ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA Carlos Alberto Alves Varella 1
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- Rafael Giovanni Marques Azeredo
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1 ANÁLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS PÓS-GRADUAÇÃO EM AGRONOMIA CIÊNCIA DO SOLO: CPGA-CS ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA Calos Albeto Alves Vaella ÍNDICE INTRODUÇÃO... MODELO ESTATÍSTICO... MATRIZES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NORMAIS...3 DECOMPOSIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS E PRODUTOS TOTAIS...4 TESTE PARA A HIPÓTESE NULA H...4 TESTE PARA VETORES DE MÉDIAS...5 EXEMPLO DE APLICAÇÃO...6 BIBLIOGRAFIA...6 Pofesso. Univesidade Fedeal Rual do Rio de Janeio, IT-Depatamento de Engenhaia, BR 465 km 7 - CEP 389- Seopédica RJ. vaella@ufj.b.
2 INTRODUÇÃO A análise de vaiância multivaiada é utilizada paa compaa vetoes de médias. Os dados nomalmente são povenientes de delineamentos estatísticos. A fomulação de um teste estatístico paa compaa vetoes de médias, depende da patição do total da vaiância em: vaiância devido ao efeito de tatamentos e vaiância devido ao eo. Está patição da vaiância total é denominada de MANOVA, análise de vaiância multivaiada (JOHNSON & WICHERN, 999). Em expeimentos que envolvem vaiáveis aleatóias contínuas, medidas na mesma unidade expeimental, pode-se pessupo a multinomalidade e ealiza uma análise multivaiada. Um ponto elevante da análise multivaiada é o apoveitamento da infomação conjunta das vaiáveis envolvidas (REGAZZI, ). As pessuposições paa ealização da MANOVA são as seguintes: ) Modelo aditivo paa efeitos de tatamentos, blocos (se houve) e eo; ) Independência dos eos; 3) Igualdade da matiz de covaiância Σ paa todas as amostas; 4) Distibuição multinomal dos eos, com vaiância Σ. MODELO ESTATÍSTICO O modelo estatístico paa um delineamento em blocos casualizados com b blocos e k tatamentos em que são medidas p vaiáveis é: Y + t + b + e ij i,, K, k; j,, K, b;,, K, p; indexado das vaiáveis; Y valo obsevado da -ésima vaiável sob o efeito do i-ésimo tatamento no j- ij ésimo bloco; média geal da -ésima vaiável; t i efeito do i-ésimo tatamento na -ésima vaiável; b efeito do j-ésimo bloco na -ésima vaiável; j e ij efeito aleatóio associado à obsevação Y ij Na foma maticial o modelo estatístco é: i j Y XΒ + ε ij
3 Y matiz de obsevações de dimensões bk x p; X matiz do delineamento de dimensões bk x (+k+b); Β matiz de paâmetos de dimensões (+k+b) x p; ε matiz de eos de dimensões bk x p. Podemos também esceve da seguinte foma: [ ~ ~ ~ ~ y, ~ y, K, ~ y ] [ Xβ, Xβ, K, X ] + [ e ~, e~,, e ] Y β ~ p p K p Paa a vaiável (,,...,p) temos que: ~ y X ~ β + e~ MATRIZES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NORMAIS Consideando-se o modelo linea multivaiado Y XΒ + ε, a matiz de sistemas de equações nomais é: X ' XΒ & X ' Y A solução de mínimos quadados do sistema de equações nomais é dada pela matiz: Β& [ & β, & β, K, & β ] ( X ' X ) X ' Y A matiz de soluções Β & possui dimensões (+k+b) x p, onde X é a matiz de valoes das p vaiáveis independentes e Y é a matiz de valoes esposta paa os efeitos de tatamentos. Da mesma foma que no modelo univaiado, sendo posto de (X X)k+b-, o sistema admite mais de uma solução, isto é, a matiz (X X) não possui invesa vedadeia. Impondo-se as estições de que os somatóios dos efeitos de tatamentos e blocos sejam igual a zeo, o sistema apesenta solução única que denotaemos po: Β ˆ p ( X ' X + AA' ) X ' Y [ ˆ β, ˆ β,, ˆ K β p ] Βˆ melho estimado linea ou BLUE de Β ; ( X ' X + AA' ) invesa condicional de X X.
4 DECOMPOSIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS E PRODUTOS TOTAIS Consideando-se o modelo linea multivaiado mínimos quadados, que: ˆ ε ' ˆ ε Y ' Y Β ˆ ' X ' Y Y XΒ + ε, tem-se, do método dos ˆ ε ' ˆ ε matiz de soma de quadados e podutos de esíduo que denotaemos po E, com n e n-posto[x] gaus de libedade. No modelo de blocos ao acaso temos que: n e ( k + b ) kb k b + ( k ) ( ) kb b Y ' Y matiz de soma de quadados e podutos de totais que denotaemos po A; ˆΒ ' X 'Y matiz de soma de quadados e podutos de paâmetos; Da mesma foma que no modelo univaiado temos que: A H + B + E onde, A, H, B e E são matizes de dimensões p x p, de soma de quadados e podutos de totais, tatamentos, blocos e esíduo, espectivamente. TESTE PARA A HIPÓTESE NULA H A hipótese H a se testada, consideando k tatamentos e p vaiáveis, é a de que os vetoes de médias de tatamentos são iguais, isto é: é: H : H ~ ~ ~ : L k ou k k L L L L p p Essa hipótese é o mesmo que testa se os vetoes de efeitos de tatamentos são nulos, isto ~ ~ ~ H t t L t : k ou kp
5 H t t tk t t tk : L L L L L t p t p tkp O teste de Wilks é o mais utilizado paa testa a hipótese H da MANOVA. Contudo outos testes também são utilizados, tais como Pillai, Hotelling-Lawley e o teste de Roy, os quais podem apesenta esultados difeentes paa a mesma análise. O teste de Wilks é epesentado pela leta gega Λ (lambda maiúsculo), assim definido: det Λ det ( E) E ( H + E) H + E Na pesença de difeenças sistemáticas ente tatamentos, espea-se sempe obte Λ <, e tanto mais significativo quanto meno fo seu valo. Paa avalia a significância do valo de Λ obtido, pode-se usa tabela pópia paa o teste de Wilks, ou tnsfoma o valo de Λ em valo F coespondente. O valo de Λ obtido na tabela paa o teste de Wilks é função de α, p, q e n e. O valao de Λ tabelado é: Λ ( p ; q; ) Λ α; tab n e A ega de decisão é: ejeita-se a hipótese nula ao nível de significância α se: Λ cal < Λ tab Caso contáio não se ejeita H e diz-se que o teste foi significativo ao nível de siginificância α. TESTE PARA VETORES DE MÉDIAS Quando ejeitamos a hipótese H, isto é, os vetoes de médias não são iguais, e temos mais de dois tatamentos, tona-se necessáio um teste de médias paa veifica quais vetoes são difeentes ente si. Paa compaa dois vetoes de médias de tatamentos, podemos usa o teste T de Hotelling como apesentado a segui:
6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Faze MANOVA paa expeimento com um fato inteiamente casualizado utilizando o pogama computacional SAS. BIBLIOGRAFIA FISHER, R.A. The use of multiple measuements in taxonomic poblems. Annals of Eugenics, v.7, p.79-88, 936. JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Applied multivaiate statistical analysis. 4th ed. Uppe Saddle Rive, New Jesey: Pentice-Hall, 999, 85 p. KHATTREE, R. & NAIK, D.N. Multivaiate data eduction and discimination with SAS softwae. Cay, NC, USA: SAS Institute Inc.,. 558 p. REGAZZI, A.J. Análise multivaiada, notas de aula INF 766, Depatamento de Infomática da Univesidade Fedeal de Viçosa, v.,. VARELLA, C.A.A. Estimativa da podutividade e do estesse nuticional da cultua do milho usando imagens digitais f. Tese (Doutoado em Engenhaia Agícola) Univesidade Fedeal de Viçosa, Viçosa, 4. SAS. Online doc vesion 8. Disponível em: Acesso em 4 ma. 7.
TUKEY Para obtenção da d.m.s. pelo Teste de TUKEY, basta calcular:
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