Índice de Sharpe e outros Indicadores de Performance Aplicados a Fundos de Ações Brasileiros

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1 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios Gyogy Vaga RESUMO Implementamos e aplicamos divesas medidas estatísticas de avaliação de pefomance aos dez maioes fundos de ações ofeecidos no mecado basileio. Mostamos as difeentes classificações dos fundos de acodo com cada um desses indicadoes e os defeitos da sua aplicação na avaliação de fundos de investimento. O pincipal objetivo deste atigo é mosta as dificuldades da aplicação dos pincipais indicadoes de pefomance a fundos basileios. Palavas-chaves: investimentos; finanças; modelos de pefomance. ABSTRAT We applied seveal pefomance measues to evaluate the ten lagest stock mutual funds offeed in Bazil. The main pupose of this aticle is to intoduce and show the difficulties and shotfalls on the application of the pefomance measues to the bazilian mutual fund industy. Key wods: investments; finance; potfolio pefomance. RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001:

2 Gyogy Vaga INTRODUÇÃO O pocesso de seleção de um fundo de investimento pode se dividido em duas pates. A pimeia veifica qual a cateia adequada paa o investido; a segunda tenta descobi um gesto que pode supea o mecado. Se não fo encontado nenhum, então o caminho natual é um fundo passivo que apenas acompanhe as classes de ativos escolhidas. O investimento em fundo passivo é a efeência e a altenativa mais adequada, quando não há um bom gesto ativo conhecido (1). O gesto capaz de supea o mecado é aquele que tem acesso a melhoes infomações, e/ou tem modelos paa mais bem pocessa as infomações disponíveis paa o público em geal. É o conjunto de infomação e/ou seus modelos que pemitem ao bom gesto popociona um etono supeio ao do mecado, justificando assim a administação ativa. Em toca do etono supeio espeado, o gesto ativo costuma coba taxas de administação e de pefomance maioes do que os fundos de gestão passiva; potanto só vale a pena incoe nesse custo maio, quando há fote evidência de que o gesto ativo tem condição de supea o mecado. Os paticantes desse mecado e as publicações especializadas tentam classifica e aponta os melhoes fundos de investimento e também avalia a contibuição do gesto com base em pocedimentos estatísticos etiados dos modenos modelos de finanças. Esses pocedimentos são inspiados especialmente no modelo APM (), que postula ceta elação ente isco e etono. Outos modelos de isco paa o mecado financeio, tal como o APT (3), também podem se usados paa se avalia a pefomance de investimento, como pode se visto em qualque manual de finanças atual, como, po exemplo, Haugen (1997). Nas seções seguintes, mostamos algumas estatísticas simples de avaliação de pefomance, como a média do etono; estatísticas inspiadas no APM (ente elas o famoso índice de Shape), e outos pocedimentos que pemitem melho avaliação do timing de uma cateia ativa e também do sucesso da gestão passiva. A pincipal adição dos modelos de finanças à avaliação dos fundos vem da incopoação do isco, que se iniciou com o modelo de média-vaiância de Makowitz, na década de 50. Se o etono espeado de um fundo é tanto maio quanto maio seu isco, então a inclusão de alguma medida de isco na avaliação deste pemite melho veificação de quanto do etono popocionado po um gesto veio do isco assumido e quanto veio de seu talento ou sote. Assim, fica mais bem explicada a vedadeia contibuição do gesto paa o etono do fundo. 16 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

3 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios Outo aspecto impotante na inclusão do isco é a sua contibuição paa a deteminação da cateia ótima de um investido (paa investidoes que se impotem com isco, poquanto, no caso de investidoes neutos ao isco, basta conhece o etono espeado). Na avaliação de fundos de investimento, muitos paticantes e publicações especializadas tomam as estatísticas dos modelos acima, poduzidas com base em dados históicos, como se fossem bons estimadoes do futuo desempenho do fundo. Eles assumem a hipótese heóica de que séies de peços passados pemitem boas estimativas paa os peços futuos, daí o chavão de alguns: etonos passados não são gaantia de etonos futuos. Ainda que tivéssemos boas estimativas paa o isco e etono, um esultado inteessante, apesentado po Admati e Ross (1985), destaca que medidas de pefomance que dão melho qualidade a gestoes com maio elação etono/isco não indicam coetamente quais são os gestoes mais bem infomados, pois esses cetamente ião altea bastante suas cateias em função da maio quantidade de infomação, geando assim maio volatilidade (isco). No limite, um fundo que tem uma cateia estática cetamente não tem um gesto com infomação ou modelos supeioes. Ente as estatísticas de avaliação de pefomance mais conhecidas estão o índice de Shape (IS), apesentado em Shape (1966), que, desde então, tem sido amplamente utilizado na indústia de fundos de investimento. Apesa da sua impotância pática, sua utilização depende da estimação coeta dos seus paâmetos e da aplicação que se petende. Na póxima seção, mostamos como calcula o etono; a segui discutimos a inclusão e avaliação do isco e, mostamos como calcula o IS e as falhas a que ele está sujeito; po fim mostamos outas medidas paa compaa fundos e fazemos uma beve aplicação aos dez maioes fundos de ações negociados no Basil. Vale lemba a impotância desses indicadoes, tanto paa paticantes quanto paa todo o tipo de investido, pois esse é um instumental disponível paa a tomada de decisão dos investidoes, e ecusos vultosos mudam de mãos de acodo com o esultado desses númeos. Neste atigo mostam-se as falhas desses indicadoes e como deve se feita a sua aplicação. Toma-se como exemplo uma amosta de tês anos, com dados semanais dos dez maioes fundos de ações basileios. Espeamos contibui paa as finanças nacionais, cobindo uma lacuna na liteatua e, possivelmente, ajuda na melho alocação de ecusos em nosso país. RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

4 Gyogy Vaga RETORNO O indicado de pefomance mais simples e talvez o mais utilizado na pática é a taxa de etono ealizada. Mas a peocupação dos investidoes deve se com a taxa espeada (ex-ante) de etono e não com o que já aconteceu (ex-post). Esse talvez seja o indicado mais impotante paa a maioia dos investidoes (cetamente o é paa os investidoes neutos a isco). Há enome dificuldade em se obte esses valoes espeados. Dessa foma, uma estimativa muito comum paa o etono espeado vem da avaliação da média do seu etono históico, de modo que, implicitamente, é suposto que o passado vai-se epeti de alguma foma. No caso de fundos de investimento que não costumam te nenhum pagamento intemediáio, a taxa de etono costuma se definida como o valo final sobe o valo inicial da cota do fundo: t Q Q t t 1 1 [1] onde Q t é o valo da cota na data t. Não obstante sua simplicidade, a estimativa do etono médio obtido a pati de uma séie históica pode se avaliada po difeentes pocedimentos. Tomando-se uma séie de cotações de um fundo, pode-se calcula a séie de taxas de etonos peiódicos, e daí se obtém sua média aitmética: a 1 n n [] Altenativamente, pode-se toma a média geomética: n 1 g 1 n [3] A média geomética é financeiamente consistente, quando se tata de econstitui o etono de todo o peíodo; mas, se pocuamos o etono espeado de um peíodo intemediáio, a média aitmética é a estatística coeta (4). É fácil mosta que a média aitmética é tanto maio do que a geomética, quanto maio fo a volatilidade da taxa de etono peiódica. A elação ente a média aitmética e geomética é dada po: 18 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

5 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios g 1 Exemplo 1. Seja um fundo com as seguintes cotações anuais: a [4] A média geomética do etono é de 0%aa, e a aitmética é de 1,5%aa. A estimativa coeta paa a taxa de etono espeada anual é de 1,5%, isto é, baseada na média aitmética. Po exemplo, o etono espeado do investimento de R$100,00, com base nos dados do Exemplo 1, po um ano apenas, é de (100, ,00)/4 = 1,50, que equivale a uma taxa de etono anual de 1,5%, como indica a estimativa pela média aitmética. A volatilidade anual da taxa de etono é de 54%. Da Equação [4] se obtém uma apoximação paa a taxa de etono geomética de: g 1, 5% 54% Paa ilusta a difeença ente os dois pocedimentos de cálculo sobe ativos conhecidos no Basil, mostamos, no Quado 1, o etono do DI e do índice Ibovespa ente janeio e outubo de 000. Devido à alta volatilidade, o etono do Ibovespa estimado pela sua média aitmética é significativamente maio do que aquele estimado pela média geomética. Quado 1: ompaação do Retono do DI e Ibovespa RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

6 Gyogy Vaga A qualidade estatística das estimativas baseadas na séie históica é popocional ao tamanho da amosta utilizada. Quanto maio o tamanho da amosta maio a confiança estatística na estimativa. Exemplo. Tomamos a amosta de etonos diáios de todo o ano de 1998 do fundo de ações do Banco do Basil, totalizando 48 obsevações, e obtivemos seu etono médio diáio igual a -0,19%. om 95% de pobabilidade, tem-se um intevalo paa a média de [-0,47% e 0,09%]. No mesmo peíodo, a taxa média diáia do DI foi de 0,10%; potanto, com alto gau de confiança estatística, o etono estimado com base numa séia históica foneceu uma estimativa sem muito sentido econômico, já que tem pouco sentido investi-se em um fundo de ações com etono espeado negativo. Outas maneias de se obteem estimativas paa o etono espeado são: toma o etono espeado pelos analistas de mecado ou elaboa algum modelo economético baseado no APT ou APM. UM MODELO DE RISO Paa os investidoes que se impotam com o isco do etono de seus investimentos, alguma medida de isco deve se incopoada na análise. O pimeio passo é detemina uma distibuição de pobabilidade adequada paa a taxa de etono. A mais usual é a distibuição nomal que abitaiamente tomamos como apopiada paa desceve o compotamento da taxa de etono; entetanto boa pate dos investimentos financeios não podem se igoosamente epesentados po uma nomal, poque essa distibuição pemite que a taxa de etono seja meno do que -100%, e sabemos que boa pate dos investimentos têm passivo limitado. Uma altenativa seia atibui a distibuição nomal à taxa de etono na sua foma contínua, que coesponde a uma distibuição lognomal paa o valo do investimento; só que outas dificuldades técnicas sugiiam na deteminação da cateia ótima. Além disso, paa pequenos intevalos de tempo, a distibuição nomal paa a taxa de etono simples é uma boa apoximação. Assim, as infeências sobe a taxa de etono espeado seão feitas, supondo que ela tem distibuição nomal. O passo seguinte é estima o desvio-padão da taxa de etono, igualmente conhecido como volatilidade. O objetivo também é obte valoes ex-ante; novamente, costuma-se toma a séie históica dos etonos paa se gea uma estimativa paa a volatilidade espeada. Quanto à estimativa popiamente dita, di- 0 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

7 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios vesos métodos podem se adotados, ente os quais o mais conhecido é o estimado de máxima veossimilhança, dado po: A n j 1 j n 1 a [5] Essa estimativa pode se facilmente feita em uma planilha Excel. Existem até mesmo funções que executam essa conta imediatamente. Outos métodos paa o cálculo da volatilidade estão disponíveis, po exemplo: baseados nos valoes máximos e mínimos das taxas de etono (método de valoes extemos), suavização exponencial (do iskmetics) e métodos de séies de tempo do tipo Gach. Uma descição desses pocedimentos pode se encontada em Duate e Pinheio (1996). Exemplo 3. Analisamos o etono de uma amosta de fundos, com base em cotações semanais, dos anos de 1997, 1998 e 1999 (5), de dez dos maioes fundos de ações ofeecidos no mecado basileio. Esses dez fundos foam selecionados de acodo com o tamanho médio do seu patimônio duante os tês anos. Foam excluídos os fundos exclusivos e os fechados paa captação. Paa efeito de compaação, no final do Quado está a volatilidade dos índices Ibovespa, IBX e DI. Quado : Volatilidade Anual dos Dez Maioes Fundos de Ações RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

8 Gyogy Vaga Nota-se alguma estabilidade nas suas estimativas. Apenas no ano de 1998 houve um leve aumento; mas, no ano seguinte, as volatilidades voltaam paa peto do que eam em Isso sugee que a estimativa da volatilidade com base em dados passados é bem mais azoável do que o mesmo tipo de estimativa feita paa a taxa de etono. A amosta do Exemplo 3 contou com 5 obsevações, sempe dento do pópio ano. Mas nada obiga a que a amosta tenha esse tamanho; logo, a estimativa da volatilidade pode vaia, dependendo do pazo da amosta utilizada. Tomando, po exemplo, o fundo BB Fundo de Ações, mostamos, no Gáfico 1, a evolução da volatilidade históica baseada em amosta das últimas 0 e 60 semanas. A cada semana é acescentada uma nova semana e etiada a mais antiga; faz então uma janela sempe com 0 (ou 60) semanas, de onde se calculou a volatilidade expessa em foma anual. Gáfico 1: Evolução da Volatilidade Anual do Fundo de Ações do BB Há gande difeença, em váios momentos, ente as volatilidades com base numa séie de 0 e 60 semanas, o que pode leva a difeentes conclusões a espeito do isco de um fundo. Váias altenativas concoem paa se chega a difeentes estimativas históicas da volatilidade: tamanho da séie históica dos etonos, peiodicidade da taxa de etono ou pocedimento estatístico utilizado. Uma altenativa paa se obte a volatilidade, sem depende do passado, é a volatilidade implícita nas opções sobe os ativos que compõem o fundo. Uma vez deteminados os paâmetos da distibuição da taxa de etono dos RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

9 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios fundos em estudo, podemos compaa suas elações etono-isco. Uma efeência impotante paa a avaliação de um fundo é a cateia de mecado ou algum índice que busca epesenta o mecado, caacteizando-se como benchmak. Esse benchmak é especialmente impotante, poque existem fundos ofeecidos a custos (taxa de administação e de pefomance) menoes do que a maioia dos outos, que se popõem a apenas acompanha o benchmak e são conhecidos como de gestão passiva. Se existe a possibilidade de toma ou aplica dinheio à taxa de juos sem isco, podemos combina aplicações na cateia de mecado e no título de enda fixa sem isco, de foma a obte qualque elação etono-isco. Esse conjunto de combinações gea a chamada linha do mecado de capitais (LM). O etono de uma cateia que tem x% no ativo aiscado e (1 - x%) no ativo sem isco tem etono espeado e isco dados po: ( ) ( ) ( ) E x E 1 A x s [6a] x A [6b] Quando x é meno do que 1, o investido estaá aplicando na enda fixa sem isco e no ativo aiscado; quando x é maio do que 1, o investido estaá tomando empestado paa alavanca seu investimento no ativo aiscado. As possíveis combinações de etono-isco paa uma cateia estão no Gáfico. Gáfico : ombinações de Retono e Risco isco RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

10 Gyogy Vaga Das Equações [6a] e [6b] temos: E( ) x E( ) s A s e x A E( ) E s ( ) A A [ ] s O etono espeado das cateias que combinam o ativo sem isco e o ativo aiscado vem de uma linha eta com intecepto igual a s e inclinação igual a: E A s A [6c] Esse é o conjunto de possibilidades eficientes que um investido faceia! As cateias de investimento com elação etono-isco meno do que as contempladas no LM são facilmente supeadas po uma combinação do ativo sem isco e da cateia aiscada que está na LM. om esse tipo de combinação, podemos gea uma cateia com qualque nível de isco e etono. Exemplo 4. Sejam as seguintes condições de mecado: om esses valoes, pode-se monta uma cateia de valo inicial $100, com uma captação de $50 e aplicação de $150 no fundo X, que teá um etono espeado de 5% e volatilidade de 45%. Se a captação fo de $83,, e a aplicação no fundo X de $183,, o etono da cateia deve se de 8,3%, e volatilidade de 55%. Assim, o fundo Y, que popociona um etono maio, mas com maio volatilidade, é ineficiente, pois a combinação do fundo X com a aplicação no título sem isco gea uma cateia com mesma volatilidade e etono espeado maio. A simples elação etono-isco não é adequada paa seleciona um 4 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

11 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios eônea, como ilustado no Exem- fundo e pode leva a uma decisão plo 5. E Exemplo 5. Sejam dois fundos, X e Y, com os seguintes etonos e volatilidades espeados: Se a taxa de juos sem isco é de 3%, e um investido que um investimento com 10% de volatilidade, iá seleciona o fundo X se usa a elação etono/isco como seu indicado paa seleção de fundos. Mas é fácil veifica que, se ele investi 50% no título sem isco e 50% no fundo Y, a volatilidade de seu investimento seá de 10%, e o etono espeado de 5,5%; potanto, supeio ao do fundo X. O indicado coeto é o da Equação [6c]. Fundos difeentes costumam te alta coelação ente si, po estaem sujeitos a vaiações em fatoes macoeconômicos que têm efeito sobe os ativos de todos os fundos. Se um único fato explica pacela impotante da vaiação dos peços dos ativos, podemos explica a vaiação do etono de cada fundo pela sua sensibilidade ao fato (isco sistemático) e a vaiação estante po componentes específicos do fundo (isco não-sistemático). O fato mais utilizado na análise de pefomance costuma se o pópio etono de mecado, suposto se um bom epesentante das vaiáveis maco e na pática epesentado po algum índice. om base nesse modelo, podemos sepaa o excesso de etono popocionado po algum fundo no seu componente sistemático e não-sistemático segundo: c s e O pimeio temo à dieita da Equação [7], alfa, mede o excesso de etono do fundo paa dado isco de mecado assumido po ele. A vaiância do excesso de etono do fundo pode se decomposta no seu isco sistemático e não-sistemático: M s [7] M e [8] RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

12 Gyogy Vaga O pimeio temo do lado dieito é a pacela do isco do fundo explicada pelo isco do mecado (sistemático), e o segundo temo é o isco não explicado pelo mecado. Um fundo passivo que acompanha pefeitamente o etono do mecado não iá gea isco difeente do mecado. Já um fundo ativo que pocua supea o mecado tem de te ações difeentes da cateia do mecado, paa te a chance de supea o mecado. O peço pago paa se te essa chance é o de te uma cateia que eventualmente não acompanha (às vezes supea) o etono do mecado, cuja possível conseqüência é um isco maio mensuado pelo segundo temo à dieita da Equação [8]. om isso, fazemos uma melho decomposição e obtemos uma melho explicação do eventual sucesso ou infotúnio de ceto fundo de investimento. Po exemplo, tomando o Ibovespa como etono de mecado e o DI como taxa sem isco, explicamos o etono semanal do fundo BB de ações ente 1997 e 1999 po: Resumo dos Resultados De acodo com essa amosta de tês anos, o fundo BB pode se tatado como um fundo consevado, po te um beta meno do que 1 que epesenta um pequeno isco não-sistemático e etono ajustado ao isco de mecado negativo (alfa). O etono extaodináio popocionado po ceto fundo de investimento pode não te sido esultado de uma boa gestão ativa, mas simplesmente do seu isco sistemático (quantificado pelo beta). Um fundo com beta meno do que 1 possi- 6 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

13 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios velmente teá um etono supeio ao do mecado quando este cai. Se o beta fo maio do que 1, o etono do fundo deve ultapassa o etono do mecado, se este subi. Assim, a taxa de etono não é uma estatística adequada paa classifica difeentes fundos, poque, ente outas coisas, não ajusta o etono paa o isco assumido pelo fundo. Exemplo 6. om base nos dados do Exemplo 3, calculamos o beta, etono efetivo e classificamos os fundos. Quado 3: Beta, Retono Efetivo e lassificação dos Dez Maioes Fundos de Ações Dois fundos que têm sua classificação significativamente alteada são o F Ações e o IP Paticipações. O pimeio tem um beta alto e, como espeado, é um fundo de sucesso em 1997, quando a bolsa sobe. O segundo tem beta baixo e é mais bem-sucedido em 1998, quando a bolsa cai. Toma esses valoes como estimativa paa o que vai acontece com o etono é questionável (6). Uma questão pática inteessante é qual a taxa de etono sem isco elevante no Basil. Aqui, os paticantes se dividem ente taxa de juos da poupança e a do DI. laamente, a taxa do DI é maio que a da poupança, confome atesta o Quado 4, emboa não seja tão clao quem tem menos isco. Nos livos de finanças, toma-se como taxa sem isco a taxa dos títulos do Goveno Fedeal, já que ele tem pode de emiti moeda e assim paga qualque dívida na moeda local; logo, os títulos po ele emitidos têm o meno isco. ompaando-se a taxa de um dia paa financiamento de títulos públicos fedeais - chamada de taxa Selic, a taxa diáia do DI - que se efee a títulos pivados de alta qualidade de cédito RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

14 Gyogy Vaga e a taxa da poupança, veifica-se que a taxa Selic é muito póxima da taxa do DI, e ambas são supeioes à taxa da poupança. Na vedade, a taxa da poupança é sempe meno, po se tata de um mecado cativo, que atinge uma gande massa de investidoes e tem custo opeacional alto. Paa fins de avaliação de fundos, a taxa de juos sem isco mais apopiada é a taxa dos títulos públicos fedeais (taxa Selic), que é muito póxima da taxa do DI. omo a taxa Selic não está facilmente disponível, tomamos a taxa do DI como taxa sem isco. Quado 4: Evolução das Taxas de Poupança, Selic e DI Tomando a espeança da Equação [7], chega-se ao famoso modelo APM, que postula uma elação de equilíbio ente o etono espeado de cada ativo e o etono espeado paa o mecado. Nas aplicações do APM, tata-se exclusivamente dos etonos espeados e do etono de todo o mecado: 8 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

15 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios E s E M s Em equilíbio o APM postula que o alfa de qualque ativo ou fundo deve se igual a zeo. ÍNDIE DE SHARPE Extemamente celebado ente acadêmicos e paticantes do mecado financeio, o IS tem sido amplamente utilizado na avaliação de fundos de investimento. Fomulado po Shape (1966), o IS se encaixa na teoia de seleção de cateia, mais especificamente no modelo APM, apontando as cateias ótimas na LM. De acodo com o APM, nenhuma cateia pode te um IS maio do que o definido pela cateia de mecado. ateias com IS meno devem se despezadas. O IS é a pópia inclinação da LM, definido de [6c], como: IS E s [9] onde s é a taxa de juos sem isco; E( c ) é o etono espeado do fundo; σ c é a volatilidade do fundo. Tendo deteminado quais as cateias ótimas, o investido deve apenas seleciona aquela que popociona a elação isco-etono mais adequada às suas demandas pessoais. Divesos cuidados devem se tomados ao se aplica o IS na seleção ou classificação de investimentos. O pimeio deles vem do fato de o cálculo do IS não incopoa infomação sobe a coelação ente os ativos; potanto, o IS pede impotância, quando se que adiciona um ativo (ou cateia) com isco a uma cateia que já tenha ativos aiscados. Quanto maio a coelação ente o ativo que está sendo avaliado e a cateia coente, maio a impotância do IS como indicado paa a seleção de um investimento. Se a coelação é muito baixa ou negativa, um ativo com pequeno IS pode tona ainda maio o IS final de toda a cateia. Um investido que não tem investimentos com isco deve simplesmente seleciona aquele com maio IS. Po exemplo, se o investido já possui investimentos em fundo e pocua adicio- RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

16 Gyogy Vaga na um novo fundo à sua cateia de investimentos, a seleção com base no IS pede impotância, poque o efeito da coelação ente o novo fundo e os fundos já existentes na cateia não está sendo consideado pelo IS. O Exemplo 7 ilusta o efeito da coelação sobe o poblema da seleção de fundos com base no IS. Exemplo 7. Seja uma cateia que contenha 50% de seus investimentos em um título sem isco e 50% no fundo X aiscado. O investido que aumenta o etono tocando 0% do seu investimento no título sem isco pelo fundo Y ou Z. O fundo Y tem um IS maio do que o do fundo Z, mas a aquisição do fundo Z leva a uma melho elação isco-etono final. Isso é devido à meno coelação ente o fundo Z e o fundo X que já está na cateia, que faz com que a volatilidade da cateia diminua, confome atesta o quado abaixo. om a adição do fundo Z (pimeia altenativa), que tem meno IS, a cateia fica com um etono espeado de 17,9% e 18,7% de volatilidade, conta um eto- 30 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

17 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios no meno e volatilidade maio se tivesse adicionado o fundo Y (segunda altenativa). Um segundo cuidado na utilização do IS decoe de este se baseado em etono e isco espeados (ex-ante) e etono não-ealizado (ex-post). Dada a dificuldade em se obteem valoes espeados, muitos paticantes utilizam estatísticas passadas paa avalia o IS. O esultado pode se muito uim, levando eventualmente a um IS negativo, quando a bolsa cai. O IS negativo não tem sentido num modelo de mecado, pois o investido sempe tem a opção de investi na taxa sem isco. Se a estimativa do IS fo feita com base em dados históicos, uma dificuldade pática é detemina qual o tamanho de séie a se utilizado paa o cálculo do etono e isco espeado. Uma saída paa essa dificuldade é toma o númeo de obsevações que popocionam ceto nível de confiança. Paa se calcula o IS ex-post, devemos, a cada peíodo, obte o excesso de etono do fundo em elação à taxa sem isco; tomamos a média e o desviopadão do excesso de etono, e a azão desses é o IS ex-post. Ele indica o excesso de etono históico médio po unidade de vaiabilidade históica do excesso, e é dado po: c 1 T T j 1 c 1 T, j ; s s, j ; T j 1 T j 1 c, j T 1 c [10] onde c,t é o etono do fundo e s,t é o etono sem isco. Po fim, o IS é obtido po: ^ IS c s [11] O IS é uma estatística que depende do peíodo sobe o qual foi calculada; uma vez calculada paa ceto pazo, pode se (7) tansfomada paa pazo difeente, de acodo com a seguinte apoximação: ISanual 5 IS diáio [11a] RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

18 Gyogy Vaga Exemplo 8. Tomando os dados do Exemplo 3, paa o fundo de ações do BB, calculamos o IS anualizado, com base numa janela dos etonos das últimas 0 e 60 semanas. A taxa de juos sem isco utilizada foi a do DI. O esultado está no Gáfico 3. Gáfico 3: IS paa o Fundo de Ações do BB, com base numa Amosta Vaiável das Últimas 0 e 60 Semanas sem. 60 sem /01/ /10/ /07/ /04/1999 É inteessante obseva, no Gáfico 3, que o IS fica po váias vezes negativo, além de flutua exageadamente. O IS fica negativo, poque o etono espeado paa cateia é meno do que a taxa de juos sem isco, que tem pouco sentido econômico, e ocoe especialmente quando o etono espeado é estimado com base na séie históica. Outo poblema que também suge na utilização do IS é sua aplicação a ativos que têm volatilidade muito baixa, como são os fundos de enda fixa. O IS obtido fica enome, devido ao baixo valo do denominado da fómula. Shape (1994) dá uma intepetação muito inteessante ao IS. Ele tata esse índice como um instumento de avaliação de uma estatégia de investimento zeo, que coesponde ao etono da abitagem ente algum benchmak e o fundo que está sendo avaliado. Então, o IS tadicional pode se intepetado como uma abitagem ente a taxa de juos sem isco e o fundo que está sendo avaliado. Pode-se usa algum índice de mecado, como o Ibovespa, no luga da taxa de juos sem isco. Nesse caso, o IS está mostando o esultado de uma abitagem ente uma posição vendida no índice do mecado e uma compada no fundo. O IS 3 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001

19 Índice de Shape e outos Indicadoes de Pefomance Aplicados a Fundos de Ações Basileios modificado dessa foma foi chamado po Bito (1996) de índice de Shape genealizado (ISG). Se o benchmak adotado paa o cálculo desse índice fo igual ao estilo (8) adotado pelo gesto, o esultado apesentado pelo ISG é o excesso de etono devido à capacidade do gesto em seleciona bem os títulos que compõem a cateia de seu fundo. OUTRAS MEDIDAS O modelo de um fato epesentado pela Equação [7] pemite obte váios outos indicadoes de pefomance impotantes que vão (1) agega infomação sobe a contibuição de um gesto paa a pefomance do seu fundo; () gea classificações difeentes paa os fundos disponíveis; e (3) se apopiado paa um cenáio específico de investimento. A pincipal difeença ente esses indicadoes vem da medida de isco utilizada: oa é o isco total, oa o isco de mecado ou isco não-sistemático apenas. O alfa da Equação [7] mede o excesso de etono obtido pelo fundo após ajuste pelo isco sistemático (dado pelo beta vezes o excesso de etono do mecado). om base na estimativa da Equação [7], temos ˆ ˆ s M s etono devido aoisco sistemático que é o indicado conhecido como índice de Jensen ou simplesmente alfa. Esse indicado desqualifica gestoes que são bem-sucedidos na alta (baixa) do mecado apenas po teem um beta maio (meno) do que 1. Um gesto ativo bem-sucedido deve mosta um alfa positivo. Mas, paa consegui supea o mecado, também deve adquii uma cateia difeente da cateia do mecado (ou do índice que epesenta o mecado), e o peço po isso é uma meno divesificação, que estaá contida no temo de eo da Equação [7]. Então, dividindo-se o alfa da cateia pelo seu isco não-sistemático, tem-se o índice de valo adicionado (IVA). Esse indicado mosta quanto deteminado gesto pôde adiciona de valo a uma cateia com váios outos fundos, pelo fato de assumi um isco difeente do isco de mecado. RA, v. 5, n. 3, Set./Dez

20 Gyogy Vaga ^ IVA ˆ e [1] Outo indicado extaído da Equação [7] é o índice de Teyno (IT), que mede o excesso de etono po unidade de isco sistemático (9), em vez do isco total, como no IS. ^ IT s ˆ [13] O valo do IS é de difícil intepetação, mas outo indicado, chamado M e dietamente elacionado ao IS, também ajusta o etono ao isco total (medido pela volatilidade total do mecado). Foi ciado ecentemente (1997) po Leah Modigliani e seu avô Fanco Modigliani, ganhado do Pêmio Nobel de Economia. É uma medida de pefomance que mosta o difeencial de etono do fundo e do mecado após ajusta o etono do fundo ao isco de mecado, como se ambos tivessem a mesma volatilidade. Paa se obte o M, deve-se pimeiamente obte o etono ajustado, que é igual ao etono oiginal da cateia alavancada de foma a te o mesmo isco do mecado. Paa te o mesmo isco do mecado, a cateia ajustada deve te x% investido na cateia oiginal, tal que: x% x% M M om essa quantidade investida na cateia oiginal, o etono da cateia ajustada é de: M ca 1 M s [14a] O M é a difeença ente o etono da cateia ajustada e o etono de mecado. M ca M [14b] Esse indicado ajusta a volatilidade do fundo à volatilidade do mecado, de 34 RA, v. 5, n. 3, Set./Dez. 001