Equações Básicas na Forma Integral - I. Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio

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1 Fenômenos de Tanspote Equações Básicas na Foma Integal - I Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio

2 Objetivos Entende a utilidade do teoema de Tanspote de Reynolds. Aplica a equação de consevação da massa paa balancea as vazões de entada e saída de um sistema fluido. Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 2

3 Intodução Até o momento tabalhamos com SISTEMAS FECHADOS. Dinâmica dos fluidos tabalha com VOLUMES DE CONTROLE na maio pate do tempo. O Teoema de Tanspote de Reynolds ofeece a ligação ente a abodagem po SISTEMAS e a abodagem po volume de contole. Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 3

4 Teoema de Tanspote de Reynolds (TTR) Considee uma popiedade extensiva N elativa a um sistema. E a popiedade intensiva coespondente n definida como: η = N m Onde: N = Popiedade extensiva η = Popiedade intensiva M = massa Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 4

5 Teoema de Tanspote de Reynolds (TTR) Seja um volume de contole indefomável que constitui a egião II. A egião I é definida de tal foma que sua massa (caegando a popiedade N) enta no V.C. no intevalo de tempo t. A egião III constitui a massa que sai do V.C. (caegando a popiedade N) no mesmo intevalo de tempo. Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 5

6 Teoema de Tanspote de Reynolds (TTR) O Teoema de Tanspote de Reynolds afima que: A taxa de vaiação com o tempo da quantidade total de N é igual às vaiações instantâneas de N no inteio do volume de contole, somadas à integal (em toda a supefície de contole) da taxa na qual N está sendo tanspotada atavés da supefície de e paa a vizinhança. Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 6

7 Teoema de Tanspote de Reynolds Volume de Contole Fixo dn dt sistema = t VC d + ηρv da ηρ (Eq. 1) Onde: N = popiedade extensiva η = popiedade intensiva = volume ρ = massa específica V = velocidade A = áea Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 7

8 Teoema de Tanspote de Reynolds Volume de Contole Fixo dn dt sistema = t VC d + ηρv da ηρ (Eq. 1) Taxa de vaiação da popiedade extensiva N do sistema Taxa de vaiação da popiedade extensiva N dento do volume de contole Taxa líquida de fluxo da popiedade extensiva N atavés da supefície de contole Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 8

9 Discussão I O teoema de Tanspote de Reynolds pode nos ajuda a detemina a mudança de massa dento de um volume de contole? Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 9

10 Consevação da Massa Consideando: N = m (massa) η = 1 (massa dividida po massa) Consevação da massa em um sistema dn dt sistema = 0 Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 10

11 Consevação da Massa Aplicando o Teoema de Tanspote de Reynolds, teemos: t VC ρ d = ρv da Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 11

12 Consevação da Massa Aplicando o Teoema de Tanspote de Reynolds, teemos: t VC ρ d = ρv da Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 12

13 Consevação da Massa Fluido Incompessível Fluido Incompessível ρ = constante d = V da = V da t t VC Se o volume de contole fo fixo e indefomável V da = 0 Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 13

14 Consevação da Massa Fluido Incompessível Fluido Incompessível ρ = constante d = V da = V da t t VC Se o volume de contole fo fixo e indefomável V da = 0 Vazão em Volume Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 14

15 Consevação da Massa Fluido Incompessível Velocidade média Q V = A V = V da A Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 15

16 Consevação da Massa Fluido Compessível Regime Pemanente Nenhuma popiedade do fluido vaia com o tempo. ρ V da = 0 Caso o escoamento seja unifome numa seção... ρ V da = ρ V A Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 16

17 Exemplo 1 Deteminação da velocidade média Detemina a velocidade média coespondente ao diagama de velocidades a segui. Supo que não haja vaiação da velocidade segundo a dieção nomal ao plano da figua (escoamento bidimensional). Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 17

18 Exemplo 2 Escoamento em Regime Pemanente Compessível Um gás escoa em egime pemanente no techo de tubulação da figua. Na seção (1), tem-se A1 = 20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e V1 = 30 m/s. Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³. Qual é a velocidade na seção (2)? Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 18

19 Exemplo 3 Escoamento em Regime Pemanente Incompessível O Ventui é um tubo convegente/divegente, como é mostado na figua. Detemina a velocidade na seção mínima (gaganta) de áea 5 cm², se na seção de entada de áea 20 cm², a velocidade é 2 m/s. O fluido é incompessível. Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 19

20 Exemplo 4 Fluxo de massa em uma junção de tubos Considee o escoamento pemanente de água em uma junção de tubos, confome mostado no diagama. As áeas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 = 0,2 m² e A3 = 0,15 m². O fluido também vaza paa foa do tubo atavés de um oifício em (4), com uma vazão volumética estimada em 0,1 m³/s. As velocidades médias nas seções (1) e (3) são V1 = 5 m/s e V3 = 12 m/s, espectivamente. Detemine a velocidade do escoamento na seção (2). Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 20

21 Exemplo 4 Fluxo de massa em uma junção de tubos Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 21

22 Refeências BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Tanspote paa Engenhaia. Rio de Janeio: LTC, ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: McGaw-Hill, FOX, R.; McDONALD, A. T. Intodução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed. Rio de Janeio: Ed. Guanabaa, POTTER, M.C.;OTT, E. P. Ciências Témicas: Temodinâmica, mecânica dos fluidos e tansmissão de calo. São Paulo:Thomson Leaning, STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo: McGaw-Hill, Equações Integais Básicas - Pof. M. Sc. Lúcio P. Patocínio 22

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