O FORMATO IDEAL DE UMA LATINHA DE ALUMÍNIO: UMA ABORDAGEM SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO REAL COM A AJUDA DO SOFTWARE EXCEL

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETA O FORMATO IDEAL DE UMA LATINHA DE ALUMÍNIO: UMA ABORDAGEM SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO REAL COM A AJUDA DO SOFTWARE EXCEL Guilheme Santiago de Andade <guilheme-santiago@ig.com.b> Thiago Siqueia Santos <thiagomatematica@hotmail.com> Ulisses Cotta Cavalca <ulisses.cotta@yahoo.com> Guaatinguetá / SP 2007 Pof. D. José Ricado Rezende Zeni Palavas-chave: 1. Infomática na Educação; 2. Máximos e mínimos de uma função eal. Atigo apesentado na disciplina de Infomática na Educação, no Cuso de Licenciatua de Matemática.

2 INTRODUÇÃO Em nossa sociedade existem incontáveis casos onde o conceito de máximos e mínimos são usados. Pojetam-se motoes paa se obte a maio potência e o meno consumo, bateias com maio autonomia e meno peso e mateiais com gande esistência e baixo custo. Poém, em muitos desses casos, o nível de conhecimento exigido paa leva essas contextualizações paa dento da sala de aula é muito alto paa um aluno do ensino médio. Além desse impasse, o pofesso esbaa no fato que seus alunos dificilmente enxegam o ponto de máximo ou mínimo sem conhece o cálculo difeencial. Calcula o fomato ideal de uma latinha de efigeante com a ajuda do computado, feamenta podeosa de visualização, é um poblema acessível a alunos da pimeia séie do ensino médio, que necessita de uma abodagem intedisciplina e que pode leva a uma eflexão sobe o meio ambiente, se o pofesso conduzi o tabalho dessa foma. Algumas das conclusões desse texto povêm de obsevações feitas dento de sala de aula. RECICLAGEM E O USO DAS LATAS DE ALUMÍNIO Segundo o site Ambiente Basil, a podução de latas de alumínio em nosso país começou em 1990 e populaizou-se devido ao fato de supi váias necessidades, tanto do distibuido, quanto do consumido. Em 2003, eciclamos ceca de 89% das 8,2 bilhões de latinhas poduzidas, tonando-nos lídees mundiais no eapoveitamento do alumínio, consideando que esta atividade não é obigada po lei no nosso país. A Inglatea joga no lixo 84% das latas, enquanto que nos Estados Unidos, 60% do alumínio consumido vêm do minéio vigem, segundo Paul Hawken em seu livo Capitalismo Natual. Podeíamos fica felizes com os índices de eciclagem basileios, poém essa dispaidade acontece, não pela consciência ambiental, pelo significado econômico-social das latas. O pocesso de eciclagem envolve ceca de 160 mil pessoas no Basil, muitas delas oganizadas em coopeativas, que vivem exclusivamente da coleta de latas de alumínio. Além do papel econômico, como o alumínio pode se eciclado quantas vezes foem necessáias sem peda de qualidade, a eciclagem gea economia de enegia, 95% em elação à podução do alumínio pimáio. A cada

3 quilo de alumínio eciclado são poupados 5 quilos de minéio buto, a bauxita. É válido lemba que o Basil possui uma das tês maioes esevas de bauxita do mundo, poém este ecuso é finito. Sem o pocesso de eapoveitamento, a fabicação da lata é mais custosa e complicada do que a da pópia bebida que viá a se embalada. DISCUSSÕES EM SALA DE AULA Dento da sala de aula é impotante que o pofesso tabalhe um texto que leve infomações ao aluno sobe o impacto ambiental e social que existe po tás do consumo e os eflexos de ações simples como a eciclagem de alguns mateiais. Só depois o pofesso popõe então a seguinte pegunta: Existe um fomato ideal paa que seja gasto a meno quantidade de alumínio em uma latinha? Se existe qual é esse fomato? A quantidade de mateial gasto na podução de uma latinha está dietamente ligada a sua supefície total, consideando que a espessua do alumínio seja apoximadamente a mesma em todo o copo da lata. O fomato das latas tem sido apefeiçoado atavés dos anos. Exemplos que podem se citados são o pescoço da latinha que é esteitado paa acomoda a tampa que é meno paa eduzi o peso, e o fundo que possui um fomato convexo paa esisti à pessão intena. Poém, paa facilita os cálculos, iemos considea que a latinha é um cilindo eto e tem um volume fixo de 350 m, usaemos esta unidade de medida po se de fácil convesão paa centímetos cúbicos, visto que cada pesente na gande maioia dos ótulos. m é equivalente a um centímeto cúbico, e po esta Sem o uso da álgeba, os alunos devem imagina o que aconteceia com a altua do cilindo se aumentássemos o aio de foma a mante o mesmo volume. Na aplicação desta atividade no Colégio Wandeley Juaez, em São José dos Campos SP uma aluna deu a seguinte esposta: A lata ficaia mais baixinha e mais godinha. Analogamente a lata ficaia mais alta e maga se diminuíssemos o aio. De fato, tomando a fómula do volume do cilindo temos: V 2 = π h, (1)

4 onde V é o volume, é o aio e h é a altua. Se igualamos o volume a 350 e isolamos a vaiável h chegaemos à seguinte igualdade: h = π. (2) Quando o aio fo gande o esultado da divisão vai se pequeno, potanto a altua seá meno. Se o aio fo pequeno, a altua seá maio. Pecebe que o quadado do aio e a altua são invesamente popocionais quando o volume é constante é uma conclusão que os alunos deveiam chega antes de evidenciamos isso algebicamente. A álgeba é um tipo de linguagem, e como tal, seve paa egista, desceve ou pemiti uma nova leitua sobe um fato ou pensamento matemático. De nada adianta sabe esceve se não se conhece o significado do que está escito. Uma análise fundamental paa conclui-se algo sobe o fomato da latinha está elacionada à sua supefície. Novamente os alunos devem usa a imaginação antes de qualque atifício algébico. O que acontece com a supefície se o aio fo muito gande? E se o aio fo muito pequeno? As conjectuas levantadas nesse caso são mais difíceis de se pecebe, sendo assim a álgeba uma feamenta valiosa na compeensão desse poblema. CALCULANDO A SUPERFÍCIE EM FUNÇÃO DO RAIO Paa obte-se a supefície em função do aio é necessáio que os alunos façam uma planificação do cilindo, assim como mosta a figua I. Figua I Planificação de um cilindo cicula eto

5 A supefície total seá duas vezes a áea do ciculo de aio, mais a áea do etângulo de lados h e 2 π. Assim temos: S(, h) = 2π 2 + 2πh Substituindo (2) em (3), na intenção de temos uma função de apenas uma vaiável, obtemos a função S( ) = 2π S 2 + ( ) : 700 Assim que os alunos chegaem na função.. S() como está apesentada em (4), o pofesso faz com que eles apliquem, de uma foma intuitiva, os limites de S() quando o aio tende ao infinito e a zeo. Se o valo da medida do aio aumenta, aumentaá o valo da pimeia pacela de segunda pacela diminuiá. Uma pacela gande mais uma pacela pequena esultam em uma soma gande, ou seja, se o aio aumenta a supefície aumenta. Se o valo da medida do aio diminui, diminuiá o valo da pimeia pacela, aumentaá o valo da segunda pacela e conseqüentemente a supefície também aumenta. S() As notações algébicas de limites não vão se levadas paa sala de aula, poém iemos escevê-las aqui com a intenção de sintetiza o paágafo anteio: (3) (4) e a lim S( ) = + + e lim S( ) = (5) É plausível imagina que deve have um valo intemediáio do aio com o qual possa se constui uma lata de alumínio com a meno supefície, visto que se o aio fo muito gande ou muito pequeno o gasto de alumínio seá maio. Com conhecimentos de cálculo difeencial, esse valo do aio é facilmente encontado quando igualamos a deivada pimeia de S() a zeo. Resolvendo a equação S' ( ) = 0 :

6 700 S' ( ) = 4π = 0 2 4π 700 = π 3 = = 3 3, 8cm 4π Logicamente, não é esse o nível de pofundidade que se que chega com um aluno do pimeio ano do ensino médio. O COMPUTADOR COMO FERRAMENTA DE VISUALIZAÇÃO Dento das 3 gandes categoias popostas po Valente (1989, pág 5), a atividade pode se enquadada dento das feamentas paa alunos e pofessoes. A utilização da planilha eletônica pemite que os alunos manipulem a infomação, pepaando-os paa situações eais no futuo. Neste caso utilizaemos o softwae Excel paa manipulação de uma planilha eletônica. Os alunos ião constui uma tabela de valoes paa S(). O intevalo que podemos considea paa uma constução tabula inicial é o intevalo [0,10]. Assim como mosta a figua II. Figua II Tabela de valoes de S() paa o intevalo [0,10] constuída no Excel.

7 Note que quando o aio assume o valo zeo a função não é definida. Esta é uma ótima opotunidade paa comenta sobe o domínio da função S(). Os númeos negativos fazem pate de seu domínio? Olhando apenas paa a sentença algébica não há poblemas em dize que pode assumi valoes menoes que zeo, mas olhando paa o contexto do qual S() foi etiada, não faz sentido pensa em um cilindo cujo aio da base é zeo. Paa que os alunos saiam do impasse ciado pelo fato do aio assumi o valo zeo, o pofesso pode oientá-los a cia uma tabela paa o intevalo [1,10], ou seja, apenas apaga a linha que possui o valo nulo. Com esta pimeia epesentação tabula é possível constui um gáfico paa melho visualização. Mas qual fomato de gáfico é o mais apopiado paa epesenta o poblema? De acodo com a figua II onde tabulamos os valoes da função S() podemos gea váios tipos de gáficos com a feamenta Excel. Esses tipos podem se visualizados a segui. Figua III Gáfico do tipo pizza geado a pati do EXCEL

8 Figua IV Gáfico do tipo coluna geado a pati do EXCEL Ambos os gáficos apesentados nas figuas III e IV mostam os valoes da função S(), poém de uma maneia não muito adequada. Com o gáfico do tipo coluna conseguimos visualiza um valo mínimo mas, como S() é uma função eal de vaiável eal, não é a melho epesentação. É uma ótima opotunidade paa o pofesso tabalha os divesos tipos de gáficos citando exemplos e aplicações que cada um se melho adequada. Após essa explicação o pofesso podeia deixa os alunos descobiem qual é o melho tipo, dento das opções da feamenta EXCEL, paa epesenta o caso da supefície de uma latinha de alumínio. Apenas com a tabela inseida na figua II podemos ve que o ponto de mínimo dessa supefície é quando o aio assume um valo póximo de 4 cm, poém com o auxílio do gáfico essa infomação é mais evidente, assim como mosta a figua V.

9 Figua V Gáfico da função S() no intevalo [1,10] constuído no Excel. Paa encontamos o ponto de mínimo com maio pecisão vamos constui uma nova tabela, agoa no intevalo [3,5], com o valo do aio vaiando de 0,2 em 0,2 cm e constui um novo gáfico. Note que sem o auxilio do computado, iia se leva muito tempo na constução das tabelas e gáficos, o que não é o foco em questão. Figua VI - Gáfico da função S() no intevalo [3,5] constuído no Excel. Sem o uso do cálculo difeencial, um aluno do ensino médio pode chega ao valo apoximado do aio coespondente a meno supefície. Os alunos então compaam este valo encontado com o valo encontado nas

10 latas de alumínio que são comecializadas e discutem quais foam difeenças encontadas. A compaação ente a sentença algébica, o gáfico e a tabela descaacteiza o tabalho da álgeba pua, assim como sugee Macelo Boba: (...) Com a capacidade de geação de gáficos destas novas mídias há um deslocamento da ênfase algébica dada ao estudo das funções paa uma atenção maio à coodenação ente epesentações algébicas, gáficas e tabulaes. CONCLUSÃO O estudo de máximos e mínimos de uma função, ao busca o fomato ideal de uma latinha de alumínio, eque conhecimentos que vão além da álgeba das funções. Como vimos, foi necessáio agega outos conceitos da matemática, como a geometia espacial e a convesão de unidades de medidas ao nosso estudo. Associa este poblema à questão ambiental, visa a busca de um significado maio paa o aluno. Logicamente este tabalho podeia se ealizado em outo softwae capaz de gea tabelas e gáficos, como o winplot. Poém a escolha de uma planilha eletônica foi feita po esta mais pesente na vida cotidiana e no tabalho. O fato é que o uso do computado dento de sala de aula, paa esta aplicação, está elacionado com o seu potencial em facilita a visualização. Desta foma petende-se que o estudo das funções abandone o caáte abstato e passe a se abodado com uma valoização maio de seu significado e da visualização. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARCELLOS, C. Basil atinge novo ecode em eciclagem de latas de alumínio. Atigo disponível no site Ambiente Basil, Cuitiba, Basil, onteudo=./esiduos/atigos/basil_ecode.html Último acesso: 18 de maio de 2007.

11 BORBA, Macelo de Cavalho; BICUDO, Maia Apaecida Viggiani. Educação Matemática - Pesquisa em Movimento. São Paulo: Cotez editoa, 1ª edição, CARAÇA, Bento J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Editoa Gadiva, 5ª edição, HAWKEN, Paul e outos. Capitalismo Natual: Ciando a póxima evolução industial. São Paulo: Editoa Cultix, 1ª edição, MACHADO, N. J. Matemática e a língua matena. São Paulo: Cotez editoa, 4ª edição, VALENTE, José Amando. Questão do Softwae: Paâmetos paa o desenvolvimento de Softwae Educativo. Núcleo de Infomática Aplicada à Educação Memo nº 24, Univesidade Estadual de Campinas, 1989.