ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE 9º ANO ANO LECTIVO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE 9º ANO ANO LECTIVO Geometia no Epaço NOME: Nº TURMA: Geometia é o amo da Matemática que etuda a popiedade e a elaçõe ente ponto, ecta, cuva e upefície, no plano e no epaço. Euclide foi um matemático que viveu em Alexandia, Egipto e que e ditinguiu no éc. III A.C.. Eceveu uma oba famoa intitulada Elemento contituída po 13 volume. Eta oba continua a e a bae do etudo da Geometia Euclidiana (geometia que tem po bae o axioma de Euclide). Geometia no Epaço é a pate da geometia que etuda a elaçõe obe a poiçõe de ponto, ecta e plano no epaço e a ua epeentação no plano. De um modo geal, em Geometia, epeentam-e: o ponto po leta maiúcula a ecta po doi do eu ponto, ou po leta minúcula o plano po leta gega como,,,... Recta e plano ão conjunto ilimitado de ponto e po io, nunca e podem epeenta completamente. Convencionou-e epeenta um plano po um paalelogamo e deigna-e A B C po uma leta gega (,,,...) ou po tê do eu ponto, não colineae. Conceito pimitivo ão aquele que não caecem de definição, ou eja, que e imaginam intuitivamente (não e definem). Temo pimitivo ão aquele que deignam o conceito pimitivo. (exemplo: ponto, ecta, plano). Temo deivado ão aquele que peciam de definição. (exemplo: emi-eta; egmento de eta; ângulo; polígono; tiângulo, etc.). Axioma ão afimaçõe cuja veacidade e aceita como evidente (em pova). Euclide, a pati de um conjunto de conceito pimitivo, definiçõe e axioma, deduz toda uma éie de popiedade que demonta logicamente (TEOREMAS). Teoema é uma afimação que paa e aceite pecia de e demontada (a pati de axioma aceite e outo teoema). Num teoema é neceáio ditingui: Hipótee Do que patimo num teoema (popoição de patida, que e conidea vedadeia). Tee Onde queemo chega num teoema (popoição que e petende pova). AXIOMAS Doi ponto definem uma eta. Tê ponto não colineae (não petencente à mema eta) definem um plano. Uma eta com doi ponto num memo plano etá contida nee plano. Axioma de Euclide: Po um ponto exteio a uma eta paa uma e ó uma eta paalela à eta dada. A inteecção de doi plano, não paalelo, é uma eta.

2 (1) Diz, jutificando, o valo lógico de cada uma da popoiçõe: (1.1) Numa ecta exitem doi ponto. (1.2) Um ponto divide uma ecta em dua emi-ecta. (1.3) O vétice de um tiângulo definem um plano. (2) Conidea, no plano, a ecta PQ e RS, que e inteectam no ponto I. (2.1) Jutifique que o ponto P, I e S definem um plano. (2.2) A ecta RQ etá ou não contida em? P I S (2.3) Seja T um ponto, tal que T. Jutifique que: (2.3.1) Há um único plano a que petencem o ponto T, S, e P; R Q (2.3.2) Há uma ecta paalela a RS à qual petence o ponto T. Poição elativa de doi plano no epaço Doi plano no epaço podem e Paalelo Concoente Etitamente paalelo Coincidente Pependiculae Oblíquo Doi plano quando ão PARALELOS podem e: Etitamente paalelo ou não coincidente e não têm nenhum ponto em comum. O plano β e µ ão paalelo. Coincidente e têm todo o ponto em comum. O plano β e µ ão coincidente. Doi plano ão CONCORRENTES ou ecante e têm uma única ecta em comum. Doi plano ão concoente pependiculae e dividem o epaço em quato ecçõe iguai. O plano β e µ ão concoente pependiculae. Doi plano ão concoente oblíquo e dividem o epaço em quato ecçõe difeente. O plano β e µ ão concoente oblíquo.

3 Poição elativa ente eta e plano no epaço Uma ecta em elação a um plano pode e Paalela Concoente Etitamente paalela Apota Pependicula Oblíqua Uma ecta que é PARALELA pode e: Etitamente paalela a um plano e não tem nenhum ponto em comum com o plano. A eta é paalela ao plano α. Apota a um plano e etá contida no plano, ou eja, e petence ao plano. A eta etá contida no plano α. Uma ecta é CONCORRENTE ou SECANTE a um plano e tem um único ponto em comum com o plano. Uma ecta é concoente pependicula a um plano e é pependicula a toda a ecta contida no plano. Uma ecta é concoente oblíqua a um plano e é oblíqua a toda a ecta contida no plano. A eta é ecante (concoente) ao plano α. Poição elativa ente dua eta no epaço Dua ecta no epaço podem e Complanae Paalela Concoente Etitamente paalela Coincidente Pependiculae Oblíqua Não complanae Dua ecta ão complanae e etão ituada no memo plano. Dua ecta ão não complanae e não etão ituada no memo plano.

4 Dua ecta ão NÃO COMPLANARES e não etão ituada no memo plano, ou eja, a eta não complanae não têm nenhum ponto em comum e não ão paalela. Não e conegue aanja nenhum plano que contenha imultaneamente a eta e a eta. Dua ecta ão COMPLANARES e etão ituada no memo plano. PARALELAS Dua ecta ão etitamente paalela ou não coincidente e não têm nenhum ponto em comum. A eta e a eta não têm ponto em comum. = Dua ecta ão coincidente e têm todo o ponto em comum. A eta e a eta têm todo o ponto em comum. = = CONCORRENTES Dua ecta ão concoente ou ecante e têm um único ponto em comum. Dua ecta ão concoente pependiculae e dividem o plano em quato ângulo iguai (ecto). A eta e a eta têm um ponto em comum e fomam ente i um ângulo de 90º. Dua ecta ão concoente oblíqua e dividem o plano em quato ângulo difeente. A eta e a eta têm um ponto em comum e fomam ente i um ângulo difeente de 90º. Modo de defini um plano Um plano fica definido po: Tê ponto não colineae (não alinhado). Um ponto e uma eta que não o contenha. Dua eta paalela não coincidente. Dua eta concoente. (3) Quanto plano podem paa po: (3.1) Um ponto no epaço? (3.2) Doi ponto no epaço? (3.3) Tê ponto no epaço? (3.4) Tê ponto no epaço não colineae (não alinhado)? (3.5) Uma eta no epaço? (3.6) Uma eta e um ponto exteio à ecta? (3.7) Dua eta paalela? (3.8) Dua eta concoente?

5 (4) Indica, jutificando, e ão vedadeia ou fala a popoiçõe eguinte: (4.1) Dua eta em ponto comun ão paalela. (4.2) Dua eta concoente ão complanae. (4.3) Dua eta complanae ão concoente. (4.4) O quato vétice de um quadado LUIS definem quato eta paalela. (4.5) Dua eta definem empe um plano. O citéio ão teoema que utilizamo paa jutifica o paalelimo ou pependiculaidade ente ecta e plano ou ente plano. Citéio de paalelimo ente eta e plano (5) A figua epeenta um paalelepípedo etângulo. Jutifica que a eta EF é paalela à face [ABCD]. G B E A H C Citéio de paalelimo ente plano F D

6 Citéio de pependiculaidade ente eta e plano Num pima tiangula egula eto, cada aeta é pependicula à bae. Poquê? Obeva o paalelepípedo da figua. A eta AC é pependicula à eta CD do plano BCD e, no entanto, não é pependicula ao plano, poi teia de e pependicula a dua eta concoente e não a uma ó. (Le citéio). Podemo afima que a eta AB é pependicula ao plano BCD poque é pependicula a dua eta do plano: BE e BC. Citéio de pependiculaidade ente plano