.48) Obseve como as condições iniciais apaecem nas Equações (.47) e (.48). Nós vamos deixa paa você como poblema a análise desses esultados. Na póxima aula, daemos continuidade ao nosso estudo tatando as foças dependentes somente de posição. Em paticula, estudaemos as foças consevativas que, você já deve sabe, podem se deivadas de um potencial. Naquele ponto voltaemos novamente a fala das foças dissipativas dependentes de velocidade que estudamos aqui. Paa encea, acho que você pode te ficado um pouco assustado com o númeo de fómulas. Paa cada lei de foça, uma fómula difeente. Aqui vai um conselho muito útil: não decoe fómulas. Isso só vai confundi você. Concente-se em compeende as deivações. C E D E R J

24 Mecânica Movimento em uma dimensão R E S U M O Nesta aula nos estingimos a estuda o movimento da patícula em uma dimensão, onde a segunda lei de Newton, F = ma, fonece a seguinte equação difeencial do movimento: m d x (.49) dt = F ( x, x &, t ) Vimos que esta equação sempe pode se esolvida numeicamente e que, dadas as condições iniciais, isto é, a posição inicial e a velocidade inicial, sua solução é única. Depois, mostamos como pocede paa tenta esolvê-la analiticamente nos casos em que a foça aplicada é uma função somente do tempo, F = F(t), ou uma função somente da velocidade, F = F(v). Nos casos em que a solução analítica existe, vimos a utilidade da expansão em séies de Taylo paa a análise dos esultados. C E D E R J

25 PROBLEMAS.. Suponha que a foça atuando sobe uma patícula possa se fatoada em uma das seguintes fomas: F( x, x&, t) = f ( x) g( t) (.5) F( x, x&, t) = f ( x& ) g( t) (.5) F ( x, x&, t) = f ( x) g( x& ) (.5) AULA MÓDULO Paa que casos são integáveis as equações do movimento?.. Uma patícula de massa m está sujeita a uma foça F(t) = me bt. A posição inicial e a velocidade inicial são iguais a zeo. Enconte x(t)..3. Considee uma patícula de massa m cujo movimento pate do epouso em um campo gavitacional constante. Se a foça de aasto fo popocional ao quadado da velocidade (isto é, F = mγv ), (a) Calcule a velocidade e a posição da patícula em um instante t. Tome v() =. Qual a velocidade teminal da patícula? (b) Moste que a distância s que a patícula cai ao acelea de v a v é dada po g γv s( v v) = ln (.53) γ g γv.4. Uma patícula é lançada veticalmente paa cima em um campo gavitacional constante com uma velocidade inicial v. Considee a foça de esistência do a como sendo popocional ao quadado da velocidade instantânea da patícula. Tomando a dieção y positiva paa cima, a foça esistiva seá então γ mv quando a patícula estive se movendo paa cima, e +γ mv quando a patícula estive se movendo paa baixo. (a) Moste que, no movimento paa cima, a velocidade da patícula vaia com a altua de acodo com a expessão v = v + ( v + v ) e t t γ y (.54) onde y é o deslocamento medido a pati do ponto de lançamento e v t = g /γ é a velocidade teminal. C E D E R J 3

26 Mecânica Movimento em uma dimensão (b) Moste que no movimento paa baixo, a velocidade da patícula vaia com a altua de acodo com a expessão v = v v e γ y t t (.55) onde agoa y é o deslocamento medido a pati do ponto mais alto da tajetóia. (c) Usando os esultados dos itens anteioes moste que quando a patícula atinge o ponto de lançamento no seu etono, sua velocidade é v vt ( v + vt ) / (.56).5. Um bloco de metal de massa m desliza sobe uma supefície hoizontal que foi lubificada com um óleo pesado fazendo com que o bloco sofa uma foça esistiva que vaia com a potência 3/ da velocidade: F = m γ v 3/ (.57) As condições iniciais são x( t = ) = e v( t = ) = v. (a) Resolva a equação do movimento do bloco paa enconta v(t) (b) Intege v(t) paa obte x(t). (c) Usando a ega da cadeia, dv dt dv dx = = dx dt v dv dx (.58) obtenha v(x) paa esse bloco. (d) Moste que, quando t, o deslocamento do bloco tende assintoticamente a v / /γ..6. Foguetes são impulsionados pela eação à taxa de vaiação do momento dos gases expelidos. Desde que os gases têm oigem na eação dos combustíveis caegados pelo foguete, a massa do foguete não é constante, mas decesce à popoção que os gases são ejetados. Moste que a equação do movimento de um foguete, lançado veticalmente paa cima em um campo gavitacional unifome e despezando a esistência da atmosfea, é: m dv dt = v dm e mg dt (.59) 4 C E D E R J

27 onde m é a massa do foguete e v e é a velocidade de escape dos gases em elação ao foguete. Intege esta equação paa obte v em função de m, supondo uma taxa tempoal constante de peda de gás. AULA MÓDULO.7. Uma gota de água começa a foma-se na atmosfea, em tono de um núcleo de condensação, que é uma patícula de poeia de aio e que tem uma velocidade inicial v. A gota cai atavés da atmosfea, que, vamos supo, está satuada de vapo de água, e vai aumentando de volume pela condensação. A gota é esféica e adquie massa a uma taxa igual a ka, onde k é uma constante positiva e A é a áea de sua seção eta. Suponha que não há foça esistiva e moste (a) que o aio da gota cesce lineamente com o tempo, e (b) que se é despezível, então a velocidade da gota cesce lineamente com o tempo..8. Um baco, com velocidade inicial v, pede velocidade devido a uma foça de atito F = be αv (.6) (a) Enconte seu movimento. (b) Quanto tempo ele leva paa paa e que distância ele pecoe? Soluções:.. No texto da Aula, nós estudamos situações nas quais a foça aplicada depende somente do tempo t, ou somente da velocidade &x. Na póxima aula veemos foças que dependem somente da posição x. Este poblema considea foças que dependem de duas das vaiáveis, x, &x, t, poém, a dependência é fatoada. Queemos sabe se nesse caso a equação do movimento é integável. (a) F(x, &x, t) = f(x)g(t) A equação do movimento paa uma foça deste tipo seia: m dv dt = f ( x) g( t) (.6) C E D E R J 5

28 Mecânica Movimento em uma dimensão que podemos esceve como m f ( x) dv = g ( t ) dt (.6) O lado dieito da Equação (.6) é claamente integável paa uma função g(t) bem compotada. O lado esquedo, poém, não é integável geneicamente. (b) F( x, x&, t) = f ( x& ) g( t) A equação do movimento paa esta foça é ou, m dv dt = f ( v) g( t) (.63) m f ( v) dv = g ( t ) dt (.64) Paa funções f(v) e g(t) bem compotadas, os dois lados da Equação (.64) são integáveis. (c) F( x, x&, t) = f ( x) g( x& ) A equação do movimento paa esta foça é m dv dt = f ( x) g( v) (.65) Agoa, usamos a ega da cadeia paa tansfoma a deivada em elação ao tempo em uma deivada em elação à posição: m dv dt dv dx = m = dx dt mv dv dx (.66) Substituindo este esultado na Equação (.66), podemos esceve mv g( v) dv = f ( x ) dx (.67) Novamente, ambos os lados da Equação (.67) são integáveis paa funções f(x) e g(v) bem compotadas. O esultado das integações dá uma equação paa a velocidade em função da posição, v(x), que pode de novo se sepaada e integada paa acha x(t). 6 C E D E R J

29 .. Da segunda lei de Newton segue que &&x = e bt Integando esta equação em elação ao tempo, achamos (.68) AULA MÓDULO bt e v( t) = + A b Integando novamente dá bt e x( t) = + At + B b (.69) (.7) A condição inicial, v() =, dá A =. A condição inicial, x( ) =, dá b B = b. Assim, bt e t x( t) = + b b b (.7).3. (a) Vamos escolhe a dieção positiva apontando paa baixo. A equação do movimento da patícula caindo é m dv dt = mg mγ v (.7) Passando toda a dependência em v paa o lado esquedo e a dependência no tempo paa o lado dieito, temos, dv g γ v = dt v dv g γ v = dt t (.73) A integal pode se encontada em uma tabela, ou calculada em seu computado usando Maple, Mathematica, ou equivalente, e dá γ γ g actanh g v t = (.74) de onde tiamos que g v( t) = tanh( γ gt) γ (.75) A pati da velocidade, integamos e obtemos a posição: t g t x( t) x( ) = v( t ) dt = gt dt tanh γ γ (.76) C E D E R J 7

30 Mecânica Movimento em uma dimensão o que dá x( t) = x + lncosh γ gt γ (.77) (b) A distância viajada ente os instantes t e t é dada pela difeença x( t) x( t) = lncosh( γ g t) lncosh( γ g t) γ γ (.78) γ g t = ln cosh( ) γ cosh( γ g t ) Paa coloca o esultado na foma pedida, pimeio escevemos h g t s( t t ) x( t ) x( t ) ln cos ( γ ) = = γ cos h ( γ g t) (.79) Depois, da Equação (.75), escevemos γ v = tan h ( γ gt) = sec h ( γ gt) g (.8) Então, g cos h ( γ gt) = g γ v (.8) que, substituindo na Equação (.79), dá, finalmente, g γ v s ( t t) = ln γ g γ v (.8) Uma foma altenativa de esolve o pesente poblema é usa a ega da cadeia paa muda a deivada em elação ao tempo, paa uma em elação a x, como fizemos na pate (c) do poblema.. Este método leva ao mesmo esultado, mas não dá a dependência explícita no tempo vista na Equação (.77). Fazemos m dv dt m dv dx = = mv dv = mg mγ v dx dt dx (.83) de onde escevemos vdv g γ v = dx v v dv g γ v v = x x dx (.84) 8 C E D E R J

31 o que imediatamente leva ao esultado desejado: g γ v s( t t) = ln γ g γ v (.85) AULA MÓDULO.4. (a) Quando a patícula está se movendo paa cima, sua equação do movimento é m dv dt = mg mγ v (.86) e, usando a ega da cadeia, nós temos Integando, dá dv dt dv dy = = v dv = g γ v dy dt dy y y v vdv = v g + γ v v d( v ) = v g + γ v g + γ v = ln γ g + γ v (.87) (.88) Tomando o ponto de lançamento como sendo v =, multiplicando ambos os lados po y e tomando a exponencial, dá g + γ v g + γ v = e γ y (.89) Resolvendo paa v, nós temos ou, v g g = + + v γ γ e y γ (.9) onde vt = ( g / ) / γ v = v + ( v + v ) e t é a velocidade teminal da patícula. t γ y (.9) (b) Duante o movimento paa baixo, a equação do movimento da patícula é m dv dt = mg + mγ v (.9) C E D E R J 9

32 Mecânica Movimento em uma dimensão Seguindo o mesmo pocedimento da pate (a), nós encontamos g + γ v y y = ln γ g + γ v (.93) Fazendo y =, agoa o ponto mais alto da tajetóia, v = (a velocidade é zeo no ponto mais alto), obtemos g + γ v g = γ e y (.94) e, esolvendo paa v, temos v g g e γ y = γ γ (.95) ou, v = v v e γ y t t (.96) (c) Seja h a altua máxima atingida pela patícula. Então, do esultado da pate (a), podemos esceve = v + ( v + v ) e t γ h (.97) e, da pate (b), a velocidade com a qual a patícula etona ao ponto de patida seá v = v v e t γ h t t (.98) Eliminando h das Equações (.97) e (.98), obtemos ou, v = v v t t vt v + v t (.99) v = v v v t + v t (.).5. (a) A equação do movimento do bloco é m dv dt = mγ v 3/ (.) 3 C E D E R J

33 Integando esta equação, obtemos v dv v t = = / / / = ( v v v 3 ) / γ v γ / γ v v (.) AULA MÓDULO onde v é a velocidade em t =. Resolvendo paa v, dá γ t v( t) = + v / (b) Integando v em elação ao tempo, achamos paa x: t t γ t x x = vdt = + v / v γ t = + + v γ γ / / / t dt v = γ γ + t (.3) (.4) (c) Usando a ega da cadeia, dv dt = v dv = γ v 3/ dx que, sepaando e integando, dá a posição (.5) / / / v dv v ( v v ) x x = v v = = / γ γ / γ v v (.6) (d) Podemos ou toma o limite t no esultado do item (b) ou faze v = no esultado do item (c) e obte que o deslocamento do bloco tende assintoticamente paa x x v / γ (.7).6. Este é um poblema típico daqueles em que a segunda lei de Newton deve necessaiamente se colocada na foma (.8) (Aqui, como estamos tatando do movimento em uma dimensão, não pecisamos explicita o caáte vetoial de p e F). Como a massa é vaiável, dp / dt mdv / dt. dp dt = F C E D E R J 3

34 Mecânica Movimento em uma dimensão Do ponto de vista de um obsevado na Tea vendo o foguete subi, há somente duas foças atuando sobe o foguete, a gavidade e a populsão dos gases sendo expelidos. Essa foça de populsão é dada po dn dt m v g g (.9) onde dn / dt é o númeo de moléculas de gás sendo expelidas po unidade de tempo, m g é a massa de uma molécula e v g é a velocidade do gás expelido em elação à Tea. Isto dá paa a foça total atuando sobe o foguete: F = mg + dm dt v g (.) ou, dp dt m dv dm dt dt v mg dm = + = + dt v g m dv dt dm = mg ( v v g ) dt (.) (.) Sendo v a velocidade do foguete em elação à Tea, vemos que v = v v é a velocidade com que os gases escapam em elação ao foguete e g e depende só do tipo de moto e do combustível usado. Chegamos, potanto, à seguinte equação paa o movimento do foguete: m dv dt = mg v dm e dt (.3) Seja µ = dm / dt a quantidade positiva que dá a taxa com que a massa do foguete está vaiando. Quando µ é constante, então, m( t) = m µ t t = ( m m)/ µ. Agoa, a equação do movimento do foguete pode se escita na foma conveniente paa integação: o que dá dv = gdt v dm e m v = gt + v e m ln m (.4) (.5) 3 C E D E R J

35 Substituindo o valo de t, encontamos finalmente, v = v e m g ln m m m ( ) µ (.6) AULA MÓDULO Note que nesta expessão, à medida que o foguete usa sua massa, a velocidade paece divegi logaitmicamente. Antes disso, como você sabe, a Mecânica Clássica deixa de vale..7. (a) Seja o aio da gota no instante t. O poblema diz que a taxa de cescimento da massa da gota é dm dt Se ρ é a densidade da gota, então = kπ (.7) de modo que Potanto, ou, dm dt m = 4 π ρ 3 = 4π ρ d = kπ dt d dt 3 k = 4 ρ = k + 4 t ρ (.8) (.9) (.) (.) Logo, cesce lineamente com o tempo. movimento é (b) A massa muda com o tempo e, potanto, a equação do dp dt = m dv v dm dt + dt = mg (.) Usando as Equações (.7) e (.8) na Equação (.), temos ou, 4π 3 4π ρ 3 dv + vk π = ρ g 3 dt 3 dv dt + 3k 4ρ v = g (.3) (.4) C E D E R J 33

36 Mecânica Movimento em uma dimensão Substituindo a (.) nesta equação, ficamos com dv dt 3k + 4ρ v = g k + t 4ρ Fazendo B = k / 4ρ, eescevemos a Equação (.5) como dv dt + 3B + Bt v = g (.5) (.6) Uma equação difeencial de pimeia odem tem a foma padão cuja solução é dv dt + P( t) v = Q( t) v t e P ( t ) dt P( t) dt ( ) = e Q( t) dt + C (.7) (.8) onde C é uma constante. No caso da nossa equação, Agoa, 3B P( t) =, Q( t) = g + Bt B P( t) dt = 3 dt = 3ln( + Bt) = ln + Bt + Bt ( ) 3 (.9) (.3) Potanto, e assim, e Pdt = + Bt ( ) 3 3 v( t) = + Bt Bt gdt C 3 g = ( + Bt) ( B + Bt 4 ) + C 4 A constante pode se deteminada fazendo v( t = ) = v : ( ) ( + ) + 3 (.3) (.3) Então, nós temos C = 3 g v B 4 4 (.33) ( ) 3 + v ( t ) = + Bt gb ( Bt) 4 v 3 g B (.34) 34 C E D E R J

37 ou, v ( g t ) Bt B Bt 4 ( ) + O 3 ) ( 3 4 = ( ) (.35) AULA MÓDULO onde O( 3 ) significa temos da odem de 3 ou supeio. Paa suficientemente pequeno, podemos despeza esses temos e g v ( t ) = t 4 (.36) Cuiosamente, neste caso o movimento da gota é unifomemente aceleado..8. (a) A equação do movimento do baco é m dv dt = be αv (.37) Colocando o que depende de v de um lado da equação e o que depende de t do outo e integando, temos Fazendo as integais, v e αv b dv = m v t dt (.38) αb α e e α m t e ( b ( ) = ) = + m e de onde segue que α v α v α v v α v α b v = v + m e α v ln α (.39) (.4) Integando v, obtemos a posição do baco t t αb x( t) = v( t) dt = v t ln + m e α m = v t b e α α ou seja, α v t dt αb + + α m e t b ln m e t t αv αv αv t (.4) x t v t mb e αv αb m e v t b m e t t ( ) = + ln + α α αv + α α (.4) supondo que x( ) =. C E D E R J 35

38 Mecânica Movimento em uma dimensão (b) Se o baco páa no instante t s, então, v( t ) =. Aplicando esta condição à Equação (.4), encontamos s t s m = e αb αv ( ) (.43) αv αv α v Note que + ( αb / m) e ts = e e, potanto, ln( + ( αb / m) e ts) = αv. Com esses esultados, substituímos t s na Equação (.4) e encontamos paa a distância pecoida pelo baco antes de paa: x s m αv αv = ( e αv e ). α b (.44) 36 C E D E R J

39 Movimento em uma dimensão e foças consevativas A U L A Meta da aula Discuti a solução da equação do movimento unidimensional quando a foça aplicada é uma função somente da posição. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: usa a consevação da enegia na análise de um movimento; estabelece as condições em que uma foça é consevativa e quando uma foça é não consevativa; esolve o poblema do oscilado hamônico simples analítica e numeicamente.

40 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas INTRODUÇÃO Na pimeia aula estudamos o movimento em uma dimensão de uma patícula sob a ação de foças dependentes do tempo e foças dependentes de velocidade. Um dos tipos mais impotantes de movimento ocoe quando a foça F é uma função somente da coodenada x. Estas foças, em uma dimensão, são consevativas, ao contáio das foças dependentes só do tempo ou só de velocidade. Isto que dize que elas podem se deivadas de uma enegia potencial e que paa elas a enegia total é consevada duante o movimento. FORÇAS DEPENDENTES DE POSIÇÃO: ENERGIA POTENCIAL Quando a foça depende somente de x, a Equação (.3) tem a foma m d x dt = F ( x ) (.) ou, como v(t) = dx/dt, também podemos esceve m dv dt = F( x) (.) Multiplicando esta equação po v e usando que vdv = (/)d(v ), temos mv dv dt d = mv F x v F x dx dt = ( ) = ( ) dt (.3) de onde tiamos que d mv F x dx = ( ) (.4) Integando a Equação (.4) de (x, v ) a (x, v), achamos x mv mv = F x dx ( ) x (.5) A elação (.5) você já conhece. É o teoema tabalho-enegia. Ela nos mosta que a vaiação da enegia cinética de uma patícula, T = (/)mv, é igual ao tabalho ealizado pela foça F no pecuso de x a x. Ela pode se usada paa detemina a velocidade v em temos de x. Conhecendo v(x), podemos detemina x usando dt dx = v ( x ) e integando do instante inicial ao instante t consideado: t dt = t t = t x x dx v( x ) (.6) (.7) 38 C E D E R J

41 Esta equação pemite fomalmente esolve o poblema de enconta a solução da Equação (.). Antes de da um exemplo deste método, vamos defini a enegia potencial. A enegia potencial V(x) é definida como o tabalho ealizado pela foça quando a patícula vai de uma posição x até algum ponto de efeência x s : x s V ( x ) = F ( x ) dx x (.8) AULA MÓDULO Em temos de V(x), podemos esceve a integal em (.5), como x x F( x ) dx = V ( x) + V( x ) (.9) Combinando a Equação (.9) com a Equação (.5), temos o esultado: mv + V( x) = mv + V( x) (.) A quantidade do lado dieito depende somente das condições iniciais e é, potanto, constante duante o movimento, não muda com o tempo. Ela é a enegia total E que você já viu em Física I. Segue assim a lei de consevação da enegia cinética mais a enegia potencial, que vale quando a foça é uma função da posição: mv + V( x) = T + V = E = constante (.) Da definição (.8), podemos esceve a foça em temos da enegia potencial como F( x) = dv( x) dx (.) Esta equação expessa o significado físico da enegia potencial. A enegia potencial é uma função cuja deivada multiplicada po ( ) dá a foça. A definição (.8) da enegia potencial envolve um ponto de efeência x s. Você pode escolhe este ponto do modo que julga conveniente. O efeito de muda a coodenada do ponto de efeência é adiciona uma constante a V(x). Uma vez que é a foça que enta na equação do movimento e como a deivada de uma constante é zeo, uma constante pode se sempe adicionada a V(x) sem que os esultados físicos sejam afetados. C E D E R J 39

42 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas Exemplo.. O oscilado hamônico simples. Considee uma patícula de massa m sujeita a uma foça estauadoa linea F( x) = kx (.3) onde k é uma constante. Tomando x s =, a enegia potencial é x V( x) = ( kx ) dx = kx (.4) que, substituindo na Equação (.), pemite enconta a velocidade em função da posição / v ( x ) = m E kx (.5) Colocando este esultado na Equação (.7) e tomando t =, ficamos com m x x / E kx dx = t (.6) Agoa, vamos faze as substituições senθ = x k E (.7) e ω = k m (.8) Deste modo, m x / E kx θ dx = d = θ ( ) ω ω θ θ θ x (.9) e então, pela Equação (.6), θ = ωt + θ (.) Isto esolve o nosso poblema poque, da Equação (.7), E x = senθ = Asen ω t + θ k ( ) (.) 4 C E D E R J

43 onde E (.) A = k AULA MÓDULO Vemos que a coodenada x oscila hamonicamente no tempo, com uma amplitude A e feqüência ω/π. Aqui, as condições iniciais são deteminadas pelas constantes A e θ, que estão elacionadas a E e x po E = ka x = Asenθ (.3) O poblema que acabamos de esolve é cetamente o mais impotante no movimento em uma dimensão. A Equação (.), como você já sabe, epesenta o movimento de um oscilado hamônico, cujo exemplo mais simples é o de uma patícula de massa m pesa a uma mola cuja constante é k. Mais adiante, pediemos a você paa esolve numeicamente a equação do movimento do oscilado hamônico, ou seja, obte numeicamente o movimento senoidal dado pela Equação (.). Dada a impotância do oscilado hamônico, estaemos voltando a ele na póxima aula, paa estuda seu movimento sob a ação de foças não-consevativas. Exemplo.. Queda live, sem esistência do a e sem foças ineciais. Como um outo exemplo, consideemos um copo caindo na Tea de uma altua muito gande. Vamos despeza a esistência do a e as foças ineciais e chama de x a distância a pati do cento da Tea. Então, a única foça sobe o copo é foça gavitacional, dada po GMm F( x) = x (.4) onde m é a massa do copo em queda, M a massa da Tea e G a constante gavitacional. Tomando x s =, a enegia potencial é x V x GmM dx GmM ( ) = = x x (.5) Da Equação (.), v( x) = ± m E + GmM x / (.6) C E D E R J 4

44 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas O sinal + efee-se ao movimento paa cima e o sinal indica patícula descendo. Temos tês situações a considea: a) E <. Neste caso, se a patícula estive inicialmente movendo-se paa cima, ela iá paa quando chega a uma altua x R dada po GmM x = R E (.7) Este é o ponto de etono do movimento. b) E >. Neste caso, da Equação (.6) vemos que a velocidade nunca se anula, não há ponto de etono paa enegias positivas. Se a patícula estive subindo, à popoção que x cesce, sua velocidade diminui até atingi o valo limite E v = L m (.8) c) E =. Neste caso, a velocidade iá a zeo quando a distância fo infinita, ou seja, o ponto de etono paa enegia zeo está no infinito. A uma distância x, a sua velocidade seá GM v = e x (.9) que é a velocidade de escape. Isto significa que um copo a uma distância x do cento da Tea e movendo-se paa cima com esta velocidade teá a meno enegia cinética que pemite que ele continue se movendo paa cima indefinidamente (clao, despezada a esistência do a). Substituindo a Equação (.6) na (.7) e fazendo t =, obtemos x dx x / ± E + GmM x m t (.3) Esta equação pemite que deteminemos x(t). Vamos esolvê-la, paa o caso em que E é negativo, fazendo a substituição = cosθ = Ex GmM (.3) 4 C E D E R J

45 Então, GmM dx = cosθ senθ E (.3) AULA MÓDULO e / E GmM senθ + E x = ( ) cosθ / (.33) Substituindo estes esultados na Equação (.3) e escolhendo o sinal positivo, GmM θ cos d ( E) m t / θ θ = 3 θ (.34) Tomando a posição inicial da patícula como sendo igual à posição do ponto de etono, x R, então, da Equação (.3), θ =. Finalmente, usamos a elação tigonomética cosθ = cos θ sen θ = cos θ (.35) paa esolve a integal em (.34) e obtemos θ θ cos θ dθ = ( + cos ) = ( + ) θ dθ θ sen θ (.36) Com este esultado, a solução do nosso poblema é x = x R cos θ θ + senθ = GM t 3 x R (.37) onde a pimeia equação vem da Equação (.3) e a segunda, da substituição da Equação (.36) na (.34). Este pa de equações não pode se esolvido explicitamente paa x(t). Devemos esolvê-las numeicamente: paa uma seqüência escolhida de valoes de θ, encontamos das Equações (.37) os valoes coespondentes de x e t. Note, poém, que aquela pate do movimento paa a qual x fo meno que o aio da Tea deveá se desconsideada. A Equação (.4) supõe a massa da Tea toda concentada em x =, mas mesmo que não houvesse uma colisão da patícula com a Tea (se existisse um túnel esteito na dieção x passando atavés do cento da Tea), a foça sobe ela, paa x meno que o aio da Tea, seia difeente da Equação (.4). C E D E R J 43

46 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas Se você está achando que as Equações (.37) não paecem faze o meno sentido, vamos esponde a seguinte questão: qual o compotamento de x(t) paa pequenos valoes de t? Note que "pequeno" aqui significa pequeno quando compaado com o tempo caacteístico do poblema que é x 3 R GM. Paa valoes pequenos de t, os valoes de θ também seão pequenos e podemos usa as apoximações cos θ θ senθ θ (.38) Com estas apoximações, as Equações (.37) ficam x = x x θ R R (.39) θ = GM t 3 x R (.4) Definindo %g = GM x R, que é a aceleação da gavidade nas vizinhanças de x finalmente que = x R, temos, substituindo θ da Equação (.4) na (.39), x = xr gt % (.4) Este é um esultado espeado, já que paa pequenos valoes de t a distância pecoida não é muito gande e a foça fica apoximadamente constante, logo, o movimento é unifomemente aceleado. FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS Voltemos à Equação (.3). De lá, tiamos que d mv dt F x v = ( ) (.4) Usando a elação ente a foça F(x) e a enegia potencial, temos F( x) v ( ) ( ) = dv x dx dv x = dx dt dt (.43) 44 C E D E R J

47 Isto nos diz que, paa uma foça consevativa, a quantidade P = Fv é uma deivada tempoal total. Substituindo a Equação (.43) na (.4), ficamos com AULA MÓDULO ou d dv x mv dt = ( ) dt d mv dt + V ( x ) = (.44) (.45) que é a expessão da consevação da enegia. A quantidade P = foça x velocidade é a potência fonecida (ou dissipada) pela foça aplicada à patícula. Suponhamos que a foça aplicada seja igual a F(x) + F', onde F' depende de t ou de v ou de ambos. Neste caso, d mv F x v F v dt = ( ) + (.46) Usando a Equação (.43) paa a potência associada à foça consevativa, encontamos d mv + V x F v dt ( ) = (.47) As foças do tipo de F' não são consevativas. Elas não podem se deivadas de uma enegia potencial. Ou, em outas palavas, a potência F'v não pode se escita como uma deivada tempoal total. Quando a potência F'v fo negativa, como no caso de foças de atito, dizemos que F' é uma foça dissipativa (poque a enegia total da patícula vai diminuindo com o tempo). As foças de aasto que vimos na aula passada são dissipativas. C E D E R J 45

48 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas RESOLVENDO NUMERICAMENTE A EQUAÇÃO DO OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES Queemos aqui que você esolva numeicamente, com o auxílio de uma calculadoa, a equação do movimento do oscilado hamônico simples m d x kx dt = (.48) Paa não te que especifica agoa os valoes numéicos da massa m e da constante da mola k, vamos faze uma mudança na escala do tempo medindo seus valoes em unidades de k m. A Equação (.48) fica então simplesmente d x x dt = (.49) Suponha que o oscilado esteja em x(t ) e que tenha uma velocidade v(t ) no instante t. Qual a sua posição num instante um pouquinho depois (ou um pouquinho antes) t + t? Já vimos na aula passada que paa t pequeno podemos esceve x( t + t) = x( t ) + v( t ) t (.5) A velocidade v( t) = x& ( t) no instante t + t seá v( t + t) = v( t ) + a( t ) t (.5) onde a( t) = x&& ( t) é a aceleação. Da Equação (.49), temos que a( t) = x( t) e assim v( t + t) = v( t ) x( t ) t (.5) Agoa podemos esolve nosso poblema. Paa se específico, consideemos t =, x() = e v() =. (Estamos supondo que foi feita uma escolha de um sistema de unidades, po exemplo, o sistema SI.) Vamos toma t =, e queemos calcula o movimento até, digamos, o instante t =,8. Faça uma tabela como a apesentada a segui (Tabela.), com tantas linhas quantas foem necessáias, paa guada os esultados obtidos em cada passo. Começando com o valo 46 C E D E R J

49 x(,) =,, quanto vale x(,)? A Equação (.5) diz que x(,) =, poque v(,) =. O valo da velocidade v(,) é dado po AULA MÓDULO v(, ) =,,, =, (.53) Agoa que sabemos os valoes de v(,) e x(,), podemos calcula x(,) e v(,): x(, ) = x (, ) + v(, ) t =,,, =, 99 e v(, ) = v(, ) + a(, t) =,,, =, (.54) (.55) Tabela. t x v a,,, -, -.5,,995 -,995 -,5,,98 -,98 -,48,3,955 -,955 -,343 E assim podemos continua até calcula o esto do movimento. Contudo, paa popósitos páticos, como você veá no seu cuso de Infomática, existem alguns pequenos tuques que podem se usados paa melhoa a pecisão. Se tivéssemos continuado este cálculo como começamos, achaíamos o movimento numa foma bastante gosseia poque t =, não é suficientemente pequeno paa o método numéico que estamos empegando. Teíamos de usa um valo bem meno, digamos t =,. Mas isto aumentaia muito o númeo de passos até chega a t =,8, ou seja, aumentaia o tempo que você vai fica fazendo contas na calculadoa. Você pode agumenta que paa um computado isto não faia muita difeença. Não num poblema simples como esse. Mas em poblemas complexos é essencial usa métodos numéicos eficientes. C E D E R J 47

50 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas No método que estamos usando, uma nova posição é calculada tomando a posição anteio e adicionando a velocidade multiplicada pelo intevalo de tempo. Como comentamos na pimeia aula, a Equação (.5) vem da definição da velocidade média no intevalo de tempo t. A notação indica o seguinte: como o intevalo é pequeno, não há muita difeença ente o valo médio e o valo da velocidade no início do intevalo. É isto que está feito na (.5), estamos substituindo a velocidade média pelo valo no início do intevalo v(t ). Mas pelo mesmo aciocínio podeíamos te escolhido o valo da velocidade em algum outo ponto do intevalo t, po exemplo, no ponto médio, v(t + t/). A pecisão melhoa se fizemos exatamente isso. Similamente, a velocidade em t + t/ é então igual à velocidade no instante t t/ mais o valo da aceleação em t multiplicada pelo intevalo t. Assim, em vez das Equações (.5) e (.5), escevemos x( t + t) = x( t ) + v( t + t / ) t (.56) v( t + t / ) = v( t t / ) x( t ) t (.57) Resta um pequeno poblema: que valo toma paa v( t/)? A condição inicial especifica v(), não v( t/). Paa pode inicia os cálculos, use a equação v( t / ) = v( ) + a( ) t / (.58) Execício.. Na Tabela apesentamos os pimeios esultados da aplicação das Equações (.56) (.58) paa as condições iniciais que estão na segunda linha dessa tabela. Repoduza esses esultados e continue o cálculo até o instante t =,8. Depois, faça um gáfico de x conta t e compae com a solução do poblema, que já conhecemos do exemplo, x = cos t. 48 C E D E R J

51 R E S U M O Gande pate desta aula foi de evisão de coisas que você já viu em Física I e Física II. Assim, apesentamos as foças consevativas, que podem se deivadas de uma enegia potencial V. Uma patícula sob a ação somente deste tipo de foça tem sua enegia mecânica total consevada, E = mv + V( x) = T + V = constante. Com esta elação, podemos detemina as egiões nas quais o movimento é pemitido e, em alguns casos, enconta a solução da equação do movimento. Também falamos das foças não-consevativas como aquelas paa as quais a potência associada não pode se escita como uma deivada tempoal total. Neste caso, a enegia mecânica vaia com o tempo, e esta vaiação é igual à potência associada à foça. Finalmente, mostamos como esolve numeicamente a equação do movimento do oscilado hamônico simples. AULA MÓDULO C E D E R J 49

52 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas PROBLEMAS.. Coente caindo. Uma coente de compimento l está estiada sobe uma mesa hoizontal sem atito, com um compimento y dependuado atavés de um buaco na mesa. A coente é libeada. (a) Enconte, em função do tempo, o compimento da pate penduada da coente. (b) Ache a velocidade da coente quando ela pede contato com a mesa... Uma patícula, movendo-se em uma dimensão, está sob a influência 3 da foça F = kx + kx /α, onde k e α são constantes positivas. (a) Detemine o potencial V(x) com V() =. (b) Enconte os pontos de equilíbio do potencial e classifique-os em pontos de equilíbio estáveis e instáveis. (c) Esboce o potencial V(x). (d) Enumee e desceva todos os possíveis pontos de equilíbio e movimentos, as enegias ou intevalos de enegia nos quais estes tipos de movimento ocoem. Atenção paa não de esquece de qualque tipo de movimento no caso E = k α 4.3. Uma patícula de massa m tem uma velocidade v = α / x, onde x é seu deslocamento. Enconte a foça F(x) esponsável..4. A enegia potencial paa a foça ente dois átomos numa molécula diatômica tem a foma apoximada: a b V( x) = + x x 6 (.59) onde x é a distância ente os átomos e a e b são constantes positivas. (a) Enconte a foça. (b) Supondo que um dos átomos seja muito pesado e pemaneça em epouso enquanto o outo se move ao longo de uma linha eta, desceva os possíveis movimentos. (c) Ache a distância de equilíbio e o peíodo de pequenas oscilações em tono da posição de equilíbio. A massa do átomo mais leve é m. 5 C E D E R J

53 .5. Enconte a solução geal da equação do movimento de um copo sob a ação de uma foça linea epulsiva F = kx. Moste que esse tipo de movimento pode se espeado na vizinhança de um ponto de equilíbio instável. AULA MÓDULO.6. Uma massa m está sujeita a uma foça estauadoa kx e a uma foça dissipativa ( ± ) µmg onde µ é o coeficiente de atito (estático e cinético). Moste que as oscilações são isóconas (peíodo independente da amplitude) com a amplitude de oscilação decescendo de µ g / ω duante cada meio ciclo até que a massa pae. SOLUÇÕES.. Seja ρ a densidade da coente e y(t) o compimento penduado no instante t. Então a massa total da coda é ρl e a massa da pate da coente abaixo do buaco é ρy. A foça esultante puxando a coente paa baixo é ρgy e a segumda lei de Newton diz então que ( ρl) y&& = ρgy (.6) de onde obtemos a equação difeencial &&y = g l y (.6) O poblema envolve, potanto, uma foça que depende somente da posição. Temos dois modos de esolve a Equação (.6): Pimeio método: este método envolve um modo de esolve equações difeenciais lineaes que usaemos muito na póxima aula. Como temos uma função cuja deivada segunda é popocional a ela mesma, uma popiedade da função exponencial, uma boa solução tentativa é faze y = e p. Substituindo na (.6) obtemos g p = ou p = ± l g l (.6) C E D E R J 5

54 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas onde α Encontamos, assim, duas soluções independentes, e +α e e α, g l. A solução geal da Equação (.6) tem duas constantes a detemina a pati das condições iniciais. Então, a solução geal é y = Ae t + Be +α αt (.63) A velocidade é dada po ( ) = αt &y t αae αbe + αt (.64) e a condição inicial &y( ) = implica que A = B. A outa condição inicial diz que y( ) = y, ou seja, A + B = y, ou A = B = y. A solução do poblema é, potanto, e a velocidade, y y t e + αt e αt ( ) = + y cosh α t ( ) = ( ) (.65) αy &y t e + αt e αt ( ) = y senh α t ( ) = ( ) (.66) O tempo T que a coente leva até pede o contato com a mesa é tal que y( T) = l, ou seja, l coth α T. Usando senh αt cosh αt = ( ) ( ) = ( ) encontamos que a velocidade da coente logo que ela pede contato com a mesa é &y Tt αy senh αt g l y l y ( ) = ( ) = = gl f (.67) onde f = y l é a fação inicial de coente que estava penduada. Segundo método: Usamos a já bastante exploada ega da cadeia e que é um outo modo, poém equivalente, de chega ao teoema tabalhoenegia. Escevemos d &&y dt v dv dy = = = dy dt v dv dy (.68) na Equação (.6), sepaamos as vaiáveis e integamos: v vdv = α y y ydy (.69) 5 C E D E R J

55 Encontamos v α y y = ( ) (.7) AULA MÓDULO Fazendo y = l na Equação (.), obtemos o esultado desejado, v g = ( l y ) v = gl f l (.7) que é o esultado (.67)... No movimento unidimensional, uma foça que depende somente da posição é consevativa. (a) Temos que V( x) = F( x ) dx x x k x 3 = k x dx x dx (.7) α k kx x 4 = 4α (b) Paa enconta os pontos de equilíbio, fazemos dv / dx x = x = obtemos kx kx α x = kx α = 3 (.73) Os pontos de equilíbio são tês: x =, ± α. Como d V / dx = k( 3x / α ), então d V dx x = = k > x = equilíbio estável d V dx x = ± α = k 3k = k < equilíbio instável C E D E R J 53

56 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas (c) Na Figua., mostamos um gáfico do potencial. Ponto de equilíbio estável V(x) Kα 4 α +α x Ponto de equilíbio estável Figua. E (d) A figua indica os pontos de equilíbio. Enegia total > ( / 4) kα : movimento ilimitado paa a esqueda ou paa a dieita. Se E = ( / 4) kα : (i) em epouso em x = ±α ; (ii) indo paa + ( ) se x > α ( > α) ; (iii) indo paa a esqueda ou paa a dieita ente α e α, chegando póximo, mas nunca alcançando os pontos de equilíbio ±α. Se < E < ( / 4) kα : (i) movimento peiódico em tono de x = ; (ii) vem do infinito, via em um x > α ou x > α e etona paa o infinito. Se E = : (i) epouso em x = ; (ii) vem do infinito, via em um x > α ou x > α etona ao infinito. Se E < : (i) vem do infinito, via em um x > α ou x > α e etona paa o infinito..3. O poblema pode se esolvido em uma linha. Veja: F x m dv m dx dv mv dv α d α ( ) = = = = m m dt dt dx dx x dx x = α α x x = α m x 3 (.74).4. (a) A foça é dada po dv 6a b F( x) = = dx x x (.75) (b) O potencial (.59) é conhecido como potencial de Lennad-Jones e tem a caa da Figua (.). 54 C E D E R J

57 AULA MÓDULO Figua. A posição x = x e é a posição de equilíbio. V(x e ) coesponde ao mínimo da enegia potencial. Somente paa enegias E V( x e ) existe movimento. Quando a enegia tem o valo E, a patícula fica paada na posição de equilíbio. Quando E < E <, a patícula executa um movimento peiódico ente dois pontos de etono x e x. Se E é só ligeiamente maio que E, então teemos pequenas oscilações em tono da posição de equilíbio, o que coesponde às vibações da molécula. Quando E o movimento é ilimitado: os átomos se afastam indefinidamente. Dizemos que a molécula se dissocia. (c) F = no equilíbio, ou seja, b 6a b = x 3 7 e = x x a e e / 6 (.76) Expandindo V(x) em tono do ponto de equilíbio, temos, paa pequenas oscilações dv d V V( x) = V( xe) + ( x xe) + ( x xe) dx dx = V( x ) + e x e d V ( x x ) e dx (.77) onde o segundo temo da pimeia linha da Equação (.77) é zeo, poque a foça é igual a zeo no ponto de equilíbio. Este é um potencial de oscilado hamônico onde a "constante da mola" é xe xe d V 4a 56b 36a k = = + = 8 4 dx x x ( b) x e e e 7 / 3 4 / 3 (.78) C E D E R J 55

58 Mecânica Movimento em uma dimensão e foças consevativas O peíodo das oscilações é π m π m b T = = π = 7 ω k 3 4a 3 4 / 6 (.78).5. A equação do movimento é m dv dt = kx (.8) que vamos esceve como &&x η x = (.8) onde intoduzimos a constante positiva η = k m. Já esolvemos uma equação semelhante no poblema.. Usando o pimeio método aplicado naquele poblema, escevemos x( t) = e pt e substituímos na Equação (.8) obtendo: p = η p = ± η. A solução geal pocuada é η x( t) = Ae t + Be ηt (.8) A foça F=kx coesponde a um potencialv( x) = constante ( / ) kx que está mostado na Figua.3. Note que o ponto x = é um ponto de equilíbio instável. Uma vez que o copo se desloque um pouquinho do ponto de equilíbio, ele continuaá se afastando. Figua.3 56 C E D E R J

59 .6. A equação do movimento da massa m é mx&& + kx = F a (.83) onde F = ( ± )µ a mg. O sinal da foça de atito deve se escolhido de modo que a foça seja sempe oposta à velocidade. Assim, é necessáio esolve a equação do movimento sepaadamente paa cada intevalo de tempo duante o qual um dado sinal da foça deve se usado. Em cada um desses intevalos a Equação (.83) é uma equação difeencial não homogênea com F a constante. Paa esolvê-la, fazemos a substituição x = x a AULA MÓDULO mx&& + kx + ka = F a (.84) e escolhemos a constante a de foma que a equação paa x' seja homogênea: (.85) ou seja, a = Fa / m. Mas a Equação (.85) já sabemos esolve: x = A cos( ωt + θ ) e, potanto, (.86) Este é um movimento hamônico simples, e o peíodo não depende da amplitude. O efeito da foça de atito, além de desloca a posição de equilíbio, é diminui a amplitude, já que a enegia mecânica do sistema é dissipada. Considee a situação em que a massa está numa posição de amplitude máxima A. Meio peíodo depois ela estaá novamente numa posição de amplitude máxima A < A. Como a foça é constante no intevalo consideado, a enegia dissipada é igual a µmg( A + A ). Temos então, que podemos esceve como de onde segue que mx&& + kx = x = x + a = A cos( ω t + θ) + ka µ mg( A + A ) = ka ω ( A + A )( A A ) = µ g( A + A ) g A A = µ ω (.87) (.88) (.89) Este esultado é independente do valo inicial A. Logo, concluímos que a amplitude de oscilação decesce de µ g a cada meio peíodo. ω Fa k C E D E R J 57

60 .

61 O oscilado hamônico simples A U L A 3 Meta da aula Resolução do poblema completo do oscilado hamônico, amotecido e foçado. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: esolve uma equação difeencial linea homogênea ou não homogênea; desceve oscilações amotecidas paa os tês tipos de amotecimento: subcítico, cítico e supecítico; esolve o poblema de um oscilado amotecido foçado paa foças aplicadas senoidais e outas foças simples; entende os conceitos de tansiente e egime estacionáio, este último, em temos da igualdade ente a potência média fonecida pela foça aplicada e potência média dissipada; entende o conceito de essonância.

62 Mecânica O oscilado hamônico simples INTRODUÇÃO Nesta aula, nós vamos volta ao poblema do oscilado hamônico simples, desta vez com ênfase num método de solução de equações difeenciais que pemitiá considea situações como oscilações amotecidas, oscilações amotecidas foçadas e essonância. Gande pate do mateial aqui cobeto você já viu em Física B, Módulo, mas você notaá uma macante difeença de linguagem, aqui mais puxada paa a Matemática e com vistas aos poblemas mais complexos que encontaemos em aulas posteioes. Osciladoes hamônicos amotecidos e foçados são descitos po equações do movimento que os matemáticos chamam de equações difeenciais lineaes de segunda odem. Veemos que esolve uma equação difeencial linea homogênea com coeficientes constantes é equivalente a esolve uma equação algébica do segundo gau e as aízes dessas equações podem se númeos complexos. O exemplo mais simples é a equação x + = que não admite uma solução eal. Assim, iniciaemos a aula fazendo uma beve evisão de númeos complexos. NÚMEROS COMPLEXOS Um númeo complexo z é um númeo da foma z = x + iy (3.) onde x e y são númeos eais e i é tal que i =. O númeo complexo i chama-se unidade imagináia. Po definição, i =. Na Equação (3.), definimos x Re z y Im z (3.) onde essas notações significam que x é a pate eal de z e y é a pate imagináia de z. Chama-se complexo conjugado z* do númeo complexo z = x + iy o númeo complexo z* = (x + iy)* = x iy. Desta definição, segue que * Re z = ( z + z ) (3.3) * Im z = ( ) i z z Sejam z = x + iy e z = x + iy dois númeos complexos. Soma de dois númeos complexos: ( ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) z = z + z = x + iy x iy x x i y y (3.4) 6 C E D E R J

63 Poduto de dois númeos complexos: ( )( + ) = ( ) + ( + ) z = z (3.5) z = x + iy x iy x x y y i x y y x Quociente de dois númeos complexos: (3.6) * z z z x + iy x iy ( ) ( ) x x y z = = = z z z ( x + iy ) ( x iy ) = + y i y x x y + * x + y x + y AULA 3 MÓDULO Módulo z do númeo complexo z: ( )( ) = + * z = zz = x + iy x iy x y (3.7) A FÓRMULA DE EULER Considee a função f ( θ) = cosθ + i sen θ. Esta função satisfaz a condição f() =. Deivando f uma vez, obtemos df = senθ + i cosθ = i ( cos θ + i senθ ) = if ( θ) (3.8) dθ Agoa, sabemos que a solução da equação difeencial df ( θ) = if ( θ) dθ com a condição inicial f() = é f(θ) = e iθ. Potanto, concluímos que e iθ = cosθ + i senθ (3.9) Esta é a fómula de Eule, consideada a mais notável fómula da Matemática. Execício 3.. Moste, usando a fómula de Eule, as seguintes elações tigonométicas: (3.) Podemos elaciona a geometia à álgeba epesentando númeos complexos num plano. Na Figua 3., o númeo complexo z = x + iy é um ponto de coodenadas (x, y). Se passamos paa coodenadas polaes (, θ), sen( θ + θ ) = senθ cosθ + senθ cosθ cos( θ + θ ) = cosθ cosθ senθ senθ x = cosθ y = senθ (3.) C E D E R J 6

64 Mecânica O oscilado hamônico simples a fómula de Eule dá z = x + iy = (cos θ + i senθ) = e i θ (3.) que é a foma tigonomética do númeo complexo z. Figua 3.: Coodenadas polaes planas. LINEARIDADE E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Oscilações hamônicas ocoem em quase tudo. Existem muitos sistemas físicos cujo movimento é descito, pelo menos apoximadamente, po uma equação difeencial igual à equação do movimento de um oscilado hamônico simples, m d x + kx = dt (3.3) Esta equação tem uma caacteística impotante: ela é linea. Uma equação difeencial é linea se todos os seus temos são popocionais à pimeia potência de x ou de suas deivadas. Mais pecisamente, a Equação (3.3) é uma equação difeencial linea homogênea com coeficientes constantes. A designação homogênea se deve ao fato de que o temo na equação que não contém x, no lado dieito, é igual a zeo. Exemplo 3.. A equação x&& + 4x& + x = é linea. A equação x&& + 4x& + x = é não-linea. É fácil de entende po que a Equação (3.3) é tão comum. Suponha que você esteja estudando oscilações em algum sistema e tudo que você 6 C E D E R J

65 sabe é que ele oscila em tono de um ponto de equilíbio, digamos, em x =. A quantidade que mede o deslocamento do equilíbio é x e seja V(x) o potencial associado. V(x) deve te na vizinhança do ponto de equilíbio a foma da Figua 3. ou algo semelhante. AULA 3 MÓDULO Figua 3.: Póximo a um ponto de equilíbio sempe podemos passa uma paábola. Como estamos supondo que x = é o ponto de equilíbio, temos que ( dv / dx) x = =. Fazendo uma expansão de V(x) em séie de Taylo, d V V( x) = V( ) + x... + dx x = (3.4) Tomando V() =, vemos que, paa pequenas amplitudes, quando podemos despeza os temos envolvendo x 3 e potências supeioes, o potencial tem a foma paabólica V( x) = kx caacteística do oscilado hamônico. Todo sistema estável, quando tiado um pouquinho do seu estado de equilíbio, exibe oscilações hamônicas. Uma conseqüência impotante da lineaidade é a seguinte: Se x (t) e x (t) são soluções da Equação (3.3), então A x (t) + B x (t) também é uma solução, onde A e B são constantes. A popiedade das equações lineaes de que a soma de duas soluções também é solução é chamada pincípio de supeposição. Execício 3.. Veifique explicitamente a afimação anteio. Note, no entanto, que, em geal, os sistemas são apenas apoximadamente lineaes, como indica a paábola na Figua 3.. A palava apoximadamente é muito impotante aqui. Povavelmente, lineaidade não seja nunca exatamente vedadeia paa um sistema clássico, emboa seja feqüentemente uma boa apoximação, como no caso de uma massa pesa a uma mola. O exemplo mais impotante de lineaidade em Física é a Mecânica Quântica. Em Mecânica Quântica lineaidade é exata, não uma apoximação. C E D E R J 63

66 Mecânica O oscilado hamônico simples As soluções da Equação (3.3) fomam o que os matemáticos chamam de espaço linea. Na aula passada, vimos que um sistema com um gau de libedade pecisa de duas condições iniciais paa especifica completamente a solução da equação do movimento. Assim, a base desse espaço linea deve se constituída de somente duas funções lineamente independentes. Vamos esceve a Equação (3.3) paa uma vaiável complexa z(t) pemitindo que as soluções sejam complexas: m d z + kz = dt (3.5) Isto simplifica bastante a solução do poblema em casos mais geais poque pemite enconta funções de base z (t) e z (t) que são simples exponenciais. Como os coeficientes da Equação (3.5) são eais, o complexo conjugado de z, z*(t) também é solução e podemos ecupea a solução da (3.3) a pati da solução da Equação (3.5) tomando a pate eal de z(t), ou seja, x(t) = Re z(t). Paa enconta as funções de base z (t) e z (t), vamos tenta uma solução do tipo: z( t) = e pt (3.6) onde p é uma constante que pode se complexa. Quando este tipo de solução é substituído na (3.3), esulta que p = k/m = ω, ou seja, p = ± iω. Assim, as funções de base z (t) e z (t) são complexas e dadas po z ( t) = e z ( t) = e + iωt iωt (3.7) A solução geal da Equação (3.4) é, potanto, z( t) = ae i t + be + ω iωt (3.8) onde a e b são constantes. Mas o que queemos é a solução da Equação (3.3), que é a pate eal de z(t): x( t) = Acos( ωt + θ) (3.9) 64 C E D E R J

67 onde A e θ são o módulo e a fase da constante complexa a + b*. O método acima pode se usado paa esolve qualque equação difeencial linea homogênea. AULA 3 MÓDULO Exemplo 3.. Resolve a equação do movimento de uma patícula sob a ação da foça dissipativa F( v) = mγ v. Já esolvemos este poblema na pimeia aula po integação. O método aqui apesentado tona ainda mais simples a solução. A equação difeencial que temos de esolve é x&& + Γx& = (3.) Esta é uma equação difeencial linea e homogênea. Substituindo a solução do tipo e pt obtemos a seguinte equação paa p p + pγ = (3.) Logo, os valoes de p são p = e p = Γ. Note que aqui os valoes de p são eais e po isso não pecisamos intoduzi vaiáveis complexas. As funções de base são x = e x = e Γt e a solução geal da Equação (3.) é Γ x( t) = A + Be t (3.) Agoa, encontamos as constantes A e B a pati das condições iniciais. Temos que e Γ x( t ) = A + Be t Γ v( t ) = ΓBe t (3.3) (3.4) Resolvendo estas equações paa A e B e substituindo os esultados na (3.), ecupeamos a Equação (.38) da Aula : v( t) t t x( t) x( t ) ( ( ) = + e Γ ) Γ (3.5) Po que escolhemos uma função e pt paa enconta as funções de base nos dois casos acima? Poque, assim, esolve uma equação difeencial linea se tansfoma no poblema de esolve uma equação algébica. Considee a equação a d x a dx + + a x = dt dt (3.6) C E D E R J 65

68 Mecânica O oscilado hamônico simples Substituindo a e pt, a Equação (3.6) toma a foma ( a p + a p + a ) e pt = (3.7) que tem solução não-tivial se a p + a p + a = (3.8) Esta última equação é chamada de equação caacteística. OSCILADOR HARMÔNICO AMORTECIDO Agoa que sabemos esolve equações difeenciais lineaes, vamos considea um oscilado hamônico oscilando num meio viscoso. A foça esultante sobe a patícula de massa m seá F = mγ v kx, de modo que sua equação do movimento seá x&& + Γx& + ω x = (3.9) Com os coeficientes desta equação, a Equação caacteística (3.8) fica p + Γp + ω = (3.3) cujas aízes são Γ Γ p = ± 4 ω (3.3) Temos tês casos a considea: Caso. Amotecimento subcítico (Γ/<ω). Neste caso, na Equação (3.3) temos a aiz quadada de um númeo negativo. Definindo o númeo eal ϖ = ω Γ, as aízes da equação caacteística são complexas e p = Γ ± iϖ ( ) Γ t iϖ t iϖ t z ( t) = e ae + be (3.3) (3.33) 66 C E D E R J

69 AULA 3 MÓDULO Figua 3.3: Posição em função do tempo paa um oscilado com amotecimento subcítico. A solução que queemos é a pate eal de z(t) que pode se escita como Γ t x( t) = Ae cos( ϖ t + θ) (3.34) A Figua 3.3 mosta um gáfico desta solução. É apaente que o movimento ainda é um movimento hamônico, poém com uma amplitude que decesce com o tempo. As cuvas ± Ae definem a envoltóia das oscilações (as linhas inteompidas na figua). Note que a feqüência do Γ movimento, ϖ = ω é meno que a feqüência natual ω do oscilado não amotecido. Na vedade, a Figua 3.3 epesenta uma situação em 4 que o amotecimento é faco, Γ/ << ω. De fato, paa um amotecimento fote, Γ/ póximo de ω, as oscilações são muito lentas e até difíceis de seem obsevadas poque elas são amotecidas num tempo da odem de /Γ, cuto, compaado com a escala de tempo longa das oscilações, /ϖ. Γ t Execício 3.3. Enconte as constantes A e θ se em t = a posição e velocidade do oscilado são iguais a x e v, espectivamente. Caso. Amotecimento supecítico (Γ/ > ω). Neste caso, as aízes (3.3) são eais, p = Γ ± β, onde Γ β = ω 4 Como β < Γ/,, e a posição do oscilado x(t) é dada po Γ t βt βt x( t) = e ( Ae + Be ) Γ Γ ( β ) ( + β ) x( t) = Ae + Be (3.35) (3.36) é sempe a soma de duas exponenciais decescentes. Não há movimento oscilatóio neste caso, e, paa tempos longos, a exponencial com Γ/ + β domina. Obseve a Figua 3.4. C E D E R J 67

70 Mecânica O oscilado hamônico simples Figua 3.4: Posição em função do tempo paa um oscilado com amotecimento supecítico. É mostado somente o compotamento paa tempos longos. Caso 3. Amotecimento cítico (Γ/ > ω). Neste caso especial, as duas aízes (3.3) são iguais e, potanto, nosso método de solução da Equação difeencial (3.9) só poduz uma solução, e t Γ. Pode-se mosta que, neste caso, uma outa solução é Γ te t e assim, a solução geal quando Γ/ > ω é Γ x( t) = ( A + Bt) e t (3.37) Os casos, e 3 são impotantes em poblemas envolvendo mecanismos que tendem a uma posição de equilíbio sob a ação de uma foça de aasto. O sistema de amotecimento do seu cao é um desses mecanismos, basicamente um oscilado amotecido. Mas em que tipo de amotecimento? O OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO Dizemos que o movimento do oscilado é foçado quando ele está sob a ação de uma foça adicional F(t). Seu movimento seá deteminado pela equação linea não-homogênea x&& + Γx& + ω x = F( t)/ m (3.38) O tipo de foça mais inteessante é o de uma foça senoidal iωat F( t) = F cos( ω t + θ ) = Re ( F % e ) a a a a (3.39) onde F % = i F a e θ a a, poque leva ao fenômeno de essonância, onde a amplitude da oscilação se tona muito gande quando a feqüência da 68 C E D E R J

71 foça aplicada ω a se tona igual à feqüência natual ω do oscilado live. A equação difeencial que temos de esolve agoa é && z z& z F% iωat + Γ + ω = ( / m) e (3.4) a AULA 3 MÓDULO Então, Vamos tenta uma solução da foma z t z e i ω ( ) = t a (3.4) iωat z& = iωaze e (3.4) iωat && z = ω z e Substituindo na Equação (3.4) e esolvendo paa z, encontamos a A solução (3.4) que estamos pocuando é, então, a ( F% iω a / m) e t z( t) = ω ω + iγω z F% a / m = ω ω + i Γω a a a a (3.43) (3.44) Nós queemos a pate eal de z(t). Isto pode se feito muito simplesmente, e encontamos ( Fa / m)( ω ωa ) x( t) = cos( ωa t + θa) + ( ω ωa ) + Γ ωa (3.45) ( Fa / m)γω a sen( ωat + θa) ( ω ωa ) + Γ ωa Podemos coloca esta solução numa foma mais simples definindo R = ( ω ωa ) + Γ ωa e eescevendo F a ( ω ωa ) Γω a x( t) = cos( ωat + θa ) + sen ( ωat + θa ) mr R R ou, finalmente, Fa x( t) = sen( ωat + θa + β) mr onde a fase β é definida po ω ω sen β = R ω ω tan β = Γω a a a Γωa,cos β = R (3.46) (3.47) (3.48) (3.49) C E D E R J 69

72 Mecânica O oscilado hamônico simples Note que na Equação (3.45) ou na (3.48) não há constantes lives paa seem deteminadas pelas condições iniciais. Encontamos uma solução paticula da Equação (3.38). Qual é a solução geal? Nós já esolvemos a equação homogênea, a Equação (3.9), cuja solução geal contém duas constantes a detemina. Pelo pincípio da supeposição, a solução da homogênea mais a solução paticula, (3.45) ou (3.48), é uma solução da Equação (3.38). Assim, temos uma solução de uma equação difeencial linea não-homogênea de segunda odem com duas constantes a detemina e, potanto, temos a solução geal da (3.38). Po exemplo, paa o oscilado hamônico com amotecimento subcítico, a solução geal é Γ t F a x( t) = Ae cos( ϖ t + θ) + sen( ωat + θa + β) mr (3.5) Note que a pate que coesponde à solução da equação homogênea vai a zeo exponencialmente com o tempo e, po este motivo, é chamada tansiente. A pate que pemanece é chamada estado estacionáio. O tansiente depende das condições iniciais. O estado estacionáio, que pemanece quando o tansiente se vai, é independente das condições iniciais. Exemplo 3.3. (a) No estado estacionáio, calcule a taxa média com que o tabalho está sendo ealizado sobe o oscilado pela foça aplicada. A potência P = xf & ( t) é igual a P F a ωa = cos( ωat + θa)cos( ωat + θa + β) mr Fa ωa Fa ωa = cos β cos ( ωa t + θa) senβ sen ( ωat + θa) mr mr (3.5) O último temo à dieita da (3.5) é zeo em média, enquanto o valo médio de cos ( ω t + θ ) sobe um ciclo completo é. Potanto, a a a potência média fonecida pela foça aplicada é P mødia média Fa ωa = cos β = Fa x& mr m cos β (3.5) onde &x m é o valo máximo de &x ṁ O fato cosβ é chamado fato de potência. 7 C E D E R J

73 (b) Moste que, no estado estacionáio, a potência é fonecida ao oscilado na mesma taxa média com que a potência está sendo dissipada pelo atito. O módulo da potência dissipada pela foça de aasto é P a = m Γ x &. Substituindo o valo da velocidade, temos AULA 3 MÓDULO P m F a ωa a = Γ cos( ωat + θa)cos β sen( ωat + θ a) senβ m R [ ] (3.53) Tomando o valo médio desta quantidade, obtemos P m F a ωa média mødia = Γ m R cos β + sen β (3.54) Fa ωa Γωa Fa ωa = = cos β mr R mr onde, na segunda linha, usamos o valo de cos β que está dado na (3.49). Este esultado coincide com o obtido em (3.5). RESSONÂNCIA A amplitude do movimento no egime estacionáio, na Equação (3.48), é popocional a = R ( ω ω ) + Γ ω a a (3.55) O temo essonância é usado paa desceve a situação em que e a amplitude das oscilações tem o maio valo possível. Execício 3.4. Moste que, se ω fo a feqüência do oscilado, o valo máximo da amplitude ocoeá paa uma feqüência da foça aplicada ω a = ω Γ (3.56) O caso mais inteessante é o do amotecimento faco, Γ << ω, quando temos da (3.56) que a essonância ocoe paa ω a ω. Note na (3.49) que, neste caso, a fase β é igual a zeo (isto poque, paa ω a ω, cos β ). Como conseqüência, na essonância, a potência média fonecida (3.5) é máxima. C E D E R J 7

74 Mecânica O oscilado hamônico simples O que significa a fase β =? Fazendo β = na (3.48) e compaando com a (3.39), vemos que a foça é máxima quando x(t) é zeo, ou seja, quando a velocidade da patícula é máxima. Isto faz sentido. Se você quise que a amplitude se tone gande, então você pecisaá da ao sistema tanta enegia quanto você possa. Mas, paa isso, sua foça deveá atua sobe a patícula po uma distância tão gande quanto possível, de modo a ealiza o maio tabalho possível. Isto significa que você deve aplica sua foça quando a patícula estive se movendo mais apidamente, isto é, quando ela estive passando pela oigem. Efeitos de essonância são de gande impotância em muitas aplicações páticas da Mecânica. Ao pojeta a estutua de uma ponte (ou um edifício), po exemplo, um engenheio deve fazê-lo de modo a evita os efeitos de essonância povocados po ventos muito fotes duante tempoais que podeiam destuí-la. R E S U M O Fizemos aqui uma evisão do oscilado hamônico com amotecimento e foçado com ênfase no poblema de solução de equações difeenciais lineaes, homogêneas e não-homogêneas. Vimos que, paa equações lineaes, muito impotantes na Física, vale o Pincípio da Supeposição. Finalmente, o poblema de essonância, que deve meece especial atenção, também foi abodado. 7 C E D E R J

75 PROBLEMAS 3.. Uma massa na extemidade de uma mola é libeada do epouso na posição x. A expeiência é epetida, mas agoa com o sistema imeso num fluido que faz com que o movimento seja citicamente amotecido. Moste que a máxima velocidade da massa no pimeio caso é e, multiplicado pela velocidade máxima no segundo caso. AULA 3 MÓDULO 3.. No caso de amotecimento cítico, Γ/ = ω, onde ω é a feqüência natual do oscilado, nós dissemos, sem demonsta, que a solução geal da equação do movimento é (3.57) Moste que esta é de fato a solução paa amotecimento cítico, supondo uma solução da foma x( t) = y( t) exp( Γt / ) e deteminando a função y(t). Γ x( t) = ( A + Bt) e t 3.3. Se a amplitude de um oscilado amotecido decesce a /e de seu valo inicial após n peíodos, moste que a feqüência do oscilado deve se apoximadamente [ ( 8 π n ) ] vezes do oscilado não amotecido coespondente Considee um oscilado hamônico não amotecido descito pela equação do movimento mx&& + kx = F( t) (3.58) A foça extena F( t) = F cos( ω t), de feqüência angula ω, é ligada no instante t. tempos t. (a) Enconte a solução geal da equação do movimento paa (b) Paa as condições iniciais x( t = ) = e x& ( t = ) =, moste que o deslocamento do sistema paa tempos t é dado po x( t) = F [ cos( ω t) cos( ω t) ] m( ω ω ) (3.59) onde ω = k / m é a feqüência natual do oscilado. C E D E R J 73

76 Mecânica O oscilado hamônico simples (c) Tome o limite ω ω do esultado do item (b) paa mosta que, quando o oscilado é foçado na sua feqüência natual, o deslocamento como função do tempo é dado po x ( t ) = F (3.6) m t sen ( ω t) ω Comente sobe o significado físico deste esultado Fato Q de um sistema oscilante. Nós vimos no texto da aula que a amplitude do estado estacionáio de um oscilado, amotecido e sob a ação de uma foça extena senoidal, F( t) = F cos( ω t), é dada po D( ω) = F / m ( ω ω ) + Γ ω (3.6) onde aqui estamos epesentando a feqüência natual do oscilado po ω. Vimos também (na vedade, pedimos paa você mosta) que D(ω) é máxima (essonância) quando a feqüência da foça aplicada é igual a ω = ω Γ R (3.6) que é chamada feqüência de essonância. O gau de amotecimento de um sistema oscilante costuma se medido em temos do fato de qualidade Q do sistema: Q = ωr Γ (3.63) (a) Esceva a amplitude D(ω) em temos de Q. Considee o caso de amotecimento faco e faça um gáfico de D paa divesos valoes de Q e comente seus esultados. (b) Ainda consideando amotecimento faco, moste que, se a feqüência da foça aplicada fo póxima da essonância, o Q do sistema é apoximadamente Q Enegia total π Enegia pedida duante um peíodo (3.64) 3.6. Considee um oscilado hamônico amotecido com m = kg k = 5 N/m e b = mγ = 6 kg / s. Este oscilado está sob a ação de uma foça extena dada po F cos( ω t), onde F = 48N. 74 C E D E R J

77 (a) Que valo de ω esulta em oscilações de estado estacionáio com amplitude máxima? (b) Qual é o valo da amplitude máxima? (c) Quando ω tem o valo encontado na pate (a), qual é o ângulo de fase φ? AULA 3 MÓDULO 3.7. Considee um oscilado hamônico amotecido cuja equação do movimento é (3.65) (a) Tomando a deivada tempoal da enegia mecânica total do oscilado, E = T + V, e usando a equação do movimento, moste que a taxa de peda de enegia é mx&& = kx bx& de dt = bx& (3.66) (b) Moste que paa um oscilado com amotecimento cítico (b / m = ω ), paa o qual as condições iniciais são x( t = ) = x e &x ( t = ) =, a taxa na qual o oscilado pede enegia é de dt = ( m) (3.67) (c) Paa o oscilado do item (b), calcule a enegia total pedida após uma quantidade de tempo infinita. b x t e bt / m 4 5 Enegia pedida = de dt dt e veifique que ela é igual à enegia total inicial do oscilado. (3.68) N/m e b 3.8. Considee um oscilado amotecido com m = kg, k = 5 = mγ = kg/s. Se as condições iniciais são x( t = ) =, m e &x ( t = ) =, enconte o movimento subseqüente do sistema. SOLUÇÕES 3.. No caso não amotecido, a foma geal de x é x( t) = Acos( ωt + θ ). A condição inicial &x( ) = nos diz que θ = e, então, a condição inicial x( ) = x nos diz que A = x. Potanto, x( t) = x cos( ωt) (3.69) e v( t) = ωx sen( ωt) (3.7) C E D E R J 75

78 Mecânica O oscilado hamônico simples O valo máximo da velocidade é, então, ωx. Γ No caso do amotecimento cítico, x( t) = ( A + Bt) e t. Aplicando as condições iniciais, x( ) = x A = x, x& ( ) = B = ( Γ / ) x. Assim, Γ Γ x( t) = x + t e t (3.7) Deivando esta expessão em elação ao tempo, obtemos paa a velocidade Γ Γ v( t) = x te t (3.7) Paa obte a velocidade máxima, deivamos a equação (3.7) em elação ao tempo e igualamos o esultado a zeo: dv dt = Γ Γ t Γ x e t = (3.73) Logo, a velocidade atingiá o valo máximo no instante t m dado po Γ tm = tm = Γ (3.74) Substituindo este valo na Equação (3.7), encontamos Γ vm = v( tm) = x e (3.75) A azão ente o valo da velocidade máxima paa o caso não amotecido e o valo encontado acima é, então, ωx = e Γ x e onde usamos que, no amotecimento cítico, ω = Γ /. (3.76) 3.. Seja x( t) = y( t) exp( Γt / ). Então, Γ t Γ x& = ye & ye Γ t Γ t t x&& = ye && Γ ye & Γ + Γ Γ ye t (3.77) 76 C E D E R J

79 Substituindo estes esultados na equação do movimento, achamos Γ Γ Γ Γ Γ t ( y&& Γy& + y + Γy& y + y) e = ( y&& + t y) (3.78) ω ω e = AULA 3 MÓDULO ou, &&y + y (3.79) ω Γ = 4 Paa o amotecimento cítico, Γ / = ω, e esta equação se eduz a &&y = (3.8) cuja solução geal é y( t) = A + Bt onde A e B são constantes. Assim, chegamos à Equação (3.57). (3.8) 3.3. O movimento de um oscilado amotecido somente é peiódico quando o amotecimento é subcítico ( Γ / < ω ), onde ω é a feqüência do oscilado. Neste caso, temos a solução Γ t x( t) = Ae cos( ϖ t + θ) (3.8) onde ϖ = ω Γ / 4. Seja τ = π / ϖ o peíodo do oscilado. Então, do enunciado do poblema, (3.83) Ae Γ ( t + n τ ) Γ Ae t Γ = nτ = e de onde segue que ϖ = nπ Γ (3.84) Agoa, Γ ϖ ω = ϖ + = ϖ + = ϖ + 4 4n π 4n π (3.85) Potanto, ϖ = + ω n π 4 / (3.86) Como 4n π?, podemos expandi o segundo membo desta equação, mantendo somente o pimeio temo da expansão. Logo, ϖ ω 8 n π (3.87) C E D E R J 77

80 Mecânica O oscilado hamônico simples 3.4. (a) Queemos esolve a equação F (3.88) &&x + ω x = m cos( ωt ) Você já sabe que a solução geal desta equação é obtida somandose à solução geal da equação homogênea uma solução paticula da equação não-homogênea. A solução da equação homogênea &&x + ω x = é x ( t ) = h A cos( ω t + θ) (3.89) Paa enconta uma solução paticula da equação não-homogênea, podemos epeti a dedução no texto da aula, ou você pode, guiado po sua intuição, tenta uma solução da foma x ( t ) = p D cos( ω t ) (3.9) Substituindo esta solução tentativa na Equação (3.88), obtemos e, potanto, F ω Dcos( ωt) + ω Dcos( ωt) = cos( ωt) m F D = ω ω (3.9) (3.9) Logo, a solução geal da Equação (3.88) é F x( t) = Acos( t + ) + ω θ t m( ω ω ) cos( ω ) (3.93) (b) Usando as condições iniciais x( ) = e x& ( ) =, temos Assim, θ = e Colocando tudo junto, achamos F x( ) = Acosθ + = m( ω ω ) x& ( ) = ω senθ = A F = m( ω ω ) (3.94) (3.95) x( t) = F [ cos( ωt) cos( ω t) ] m( ω ω ) (3.96) 78 C E D E R J

81 (c) Quando ω ω, tanto o numeado quanto o denominado da Equação (3.96) vão a zeo, e potanto devemos se cuidadosos ao toma esse limite. Expandindo o numeado em tono de ω = ω, temos AULA 3 MÓDULO cos( ωt) cos( ω t) = cos( ωt) cos( ω t) ω = ω d + ( cos( ωt) cos( ωt) ) ( ω ω) + O(( ω ω) ) dω ω = ω = ( t sen( ω t))( ω ω ) + O(( ω ω ) ) (3.97) Assim, F x( t) = (( t sen( ωt))( ω ω) + O(( ω ω) )) m( ω + ω)( ω ω) (3.98) ou F x( t) = t sen( ωt) + O(( ω ω)) m( ω + ω ) (3.99) Potanto, quando tomamos o limite ω ω, obtemos x ( t ) = F (3.) m t sen ( ω t) ω Vemos que quando foçamos o oscilado hamônico não amotecido na sua feqüência de essonância, a esposta divege lineamente com o tempo. faze ω 3.5. (a) Quando o amotecimento é faco, Γ = ω, podemos R ω e, assim, Q = ω Γ (amotecimento faco) (3.) Intoduzindo a vaiável adimensional α = ω / ω, eescevemos a amplitude D(ω) como: D( ω) = ω F / m D( ) = Γ ( α ) ( ) ω α α α + + Q (3.) C E D E R J 79

82 Mecânica O oscilado hamônico simples Na figua, mostamos um gáfico de D( ω)/ D( ) em função de α. À medida que o fato Q cesce (isto é, que o amotecimento diminui), a foma da cuva de essonância toma a foma de um pico cada vez mais esteito em tono de α = ( ω = ω ). Num sistema sem nenhum amotecimento (ve poblema anteio), a amplitude seia infinita na feqüência de essonância. (b) Desde que o amotecimento é faco e a feqüência da foça aplicada está póxima da essonância, temos que ω ω ω R e Q = ω / Γ. Paa obte a enegia total, nós usaemos a solução do oscilado foçado despezando os tansientes: x( t) = D( ω)cos( ωt φ) (3.3) (Compae esta expessão com a que foi escita no texto da aula. Aqui, definimos a fase fazendo cos φ = ( ω ω )/ R, senφ = Γ ω / R, e tal que tan φ = Γω /( ω ω ). É esta definição que estaemos usando no poblema seguinte.) A enegia total do oscilado é E = mx& + kx A potência dissipada é md = ω sen ( ωt φ ) + md ω ω cos ( ωt φ ) e potanto, a enegia dissipada em um ciclo é P = mγ x& ω ω ω R (3.4) (3.5) π / ω & π / ω E = m x dt = d Γ mγω D sen ( ωt + β) dt πmγωd (3.6) 8 C E D E R J

83 Então, Enegia total Enegia pedida duante um md ω / ω πmγω D = π Γ Q peíodo π como queíamos mosta. (3.7) AULA 3 MÓDULO 3.6. (a) Paa um oscilado com os paâmetos dados, o quadado da feqüência natual na ausência de amotecimento é k 5N / m = = = 5 m kg ω s (3.8) e o paâmeto de amotecimento é 6kg / s Γ = = 6, s kg (3.9) Assim, a feqüência angula de essonância é ω R Γ 36s = ω = 5s =, 65s (3.) (b) A amplitude na essonância é dada po D( ω ) = R F / m ( ω ω ) + Γ ω R R F / m 48N / kg = = Γ ω Γ / 4 6s 5s 36s / 4 =, m (3.) (c) O ângulo de fase na essonância é Γω R ωr φ = = ω ω =, 65s tan tan tan R Γ 6s = 4, 4 (3.) de E, 3.7. (a) A enegia mecânica do oscilado é E = T + V = mx& + kx (3.3) Paa enconta a taxa de peda de enegia, tomamos a deivada tempoal de dt d = mx& + kx mxx kxx mx kx x dt = &&& + & = ( && + ) & (3.4) C E D E R J 8

84 Mecânica O oscilado hamônico simples e, usando a equação do movimento, mx&& + kx = bx&, de dt (3.5) (b) Paa um oscilado com amotecimento cítico, o deslocamento como função do tempo é dado po = bx& x( t) ( A Bt) e bt / = + m (3.6) As constantes A e B são deteminadas a pati das condições iniciais. Vamos pecisa da velocidade &x t B bm A b bt / m ( ) = ( Bt) e m (3.7) Agoa, x( t = ) = x A = x x t B bm A b & ( = ) = = = m x (3.8) A velocidade como função do tempo é, então, bt / m &x ( t) = x te bm (3.9) Substituindo esta equação na (3.5), obtemos de dt = ( m) b x t e bt / m 4 5 (3.) desde que (c) A enegia pedida num tempo infinito é de dt dt m b x 4 5 t e bt / m dt m b = ( ) m x = x α e x = 3 α (3.) (3.) E, desde que b / m = ω no amotecimento cítico, temos Enegia pedida = m = = ω x m k m x kx (3.3) que é exatamente igual ao negativo da enegia mecânica total inicial, desde que x( t = ) = x e &x ( t = ) =. 8 C E D E R J

85 3.8. Paa este oscilado, Γ / = ( kg/s)/ kg = 5 s, e a feqüência natual é k 5 N/ m = = = 7 m kg ω, s (3.4) AULA 3 MÓDULO Desde que Γ / < ω, o amotecimento é subcítico. O deslocamento em função do tempo é, potanto, dado po onde Γ t x( t) = Ae cos( ϖ t + θ) ϖ = ω Γ = ( 7, ) ( 5, ) s = 5, s 4 (3.5) (3.6) Usando as condições iniciais, x( ) = Acos θ =, m e Γ &x ( ) = A( cos θ ϖ senθ) = Da Equação (3.8), Γ π tanθ = = θ = ϖ 4 (3.7) (3.8) (3.9) e, da Equação (3.7), segue que Assim, A = m = m,, ( 5, s ) t π x( t) = (, m) e cos ( 5, s ) t 4 (3.3) (3.3) C E D E R J 83

86 .

87 Oscilações acopladas A U L A 4 Meta da aula Estuda o movimento de sistemas lineaes acoplados po meio da supeposição de seus modos nomais de oscilação. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: enconta os modos nomais e as coodenadas nomais de dois sistemas lineaes acoplados; esceve a solução geal do movimento de dois sistemas lineaes acoplados e detemina as constantes envolvidas a pati das condições iniciais dadas.

88 Mecânica Oscilações acopladas O MISTÉRIO DOS RELÓGIOS DE HUYGENS O famoso físico holandês Chistiaan Huygens inventou o elógio de pêndulo em 657. Ele intoduziu placas cicloidais paa confina a suspensão do pêndulo, de modo que o pêndulo seguisse uma tajetóia isócona, independente da amplitude. Huygens estava tentando esolve o gande poblema da época, que ea constui um elógio suficientemente peciso paa, tanspotado em um navio, pode detemina a longitude, essencial paa as gandes navegações. Huygens, numa cata a seu pai, elatou uma coisa muito cuiosa que obsevou quando dois elógios de pêndulo eam suspensos um ao lado do outo. Seu estudo de dois elógios opeando simultaneamente tinha uma azão pática: ea peciso leva mais de um elógio no navio, poque se um elógio paasse (ou tivesse de se limpo), então o outo continuaia dando as hoas. Ele notou que, depois de algum tempo, os pêndulos passavam a oscila com a mesma feqüência e em oposição de fase, ou seja, quando um estava se deslocando paa a dieita o outo se deslocava paa a esqueda, e vice-vesa. Se ele alteasse o movimento de um dos pêndulos, bastava espea e eles voltaiam a oscila com exatamente a mesma feqüência e 8 gaus foa de fase, e assim pemaneciam oscilando indefinidamente. Uma pessoa que tenha o conhecimento de Física que você já possui e que tenha sido educada, como você, a pensa segundo a ótica do método científico logo tentaá enconta uma explicação paa o fenômeno. Nesta aula, vamos estuda osciladoes acoplados. Veemos que o movimento de cada oscilado pode se descito como uma supeposição de oscilações hamônicas simples, caacteísticas do sistema, os chamados modos nomais. Espeamos que, ao final da aula, sabendo o que são os modos nomais, você tenha uma idéia de como explica o compotamento intigante dos elógios de Huygens. OSCILADORES ACOPLADOS. MODOS NORMAIS Consideemos duas massas iguais, m, ligadas po molas de mesma constante k, como mostado na Figua 4.: 86 C E D E R J

89 AULA 4 MÓDULO Figua 4.: Dois osciladoes idênticos acoplados. x e x são os deslocamentos a pati das posições de equilíbio, indicadas po linhas tacejadas. Queemos as posições das massas como funções do tempo. Estaemos supondo, nesta aula, que as patículas só podem se move em uma dimensão que escolhemos como sendo ao longo do eixo dos x. Sejam x (t) e x (t) as posições das massas da esqueda e da dieita, espectivamente, como visto na Figua 4., onde indicamos as posições de equilíbio po linhas tacejadas. As equações do movimento são: ou mx&& = kx k( x x ) x&& + ω x ω x = x&& + ω x ω x = mx&& = kx k( x x ) (4.) (4.) onde ω = k / m. É muito impotante que você se convença de que, paa os deslocamentos mostados na Figua 4., as equações do movimento são mesmo escitas como em (4.). As Equações (4.) são equações difeenciais lineaes de segunda odem acopladas, poque as vaiáveis x e x apaecem em ambas. Como o sistema tem dois gaus de libedade (é descito pelas duas vaiáveis x e x ), a solução geal das Equações (4.) deveá te quato constantes abitáias, que seão ajustadas pelas quato condições iniciais (velocidade e posição iniciais paa cada patícula). Vamos a segui enconta essa solução geal. C E D E R J 87

90 Mecânica Oscilações acopladas No caso das Equações (4.), é muito simples enconta combinações lineaes de x e x que levam a equações desacopladas. Somando membo a membo as equações, obtemos ( x&& + x&& ) + ω ( x + x ) = (4.3) Esta equação envolve as vaiáveis x e x somente po meio da soma x + x. A solução da Equação (4.3) já conhecemos ( ) x + x = B cos ωt + φ (4.4) Podemos também toma a difeença das Equações (4.). O esultado é ( x&& x&& ) + 3ω ( x x ) = (4.5) Agoa temos as vaiáveis x e x apaecendo somente atavés da combinação x + x. A solução é ( ) x x = B cos 3ωt + φ (4.6) Tomando a soma e a difeença das Equações (4.4) e (4.6), nós achamos que x (t) e x (t) são dados po x (4.7) ( t) = A cos( ωt + φ ) + A cos( 3ωt + φ ) x ( t) = A cos( ωt + φ ) A cos( 3ωt + φ ) (4.8) onde os As são metade dos Bs. As combinações x + x e x x são chamadas coodenadas nomais do sistema. Elas oscilam com uma feqüência pua cada uma, os chamados modos nomais do sistema. As Equações (4.7) e (4.8) são a solução geal das Equações (4.). Como espeado, dependem das quato constantes abitáias A, A, φ, e φ que devem se deteminadas pelas condições iniciais. Antes de discutimos a intepetação física destes esultados, vamos ve um método geal de solução das Equações (4.) que não envolve nossa capacidade de binca com elas e enconta as combinações de vaiáveis adequadas. 88 C E D E R J

91 Podemos esolve as Equações (4.) po uma extensão do método da aula passada, aplicável a qualque conjunto de equações difeenciais lineaes simultâneas com coeficientes constantes. Fazemos x = C e pt (4.9) AULA 4 MÓDULO x = C e pt (4.) onde C e C são constantes. Note que estamos supondo uma mesma dependência tempoal em x e x de modo que o fato e pt seja cancelado quando (4.9) e (4.) foem substituídas nas Equações (4.). Podemos eesceve as duas Equações (4.9) e (4.) numa notação sugestiva: x x C = C e pt (4.) Substituindo essa tentativa de solução nas Equações (4.) e dividindo po e pt, obtemos ( p + ω ) C ω C = ( p + ω ) C ω C = (4.) ou, equivalentemente, numa foma maticial, p + ω ω p ω C + ω C = (4.3) Esta equação homogênea paa C e C teá solução não tivial (isto é, onde C e C não sejam ambos iguais a zeo) somente se a matiz não tive invesa. É fácil de ve que isto é vedade poque, se pudemos invete a matiz, então basta multiplica a Equação (4.3) pela invesa paa obte (C, C ) = (,). Po outo lado, uma matiz não teá invesa quando seu deteminante fo igual a zeo. Como estamos queendo uma solução não tivial paa C e C, vamos faze o deteminante da matiz na (4.3) igual a zeo: = p + ω ω p ω + ω ( ) = p + ω ω 4 (4.4) As aízes desta equação são p = ± iω e p = ± i 3ω.. Nós encontamos, potanto, quato tipos de solução que coespondem a quato funções de base. Se p = ± iω, pondo este esultado de volta na (4.), achamos C E D E R J 89

92 Mecânica Oscilações acopladas C = C. (As duas equações dão o mesmo esultado.) E, se p = ± i 3ω, então temos da (4.) que C = C. (De novo, as equações são edundantes.) As quato funções de base são: + + i e, e, e ω t, e i ω t i ω t 3 i 3ωt (4.5) (Lembe-se de que o númeo de funções de base é igual a duas vezes o númeo de gaus de libedade.) A solução geal é, de acodo com o pincípio da supeposição, x x = B e e B3 e + ω ω B + + i t i t + i + B e 3ωt i ωt 3 4 (4.6) onde B, B, B 3 e B 4 são constantes complexas que temos de escolhe de modo que x (t) e x (t) sejam eais. Fazendo B * = B = A e i 4 3 φ, obtemos B * = B = A e i φ e x x = A t A 3 t cos( ω + φ ) + cos( ω + φ ) (4.7) que nada mais é que as Equações (4.7) e (4.8) escitas na foma vetoial. Vejamos agoa a intepetação física dos modos nomais. A solução (4.7) não coesponde em geal a um movimento hamônico simples paa x e x. Podemos no entanto escolhe condições iniciais tais que A =. Basta faze x (t ) = x (t ) e,, ou seja, da um mesmo deslocamento inicial e mesma velocidade inicial paa cada patícula. Neste caso, ( ) = ( ) = ( ) x& t x& t x ( t) = A cos ωt + φ x ( t) (4.8) As patículas oscilam com a mesma feqüência e estão sempe em fase. Este modo nomal, visto na Figua 4., é chamado de modo simético. Figua 4.: Modo de oscilação simético: as patículas oscilam com a mesma feqüência e estão sempe em fase. 9 C E D E R J

93 Escolhendo as condições iniciais x (t ) = x (t ) e x& t x& t, então A = e ( ) = x ( t) = A cos 3ωt + φ x ( t) ( ) = ( ) (4.9) AULA 4 MÓDULO As patículas oscilam com a mesma feqüência e estão sempe em oposição de fase. Este modo nomal é chamado modo anti-simético. Nele os deslocamentos das patículas são sempe iguais e contáios. Veja a Figua 4.3. Figua 4.3: Modo anti-simético: as patículas oscilam com a mesma feqüência, mas em oposição de fase. OUTRO EXEMPLO DE OSCILADORES ACOPLADOS: PÊNDULOS ACOPLADOS Consideemos dois pêndulos idênticos acoplados po uma mola de constante k (Figua 4.4). Seja m a massa de cada pêndulo. Chamando de l o compimento comum, a feqüência de suas oscilações lives seá ω = l g (4.) Figua 4.4: Dois pêndulos acoplados. θ e θ são os deslocamentos angulaes a pati da posição de equilíbio do pêndulo e do pêndulo, espectivamente. C E D E R J 9

94 Mecânica Oscilações acopladas Paa pequenos deslocamentos x e x, podemos confundi os acos descitos com as codas, ou seja, x lθ e x lθ, onde θ e θ são os ângulos de desvio. Nesta apoximação, a componente tangencial da foça gavitacional sobe cada patícula seá: mgθ mg x l = mω x, paa a patícula, e mgθ mg x l = mω x, paa a patícula. (4.) Além da foça gavitacional, cada patícula sofe a ação da mola. Paa os deslocamentos positivos abitáios indicados na Figua 4.4, a foça sobe a patícula é k x x e a foça sobe a patícula seá igual e contáia, ou seja, k x ( ) ( x ). Assim, as equações do movimento paa pequenas oscilações das duas patículas são mx&& mω x k x x mx&& mω x k x x = ( ) = ( ) (4.) ou, dividindo po m, x&& ω x ω x x x&& ω x ω x x + + ( ) = + + ( ) = (4.3) onde ω = (k/m) /. Note que o movimento de um pêndulo é, na vedade, bidimensional, mas, paa oscilações de pequenas amplitudes, pode se tatado como um movimento unidimensional. Das Equações (4.3), vemos que o sistema de dois pêndulos acoplados é equivalente a um sistema de duas massas iguais e tês molas, semelhante ao da Figua 4., poém, com a mola do meio tendo uma constante de mola difeente das outas duas. (Se nas Equações (4.3) fizemos ω = ω, encontaemos exatamente as Equações (4.).) Potanto, já sabemos quais são os modos nomais dos dois pêndulos acoplados: o modo simético está mostado na Figua 4.5.a, e o modo anti-simético, na Figua 4.5.b. a b Figua 4.5: (a) Modo simético; (b) modo anti-simético. 9 C E D E R J

95 Paa detemina as feqüências de cada modo, basta nota que, no modo nomal simético, a mola não sofe defomação e, potanto, os pêndulos oscilam com a feqüência live ω. No modo anti-simético, x = x, e substituindo esta condição, po exemplo, na equação paa o pêndulo (a pimeia equação na (4.3)), ficamos com AULA 4 MÓDULO &&x + ( ω + ω ) x = (4.4) Logo, a feqüência do modo anti-simético é ω = ω + ω. Estes esultados sobe modos nomais podem se genealizados paa pequenas oscilações em tono do equilíbio estável de um sistema com um númeo qualque de patículas acopladas. Um sistema unidimensional com N patículas tem N gaus de libedade e, potanto, N modos nomais de vibação. Cada modo nomal coesponde a uma feqüência de oscilação comum a todas as patículas. Quando o sistema unidimensional com N patículas está isolado, o cento de massa do sistema pemanece em epouso ou em movimento etilíneo unifome. Isto significa que, em uma dimensão, uma das feqüências dos modos nomais é zeo, coespondendo a um movimento de copo ígido do sistema. Se o poblema de N patículas estive sendo tatado em tês dimensões, o númeo de gaus de libedade de copo ígido cesceá, em geal, paa seis. O sistema podeá tansladase unifomemente ao longo dos tês eixos de coodenadas ou ealiza otações unifomes em tono dos eixos. Potanto, em um sistema geal de N patículas em tês dimensões, existião seis feqüências nulas e somente 3N 6 feqüências nomais de vibação. Veja o exemplo a segui. Exemplo 4.. A Figua 4.6 mosta um sistema constituído po duas patículas idênticas de massa M ligadas a uma patícula cental de massa m po molas idênticas de constante elástica k. Figua 4.6: Sistema de tês patículas acopladas po molas. C E D E R J 93

96 Mecânica Oscilações acopladas Sejam x, x e x 3 os deslocamentos longitudinais das tês patículas a pati das espectivas posições de equilíbio. As equações do movimento paa x, x e x 3 são && Mx k x x = ( ) (4.5) && 3 mx k x x k x x = ( ) ( ) && 3 3 Mx k x x = ( ) (4.6) (4.7) k m, as Equa- Intoduzindo as feqüências ω = k M e ϖ = ções (4.5) a (4.7) podem se escitas como x&& + ω x ω x = x&& + ϖ x ϖ x + x x&& + ω x ω x = 3 3 ( ) = 3 (4.8) Usando nosso método de solução de equações difeenciais lineaes simultâneas com coeficientes constantes, fazemos nas Equações (4.8) e obtemos, p + ω ϖ x x x (4.9) (4.3) Como antes, esta equação tem solução não tivial se o deteminante da matiz fo igual a zeo, o que dá p C = C C 3 3 e pt ω C + ϖ ϖ C ω p + ω C 3 = p + ω ϖ p + ϖ ϖ ω ω p + ω ( )( + + ) = = p p + ω p ϖ ω (4.3) As soluções da (4.3) são p =, p = ± iω, p = ± iω (4.3) A solução p = coesponde à feqüência zeo associada ao movimento do cento de massa. As outas duas coespondem às feqüências dos modos nomais de vibação do sistema 94 C E D E R J

97 ω = ω ω = ω + ϖ. O esto da análise paa enconta x (t), e x (t) e x 3 (t) é um pouco complicada; potanto, não vamos apesentá-lo. Vamos mosta, no entanto, que existe uma outa maneia mais simples de esolve este poblema. Já que a feqüência zeo, encontada acima, não tem nenhuma conseqüência na deteminação das feqüências dos modos nomais de vibação do sistema, é possível efomula o poblema, de foma que a aiz zeo seja excluída desde o início. Isto pode se feito muito simplesmente impondo a condição de que o cento de massa pemaneça estacionáio na oigem. A coodenada do cento de massa do sistema é ( ) + M x x mx X = + 3 m + M e, potanto, o cento de massa pemaneceá estacionáio na oigem se AULA 4 MÓDULO ( ) + = M x + x mx 3 (4.33) Esta condição pode se usada paa elimina uma das coodenadas e eduzi o poblema a um com dois gaus de libedade. Paa isso, vamos defini as novas coodenadas ξ = x + x, η = x x 3 3 (4.34) Subtaindo a teceia da pimeia equação em (4.8), temos x&& x&& ω x x 3 + ( ) = 3 (4.35) Somando, obtemos x&& + x&& + ω ( x + x ) ω x = 3 3 (4.36) ou, substituindo o valo de x da (4.33), M x&& x&& x x m x x ω ( + 3) + ω ( + 3) = (4.37) Isto nos dá as equações paa ξ e η: e && η + ω η = && ξ + ω ξ = (4.38) (4.39) C E D E R J 95

98 Mecânica Oscilações acopladas onde as feqüências dos modos nomais são M ω = ω e ω = ω + ω = ω + ϖ, (4.4) m iguais aos valoes obtidos anteiomente. Note que o modo de feqüência ω é o modo simético: a patícula do meio fica paada enquanto as outas duas oscilam em oposição de fase. No modo de feqüência ω, a patícula a patícula do meio oscila em elação ao cento de massa das outas duas. Agoa que você já sabe o que são os modos nomais, está em condições de explica o que acontecia com os elógios de Huygens. De alguma maneia os dois pêndulos estavam acoplados e o modo simético estava sendo supimido, deixando os pêndulos oscilando no modo anti-simético. Podemos pensa esquematicamente o sistema dos dois pêndulos mais suas caixas, colocadas juntas, lado a lado, como o sistema da Figua 4.6, onde m epesentaia a massa das caixas e M a massa de cada pêndulo. O movimento geal do sistema é uma supeposição dos dois modos nomais. No modo anti-simético, as caixas não se movem. No modo simético, as caixas se movem e, como elas estão em contato com a paede, existe uma foça de atito ente a paede e a caixa (não epesentada nas Equações (4.5) (4.7)), o que vai dissipando a enegia do modo simético até que ele pae de existi, estando somente o modo anti-simético. R E S U M O Dois sistemas lineaes acoplados, como osciladoes hamônicos acoplados, são epesentados po equações do movimento que fomam um sistema de duas equações difeenciais de segunda odem lineaes acopladas. Essas equações podem se desacopladas se intoduzimos as coodenadas nomais do sistema. As duas equações desacopladas esultantes coespondem a oscilações puas em feqüências que são chamadas modos nomais de vibação do sistema. Vimos e esolvemos o poblema de tês massas acopladas (Figua 4.6), que pode se tomado como uma epesentação clássica de uma molécula linea como, po exemplo, o CO. 96 C E D E R J

99 PROBLEMAS 4.. Duas massas, m e m, estão ligadas po molas idênticas como indicado na figua abaixo. Enconte os modos nomais. AULA 4 MÓDULO Figua Considee duas massas idênticas, m = m = m, suspensas num campo gavitacional unifome (vetical) g po duas molas com constantes de mola k e k, como indicado na figua. k Figua 4.8 y e y descevem os deslocamentos das massas de suas posições de equilíbio. Suponha que somente o movimento vetical é pemitido. (a) Esceva as equações (acopladas) do movimento das massas e. (b) Enconte as feqüências dos modos nomais de oscilação do sistema. (c) Enconte os modos nomais (não nomalizados). y& ( ) = v (d) Se as condições iniciais são y ( t) e y ( t). y ( ) = y& ( ) =, y ( ) =,, ache o movimento subseqüente das duas massas, isto é, 4.3. Considee o pêndulo duplo na figua abaixo. No caso de pequenas oscilações (a) Esceva as equações do movimento do sistema. (b) Enconte as feqüências dos modos nomais. C E D E R J 97

100 Mecânica Oscilações acopladas Figua Um bloco de massa M é colocado sobe uma mesa hoizontal sem atito, e peso a uma paede com a ajuda de uma mola sem massa e constante de mola k, como mostado na figua. A mola está em seu estado de equilíbio quando o bloco está a uma distância x da paede. Um pêndulo de massa m e compimento l está peso ao cainho (imagine uma calha ao longo da mesa po onde passa o fio do pêndulo). Figua 4. m Supondo pequenas amplitudes de oscilação do pêndulo, enconte as feqüências dos modos nomais (autofeqüências) Dois íons numa amadilha linea de íons. Numa amadilha linea de íons, eles estão confinados a uma linha ao longo do eixo z, como contas num fio. Po sua vez, ao longo do eixo z, eles sofem a ação de um potencial elético confinante: Φ( z) = az, (4.4) onde a é uma constante positiva. A enegia potencial de cada íon neste potencial é (4.4) V( x) = eφ = eaz e dá oigem a uma foça F = dv dz z ˆ = ea zzˆ (4.43) 98 C E D E R J

101 sobe um íon na posição z. Os íons também inteagem atavés da foça de Coulomb ente eles. As foças de epulsão ente os íons são: F e = ^z, F = 4π ε ( z z ) 4π ε e ( z z ) ^z (4.44) AULA 4 MÓDULO Neste poblema, consideamos dois íons na amadilha. Quando os íons estão em suas posições de equilíbio, um íon, que vamos chama, está em z = z /, e o outo, que chamaemos, está em z = z /. Estamos inteessados em pequenas oscilações em tono das posições de equilíbio. Seja z = z / + η e z, de modo que η e η = z / + η descevem os pequenos deslocamentos dos íons de suas posições de equilíbio. (a) Enconte z (b) Lineaize as equações do movimento dos íons em tono da configuação de equilíbio, a fim de enconta as equações difeenciais lineaes paa η e η, que descevem pequenas oscilações em tono das posições de equilíbio. Você achaá útil intoduzi a feqüência ω = ea / m. Dê uma intepetação paa ω. (c) Enconte as coodenadas nomais do sistema e as coespondentes feqüências nomais de oscilação. (d) Suponha que os dois íons estejam nas suas posições de equilíbio e, então, o íon eceba um impulso súbito que dê a ele uma velocidade v. Enconte o movimento subseqüente dos dois íons Molas num cículo. (a) Duas massas idênticas m movem-se num anel hoizontal. Duas molas idênticas, de constante de mola k, conectam as massas e estão enoladas em tono do anel, como mostado na Figua 4..a. Não há atito. (a) Enconte os modos nomais. (b) O mesmo que no item (a), poém agoa com 3 molas. (ve Figua 4..b). a b Figua 4. C E D E R J 99

102 Mecânica Oscilações acopladas SOLUÇÕES 4.. Sejam x e x as posições das massas da esqueda e da dieita, espectivamente, elativas às suas posições de equilíbio. As foças sobe elas são: F = kx k( x x ) = mx&& de onde seguem as equações acopladas F = kx k( x x ) = mx&& x&& + ω x ω x = (4.45) x&& + ω x ω x =, (4.46) onde ω = k m. Fazendo x = C e ipt e x = C e ipt, encontamos as equações lineaes ou, p + ω ω p C + ω C ω C = ω C p C + ω C = ω C p + ω C = (4.47) (4.48) Teemos soluções não tiviais paa C e C se p + ω ω ω p + ω = (4.49) ou, p 4 6p ω + 3ω 4 = (4.5) As aízes desta equação são 3 p ± = ± 3 ω (4.5) As feqüências dos modos nomais são, potanto, ω = 3 ± 3 ± ω (4.5) C E D E R J

103 esolve Paa enconta os modos nomais coespondentes, devemos p C ± + ω ω ω p + C ± ω ± ± =, (4.53) AULA 4 MÓDULO o que dá C C ± ± = p + ω ω ± = ω p + ω ± = ± 3 (4.54) Então, os modos nomais são e 3 + cos( ω+ t + φ+ ) (4.55) 3 cos( ω t + φ ) (4.56) Note que as coodenadas nomais (aquelas que desacoplam as Equações (4.46)) associadas a esses modos nomais são, pelas ( ) + ( + ) combinações lineaes, nada óbvias: x 3 x e x 3 x. 4.. (a) Desde que nós estamos medindo os deslocamentos em elação às posições de equilíbio, a gavidade não desempenha nenhum papel aqui (cada uma das molas está distendida de uma quantidade fixa de modo a supi uma foça igual e oposta à gavidade). Assim, podemos esceve my&& = ky k( y y) (4.57) my&& = k( y y ) ou onde ω = k m. y&& + 3ω y ω y = y&& + ω y ω y = (4.58) lineaes ou (b) Fazendo y = C e ipt e y = C e ipt, encontamos as equações p C + 3ω C ω C = ω C p C + ω C = p + 3ω ω C p + = C ω ω (4.59) (4.6) C E D E R J

104 Mecânica Oscilações acopladas O sistema teá soluções não tiviais se p + 3ω ω p ω + ω = (4.6) Esta condição é equivalente à seguinte equação do segundo gau paa p : p 4p ω + ω = 4 4 (4.6) As soluções desta equação são: p ± = ( ± )ω. Assim, as feqüências dos modos nomais do sistema são (4.63) ω = ω ± ± (c) Paa enconta os modos nomais coespondentes, devemos esolve p C ± + 3ω ω ± p C (4.64) ± + = ± ω ω que dá C C ± ± = p + 3ω ω ± = ω p + ω ± = ( m ) (4.65) e Então, os modos nomais, não nomalizados, são + cos( ω+ t + φ+ ) cos( ω t + φ ) (4.66) (4.67) nomais: (d) A solução geal do poblema é uma supeposição dos modos y( t) = A+ t A y( t) cos( ) c ω+ + φ+ + + os( ω t + φ ) Aplicando as condições paa as posições iniciais, y( ) = = A cos + + φ+ A cosφ y( ) = = A ( )cos + A ( + + φ+ )cosφ (4.68) (4.69) (4.7) Estas duas condições implicam que φ+ = φ = π /. Agoa, &y ( ) = ω A + A = + + ω (4.7) C E D E R J

105 &y ( ) = v = ( ) ω A ( + ) ω A = ( ω A ω A ) Destas equações obtemos (4.7) AULA 4 MÓDULO A + v v =, A = ω ω + (4.73) Potanto, finalmente nós temos ( ) ( ) + + t t v sen ω sen ω y( t) = ω + v t sen( + ω ) y( t) = ( ) + ω + sen ( ωt ) + ( + ) (4.74) (4.75) 4.3. (a) Esceve as equações do movimento do pêndulo duplo é o exemplo típico de aplicação do método Lagangiano que desenvolveemos na Aula 6. O método lagangiano é uma fomulação da Mecânica mais geal, mais podeosa que o método newtoniano que é ensinado nas Físicas e. Nele não enta o conceito de foça. As equações do movimento saem dietamente de uma quantidade escala chamada lagangiana e que é igual à enegia cinética menos a enegia potencial do sistema. T Figua 4. C E D E R J 3

106 Mecânica Oscilações acopladas Na figua anteio, indicamos as foças atuando sobe cada massa do pêndulo. Mostaemos, nos poblemas da Aula 6, que as equações do movimento do pêndulo duplo são: ( m + m ) l && θ + m l && θ cos( θ θ) + m lθ & sen( θ θ ) + ( m + m) g senθ = l && l && l & θ + θ cos( θ θ) θ sen( θ θ ) + g senθ = (4.76) (4.77) Tente chega a essas equações. Aqui estamos inteessados em pequenas oscilações e, logo, devemos mante somente os temos lineaes nas vaiáveis angulaes e suas deivadas. As Equações (4.76) e (4.77) tonam-se ( m + m ) l && θ + m l && θ + ( m + m ) gθ = (4.78) l && θ + l && θ + gθ = (4.79) Usando o método do deteminante, podemos mosta que as feqüências dos modos nomais são ω ± = m + m ± m m + m m g l (4.8) 4.4. Este poblema também seá esolvido na Aula 6 pelo método lagangiano. Na figua, indicamos as foças que estão atuando sobe cada massa. m a b Figua C E D E R J

107 As coodenadas do bloco e do pêndulo são: x M = x, y = M x = x + l sen θ, y = l cosθ m m (4.8) AULA 4 MÓDULO e a segunda lei de Newton paa cada um fica Mx&& = Mx&& = kx + T senθ M (4.8) mx&& = m x&& + l && θ cosθ lθ& sen θ T sen θ m ( ) = my&& = m l && θ senθ + lθ& cosθ T cosθ mg m ( ) = (4.83) (4.84) Substituindo T senθ da segunda equação na pimeia, ficamos com ( M + m) x&& + ml && cos ml & θ θ θ senθ + kx = (4.85) Multiplicando a teceia equação po senθ e substituindo, no esultado, o valo de T senθ da segunda, obtemos ou, simplificando, ( ) = (&& + && cos & sen ) cos m l && θ θ lθ& sen + cosθ senθ m x lθ θ lθ θ θ mg senθ (4.86) l && θ + x&& cosθ + mg senθ = (4.87) As Equações (4.85) e (4.87) são as equações do movimento do sistema. São equações acopladas não lineaes muito complicadas. Vamos lineaiza essas equações. Fazendo senθ θ e cosθ nessas equações e etendo somente temos lineaes nas coodenadas x e θ e suas deivadas, achamos ( M + m) x&& + ml && θ + kx = (4.88) e l && θ + x&& + gθ = (4.89) g l = / Ω Intoduzindo agoa as notações as Equações (4.88) e (4.89) ficam M = M + m, = k / M, T Ω T C E D E R J 5

108 Mecânica Oscilações acopladas m x&& && M l + θ + Ω x = T && lθ + x&& + Ω lθ = (4.9) Usando o método do deteminante, chegamos aos seguintes valoes paa as feqüências dos modos nomais: MT 4M ω ± = + ± ( + ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω M M T (4.9) 4.5. (a) A foça total sobe cada íon é F e = eaz zˆ + zˆ, F eaz z = ˆ 4πε ( z z ) 4πε e ( z z ) ẑ (4.9) Nas posições de equilíbio, foças são iguais a zeo. Assim, z = z / e z = z /, essas = = + = 4 F ea z e e z πε z πε a / 3 (4.93) (b) Vamos agoa expandi as foças em tono dos pontos de equilíbio e mante somente os temos lineaes em η e η. Temos que z z = z +η η e, logo, 4πε e η η = + ( z z) 4πε z z eaz ea( η η ) (4.94) onde usamos o fato de que η η = z paa faze a expansão, mantendo somente o temo linea em ( η η ). Também usamos, da Equação (4.93), F linea nos deslocamentos é F e / 4πε z = eaz /. Deste modo, a expessão paa Fazendo o mesmo paa F, achamos eaz eaz = eaη + ea( η η) = eaη ea( η η ) (4.95) F = eaη + ea( η η ) (4.96) 6 C E D E R J

109 ou, As equações do movimento são (note que && z = && η, && z = && η ) m && η = eaη ea( η η ) mη = eaη + ea( η η ) (4.97) AULA 4 MÓDULO && η + ω η ω η = && η + ω η ω η = (4.98) onde intoduzimos a feqüência angula ω = ea m e m é a massa de cada íon. (c) No caso das Equações (4.98), é fácil conclui, sem nenhuma conta, que elas são desacopladas pelas coodenadas ξ = η + η ξ = η η (4.99) equações: Estas são as coodenadas nomais do sistema e obedecem às As feqüências nomais são, potanto, (4.) O modo nomal ξ desceve oscilações em fase dos dois íons na feqüência da amadilha; os dois íons estão sempe a uma distância z um do outo, de modo que a epulsão de Coulomb é constante e não enta na feqüência de oscilação. O modo ξ desceve oscilações foa de fase na feqüência ω. 3 (d) O movimento geal é uma combinação linea abitáia dos dois modos. Invetendo as Equações (4.99), temos Agoa, && ξ + ωξ = && ξ + 3ω ξ = η = ξ + ξ η = ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ξ = acos ω t + φ ξ = bcos ω t + φ ω = ω e ω = 3ω. (4.) (4.) e assim, ( ) + ( + ) ( ) ( + ) η = Acos ω t + φ Bcos ω t φ η = Acos ω t + φ Bcos ω t φ (4.3) C E D E R J 7

110 Mecânica Oscilações acopladas onde A = a / e B = b / são constantes. Em notação maticial: η = ω φ ω φ η ( + ) + A cos t B cos t + ( ) (4.4) poblema, Agoa vamos aplica as condições iniciais. Dos dados do η ( ) =, η& ( ) = v η ( ) =, η& ( ) = aplicando estas condições às Equações (4.3), obtemos η ( ) = = Acosφ + Bcosφ η ( ) = = Acosφ Bcosφ η& ( ) = v = ω Asenφ ω Bsenφ η& ( ) = = ω Asenφ + ω Bsenφ (4.5) (4.6) Das duas pimeias, concluímos que φ = φ = π /. Da última, temos ω A = ω B que, substituído na teceia, dá v ω v A =, B = A = ω ω ω (4.7) e Com estes esultados, podemos esceve paa a posição de cada íon v sen t t ( ω ) sen( ω ) v x( t) = + sen ωt ω ω ω x t = ( ) + v sen ωt ω ( ) = ( ) sen sen( 3ω t) 3 ( ) 3ω t (4.8) 3 (4.9) 4.6. (a) Rotule dois pontos diameticamente opostos como as posições de equilíbio. Sejam x e x as distâncias das massas (medidas no sentido contáio ao dos ponteios do elógio) aos seus pontos de equilíbio. Então, as equações do movimento são: mx&& + k( x x ) = (4.) && mx + k( x x ) = (4.) 8 C E D E R J

111 O método do deteminante funciona aqui, mas o sistema é tão simples que podemos faze do jeito mais fácil: somando as equações, dá AULA 4 MÓDULO e subtaindo uma da outa, x&& + x&& = x&& x&& + 4ω ( x x ) = (4.) (4.3) onde ω = k / m. As coodenadas nomais são, potanto, ξ = x + x e ξ = x x. Resolvendo as Equações (4.) e (4.3), e ou, ξ = at + b ξ = ccos( ωt + φ) A solução geal do nosso poblema é, potanto, x = ( ξ + ξ) = At + B + C cos( ωt + φ) x = ( ξ ξ) = At + B C cos( ωt + φ) x x At B C t = + + ( ) cos( ω + φ) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) Note que o modo nomal ( At + B) (4.8) tem feqüência zeo. Ele coesponde às massas deslizando em tono do cículo, igualmente espaçadas, com velocidade constante. O segundo modo, cos( ωt + φ) (4.9) tem ambas as massas, movendo-se paa a esqueda, depois ambas paa a dieita, paa tás e paa a fente. (b) Rotule tês pontos igualmente espaçados como as posições de equilíbio. Sejam x, x e x 3 os deslocamentos das massas (medidas no sentido contáio aos ponteios do elógio) em elação a esses pontos. As equações do movimento são: C E D E R J 9

112 Mecânica Oscilações acopladas mx&& + k( x x ) + k( x x ) = mx&& + k( x x ) + k( x x ) = mx&& k( x x ) + k( x x ) = 3 3 (4.) Vamos faze x = C e ipt, x = C e ipt, x = e ipt. 3 essas soluções, obtemos a equação maticial p + ω ω ω C ω p + ω ω C = ω ω p + ω C 3 Substituindo (4.) que tem solução não tivial se o deteminante fo igual a zeo: p + ω ω ω ω p + ω ω ω ω p + ω = (4.) Esta condição dá uma equação cúbica paa ( ) + ( ) = p 3 6 p ω 9p ω 4 (4.3) que tem como soluções p = e a aiz dupla p = 3ω. C E D E R J

113 Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional A U L A 5 Metas da aula Apesenta a condição necessáia e suficiente paa que uma foça seja consevativa; intoduzi os conceitos de campo e potencial gavitacionais; estabelece a lei de Gauss da gavitação e discuti suas aplicações e conseqüências mais impotantes. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: detemina se uma dada foça é ou não consevativa; calcula a enegia potencial paa uma dada foça, incluindo aqui sabe especifica o caminho de integação conveniente; sabe quando e como utiliza a lei de Gauss paa calcula o campo gavitacional.

114 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional POR QUE O ESPAÇO TEM TRÊS DIMENSÕES? Nós vivemos em um espaço tidimensional. Isso significa que pecisamos de tês númeos paa epesenta a posição de um ponto no espaço, po exemplo: latitude, longitude e altua acima do nível do ma. Mas po que o espaço não tem duas, quato ou algum outo númeo de dimensões? Na vedade, em teoias atuais, o espaço teia nove ou dez dimensões, mas seis ou sete das dieções estaiam compactadas, tão pequenas que ainda não teíamos meios de obsevá-las, estando tês dimensões gandes e quase planas. Po que, então, estam tês dimensões peceptíveis e não duas? Existe uma esposta cuiosa paa esta última pegunta baseada no pincípio antópico. O pincípio antópico afima que o univeso é do jeito que é, pelo menos em pate, poque nós existimos. Consideemos, po exemplo, nossa foma. Topologicamente, somos equivalentes a um too, epesentado na imagem a segui: Figua 5.: Um too. Figua 5.: Um animal bidimensional teia dificuldade paa digei comida. Nosso sistema digestivo é exteno ao nosso copo. Um intestino que atavessasse um animal bidimensional o dividiia em dois (Figua 5.). Potanto, duas dimensões espaciais não são suficientes paa sees vivos tão complexos como nós. Po outo lado, se o espaço tivesse quato ou mais dimensões, a foça gavitacional ente dois copos diminuiia mais apidamente à medida que eles se afastassem um do outo. Como conseqüência, os planetas não teiam óbitas estáveis ao edo de seus sóis. Ou eles caiiam no sol, ou escapaiam paa a escuidão e fio extenos e não teíamos tido a chance de existi. A situação seia, na vedade, ainda mais desfavoável: as óbitas dos elétons nos átomos também não seiam estáveis e a matéia como conhecemos não existiia. Clao que este assunto não é C E D E R J

115 tão simples assim. Ele está sendo apesentado apenas como cuiosidade. Se você quise conhece mais sobe esse tema, sugeimos que leia o livo O univeso numa casca de noz, de Stephen Hawking, editoa Ax,. No espaço tidimensional, a foça gavitacional vaia com o inveso do quadado da distância (a foça eletostática também). Devido a esta dependência com o inveso do quadado da distância, uma gande simplificação ocoe: paa os popósitos de gavidade uma esfea age do mesmo modo que uma massa puntifome em seu cento. Assim, também, a foça gavitacional ente duas esfeas é a mesma que se elas fossem substituídas po duas massas puntifomes. Caso contáio, desceve, po exemplo, o movimento dos planetas seia uma taefa bem complicada. A foça gavitacional é uma foça consevativa, podendo, potanto, como já definimos antes em -D, se deivada de uma enegia potencial. Nesta aula você veá, no entanto, que, em tês dimensões, depende só da posição é uma condição necessáia, mas não é condição suficiente paa que uma foça seja consevativa. A fomulação de uma lei de foça do inveso do quadado da distância pode se feita de uma foma compacta e podeosa po meio da lei de Gauss. Paa isso, vamos intoduzi a noção de campo vetoial e o conceito de fluxo de uma quantidade vetoial. Também, intoduziemos o potencial, uma quantidade escala e, potanto, mais simples, a pati da qual podemos calcula o campo. AULA 5 MÓDULO CONSERVAÇÃO DA ENERGIA EM 3-D Os conceitos de tabalho e de enegia potencial em tês dimensões são ligeiamente mais complicados que em uma dimensão, mas as idéias geais são as mesmas. Assim, do mesmo modo que na Aula, na qual tatamos do caso -D, patimos da segunda lei de Newton que agoa toma a foma vetoial F = ma, e vamos considea foças que dependem somente da posição, isto é, F = F( ). Em coodenadas catesianas m dv dt x F m dv F m dv y z = x, = y, = Fz dt dt (5.) C E D E R J 3

116 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Multiplicando estas equações po obtemos vx, vy, vz, espectivamente, d mv dt F v = d d mv F v mv dt =,, dt = F v z x x x y y y z z (5.) e somando estas equações, temos ou d mv + mv + mv F v F v F v dt = + + x y z x x y y z z d mv dt F v = (5.3) (5.4) Multiplicando a Equação (5.4) po dt e integando, obtemos t mv mv = F vdt t (5.5) Como vdt = d e sendo F uma função de, podemos esceve o lado dieito da Equação (5.5) como uma integal de linha: T T = mv mv = F d (5.6) onde a integal deve se tomada ao longo da tajetóia seguida pela patícula ente os pontos e. Esta integal é simplesmente o tabalho ealizado sobe a patícula quando ela se move ao longo do caminho consideado ente os pontos e. A Equação (5.6) é a foma intega- da do teoema tabalho-enegia. Em uma dimensão, o fato de a foça depende somente da posição é uma condição necessáia e suficiente paa que ela possa se deivada de uma enegia potencial. A enegia potencial é definida como o tabalho ealizado pela foça quando a patícula vai de uma posição x até algum ponto de efeência x s : (5.7) Em -D só existe um caminho ou tajetóia ente x e x : uma eta. Mas em 3-D existe um númeo infinito de caminhos ente duas posições e. Paa que o potencial V( ) tenha um significado e tenha alguma V ( x ) = F ( x ) dx utilidade, ele deve se bem definido. Isto é, ele deve se independente do x s x 4 C E D E R J

117 pecuso. Como no caso -D, nós chamamos a foça associada com tal potencial foça consevativa. Vejamos, então, que tipos de foças 3-D são consevativas. Podemos afima o seguinte: Dada uma foça F( ), uma condição necessáia e suficiente paa que o potencial, V( ) = F( ) d (5.8) AULA 5 MÓDULO seja bem definido, isto é, independente da tajetóia, é que o otacional de F( ) seja igual a zeo, isto é, (5.9) F = Pimeio vamos mosta que F = é uma condição necessáia paa independência de tajetóia. Em outas palavas, Se V( ) é independente de tajetóia, então F =. Se V( ) é independente de tajetóia, então é legal esceve a foma difeencial da Equação (5.8). Isto é, dv = F d = F dx + F dy + F dz ( x y z ) (5.) Lembe-se de que na Temodinâmica, escevemos dq poque a quantidade de calo Q depende do pocesso (tajetóia). Não existe uma difeencial exata dq. Mas uma outa expessão paa dv é V x dx V y dy V dv = + + z dz (5.) As duas equações anteioes devem se equivalentes paa dx, dy e dz abitáios. Potanto, devemos te V V V Fx, Fy, Fz,, x y z ( ) = ou seja, a foça é o gadiente do potencial, F = V (5.) (5.3) Potanto, F = V = (5.4) C E D E R J 5

118 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional poque o otacional do gadiente é identicamente zeo, como você pode veifica explicitamente. Assim nós mostamos que F = é uma condição necessáia. Vamos mosta que ela é suficiente, isto é, Se F =, então V( ) é independente do caminho. A pova de suficiência segue imediatamente do teoema de Stokes que diz o seguinte: C F( ) d = F( ) da Ñ ( ) S (5.5) Aqui, C é uma cuva abitáia que fazemos passa po. S é uma supefície abitáia que tem C como fonteia e da e tem módulo igual a um elemento infinitesimal de áea em S, e dieção otogonal a S. A Equação (5.5) diz que, se F = em todo luga, então paa qualque cuva fechada. Mas, olhando a Figua 5.3, Ñ F d = C F d = F d + F d = F d F d (5.6) Ñ C () ( ) ( ) ( ) Logo, se Ñ F d =, a Equação (5.6) nos diz que C F d = F d ( ) ( ) paa dois caminhos abitáios () e () ligando. e (5.7) Figua 5.3: Cuva fechada vista como a soma de dois caminhos. 6 C E D E R J

119 Voltando à Equação (5.6), quando a foça é consevativa, podemos então esceve o tabalho como F d = F d + F d = F d + F d = V( ) V( ) e, então, vemos que T T = V( ) V( ) T + V( ) = T + V( ) (5.8) (5.9) AULA 5 MÓDULO que é a expessão da consevação da enegia mecânica E = T + V. FORÇAS CENTRAIS Um exemplo impotante de foça consevativa é a foça cental. Esta é definida como uma foça que aponta adialmente e cujo módulo depende somente de F( ) = F( ) ^ (5.) Vamos mosta explicitamente que F = cental. Pimeio note que F pode se escita como paa uma foça F ( x, y, z ) = x F ( ) ^ = F ( ) ^ i + y j ^ + z k ^ (5.) onde ^i ˆ, ^ jˆ ^ e kˆ Agoa, são os unitáios nas dieções x, y e z, espectivamente. = x + y + z x x = x (5.) e, similamente, y = paa y e z. Tomemos, po exemplo, a componente z de F y z = z (5.3) (5.4) ( F) z = Fy x Fx y (5.5) C E D E R J 7

120 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Temos que F x ( F / = y ) x F = F / x x y y (5.6) onde usamos as Equações (5.) e (5.3). Assim, ( F ) z =. Do mesmo modo paa as componentes x e y. y ( ) = y d d = x d d F F = xy d x d = yx d y d F F As foças centais são impotantes poque estão em toda pate, já que a foça de Coulomb e a foça gavitacional são centais. Também são impotantes do ponto de vista históico, pois foi paa explica o movimento sob a ação da foça gavitacional que Newton fomulou a Mecânica. Estudaemos o movimento sob uma foça cental, detalhadamente, mais adiante em nosso cuso. Ao tata de foças centais, é conveniente usa coodenadas polaes esféicas (, θ, φ) definidas como na Figua 5.4 ou pelas equações x = senθ cos φ, y = senθ sen φ, z = cosθ (5.7) Figua 5.4: Coodenadas polaes esféicas. 8 C E D E R J

121 Paa calcula a enegia potencial coespondente a uma foça cental, escolhemos um caminho de integação como indicado na Figua 5.5: AULA 5 MÓDULO Figua 5.5: Caminho de integação paa uma foça cental. Tomamos um ponto qualque de efeência, e integamos de até pimeio ao longo de um aio (C ) que pate de, cujas coodenadas são (, θ, φ ) e vai até o ponto (, θ, φ ) e depois, ao longo de um cículo (C ) de aio em tono da oigem, até o ponto (, θ, φ). Ao longo de C, e d = d ˆ F d = C F( ) d Ao longo de C, e Assim, d = θˆ dθ + φˆ senθ dφ F d = C V( ) = V( ) = F( ) d Note que a enegia potencial de uma foça cental é uma função somente de. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UMA ESFERA A foça gavitacional sobe uma patícula puntifome de massa m, localizada a uma distância de uma patícula puntifome de massa M, é dada pela lei de Newton da gavitação, GMm F( ) = ^ (5.8) C E D E R J 9

122 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional onde o sinal menos indica que a foça é atativa. Qual seá a foça se a massa puntifome M fo substituída po uma esfea de aio R e massa M? Se a esfea tive uma distibuição esfeicamente simética de massa, ou seja, se sua densidade fo uma função só de, então a esposta é que continua sendo GMm /. Paa os popósitos da gavidade, é como se toda a massa da esfea estivesse em seu cento. Nós vamos usa este esultado quando estivemos estudando o movimento dos planetas. Paa pova este esultado, é muito mais fácil pimeio calcula a enegia potencial devido a uma esfea e depois toma a deivada paa obte a foça em vez de calcula a foça explicitamente. Isto poque a enegia potencial é um escala, enquanto a foça é um veto. É suficiente demonsta o esultado paa uma casca esféica fina, uma vez que uma esfea é a soma de muitas de tais cascas. Paa isso, vamos dividi a casca em anéis, como mosta a Figua 5.6. Seja R o aio da casca e P o ponto onde queemos calcula o potencial, a uma distância de seu cento. a b Figua 5.6: Método de calcula a enegia potencial de uma casca esféica. Em (a), a casca é dividida em anéis. E em (b) mostamos as distâncias elevantes. A áea do anel ente θ e θ + dθ é ( ) π Rsenθ Rdθ e, assim, uma vez que cada elemento de massa do anel está a uma mesma distância de P, a enegia potencial de uma massa m em P devido ao anel é ( ) Gmσ π Rsenθ Rdθ dv( ) = l (5.9) onde σ = M 4π R é a densidade de massa da casca e l = ( Rsenθ ) + ( Rcosθ ) = R + Rcosθ C E D E R J

123 A enegia potencial total em P é, potanto, π πσ GR m senθ dθ V( ) = R + Rcosθ πσ GRm = R + Rcosθ (5.3) Nós agoa devemos considea dois casos. Se > R, então nós temos π AULA 5 MÓDULO πσ GRm G( 4π R σ) m GMm V( ) = (( R + ) ( R) ) = = (5.3) que é a enegia potencial devida a uma massa puntifome M localizada no cento da casca, como desejado. Se < R, então nós temos: πσ GRm G( 4π R σ) m GMm V( ) = (( R + ) ( R ) ) = = R R (5.3) que é independente de. Uma vez que encontamos V(), podemos acha a foça como F = V. Em coodenadas polaes esféicas, = (5.33) + + ˆ ˆ ˆ θ φ θ senθ φ Então, e F dv ( ) GMm = ˆ = ˆ, se > R d F =, se < R (5.34) (5.35) Uma esfea é a soma de muitas cascas esfeas e, potanto, se o ponto P está foa da esfea, então a foça em P é GMm ˆ, onde M é a massa total da esfea. Este esultado vale mesmo que as cascas tenham densidades difeentes (mas cada uma deve te densidade unifome). Se o ponto P está dento de uma dada esfea, então a única matéia elevante é a massa dento de uma esfea concêntica atavés de P, poque todas as camadas foa desta egião dão foça zeo. A matéia foa de P, paa os fins de gavidade, é como se não estivesse lá. C E D E R J

124 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional LEI DE GAUSS A lei de foça do inveso do quadado da distância pode se efomulada de uma maneia muito elegante, compacta e podeosa chamada lei de Gauss. Pecisaemos do conceito de campo e da definição do fluxo deste campo atavés de uma supefície. Paa intoduzi o conceito de campo vetoial, consideemos a atação gavitacional da Tea, que vamos supo esféica, sobe uma patícula foa dela. A foça depende tanto da massa da patícula sendo ataída quanto de sua localização elativa ao cento da Tea. Esta foça atativa dividida pela massa da patícula depende somente da Tea e da localização do objeto ataído. Podemos, potanto, atibui a cada ponto do espaço um veto g dado po ou F g = m (5.36) g GMT = ˆ (5.37) Assim, nós podemos imagina uma coleção de vetoes po todo o espaço, em geal difeentes em módulo e dieção em cada ponto do espaço, e que define a atação gavitacional da Tea sobe uma patícula teste localizada numa posição qualque. A totalidade de tais vetoes é chamada campo, e os pópios vetoes são chamados intensidades do campo. Figua 5.7: Supefície gaussiana envolvendo a Tea. C E D E R J

125 Considee agoa uma esfea com o cento no cento da Tea e aio maio que o aio da Tea, Figua 5.7. Usando a convenção de que a dieção positiva aponta adialmente paa foa, então a componente adial de g multiplicada pela áea total da supefície da esfea, nos dá uma quantidade Φ definida como: AULA 5 MÓDULO Φ = 4π g = 4π GM T ( ) = 4π GM T (5.38) Φ é o fluxo do campo gavitacional atavés da supefície da esfea. Note que este esultado é independente de. a b Figua 5.8: (a) Supefície gaussiana envolvendo uma patícula de massa M. Existe um fluxo gavitacional esultante devido à massa M. (b) Supefície gaussiana não envolvendo M. O fluxo esultante neste caso é zeo. Vamos agoa considea o caso de uma supefície gaussiana fechada, que tenha uma foma qualque, odeando uma massa M, (Figua 5.8.a). Se em um ponto abitáio nesta supefície, a nomal à supefície faz um ângulo θ com, como mostado, nós podemos decompo o campo g em componentes otogonais, uma paalela à supefície e outa ao longo da nomal. Só a componente nomal contibui paa o fluxo de g atavés da supefície. Deste modo, o elemento de fluxo atavés do elemento de áea da é GM dφ = g da = cosθ da (5.39) C E D E R J 3

126 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Agoa, da cosθ é igual à pojeção de da pependicula a, e o quo- ciente da cos θ / é o elemento de ângulo sólido, dω, subentendido em M po da. Assim, podemos esceve dφ = GMdΩ (5.4) O fluxo total de g atavés da supefície, definido deste modo, é então obtido integando-se sobe todas as contibuições dω. Mas isto significa simplesmente inclui o ângulo sólido completo, 4π. Temos, potanto, Φ = g da = GM dω = 4π GM Ñ A Ñ (5.4) exatamente como paa uma esfea. Se a massa estive foa da supefície gaussiana, o esultado é bastante difeente. Desta vez, o cone de pequeno ângulo dω intecepta a supefície duas vezes (Figua 5.8.b). A contibuição paa o fluxo é dada po de massa qualque: d GM da da cosθ cosθ Ω = + = GM dω + dω ( ) (5.4) = O fluxo total é zeo neste caso. Note que os esultados (5.4) e (5.4) são uma conseqüência dieta do fato de a foça segui uma lei do inveso do quadado da distância exata. Estes esultados são facilmente genealizados paa uma distibuição Ñ g da = 4π A GM total (5.43) onde M total é a massa dento da egião envolvida pela supefície fechada A. Esta é a Lei de Gauss (você já deve te pecebido que tudo isso é igual ao que você já sabia, lá do eletomagnetismo). Exemplo 5.: suponha que a Lua seja uma esfea de densidade unifome de aio R L e massa M L. Imagine um túnel eto, cavado atavés da Lua passando po seu cento. 4 C E D E R J

127 AULA 5 MÓDULO M L Figua 5.9: Túnel atavés da Lua. Também mostamos a supefície gaussiana paa o cálculo do campo. Vamos mosta que o movimento de objetos ao longo desse túnel, sob a ação da gavidade, seia hamônico simples. Paa isso é peciso calcula a foça sobe um objeto no túnel, em uma posição. Como a distibuição de massa é esfeicamente simética, podemos usa a lei de Gauss paa detemina o campo. Com a supefície gaussiana mostada na Figua 5.9, temos: Φ = 4π g( ) = 4π GM (5.44) onde M é a massa envolvida pela supefície ML 4π 3 M M = = 3 4π / 3R 3 R L L 3 L 3 (5.45) Substituindo este esultado na Equação (5.44), achamos GM g( ) = 3 R L L (5.46) A foça sobe uma patícula de massa m a uma distância do cento é então onde a constante k é dada po f ( ) = mg( ) = k k Gm M R = 3 L O movimento é, potanto, hamônico simples, com um peíodo L (5.47) (5.48) π m T = = π = π ω k 3 RL GM L (5.49) C E D E R J 5

128 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Paa encea, vamos apesenta a foma difeencial da lei de Gauss. Seja ρ ( ) uma distibuição de massa qualque. Então, a massa total dento de uma supefície gaussiana nesta distibuição é M total = ρ dv V (5.5) onde V é o volume envolvido pela supefície gaussiana. Po outo lado, podemos usa o teoema da divegência paa esceve Ñ g da = gdv A V (5.5) Substituindo as Equações (5.5) e (5.5) na expessão da lei de Gauss, (5.43), obtemos: g = 4π Gρ (5.5) Esta é a lei de Gauss na sua foma difeencial. R E S U M O Uma foça é consevativa se F =. A enegia potencial associada a F é V( ) = F( ) d, sendo o valo da integal independente do caminho escolhido paa i de até. Você deve escolhe o caminho de integação que fo mais conveniente (no sentido de simplifica os cálculos). As impotantes foças centais, F = F( ), são consevativas. Paa uma foça cental que vaie com o inveso do quadado da distância, vale a lei de Gauss, e vice-vesa. Paa o campo gavitacional, a lei de Gauss pode se escita na foma integal,, Ñ g da = 4π GM A ou na foma difeencial, g = 4π Gρ. Esta última fonece uma equação difeencial paa o potencial gavitacional, a equação de Poisson. 6 C E D E R J

129 PROBLEMAS 5.. Quais destas foças são consevativas? Enconte o potencial paa aquelas que são. (a) F = ayz + bx + c, F = axz + bz, F = axy + by, onde a, b x y z e c são constantes abitáias. x x (b) F ze. x =, Fy = ln z, Fz = e + y / z (c) F = aˆ / AULA 5 MÓDULO 5.. Moste que a auto-enegia gavitacional de uma esfea unifome de massa M e aio R é V GM = 3 5 R (5.53) Obs.: A auto-enegia é o tabalho que um agente exteno teve de ealiza paa coloca juntas todas as patículas, que fomam o objeto, tazendo-as desde o infinito. Aqui estamos consideando somente a pate gavitacional Se o campo gavitacional é independente da distância adial dento de uma esfea, enconte a função descevendo a densidade ρ = ρ ( ) da esfea A Equação de Poisson. O veto campo gavitacional g( ) de uma distibuição de massa é definido como sendo a foça po unidade de massa sobe uma patícula no ponto. Como a foça é igual a menos o gadiente da enegia potencial, vemos que a enegia potencial gavitacional po unidade de massa, ou simplesmente potencial gavitacional, que vamos epesenta po ϕ, é uma função tal que g = ϕ. (a) Moste que ϕ obedece à equação de Poisson, ρ ( ) ϕ = 4π Gρ (5.54) (b) Moste que o potencial ϕ ( ) de uma distibuição de massa é dado po Gρ( ) ϕ ( ) = dv (5.55) C E D E R J 7

130 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional 5.5. Considee o potencial gavitacional ϕ ( ) = GM + a (5.56) Detemine a distibuição de massa ρ() coespondente a esse potencial Uma pequena ocha esféica cobeta de aeia apoxima-se adialmente de um planeta. Seja R o aio do planeta e ρ p sua densidade. A densidade da ocha é ρ. Quando a ocha chega suficientemente póxima do planeta, a foça de maé tendendo a aanca a aeia da ocha seá maio que a foça gavitacional ataindo a aeia paa a ocha. A distância d na qual os dois efeitos são iguais é chamada limite de Roche. Moste que P d = R ρ ρ / 3 (5.57) 5.7. Este poblema ajuda a explica a distibuição de massa em aglomeados globulaes, que são aglomeados (quase) esfeicamente siméticos de estelas. Suponha que um gande númeo N de objetos puntifomes esteja se movendo sob a ação de suas atações gavitacionais mútuas. Vamos adota o seguinte modelo paa o aglomeado: todos os objetos possuem massas iguais a m e enegias cinéticas iguais e, potanto, velocidades iguais v. Cada um move-se numa óbita cicula em tono do cento de massa comum do sistema. N é suficientemente gande de modo que a densidade de massa ρ() possa se consideada constante. Enconte ρ() Matéia escua em galáxias. Acedita-se hoje que a maio pate da matéia do Univeso seja escua, ou seja, não pode se detectada pela adiação que emite (ou deixa de emiti). Sua pesença é infeida indietamente, a pati dos movimentos de objetos astonômicos. Considee, po exemplo, as cuvas de otação das galáxias. Paa faze uma cuva de otação, calcula-se a velocidade de otação de estelas ao longo do compimento de uma galáxia, medindo seus deslocamentos Dopple. 8 C E D E R J

131 (a) Supondo que a distibuição de massa da galáxia possa se apoximada como esféica, moste que a velocidade de uma estela em uma óbita de aio (distância da estela ao cento da galáxia) é AULA 5 MÓDULO v( ) = GM( ) (5.58) onde M() é a massa no inteio da óbita. (b) Se a massa da galáxia está concentada na sua pate visível, então devemos espea que v( ) / paa distâncias bem além do aio visível. Em vez disso, astônomos obsevam que a velocidade cesce, tendendo a um valo constante ente e km/s. Assim, paa gandes distâncias, muito além do aio da galáxia, sua massa continua cescendo. M() cesce lineamente com. Considee a galáxia espial M33. Sua massa visível é M = 4 M e, onde M = e, 989 3kg é a massa do Sol. A uma distância de kpc a velocidade obsevada é de km/s, enquanto o valo pevisto é de 4 km/s. Enconte a azão ente a massa da matéia escua, M d e a massa obsevada M o. Qual foi o valo de M() usado paa obte a velocidade de 4 km/s? 5.9. Considee um anel cicula fino, unifome, de aio a e massa M. Uma massa m é colocada no plano do anel. Enconte uma posição de equilíbio e detemine se ela é estável. 5.. Qual é o potencial gavitacional dento e foa de uma camada esféica, de densidade unifome ρ, aio inteno b e aio exteno a? SOLUÇÕES 5.. Devemos calcula + Fy F x ˆk x y = F F + z y F iˆ Fx Fz + y z z x j ˆ paa cada uma das foças. F (a),, F z y Fx Fz = ax + b ( ax + b) = = ay ay = y z z x F y x Fx = az az = y C E D E R J 9

132 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional A foça é consevativa. No cálculo de V( ) = F( ) d, vamos escolhe = e o caminho, mostado na Figua 5., Figua 5. C d = idx ˆ, y =, z = ; C d = jdy ˆ, x = x, z = C3 d = kdz ˆ, x = x, y = y. Então, V( ) = F dx F dy F dz C x C y C z x y = ( bx + c) dx dy ( axy by dz + ) = bx cx axyz byz z (b) F F z y F F = =, x z = e x + e x =, y z z z z x Fy Fx = = e a foça é consevativa. O potencial é deteminado x y tomando-se o ponto de efeência = (,, ). Temos então, x y z x x y V( ) = e dx dy e + dz z x x = e e ( z ) y( lnz ln) x = ze y lnz (c) As componentes da foça são F ax = x + y + z ay, F =, F x + y + z az = x + y + z x y z 3 C E D E R J

133 F Assim, ax = x + y + z ay, F =, F x + y + z F F z y axy ayx = y z x + y + z x + y + z ( ) az = x + y + z x y z ( ) = AULA 5 MÓDULO F F F x z y Fx e po simetia, =, = e a foça é consevativa. z x x y Aqui podeíamos te obsevado que é uma foça cental que, como mostamos no texto, é consevativa. A enegia potencial, é dada po F = aˆ / a V( ) = d = a ln 5.. Uma esfea pode se vista como um númeo muito gande de camadas concênticas, desde = até = R. Imagine que você vá juntando massa, camada po camada, paa foma a esfea. A vaiação na enegia potencial quando uma camada de aio espessua d é tazida desde o infinito (onde tomamos o zeo da enegia potencial) e colocada na sua posição na esfea é GM( ) dm dv = (5.59) onde dm = ρ ( 4π d) pecedentes e M() é a massa integada de todas as camadas M( ) = ρ 4π 3 3 (5.6) (a auto-enegia da camada pode se ignoada no limite d ). Potanto, e 4 G( ρ π 3 ) ρ ( 4π d) dv = 3 G( 4πρ) R 4 G( 4πρ) V = d = R (5.6) (5.6) Agoa, M 3M ρ = = ( 4 / 3) π R 4π R 3 3 (5.63) C E D E R J 3

134 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional e assim, 3M G ( 4π ) V R GM = 4 π 3 3 R 5 = 5 5R (5.64) O fato de a auto-enegia gavitacional se negativa indica que o sistema é gavitacionalmente ligado. A constante G, poém, é muito pequena ( G = 6, 67 N m / kg ) e esta enegia de ligação, paa objetos do dia-a-dia, é despezível quando compaada às ligações químicas, de oigem elética Paa uma distibuição esfeicamente simética de massa, a lei de Gauss diz que 4π g( ) = 4π GM( ) (5.65) ou GM( ) g( ) = (5.66) onde M() é a massa total contida até o aio : Paa que g() seja constante, M( ) = ρ ( ) 4π d (5.67) Então, GM( ) = g = constante g = G ρ ( ) 4 π d (5.68) (5.69) Difeenciando ambos os lados desta equação com elação a, g = 4π Gρ ( ) e esolvendo paa ρ(), encontamos g ρ ( ) = π G (5.7) (5.7) Logo, ρ() é invesamente popocional a (a) Vimos que o veto campo obedece à lei de Gauss g = 4π Gρ (5.7) 3 C E D E R J

135 Inseindo g = ϕ no lado esquedo desta equação, obtemos g = ϕ = ϕ e a Equação (5.7) tona-se (5.73) AULA 5 MÓDULO ϕ = 4π Gρ (5.74) Quando o lado dieito da Equação (5.74) é igual a zeo, o esultado, ϕ =, é a famosa equação de Laplace. (b) Refeindo-se à Figua 5., o potencial no ponto P devido ao elemento de massa dm é, po definição, Gdm dϕ = (5.75) Agoa, o elemento de massa na posição é dm = ρ ( ) dv e, assim, integando sobe toda a distibuição, temos o esultado pocuado ρ ( ) ϕ( ) = G dv (5.76) Figua Solução: se este é um potencial gavitacional, ele deve satisfaze a equação de Poisson. O laplaciano em coodenadas polaes esféicas é = + + senθ senθ θ θ sen θ φ (5.77) C E D E R J 33

136 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Como o potencial depende somente de, temos que = = + ϕ ϕ ϕ 3GM ϕ = + 3 a a 5 / (5.78) Substituindo na equação de Poisson, ϕ = 4π Gρ, obtemos paa a densidade de massa GM ρ ( ) = π a a 5 / (5.79) Esta é distibuição de densidade de Plumme e é usada como um modelo analítico (toy model) paa aglomeados globulaes ou galáxias. O pefil da densidade está no gáfico da Figua 5.. Figua 5. A constante a é chamada aio de Plumme. A descição de galáxias elípticas pelo modelo de Plumme é muito pobe poque as obsevações dessas galáxias mostam uma divegência da densidade póxima ao cento Seja d a distância ente o cento da ocha e o cento do planeta e seja o aio da ocha (que não é dado, mas sabemos que << d) Figua C E D E R J

137 A difeença ente a foça execida pelo planeta sobe uma patícula de massa m no cento da ocha e uma patícula de mesma massa na supefície da ocha é AULA 5 MÓDULO F maé F maé GMm GMm = + ( d + ) d (5.8) GMm GMm = + ; + 3 d d d d = GMm d é a chamada foça de maé longitudinal. Já a foça execida pela ocha sobe a patícula de massa m em sua supefície é F GMm R = (5.8) Fazendo F = F, obtemos paa d: maé R d M = M 3 3 (5.8) Paa uma esfea unifome de massa M e densidade ρ p e aio R, M = 4 3 π R ρ P 3 (5.83) Similamente, M = 4 3 π ρ 3 (5.84) Logo, ou d π R ρp ρp = = R 4 3 π ρ ρ 3 P d = R ρ ρ / 3 (5.85) (5.86) 5.7. Solução: cada patícula move-se em uma óbita cicula. A gavidade é esponsável pela aceleação centípeta: v g ( ) = ^ (5.87) C E D E R J 35

138 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional Po outo lado, usando a lei de Gauss com uma supefície gaussiana esféica de aio, concluímos que GM( ) g( ) = ^ (5.88) onde M() é a massa total das estelas no inteio da supefície gaussiana. Igualando as duas expessões, obtemos v = GM( ) = G ρ ( ) 4π d (5.89) Lembando que v é constante, difeenciando os dois lados em elação a, achamos ou, v = Gρ ( ) 4π v ρ ( ) = 4π G (5.9) (5.9) A densidade cai como l / 5.8. (a) Veja a dedução no Poblema (5.7), Equação (5.89). (b) A azão ente as massas é M M dak o v = v obs pev = 4 = 9 (5.9) ou seja, 9% da massa é de matéia escua. Da expessão do item (a), v 3, 8 m 6 m / s M( ) = = 3 G 6, 67 m / s kg 6 8 = 3, 7 6 M (5.93) 5.9. Po simetia, sabemos que a massa colocada no cento do anel está em equilíbio poque ela está odeada unifomemente de massa. Paa sabe se o equilíbio é estável, pecisamos deslocá-la da posição de equilíbio. Vamos coloca a massa m em um ponto a uma distância ' do cento e escolhe o eixo x como sendo ao longo desta dieção (ve Figua 5.4). 36 C E D E R J

139 AULA 5 MÓDULO Figua 5.4 A enegia potencial é dada po dv Gm dm Gmρa = = dφ b b (5.94) onde ρ = M / π a e dm = ρadφ. A distância b ente dm e m é / b = = a + a / ( cos φ) = a + cosφ (5.95) a a Paa calcula a enegia potencial, pecisamos do valo de /b quando ' << a. Usando a expansão ( ) n n n + ξ ( + ξ ) = nξ (5.96) podemos esceve a b = + a = a cosφ a / 3 cosφ + cos φ +... a 8 a a (5.97) Substituindo na Equação (5.94) e integando, obtemos V( ) = Gm + π ρ cos φ + ( 3cos φ ) +... dφ a a = π Gmρ a (5.98) C E D E R J 37

140 Mecânica Enegia potencial em 3-D: o potencial gavitacional ou, V ( GmM ) = + a a A posição de equilíbio é dada po (5.99) dv GmM d = = +... a a (5.) e potanto ' = é uma posição de equilíbio. Calculando a deivada segunda de V, d V d GmM = +... < a 3 (5.) e o ponto de equilíbio é instável. 5.. A massa total da camada é 4 M πρ a b = ( ) (5.) Vamos apoveita a simetia esféica do poblema paa usa a lei de Gauss paa detemina o campo gavitacional. Figua C E D E R J

141 Tomando uma supefície gaussiana esféica de aio > a e com o cento no cento da casca, temos GM 4π g = 4π GM g = ˆ (5.3) AULA 5 MÓDULO Em seguida, taçamos uma supefície gaussiana com aio b < < a. Neste caso, πρG b 4π g = 4π G πρ ( b ) g = ˆ (5.4) Finalmente, a lei de Gauss aplicada a uma supefície gaussiana de aio < b dá: 4π g = g = (5.5) Agoa vamos calcula o potencial ϕ(), fazendo ϕ ( ) =. Temos que, paa > a, ϕ( ) g( ) d GM d GM = = ϕ( ) = (5.6) Paa b < < a, 4πρ G b ϕ( ) ϕ( a) = 3 a Então, sabendo que ϕ ( a) GM / a ( 4π Gρ / 3a) a b ao seguinte esultado: d 4πρ G = ( a ) + 3 b b a 3 3 = = ( ) (5.7), chegamos ϕ ( ) πρg a b 3 = (5.8) Finalmente, paa < b como o campo é igual a zeo, ϕ ( ) ϕ ( b) = e assim, ϕ ( ) πρg a b = ( ) (5.9) C E D E R J 39

142 .

143 O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação A U L A 6 Meta da aula Desceve o método Lagangiano e mosta que, nessa fomulação da mecânica, as equações do movimento podem se deduzidas a pati do Pincípio de Mínima Ação. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: esceve a Lagangiana paa divesos sistemas simples e as equações de Eule-Lagange coespondentes; compeende as elações ente as leis de Newton, as equações de Eule-Lagange e o Pincípio de Mínima Ação.

144 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação QUEM PRECISA DA FORÇA? Você apendeu que o conceito de foça é fundamental paa a descição do movimento de um copo. Uma vez calculada a esultante das foças que atuam sobe ele, obtemos, pela segunda lei de Newton, uma equação difeencial, a equação do movimento, cuja solução, paa condições iniciais dadas, pemite detemina completamente o movimento do copo. Este é o método Newtoniano. No entanto, talvez paa sua supesa, há outo método, mais podeoso, em geal mais simples, que pemite chega à mesma equação do movimento que no método Newtoniano, poém sem faze uso do conceito de foça, chamado de método Lagangiano. Nós vamos pimeio apesenta o método Lagangiano, dizendo quais são suas egas, sem qualque justificativa, e mosta que elas funcionam. Depois, definiemos uma quantidade chamada ação e mostaemos que o método Lagangiano pode se justificado po se meio do Pincípio de Mínima Ação. A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE potencial V: Vamos defini a seguinte combinação das enegias cinética T e L = T V (6.) L é chamada Lagangiana. Note o sinal negativo na definição. Se fosse um sinal positivo, teíamos a enegia mecânica total. Uma patícula de massa m, que se move em uma dimensão, tem uma Lagangiana L = mx& V( x) (6.) Agoa, escevemos d L L dt x = & x (6.3) Esta é a equação de Eule-Lagange. Ela nos dá a equação do movimento da patícula. De fato, com a Lagangiana (6.) temos L = mx& x& (6.4) L = V x ( ) = F( x) x x 4 C E D E R J

145 e, substituindo na (6.3), obtemos mx&& = F( x) (6.5) AULA 6 MÓDULO que é a segunda lei de Newton. Se o poblema envolve mais de uma coodenada, como ocoe na maioia das vezes, devemos aplica a Equação (6.3) paa cada coodenada. Seão tantas equações de Eule-Lagange quantas foem as coodenadas independentes. Assim, se a enegia potencial fo V(x, y, z), teemos paa o movimento de uma patícula em tês dimensões, em coodenadas catesianas, L = m( x + y + z ) V( x, y, z) (6.6) As equações de Eule-Lagange seão tês d L L dt x = & x d L L = dt y& y d L L dt z = & z Seguem, então, as equações do movimento V mx x my V V && =, && =, mz && = y z (6.7) (6.8) Estas, como você sabe, podem se escitas na foma vetoial ou m && = V m && = F (6.9) (6.) O método Lagangiano também pemite que tatemos o mesmo poblema em outas coodenadas. Basta esceve a Lagangiana em temos das coodenadas desejadas e uma equação de Eule-Lagange paa cada nova coodenada. Como exemplo, vamos considea um poblema em duas dimensões nas coodenadas polaes planas da Figua 6.. C E D E R J 43

146 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Figua 6.: Definição das coodenadas polaes planas, φ. Com as enegias cinética e potencial escitas em coodenadas polaes planas, a Lagangiana tem a foma L = m( & + φ & ) V(, φ ) (6.) As equações de Eule-Lagange paa e φ são e Fazendo as deivadas, d L L dt = & d L L = dt φ& φ (6.) (6.3) T = T = T T m& m & = m, φ, φ&, = & φ& φ obtemos as equações do movimento V m && m & = φ d dt m φ & ( ) = V φ (6.4) (6.5) (6.6) Emboa não seja necessáio, é instutivo neste ponto intepeta as Equações (6.5) e (6.6) em temos de foças só paa adquiimos a confiança de que as equações de Eule-Lagange dão ealmente os mesmos esultados que o método Newtoniano. Paa isso, vamos pecisa da expessão da foça em coodenadas polaes planas, 44 C E D E R J

147 F V V = ˆ φ = F ˆ + F ˆ φ φ (6.7) AULA 6 MÓDULO onde usamos a expessão do gadiente em coodenadas polaes planas dada na Aula 5. F e F φ são as componentes adial e tangencial da foça, espectivamente. Os unitáios nas dieções adial e tangencial são designados po ^e ^ φ (ve Figua 6.). Figua 6.: Os vetoes unitáios ^ e ^ φ. Nestas mesmas coodenadas, a velocidade da patícula é v = & ˆ + φφ & ˆ = v ˆ + v ˆ φ φ (6.8) o momento angula, J = mv = m φ& k ˆ = J k ˆ z (6.9) e o toque τ = F = F kˆ φ = V k ˆ φ (6.) Em temos destas quantidades, vemos que a Equação (6.6) é simplesmente a equação da vaiação do momento angula dj z dt = τ z (6.) C E D E R J 45

148 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Já a Equação (6.5) assume a foma familia mvφ m && = + F (6.) onde o pimeio temo do lado dieito é a foça centípeta. Uma coisa impotante que você já deve esta pecebendo no método Lagangiano: mesmo que você nunca tivesse ouvido fala de temos como toque, foça centípeta ou momento angula você podeia obte as equações coetas simplesmente escevendo as enegias cinética e potencial, e fazendo algumas deivadas. A despeito disso, ainda pode paece uma questão puamente de pefeência pessoal se usamos o método Lagangiano ou o método Newtoniano da segunda lei. Afinal os dois poduzem as mesmas equações. No entanto, em poblemas envolvendo mais de uma vaiável, usualmente é mais fácil esceve T e V do que esceve todas as foças. Isso poque T e V são simples escalaes. As foças são vetoes e é muito fácil confundi-se quando elas apontam em váias dieções. Você também deve te notado que, uma vez escita a Lagangiana, não temos mais que pensa, apenas efetua algumas deivadas. Mas há azões mais fundamentais paa intoduzi o método Lagangiano, como veemos nas póximas seções e na póxima aula. Exemplo 6.. Enconte a equação do movimento paa um pêndulo simples. Ve Figua 6.3. Figua 6.3: Pêndulo simples de massa m e compimento l. 46 C E D E R J

149 Solução: tomando o zeo da enegia potencial em θ =, temos V = mgl( cos θ) (6.3) AULA 6 MÓDULO A velocidade da massa m está na dieção θˆ e é igual a l θ &. A Lagangiana do pêndulo é então L = ml θ& mgl( cos θ) (6.4) Assim, fazendo as deivadas, L = ml θ& θ& L = mglsenθ θ (6.5) e substituindo na equação de Eule-Lagange, encontamos ou ml && θ = mglsenθ && θ = g θ l sen (6.6) (6.7) Note que, paa enconta esta equação do movimento, não pecisamos da expessão da componente pola da aceleação, nem da tensão no fio. Exemplo 6.. Considee agoa um pêndulo consistindo de uma mola com uma massa m na sua extemidade (Figua 6.4). Figua 6.4: Pêndulo com mola. A baa sem massa, em tono da qual a mola está enolada, não é mostada na figua. C E D E R J 47

150 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação A mola é mantida em linha eta po uma baa ígida, sem massa, em tono da qual está enolada. O compimento de equilíbio da mola é l. Sejam l + (t) e θ (t) o compimento da mola e seu ângulo com a vetical no instante t, espectivamente. Supondo que o movimento ocoa num plano vetical, queemos enconta as equações do movimento paa e θ. Solução: a enegia cinética tem uma pate adial e uma pate tangencial, T = m & + ( l + ) θ& ( ) (6.8) A enegia potencial tem duas contibuições: a enegia potencial gavitacional e a enegia potencial da mola V(, θ) = mg( l + )cosθ + k (6.9) Aqui o zeo da enegia potencial foi escolhido como sendo em θ =. A Lagangiana é, potanto, L = m( & + ( l + ) θ& ) + mg( l + )cosθ k Fazendo as deivadas, L = m& & L = m ( l + ) & θ + mg cosθ k L = m ( l + ) θ& θ& L = mg( l + )senθ θ (6.3) (6.3) e substituindo nas equações de Eule-Lagange, obtemos as equações do movimento, m && m l & = + θ mg cosθ k (6.3) ( ) + ( l + ) && θ + & θ& = g senθ (6.33) O PRINCÍPIO DA AÇÃO ESTACIONÁRIA Vamos tabalha, po enquanto, em uma dimensão espacial. A quantidade t S = L( x, x&, t) dt t (6.34) 48 C E D E R J

151 é chamada ação. É um númeo com dimensões de (enegia) (tempo). Pegunta: que outas quantidades em Física possuem dimensão de ação? Cite duas. Resposta: (i) O momento angula, (veifique você mesmo po análise dimensional). (ii) A constante de Planck da mecânica quântica, h = 6, 6 3 J. s, uma das constantes fundamentais da natueza. Considee uma função x(t) definida no intevalo t t t, e cujas extemidades são são valoes dados. Chamaemos x(t) de caminho. Está clao na Figua 6.5 que existe uma infinidade de caminhos x(t) no plano t, x ligando o ponto (x, t ) ao ponto (x, t ). L = p x( t ) = x e x( t ) = x, onde x e x AULA 6 MÓDULO Figua 6.5: Difeentes caminhos ligando os pontos (x, t ) e (x, t ). Não confundi um caminho x(t) com a tajetóia da patícula. A tajetóia da patícula em uma dimensão é, paa todos os caminhos, a eta ligando x a x. A ação S depende de L e L, po sua vez, depende de x(t) po meio da Equação (6.). Dada qualque função x(t), podemos poduzi um númeo S. É impotante nota, no entanto, que S depende de todo o caminho x(t). De fato, paa calcula S pecisamos dos valoes de L(x, &x, t) paa todos os valoes de t no intevalo (t, t ), mas paa isso pecisamos de todos os valoes de x e &x no intevalo (t, t ). Dizemos que a ação é um funcional de x(t) e isto é epesentado pela notação S[x(t)]. Vamos agoa coloca a seguinte questão: paa que caminho x(t) a ação S teá um valo estacionáio? Um valo estacionáio de S é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. A esposta é dada pelo seguinte teoema: C E D E R J 49

152 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Teoema: se um caminho x(t) ligando o ponto (x, t ) ao ponto (x, t ) dá um valo estacionáio de S = L( x, x&, t) dt, então, t t d L L dt x = & x (6.35) paa esse caminho. Demonstação: seja x(t) o caminho que tona a ação estacionáia e x ε (t) = x(t) + εη(t) uma cuva vizinha, onde ε é um paâmeto infinitesimal abitáio e η(t) uma função difeenciável que se anula em x = x e x = x : η ( t ) = η ( t ) = (6.36) Essas últimas condições são necessáias paa que o caminho x ε (t) também passe pelos pontos extemos (t, x ) e (t, x ). A ação paa o caminho x ε (t) é t ε ε t ε ε f ( ) = S[ x ( t) ] = L( x ( t), x& ( t), t) dt (6.37) Uma vez que, po hipótese, x(t) dá um extemo de S, então a função f(ε) deve passa po um extemo em ε =, pois neste caso x(t, ε) tona-se idêntica a x(t). Potanto, uma condição necessáia paa que x(t) tone S um extemo é que (6.38) Vamos elimina dη/dt da Equação (6.38) fazendo uma integação po pates: t t = L dη = x dt dt L t d L x dt (6.39) x dt t d L η η η & & t & dt &x dt t onde usamos as condições (6.36). Com a ajuda deste último esultado, a Equação (6.38) toma a foma df t L xε L xε = + & dt dε t x ε x ε & ε = t t = t t L L η + dη dt = x &x dt t t L x d dt L ηdt = x& (6.4) 5 C E D E R J

153 Como η é abitáio, segue que, no intevalo [ t, t ], devemos te L x d dt L x& = (6.4) AULA 6 MÓDULO Vemos que a equação de Eule-Lagange é uma conseqüência de a ação te um valo estacionáio paa o caminho x(t) deteminado pela segunda lei de Newton. Logo, chegamos a um esultado impotante: podemos substitui a segunda lei de Newton pelo seguinte pincípio: Pincípio da ação estacionáia O caminho x(t) de uma patícula ente dois pontos fixos quaisque (x, t ) e (x, t ) é aquele que dá um valo estacionáio paa a ação. O pincípio da ação estacionáia é equivalente à segunda lei de Newton, F = ma, poque o teoema anteio mosta que se temos um valo estacionáio de S, então a equação de Eule-Lagange vale. Mas a equação de Eule-Lagange é equivalente a F = ma. Potanto, ação estacionáia é equivalente a F = ma. Em geal, o valo estacionáio de S é um mínimo e daí o pincípio da ação estacionáia se mais conhecido como Pincípio de Mínima Ação. Esse pincípio, como fomulado aqui, é também conhecido como pincípio de Hamilton. UMA BREVE HISTÓRIA DO PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO Atibui-se a Heon de Alexandia, que viveu no século I a.c., um dos mais significativos descobimentos da ciência gega. Já ea conhecida, muito tempo antes, a chamada lei da eflexão da luz: Um aio de luz se eflete em um espelho de tal modo que o aio efletido se enconta no plano de incidência e o ângulo de eflexão é igual ao ângulo de incidência. Heon explicou a lei da eflexão como conseqüência do pincípio da mínima distância: Um aio de luz, ente a fonte e um ponto de ecepção, segue o pecuso de meno distância. Vemos de imediato, a pati deste pincípio que, em um meio homogêneo, se não houve nenhum obstáculo ente a fonte de luz e o ponto de ecepção, um feixe de luz segue uma linha eta, já que uma eta é a meno distância ente dois pontos. C E D E R J 5

154 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Figua 6.6: Constução geomética mostando como enconta o pecuso de meno distância ente os pontos F e R passando po um ponto do espelho. É aquela que coesponde à meno distância ente o ponto imagem F ' de F e o ponto R. Suponha agoa que o aio de luz se eflita na supefície de um espelho plano. É evidente na constução geomética da Figua 6.6 que a meno distância ente a fonte de luz F e o ponto de ecepção R, passando pelo espelho E, é o pecuso FPR e paa esse pecuso vemos que o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de eflexão θ'. O pincípio de Heon não se aplica, no entanto, quando há uma mudança de meio. Na inteface ente os dois meios, a dieção do aio de luz muda. Esse fenômeno é conhecido como efação. O pecuso do aio de luz ente dois pontos em meios difeentes é uma linha quebada que claamente não é a meno distância ente os pontos. Somente séculos mais tade, o fancês Piee de Femat (6-665) fomulou o pincípio do tempo mínimo que pemitiu explica a lei da eflexão e a lei da efação. O pincípio do tempo mínimo, ou pincípio de Femat, diz o seguinte: Um aio de luz, ente a fonte e um ponto de ecepção, segue o pecuso que toma o meno tempo possível. Note que a lei da eflexão é uma conseqüência tivial do pincípio de Femat: em um meio homogêneo, a velocidade da luz é constante e independente da dieção e, potanto, o pecuso mais cuto é também o pecuso mais ápido. Quando a luz passa de um meio paa um meio de densidade difeente, a lei da efação diz que senθ senθ = v v (6.4) 5 C E D E R J

155 onde θ é o ângulo de incidência, θ o ângulo de efação, v a velocidade da luz no meio e v é a velocidade da luz no meio. Paa mosta como essa lei segue do pincípio de Femat, vamos considea o seguinte poblema equivalente: você está em uma paia e de epente ouve os gitos de uma pessoa na água pedindo socoo. Seja v a sua velocidade máxima coendo na aeia e v sua velocidade máxima nadando naquela paia. Que pecuso você deveá segui paa chega o mais ápido possível até a pessoa em apuos? Clao que você vai coe e nada o mais ápido que pude e vai faze os pecusos na tea e na água em linha eta. Mas isto não é suficiente: você teá ainda de escolhe ente uma infinidade de pecusos possíveis. Na Figua 6.7 ilustamos um deles.vamos agoa mosta que o meno tempo possível é obtido quando os ângulos θ θ e satisfazem a lei da efação (6.4). AULA 6 MÓDULO Aeia Água Figua 6.7: Um possível pecuso ente V e P: linha eta na aeia ente V e O seguido de linha eta na água ente O e P. O tempo que você vai leva seguindo o pecuso VOP é dado po t VO v OP v AB x VA = + = ( ) + v + x + BP v (6.43) C E D E R J 53

156 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação O tempo seá mínimo quando dt / dx = e d t / dx >. Agoa, dt dx ( AB x) x = + v AB x VA v x + BP ( ) + senθ senθ = + v v e, fazendo dt / dx =, obtemos (6.44) senθ senθ = v v (6.45) que é exatamente a lei da efação. O pincípio de Femat se tonou a base da Ótica Geomética. No entanto, os contempoâneos de Femat tinham uma objeção fundamental ao seu pincípio na foma de uma pegunta pofunda: como podeia a luz sabe, de antemão, qual pecuso é o mais ápido? Além disso, no exemplo anteio, você tinha um popósito ao escolhe o pecuso: chega o mais ápido possível até a pessoa em dificuldade. Os pincípios de Heon e Femat intoduziam na Física a idéia da existência de um popósito ou finalidade : apaentemente, a luz escolhe o pecuso que satisfaz a Equação (6.45) com o popósito de minimiza o tempo de pecuso. Em 746, Piee Louis Moeau de Maupetuis fomulou o pincípio da mínima ação. Sua motivação ea da um ponto de patida mais fundamental paa a mecânica e, paa isso, guiou-se pelo sentimento de que deveia existi de uma ceta economia na Natueza. Movimentos natuais deveiam se tais que tonassem alguma quantidade um mínimo. Essa quantidade, ele descobiu, deveia se a ação. O caminho que uma patícula segue ente um ponto no espaço em um ceto instante, a um outo ponto em outo instante, é aquele que minimiza a ação. E esse caminho é igual àquele calculado pela mecânica Newtoniana. Mas aqui volta a questão: como a patícula sabe de antemão qual o caminho que dá a meno ação? Seá que ela faeja todos os caminhos possíveis antes de se decidi po aquele que dá a meno ação? As espostas paa as peguntas que fizemos aqui felizmente existem, poém, foa da Física Clássica, na Mecânica Quântica. Pode-se mosta que, na vedade, uma patícula exploa todos os possíveis caminhos ente sua posição inicial e sua posição final. Ela não tem de decidi nada, não tem nenhum popósito. 54 C E D E R J

157 A explicação é mais ou menos assim: em Mecânica Quântica, a cada caminho que possamos imagina ente dois pontos, associamos um númeo complexo e is / h (onde h =, 5 34 J. s é a constante de Planck). Esses númeos complexos têm valo absoluto e são chamados fases. Paa os objetos tatados em Mecânica Clássica, S >> h. As fases de todos os possíveis caminhos devem se adicionadas paa da a amplitude de pobabilidade da patícula i de um ponto a outo. O valo absoluto da amplitude deve se elevado ao quadado paa obte a pobabilidade. O ponto básico é que nos valoes não estacionáios de S, como S >> h, contibuições de caminhos vizinhos se cancelam. Não havendo contibuição paa a amplitude de valoes não estacionáios de S, nós não obsevamos os caminhos associados a eles. Em um valo estacionáio de S, no entanto, as fases de caminhos vizinhos têm essencialmente o mesmo valo e, assim, adicionam-se constutivamente. Existe, potanto, uma pobabilidade difeente de zeo de a patícula toma um caminho que dê um valo, estacionáio de S. Logo, esse é o caminho que obsevamos. Emboa você ainda não possa compeende completamente o que foi dito no paágafo anteio, pelo menos, você agoa sabe que a Mecânica Clássica pode se explicada a pati de uma teoia mais fundamental, a Mecânica Quântica, e que essa explicação ocoe de modo mais natual po meio do fomalismo Lagangiano da Mecânica Clássica. Na póxima aula, você veá que o método Lagangiano pemite também obte um esultado de impotância fundamental na Física: a elação ente simetias e leis de consevação. AULA 6 MÓDULO C E D E R J 55

158 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação R E S U M O A Lagangiana de um sistema é a difeença ente sua enegia cinética e sua enegia potencial. Um caminho é definido como uma função x(t) ligando um ponto (t, x ) a um outo ponto (t, x ). Com a Lagangiana podemos esceve a ação, uma quantidade que depende de todos os caminhos ente dois pontos (t, x ) e (t, x ) dados. O pincípio da ação estacionáia diz que o caminho x(t) de uma patícula ente dois pontos fixos quaisque (x, t ) e (x, t ) é aquele que dá um valo estacionáio paa a ação. O pincípio da ação estacionáia é equivalente à segunda lei de Newton, poque quando temos um valo estacionáio da ação, então a equação de Eule-Lagange vale. A equação de Eule-Lagange, poém, é equivalente à segunda lei de Newton. Paa esolve um poblema pelo método Lagangiano, basta esceve a Lagangiana e usa as equações de Eule-Lagange paa obte as equações do movimento. 56 C E D E R J

159 PROBLEMAS 6.. Paa uma patícula live, a Lagangiana é L = mx& /. Moste que o valo mínimo da ação da patícula, S m, paa o caminho clássico ligando a posição x no instante t à posição x no instante t, é dada po m x x S = ( ) m t t (6.46) AULA 6 MÓDULO 6.. Um bloco de massa M é colocado sobe uma mesa hoizontal sem atito, e peso a uma paede com a ajuda de uma mola sem massa e constante de mola k, como mostado na figua. A mola está em seu estado de equilíbio quando o bloco está a uma distância x da paede. Um pêndulo de massa m e compimento l está peso ao cainho (imagine uma calha ao longo da mesa po onde passa o fio do pêndulo). Figua 6.8 (a) Esceva a Lagangiana L( x, x&, θ, θ& ) do sistema, onde x é a posição do bloco, medida a pati da posição de equilíbio da mola, e θ é o ângulo que o pêndulo faz com a vetical. (b) Esceva, das equações de Eule-Lagange, as equações do movimento paa as coodenadas x e θ. (c) Lineaize as equações do movimento, ache as coodenadas nomais e desceva o movimento dos dois modos nomais. Considee que os paâmetos do sistema tenham sido escolhidos de tal modo ( ) = que k ( m + M g l. C E D E R J 57

160 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação 6.3 Considee o pêndulo duplo na figua a segui. (a) Moste que a Lagangiana do sistema é dada po L = ml θ& + ml ( θ& + θ& ) + ml θ& & θ cos( θ θ) + mgl cos θ + mgl(cosθ + cos θ) Figua 6.9 e, a pati dela, enconte as equações do movimento paa os dois pêndulos acoplados. (b) Lineaize as equações do movimento em tono da configuação de equilíbio, θ =, θ = paa enconta as equações do movimento que descevem pequenas oscilações do sistema. (c) Enconte as feqüências de oscilação dos modos nomais Uma conta está live paa desliza ao longo de um ao sem atito de aio R. O ao gia com velocidade angula constante ω em tono de um diâmeto vetical (veja a figua). (a) Enconte a equação do movimento paa a posição da conta. (b) Quais são as posições de equilíbio? Qual é a feqüência de pequenas oscilações em tono do equilíbio estável? (c) Existe um valo de ω que é bastante especial. Qual é ele e po que ele é especial? Figua C E D E R J

161 6.5. Lagangiana paa o movimento de uma patícula caegada. Uma patícula de caga q e massa m se move nos campos elético E e magnético B dados. A Lagangiana da patícula é AULA 6 MÓDULO L = m & + q & A q Φ (6.47) onde A(, t) e Φ(, t) são os potenciais veto e escala, espectivamente. Se você ainda não viu como esses potenciais são intoduzidos no eletomagnetismo é suficiente sabe, paa o nosso poblema, que o campo elético E e o campo magnético B são obtidos a pati deles como A E(, t) = Φ, B(, t) = A (6.48) t Use a Lagangiana (6.47) paa enconta a equação do movimento da patícula e moste que a equação é equivalente à lei de foça de Loentz, m && = q( E + & B) (6.49) 6.6. Um bloco de massa m é colocado num plano sem atito que está inicialmente na hoizontal (isto é, φ = em t = ). O plano é levantado po uma das extemidades (veja a figua) a uma taxa constante tal que φ& = ω, fazendo com que o bloco desça o plano. Detemine o movimento do bloco. As condições iniciais são () = R e &( ) =. Figua 6. C E D E R J 59

162 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação 6.7. Uma conta de massa m desliza sem atito em um fio com a foma de uma ciclóide, cujas equações paaméticas são x = α ( θ sen θ), y = α ( + cos θ), < θ < π (6.5) Figua 6. (a) Esceva a Lagangiana da patícula. (b) Moste que o compimento s de um pedaço de aco da ciclóide que vai do ponto de mínimo, θ = π, até um valo de θ qualque é dado po θ s = 4α cos (6.5) (c) Esceva a Lagangiana em temos da coodenada s e moste que a equação do movimento tem a foma d s g + s = dt 4α (6.5) Esta é a equação de um oscilado hamônico simples e, potanto, a conta oscilando na ciclóide é um oscilado isócono, isto é, um oscilado cujo peíodo não depende da amplitude Um pêndulo é constuído pendendo-se uma massa m a um fio inextensível de compimento l. A pate supeio do fio está conectada ao ponto mais alto de um disco vetical de aio R(R < l/π) como na figua a segui (onde l = l + l ). 6 C E D E R J

163 AULA 6 MÓDULO l Figua 6.3 (a) Esceva a Lagangiana do pêndulo. (b) Moste que a equação do movimento, paa l > Rϕ, é ( l Rϕ )&& ϕ Rϕ& g cosϕ = (c) Resolva a equação do movimento paa pequenas oscilações em tono de um ângulo ϕ. (Dica: faça ϕ = x + ϕ, onde x é pequeno e lineaize em x). Qual a feqüência das pequenas oscilações em tono da posição de equilíbio? Moste que as oscilações seão siméticas quando ϕ = π /. SOLUÇÕES 6.. Em Mecânica Clássica, aamente pecisamos do valo da ação. No entanto, depois de tanto ouvi fala em ação, fica a cuiosidade de sabe como calcula essa quantidade. Temos que a solução da equação do movimento paa uma patícula live, satisfazendo as condições x( t ) = x, x( t ) = x, é Então, x x x = x + ( ) t t ( t t ) ( ) &x ( x x) t t = ( ) (6.53) (6.54) C E D E R J 6

164 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Agoa, a Lagangiana paa uma patícula live é L = mv (6.55) onde a velocidade ν é dada pela Equação (6.54) paa o caminho que minimiza a ação. Assim, S m t m x x t m x x = L% ( ) ( ) ( x, x&, t) dt = dt = t t t t ( t t ) ( ) (6.56) Este é o valo da ação calculado com o caminho que a tona estacionáia. Em Mecânica Clássica, é a foma da ação que é inteessante. Isso poque pecisamos conhece a ação ao longo de um conjunto de caminhos vizinhos paa pode detemina o caminho de mínima ação. 6.. Este poblema tata de um sistema de dois osciladoes acoplados: massa-mola e um pêndulo. O pimeio é linea, poque estamos supondo uma mola ideal que satisfaz a lei de Hooke. O pêndulo, no entanto, só é linea paa pequenas oscilações. Na pimeia pate do poblema, itens (a) e (b), usamos o método Lagangiano paa chega às equações do movimento, que são equações não lineaes acopladas, difíceis de esolve. A segunda pate, item (c), onde lineaizamos as equações do movimento e aplicamos os métodos de oscilações acopladas, está esolvido no Poblema 4.4, da Aula 4. (a) As coodenadas e componentes da velocidade do bloco são e as do pêndulo x M = x, y = M x& = x&, y& = M xm = x + l sen θ, ym = l cosθ x& = x& + lθ& cos θ, y& = lθ& senθ m M m (6.57) (6.58) Assim, temos paa a enegia cinética T = M( x& M + y& M) + m( x& m + y& m) = ( M + m) x& + ml θ& + mlx& θ& cosθ (6.59) Tomando o zeo da enegia potencial gavitacional em y = a enegia potencial do sistema é V = mgl cosθ + kx. Deste modo, a Lagangiana é 6 C E D E R J

165 L = T V = ( M + m) x& + ml θ& + ml x& θ& cosθ + mgl cosθ kx (b) Paa a coodenada x: (6.6) AULA 6 MÓDULO L = + + d L ( M m) x& mlθ& cos θ x dt x = ( M + m) x&& + ml && θ cosθ & & ml θ & senθ L x = kx (6.6) (6.6) Com estes esultados, a equação de Eule-Lagange dá paa x a equação do movimento: ( M + m) x&& + ml && cos ml & θ θ θ senθ + kx = (6.63) Paa a coodenada θ : L d = + L ml mlx = ml + mlx mlx (6.64) & θ& & cosθ && θ && θ & θ& θ θ dt θ& cos sen L = ml( x& θ& + g) senθ θ (6.65) A equação do movimento é então, ou ml && θ + mlx&& cos θ mlx& θ& senθ + ml( x& θ& + g) senθ = l && θ + x&& cosθ + g senθ = (6.66) (6.67) As equações acopladas (6.66) e (6.67) são iguais às equações que obtivemos pelo método Newtoniano. (c) Resolvido no Poblema 4.4 da Aula (a) Nós também já vimos esse poblema nos poblemas da Aula 4, Poblema 4.3. Lá, poém, nós não deduzimos as equações do movimento a pati das foças sobe as patículas, o que seá feito aqui, a pati da Lagangiana. C E D E R J 63

166 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação As coodenadas de m e m são, espectivamente (ve figua), ( x, y) = ( l cos θ, l senθ ) ( x, y) = ( l cosθ + l cos θ, l senθ + l senθ ) As velocidades ao quadado são: v = v + v = l θ& ( sen θ + cos θ ) = l θ& x x y y v = v + v = l ( & & θ senθ + θ senθ ) + l ( θ & cosθ + θ & cosθ ) θ& θ& = l + l + l θ& θ& ( senθ senθ + cosθ cosθ ) (6.68) (6.69) A enegia cinética é, então, T = mv + mv = ml θ& + ml ( θ& + θ& ) + ml θ& θ & cos( θ θ) (6.7) Tomando o zeo da enegia potencial no ponto de onde o pêndulo está suspenso, temos V = m gl cos θ m gl(cosθ + cos θ ) (6.7) A Lagangiana é, potanto, L = T V = ml θ& + ml ( θ& + θ& ) + m l θ& θ& cos( θ θ ) + m gl cos θ + m gl (cosθ + cos θ ) (6.7) Agoa vamos enconta as equações do movimento a pati das equações de Eule-Lagange paa θ e θ. Temos que L = m + m l & ( θ + m l θ& θ θ θ& ) cos( ) d L = ( m + m l dt θ& ) & && θ θ θ θ θ& θ& θ& + ml cos( ) ml ( ) sen( θ θ) (6.73) L θ = m l θ& θ& sen ( θ θ ) ( m + m ) gl sen θ (6.74) L = m l & + m & l θ θ θ θ θ& cos( ) d L = m l && θ + m && θ dt θ& l cos( θ θ ) m l θ& ( θ& θ& ) sen( θ θ ) (6.75) 64 C E D E R J

167 L θ = m l θ& θ& sen ( θ θ ) m gl senθ (6.76) AULA 6 MÓDULO Assim, obtemos as equações ( m + m ) l && θ + m l && θ cos( θ θ) + ml θ & sen( θ θ) + ( (6.77) + (m + m)gl senθ = m l && θ + m l && θ cos( θ θ ) m l θ& sen( θ θ ) + m gl senθ = (6.78) que são as equações do movimento pocuadas. (b) Está esolvido no Poblema (a) Seja θ o ângulo que o aio do cento à conta faz com a vetical. A velocidade da conta pode se decomposta em uma componente pependicula ao ao, ωrsenθ, e outa ao longo do ao, R θ &. Tomando o zeo da enegia potencial em θ = π /, a Lagangiana do sistema é L = m( ω R sen θ + R θ& ) + mgrcosθ (6.79) Calculando as deivadas L d = L mr = mr & θ& && θ θ dt θ& (6.8) e L = mr sen θ( ω R cos θ g ) θ (6.8) obtemos a equação do movimento: R&& θ = sen θ ( ω Rcos θ g) (6.8) (b) A conta estaá em equilíbio quando θ& = && θ =. O lado dieito da Equação (6.8) é zeo quando senθ = (isto é, θ = ou π = ) ou quando cos θ = g / ω R. Como Cosθ deve se meno ou igual a, esta última condição é possível somente se ω g / R. Potanto, nós temos dois casos C E D E R J 65

168 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Se ω < g / R, então θ = e θ = π são os únicos pontos de equilíbio. O ponto π = é instável. Isto é óbvio, mas pode se visto matematicamente fazendo θ = π + η, onde η é pequeno. Então, sen( π + η) η e cos( π + η) e a Equação (6.8) fica && η η( ω + g / R) = (6.83) Esta equação não admite solução oscilatóia. O ponto θ = é estável. Paa θ pequeno, a Equação (6.8) tona-se && θ + θ( g / R ω ) = (6.84) que admite soluções oscilantes. A feqüência de pequenas oscilações é g / R ω. Se ω > g / R, então θ =, π = e cos θ = g / ω R são todos pontos de equilíbio. O ponto θ = π é de novo um ponto de equilíbio instável, como podemos ve da Equação (6.83). O ponto θ =, é instável poque agoa o coeficiente da Equação (6.84) é negativo. Potanto, cos θ = g / ω R é o único ponto de equilíbio estável. Paa enconta a feqüência de pequenas oscilações, fazemos θ = θ + η na Equação (6.8). Usando sen( θ + η) = senθ cosη + cosθ senη senθ + η cosθ e cos( θ + η) = cosθ cosη senθ senη cosθ η senθ, substituindo na Equação (6.8), mantendo somente os temos lineaes em η e, finalmente, fazendo cos θ = g / ω R, && η + ω sen θ η = (6.85) ω A feqüência de pequenas oscilações é, potanto, ω senθ = g / R ω. (c) A feqüência ω = é a feqüência cítica acima da qual existe um ponto de equilíbio estável paa θ, isto é, acima da qual a patícula vai quee move-se foa do ponto mais baixo do ao. Agoa, note uma coisa muito inteessante: paa não existe uma dieção pivilegiada no sistema. A conta ou fica em θ = ou oscilando em tono desse ponto. Paa g / R ω < g / R ω < g / R, a patícula ou fica na posição 66 C E D E R J

169 angula tal que cos θ = g / ω R ou oscilando em tono dela. Tanto θ quanto θ satisfazem a condição em θ = θ ou em θ = θ. Quando, há uma dieção pivilegiada no sistema. Na passagem do egime com com ω > g / R cos θ = g / ω R. O sistema ou fica paa o egime houve uma queba de simetia. A conta vai esta só de um lado, esquedo ou dieito. Como nenhum agente exteno foi esponsável po essa queba de simetia, dizemos que houve uma queba espontânea de simetia. ω > g / R ω > g / R AULA 6 MÓDULO 6.5. Vamos esceve a Lagangiana em temos das componentes dos vetoes envolvidos: L = m( x& + y& + z& ) + q( xa & x + ya & y + za & z) qφ (6.86) Pimeio considee a equação de Eule-Lagange paa a componente x. Vamos pecisa das seguintes deivadas: L = + + q x A y A z A x y z Φ & & & q x x y z x L = mx& x + qa & x (6.87) (6.88) d L A mx q x A y A z A x x x x dt x = && & & & & t x y z (6.89) Então, temos = Usando d L L = + A + x Φ mx&& q dt x& x t x A + A A qy& + qz& y y z A z x y x z (6.9) B y A = z x A x B A z y Ax Ax z = Ex = Φ,, x y x x (6.9) vemos que podemos esceve a Equação (6.9) como m x&& = qe + q( zb & yb & ) = q( E + B) x y z x (6.9) C E D E R J 67

170 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação Esta é a componente x da lei de foça de Loentz. Podemos pocede do mesmo modo paa as componentes y e z Você deve esolve este poblema pelo método Newtoniano. Aqui, vamos usa o método Lagangiano. Com as coodenadas indicadas na figua, a enegia cinética do bloco é e a enegia potencial, T = m& + m φ & V = mg senφ (6.93) (6.94) Temos ainda a condição φ = ωt (6.95) A Lagangiana do sistema é então, L = m& + m ω mg senωt (6.96) Note que, devido à condição de vínculo (6.95), a Lagangiana tem somente uma vaiável independente,. Calculando as deivadas, L = d L m& = m && & dt & L = mω mg senωt (6.97) temos, da equação de Eule-Lagange, que a equação do movimento é m && mω = mg senωt (6.98) Esta equação você já sabe como esolve. A solução geal da equação homogênea m && mω = pode se escita como ( t ) = h A senhω t + B coshω t (6.99) Uma solução paticula da não homogênea tem a foma ( t ) = C senhω p t. Substituindo na equação (6.95), vemos que essa é de fato uma solução se C = g / ω. Logo, a solução geal da Equação (6.98) é g ( t) = t t t A t B t (6.) h( ) + p( ) = senω + senhω + coshω ω 68 C E D E R J

171 Agoa pecisamos impo as condições iniciais ( ) = R e &( ) =. Achamos que B = R e A = g / ω. Potanto, a solução geal da equação do movimento paa as nossas condições iniciais é AULA 6 MÓDULO g ( t) = Rcosh ωt + (senωt senhωt) ω (6.) 6.7. (a) Das equações paaméticas da ciclóide temos que x& = αθ& ( cosθ ) (6.) y& = αθ& senθ Assim, a enegia cinética da patícula é T = m( x& + y& ) = mα θ& ( cosθ ) + sen θ mα θ& cosθ = [ ] = mα θ& θ sen Tomando o zeo da enegia potencial em y =, θ V = mgy = mgα ( + cos θ) = mgα cos (6.3) (6.4) A Lagangiana da paticula é então L = m mg α θ& θ θ sen α cos (6.5) (b) Vamos calcula o compimento s de um pedaço de aco da ciclóide que vai do ponto de mínimo, θ = π, até um valo de θ qualque. Paa isso pecisamos esceve um elemento de aco ds dx / dy dy = + ( ) podemos esceve dx α cosθ α senθ Deste modo, em temos de θ. Da equação da ciclóide θ α sen dy = ( ) = = θ θ α sen cos θ tan (6.6) d ds = + tan θ d = sen θ cos θ θ 4 α sen θ θ (6.7) C E D E R J 69

172 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação e potanto, θ θ s = 4α senϕ d ϕ =4αcos π (6.8) (c) Em temos da vaiável s, a Lagangiana fica simplesmente L = ms m g & s 4α (6.9) Esta é a Lagangiana de um oscilado hamônico simples de feqüência angula ω = g / 4α : d dt L L d s g s s& s = dt + 4 = α (6.) Isso significa que se você laga a conta de qualque posição s naciclóide, ela vai oscila sempe com a mesma feqüência ω = g / 4α, ou, em outas palavas, o peíodo não depende da amplitude do movimento. Quando o peíodo não depende da amplitude, dizemos que o oscilado é isócono. Um pêndulo simples, é isócono somente paa pequenas oscilações. No pêndulo simples, a patícula desceve um aco de cículo. Nos elógios de pêndulo de Huygens, a quem nos efeimos na aula sobe oscilações acopladas, o peso oscilante desceve um aco de ciclóide e, potanto, são pêndulos isóconos (a) Da figua temos que l = l + l e l = Rϕ. Logo, l = Rϕ. Vamos considea a oigem do sistema de coodenadas como sendo o ponto de onde o pêndulo está suspenso e toma, po conveniência, o sentido positivo do eixo-y paa baixo. Assim, podemos esceve x = Rsenϕ + ( l Rϕ )cosϕ y = R( cos ϕ) + ( l Rϕ ) senϕ (6.) Destas equações, segue que x& = ( l Rϕ ) ϕ& senϕ y& = ( l Rϕ ) ϕ& cosϕ (6.) A enegia cinética do sistema é então, T = m( x& + y& ) = m( l Rϕ ) ϕ& (6.3) 7 C E D E R J

173 e a enegia potencial, V = mgy = mgr( cos ϕ) mg( l Rϕ ) senϕ (6.4) AULA 6 MÓDULO A menos de uma constante, a Lagangiana do pêndulo é, potanto, L = m( l Rϕ ) ϕ& mg Rcos ϕ + mg( l Rϕ ) senϕ (6.5) (b) Fazendo as deivadas, L = m l R d L ( ϕ) ϕ& = m( l Rϕ ) Rϕ& + m( l Rϕ ) && ϕ (6.6) ϕ& dt ϕ& L = m( l Rϕ ) Rϕ& + mgrsenϕ mgrsenϕ + mg( l Rϕ )cosϕ ϕ (6.7) = m( l Rϕ ) Rϕ& + mg( l Rϕ )cosϕ Substituindo esses esultados na equação de Eule-Lagange, encontamos m( l Rϕ ) Rϕ& + m( l Rϕ ) && ϕ = m( l Rϕ ) Rϕ& + mg( l Rϕ )cosϕ (6.8) ou, supondo l > Rϕ, ( l Rϕ ) && ϕ Rϕ& g cosϕ = (6.9) (c) Vamos faze ϕ = ϕ + x, onde x é um ângulo pequeno em compaação com ϕ. Substituindo na Equação (6.9), despezando os temos contendo xx&&, &&x e fazendo encontamos: cos( ϕ + x) = cosϕ cos x senϕ senx cosϕ xsenϕ g senϕ g &&x + cosϕ x = ( l Rϕ ) ( l Rϕ ) (6.) (6.) A solução desta equação, como você já sabe, é a soma da solução geal da equação homogênea mais uma solução paticula da não homogênea, ou seja, x = Acos( ωt + φ) + cotϕ (6.) C E D E R J 7

174 Mecânica O método Lagangiano e o Pincípio de Mínima Ação onde A e φ são constantes e ω é a feqüência das pequenas oscilações ω = gsenϕ ( l Rϕ ) (6.3) É evidente que as oscilações seão siméticas quando poque este valo anula o temo cotϕ da solução (6.). ϕ = π / 7 C E D E R J

175 O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo A U L A 7 Meta da aula Complementa o método Lagangiano desenvolvido na Aula 6, com ênfase nas leis de consevação e simetias a elas associadas. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: entende a elação ente simetias e leis de consevação e po que o conhecimento das quantidades consevadas é impotante na análise do movimento de um sistema; constui a tajetóia no espaço de fase paa sistemas simples; calcula foças de vínculo em sistemas mecânicos semelhantes aos apesentados no texto, que envolvem somente vínculos holônomos.

176 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo INTRODUÇÃO Na Aula 6, nós intoduzimos o método Lagangiano e mencionamos que, ente suas vitudes, está a possibilidade de estabelece uma elação claa ente simetias e leis de consevação. Essa elação, que seá o tema pincipal desta aula, é asseguada po meio de um dos mais impotantes e chamosos teoemas da física, o Teoema de Noethe. Ao estuda a consevação da enegia, intoduziemos o Hamiltoniano de um sistema, uma função das coodenadas e de seus momentos conjugados, constuído a pati da Lagangiana e que, em muitos casos de inteesse, é igual à soma da enegia cinética mais a enegia potencial. Dado o Hamiltoniano, as equações do movimento do sistema podem se obtidas a pati das equações de Hamilton. Definiemos o espaço de fase, o espaço de coodenadas e momentos, e veemos que o volume de uma egião do espaço de fase de um sistema se mantém constante quando a sua evolução tempoal é dada pelas equações de Hamilton. Este esultado é chamado teoema de Liouville. Finalmente, também vimos na Aula 6 que o conceito de foça no método Lagangiano é desnecessáio, o que é paticulamente conveniente paa sistemas com estições, ou vínculos. É uma gande vantagem não te de se peocupa com as foças de vínculo. Mas há situações em que é necessáio conhece tais foças. Ilustaemos, com dois exemplos, um método de encontá-las. SIMETRIAS E LEIS DE CONSERVAÇÃO Gandezas físicas consevadas, ou constantes do movimento, são quantidades associadas a um sistema que não mudam de valo duante a sua evolução tempoal. Quando conhecemos as constantes do movimento de um sistema, podemos extai infomações impotantes sobe seu movimento, mesmo sem uma solução completa das equações do movimento. Você já viu na Física B váios exemplos da utilidade da aplicação das leis de consevação da enegia, momento linea e momento angula na análise do movimento de sistemas. Assim, seia de gande ajuda se tivéssemos um meio de identifica essas quantidades consevadas. Existe uma elação íntima ente as leis de consevação e a invaiância dos sistemas físicos sob opeações de simetia, como você veá adiante. Dizemos que um objeto é simético em elação a uma dada opeação se esta opeação, quando aplicada ao objeto, não paece alteá-lo. Designamos po objeto uma foma geomética, uma equação, uma função, ou um sistema físico qualque. Aqui, como estamos tatando do movimento 74 C E D E R J

177 de um sistema, estamos inteessados em sabe que opeações não alteam as equações do movimento e uma condição suficiente paa isso é que a sua Lagangiana não se altee. AULA 7 MÓDULO COORDENADAS CÍCLICAS Uma coodenada é cíclica quando não apaece explicitamente na Lagangiana. Exemplo 7.. Considee uma patícula de massa m movendo-se num potencial unidimensional V(z). A Lagangiana da patícula é L = m( x& + y& + z& ) V( z) (7.) As vaiáveis x e y não apaecem explicitamente na Lagangiana (emboa &x e &y apaeçam) e, potanto, são cíclicas. Exemplo 7.. Seja agoa a Lagangiana de uma patícula num potencial cental L = m( & + φ & ) V ( ) (7.) A coodenada φ é uma coodenada cíclica. Quando uma coodenada é cíclica, existe uma constante do movimento associada a ela. Veja a Lagangiana do Exemplo 7.. O fato de as coodenadas x e y não apaeceem explicitamente na Lagangiana significa que L = L, x y = (7.3) Mas, da equação de Eule-Lagange paa a coodenada x, isto significa que d L dt x = & (7.4) Assim, a quantidade p = L (7.5) x x& = mx & C E D E R J 75

178 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo chamada momento conjugado à coodenada x é uma constante do movimento. O mesmo agumento mosta que também é uma constante do movimento da patícula cujo movimento é descito pela Laganiana (7.). Note que momento conjugado não é sempe um momento linea. Se a coodenada fo um ângulo, seu momento conjugado seá um momento angula. Paa a Lagangiana (7.) p = L / & = m & é o momento linea da patícula, enquanto pφ = L / φ& = m φ& é o momento angula. Como paa esta Lagangiana a coodenada φ é cíclica, p φ é uma constante do movimento. movimento. Temos, então, o seguinte esultado: Os momentos conjugados a vaiáveis cíclicas são constantes do A ausência de uma ceta coodenada pode se intepetada como uma popiedade de simetia da Lagangiana. Assim, o sistema do Exemplo 7.3 é invaiante po um deslocamento dos eixos coodenados no plano xy. De fato, como a Lagangiana não envolve as coodenadas x e y, o que matematicamente é expesso pelas condições (7.3), nada acontece se os eixos coodenados foem tansladados no plano xy. Já o sistema do Exemplo 7. é invaiante po uma otação dos eixos coodenados em tono do eixo z, uma vez que a Lagangiana não depende de φ, e, potanto, pemanece inalteada se os eixos coodenados são giados em tono do eixo z. Nesses dois exemplos, a existência de uma popiedade de simetia implica a pesença de uma gandeza consevada. p y = my & TEOREMA DE NOETHER Você agoa vai conhece um dos mais úteis e mais bonitos teoemas na Física. Ele elaciona simetias e leis de consevação. O Teoema de Noethe pode se enunciado assim: Paa cada simetia da Lagangiana existe uma quantidade consevada. Po simetia queemos dize que, se as coodenadas são modificadas po pequenas quantidades, então a Lagangiana não muda em pimeia odem nestas quantidades. As simetias em elação 76 C E D E R J

179 a tansfomações infinitesimais são chamadas simetias contínuas poque, colocando tansfomações abitaiamente pequenas juntas, podemos obte todo um conjunto de tansfomações. Elas dependem, então, de um paâmeto que pode se vaiado continuamente. Os esultados paa coodenadas cíclicas são casos especiais desse teoema. Não vamos demonsta o Teoema de NOETHER aqui. Vamos apenas apesenta exemplos simples de sua aplicação. AULA 7 MÓDULO Exemplo 7.3. Vejamos o que acontece quando uma Lagangiana L( x, x&, t) é invaiante em elação à tansfomação (7.6) Esta tansfomação, paa ε pequeno, é uma tanslação infinitesimal ao longo do eixo x. Se a Lagangiana não muda, devemos te que dl / dε =, ou seja, (7.7) onde, da pimeia linha paa a segunda, usamos a definição de deivada. Chegamos a um esultado já espeado: se a Lagangiana não muda po uma tanslação ao longo de x, então ela não deve depende explicitamente de x, ou seja, a coodenada x é cíclica e, como você já viu, o momento linea m &x é uma constante do movimento. Assim, invaiância da Lagangiana do sistema po uma tanslação infinitesimal implica a consevação do momento linea. x x + ε dl = dε L( x + ε, x&, t) L( x, x&, t) = ε = L x EMMY NOETHER O Teoema de Noethe foi o gande feito de Emmy Noethe, uma mulhe, em 98: elaciona simetias a leis de consevação. Este teoema desempenhou um impotante papel no desenvolvimento da Física no século XX. Menciono o fato de se tata de uma mulhe poque no início do século as mulhees seque tinham o dieito de vota. Mulhees no meio acadêmico, então, eam aíssimas. Noethe ea uma matemática e tabalhava em álgeba abstata. Exemplo 7.4. Considee o sistema massa mola no plano x-y com Lagangiana L = m( x& + y& ) k x + y ( ) (7.8) Esta Lagangiana é invaiante (em pimeia odem em ε) sob a tansfomação x x ε y y y + ε x (7.9) C E D E R J 77

180 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo De onde tiamos esta tansfomação? Olhando a Figua 7., vemos que paa ε pequeno ela coesponde a uma otação infinitesimal. Figua 7.: Rotação dos eixos catesianos de um ângulo δθ no sentido hoáio. As coodenadas do veto no sistema inicial são x e y. No sistema giado, as coodenadas são x e y. De fato, sejam x e y as coodenadas depois da otação infinitesimal δθ. Então, da Figua 7. podemos esceve x = xcosδθ y senδθ x yε y = y cosδθ + xsenδθ y + xε (7.) onde usamos que, paa δθ infinitesimal, cosδθ ; e senδθ ; δθ e fizemos ε = δθ. Agoa, como no exemplo anteio, não muda em pimeia odem que dize que dl = dε = L + + x y L y x L x y L & & y& x& d L = dt x y L & x& & d L y dt y& x L + + y& x& d L dt y& x L = x& y d = ( & dt myx mxy & ) (7.) onde, da teceia paa a quata linha usamos as equações de Eule- Lagange. A invaiância po uma otação infinitesimal implica, potanto, que a quantidade ente paênteses, igual à componente z do momento angula do sistema, é uma constante do movimento. Chegamos a uma 78 C E D E R J

181 outa conclusão impotante: se a Lagangiana do sistema fo invaiante po uma otação infinitesimal, o momento angula é consevado. Ainda como no exemplo anteio, podemos também enconta uma elação com vaiáveis cíclicas. Paa isso, vamos faze uma mudança paa vaiáveis polaes planas AULA 7 MÓDULO x = cosφ y = senφ (7.) A Lagangiana (7.8 ) fica então L = m( & + φ & ) k (7.3) Esta é a Lagangiana coespondente a uma foça cental e φ é uma coodenada cíclica. O momento conjugado consevado é p φ L = m φ φ& = & (7.4) que é o momento angula myx & mxy & nas novas coodenadas. A CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Nós vamos tata a consevação da enegia de um modo um pouquinho difeente de como tatamos a consevação do momento linea e do momento angula. Paa simplifica, vamos considea a Lagangiana de um movimento unidimensional em coodenadas catesianas, L( x, x&, t). A deivada total da Lagangiana em elação ao tempo é dl dt L = x dx dt L + x& dx& dt L + t (7.5) Usando a equação de Eule-Lagange, esta elação pode se escita como dl dt x d L L = & dt x + & x& d x L L = & dt x + & t Vamos agoa defini a função dx& dt L + t (7.6) H = xp & x L (7.7) C E D E R J 79

182 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo onde p x é o momento conjugado a x. Usando a Equação (7.6), encontamos paa a função H: dh dt d dt xp & L x d = x L & dt x& L = t = ( ) dl dt (7.8) A função H, chamada Hamiltoniano, é, potanto, uma gandeza consevada quando a Lagangiana L = T V não depende explicitamente do tempo. Quando, além disso, a enegia potencial V não depende da velocidade (condição suficiente) e T é uma função homogênea de segunda odem na velocidade, H também é a enegia total do sistema. Exemplo 7.5. Seja L = ( / ) mx& V( x). Neste caso, H = x& L x& L = mx& mx& V = mx& + V = E (7.9) Assim, nas situações em que podemos associa o Hamiltoniano à enegia total do sistema, chegamos à impotante conclusão: A consevação da enegia está associada à invaiância em elação a deslocamentos no tempo. AS EQUAÇÕES DE HAMILTON Vamos mosta que o Hamiltoniano (7.7) é uma função das vaiáveis x, p e t. De fato, difeenciando a Equação (7.7) e lembando x que L é uma função das vaiáveis x, &x, e t, temos dh = xdp & + p dx dl x x L xdp p dx x dx L x dx L = & t dt x + & x & & H = xdp & x &p x dx + t dt (7.) 8 C E D E R J

183 onde usamos a Equação (7.8). Note que na segunda linha, o segundo temo é cancelado pelo quato temo devido à definição de momento conjugado (veja a Equação (7.5)). Conhecendo o Hamiltoniano do sistema, podemos esceve dietamente as equações do movimento sem necessidade das equações de Eule-Lagange. Como H é uma função das vaiáveis x, p e t, x AULA 7 MÓDULO H dh x dx H = + p dp x x H + t dt (7.) Então, compaando com a Equação (7.), temos que H x& & H =, px = p x x (7.) Estas são as equações de Hamilton que, assim como as equações de Eule-Lagange, são completamente equivalentes às equações do movimento obtidas com a mecânica Newtoniana. As equações de Hamilton são equações difeenciais de pimeia odem. Exemplo 7.6. O Hamiltoniano de um oscilado hamônico simples é H p x = + kx m (7.3) e as equações de Hamilton são px x& =, & m p kx x = (7.4) A pimeia equação, neste caso, equivale à definição do momento linea e a segunda é a segunda lei de Newton. Exemplo 7.7. Usando o método Hamiltoniano, enconte as equações do movimento paa o pêndulo esféico de massa m e compimento l mostado na Figua 7.. C E D E R J 8

184 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo Figua 7.: Pêndulo esféico de massa m e compimento l. A enegia cinética do pêndulo é T = ml θ& + ml sen θφ& (7.5) Definindo a enegia potencial zeo como sendo no ponto em que o pêndulo está peso no teto, V Os momentos conjugados são = mgl cosθ (7.6) p φ p θ L = ml = θ& θ& L = ml θφ φ& = sen & (7.7) (7.8) Resolvendo estas equações paa θ& e φ&, & pθ θ φ& pφ =, = ml ml sen θ (7.9) e substituindo na Equação (7.5), obtemos paa o Hamiltoniano: H = T + U p p θ φ = + mgl cosθ ml ml sen θ (7.3) As equações do movimento são θ& = H p = p ml p& θ θ φ& H, = p θ φ = φ ml sen θ φ θ = H p cos = mgl sen θ, p& 3 φ = H = θ ml sen θ φ p (7.3) 8 C E D E R J

185 A coodenada φ é cíclica e, potanto, o momento angula p φ em tono do eixo de simetia, é constante. AULA 7 MÓDULO ESPAÇO DE FASE O estado de um sistema epesentado pelo Hamiltoniano H(x, p) é dado num instante qualque t especificando-se os valoes de x(t) e p(t). Dizemos que (x, p) é um ponto epesentativo do estado do sistema no espaço de fase. À medida que o sistema evolui no tempo, o ponto (x, p) desceve uma tajetóia no espaço de fase. A evolução tempoal do sistema é dada pelas equações de Hamilton. Exemplo 7.8. Como exemplo de uma tajetóia no espaço de fase, consideemos o oscilado hamônico simples unidimensional, cujo Hamiltoniano é dado pela Equação (7.3). Neste caso, não pecisamos esolve as equações de Hamilton (7.4) paa enconta a tajetóia. Basta nota que, como a enegia total do oscilado é consevada, o ponto (x, p) desceve uma tajetóia dada po x p ( E / k) + me = (7.3) Esta é a equação de uma elipse, mostada na figua a segui. Figua 7.3: Tajetóia no espaço de fase paa um oscilado hamônico simples de enegia total E. C E D E R J 83

186 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo Cada conjunto de condições iniciais coesponde a uma elipse difeente e as elipses paa as divesas condições iniciais são concênticas. Dadas as condições iniciais, a solução das equações de Hamilton é única. Assim, duas tajetóias no espaço de fase de um mesmo sistema nunca podem se cuza. TEOREMA DE LIOUVILLE Apoveitando a definição do espaço de fase, apesentamos uma quantidade consevada de significado mais elaboado que as apesentadas anteiomente, poém muito impotante, a densidade de pontos epesentativos no espaço de fase, ρ. Considee um sistema fomado po um gupo de patículas idênticas com difeentes posições e momentos iniciais movendo-se, po simplicidade, em uma dimensão ao longo do eixo dos x. Mais especificamente, considee que em t = as coodenadas e os momentos de todas as patículas estão nas faixas x < x < x + x e p < p < p + p. As patículas se movem livemente sem inteagi. O volume no espaço de fase ocupado pelos pontos epesentativos das patículas em t = é V( ) = x p e está epesentado na Figua 7.4, onde também mostamos V( t = ε) e V( t = ε). Figua 7.4: Evolução do volume do espaço de fase de um sistema de patículas lives. As condições iniciais das patículas estão todas dento da áea etangula. À popoção que o tempo passa, a figua se defoma, mas sua áea se mantém constante. 84 C E D E R J

187 É evidente que V( ) = V( ε) = V( ε) dv dt = e logo, (7.33) AULA 7 MÓDULO Este esultado, que mostamos paa patículas lives, é vedadeio paa qualque sistema que obedeça as equações de Hamilton (7.) e é conhecido como Teoema de Liouville. Ele diz que os pontos epesentativos das patículas no espaço de fase se movem como um fluido incompessível. Podemos esceve o Teoema de Liouville em temos da densidade de pontos epesentativos, ρ ( x, p, t). Refeindo-se novamente ao exemplo das patículas lives, o númeo de pontos dento do volume V não muda com o tempo e como V é constante, então Mas dρ = dt dρ ρ dt x x ρ p p ρ = & + & + t ρ H ρ H ρ = + x p p x t (7.34) (7.35) Deste modo, podemos expessa a condição (7.34) como Onde ρ + [ ρ, H] t = ρ H ρ H [ ρ, H] = x p p x (7.36) (7.37) é o paêntesis de Poisson de ρ e H. A Equação (7.36), válida em geal paa sistemas que obedecem às equações de Hamilton, é uma outa foma de apesenta o Teoema de Liouville. VÍNCULOS E FORÇAS DE VÍNCULO Vínculos são limitações às possíveis posições e velocidades das patículas de um sistema mecânico, estingindo a pioi o seu movimento. Aqui, po simplicidade, estaemos consideando apenas os tipos de vínculo que podem se expessos po uma elação funcional C E D E R J 85

188 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo exclusivamente ente as coodenadas usadas paa desceve a configuação do sistema, podendo envolve o tempo de modo explícito. Os casos em que os vínculos são expessos po elações funcionais ente coodenadas e velocidades, emboa inteessantes, são muito complicados e não seão tatados aqui. Exemplo 7.9. Considee uma patícula estita a move-se sobe uma supefície fixa. Seja = ( x, y, z) o veto posição da patícula em elação a um sistema de efeência no qual a supefície pemanece fixa. Então x, y e z não são vaiáveis independentes, mas devem satisfaze f ( ) f ( x, y, z) = (7.38) onde f ( ) = é a equação da supefície. A Equação (7.38) é a condição de vínculo. Se, po exemplo, a supefície fo uma esfea de aio R centada na oigem, f ( x, y, z) = x + y + z R (7.39) Exemplo 7.. Patícula estita a uma supefície móvel ou defomável. Neste caso, a elação ente as coodenadas é f ( x, y, z, t) = (7.4) onde a dependência tempoal explícita indica a mudança da foma ou localização da supefície no tanscuso do tempo. Exemplo 7.. Duas patículas ligadas po uma haste ígida movendo-se no espaço. A condição de vínculo tem a foma ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) l = (7.4) onde l é o compimento fixo da haste. Os vínculos, potanto, eduzem o númeo de gaus de libedade independentes do sistema. Paa mante o movimento estito, os vínculos execem foças. As foças de vínculo, como são chamadas, em geal são complicadas poque elas dependem da pópia tajetóia do sistema que queemos enconta. 86 C E D E R J

189 No método Lagangiano, a escolha das coodenadas é feita de modo que as condições de vínculo são automaticamente satisfeitas. Assim podemos nos concenta no movimento sem nos peocupamos com os vínculos e as foças de vínculo. Esta é outa das vantagens do método Lagangiano. No entanto, em muitos casos páticos impotantes podemos quee as foças de vínculo. Um engenheio cetamente estaá inteessado nas tensões de uma estutua paa sabe, po exemplo, se ela é viável com os mateiais de que dispõe. Vejamos dois exemplos bem simples de cálculo da tensão. Exemplo 7.. Consideemos novamente o pêndulo simples oscilando num plano, (Figua 7.5) AULA 7 MÓDULO θ = l T mg u Figua 7.5 Escolhemos, como de costume, as coodenadas polaes e θ paa desceve o movimento da massa m. A coda é inextensível e, potanto, temos a estição, ou vínculo, = l, o que deixa o sistema somente com um gau de libedade, epesentado po θ. A foça de vínculo é a tensão T no fio. No Exemplo da Aula 6, a condição de vínculo está automaticamente incluída na Lagangiana e obtivemos a equação do movimento sem que fosse necessáio seque menciona as foças. Mas suponha que pecisemos conhece a tensão T no fio paa sabe se ele vai ou não se ompe. Clao que paa um pêndulo simples acha T é um poblema tivial. Basta usa a segunda lei de Newton paa esceve ou mv T mg cosθ = = mlθ l T = ml & θ + mg cosθ & (7.4) (7.43) C E D E R J 87

190 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo Mesmo neste poblema simples, a complicação à qual nos efeimos anteiomente apaece. O valo de T em um instante qualque só pode se encontado depois de esolvida a equação do movimento && θ = (g/ l) senθ. Pecisamos de θ (t) e θ & (t) paa calcula T da Equação Como enconta as foças de vínculo no método Lagangiano? Não vamos apesenta aqui o modo sistemático, mas apenas esolve uns casos simples exploando a idéia física po tás do método geal. Fisicamente, um fio não é inextensível. Ele se defoma, mesmo que impeceptivelmente, e é a eação a essa defomação que dá oigem à tensão. Pense no fio como se fosse a mola do Exemplo 6. da Aula 6, com uma constante de mola muito gande. Assim, vamos viola a condição de vínculo e esceve paa a Lagangiana L = m( & + θ & ) + mg cos θ Vd ( ) (7.44) onde V d () é a enegia potencial de defomação do fio, tal que T = dv ( )/ d (lembe-se de que T é o módulo da foça e o sinal negativo é poque ela aponta na dieção oposta a ˆ ). As equações de Eule-Lagange dão d d dt L L m m mg T = && & θ cosθ & + = d dt Temos ainda a condição de vínculo L L = m && θ + mg senθ = θ& θ = l (7.45) (7.46) (7.47) As Equações (7.45), (7.46) e (7.47) constituem um sistema de tês equações e tês incógnitas,, θ e T. A Equação (7.47) nos diz que & =, && = (7.48) Substituindo a condição (7.47) na Equação (7.46), obtemos a equação do movimento do pêndulo simples && θ = g θ l sen (7.49) 88 C E D E R J

191 Substituindo as Equações (7.47) e (7.48) na (7.45), encontamos a tensão no fio T = ml & θ + mg cosθ (7.5) AULA 7 MÓDULO que é a expessão que tínhamos obtido usando a segunda lei de Newton. R θ Figua 7.6: Patícula de massa m deslizando sobe um hemisféio fixo de aio R. Exemplo 7.3. Um poblema semelhante é o de uma patícula deslizando sobe um hemisféio fixo, sem atito, de aio R. (Figua 7.6). Queemos sabe em que ângulo a patícula vai deixa o hemisféio. Enquanto a patícula estive sobe o hemisféio, teemos = R que é a condição de vínculo. A foça de vínculo é a foça nomal que tem a dieção de e aponta no sentido positivo de. A patícula deixaá a supefície no momento em que a foça nomal fo igual a zeo. A Lagangiana é (7.5) L = m( & + θ & ) mg cos θ Vd ( ) onde tomamos o zeo da enegia potencial na base do hemisféio. As equações do movimento são m && m & θ + mg cosθ N = m && θ mg sen θ = (7.5) (7.53) onde N = dv d. A essas equações juntamos a condição de vínculo d = R (7.54) C E D E R J 89

192 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo Pocedendo como no exemplo anteio, substituímos a (7.54) na (7.53) e encontamos && θ = g θ (7.55) R sen Note que a Equação (7.55) tem um sinal difeente da (7.49) e, potanto, não tem soluções peiódicas em tono de θ =, como ea espeado já que θ = é um ponto de equilíbio instável. A condição de vínculo também nos diz que && = e a (7.5) dá então paa a nomal N = mg cosθ mrθ & (7.56) Agoa que temos a expessão da foça de vínculo, podemos dize onde a patícula deixaá o plano. Como já obsevamos, isso ocoe quando N =. Chamando o ângulo coespondente de θ c, temos Rθ& = g cosθ Po outo lado, a consevação da enegia nos dá, m( R & c mgr mgr c θ ) = cosθ ou Rθ = g g cosθ c c c c (7.57) (7.58) Substituindo a (7.58) na (7.57), achamos cosθ c = 3 (7.59) A patícula deixa a supefície em θ c = 48,. 9 C E D E R J

193 R E S U M O O Teoema de Noethe diz que paa cada simetia da Lagangiana existe uma quantidade consevada, ou seja, uma constante do movimento. A invaiância po tanslação está associada à consevação do momento linea. Já a invaiância po otação implica a consevação do momento angula. A consevação da enegia está associada à invaiância em elação a deslocamentos no tempo. Uma coodenada é dita cíclica quando ela não apaece explicitamente na Lagangiana. O momento conjugado coespondente a uma vaiável cíclica é uma constante do movimento. Paa muitos sistemas físicos de inteesse, a enegia total é uma quantidade consevada e é igual ao Hamiltoniano. O Hamiltoniano, que pode se constuído a pati da Lagangiana, é uma função das coodenadas e dos momentos conjugados a elas associados. Dado o Hamiltoniano de um sistema, seu movimento é descito pelas equações de Hamilton. O espaço de fase de um sistema com Hamiltoniano H(x, p) é o espaço catesiano cujos pontos são epesentados pelas duplas (x, p). Um ponto no espaço de fase define o estado do sistema num dado instante. A especificação do estado do sistema num instante t detemina uma única solução paa as equações de Hamilton. Assim, po cada ponto no espaço de fase passa uma única tajetóia, e duas tajetóias distintas nunca se tocam. Vínculos são limitações às possíveis posições e velocidades das patículas de um sistema, estingindo o seu movimento. Vínculos execem foças, as foças de vínculo, paa mante o movimento estito. Um modo de calcula essas foças consiste em viola a condição de vínculo, pocedendo como se o sistema tivesse o gau de libedade supimido pelo vínculo, e aplica a condição de vínculo somente depois de obtidas as equações do movimento. AULA 7 MÓDULO C E D E R J 9

194 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo PROBLEMAS 7.. Considee o poblema da máquina de Atwood. y y g m m Figua 7.7: A máquina de Atwood. Este sistema tem um vínculo, epesentando a condição de o fio se inextensível, y + y l = (7.6) onde l é uma constante. Enconte a tensão no fio. z 7.. Patícula numa hélice. Uma patícula de massa m move-se sob a influência da gavidade ao longo de uma hélice z = kφ, ρ = constante, onde k é uma constante e o eixo z aponta veticalmente paa cima. (a) Esceva a Lagangiana do sistema (b) Calcule o momento conjugado p z. (c) Calcule o Hamiltoniano em temos das vaiáveis z e p z. (d) Deive as equações do movimento de Hamilton do sistema. (e) Resolva as equações do movimento de Hamilton. p z y φ Figua 7.8: Coodenadas cilíndicas (ρ, φ, z). x 9 C E D E R J

195 7.3. Uma conta de massa m desliza ao longo de uma haste etilínea que gia com velocidade angula ω constante num plano hoizontal. AULA 7 MÓDULO y ω m θ x Figua 7.9: Conta deslizando ao longo de uma haste hoizontal giante. (a) Esceva a Lagangiana da patícula e desceva seu movimento. (b) Obtenha o Hamiltoniano. (c) Moste que a enegia total não se conseva, mas que o Hamiltoniano é uma constante do movimento Um pêndulo plano de compimento l e massa m está conectado a um bloco de massa M que pode se move numa mesa hoizontal sem atito. y x θ M x g l m Figua 7.: Pêndulo com supote móvel. C E D E R J 93

196 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo (a) Expesse as coodenadas da massa m em temos das coodenadas X e θ. (b) Constua a Lagangiana desse sistema. (c) Usando as equações de Eule-Lagange, deduza as equações do movimento paa o sistema acoplado pêndulo mais bloco. (d) Enconte as quantidades consevadas. (e) Enconte a feqüência ω de pequenas oscilações do pêndulo Uma patícula de massa m tem seu movimento descito pela Lagangiana ω L = m( x& + y& + z& ) + l z (7.6) onde ω é uma feqüência angula constante e lz é a componente z do momento angula l = m( v) = m( xy& yx& ) z z (7.6) (a) Qual das coodenadas é cíclica e qual a gandeza associada consevada? (b) Enconte as equações do movimento. Esceva estas equações em temos das vaiáveis (x + iy) e z e ache a solução. (c) A enegia da patícula é consevada? Esceva a enegia em temos dos momentos canônicos, p x, p y, p z e moste que a patícula tem somente enegia cinética. (d) Que situação física é descita pela Lagangiana (7.6)? 7.6. Um pêndulo de massa m tem seu compimento l encutado a uma taxa constante α, ou seja, l( t) = l α t. (a) Esceva a Lagangiana, o Hamiltoniano e a enegia total do pêndulo. (b) Moste que nem o Hamiltoniano nem a enegia total são constantes do movimento. SOLUÇÕES 7.. Paa acha a tensão no fio, o tuque, como vimos, é viola a condição de vínculo. Suponha que o fio não é inextensível e associe a ele uma enegia potencial de defomação. A Lagangiana é, então, 94 C E D E R J

197 L = m y& + m gy + m y& m gy V y y (7.63) + d ( ) As equações do movimento seguem das equações de Eule- Lagange e são m y&& = m g T m y&& = m g T (7.64) AULA 7 MÓDULO onde fizemos T = V y = V y às equações (7.64) a condição de vínculo d d y + y l =. Temos agoa que acescenta (7.65) vínculo, Resta esolve as Equações (7.64) e (7.65). Da condição de y&& = y&&. (7.66) Subtaindo a segunda equação (7.64) da pimeia e usando o esultado (7.66), obtemos m m ( m m ) y ( m m ) g y m m g + && = && = + (7.67) Levando esse esultado paa a pimeia Equação (7.64), podemos, finalmente, tia o valo de T: m m m m m g m g T T m m m m g = = + + (7.68) 7.. (a) É impotante, antes de tudo, que você faça um esboço da tajetóia da patícula, e veifique que a equação z = kφ, ρ = constante epesenta uma hélice. Da Figua 7.8, temos que z z& z x = ρ senφ = ρ sen x& = ρ cos k k k z z& z y = ρ cosφ = ρ cos y& = ρ sen k k k z = z (7.69) A enegia cinética da patícula é então ρ T = m( x& + y& + z& ) = m + z& k (7.7) C E D E R J 95

198 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo e a enegia potencial, V = mgz (7.7) Potanto, a Lagangiana da patícula é ρ L = T V = m + z& mgz k (7.7) (b) O momento conjugado p z é dado po L p = z mz z = + ρ & & k (7.73) (c) O Hamiltoniano é ou, ρ ρ H = zp & z L = m + z& m + z& + mgz k k pz H = + mgz m( + ρ k ) (7.74) (7.75) (d) Equações do movimento de Hamilton: H &z = p z pz = m( + ρ k ) (7.76) &p z = H z = mg (7.77) (e) Deivando a Equação (7.76) em elação ao tempo e substituindo o valo de &p z da (7.77), obtemos p& z g && z = = m( + ρ k ) ( + ρ k ) (7.78) Esta é a equação de um movimento unifomemente desaceleado cuja solução é z ( t ) g = z + z& t ( + k ) t ρ (7.79) 7.3. (a) Seja xy o plano hoizontal que contém a haste (ve Figua 7.9). O sistema possui somente um gau de libedade, o movimento adial, descito pela coodenada. A coodenada θ é foçada a obedece à estição θ = ωt (7.8) 96 C E D E R J

199 Então, x = cosθ = cosωt x& = & cosωt ω senωt y = senθ = senωt y& = & sen ωt + ω cosωt (7.8) AULA 7 MÓDULO e a enegia cinética fica T = m( & + ω ) (7.8) Adotando o nível zeo do potencial no plano do movimento, a Lagangiana se eduz à enegia cinética L = T V = m( & + ω ) (7.83) Lagange: A equação do movimento é obtida a pati da equação de Eule- d dt (7.84) A massa m tende a afasta-se do eixo de otação em conseqüência da foça centífuga. L L d = dt m m & & = && = ( ) ω ω (b) O momento conjugado à coodenada é Assim, ou seja, L p = & = m & H p L p p = & = m m m ω p H = mω m (7.85) (7.86) (7.87) A enegia total E é puamente cinética, já que a enegia potencial é igual a zeo. Podemos esceve a enegia total em temos do momento conjugado (7.85), como p E = T = + m m (7.88) (c) A enegia total não se conseva. Você pode mosta isso calculando explicitamente de/dt ou notando que o sistema não é isolado poque é necessáio um agente exteno paa mante a baa giando com velocidade angula constante. O Hamiltoniano neste poblema não é igual à enegia total do sistema. H é uma constante do movimento, já que não depende explicitamente do tempo ( H t = ). (Também é evidente, ω C E D E R J 97

200 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo compaando-se as expessões de H e E que se um é constante, o outo não pode se constante.) 7.4. (a) Designando as coodenadas da massa m po (x m, y m ), podemos esceve (b) Das Equações (7.89) temos x = X + l senθ y m m = l cosθ (7.89) x& & & m = X + lθ cosθ y& = lθ& senθ m (7.9) Assim, a enegia cinética do sistema fica T = MX& + m( x& m + y& m) = MX& + m( X& + l cos θx& θ& + l θ& ) (7.9) do sistema é Tomando o zeo da enegia potencial em y =, a enegia potencial V = mgl cosθ (7.9) A Lagangiana do sistema é então, L = ( m + M) X& + ml cosθx& θ& + ml θ& + mgl cosθ (7.93) (c) As equações do movimento são obtidas a pati das equações de Eule-Lagange. Paa θ nós temos d dt L L d = ml X& ( cos θ + ml θ& ) = ml senθ X& θ& mgl senθ θ& θ dt ou, ml senθ X & θ & ml θx && + cos + ml && θ = ml senθ X & θ & mgl senθ (7.94) (7.95) o que dá, finalmente, && g θ + senθ + cosθ X&& = l l (7.96) 98 C E D E R J

201 Paa X, temos d dt (7.97) Esta equação diz que o momento conjugado p = L / X X& é uma constante do movimento L L d = [( m + M) X& + ml cos θθ& ] = X& X dt p = ( m + X M ) X& + ml cos θθ & = constante (7.98) AULA 7 MÓDULO O valo de p x é deteminado a pati das condições iniciais. Tomando a deivada em elação ao tempo da Equação (7.98), podemos obte && ml X & = ( senθθ cos θθ&& ) m + M (7.99) Esta equação pode se usada paa elimina X&& da Equação (7.96), deixando como esultado uma única equação difeencial não linea de segunda odem paa θ. (d) Já vimos que p x é uma quantidade consevada. Você pode ve da Lagangiana que a coodenada X é cíclica. O Hamiltoniano também é uma quantidade consevada, uma vez que a Lagangiana não depende explicitamente do tempo. Além disso, o Hamiltoniano é a enegia total do sistema, como podemos veifica explicitamente: H = Xp & X + θ& p θ L = X& m + M X& + ml & + & ml X& [( ) cos θθ ] θ( cos θ + ml θ& ) L (7.) = ( m + M) X& + ml & θ + ml cosθθ& X& mgl cosθ = T + V = E (e) Quando as oscilações são de pequenas amplitudes, é válido faze cos θ e sen θ. As Equações (7.96) e (7.99) ficam e && g θ + θ + && = l l X && ml X && θ m + M (7.) (7.) onde, nesta última, o temo θθ & foi despezado po se de odem supeio paa pequenas amplitudes. Substituindo o esultado (7.) na Equação (7.), obtemos && m + M g θ + θ = (7.3) M l C E D E R J 99

202 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo de onde concluímos que a feqüência de pequenas oscilações é ω = m + M g M l (7.4) Note que, quando M >> m, a feqüência ω se eduz à feqüência do pêndulo não acoplado. m 7.5. (a) A Lagangiana é L = m x + y + ω ( & & z& ) + ( xy & yx &). Vemos que z é uma coodenada cíclica cujo momento conjugado consevado é p = L z (7.5) z& = mz & que é o momento linea na dieção z. (b) As equações do movimento, dadas a pati das equações de Eule-Lagange, são: d dt d dt L L d mx m m y y x y x x = dt ω = ω & & & && = ω & L L d m m my x x y x y y = dt + ω = ω & & & && = ω & d dt L z& L z d dt mz & && z = ( ) = = (7.6) (7.7) (7.8) Definindo a vaiável η = x + iy, concluímos, usando as duas pimeias equações, que η satisfaz && η = iωη& (7.9) cuja solução consistente com as Equações (7.6) e (7.7) é iωt η = Ae + B (7.) (c) O Hamiltoniano é dado po mω H = xp & x + yp & y + zp & z m( x& + y& + z& ) ( xy & yx &) (7.) = x& mx& m ω y + y& my& + m ω + & ( &) x z mz m x & + y & + z & mω ( ) ( xy & y x& ) = m( x& + y& + z& ) = T C E D E R J

203 que, como vemos, consiste somente de enegia cinética. Substituindo os valoes dos momentos conjugados, obtemos x y z H m p mω y m p m = + x + ω + m p (7.) AULA 7 MÓDULO Não depende explicitamente do tempo. É consevado. (d) Tem a foma da enegia cinética de uma patícula de caga q na pesença de um campo com potencial veto A mq y A m q x x = ω, y = ω, A z =. Isso coesponde a um campo magnético Ay B = x A y x mω = q k ˆ (7.3) onde ˆk é o veto unitáio na dieção z θ l x g y m Figua 7.: Escolha do sistema de eixos de coodenadas paa o pêndulo do poblema 7.6. (a) Da Figua 7., temos que x = l( t)cosθ x& = α cos θ θ& l( t) senθ y = l( t) senθ y& = α senθ + θ& l( t)cosθ (7.4) onde estamos escevendo l(t) paa lemba a dependência explícita no tempo. Segue que a enegia cinética do pêndulo é T = m( x& + y& ) = mα + ml ( t) θ& (7.5) C E D E R J

204 Mecânica O método Lagangiano (II): simetias e leis de consevação, equações de Hamilton, Teoema de Liouville e foças de vínculo A enegia potencial é V = mgl( t)cosθ (7.6) A Lagangiana é, potanto, L = mα + ml ( t) θ& + mgl( t)cosθ (7.7) Note que, devido à pesença explícita do tempo, L / t. O momento conjugado à coodenada θ é p θ L = = ml t θ& θ& ( ) (7.8) e o Hamiltoniano é H = θ& p L θ = ml t & ( ) θ mα mgl( t)cosθ pθ = mα mgl( t)cosθ ml ( t) (7.9) e a enegia, E = T + V = mα + ml ( t) θ& mgl( t)cosθ (7.) No Poblema 7.3 e neste poblema, o Hamiltoniano não é igual à enegia total. Nos dois poblemas, há uma pesença explícita do tempo nas elações ente as coodenadas catesianas e a coodenada (ou coodenadas) usada paa desceve o sistema, Equações (7.8) e (7.4). Sempe que isso acontece, teemos H E. (b) O sistema não está isolado (um agente exteno está encutando o fio); logo, a enegia total E não é uma constante do movimento. H também não é uma quantidade consevada, poque H / t. C E D E R J

205 O movimento sob a ação de uma foça cental A U L A 8 Meta da aula Apesenta o movimento de duas patículas que inteagem ente si atavés de uma foça cental. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: mosta que o movimento de duas patículas, que inteagem ente si atavés de uma foça cental, se eduz ao poblema de uma única patícula movendo-se em uma dimensão sob a ação de um potencial modificado; dado o potencial efetivo, desceve qualitativamente o tipo de óbita paa os possíveis valoes da enegia total da patícula; detemina as óbitas quando a foça cental é a foça gavitacional; dadas as condições iniciais, sabe detemina os paâmetos da óbita coespondente; entende as elações ente as leis de Keple e a lei da gavitação.

206 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental INTRODUÇÃO Esta aula é inteiamente dedicada às chamadas foças centais. Uma foça cental é, po definição, uma foça que aponta na dieção adial e cujo módulo depende somente da distância à fonte. A foça gavitacional e a foça eletostática são foças centais. A foça ente duas patículas, ligadas uma à outa po uma mola, também é uma foça cental. As foças centais estão, potanto, pesentes em toda pate. É supeendente que um poblema tão impotante paa nós, como o de duas patículas inteagindo po meio de uma foça cental, possa se esolvido, como você veá, de uma foma tão simples. A simplificação se dá poque podemos eduzi esse poblema essencialmente a um poblema de uma única patícula movendo-se em uma dimensão. A ênfase desta aula seá dada aos poblemas elacionados com a foça gavitacional, que é sempe atativa. Destaca-se o poblema do movimento dos planetas no sistema sola e que vamos chamá-lo de o poblema de Keple. Ele foi esolvido, como você sabe, po Newton. Você veá duas abodagens: (i) conhecido o movimento dos planetas, cujas caacteísticas são dadas pelas leis de Keple, detemina a lei de foça; (ii) conhecida a lei de foça, enconta a óbita. É evidente que o cálculo da óbita de um planeta não é um simples poblema de dois copos. Um planeta é ataído pelo Sol e também po todos os outos planetas. O efeito dos outos planetas intoduz pequenos desvios das leis de Keple que, apesa de mensuáveis, não seão consideados aqui. Também são impotantes, nos dias de hoje, os poblemas de cálculos elacionados com tansfeências de óbita paa colocação de satélites de comunicação em óbitas geoestacionáias, ou paa envia naves paa outos planetas. Daemos exemplos simples numa póxima aula onde também abodaemos o poblema de foça cental, esolvido po Ruthefod, do cálculo da seção de choque clássica de espalhamento de uma patícula caegada po outa também caegada. O espalhamento envolve as óbitas hipebólicas do movimento. Você veá como este cálculo foi de fundamental impotância na descobeta do núcleo atômico. O PROBLEMA DE DOIS CORPOS: REDUÇÃO A UM PROBLEMA DE UM CORPO Considee um sistema de duas patículas de massas m e m, no qual o potencial de inteação ente elas, V, é uma função de (Figua 8.). 4 C E D E R J

207 AULA 8 MÓDULO Figua 8.: O veto é o veto posição da patícula de massa m em elação à patícula de massa m. Esse sistema tem seis gaus de libedade que podemos toma como sendo as tês componentes do veto posição do cento de massa R m m + = m + m (8.) e as tês componentes do veto posição elativa = (8.) A posição de cada patícula em temos de R e é dada po m = R + m + m (8.3) m = R m + m Em temos de R e, a enegia cinética do sistema fica onde T = ( m + m) R & + T (8.4) T = m & + m & = µ & (8.5) é a enegia cinética das patículas em um efeencial fixo no cento de massa e µ é a massa eduzida do sistema m m µ = m + m (8.6) C E D E R J 5

208 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental As coodenadas das patículas neste efeencial são m = m + m m = m + m (8.7) A Lagangiana do sistema é, então, L = ( m + m) R & & + µ V( ) (8.8) Vemos que as tês componentes de R são coodenadas cíclicas e, potanto, o cento de massa ou está fixo, ou está em movimento etilíneo unifome. A equação do movimento envolveá somente a coodenada elativa e é exatamente como se um cento de foça estivesse localizado no cento de massa, com uma patícula adicional de massa µ na posição em elação ao cento de massa. O movimento das duas patículas em tono do seu cento de massa sempe pode se eduzido ao poblema equivalente de uma única patícula. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO E O POTENCIAL EFETIVO Uma foça cental é, como já definimos antes, uma foça cujo potencial depende somente da distância à fonte, ou seja, V = V(), onde =. Assim, F = dv V = d ˆ (8.9) paa as foças gavitacional e eletostática, V( ) /. Com esta definição, podemos chega imediatamente a duas conclusões impotantes: (i) Se uma patícula está sujeita somente a uma foça cental, seu momento angula l = p é consevado. Já mostamos no fomalismo Lagangeano que, se V = V(), então a vaiável angula é cíclica e a quantidade consevada é o momento angula. Vamos pova isso em temos da foça. 6 C E D E R J

209 Pova: poque a foça é popocional a paalelos é zeo; (8.) e o poduto vetoial de dois vetoes (ii) se uma patícula está sujeita somente a uma foça cental, seu movimento se dá em um plano. dl d dt dt p = ( ) d dt p d dt p = + = v mv + F = Pova: seja P definido como sendo o plano otogonal ao veto n = v num instante t. Mas sabemos que o veto v = ( p) / m não muda com o tempo. Sendo assim, n paa v = todo t. Como é otogonal a v, vemos que é otogonal a paa todo t. Potanto deve esta no plano P. (O plano P não é bem definido se v =, ou =, ou se fo paalelo a, ou seja, quando l =. v Poém, nesses casos, é fácil obseva que o movimento é sempe adial, ainda mais estitivo que um movimento num plano. Lembe-se de que já esolvemos na Aula o movimento unidimensional de um copo em queda). Tomando o eixo z na dieção de l, o movimento ocoe no plano xy. Em coodenadas planas polaes, a Lagangiana deste movimento é n AULA 8 MÓDULO L = µ & + φ& ( ) (8.) de Lagange As equações do movimento seguem imediatamente das equações µ && = µ φ& dv d (8.) d dt ( µ φ& ) = (8.3) A quantidade constante l = µ φ& é o módulo do momento angula da patícula. Em temos dessa quantidade, a Equação (8.) fica l µ && = µ 3 dv d d l = + V( ) d µ (8.4) C E D E R J 7

210 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental ou dvef ( ) µ && = d (8.5) Essa equação é muito inteessante. Ela envolve somente a vaiável e tem a mesma foma que a equação de uma patícula que se move em uma dimensão (otulada pela coodenada ) sob a influência do potencial efetivo V ( ) ef dado po V ( ) = l (8.6) + V ( ) ef µ Nosso poblema de uma patícula movendo-se sob a ação de uma foça cental foi eduzido a um simples poblema unidimensional com um potencial modificado. E a outa vaiável φ? Resolvendo a Equação (8.4), achamos (t) e, então, usamos & φ = l / µ paa esolve paa φ(t). A LEI DAS ÁREAS IGUAIS Considee a áea sombeada S na Figua 8. vaida pelo veto num cuto intevalo de tempo t. Figua 8.: Áea vaida pelo aio veto da patícula quando essa se desloca do ponto P paa o ponto Q. Ela é dada apoximadamente pela áea do tiângulo POQ: S = ( + ) sen φ (8.7) A taxa na qual a áea está sendo vaida, instantaneamente, é o limite de S / t quando t. Ao nos apoximamos desse limite, /, e sen φ φ, chegamos ao esultado ds dt = d φ dt (8.8) 8 C E D E R J

211 então que Da consevação do momento angula, Equação (8.3), temos (qualque foça cental) ds dt = d φ constante dt = (8.9) AULA 8 MÓDULO Esse esultado foi pimeio descobeto po Keple na sua análise dos movimentos planetáios. Se o movimento da patícula fo peiódico, então, integando sobe um peíodo completo τ do movimento, temos paa a áea da óbita S l = τ µ (8.) EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA ÓRBITA A solução das equações do movimento pemite detemina as coodenadas da patícula em função do tempo, isto é, (t) e φ(t). Muito feqüentemente, o que nós estamos ealmente pocuando é a equação da óbita (φ). Paa isso, devemos muda de deivadas em t paa deivadas em φ. Da ega da cadeia, temos que d dt dφ d l d = = dt dφ µ dφ (8.) onde na segunda igualdade usamos que & φ = l / µ. A equação que queemos obte seá mais fácil de esolve se também fizemos uma toca de vaiável independente de paa u =. Fazendo isso, d dt ( ) = l d l d l du = = µ dφ µ dφ µ dφ (8.) A segunda deivada é dada po d d d l d l du l u d u = = dt dt dt µ dφ µ dφ = µ dφ (8.3) Usando a notação f() = dv()/d, eescevemos a Equação (8.4) como l f ( ) && = + (8.4) 3 µ µ C E D E R J 9

212 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Finalmente, substituindo a Expessão (8.3) paa a deivada segunda na Equação (8.4), dividindo tudo po u² e, e-aanjando, obtemos d u µ + u = f (8.5) dφ u l u A (8.5) é uma equação difeencial que dá a óbita se a foça f fo conhecida. Po outo lado, se a óbita fo conhecida, isto é, se conhece-mos em função de φ, podemos usa a Equação (8.5) paa detemina a foça. Emboa aqui nosso poblema pincipal seja detemina a óbita, vamos considea um exemplo de uma óbita conhecida muito inteessante e descobi que foça é esponsável po ela. (Veja também mais adiante o Poblema 8. no qual pedimos que seja deteminada a lei de foça da gavitação a pati das leis de Keple). Exemplo 8.. Neste exemplo, conhecemos a óbita e queemos enconta a lei de foça. A patícula move-se numa óbita espial logaítmica, Figua 8.3, dada po onde C e k são constantes. = Ce k φ (8.6) Pocue infoma-se sobe esta espial. A históia dela é muito inteessante e você vai descobi que ela apaece com muita feqüência na natueza: em galáxias, tonados, giassóis, caamujos, aanjo das pétalas de uma osa, no embião humano, paa cita alguns exemplos. Ela foi descobeta po Descates, estudada po Toicelli e, pincipalmente, po Jacob Benoulli que ficou tão impessionado com suas popiedades que pediu que uma espial logaítmica fosse desenhada na lápide de seu túmulo. Vamos usa a fómula da óbita, Equação (8.6), paa detemina f(). Temos que k du d d e = dφ dφ = dφ C φ kφ ke = C (8.7) kφ d u d k e = dφ dφ = C = k (8.8) C E D E R J

213 Substituindo a Equação (8.8) na (8.5), encontamos paa f() l k l f ( ) = + = k + 3 µ µ ( ) (8.9) AULA 8 MÓDULO A foça que gea uma óbita na foma de uma espial logaítmica é, potanto, uma foça atativa que vaia com o inveso do cubo da distância. Figua 8.3: A espial logaítmica. O PROBLEMA DE KEPLER Daqui em diante, e até o final desta aula, vamos supo que a foça seja atativa e vaie com o inveso do quadado da distância à fonte. Queemos enconta a óbita. Histoicamente, esse foi o pimeio poblema paa o qual a mecânica Newtoniana foi aplicada, pelo pópio Newton, com o objetivo de explica o movimento dos planetas em tono do Sol e dos satélites em tono dos planetas. A esposta do poblema já ea conhecida: as tês leis de Keple. Que a foça gavitacional deveia vaia com o inveso do quadado da distância também já havia sido poposto tinta anos antes de Newton, po Wen e po Hooke. O gande poblema, que estamos chamando de poblema de Keple, ea mosta que essa lei de foça explicava as leis de Keple. Paa isso, Newton teve que fomula as leis da mecânica e inventa o cálculo difeencial e integal. Como se não bastasse, Newton teve ainda a pecepção genial de que a mesma foça esponsável pelo movimento dos copos celestes é esponsável pela queda dos copos aqui na Tea, ou seja, que a lei da gavitação é univesal. C E D E R J

214 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Quando a foça cental vaia com o inveso do quadado da distância, o lado dieito da Equação (8.5) é constante e a equação pode se esolvida facilmente. Fazendo f() = k/², onde (veja na Aula 5, a Equação 5.8) k = GMm é uma constante positiva, a Equação (8.5) toma a seguinte foma: d u µ k + u = dφ l (8.3) A solução dessa equação é igual à solução geal da equação homogênea mais uma solução paticula da não homogênea. A equação homogênea (fazendo o lado dieito igual a zeo) é a equação do oscilado hamônico simples e a sua solução geal é u = h A cos( φ φ ) (8.3) onde A e φ são constantes. Po inspeção, uma solução paticula da Equação (8.3) é k u = µ p l Então, a solução geal da Equação (8.3) é u = u + u, ou seja, h p (8.3) µ k = u = + Acos( φ φ ) l (8.33) Esta é a equação de uma seção cônica (cículo, elipse, paábola ou hipébole) com foco em =, como vamos mosta a segui. A constante φ' detemina a oientação da óbita no plano. A constante A, que pode se tomada como positiva poque φ' é abitáio, detemina os pontos de etono do movimento, que são dados po (fazendo cos( φ φ ) = ±) µ k µ k = + A, = A, l l (8.34) Os dois pontos existem e são finitos se A < µ k / l (que coesponde a óbitas ciculaes ou elípticas, como mostaemos a segui). Se A µ k / l (o que coesponde a óbitas paabólicas ou hipebólicas), o lado dieito da Equação (8.33) pode tona-se zeo (quando cos( φ φ ) = µ k / Al ), e =. Os pontos de etono são soluções da equação C E D E R J

215 k V ( l ef ) = + = E µ (8.35) AULA 8 MÓDULO e, logo, µ k k E = + l µ l + µ l µ k µ k = l l + µe l / / (8.36) Compaando as Equações (8.34) e (8.36), vemos que o valo de A em temos da enegia e do momento angula é dado po / / k E k El A = µ l + µ µ = + l l µ k (8.37) Substituindo este esultado na Equação (8.33), podemos escevê-la como µ k = u = ( + ε cos( φ φ )) (8.38) l po O paâmeto ε é chamado de excenticidade da óbita e é dado ε = + El µ k / (8.39) Em temos de ε, os pontos de etono ficam = = min = = max l µ k + ε ( ) l µ k ε ( ) (8.4) Como obsevamos anteiomente, tem um valo finito quando A < µ k / l, ou seja, ε <, que, da Equação (8.39), ocoe quando E <. Em paticula, quando E = µ k / l, ε < e =. Paa enegias positivas, ε e =. C E D E R J 3

216 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental AS ÓRBITAS Vamos agoa mosta que a Equação (8.38), ou sua equivalente (8.33), de fato desceve uma seção cônica. É conveniente, aqui, tabalha com coodenadas catesianas e vamos faze φ =. Definindo α = l / µ k e usando cos φ = x /, a Equação (8.38) pode se escita na foma α = + ε x Resolvendo paa e tomando o quadado, obtemos (8.4) x + y = α αε x + ε x (8.4) Vamos examina os váios casos paa ε. Cículo (ε = ). Neste caso a Equação (8.4) se tona x + y = α (8.43) que é a equação de um cículo de aio α com cento na oigem. A Figua 8.4 mosta a óbita e, ao lado, um gáfico do potencial efetivo com a enegia total E da patícula indicada. Figua 8.4: Óbita cicula de aio α com cento na oigem e, ao lado, gáfico do potencial efetivo mostando a enegia total E da patícula nesta óbita. 4 C E D E R J

217 Elipse ( < ε < ) Nesse caso, a Equação (8.4) pode se eescita como AULA 8 MÓDULO onde ( x + c) y + = a b α α a =, b = ε ε (8.44), c = ε a (8.45) Essa é a equação de uma elipse com o cento localizado em (- c, ). O semi-eixo maio da elipse é a. O semi-eixo meno é b, e c é a distância focal. Potanto, um foco está localizado na oigem, como mostado na Figua 8.5. Figua 8.5: Óbita elíptica com um dos focos na oigem. No gáfico do potencial efetivo, indicamos um valo típico da enegia total E que coesponde a esse tipo de óbita. Paábola (ε = ). Fazendo na Equação (8.4), obtemos α y = α αε x = α ( x ) (8.46) Esta é a equação de uma paábola com vétice em (α/, ) e distância focal α/. Ve Figua 8.6. Note na Equação (8.39) que, neste caso, E =. A velocidade da patícula tende a zeo quando, ou seja, uma patícula inicialmente em epouso, quando ataída po um cento de foça gavitacional, vai desceve uma paábola. C E D E R J 5

218 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Figua 8.6: Óbita paabólica. Uma patícula nesse tipo de óbita tem enegia total igual a zeo. Hipébole ( ε > ). Quando (ε >, a Equação (8.39) mosta que devemos te E > e a óbita não pode se fechada, como é clao pela existência de um único ponto de etono. Figua 8.7: Óbita hipebólica. Note, do gáfico do potencial efetivo, que paa a enegia total indicada, só há um ponto de etono. A equação da óbita pode se colocada na foma ( x c) a y b = (8.47) onde a =, b =, c = ε a ε ε (8.48) Essa é a equação de uma hipébole cujas assíntotas se cuzam no ponto (c, ), chamado cento da hipébole, como pode se visto na Figua 8.7. A Equação (8.47) de fato desceve uma hipébole completa, isto é, ela também desceve um amo da hipébole que se abe paa a dieita. Contudo, esse amo da dieita foi intoduzido na opeação de eleva ao quadado que levou da Equação (8.4) paa a Equação (8.4). 6 C E D E R J

219 AS LEIS DE KEPLER Johannes Keple chegou às suas tês leis sobe o movimento dos planetas atavés de dados obsevacionais de Tycho Bahe, seu antecesso como astônomo do impeado em Paga, e muita obstinação. Bahe havia acumulado dados muito pecisos sobe o movimento dos planetas. As leis de Keple são as seguintes: AULA 8 MÓDULO Pimeia lei: Os planetas se movem em elipses tendo o Sol como um dos focos. Ele chegou a essa lei que apesentava poblemas paa se explicada pelas teoias da época estudando, po seis anos, a óbita de Mate. Esta, po sinal, é a óbita mais elíptica dos planetas paa os quais Bahe tinha uma gande quantidade de dados. A pimeia lei segue, como nós vimos, do fato de a foça se invesamente popocional ao quadado da distância. Segunda lei: A linha ligando o Sol a um dado planeta vae áeas iguais em tempos iguais. Essa lei é uma conseqüência da consevação do momento angula, como mostamos na Equação (8.9). Ela diz que a foça atuando num planeta é cental. Teceia lei: O quadado do peíodo de evolução de um planeta é popocional ao cubo de sua distância média ao Sol. Repesentando po τ o peíodo de um planeta, temos 4π 3 τ = a GM (8.49) C E D E R J 7

220 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental A distância média a que se efee esta lei é o valo médio das distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol, que é igual ao semi-eixo maio da elipse: max + min a( + ε) + a( ε) = = a (8.5) Demonstação: no caso de uma óbita elíptica, podemos acha o peíodo do movimento a pati da Equação (8.) m m τ = π ab = π a ( ε ) / l l (8.5) onde usamos que a áea de uma elipse é igual a πab e, da (8.45), que b = a( ) / ε. Agoa, paa uma óbita elíptica, a = GMm / E (veja o Poblema 8.). Com esse esultado e a Equação (8.39), temos que / E l ( ε ) = m GMm ( ) (8.5) Substituindo a (8.5) na (8.5) e elevando ambos os lados ao quadado, obtemos a Equação (8.49). Note que o fato de popocionalidade é independente da massa do planeta e que isso só acontece poque a foça gavitacional é popocional à massa do planeta. As leis de Keple, como você vê, são uma eceita pecisa paa constui a lei de foça da gavitação: a foça vaia com o inveso do quadado da distância, é cental e é popocional à massa do planeta. / l = m agm ( ) / R E S U M O Se a enegia potencial V de inteação ente duas patículas fo uma função somente do veto posição elativa, então o poblema de enconta o movimento dessas patículas pode se eduzido ao poblema deenconta o movimento de uma única patícula, de massa igual à massa eduzida do sistema, com veto posição em elação a um cento de foça fixo. Se, além disso, a enegia potencial fo uma função somente de, ou seja, paa uma foça cental, então as coisas tonam-se ainda mais simples: tudo que temos a faze é esolve um poblema unidimensional num potencial modificado, o potencial efetivo. 8 C E D E R J

221 A equação da óbita de uma patícula sob a ação de uma foça cental é dada po d u µ + u = dφ u l f u AULA 8 MÓDULO onde = /u. Quando a foça vaia com o inveso do quadado da distância, a solução desta equação é uma seção cônica com foco em =. Isso explica, em paticula, as óbitas dos planetas em tono do Sol. As leis de Keple foam obtidas po Keple a pati de dados obsevacionais de Ticho Bahe. Newton usou essas leis e as leis da Mecânica, po ele fomuladas, paa chega à foma da foça gavitacional ente duas massas. PROBLEMAS 8.. Enegia total numa óbita elíptica. Mosta que o único paâmeto geomético que enta na enegia total de um planeta numa óbita elíptica é o compimento do eixo maio a. Suponha que a massa do planeta, m, seja muito meno que a massa M do Sol. (Assim, a massa eduzida do sistema µ é igual a m). 8.. Moste, a pati das leis de Keple e das leis do movimento da mecânica, que a foça gavitacional ente um planeta de massa m e o Sol de massa M >> m, tem a foma F GMm = ˆ onde G é a constante gavitacional Sistema sola com poeia. Imagine que o Sol fosse odeado po uma nuvem de poeia de densidade unifome que se estendesse pelo menos até a óbita da Tea. O efeito da nuvem de poeia seia modifica a foça gavitacional expeimentada pela Tea, de modo que a enegia potencial gavitacional da Tea seia. GMSMT V( ) = + k C E D E R J 9

222 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental onde M s é a massa, M T a massa da Tea e k = 4π ρ M G / 3. Moste que o efeito da poeia é faze com que as óbitas elípticas em tono do Sol entem em lenta pecessão. Queemos enconta a feqüência de pecessão. (a) A pati do potencial, enconte a foça atuando sobe a Tea. (b) Faça um esboço cuidadoso do potencial efetivo V ( ) eff. No seu esboço indique (i) a enegia E e o aio de uma óbita cicula e (ii) a enegia E e os pontos de etono e de uma óbita que não é cicula. (c) Suponha que a Tea esteja numa óbita cicula de aio em tono do Sol. Deive a equação satisfeita po em temos do momento angula l e das constantes M T, M S, G e k. Atenção: você não pecisa esolve essa equação. (d) Enconte a feqüência ω de pequenas oscilações em tono da óbita cicula de aio. Seu esultado podeá se escito como T 3k ω = ω + M onde ω é a velocidade angula de evolução em tono do Sol paa uma óbita cicula. T (e) Finalmente, supondo que k seja pequeno, enconte a feqüência de pecessão paa uma óbita quase cicula Foça inveso-do-quadado modificada. Vamos considea o movimento de uma patícula sob a ação de uma foça cental que vaia com o inveso do quadado da distância e, supeimposta a ela, outa foça cental cujo módulo é invesamente popocional ao cubo da distância da patícula ao cento de foça. Deste modo, temos que k λ f ( ) = 3 onde k e λ são constantes positivas. (a) Suponha que λ < l / µ e use a equação da óbita paa mosta que a óbita é da foma µ k / l = + Acosκθ ( θ) λµ / l C E D E R J

223 (b) Faça um gáfico da óbita paa valoes difeentes de k, tanto valoes acionais (po exemplo,, 3/, ), quanto valoes iacionais (po exemplo,, ( 5 )/).. Quando as óbitas são peiódicas? Moste que o movimento pode se descito po uma elipse em pecessão. AULA 8 MÓDULO 8.5. Um satélite de comunicações está em uma óbita cicula em tono da Tea de aio R e com velocidade v. Po acidente, um foguete dispaa subitamente, dando ao satélite uma velocidade adial paa foa da óbita de módulo v além de sua velocidade oiginal. (a) Calcule a nova enegia total do satélite e seu novo momento angula. (b) Desceva o movimento subseqüente do satélite O Skyhook. Athu C. Clacke, famoso auto de : Uma odisséia no espaço, sugee em sua novela As fontes do paaíso que viagens espaciais podeiam se mais viáveis usando-se um gancho espacial ou skyhook, um longo cabo suspenso no espaço numa óbita geossíncona (cujo peíodo de evolução é igual ao da otação da Tea) acima do Equado da Tea, e alinhado ao longo da dieção adial. Vamos supo que o cabo tenha uma massa po unidade de compimento λ, constante, e um compimento l. Como o cabo está numa óbita cicula geossíncona, ele tem uma feqüência angula ω = π /T, sendo T o peíodo de otação da Tea. A extemidade infeio do cabo está logo acima da supefície da Tea. Vamos supo que a Tea seja uma esfea de aio R T C E D E R J

224 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental (a) Enconte a aceleação centípeta do cento de massa do cabo em temos de l, R E e ω. (b) Enconte a foça gavitacional que a Tea exece sobe o cabo. (c) Aplique a segunda lei de Newton paa acha uma equação paa o compimento do cabo. Resolva essa equação e faça uma estimativa do compimento do skyhook. (d) Veifique se a idéia é viável, ou seja, se há mateiais suficientemente fotes paa supota as tensões ineentes a um cabo tão longo. Com este objetivo, pimeio deive uma equação difeencial paa a tensão T(v) num ponto do cabo que está a uma distância do cento da Tea. Use esta equação paa enconta a tensão máxima no cabo. Divida esse esultado pela áea A da seção eta do cabo paa obte a máxima tensão de tação O poblema de Keple evisitado: o veto de Runge-Lenz. Você já viu que quando duas patículas inteagem atavés de uma foça cental, temos consevação da enegia, momento linea e momento angula. Poém, quando a foça é a gavidade mais pecisamente, quando a foça é da foma l / existe uma quantidade exta consevada. Ela foi oiginalmente descobeta po Laplace, mas é conhecida como veto de Runge Lenz. Sua existência pode se deduzida do fato de que no poblema gavitacional de duas patículas, cada patícula obita o cento de massa numa elipse (paábola ou hipébole) cujo peiélio não muda com o tempo. O veto de Runge-Lenz aponta na dieção do peiélio. Se a foça vaiasse como l /,, ou algo semelhante, a óbita ainda seia apoximadamente elíptica, poém o peiélio iia esta em pecessão. A pimeia evidência expeimental de que a lei da gavitação univesal Newtoniana não ea bem coeta, foi a pecessão do peiélio de Mecúio. A maio pate dessa pecessão é devida à atação dos outos planetas e outos efeitos, mas ceca de 45 segundos de aco po século pemaneceam não explicados até Einstein inventa a teoia geal da elatividade. Nós podemos usa o veto de Runge-Lenz paa simplifica a pova de que as óbitas, no poblema gavitacional de dois copos, são elipses, paábolas e hipéboles. Como antes, vamos tabalha com o veto posição elativa = C E D E R J

225 A equação do movimento é µ && = f ( ) ^ AULA 8 MÓDULO onde µ é a massa eduzida do sistema e f ( ) = dv / d. foça gavitacional, µ && k = ˆ No caso da (8.53) (a) Seja L = µ & o veto momento angula. Nós já mostamos que quando a foça é cental, como é o caso da foça gavitacional, & L =. Tome o poduto vetoial de ambos os lados da Equação (8.53) com L e moste que && L = k& ˆ Dica: você vai pecisa da identidade vetoial a ( b c) = ( a c) ) b ( a b) c e também pecisaá mosta que & ( ) & ( & d ) ˆ = = 3 dt (b) Moste então que d dt ( L & ) = k d ^ dt e conclua que o veto & A = L ˆ k é independente do tempo. Este é o veto de Runge-Lenz. (c) Moste que l A = µ k ^ (8.54) onde l é o módulo do momento angula L. Fazendo A = A cosφ, podemos coloca a Equação (8.54) na foma µ k = ( Acos φ + ) l Essa é a equação da óbita. Compae com a dedução da equação da óbita no texto da aula. Note que o módulo veto de Rugen-Lenz é igual à excenticidade da óbita: A = ε C E D E R J 3

226 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental A consevação do veto de Rugen-Lenz é um modo de dize que a excenticidade e o peiélio não mudam com o tempo. SOLUÇÕES 8.. Como a foça gavitacional é consevativa, a enegia total é constante e podemos calculá-la em qualque ponto conveniente da óbita. Vamos escolhe o ponto de maio afastamento = = max l µ k ε ( ) = + α ( ε ) = a + ε ( ε ) ( ) (8.55) onde usamos a definição α = l / µ k e a definição de a na Equação (8.45). A enegia potencial em é dada po GMm V( ) = a + ε ( ) (8.56) A enegia cinética pode se calculada obsevando-se que num ponto onde a velocidade é puamente tansvesal m ds T = m( φ & ) = dt (8.57) onde usamos a Equação (8.8). Especificamente, temos T( ) = a m ( + ε) ds dt (8.58) Da segunda lei de Keple ds dt 4 a b a = π = π ( ε ) τ τ (8.59) onde τ é o peíodo do movimento. Usando a teceia lei de Keple ds dt GMa = ( ε ) 4 (8.6) Então, substituindo este esultado na (8.58), obtemos ( ) ( ) GMm ε T( ) = a + ε (8.6) 4 C E D E R J

227 Somando a Equação (8.56) e a (8.6), temos a seguinte fómula paa a enegia total do movimento: E GMm = a (8.6) AULA 8 MÓDULO Note nesta expessão que qualque aumento de E implica um aumento no compimento do semi-eixo maio da elipse que desceve a óbita. 8.. A pimeia lei diz que a óbita do planeta é uma elipse com o Sol num dos focos. A equação de uma elipse com semi-eixos maio e meno a e b, espectivamente, e excenticidade ε tem a foma a = + ε cosφ b ( ) (8.63) Da Equação (8.), consistente com o movimento sob a ação de uma foça cental, vemos que a aceleação adial do planeta é dada po a = d d φ dt dt (8.64) Agoa, vamos calcula o lado dieito desta equação a pati da Equação da elipse (8.63) e usando a lei das áeas. Difeenciando ambos os lados da Equação (8.63), obtemos d a dt = ε d sen b φ φ dt (8.65) e, usando a Equação (8.8), podemos esceve d dt a = ε b ds senφ dt (8.66) encontamos Difeenciando uma segunda vez, lembando que ds / dt é constante, d ε a ds d 4 a ds = cosφ φ = ε cosφ dt b dt dt b dt (8.67) C E D E R J 5

228 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental A aceleação adial fica então a = 4ε a ds b dt 4 ds = dt cosφ 4 ds dt 3 a 4 a ε cosφ b = b ds dt (8.68) onde, na última linha, usamos novamente a Equação (8.63). Agoa, da segunda lei, ds dt a b = π τ (8.69) e assim, a a = 4 3 π τ (8.7) Vemos, potanto, voltando à Equação (8.), que dv m a = ma d = 4 π 3 τ (8.7) Finalmente, a teceia lei de Keple diz que é constante, independente da m massa do planeta. Esta constante, entetanto, deve envolve a massa M do Sol (po quê?) Assim, a lei de foça deve se da foma Mm (8.7) F = const ˆ 8.3. (a) A foça é igual a menos o gadiente do potencial. Como o potencial depende só de, ficamos com F A foça é atativa e aponta da Tea paa o Sol. (b) O potencial efetivo é dv = d ˆ GMSMT = + k ˆ a 3 /τ (8.73) V eff GMSMT l ( ) = + k + M T (8.74) 6 C E D E R J

229 No último temo nós usamos a massa da Tea em vez da massa eduzida, o que é aqui, uma boa apoximação uma vez que a massa do Sol é muito maio que a massa da Tea. O esboço de V eff está na figua a segui: AULA 8 MÓDULO (c) A óbita cicula é aquela que minimiza o potencial efetivo. Potanto, nós temos: dv d GM M = = + k eff S T l M 3 T (8.75) Esta é a equação que dá. É uma equação de quato gau paa. (d) Expandindo o potencial efetivo em tono de =, temos, d V Veff ( ) Veff ( ) + d ( ) eff = (8.76) A feqüência paa oscilações em tono de v = v é dada po: ω d V = d eff = M T (8.77) Agoa, d V d eff = l 3l = k k MT MT l = M T k (8.78) C E D E R J 7

230 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Mas, numa óbita cicula de aio, l na equação acima, obtemos = MT ω ; substituindo d V d eff T = = M ω + 3k (8.79) Finalmente, d V ω = d 3k = ω + M eff M T = T (8.8) (e) A feqüência de pecessão, ω p é dada pela difeença ω ω. Supondo k pequeno, escevemos e logo, k 3 3k ω = ω + ω + MT ω MT ω 3k ωp = ω ω = M ω T (8.8) (8.8) 8.4. (a) A equação da óbita é dada po d u µ + u = f dφ u l u µ k λu l = ( ) Reaanjando os temos da Equação (8.83), d u µλ µ k + u = dφ l l (8.83) (8.84) Esta equação pode se simplificada fazendo-se uma mudança paa a vaiável µ k / l w = u µλ / l Ficamos com d w + κ w = dφ (8.85) (8.86) onde κ = µλ / l. A natueza da solução da Equação (8.86) κ vai depende do sinal de ; se κ >, nos temos w = Acosκ ( θ θ ) (8.87) 8 C E D E R J

231 onde A e temos θ são constantes de integação. Em temos de u = /, nós µ k / l = + Acosκθ (8.88) ( θ) µλ / l AULA 8 MÓDULO onde fizemos θ = sem peda de genealidade. A constante A depende das condições iniciais e pode se escita em temos da enegia E da óbita. (b) A Equação (8.88) desceve uma elipse em pecessão. Se a constante κ fo um númeo acional (κ = p/q, com p e q inteios), então a óbita seá fechada paa θ = π q. Quando κ fo um númeo iacional ( κ =, po exemplo), a óbita nunca se fechaá. A figua seguinte mosta um gáfico de ( θ) = (8.89) +, 5cos θ paa θ de a 4 π (a) A enegia total do satélite é (8.9) onde k = GM m, sendo M T a massa da Tea e m a massa do satélite. Mas, numa óbita cicula, T E = T + V = mv k R de onde concluímos que k R = mv R (8.9) k V T = mv = = R (8.9) Assim, paa uma óbita cicula, E = T + V = T T = T. Como o satélite está em óbita cicula, podemos esceve que, E i + T = i onde o índice i indica o valo inicial. C E D E R J 9

232 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Imediatamente após o foguete te dispaado, a enegia potencial do satélite ainda continua a mesma (a posição do satélite não se altea significativamente duante o tempo de dispao do foguete), ou seja, V f = V. No entanto, sua enegia cinética doba: T = mv / = T i poque o foguete ganha uma velocidade v pependicula à velocidade inicial. Usando esses esultados, a enegia total do satélite logo após o dispao é, então, E = T + V = T + V = E + T =. f f f i i i i Uma vez que, o dispao foi na dieção adial, o momento angula do satélite não se altea. (b) Sabemos que, quando a enegia total é zeo num movimento sob a ação de uma foça cental que vaia com o inveso do quadado da distância, a tajetóia é uma paábola. Então, após o dispao do foguete, o satélite passaá a se move numa óbita paabólica. f i 8.6. (a) O cento de massa do cabo está em = RT + l / de modo que a aceleação centípeta do CM é (8.93) ( ) a = ω R + l / E (8.94) (b) A foça gavitacional sobe um elemento de massa do cabo d m = λd é GMT λd df = (8.95) Integando sobe o compimento do cabo, obtemos RT + l GMT λd F = R T = GMT λ R T R T + l GMm = R ( R + l) T T (8.96) onde usamos que m = λl é a massa do cabo. 3 C E D E R J

233 (c) A massa total do cabo multiplicada pela aceleação do cento de massa é igual à foça total sobe o cabo: ( ) = mω R + l / T GMT m R ( R + l / ) T T (8.97) AULA 8 MÓDULO Esta é uma equação de segundo gau paa l. É conveniente escevê-la em temos da quantidade adimensional pouco de álgeba, obtemos x = l / R T. Após um GMT g ( x + )( x + ) = = 3 ω R ω R T T (8.98) Usando os valoes g = 9, 8m / s, ω = π /T com T = 86.4 s e R T = 6,4 6 m, encontamos, ou seja, l = R T =,4 5 km. Compae este esultado com a distância da Tea à Lua que é de 3,8 x 5 km! Considee um pequeno segmento do cabo a uma distância do cento da Tea e de compimento. C E D E R J 3

234 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Refeindo-se à figua, nós temos paa a foça adial GMT λ F = T( + ) T( ) (8.99) Mas, F ( λ ) ω (o sinal negativo é paa indica que a = aceleação centípeta aponta no sentido contáio ao veto ^). Isso nos dá T( + ) T( ) GM = T λ λω (8.) Tomando o limite, temos finalmente, dt d GMT λ = λω (8.) A tensão máxima ocoe quando ( dt / d) =, a uma distância do cento da Tea, onde GM T ω = (8.) de modo que GMT grt = = ω ω / 3 / 3 (8.3) Note que este é o aio de uma óbita geossíncona paa uma massa puntifome. Pondo númeos, achamos: = 4. 34km, ou km acima da supefície da Tea. Paa acha a tensão, pecisamos intega a equação (8.): dt T T R d d GM λω ( ) ( T ) = = R R Tλ + T RT ( T ) (8.4) A tensão é zeo nas extemidades e, potanto, então paa a tensão máxima T( R T ) =. Temos λω Tmax = T( ) = GMT λ + ( R T ) RT (8.5) 3 C E D E R J

235 Agoa, substituímos o valo de nesta expessão e dividimos pela áea A da seção eta do cabo paa obte a tação máxima σ max = T max / A: AULA 8 MÓDULO σ max ρ grt ω RT / 3 grt ω = + ( ) / 3 (8.6) onde ρ = λ / A é a densidade de massa do cabo. Substituindo os valoes numéicos das quantidades conhecidas, obtemos ( ) σ max = ρ 48, 7 6 m / s (8.7) Agoa, pecisamos de um valo de ρ. Vamos usa o valo da densidade do aço que é ceca de 8 3 kg/m 3. Isto dá σ max = 39 9 Pa uptua do aço., váias odens de gandeza maio que o ponto de L, temos 8.7. (a) Multiplicando ambos os lados da equação (8.53) po Assim, µ && kˆ L = µ ( & ) µ k & µ k = (ˆ ) + (ˆ ) & µ k = 3 (( ) & ( & ) ) (8.8) && & & L = k 3 (( ) ( ) ) (8.9) Agoa, tomando a deivada em elação ao tempo de ambos os lados de =, achamos & = & (8.) Fazendo o mesmo com = ˆ, encontamos & = & ˆ + & ˆ Com esses dois últimos esultados, podemos esceve que (8.) 3 & ˆ ( & ˆ) ( & = = & ˆ) = ( ) & ( & ) = ( ) & ( & ) (8.) C E D E R J 33

236 Mecânica O movimento sob a ação de uma foça cental Então, substituindo a elação (8.) na equação (8.9), obtemos a elação pocuada: (b) Calculando a deivada de && L = k& ˆ momento angula e equação (8.3), temos d dt L L dl ( & ) && = + & = dt (8.3) & L e usando a consevação do k d dt (8.4) de onde concluímos que Logo, o veto d dt ( L & k) = & A = L ˆ k (8.5) (8.6) é uma quantidade consevada. (c) Multiplicando escalamente o veto de Runge-Lenz pelo veto e usando a identidade vetoial a ( b c) = ( a b) c, encontamos & & & L ( L) ( ) L l A = ˆ = = = k k k µk que é o esultado desejado. (8.7) 34 C E D E R J

237 Movimento em um efeencial não inecial A U L A 9 Meta da aula Desceve o movimento a pati de um efeencial aceleado. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: desceve como apaecem as foças ineciais; distingui foças ineciais das foças esultantes da inteação da patícula com sua vizinhança; da exemplos de manifestações dessas foças paa um obsevado na Tea.

238 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial INTRODUÇÃO Obseve as fotos a segui. Elas mostam dois fuacões famosos: um deles é o Cataina, que atingiu a costa basileia em maço de 4; o outo é o Isabel, que atingiu a costa ameicana em setembo de 3. Você conseguiia dize, usando somente agumentos físicos, qual deles é o basileio? Nesta aula, vamos estuda a dinâmica em efeenciais não ineciais. Você já apendeu, no Módulo, Volume, do cuso Física A, que a segunda lei u de Newton tem a foma simples F = ma, com a foça esultante oiunda apenas de inteações, somente em efeenciais ineciais. No entanto, vivemos na supefície de um planeta que gia em tono do seu eixo e pecoe uma óbita elíptica em tono do Sol, paa cita apenas os dois movimentos mais elevantes, o que faz com que qualque efeencial fixo em elação à Tea seja um efeencial não inecial. Em um efeencial não inecial apaecem as foças ineciais, assim chamadas poque todas, a exemplo da foça gavitacional, são popocionais à massa da patícula consideada. Nesta aula, você veá que uma dessas foças ineciais está dietamente envolvida na existência de fuacões. Também veá que, em cetas situações, como no tatamento do movimento de copos ígidos, pode se conveniente tabalha em um efeencial não inecial. Figua 9.: Os fuacões Cataina e Isabel. Um ocoeu no hemisféio note e o outo, no hemisféio sul. Obseve que eles giam em sentidos opostos. Em muitos fenômenos, é difícil pecebe que a Tea está giando em tono do seu eixo. Na antiga Gécia houve uma disputa ente os astônomos sobe os possíveis movimentos da Tea. Aistaco (3 3 a.c.) afimava que a Tea giava em tono do seu eixo a cada vinte e quato hoas e também dava uma volta em tono do Sol a cada ano e, ainda, que os outos planetas todos se moviam em óbitas em tono do Sol. O motivo paa Aistaco acedita que a Tea giava em tono de seu eixo ea que isto explicaia facilmente o movimento apaente de otação das estelas no céu (ve Figua 9.). Mas a teoia dominante dizia que a Tea estava fixa, imóvel, no cento do univeso. 36 C E D E R J

239 Os agumentos conta as idéias de Aistaco eam os mais vaiados. Po exemplo, os astônomos gegos já haviam tentado calcula a distância do Sol e sabiam que ela excedia dois milhões de quilômetos (um valo estimado muito baixo, a distância é de 5 milhões de quilômetos). Diziam os oponentes de Aistaco que, como a distância do Sol é muito gande, se a Tea se movesse num cículo tão gande nós deveíamos ve a distibuição das estelas no céu muda ao longo do ano, poque as mais póximas paeceiam se move de uma ceta extensão conta o backgound daquelas mais distantes. Aistaco espondeu que as estelas estão todas tão distantes que uma difeença de dois milhões de quilômetos ou tês no ponto de obsevação é despezível. Isto implicava, poém, que o univeso deveia se ealmente enome, pelo menos bilhões de quilômetos de extensão, no que poucos estavam pontos paa acedita. O modelo da Tea fixa, imóvel, foi, mais tade, adotado pela Igeja, tonou-se um dogma e somente mil anos depois as idéias de Aistaco eapaeceam com Copénico. AULA 9 MÓDULO Figua 9.: Fotogafia de longa exposição do céu no hemisféio sul. Os astos ciculaes das estelas são uma conseqüência da otação da Tea em tono de seu eixo. ROTAÇÕES INFINITESIMAIS Vamos tenta defini um veto que epesente uma otação finita cujo módulo é o ângulo de otação e cuja dieção é o eixo de otação, no sentido deteminado pela ega da mão dieita. É este um bom veto? A esposta é não. O poblema é que a adição de otações finitas não é comutativa, ao passo que a adição de vetoes é comutativa. Paa ve como isso acontece, considee o exemplo da Figua 9.3. Nela mostamos C E D E R J 37

240 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial o efeito da aplicação de duas otações sucessivas de 9 a um dado, uma em tono do eixo-z, e outa em tono do eixo-x. Em (a), a otação em tono de x é aplicada antes da otação em tono de z, e em (b) a odem é invetida. O dado temina em estados completamente difeentes. Claamente, a otação-z mais a otação-x não é igual à otação-x mais a otação-z. Esta álgeba não-comutativa não pode se epesentada po vetoes. Assim, emboa otações finitas tenham módulo e dieção bem definidos, elas não são quantidades vetoiais. Mas este não é bem o final da históia. Suponha que tomemos um veto qualque e giemos este veto de um pequeno ângulo δθ, como mostado na Figua 9.4. Refeindo-se à mesma figua, vemos que o módulo da vaiação do veto δ é dado po δ = senα δθ (9.) Figua 9.3: Em (a), o dado é giado de 9 pimeio em tono do eixo z, depois, em tono do eixo x. Em (b), a pimeia otação de 9 é em tono do eixo x e a segunda, em tono do eixo z. 38 C E D E R J

241 AULA 9 MÓDULO Figua 9.4: O veto faz um ângulo α com a dieção do veto n e é giado de um ângulo δθ em tono dessa dieção. Lembando a definição do poduto vetoial, podemos esceve ou, uu δ = δθ uu = + δθ (9.) (9.3) uu onde intoduzimos o veto otação infinitesimal δθ = δθ n. Vejamos agoa o que acontece quando aplicamos ao veto duas otações infinitesimais sucessivas u δθ u e u δθ u, não necessaiamente co-lineaes. Sob essas opeações, o veto pimeio muda paa ", onde uu = + δθ e depois se tansfoma em uu = + δθ uu uu uu = + δθ + δθ ( + δθ ) uu uu + ( δθ + δθ ) uu = + δθ (9.4) (9.5) Aqui, ao passa da segunda paa a teceia linha, despezamos infinitésimos de segunda odem. O esultado final da Equação (9.5) mosta que " difee de uuuu uuu uuu po uma única otação infinitesimal, δθ = δθ + δθ obtida como a soma vetoial de u δθ u e u δθ u. Po outo lado, em vitude C E D E R J 39

242 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial da comutatividade da soma de vetoes, a Equação (9.5) também vale, em pimeia odem, se as otações foem ealizadas na odem evesa. Potanto, concluímos que otações infinitesimais sucessivas são comutativas. Assim, nós estabelecemos explicitamente que otações infinitesimais podem de fato se adicionadas como vetoes. O fato de uma otação infinitesimal se um veto implica que a velocidade angula ω = limδ t uu δθ δt (9.6) também é um veto. ( ) Se intepetamos " como t + δ t na Equação (9.3), então a equação do movimento de um veto, executando um movimento de pecessão em tono da oigem com velocidade angula ω, é dada po d dt = ω (9.7) Este esultado é muito impotante paa o desenvolvimento subseqüente desta aula. SISTEMAS DE COORDENADAS GIRANTES Considee um sistema de efeência inecial com um conjunto fixo de eixos coodenados otogonais { ê i } e uma oigem O. Veja a Figua 9.5. (Aqui, po conveniência, usaemos a notação x = x, x = y, x = z ; eˆ = iˆ, e ˆ = jˆ, e ˆ = kˆ ). 3 3 x 3 x' 3 A x x' x' x Figua 9.5: Dois efeenciais com uma mesma oigem O. O efeencial com eixos ao longo dos unitáios { ê é inecial e o outo gia com velocidade angula ω i } em elação a ele. 4 C E D E R J

243 Um segundo efeencial, com a mesma oigem O e eixos coodenados { ê i }, gia com velocidade angula ω. Visto do efeencial inecial, os vetoes unitáios ê i estão se movendo segundo as equações AULA 9 MÓDULO deˆ i dt = ω eˆ, i =,, 3. i (9.8) Seja A um veto qualque. Podemos decompô-lo em temos de suas componentes A = A e ˆ no sistema giante i i A = 3 i = A eˆ (9.9) ou, em temos de suas componentes A = A e ˆ no sistema inecial fixo, i i i i A 3 = A eˆ i = i i (9.) Suponha agoa que um obsevado no efeencial inecial fixo veja A vaiando com o tempo. A deivada tempoal de A, no sistema inecial fixo, é (9.) poque neste sistema os unitáios ˆ e i são fixos. Mas, usando a Equação (9.9), temos também que (9.) O pimeio temo do lado dieito desta equação é, po compaação com a Equação (9.), a deivada tempoal do veto A calculada no efeencial giante, onde os unitáios eˆ i são fixos. Usando a equação (9.8), vemos que da dt 3 da dt 3 dai = dt e ˆi + A de ˆi i dt = 3 i = i = i = i = 3 i = da i dt e ˆ i A de ˆi i dt 3 = ω A eˆ = ω A i i (9.3) Assim, podemos esceve, finalmente, da da A dt = dt + ω f (9.4) C E D E R J 4

244 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial onde o índice f efee-se ao efeencial inecial fixo e o índice ao sistema giante. Uma aplicação impotante dessa fómula é ao caso em que A = ω. Como ω ω =, temos que a aceleação angula dω / dt é a mesma em ambos os sistemas: dω dω ω & dt = dt = f (9.5) A SEGUNDA LEI DE NEWTON NUM SISTEMA DE COORDE- NADAS ACELERADO A Equação (9.4) pode se usada paa elaciona a velocidade e aceleação de uma patícula como obsevadas no sistema giante com a sua velocidade e aceleação medidas no sistema inecial fixo. Na Figua 9.6 "epesenta a posição da patícula no efeencial inecial fixo e a posição elativa ao sistema giante. Temos que = R + (9.6) onde o veto R localiza a oigem do sistema giante no sistema fixo. Paa o obsevado no sistema fixo, d dr d dt = f + dt dt f f (9.7) Figua 9.6: A patícula em P tem veto posição "no efeencial inecial com oigem em O e veto posição no efeencial giante com oigem em O. R é o veto posição da oigem do efeencial giante em elação ao efeencial inecial. 4 C E D E R J

245 de modo que, usando a Equação (9.4), d dr d dt = + dt dt f f + ω (9.8) AULA 9 MÓDULO ou, numa notação óbvia, vf = V + v + ω (9.9) Esta é a elação pocuada ente as velocidades no sistema inecial fixo e no sistema giante. Paa enconta a elação ente as aceleações, deivamos a Equação (9.8) mais uma vez em elação ao tempo. Encontamos, d d R d d d = dt dt dt dt dt f ω + + f f + d ω f dt Usando as Equações (9.4) e (9.5), podemos esceve f (9.) d d R d d v = dt dt dt dt f + f ω + ω + + ω ( ω ) (9.) Assim, paa um obsevado no sistema de coodenadas giante, a foça efetiva F sobe uma patícula de massa m é dada po F m d dt (9.) & F m d R = mω mω v mω ( ω ) dt O pimeio temo F é a soma das foças atuando sobe a patícula, medida no efeencial inecial fixo. Essa foça esultante pode se elacionada com a inteação da patícula com sua vizinhança. Já os outos temos apaecem devido ao fato de o movimento esta sendo obsevado de um efeencial não inecial. Note que todos eles são popocionais à massa inecial da patícula e po isso são chamados foças ineciais. O temo && mr f vem da aceleação da oigem do sistema giante em elação ao sistema oiginal inecial. O temo mω, chamado foça de Coiolis, se anula a menos que a patícula se mova no efeencial giante ao longo de uma dieção difeente daquela de ω. Em contaste, a foça centífuga mω ( ω ) atua mesmo numa patícula estacionáia. Finalmente, a contibuição m( dω / dt), chamada foça de Eule, ocoe somente paa um efeencial com aceleação angula. f v C E D E R J 43

246 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial MOVIMENTO PRÓXIMO À SUPERFÍCIE DA TERRA Vamos agoa aplica a Equação (9.) ao movimento de uma patícula visto po um obsevado num sistema de coodenadas em epouso em elação à Tea. O movimento da Tea tem duas componentes pincipais: (i) um movimento anual numa tajetóia apoximadamente cicula em tono do Sol de aio R = ST UA (UA, 5 m ), peíodo τ ST 3, 6 7 s e feqüência angula ω ST π = 99 7, s τ ST (ii) uma otação diáia em tono da dieção da estela do pólo note, aio equatoial R m, peíodo e T 6, 38 6 τ T 8, 6 4 s feqüência angula ω T π = 7 9 5, s τ T Vamos considea um efeencial inecial fixo no cento do Sol e um efeencial fixo na Tea com oigem no cento da Tea. (Você pode agumenta que um efeencial fixo no Sol não é inecial, poque o Sol desceve um movimento obital em tono do cento da nossa galáxia, a Via Láctea. No entanto, o peíodo deste movimento é de 6 milhões de anos, ou um Ano Cósmico, e a feqüência angula coespondente é igual ao valo de ω ST dividido po,6 X 8 ). O efeencial fixo na Tea tem uma velocidade angula ω ω ST + que podemos toma T como constante, despezando assim o temo contendo dω / dt na Equação (9.). (Na vedade, ω T não é constante, devido à pecessão dos equinócios, um movimento muito lento do eixo de otação da Tea com um peíodo de ceca de 5 mil anos). A Equação (9.) então fica m d F m d R m ST T v m = ( ω + ω ) ωst + ω T dt dt T ( ω ST + ω T ) S ( ) (9.3) 44 C E D E R J

247 onde inclui a foça gavitacional do Sol, a foça gavitacional F da Tea e qualque outa foça que possa esta atuando sobe a patícula consideada. Podemos, ainda em elação à Equação (9.), obseva que: (i) como M T 5, 98 4kg e M S, 99 3kg, temos que o campo gavitacional da Tea na sua supefície excede o campo gavitacional do Sol po um fato AULA 9 MÓDULO ( M / M )( R / R ), 66 T S S T 3 (ii) no cento da Tea, a foça gavitacional do Sol pecisamente cancela a contibuição m d R dt odem ω (iii) os efeitos da otação da Tea em tono do Sol são de ST / ω, 73 3 em elação aos efeitos povocados pela otação em tono do eixo. Deste modo, podemos esceve a seguinte equação de movimento apoximada paa patículas movendo-se póximo da supefície da Tea: (9.4) Aqui, ω ω, é medido a pati do cento da Tea, é a foça gavitacional devida à Tea e F são outas foças sobe a patícula. Po simplicidade, vamos considea a Tea como sendo uma esfea unifome, o que dá paa T S m d F g F m v m = + ω ω ( ω ) dt T T F g F g GMT m = 3 (9.5) A DIREÇÃO VERTICAL O que nós chamamos usualmente de "dieção vetical" é a dieção de um fio de pumo. Vamos aplica a Equação (9.4) a um fio de pumo estacionáio em elação à Tea. Como o fio de pumo está paado, sua velocidade e sua aceleação são iguais a zeo, e a Equação (9.4) fica GM m = + F T mω ( ω ) 3 (9.6) C E D E R J 45

248 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial ou F + mg e = (9.7) onde GMT ge = ω ω 3 ( ) (9.8) Potanto, a dieção do fio de pumo é a dieção do g efetivo,, que é a soma da aceleação gavitacional, g = ( GM ) ^, na g e dieção adial paa dento ˆ, mais a aceleação centífuga ω ( ω ), na dieção equatoial paa foa, pependicula a ( ω (veja a Figua 9.7). Paa te uma idéia dos valoes numéicos, g = GM R 9, 8m / s e ω R 3, 39 m / s T. A contibuição T T da aceleação centífuga é pequena, poém significativa. Quando a Tea se solidificou, foi essa aceleação que povocou a pequena defomação quadupola obsevada na sua foma atual. Paa conclui, podemos esceve g e em coodenadas polaes como T ge = ( GMT R T ω RT sen θ ) ˆ + senθω RTθˆ (9.9) ω θ mg mω ω ( ) F mω ω mg ( ) mg e mg e Figua 9.7: O que deteminamos com o fio de pumo como sendo a dieção vetical é, na vedade, a dieção do veto esultante da soma da foça gavitacional mais a foça centífuga. O desenho no cento ilusta o fio de pumo em equilíbio. 46 C E D E R J

249 QUEDA LIVRE Consideemos uma patícula de massa m em queda live e vamos despeza a esistência do a. Neste caso, F = e, usando a Equação (9.8), podemos esceve a Equação (9.4) como AULA 9 MÓDULO m && = mg mω & e (9.3) Como esta equação vetoial depende somente de & && e, ela pode se esolvida em qualque efeencial fixo na Tea que seja mais conveniente. Vamos escolhe o efeencial indicado na Figua 9.8. Nele, o veto unitáio î aponta paa o sul, ĵ paa o leste e ˆk paa cima. Como vimos, ˆk não está exatamente na dieção vetical (a dieção local do fio de pumo) devido à aceleação centífuga. Mas este efeito é de segunda odem em ω e despezível paa o pesente poblema. Assim, vamos faze g e g = gk ˆ e ete somente temos lineaes em ω. O Figua 9.8: Refeencial fixo na Tea. Seja ( ) = hk a posição inicial da patícula e seja & ( ) = v( ) = Como queemos ete somente temos lineaes em ω, vamos esceve a solução do nosso poblema como ( t) = ( t) + ( t), onde ( t )desceve a tajetóia numa Tea que não estivesse giando e ( t) incopoa as pequenas coeções popocionais a ω. É evidente que t ( ) satisfaz a equação && = g = gk ˆ (9.3) C E D E R J 47

250 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial que integando dá ^ ( t) = ( h gt ) k (9.3) Substituindo odem em ω, obtemos + na Equação (9.3) e expandindo até pimeia && && + = g ω & (9.33) Mas, da Equação (9.3), vemos que o temo de odem zeo na Equação (9.33) se cancela identicamente, deixando a seguinte equação não homogênea: && = ω gt A solução desta equação com a condição inicial ( ) = & ( ) = é (9.34) 3 3 (9.35) ( t) = ω gt = ωgt senθ ^ j 3 3 π onde o ângulo pola θ = λ é a co-latitude. Juntando as Equações (9.3) e (9.35), temos, paa a tajetóia total ( t) = ( h gt ) k ^ 3 + gωt senθ j ^ 3 (9.36) Esta equação mosta que o efeito da foça de Coiolis é desvia a patícula paa o leste, tanto no hemisféio note quanto no hemisféio sul. Note que o movimento vetical é independente de ω em pimeia odem, com o tempo de queda dado po t = ( h / g). Desse modo, uma patícula caindo de uma altua h teá sua tajetóia desviada paa o leste de 3 3 d = gωt (9.37) senθ = gω ( h / g) senθ 3 3 O desvio se anula nos pólos e é máximo no equado. Se h = m, então t 4, 5s e o desvio no equado é d =, cm. 48 C E D E R J

251 EFEITOS DA FORÇA DE CORIOLIS SOBRE O MOVIMENTO HORIZONTAL Considee uma patícula na co-latitude θ, movendo-se com uma velocidade hoizontal v que faz um ângulo φ com o eixo dos x no sistema de efeência da Figua 9.8. Mais especificamente, neste efeencial ^ ^ ^ ^ temos v = v(cos φi + senφ j) e ω = ω(cos θk senθi). Efetuando o poduto vetoial destes dois vetoes, encontamos, paa a foça de Coiolis F = m coiolis ω v ^ ^ ^ = mωv cosθ senφi cosθ cosφ j + senθ senφk ( ) (9.38) AULA 9 MÓDULO Como um exemplo de aplicação desse esultado, uma patícula movendo-se paa o note (φ = π) no hemisféio sul (cosθ < ) vai sofe uma foça paa o oeste, enquanto uma patícula, movendo-se paa o sul (φ = ) no hemisféio sul, vai expeimenta uma foça paa o leste. Emboa a foça de Coiolis seja pequena (é popocional a ω), seus efeitos em escalas maioes são muito impotantes. Assim, em cálculos pecisos de tajetóias balísticas, ela deve se incluída. Ela é esponsável po muitos aspectos do movimento da atmosfea e dos oceanos e, potanto, nosso clima e tempo dependem dela. Veja, po exemplo, a famosa coente do Golfo no hemisféio note, que flui no sentido dos ponteios do elógio quando obsevada de cima. Finalmente, consideemos uma egião atmosféica de baixa pessão no hemisféio sul. A massa de a esultante que flui paa dento da egião sofe uma foça de Coiolis, impelindo-a num movimento no sentido dos ponteios do elógio quando vista de cima. Figua 9.9: Ciclones e fuacões no hemisféio sul. Agoa você já sabe, usando somente agumentos físicos, como identifica o Cataina na Figua 9.. C E D E R J 49

252 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial O PÊNDULO DE FOUCAULT Os pequenos efeitos da foça de Coiolis podem também se tona apeciáveis se o movimento pesisti po um tempo longo. A demonstação clássica dessa afimação é o pêndulo de Foucault. Tata-se de um pêndulo muito longo, live paa oscila em qualque dieção hoizontal. À medida que o pêndulo oscila, seu plano de oscilação executa um movimento de pecessão. A taxa de pecessão é igual à componente vetical da velocidade angula da Tea, ou seja, é igual à velocidade angula da Tea multiplicada pelo seno da latitude local. Em 85, o cientista fancês Jean-Benad-Leon Foucault, idealizado do pêndulo, usou um fio de aço de 67metos paa suspende uma bola de feo de 8 quilos do domo do Panthéon, em Pais. Figua 9.: (a) Plano definido pelos vetoes T e vetoes envolvidos no poblema. g ; (b) diagama mostando os Agoa vamos considea o movimento de um pêndulo, de compimento l e massa m, no sistema giante fixo na Tea. Refeindo-se à Equação (9.4), a equação do movimento do pêndulo é dada po d T d g = + dt m dt (9.39) ω T T 5 C E D E R J

253 onde T é a tensão na coda. Estamos na Equação (9.39), consideando g e g. Note que os dois vetoes g. e T edefinem o plano no qual o pêndulo se moveia na ausência da aceleação de Coiolis ω &. A foça de Coiolis tem uma componente na dieção pependicula ao plano que, mesmo sendo pequena, muda a natueza do movimento, já que seu efeito não é contabalançado po nenhuma outa foça. Vamos detemina a velocidade angula de pecessão do plano do pêndulo po meio do seguinte atifício: tentaemos enconta um novo efeencial giando em tono do eixo vetical que passa pelo ponto de supote do pêndulo com uma velocidade angula Ω escolhida de tal modo que a componente da foça de Coiolis que causa a pecessão seja nula, ou seja, nesse novo efeencial, um obsevado apenas vê o pêndulo executa o movimento de vaivém no plano vetical. Aplicando a Equação (9.4), temos AULA 9 MÓDULO d d = k dt + Ω ˆ dt T d d d k k k = dt + + dt Ω ˆ ( ˆ ) Ω ˆ dt T Ω Ω Ω (9.4) (9.4) onde ( d dt) Ω epesenta a deivada tempoal em elação ao novo efeencial. Substituindo esses esultados na Equação (9.39), ficamos com d T d g k k = + dt m ω + Ω ˆ Ω ˆ ( ˆ ) ˆ d k k dt Ω Ω Ω dt T g kˆ = + kˆ ( ) ( k ˆ Ωω Ω ) ( ω + ) m d Ω ˆk dt (9.4) Finalmente, usando a identidade vetoial a ( b c) = b( a c) c( a b), eescevemos esta equação como d T g k k = + Ωω + Ω ˆ ˆ dt m Ω k ( Ω ˆ ω + Ω ) ( ω + ) d ˆk Ω dt ( ) + (9.43) Cada veto do lado dieito da Equação (9.43) está no plano, exceto o último temo. Paa pequenas oscilações, ( d dt) Ω é Ω Ω Ω C E D E R J 5

254 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial paticamente hoizontal. Assim, podemos faze com que o último temo também seja um veto no plano vetical exigindo que o veto ω + ˆkΩ seja hoizontal, ou seja, exigindo que ˆ k ( ω + kˆ Ω) = (9.44) Isto detemina o valo de Ω: Ω = ω π cos λ = ω senλ (9.45) Qual seia a feqüência angula de pecessão de um pêndulo de Foucault no Rio de Janeio? R E S U M O Uma otação finita, emboa tenha módulo, dieção e sentido, não pode se epesentada po um veto poque a adição de duas otações finitas não é comutativa. Já a adição de otações infinitesimais é comutativa, e estas são vetoes. Como conseqüência, a velocidade angula também é um veto. A segunda lei de Newton, paa um obsevado em um efeencial não inecial cuja oigem está aceleada em elação a um efeencial inecial e que também gia com velocidade instantânea ω em elação ao mesmo efeencial inecial, tem a foma complicada F & F m d R = mω mω v mω ( ω ) dt f F é a esultante das foças oiundas das inteações da patícula de massa m com sua vizinhança. Os outos temos, todos popocionais a m, são as chamadas && foças ineciais: o temo mr f vem da aceleação da oigem do sistema giante em elação ao sistema oiginal inecial. O temo mω, chamado foça de Coiolis, se anula a menos que a patícula se mova no efeencial giante ao longo de uma dieção difeente daquela de ( ω. Em contaste, a foça centífuga mω ( ω ) atua mesmo numa patícula estacionáia. Finalmente, a contibuição m( d ω / dt), chamada foça de Eule, ocoe somente paa um efeencial com aceleação angula. m d dt v 5 C E D E R J

255 A Tea é um efeencial não inecial, pincipalmente em vitude do seu movimento de otação. Emboa a aceleação centífuga e a aceleação de Coiolis sejam pequenas em compaação com a aceleação gavitacional, seus efeitos em movimentos de longa duação ou de gande escala são consideáveis. AULA 9 MÓDULO PROBLEMAS 9.. Moste que a foça centífuga mω ω numa colatitude (ângulo pola) θ pode se escita como m V c, ( ) onde V c é o potencial V = c = ω ω sen θ 9.. Um canhão está localizado na supefície da Tea na colatitude θ (ângulo pola) e apontando paa o leste. (a) Se o cano do canhão faz um ângulo α com a hoizontal, moste que a deflexão lateal de um pojétil, quando ele atinge o 3 solo, é ( 4v / g ) ω cosθ sen α cosα, onde v é a velocidade inicial do pojétil e ω é a velocidade angula da Tea. Qual é a dieção dessa deflexão? (b) Se R é o alcance do pojétil paa o caso ω =, moste que 3 / a mudança no alcance é dada po ( R / g) ω sen θ [(cot α) / ( / 3) / )(tan α) 3 ]. Despeze temos de odem ω Moste que o pequeno desvio angula ε de um fio de pumo da vedadeia vetical (isto é, em dieção ao cento da Tea) num ponto da Tea de latitude λ é ω λ λ ε = R sen cos Rω g λ cos C E D E R J 53

256 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial onde R é o aio da Tea. Qual é o valo (em segundos de aco) do desvio máximo? (g é o valo da aceleação gavitacional sem efeitos da otação). Dica: F = ma mω ω mω v ( ) eff f 9.4. Um motoista está diigindo seu cao, numa estada eta, com aceleação a e velocidade instantânea v. Os pneus, de aio, não deslizam. Enconte o ponto no pneu que tem a maio aceleação elativa ao solo. Qual é essa aceleação? 9.5. Uma patícula é lançada veticalmente paa cima e sobe até uma altua h num ponto da supefície da Tea de latitude note λ. Moste que a patícula caiá de volta num ponto 4 ω cosλ h g a oeste do ponto de lançamento. Despeze a esistência do a e considee h << R T (aio da Tea). SOLUÇÕES 9.. Fazendo ω = ω ˆk, então temos, em coodenadas polaes (com unitáios ˆ, θˆ, φ ˆ ) ω = ω ( ^ ^ cosθ θ sen θ) e = ˆ^ 54 C E D E R J

257 Assim, ω = ωφ ˆ senθ e mω ( ω ) = mω ( ^ ^ cosθ θ sen θ) φ^ senθ = mω ( sen θ ^ ^ + senθ cos θθ) AULA 9 MÓDULO (Este é o caminho paa chega à Equação 9.9.) O opeado gadiente em coodenadas polaes tem a foma Se V = c ω sen θ, então, 9.. A posição e a velocidade iniciais no efeencial fixo na Tea (ve Figua 9.8) são: = m Vc = m eˆ + + eˆ eˆ ˆ θ eϕ θ senθ ϕ e + ˆ θ θ ω = mω ( sen θ ˆ + senθ cosθθˆ) ( ) = ^ ^ v( ) = v (cos α j + senα k) sen θ Também, nesse efeencial, ^ ^ ω = ω(cos θk senθi) Agoa, como fizemos no texto da aula quando estudamos a queda live, vamos esceve ( t) = ( t) + ( t) onde ( t ) desceve a tajetóia numa Tea que não estivesse giando e ( t ) incopoa as pequenas coeções popocionais a ω. É evidente que a tajetóia não petubada ( t) é dada po O pojétil etona ao solo depois de um tempo τ = v sen α / g. A velocidade do pojétil é ^ ( t) = gt k + v(cos α ^ ^ j + senα k) t & = gtkˆ + v (cos α jˆ + senα kˆ) C E D E R J 55

258 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial Usando a Equação (9.3), podemos esceve, mantendo somente temos lineaes em ω, && & = ω ^ ^ ^ ^ ^ = ω (cos θk senθi) ( gtk + v (cosα j + sen αk)) ^ ^ = ωv cosθ cos αk j + ωsenθ( gti ^ ^ k + v (cosα i ^ ^ j + senα i kˆ)) = ωv cosθ cosα iˆ + ω gtsenθ jˆ + v ω senθ cosαkˆ v ω senθ senα jˆ = ω senθ ( gt v senα)ˆ j + v ω cos α (cosθ i ˆ + sen θk ˆ) Potanto, o movimento lateal (pependicula à velocidade inicial) é dado po &&x = v ω cosα cosθi ^ de onde, usando as condições iniciais do poblema x () = e &x ( ) =, concluímos que e, assim, a deflexão lateal pocuada é No hemisféio note, o desvio é em dieção ao sul, e no hemisféio sul, o desvio é paa o note, em dieção ao equado. (b) Agoa queemos ve como a otação da Tea modifica o alcance do canhão. O alcance, se a Tea não giasse, seia R = v cosατ = v Da equação paa && acima, temos que a aceleação na dieção y devido à aceleação de Coiolis é x ( t) = v ω cosα cosθt v senα x( τ ) = vω cosα cosθ g 4v = 3 sen α ω cos α cos θ g v senα v senα cosα cosα = g g &&y = ω senθ ( gt v senα) Integando com as condições iniciais y () = e petubação no movimento na dieção y &y ( ) =, obtemos a y t g t 3 t ( ) = ω senθ v senα 6 56 C E D E R J

259 No instante τ em que o pojétil toca o solo, 3 ( v senα) ( v senα) y( τ ) = ω senθ v senα 3g g 4 v = ω 3 g 3 sen 3 αsenθ AULA 9 MÓDULO Temos ainda uma outa contibuição paa a coeção do alcance que vem da coeção do tempo de queda. De fato, a equação paa && tem uma componente na dieção z. Incluindo essa coeção, o movimento na dieção z é z( t) = z ( t) + z ( t) = gt + v senαt + vω cosα senθt Assim, o tempo coigido que o pojétil leva paa volta ao solo é v α ω α θ τ = τ + sen v cos sen ; g vω cosα senθ g Essa coeção no tempo de pecuso intoduz uma coeção em y δ y = ( v cos α)( τ τ ) vω cosα senθ = ( v cos ατ ) g ω α = R v cos senθ g A vaiação no alcance é, então, R = y ( τ ) + y ( τ ) + δ y R 3 v = + R v 4 3 ω cos α senθ ω sen α senθ 3 g g 3 4v = g ω α θ sen sen cos α sen3 3 α Usando que v = Rg / senα cosα encontamos, finalmente, / 3 R / 3/ R = ω sen θ [(cot α) (tan α) ] g 3 C E D E R J 57

260 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial Assim, e 9.3. No sistema da figua a segui, temos = k ˆ ω = ω ( cos λ^i + senλk ^ ) ω = ω( cos λ^ ^ ^ i + senλk) k = ω cosλ^j ω ( ω ) = ω cos λ( cos λi^ ^ + senλk) ^j ^ ^ = ω cos λ(cosλk + senλ i ˆ) Substituindo esse esultado na expessão da foça dada na dica do poblema, ficamos com ^ Feff = m( g ω cos λ) k mω cosλ senλ^i O temo de Coiolis não apaece poque a patícula está paada ( v = ). A tangente do ângulo ε é dada pela azão ( Feff ) y /( Feff ). Como o x ângulo é pequeno, podemos faze a tangente igual ao ângulo e, então, que é o esultado pocuado. ( Feff ) x ω cosλ senλ ε = = ( F ) g ω cos λ eff z 58 C E D E R J

261 9.4. Queemos enconta a aceleação total do ponto P na boda do pneu fazendo um ângulo θ com a dieção do movimento. AULA 9 MÓDULO Vamos aplica a Equação (9.). Dividindo todos os temos po m e passando os temos com sinal negativo paa o lado esquedo, ficamos com && & a = R + a + ω + ω ( ω ) + ω v f f onde a f é a aceleação no sistema de efeência fixo no laboatóio, && R f é a aceleação do cento do pneu no sistema de efeência fixo no laboatóio ( && R f = ai ˆ ), ω & é a velocidade angula instantânea no sistema de efeência fixo no laboatóio, ω & é a aceleação angula ( ω & = α = a / ), é a aceleação do ponto P no sistema giante (a = ) e v é a velocidade do ponto P no sistema giante. af = ai ˆ + ( α k ˆ) R (cos θi ˆ + sen θ j ˆ )+( ωk ˆ) [ ( ωk ˆ) R (cos θi ˆ + sen θ jˆ )] ˆ α (cosθ ˆ senθ ˆ) = ai R j i + ω Rkˆ (cosθ j ˆ senθi ˆ) = aiˆ αr(cos ˆ ˆ) θ j senθi ω R(cosθ i ˆ + sen θ j ˆ ) ( a αr θ ω Rcos θ) i ˆ = + sen ( αrcos θ + ω Rsenθ)ˆ j v v [ a( θ) cos θ ] i ˆ = + sen + [ acos θ + senθ ] j ˆ R R O módulo de a f é a f v v = [ a( + senθ) cos θ ] + [ acos θ + senθ ] R R 4 v = a ( + senθ) + a v R R cosθ C E D E R J 59

262 Mecânica Movimento em um efeencial não inecial A maio aceleação elativa ao solo pode se encontada maximizando a f. Chamando de θ o ângulo onde o máximo ocoe, temos d a f dθ θ av = a cosθ + senθ = R o que dá tanθ = ar v Nós queemos a solução coespondente ao segundo quadante: O que implica cosθ = v ar e senθ = 4 ( ar) + v ( ar) + v 4 (Calcule a deivada segunda de a f e veifique que esta é a solução que dá um máximo.) Substituindo esses esultados em a f, obtemos a max f = [ a( + ar ( ar) + v 4 v ) ( R v ( ar) + v 4 )] i^ + [ a( v ( ar) + v 4 ) v + R ar ] ( ar) + v j ^ 4 = ( a + a 4 v /( ar) + a + /( ) + /( ) ) v ar v ar i ^ 4 4 = a( + 4 ^ + v /( ar) ) i A aceleação máxima é puamente hoizontal. 6 C E D E R J

263 9.5. Como antes, vamos considea a velocidade do pojétil na situação hipotética de que a Tea não estivesse giando ^ v( t) = ( v gt) k AULA 9 MÓDULO Com este esultado então calculamos a foça de Coiolis F = Coiolis m( ω v) ; mω( cos λi^ ^ ^ + senλk) ( v gt) k = mω ( v gt )cos λ ^ j Potanto, &&y = ω cos λ ( v gt) que, integando com as condições iniciais &y ( ) = e y( ) =, obtemos 3 y = ω cos λ[ vt gt ] 6 O pojétil chega ao solo quando t = v / g e v = gh. O valo de y seá 3 v v y = ω cos λ[ v g ] g 6 g v 4 ( gh) / = ω cosλ = ω cosλ 3 g 3 g ou, paa o oeste. y = 4 ω cosλ h g C E D E R J 6

264 .

265 Colisões A U L A Meta da aula Estuda colisões elásticas e inelásticas ente duas patículas. objetivos Espeamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: deduzi as elações cinemáticas ente as configuações inicial e final na colisão elástica de duas patículas; enconta a elação ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento paa as inteações consideadas no texto da aula e, a pati dela, obte a seção de choque difeencial; desceve as colisões tanto no sistema de cento de massa quanto no sistema de laboatóio.

266 Mecânica Colisões INTRODUÇÃO Quando uma patícula é lançada conta outa e elas colidem, váios podem se os esultados do pocesso de colisão. Se as patículas finais são as mesmas que as iniciais, chamamos o pocesso de espalhamento. O espalhamento é elástico se a enegia cinética total das patículas é consevada. Caso contáio, o espalhamento é dito inelástico. Se as patículas finais são difeentes das iniciais, dependendo dos tipos de patícula e das enegias envolvidas, o pocesso de colisão pode se, po exemplo, uma eação nuclea ou uma eação química. Se tivemos váias patículas finais, o pocesso pode tata-se, po exemplo, de uma eação de fagmentação ou de colisão de alta enegia ente patículas elementaes. Aqui estaemos consideando somente os casos nos quais emegem duas patículas finais, iguais ou difeentes das iniciais. As patículas podem se tanto copos macoscópicos, como bolas de bilha ou copos celestes, ou, ainda, petence à escala atômica ou subatômica. Em geal, quando falamos de uma colisão, em Física, estão implícitas as seguintes condições essenciais:. a inteação é confinada, paa todos os popósitos páticos, dento de algum intevalo de tempo limitado, de modo que possamos dize que ela tem um começo e um fim;. ao longo da duação da colisão, o efeito de quaisque foças extenas pode se ignoado, de modo que o sistema se compota como se estivesse isolado. Assim, falamos em estado inicial ou configuação inicial do sistema como sendo o estado das patículas antes da colisão, onde a inteação ente elas é despezível e elas se movem como patículas lives. O estado final ou configuação final é o estado depois da colisão quando as patículas já emegiam da egião de inteação e novamente se movem como patículas lives. Quando duas patículas inteagem, o movimento de uma elativa à outa é govenado pela lei de foça que desceve a inteação. Essa inteação pode esulta do contacto ente os dois objetos, como numa colisão de duas bolas de bilha, ou pode ocoe atavés da intemediação de um campo de foça, como nos casos da inteação gavitacional e da inteação eletomagnética. Duante a inteação, elas podem toca enegia e momento. Essa toca deve se tal que o momento total e a enegia total sejam consevados. O poblema fundamental da teoia das colisões consiste em obte a configuação final a pati da configuação inicial. Paa isso, em pincípio, é necessáio conhece as foças de inteação ente as patículas. Em muitas situações, essas foças não são bem conhecidas e a análise dos esultados da colisão são usados paa obte infomação sobe as pópias inteações. 64 C E D E R J

267 Duante todo o século XX, as colisões foam o pincipal meio de obte infomações sobe as inteações ente as patículas atômicas e subatômicas. Tudo começou po volta de 9, quando Lod Ruthefod e seus estudantes, Geige e Masden, ealizaam uma séie de expeiências sobe o espalhamento de patículas α po folhas metálicas finas. Essas expeiências mostaam que a maio pate da massa de um átomo está concentada num pequeno núcleo positivamente caegado. Estava descobeto o núcleo atômico. O mesmo tipo de expeiência mostou a existência da foça nuclea. A pati daí, começaam a se constuídos os aceleadoes de patículas até os gigantescos aceleadoes de hoje que aceleam patículas atômicas e subatômicas até velocidades muito póximas da velocidade da luz. Quase todas as patículas elementaes conhecidas foam descobetas po meio do estudo de colisões. Emboa as colisões ente patículas elementaes exijam mecânica quântica paa seu coeto tatamento, conceitos como efeencial de momento zeo, seção de choque difeencial e a aplicação das lei de consevação são semelhante aos usados nesta aula. AULA MÓDULO O REFERENCIAL DE CENTRO DE MASSA Considee um efeencial inecial S e um outo efeencial inecial S movendo-se com velocidade u em elação a S. Figua.: O efeencial S' movendo-se com velocidade constante u em elação ao efeencial inecial S. C E D E R J 65

268 Mecânica Colisões Dado um sistema de patículas, a velocidade da i ésima patícula em S está elacionada com sua velocidade em S como segue: v = v + u i i (.) É fácil obseva que se o momento é consevado numa colisão no efeencial S, ele também é consevado no efeencial S. Isto é vedade, poque tanto o momento inicial quanto o momento final em S, são acescidos da mesma quantidade ( m ) u, compaados com seus espectivos valoes em S. Seja P = m v o momento total do sistema de patículas no i i efeencial S. Então, podemos considea um efeencial S movendo-se em elação a S com a velocidade u dada po i P u = M (.) onde M = m i é a massa total do sistema. Usando a Equação (.), vemos que nesse efeencial o momento total do sistema de patículas é zeo: P = mivi P = mi vi M = P P = (.3) O efeencial no qual o momento total de um sistema de patículas é zeo é chamado efeencial de cento de massa, ou efeencial do CM. No efeencial do CM, o cento de massa do sistema de patículas está paado. De fato, a posição do CM em S é dada po R CM mi i = M (.4) e, logo, o cento de massa move-se em S com a mesma velocidade que S, & V = R = u. Podemos, então, toma a oigem do efeencial de CM CM cento de massa no pópio cento de massa do sistema de patículas. O efeencial do CM é muito útil. Nele, como teemos opotunidade de ve em alguns exemplos, pocessos físicos são mais siméticos e os esultados mais tanspaentes. 66 C E D E R J

269 Um outo efeencial que as pessoas usam é o que chamamos efeencial de laboatóio, ou efeencial do LAB, que é simplesmente um efeencial inecial no qual as condições do poblema são dadas. Se fo mais fácil esolve o poblema no efeencial do CM, então isso envolve passa do efeencial de laboatóio paa o CM e, no final, tansfoma o esultado de volta paa o efeencial de laboatóio. AULA MÓDULO Exemplo.. Uma massa m com velocidade v se apoxima de uma massa M estacionáia (ve Figua.). As massas colidem sem qualque peda ou ganho de enegia cinética. Quais são as velocidades finais das patículas? Suponha que todos os movimentos ocoem em uma dimensão. Figua.: No efeencial de LAB, patícula de massa m se apoxima de outa de massa M estacionáia. Solução: O momento total no laboatóio é mν e, potanto, o efeencial do CM se move paa a dieita no efeencial de laboatóio com velocidade m v /( m + M) = u. Assim, no efeencial do CM, as velocidades das duas massas são mv Mv vm = v u = v = m + M m + M mv vm = u = m + M (.5) Note que a difeença ente as velocidades ν m e ν M é ν e que a azão ente seus módulos é M/m, como exigido paa que o momento total seja zeo. O ponto impotante a compeende aqui é que, no efeencial do CM, a única coisa que as patículas podem faze ao colidiem é invete suas velocidades (contanto que elas ealmente se choquem). Isto poque os módulos de suas velocidades ainda devem esta na azão M/m após a colisão paa que o momento total pemaneça igual a zeo. Potanto, se os módulos das velocidades pudessem muda, ambos teiam de cesce C E D E R J 67

270 Mecânica Colisões ou ambos teiam de diminui. Mas se uma dessas coisas acontecesse, a enegia cinética total não seia consevada. Se agoa passamos de volta paa o efeencial do laboatóio, adicionando mv /( m + M) às novas velocidades Mv /( m + M) e mv /( m + M), obtemos as velocidades finais no efeencial de laboatóio (.6) Casos paticulaes: (a) Se m = M, a patícula que incide com velocidade v fica paada após a colisão e a patícula que estava paada sai com velocidade v. (b) Se M >> m, a patícula incidente bate e volta com a mesma velocidade e a patícula de massa M paticamente não se move. (c) Se m v v m M Mv m M u ( m M) v = + = + m + M mv m M u mv = + = + m + M >> M, então, v m v e v v. M COLISÕES ELÁSTICAS UNIDIMENSIONAIS No exemplo anteio, temos um tipo de colisão que é chamada elástica. Uma colisão é elástica quando não há nenhuma peda de enegia cinética tanslacional. Assim, não somente nenhuma enegia cinética tanslacional pode degada-se em calo, como também nenhuma pate pode se convetida em enegia cinética otacional ou enegia vibacional. Paa esolve qualque poblema de colisão elástica, tudo que pecisamos faze é esceve as equações de consevação da enegia e do momento e esolvê-las paa as vaiáveis que queemos enconta. Exemplo.. Paa ilusta o pocedimento geal, esolveemos novamente o poblema do Exemplo. agoa no sistema do LAB. Vamos usa aqui a seguinte notação: v e v são as velocidades iniciais das massas m = m e m = M, espectivamente; v e v são as velocidades finais. Como v = v e v =, as equações de consevação do momento e da enegia são, espectivamente, mv + = mv + Mv mv + = mv + Mv (.7) 68 C E D E R J

271 Devemos esolve estas duas equações paa as duas incógnitas, v e v. Resolvendo a pimeia equação paa v e substituindo na segunda, obtemos mv mv M m v v ( ) = + M = ( m + M) v ( m M) v ( v v) ( ) (.8) AULA MÓDULO Há duas soluções possíveis. Uma solução é v = v, mas não é a que estamos pocuando. Ela coesponde à situação em que não há colisão. A solução que pocuamos é m M v v = ( ) m + M (.9) Substituindo a Equação (.9) na equação de consevação do momento, obtemos paa a velocidade da patícula de massa M v mv = m + M (.) Esses esultados estão em acodo com os obtidos no exemplo anteio. Note, poém, que é muito mais simples esolve o poblema tabalhando no efeencial do CM. Exemplo.3. Moste que, numa colisão unidimensional, a velocidade elativa de duas patículas após a colisão é o negativo da velocidade elativa antes da colisão. Solução: sejam m e m as massas das patículas, v e v suas velocidades iniciais e v e v as velocidades finais. Da consevação do momento e da enegia, temos m v + m v = m v + m v m v + mv = m v + m v (.) C E D E R J 69

272 Mecânica Colisões Reaanjando essas equações, podemos esceve m ( v v ) = m ( v v ) m ( v v ) = m ( v v ) (.) (.3) Dividindo a segunda equação pela pimeia, encontamos que v + v = v + v. Potanto, v v = ( v v ) (.4) v Note que as Equações (.) e (.3) também admitem a solução = v e v = v. Mas esta é uma solução tivial que, como vimos, coesponde às patículas passaem uma pela outa sem inteagi. A solução geal da colisão elástica de duas patículas em uma dimensão pode se obtida esolvendo as duas Equações (.) e (.4) paa v e v. Obtemos: v v m m m m v m = m m v m m m v m m = v + m + m (.5) Vemos que as velocidades finais, neste caso, são inteiamente deteminadas pelas velocidades iniciais e pela consevação do momento e da enegia cinética, não dependendo da natueza das foças de inteação (desde que coespondam a um pocesso elástico). COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS No tatamento de colisões em mais de uma dimensão, vamos nos estingi ao caso em que uma das patículas, que chamaemos de alvo, está em epouso. Este é o caso em muitas situações páticas. Além disso, não pedemos nada em genealidade, poque se o alvo estive inicialmente se movendo, sempe podeemos faze uma mudança paa um efeencial inecial se movendo com a velocidade do alvo e cai de volta na situação do alvo paado. Antes de considea o caso geal, vamos exploa uma colisão em que as patículas têm massas iguais ilustando os difeentes modos de descevê-la. 7 C E D E R J

273 Exemplo.4. Uma bola de bilha lisa, com velocidade v, incide sobe uma outa idêntica estacionáia. As bolas colidem elasticamente de tal modo que a bola incidente é defletida de um ângulo ψ (ve Figua.3). Quais são as velocidades finais das bolas? Qual é o ângulo φ no qual a bola inicialmente estacionáia é ejetada? AULA MÓDULO ν f V f Figua.3: Configuações inicial e final da colisão elástica de duas massas iguais com a patícula incidente sendo defletida de um ângulo ψ. Na Figua.4. esquematizamos, com mais detalhes, as bolas de bilha em colisão. O paâmeto b é chamado paâmeto de impacto, ou paâmeto de choque. Se b =, a colisão seá unidimensional. Agoa, a inteação ente duas esfeas ígidas é uma inteação de contacto e, potanto, se b > R, onde R é o aio das bolas, não há colisão. Quando afimamos que o ângulo de deflexão é ψ, está implícito que < b < R. ν f V f Figua.4: A mesma colisão da Figua.3, poém mostando o paâmeto de impacto associado ao ângulo de deflexão ψ. C E D E R J 7

274 Mecânica Colisões Aplicando a consevação do momento e da enegia, temos mv = mv cosψ + mv cosφ mv f f senψ = mv mv = mvf + mvf f f senφ (.6) Devemos esolve essas equações paa as tês incógnitas v, V e φ. Há váias maneias de faze isto. Aqui está uma: elimine f f φ adicionando os quadados das duas pimeias equações (após passa mv f cosψ paa o lado esquedo) paa obte v vv cosψ + v = V f f f Agoa, da teceia equação em (.6), temos (.7) v v = V f f (.8) que, combinando com a Equação (.7), diz que vf = v cosψ (.9) A Equação (.8) então eque que Vf = vsenψ (.) Substituindo (.9) e (.) na segunda Equação (.6), obtemos m( v cos ψ ) senψ = m( vsenψ ) senφ Esta elação implica que senφ = cos ψ, ou φ = 9 ψ (.) ou seja, as duas, após a colisão, se afastam uma da outa em ângulo eto. Há um modo bem mais simples e elegante de obte esse último esultado. Basta esceve as equações de consevação na foma vetoial. Como as massas são iguais, temos 7 C E D E R J

275 v = v + V v = v + V (.) Mas, da pimeia equação temos que v = v + v V + V compaando com a segunda, concluímos que f f f f f f f f e, AULA MÓDULO v f V = ψ + φ = 9 f (.3) Vejamos, finalmente, como um obsevado no efeencial do CM desceve a colisão. O cento de massa se move no efeencial do laboatóio com velocidade u = v /, onde v é o veto velocidade inicial da patícula incidente. Então, as velocidades iniciais das patículas no CM são vi = v u = v (.4) Vi = u = v Como a enegia cinética é consevada, as velocidades finais devem te o mesmo módulo, e, pela consevação do momento, sentidos opostos. Assim, teemos uma situação como mostada na Figua.5. ν f ν / ν / V f Figua.5: A colisão da Figua.3 vista do efeencial do cento de massa. É fácil de ve que ψ = θ/ e que φ = ( π θ)/ e logo, θ + φ = π / como havíamos concluído antes. Passemos, agoa, ao caso geal em que as patículas têm massas difeentes, a patícula de massa m tem velocidade inicial e a patícula de massa M está inicialmente em epouso. C E D E R J 73

276 Mecânica Colisões m M ν f V f M Figua.6: Configuações inicial e final da colisão de duas patículas de massas m e M. Aplicando a consevação do momento e da enegia temos de esolve as seguintes equações: (.5) Note que, agoa, temos tês equações nas quato incógnitas v, V,ψ e φ. A configuação inicial não detemina completamente a f f configuação final. Como deve te ficado clao, é bem mais simples tabalha no efeencial do cento de massa. Neste efeencial, as velocidades iniciais das patículas são Note que m v mv = mv cosψ + MV cosφ mv f (.6) + MV =, como exigido pela consevação do i i f senψ = MV mv = mvf + MVf momento. Já sabemos que, como a colisão é elástica, após a colisão o módulo da velocidade de cada patícula continua o mesmo mudando apenas a dieção. Vamos chama de ˆn o veto unitáio na dieção de v f. Assim, as velocidades finais no efeencial do CM são f f senφ M v m M v i = + m V m M v i = + v f V f M = n M vn ^ + m = m + M vn ^ (.7) 74 C E D E R J

277 As velocidades após a colisão, no efeencial do laboatóio, são obtidas adicionando a essas expessões a velocidade do CM: V v f = f = M n M vn m ˆ + + m + M v m m M vn m ˆ + + m + M v (.8) (.9) AULA MÓDULO Podemos intepeta gaficamente os esultados obtidos. Paa isso é inteessante passa das velocidades paa os momentos. Multiplicando a Equação (.8) po m e a Equação (.9) po M, obtemos m p vn m M p v n m M v f = µ ˆ + = µ ˆ + µ ˆ + M P vn m M p v n v f = µ ˆ + = µ ˆ + µ + (.3) (.3) onde µ = mm /( m + M) é a massa eduzida do sistema. Temos tês casos a considea: m m = M, Figua.9. < M, Figua.7; m > M, Figua.8; p f p f Figua.7: m < M. Cículo de aio µν com os vetoes das Equações (.3) e (.3) epesentados. Note que AO = ( m / M)µ v > OB = µ v. p f p f Figua.8: m > M. Neste caso, AO = m M v > OB = v ( / )µ µ. C E D E R J 75

278 Mecânica Colisões p f p f Figua.9: m = M Aqui AO = OB. É fácil mosta a pati dos diagamas que os ângulos ψ e φ podem se expessos em função do ângulo θ pelas fómulas Msenθ tanψ, cosθ φ π θ = = m + M (.3) As fómulas dos módulos das velocidades das duas patículas, após o choque em função do mesmo ângulo de espalhamento θ, são: v f = m + M + mm cosθ v m + M V f = mv sen θ m + M (.33) (.34) Note que, no caso da Figua.8, isto é, quando a massa da patícula incidente fo maio que a massa da patícula alvo, existe um valo máximo do ângulo de espalhamento ψ. De fato, o ponto C deve esta sempe sobe o cículo e pode-se ve facilmente que o ângulo ψ passa po um máximo quando a dieção de p f é tangente ao cículo (ve Figua.4 no poblema P.4). Da Figua.4. vemos que µ senψ = CB = v máx = mæx AO m µ M v M m (.35) 76 C E D E R J

279 ESPALHAMENTO POR UM CENTRO DE FORÇA Até agoa o que nós fizemos foi deiva elações ente o estado inicial e o estado final das patículas na colisão a pati das leis de consevação da enegia e do momento. Poém, essas são somente elações cinemáticas ente as divesas quantidades envolvidas. Não tentamos pedize o ângulo de espalhamento ou uma velocidade final. Note que, no efeencial de laboatóio, as leis de consevação fonecem somente tês equações escalaes nas quato incógnitas (veja as tês Equações (.5) onde as incógnitas são v, V,ψ e φ ). Paa enconta o esultado da colisão, é peciso esolve as equações do movimento paa as patículas. O poblema fica mais clao no efeencial do CM. Paa detemina completamente o esultado da colisão, é peciso enconta o ângulo θ e, paa isso, pecisamos conhece a inteação ente as patículas e detemina suas tajetóias. Nós já sabemos como esolve esse poblema quando a foça é cental. Foi o tema da Aula 8. Lá mostamos que o poblema de duas patículas inteagindo pode se eduzido ao poblema de enconta o movimento de uma única patícula de massa m (igual à massa eduzida do sistema) e veto posição (igual ao veto posição elativa), medido em elação a um cento de foça fixo no cento de massa das patículas. Aqui vamos considea somente foças centais. Como você já sabe, o movimento sob a ação de uma foça cental é plano e vamos chama de e φ as coodenadas polaes da patícula, como fizemos na Aula 8. A equação da óbita (φ) é dada pela Equação (8.5) f f AULA MÓDULO d u m u f dφ + = u l u (.36) onde f ( ) = dv / d e l = m φ & é o momento angula. Aqui, estamos inteessados nas óbitas com enegia total positiva, E >. No caso de um potencial V() que vaia com o inveso da distância, já vimos na Aula 8 que as óbitas são hipebólicas. Nosso poblema é esolve a Equação (.36) quando a enegia total e o momento angula da patícula são e E = mv l = mvb (.37) (.38) C E D E R J 77

280 Mecânica Colisões onde v é a velocidade da patícula a uma distância infinita do cento de foça e b é o paâmeto de impacto. Uma vez encontada a óbita, podemos acha a elação ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento b(θ). O ângulo de espalhamento é univocamente especificado pelo paâmeto de impacto se a lei de foça fo conhecida. Cento de espalhamento Figua.: Espalhamento de uma patícula po um cento de foça epulsiva. A patícula, a uma distância muito gande do cento de espalhamento, tem velocidade v. O paâmeto de impacto b e o ângulo de espalhamento θ estão indicados. A SEÇÃO DE CHOQUE Nas aplicações físicas, feqüentemente não tatamos com o desvio de uma patícula individual: no espalhamento de patículas atômicas ou nucleaes, na vedade, nós nem seque podemos escolhe nem medi dietamente o paâmeto de impacto. Em tais situações, só podemos fala em temos da pobabilidade de espalhamento nos váios ângulos θ. Considee um feixe unifome de patículas todas de mesma massa e mesma enegia incidindo sobe um cento de foça. A intensidade I do feixe incidente é definida como o númeo de patículas po unidade de tempo atavessando uma unidade de áea nomal ao feixe. O espalhamento é descito po uma quantidade chamada seção de choque difeencial de espalhamento. A seção de choque difeencial, σ ( θ), paa espalhamento num dado ângulo sólido dω num ângulo paticula θ, é definida po σ( θ) = númeo de patículas espalhadas no ângulo sólido dω po unidade de tempo intensidade incidente 78 C E D E R J

281 Se o espalhamento tive simetia axial (como é o caso paa foças centais), podemos ealiza a integação sobe o ângulo azimutal obtendo π, e então o elemento de ângulo sólido dω é dado po (.39) dω = π senθ dθ AULA MÓDULO Cento de espalhamento Figua.: As patículas do feixe incidente que passam atavés do elemento de áea ente b e b + db são espalhadas no elemento de ângulo sólido dω = π sen θ dθ na dieção θ. Figua. mosta que o númeo de patículas com paâmetos de impacto ente b e b + db deve coesponde ao númeo de patículas espalhadas na faixa angula dθ no ângulo θ. Potanto, Iπ bdb = Iσ ( θ) π senθ dθ (.4) onde db / dθ é negativo poque estamos supondo que a lei de foça é tal que a quantidade de deflexão angula decesce monotonicamente com o aumento do paâmeto de impacto. Temos assim que σ ( θ ) = b db senθ dθ (.4) nome. Note queσ ( θ) tem a dimensão de uma áea, consistente com seu C E D E R J 79

282 Mecânica Colisões ESPALHAMENTO DE RUTHERFORD Considee o espalhamento de patículas caegadas num campo de Coulomb. A enegia potencial é V( ) = k (.4) onde k = q q /( 4πε ), sendo k > (foça epulsiva) se as cagas das patículas, q e q, foem de mesmo sinal, e k < (foça atativa) se as cagas foem de sinais opostos. A Equação (.36) então tona-se d u mk u dφ + = l (.43) As condições iniciais são como φ quando d dt = v quando (.44) A solução da Equação (.43), você já sabe, pode se escita mk u = Acosφ + Bsenφ l (.45) Aplicando a pimeia condição inicial, mk u = = = Acos + Bsen l A = mk l (.46) (.47) Paa aplica a segunda condição inicial, pimeio escevemos d / dt = ( d / dφ)( dφ / dt) = ( l / m )( d / dφ) = ( l / m) du / dφ (.48) Assim, l v = ( m A sen + B cos ) B = mv = l b (.49) Com esses esultados a equação da óbita fica k = (cos φ ) + senφ mv b b (.5) 8 C E D E R J

283 Agoa podemos usa a óbita paa detemina o ângulo de espalhamento θ em função do paâmeto de impacto. A condição é AULA MÓDULO, φ π θ (.5) Aplicando esta condição à Equação (.5), encontamos k mv b (cos( π θ) ) + sen( π θ) = b (.5) ou, k mv b ( + cos θ) = senθ b (.53) Usando que cosθ + = cos ( θ / ) e senθ = sen( θ / )cos( θ / ), temos finalmente cot θ = mv k b (.54) De posse da elação ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento, podemos agoa calcula a seção de choque. Da Equação (.54) tiamos que db k dθ = mv sen ( θ / ) (.55) Substituindo as Equações (.54) e (.55) na Equação (.4), chegamos à famosa fómula de Ruthefod: σ( θ) = k mv 4 sen ( θ / ) (.56) Esta é a fómula da seção de choque difeencial paa espalhamento Coulomb deduzida em 9, po Lod Ruthefod e que foi veificada expeimentalmente po Geige e Masden no espalhamento de patículas α po uma lâmina muito fina de ouo. Ruthefod intepetou os esultados expeimentais, inespeados pelas teoias da época, como sendo esultado do espalhamento das patículas α po núcleos onde estaia concentada toda a caga positiva do átomo de ouo. Assim foi descobeto o núcleo atômico e teve início a física nuclea. C E D E R J 8

284 Mecânica Colisões A fómula de Ruthefod não depende do sinal de k. Assim, a foma da distibuição de espalhamento vale tanto paa a foça atativa quanto paa a foça epulsiva. ESPALHAMENTO POR UMA ESFERA DURA O cálculo da seção de choque é imediato uma vez que a elação ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento seja conhecida. Em geal, detemina esta elação é muito difícil, mas no poblema que vamos tata agoa, ela pode se deduzida a pati de consideações elementaes. Considee uma esfea dua de aio a com a qual um pojétil colide elasticamente. A Figua (.) mosta um pojétil com paâmeto de impacto b < a e vemos que b = asenθ e que θ = Θ π. Conseqüentemente, achamos b = acos b < a θ paa (.57) e, claamente, θ = paa b > a. Substituindo na Equação (.4), obtemos σ( θ) = a 4 (.58) A seção de choque difeencial (.58) é independente do ângulo de espalhamento, ou seja, é isotópica. Assim, patículas emegem unifomemente em todas as dieções após seem espalhadas po uma esfea dua. Note que a seção de choque total paa espalhamento po uma esfea dua é a áea geomética σ T = σ ( θ ) d Ω = π a (.59) poque todas as patículas incidentes naquela egião são emovidas do feixe incidente. 8 C E D E R J

285 AULA MÓDULO Figua.: Espalhamento elástico po uma esfea dua. COLISÕES INELÁSTICAS Não vamos aqui tenta enconta a seção de choque paa um pocesso inelástico, petendemos somente ilusta com um exemplo as elações cinemáticas. O que caacteiza o pocesso inelástico é que pode have um ganho ou peda esultante de enegia cinética duante o pocesso. Assim, suponha uma colisão ente duas patículas de massas m e m que eagem paa poduzi patículas de massas m 3 e m 4. Consideando a patícula m inicialmente paada, e uma vez que a colisão é inelástica, a gandeza Q = m3v3 + m4v4 m v (.6) é difeente de zeo. Se Q >, pate da enegia cinética inicial é pedida, convetendo-se em outa foma de enegia, e o pocesso se diz endoégico. Se Q <, há um ganho de enegia cinética, e o pocesso é exoégico. m m p m 3 p 3 3 p 4 4 m 4 Figua.3: Colisão inelástica onde as patículas finais são difeentes das iniciais. C E D E R J 83

286 Mecânica Colisões A consevação do momento, onde p p = p3 + p4 = m v, é i i i (.6) Note que, confontada com a situação da colisão elástica, temos agoa uma incógnita adicional (Q), de modo que é peciso da duas gandezas associadas à configuação final paa que as leis de consevação do momento e da enegia a definam. Suponha então que, numa expeiência, a enegia cinética da patícula de massa m 3, K 3, e o ângulo φ 3 são medidos. Da Equação (.6), p = ( p p ) = p + p p p cosφ (.6) Substituindo p = m K (i =, 3, 4) nesta equação, podemos i i i esceve paa a enegia cinética da patícula 4: K 4 m m K m 3 m K m m3 = m m K K cosφ (.63) o fato Q Substituindo este esultado na Equação (.6), obtemos paa m Q = + m K m 3 m K m m3 m m K K 3 3 cosφ (.64) R E S U M O Uma colisão ente duas patículas é um pocesso em que uma é lançada conta a outa, podendo toca enegia e momento em conseqüência de sua inteação. Quando as mesmas patículas emegem da egião de inteação, o pocesso é chamado de espalhamento. O espalhamento é elástico se a enegia cinética final fo igual à enegia cinética inicial. No espalhamento elástico unidimensional, a configuação final é completamente deteminada pela configuação inicial atavés das equações de consevação do momento e da enegia cinética. No espalhamento bidimensional, a consevação do momento e da enegia cinética fonecem somente tês equações escalaes (as Equações (.5) nas quato incógnitas, os módulos das velocidades finais e os ângulos que elas fazem com a dieção 84 C E D E R J

287 de incidência ( v, V,ψ e φ nas Equações (.5)). Assim, paa detemina a f f configuação final numa colisão bidimensional, pecisamos conhece a inteação ente as patículas e enconta suas óbitas. O paâmeto de impacto é a distância ente a linha de movimento inicial da patícula incidente e o alvo (ve Figua., po exemplo). Conhecendo-se a dependência do paâmeto de impacto no ângulo de espalhamento, podemos obte a seção de choque difeencial paa o espalhamento elástico atavés da Equação (.4). A seção de choque difeencial é uma áea efetiva de choque e está elacionada com a pobabilidade de que a patícula seja espalhada numa ceta dieção. A seção de choque difeencial de espalhamento elástico po uma esfea dua no efeencial do CM é isotópica. Paa uma foça que vaia com o inveso do quadado da distância, a distibuição angula de espalhamento é dada pela fómula de Ruthefod AULA MÓDULO σ( θ) = k mv Quando as patículas que emegem da egião de inteação são difeentes das patículas incidentes, o pocesso é chamado de eação. Uma eação é necessaiamente uma colisão inelástica. O fato Q da eação é igual à difeença ente a enegia cinética final e a enegia cinética inicial. 4 sen ( θ / ) PROBLEMAS P.. Numa colisão elástica fontal de duas patículas com massas m e m, as velocidades iniciais são ν e ν = λν (λ > ). Se as enegias cinéticas iniciais das duas patículas foem iguais no efeencial de LAB, enconte as condições sobe ν / ν e m / m de modo que m esteja em epouso após a colisão. P.. Patículas de massa m são espalhadas po patículas de massa m em epouso. (a) Em que ângulo, no LAB, deve se posicionado um espectômeto magnético paa detecta patículas que pedem um teço de seu momento? (b) Sobe que faixa de valoes de m / m isto é possível? (c) Calcule o ângulo de espalhamento paa m / m =. C E D E R J 85

288 Mecânica Colisões P. 3. Um átomo de hidogênio, movendo-se com velocidade v, colide elasticamente com uma molécula de hidogênio em epouso, sofendo uma deflexão de 45. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do átomo após a colisão; (b) a dieção de movimento da molécula (com espeito à dieção inicial de movimento do átomo) e a magnitude de sua velocidade. P. 4. Qual é o ângulo máximo de espalhamento elástico de uma patícula alfa po um nêuton em epouso? (Massa da alfa apoximadamente igual a quato vezes a massa do nêuton). Neste ângulo, que fação da enegia cinética incidente vai paa o nêuton de ecuo, e qual é o ângulo ente a dieção do ecuo e a de incidência? P. 5. Moste que a elação ente o ângulo de espalhamento θ e o paâmeto de impacto b pode se escita como θ = π Θ onde Θ = u min du V / E b u Como na Aula 8, aqui u = l / e u min é o ponto de etono clássico. P. 6. A pati da elação geal ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento deduzida no poblema anteio, enconte a seção de choque de espalhamento de Ruthefod. P. 7. Um feixe unifome de patículas com enegia E é espalhado po um potencial cental epulsivo V( ) = γ /. Moste que a seção de choque difeencial elástica é dada po γ π π θ σ( θ) = Esenθ θ ( π θ) P. 8. Considee uma eação de captua, na qual as patículas emegem "gudadas". Moste que esse tipo de eação é sempe endoégica. 86 C E D E R J

289 P. 9. A eação He + N O + H, (.65) 7 8 AULA MÓDULO descobeta em 99 po Ruthefod, foi a pimeia eação nuclea poduzida atificialmente, que usou patículas α de 7,7 MeV de uma fonte adioativa. Os pótons ( H ) emitidos a 9 com a dieção das patículas α incidentes, têm enegia cinética de 4,44 MeV. Detemine o fato Q da eação. SOLUÇÕES P.. Como as enegias cinéticas iniciais são iguais, nós temos ou mν = mν = λ m ν m m = λ (.66) (.67) Se m está em epouso após a colisão, a consevação da enegia eque que ou m v + m v = m v (.68) m v = m v (.69) onde v é a velocidade final da patícula de massa m após a colisão. A consevação do momento linea diz que m v + m v = ( m + λ m ) v = m v (.7) obtemos Substituindo v da Equação (.69) na Equação (.68), m v m m m + λ = m v (.7) C E D E R J 87

290 Mecânica Colisões ou m m m = + λ m (.7) Substituindo o valo de m /m da Equação (.67) nesta equação, temos λ = ( λ + λ) (.73) A solução positiva desta equação é λ = =, 44 λ =, 7 (.74) de modo que m m v =, 7 e =, 44 v (.75) P.. Se uma patícula de massa m e velocidade inicial v pede /3 de seu momento, então, sendo v sua velocidade final, m v = m v v = v 3 3 (.76) (a) queemos enconta o ângulo ψ onde saem, no laboatóio, as patículas que pedeam /3 do momento. Da Figua.7, epoduzida a segui, p f p f podemos esceve, lembando que na notação usada no poblema, pf = m v, AO = m µ m v e OC = µ v, m v m m v = v v + + m µ µ µ cosθ m (.77) 88 C E D E R J

291 onde µ = m m /( m + m ) é a massa eduzida do sistema. Desta equação tiamos que v v m m = + m + m m + m m = m ( cos θ) m + m m m + m + m cosθ (.78) AULA MÓDULO Usando o esultado da Equação (.76) paa ν / ν, temos então que 3 = m m m + m ( cos θ) (.79) Esta equação pode se esolvida paa cosθ, dando ( + ) cosθ = 5 m m 8m m = η (.8) onde 5( m + m) η = 8m m (.8) Mas nós queemos ψ, que pode se obtido da Equação (.3) senθ η η tanψ = = cos θ + m / m η + m / m (.8) (b) como tanψ deve se um númeo eal, somente os valoes de m / m tais que η são possíveis. Potanto, 5m m 8( m + m ) (.83) que pode se eduzida a m m m m (.84) As soluções, quando essa equação é igual a zeo, são m / m = / 5, 5. Logo 5 m m 5 (.85) C E D E R J 89

292 Mecânica Colisões (c) quando m / m =, a Equação (.8) dá m 5 + η = m m 8 m Substituindo na Equação (.8), obtemos ψ = 48. = 9 (.86) P. 3. (a) Refeindo-se à Figua.6, o enunciado diz que ψ = 45 e temos que M = m, onde m é a massa do átomo de hidogênio e M a massa da molécula do mesmo elemento. Da consevação do momento e da enegia, podemos esceve mv = mv cos45 + mv cosφ f f (.87) mv f sen45 = mv sen φ f (.88) mv = mv f + mvf (.89) Das duas pimeias equações tiamos que ( v v / ) + ( v / ) = 4V f f f 4V = v vv + v f f f (.9) Da teceia equação, segue que V v v f = f (.9) Juntando os dois últimos esultados, obtemos a seguinte equação paa v f : 3v vv v = f f (.9) Resolvendo esta equação, encontamos paa v f : + 4 vf = v =, 859v 6 (.93) velocidade.) (Nós descatamos a solução negativa poque v f é o módulo da 9 C E D E R J

293 (b) Paa calcula V f, nós substituímos o esultado (.93) na Equação (.9) e obtemos V = f 859 v Vf 36v (.94) ( (, ) ) =, AULA MÓDULO Paa enconta o ângulo φ, usamos a Equação (.88) e achamos vf, 859 senφ = = =, 839 φ = 57, 4 V 4, 36 f (.95) P. 4. A Figua.4 mosta que existe um ângulo máximo. Dela também é fácil obte que senψ = mn = máx max m 4 α (.96) onde m n é a massa do neuton e m α a massa da patícula alfa. Então, ψ mæx = 4, 4. máx Chamemos de v a velocidade da patícula incidente e de v n e v α as velocidades finais do nêuton e da patícula alfa, espectivamente. Novamente, da Figua.4 tiamos que e µ v cos φ = m n v n π φ + ψ φ 38 máx mæx = = (.97) (.98) Da Equação (.97), podemos esceve paa a enegia cinética do nêuton 4m m n α K (.99) n = mnvn = φ m v α ( mn + mα ) cos Substituindo o valo de φ e a elação m α = 4 m n, encontamos finalmente Kn mα v =, 4 (.) C E D E R J 9

294 Mecânica Colisões p f p f Figua.4: Ângulo máximo numa colisão em que a massa da patícula incidente é maio que a do alvo. P. 5. Vamos supo que a foça cental seja epulsiva. O caso de uma foça atativa pode se tatado de foma semelhante. Nas Figuas.5 e.6 mostamos as óbitas coespondentes. Seja V() a enegia potencial. Como você já sabe, o movimento é plano sob a ação de uma foça cental, e vamos chama de e φ as coodenadas polaes da patícula. A sua enegia total é onde l E = m + & m +V ( ) l = m φ& (.) é o momento angula, que é consevado. Resolvendo a Equação (.) paa &, temos d & dt m E V l = = ( ) m (.) de onde dt = d m E V l ( ) m (.3) Em seguida, escevendo a elação φ & = l / m na foma l d φ = m dt 9 C E D E R J

295 e substituindo dt pela expessão da Equação (.3) e integando, obtemos φ( ) = ( l / ) d l m E V m + const. (.4) AULA MÓDULO A tajetóia da patícula num campo cental é simética em elação à eta passando pelo ponto de maio apoximação do cento de foça. Da Figua.5, temos então que θ = π Θ (.5) com Θ = min ( l / ) d l m E V m (.6) A patícula tem velocidade v em =. Assim, o momento angula pode se escito em temos do paâmeto de impacto como e intoduzindo a vaiável u l = mvb = /, (.7) d = u du (.8) A enegia total da patícula é E = ( / ) mv e escevemos l = m Eb (.9) Substituindo as Equações (.7), (.8) e (.9) na Equação (.6) ficamos então com Θ = min = b = b ( l / ) d l m E V m mvdu u min u min V me E b u du V E b u (.) C E D E R J 93

296 Mecânica Colisões É desse modo que a elação ente o ângulo de espalhamento e o paâmeto de impacto é calculada em muitos textos de mecânica. Nos poblemas seguintes, vamos aplicá-la ao potencial de Coulomb e também paa enconta a seção de choque de espalhamento paa um potencial que vaia com o inveso do quadado da distância. Cento de espalhamento Figua.5: Espalhamento po um cento de foça epulsiva. Cento de espalhamento Figua.6: Espalhamento po um cento de foça atativa. P. 6. Fazendo V( ) = k /, (k > ), na expessão (.), o ângulo Θ fica dado po Θ = b u min du ku E b u (.) 94 C E D E R J

297 O ponto de etono satisfaz a condição kumin b umin E = (.) AULA MÓDULO Consultando uma tabela de integais, encontamos dx cx + b = acsen a + bx + cx c + const., c < = 4ac b < (.3) Aplicando este esultado, achamos paa o ângulo de espalhamento θ = π b b b u k acsen E k 4b + E k b u min = π + asen E acsen k 4b + E umin k E k b + E 4 (.4) Resolvendo a Equação (.) e lembando que u min >, obtemos u min k k = + 4b + b E E k k b umin + = 4b + E E (.5) Com este esultado, voltando à Equação (.3) vemos que θ = π + acsen( ) + acsen + 4 E b k (.6) C E D E R J 95

298 Mecânica Colisões Lembando que ac sen( ) = π /, o π na equação acima é cancelado e ficamos com θ = ac sen de onde tiamos que + 4 E b k θ θ sen =, cos 4 = E b + k Segue, potanto, que Eb k + 4 E b k (.7) (.8) cot θ = Eb k (.9) Este esultado foi obtido no texto da aula atavés da equação da óbita. Como obte a seção de choque a pati daí, já está feito no texto. Quando o potencial é atativo, isto é, quando k <, a análise é a mesma mas com θ = Θ π. P. 7. Vamos calcula a elação ente o paâmeto de impacto e o ângulo de espalhamento usando as Equações (.5) e (.). Substituindo a expessão do potencial na Equação (.), o ângulo de espalhamento fica dado po θ = π b u min du k + E b u A integal que pecisamos esolve é muito simples: (.) Temos que dx = ac sen ax + const. ax a γ a = + E b u, min = a (.) (.) Assim, θ = π b = π γ + E b π γ + b E acsen( ) (.3) 96 C E D E R J

299 Invetendo esta elação, obtemos b( θ) = γ ( π θ) E ( π ( π θ) (.4) AULA MÓDULO Então, a seção de choque difeencial é ou seja, b db σ( θ) = senθ dθ 3 b γ ( π θ) ( π θ) = senθ be π ( π θ) ( π ( π θ) ) b γ ( π θ) ( ( ) ) { ( ) ( ) = π π θ + π θ } senθ be π π θ (.5) γ π π θ σ( θ) = Esenθ θ ( π θ ) (.6) P. 8. Seja v a velocidade da patícula incidente de massa m. Vamos supo que a patícula alvo, de massa M, está em epouso. Antes de calcula o fato Q, vamos esceve a enegia cinética no efeencial do CM. A velocidade do CM é mv u = m + M (.7) Logo, a velocidade de cada patícula no efeencial do CM é Mv v m = v u = m + M mv v M = u = m + M (.8) A enegia cinética no efeencial do CM é então K = mm mv + Mv = m M v CM + (.9) A enegia cinética inicial no efeencial do laboatóio é Ki n = ( m + M) u + KCM = ( m + M) u + mm m + M v (.3) C E D E R J 97

300 Mecânica Colisões Agoa, usando a consevação do momento, encontamos a velocidade com que as patículas gudadas saem juntas mv = mv ( m + M) V V = = m + M u (.3) A enegia cinética final é potanto, K = fin ( M + m) u (.3) O fato Q pode agoa se calculado: mm Q = K K m M v fin in = + (.33) Note que a enegia disponível paa se dissipada numa colisão inelástica é a enegia do sistema no efeencial do CM. No poblema em questão, a Equação (.33) nos diz que toda essa enegia é pedida na eação de captua. A colisão é completamente inelástica. P. 9. Desde que ψ = 9, a equação paa o fato Q, Equação (.64), fica m m H Q = + K 7 4 O m 8 7 m7 8 O 8 H O K 4 H (.34) Podemos toma, com boa pecisão, m m m m H 7 8 O 4 H 7 8 O (.35) Assim, Q = K ( + / 7) K ( 4 / 7) 7 8 O 4 H =, 6K, 765K 7 8 O 4 H =, 6 4, 44MeV, 765 7, 7 =, 8MeV (.36) 98 C E D E R J

301 .

302

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