MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 05. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

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1 MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 5 Pof. D. Maco Antonio Leonel Caetano

2 Guia de Estudo paa Aula 5 Poduto Vetoial - Intepetação do poduto vetoial Compaação com as funções do Matlab - Deteminação do poduto vetoial com a função do matlab Eecícios - Poduto vetoial - Gáfico em D - Auto valoes e autovetoes. - Abi e fecha aquivos em matlab. Objetivos da Aula - Compeende vetoes em matlab. - Entende poduto vetoial - Apende a faze gáficos em D. - Apende autovalo de uma matiz. - Apende autoveto de uma matiz. - Apende a salva e le aquivos dento do matlab.

3 Popiedade da soma de matizes A soma de matizes se ealiza somando todos os componentes coespondentes da mesma posição. C A + B Significa que c ij a ij + b ij c c c c a a a a + b b b b onde c c c c a a a a + b + b + b + b Obsevação: A mesma popiedade vale paa a subtação de matizes

4 Eecício Faze um pogama usando fo paa soma duas matizes quaisque quadada de tamanho n. Compae o esultado com a função + do Matlab. 4

5 O Poduto Vetoial z z.5 k.5. i j.5 5

6 O Poduto Vetoial F V B k j i 6

7 7 Definição Algébica de Poduto Vetoial Chama-se poduto vetoial ente dois vetoes de componentes nas dieções i, j e k k j i k j i O veto esultante da seguinte opeação: k j i + + Obs:... significa deteminante.

8 8 Eemplo Calcula o poduto vetoial dos seguintes vetoes e : e Componente i: + Componente j: 4 + Componente k: 5 6

9 Solução Gáfica Z 5 4 Y - X

10 Eecício Faze um pogama em matlab onde o usuáio fonece as componentes de dois vetoes e o pogama gea o veto esultante do poduto vetoial

11 A função do Matlab paa poduto vetoial Coss(, ) Essa função fonece dietamente o poduto vetoial de dois vetoes e.

12 A função Plot Essa função pemite faze gáficos em D paa conjuntos de pontos Repesentando os eios, e z. Plot(,, z, tipo de cuva ) Eemplo cia gade de pontos no gáfico

13 Resultado

14 Giando o gáfico Rotaciona os eios 4

15 Maca o Azimute e Elevação 5

16 Eecício Modifica o pogama feito em aulas anteioes paa a visualização de vetoes em D paa a visualização de vetoes em D usando a função plot. O pogama deveá pedi as componentes de dois vetoes e e gea o teceio veto atavés do poduto vetoial. No final deveá plota os vetoes. 6

17 Solução Poduto vetoial 7

18 8 Teste e 5 Solução

19 Autovaloes Seja o sistema linea: A λ Fonecida a matiz A, se eisti um que pemita a solução paa O sistema linea acima, esse λ é chamado de autovalo ou valo caacteístico da matiz A. λ Autovetoes Fonecida a matiz A, o veto solução do sistema linea acima é conhecido como autoveto ou veto caacteístico associado a λ 9

20 Deteminando os Autovaloes Paa enconta a solução de A λ É o mesmo que enconta a solução do sistema: A λ Ou seja, deseja-se acha lambda e que satisfaçam: Onde I é a matiz indentidade. ( A λ. I) Paa o sistema acima te solução além da tivial (,,...,) é necessáio que det( A λ. I) Paa enconta os autovaloes lambda, deve-se enconta as aízes Do polinômio que se foma, conhecido como polinômio caacteístico.

21 Eemplo Detemina os autovaloes da matiz abaio. A O polinômio caacteístico seá: ( )( ) 6 det det ) det( λ λ λ λ λ λ λ λi A Polinômio caacteístico

22 As aízes e potanto os autovaloes, do polinômio caacteístico são: Eecício λ 4 λ Enconta os autovaloes da matiz A 4 Solução λ 5 λ

23 Deteminando os Autovetoes Paa enconta os autovetoes paa os autovaloes, substitui-se os autovaloes encontados no sistema inicial e detemina-se quais são os valoes múltiplos das componentes paa uma solução não tivial. Eemplo Os autovaloes da matiz foam λ e λ 4 Substituindo o autovalo λ 4 A A 4. I Deve-se esolve então a equação no sistema oiginal 6 ( A λi )

24 4 Solução ) ( I A λ Colocando em função de tem-se: Logo, Paa qualque valo de difeente de zeo (solução tivial) tem-se Que um novo veto seá associado ao veto ( ) T. Potanto o Autoveto do autovalo 4 seá: v

25 5 Eecício Calcula o autoveto da matiz anteio paa o autovalo λ Solução ) ( I A Da pimeia equação tem-se: - Logo, Potanto o autoveto seá: v

26 Funções autovaloes e autovetoes no matlab Sendo um veto, o autovalo e seu autoveto associado podem seem encontados no matlab pelo comando: [v,d] eig() autovetoes autovaloes Eemplo A autoveto autovalo 6

27 Outa foma Nomaliza o esultado ente e. - 7

28 Salvando e Lendo os esultados de pogamas Paa salva os esultados: Comando save nome_do_aq va -ascii Eemplo: Salva a matiz A no aquivo dados.dat em fomato ascii. Paa Le os dados de um aquivo: load nome_do_aquivo 8

29 Lendo aquivo e tansfomando em veto e matiz Os dados podem se salvos em colunas de matiz. A matiz pode se salva num aquivo *.tt Eemplo 9

30 Ao le dento de um pogama, o matlab tansfoma o nome do aquivo em matiz ou veto.

31 es aqui é matiz e não mais o aquivo es.tt

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