Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Análise de Variância (ANOVA)

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1 Estatística: Aplicação ao Sensoiamento Remoto SER 0 - ANO 016 Análise de Vaiância (ANOVA) Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.b

2 Compaando-se médias de duas populações n 1 n X 1 1 X EX ( ) 1 1 E( X) Hipóteses H 0 : 1 - = 0 ( 1 = ) H 1 : 1-0 Teste z ou teste t

3 Compaando-se médias de váias populações Compaando-se as médias de populações ou tatamentos... n 1 n n X 1 X EX ( ) E( X) X EX ( ) H 0 : 1 = =... = Mesmo não se conhecendo as médias i, seia possível veifica se elas são iguais a pati de seus valoes amostais? Análise de Vaiância (ANOVA) (ANOVA de 1 fato) 3

4 Análise de Vaiância (ANOVA) Compaando-se as médias de populações ou tatamentos... EX ( ) E( X) X 1 ~ N( 1, ) X ~ N(, ) N ( 1, ) EX ( ) N (, ) N (, ) X ~ N(, ) Pessuposições: Todas v.a. (X 1,..., X ) são nomalmente distibuídas e têm a mesma vaiância!!! 4

5 Análise de Vaiância (ANOVA) Compaando-se as médias de populações ou tatamentos... EX ( ) E( X) EX ( ) X 1 ~ N( 1, ) X ~ N(, ) 1 = X 1-1 = X - j ~ N(0, ) N(0, ) X ~ N(, ) = X Desvio, esíduo ou eo 5

6 Análise de Vaiância (ANOVA) Compaando-se as médias de populações ou tatamentos... EX ( ) X j = j + j E( X) eo em tono de cada média EX ( ) N ( 1, ) N (, ) N (, ) j = T + j eo de cada média em tono da média global X j = T + j + j T = média global j = efeito do tatamento j j = efeito aleatóio T 6

7 Análise de Vaiância (ANOVA) Compaando-se as médias de populações ou tatamentos... n 1 n n X 1 X 1 X EX ( ) 1 1 E( X) EX ( ) X ij é o i-ésimo elemento da amosta etiada do tatamento j j é a média populacional do tatamento j, estimado po X j i = 1,..., n j j = 1,..., 7

8 Análise de Vaiância (ANOVA) X X X X n T * j j ** T n j X i1 X n j1 * j j n j n j ij j1 i1 X n ** T X ij T1 T T3 T Total Total Média n j T1 T T3 T4 X 11 X 1 X 13 X 14 X 1 X X 3 X 4 X 3 X 33 Total Total X *1 X * X *3 X *4 X ** Média X1 X X3 X4 n j n 1 n n 3 n 4 n T XT 8

9 Paticionamento do Eo T1 T T3 T Total Total Média n j eo em elação à média global 0 X ij X T 15 X X T 3 5 X T 10 T1 T T3 T4 9

10 Paticionamento do Eo T1 T T3 T Total Total Média n j eo em elação à média do tatamento 5 0 X 14 X4 3 X 3 X 4 X ij X j 15 X 1 10 X T1 T T3 T4 10

11 Paticionamento do Eo T1 T T3 T Total Total Média n j X 4 eo da média de cada tatamento em elação à média global 0 15 X 1 X X T 4 9 X 3 X T X j X T X 10 T1 T T3 T4 11

12 Paticionamento do Eo T1 T T3 T Total Total Média n j X ij XT X j XT X ij X j n n j j X ij XT n j X j XT X ij X j j1 i1 j1 j1 i1 SQTO = SQT + SQE SQTO = Soma dos Quadados Total SQT = Soma dos Quadados dos Tatamentos SQE = Soma dos Quadados dos Eos ou dos Resíduos 1

13 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Tatamentos Eo Total Soma dos Quadados j1 n j ij j SQE X X j1 i1 SQT n X X j j T n j Gaus de Libedade ij n T T - 1 SQTO X X j1 i1-1 n T - Quadado Médio SQT QMT 1 QME SQE n T E QME QME é um estimado não-tendencioso de E QMT E QMT j1 j1 n 1 ( ) j j T n j 1 j QMT é um estimado tendencioso de a menos que todos j = T, ou seja, j = 0 13

14 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Tatamentos Eo Soma dos Quadados j1 n j ij j SQE X X j1 i1 SQT n X X j j T n j ij T Gaus de Libedade - 1 n T - Total SQTO X X n T - 1 j1 i1 Quadado Médio SQT QMT 1 QME SQE n T H 0 : 1 = =... = H 1 : nem todos j são iguais H 0 : j = 0 H 1 : nem todos j = 0 Se H 0 fo vedadeio: QMT ~? F 1, n QME T Fcalc QMT QME? 1 F 1, n T Se H 0 fo falso: QMT QME ~? F calc QMT QME 1 1 H 0 ved. H 0 falso

15 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Tatamentos Eo Soma dos Quadados j1 n j ij j SQE X X j1 i1 SQT n X X j j T n j ij T Gaus de Libedade - 1 n T - Total SQTO X X n T - 1 j1 i1 Quadado Médio SQT QMT 1 QME SQE n T H 0 : 1 = =... = H 1 : nem todos j são iguais H 0 : j = 0 H 1 : nem todos j = 0 Se H 0 fo vedadeio: QMT ~? F 1, n QME T Fcalc Se H 0 fo falso: QMT QME ~? F calc QMT QME QMT QME 1? 1 F 1, n T 0 + F cít ac. H 0 ej. H 0 ANOVA é sempe um teste unilateal a dieita 15

16 Fómulas Altenativas j1 SQT n X X j j T X n * j X ** n j1 j T n j ij j SQE X X j1 i1 SQTO SQT n j ij T SQTO X X j1 i1 n j X ** X ij j1 i1 nt 16

17 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos Eo Total 304 SQTO n j X ** X ij j1 i1 nt T1 T T3 T Total Total Média n j

18 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos 58 Eo Total 304 SQT X n * j X ** n j1 j T T1 T T3 T Total Total Média n j

19 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos 58 Eo 46 Total 304 T1 T T3 T4 SQE = SQTO - SQT Total Total Média n j

20 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos 58 Eo 46 Total GL Total = n T - 1 T1 T T3 T Total Total Média n j

21 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos 58 3 Eo 46 Total GL Total = n T - 1 GL Tat = - 1 T1 T T3 T Total Total Média n j

22 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo - P Tatamentos 58 Eo 46 Total GL Total = n T - 1 T1 T T3 T4 GL Tat = GL eo = GL Total - GL Tat Total Total Média n j

23 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo-P Tatamentos 58 Eo 46 Total , 0,0071 7,67 QMT SQT 1 QME SQE n T F calc QMT QME Valo-P ( ) P F3,6 F calc 3

24 Análise de Vaiância (ANOVA) Fonte de Vaiação Soma dos Quadados Gaus de Libedade Quadado Médio F calculado Valo-P Tatamentos 58 Eo 46 Total , 0,0071 7,67 F 3,6 H 0 : 1 = =... = H 1 : nem todos j são iguais Valo-P = 0,71% 0 11, + Adotando = 5%, o que se pode conclui? Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é difeente das demais 4

25 Análise de Vaiância (ANOVA) OBSERVAÇÕES: A ANOVA não considea que os tatamentos tenham algum odenamento específico Paa agega esta infomação, usa-se a Análise de Regessão ANOVA com tatamentos ( = ) não deve se ealizada, uma vez que coesponde a um teste t homocedástico bilateal ANOVA pode te mais do que fatoes avaliados (ANOVA multivaiada) TA1 TA TA3 TA TB TB

26 Análise de Vaiância (ANOVA) PRESSUPOSIÇÕES: Cada obsevação deve se independente das demais; condição gaantida pelo pocesso de amostagem Cada tatamento deve te distibuição nomal; o teste F paa ANOVA de 1 fato é pouco afetado pela falta de nomalidade dos dados (neste caso, em geal, o nível de significância eal é ligeiamente difeente que o especificado) Todos os tatamentos devem te a mesma vaiância; se todos tatamentos possuíem o mesmo tamanho de amosta (n j = n), o teste F seá pouco afetado pelo fato das vaiâncias dos tatamentos não seem iguais (também, neste caso, o nível de significância eal é apenas ligeiamente difeente que o especificado) Teste altenativo: Kuskal-Wallis (teste não paamético) 6

27 Testes de Nomalidade D Agostino K, Jaque-Bea e Shapio-Wilk testam se a cutose e a assimetia amostal podem se obtidas a pati de uma distibuição nomal Andeson Daling, Camé-von Mises, Lilliefos, Kolmogoov-Sminov compaam a distibuição acumulada empíica (obtida a pati de uma amosta) com uma distibuição acumulada teóica qualque de Peason (teste de adeência) compaa a distibuição empíica e uma distibuição teóica qualque divididas em um númeo deteminada de classes estatística não-paamética Paa a ANOVA, veifica-se se e X X ij ij j ij ~ N 0, atavés dos eos amostais 7

28 Testes de Igualdade de Vaiâncias Batlett baseia-se na compaação ente a média pondeada e a média geomética das vaiâncias amostais Hatley baseia-se na compaação ente os valoes máximo e mínimo das vaiâncias amostais Cochan baseia-se na compaação ente o máximo e a soma das vaiâncias amostais Levene modificado compaa os desvios médios absolutos ente e dento de cada gupo 8

29 Teste de Batlett Se,..., são as vaiâncias amostais de populações com s 1 s distibuição nomal, então QME j1 ( n 1) s n T j j epesenta a média aitmética pondeada GQME 1 n 1 T j n s j j1 epesenta a média geomética pondeada GQME QME (GQME = QME se todas vaiâncias amostais são idênticas) B,30585 ( n ) log log T 10 QME 10 GQME C onde C ( 1) j1 n j 1 nt,30585 B ( n )log QME ( n 1)log s C T 10 j 10 j j1 9

30 Teste de Batlett,30585 B ( n )log QME ( n 1)log s C T 10 j 10 j j1 onde H 0 : 1 H 1 : nem todas são iguais j Se H 0 fo vedadeio: C ( 1) j1 n j 1 nt 1 B 0 + ~ 1 (idealmente n j 5) H 0 ved. H 0 falso 30

31 Teste de Batlett,30585 B ( n )log QME ( n 1)log s C T 10 j 10 j j1 onde H 0 : 1 H 1 : nem todas são iguais j Se H 0 fo vedadeio: C ( 1) j1 n j 1 nt 1 0 X cít + B ~ 1 ac. H 0 ej. H 0 (sempe teste unilateal a dieita) 31

32 Usando-se o exemplo da ANOVA: ( 1) C 1 1, j1 n j1 1 6 n T Teste de Batlett T1 T T3 T B, ,3076 ( n )log 3,7147 QME,7897 ( n 1)log s 1,3148 C T 10 j 10 j j Total s n j H 0 : H 1 : nem todas são iguais j 3 0, Conclusão: aceito H 0 a 5%, ou seja, as vaiâncias dos tatamentos podem se as mesmas 7,81 X cít 3

33 Análise de Vaiância / EXCEL ANOVA: fato único T1 T T3 T

34 Análise de Vaiância / EXCEL ANOVA: fato único T1 T T3 T H 0 : 1 = =... = H 1 : nem todos j são iguais RESUMO Gupo Contagem Soma Média Vaiância T T T T ANOVA Fonte da vaiação SQ gl MQ F valo-p Ente gupos ,1739 0, Dento dos gupos ,667 Total Adotando = 5%, o que se pode conclui? Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é difeente das demais 34

35 Análise de Vaiância / R ANOVA: fato único T1 T T3 T H 0 : 1 = =... = H 1 : nem todos j são iguais > dados<-c(1,18,14,1,13,19,17,1,4,30) > tat<-facto(c("t1","t1","t","t","t","t3","t3","t3","t4","t4")) > esultado<-aov(dados~tat) #analise de vaiancia > anova(esultado) # tabela ANOVA Analysis of Vaiance Table Response: dados Df Sum Sq Mean Sq F value P(>F) tat ** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Adotando = 5%, o que se pode conclui? Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é difeente das demais 35

36 Teste de Shapio-Wilk / R ANOVA: fato único T1 T T3 T H 0 : H 1 : ij ~ N(0, ) ij ~? > dados<-c(1,18,14,1,13,19,17,1,4,30) > tat<-facto(c("t1","t1","t","t","t","t3","t3","t3","t4","t4")) > esultado<-aov(dados~tat) #analise de vaiancia > shapio.test(esiduals(esultado)) #teste de Shapio-Wilk Shapio-Wilk nomality test data: esiduals(esultado) W = , p-value = Adotando = 5%, o que se pode conclui? Aceito H 0, ou seja, os eos povém de uma distibuição nomal 36

37 Teste de Batlett / R ANOVA: fato único T1 T T3 T > dados<-c(1,18,14,1,13,19,17,1,4,30) > tat<-facto(c("t1","t1","t","t","t","t3","t3","t3","t4","t4")) > batlett.test(dados~tat) #teste de Batlett Batlett test of homogeneity of vaiances data: dados by tat Batlett's K-squaed =.7897, df = 3, p-value = 0.45 H 0 : H 1 : nem todas são iguais j Adotando = 5%, o que se pode conclui? Aceito H 0, ou seja, as vaiâncias dos tatamentos podem se as mesmas 37

38 Análise de Vaiância Quando a ANOVA indica a aceitação de H 0, conclui-se que todas as médias dos tatamentos são iguais ente si, ou melho, que não há difeenças significativas ente as médias dos tatamentos. Neste caso, encea-se a análise. No entanto, quando H 0 é ejeitada, a ANOVA não é capaz de identifica quais as médias são difeentes ente si. Basta que apenas uma média seja difeente paa que a ANOVA indique a ejeição da H 0. Como descobi quais médias são difeentes? Atavés de um Teste de Compaação Múltipla Exemplos: Teste de Tukey Teste de Duncan Teste de Dunnet Teste de Scheffe Teste de Bonfeoni Teste de Fishe 38

39 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Utilizado quando se deseja compaa todos os paes de médias de populações, adotando-se um único nível de significância. H 0 : a b 0 H 1 : a b 0 a b a, b 1,, O teste consiste em calcula um valo (D cít ), acima do qual, a difeença ente duas médias amostais (em absoluto) é significativamente difeente de zeo. q 1 1, nt Dcít ( a, b) QME n a n b onde q, n T epesenta o valo tabelado (vindo de uma distibuição da amplitude studentizada "studentized ange") associado ao nível de significância adotado. 39

40 Distibuição da Amplitude Studentizada P( q q ) 0,01, g tab g ,04 135, ,58 185,575 0,10 15,769 7,166 36,966 45,54 53,151 59,979 66,165 71,81 77,003 81,803 86,63 90,46 94,38 97,997 14,036 19,019,94 4,717 6,69 8,01 9,530 30,679 31,689 3,589 33,398 34,134 34,806 35,46 36,000 36,534 37,034 37,50 37, ,60 10,619 1,170 13,34 14,41 14,998 15,641 16,199 16,691 17,130 17,56 17,887 18,17 18,5 18,805 19,068 19,315 19,546 19, ,511 8,10 9,173 9,958 10,583 11,101 11,54 11,95 1,64 1,567 1,840 13,090 13,318 13,530 13,76 13,909 14,081 14,4 14, ,70 6,976 7,804 8,41 8,913 9,31 9,669 9,971 10,39 10,479 10,696 10,894 11,076 11,44 11,400 11,545 11,68 11,811 11,93 6 5,43 6,331 7,033 7,556 7,97 8,318 8,61 8,869 9,097 9,300 9,485 9,653 9,808 9,951 10,084 10,08 10,35 10,434 10, ,949 5,919 6,54 7,005 7,373 7,678 7,939 8,166 8,367 8,548 8,711 8,860 8,997 9,14 9,4 9,353 9,456 9,553 9, ,745 5,635 6,04 6,65 6,959 7,37 7,474 7,680 7,863 8,07 8,176 8,311 8,436 8,55 8,659 8,760 8,854 8,943 9,07 9 4,596 5,48 5,957 6,347 6,657 6,915 7,134 7,35 7,494 7,646 7,784 7,910 8,05 8,13 8,3 8,35 8,41 8,495 8, ,48 5,70 5,769 6,136 6,48 6,669 6,875 7,054 7,13 7,356 7,485 7,603 7,71 7,81 7,906 7,993 8,075 8,153 8,6 11 4,39 5,146 5,61 5,970 6,47 6,476 6,671 6,841 6,99 7,17 7,50 7,36 7,464 7,560 7,648 7,731 7,809 7,883 7,95 1 4,30 5,046 5,50 5,836 6,101 6,30 6,507 6,670 6,814 6,943 7,060 7,166 7,65 7,356 7,441 7,50 7,594 7,664 7, ,60 4,964 5,404 5,76 5,981 6,19 6,37 6,58 6,666 6,791 6,903 7,006 7,100 7,188 7,69 7,345 7,417 7,484 7, ,10 4,895 5,3 5,634 5,881 6,085 6,58 6,409 6,543 6,663 6,77 6,871 6,96 7,047 7,15 7,199 7,68 7,333 7, ,167 4,836 5,5 5,556 5,796 5,994 6,16 6,309 6,438 6,555 6,660 6,756 6,845 6,97 7,003 7,074 7,141 7,04 7, ,131 4,786 5,19 5,489 5,7 5,915 6,079 6, 6,348 6,461 6,564 6,658 6,744 6,83 6,897 6,967 7,03 7,093 7, ,099 4,74 5,140 5,430 5,659 5,847 6,007 6,147 6,70 6,380 6,480 6,57 6,656 6,733 6,806 6,873 6,937 6,997 7, ,071 4,703 5,094 5,379 5,603 5,787 5,944 6,081 6,01 6,309 6,407 6,496 6,579 6,655 6,75 6,791 6,854 6,91 6, ,046 4,669 5,054 5,334 5,553 5,735 5,889 6,0 6,141 6,46 6,34 6,430 6,510 6,585 6,654 6,719 6,780 6,837 6, ,04 4,639 5,018 5,93 5,510 5,688 5,839 5,970 6,086 6,190 6,85 6,370 6,449 6,53 6,591 6,654 6,714 6,770 6,83 5 3,94 4,57 4,885 5,144 5,347 5,513 5,655 5,778 5,886 5,983 6,070 6,150 6,4 6,9 6,355 6,414 6,469 6,5 6, ,889 4,455 4,799 5,048 5,4 5,401 5,536 5,653 5,756 5,848 5,93 6,008 6,078 6,14 6,0 6,58 6,311 6,361 6, ,85 4,367 4,695 4,931 5,114 5,65 5,39 5,50 5,599 5,685 5,764 5,835 5,900 5,961 6,017 6,069 6,118 6,165 6, ,76 4,8 4,594 4,818 4,991 5,133 5,53 5,356 5,447 5,58 5,601 5,667 5,78 5,784 5,837 5,886 5,931 5,974 6, ,70 4,00 4,497 4,709 4,87 5,005 5,118 5,14 5,99 5,375 5,443 5,505 5,561 5,614 5,66 5,708 5,750 5,790 5,87 3,643 4,10 4,403 4,603 4,757 4,88 4,987 5,078 5,157 5,7 5,90 5,348 5,400 5,448 5,493 5,535 5,574 5,611 5,645 40

41 Distibuição da Amplitude Studentizada P( q q ) 0,05, g tab g ,969 6,976 3,819 37,08 40,408 43,119 45,397 47,357 49,071 50,59 51,957 53,194 54,33 55,361 56,30 57,1 58,044 58,84 59,558 6,085 8,331 9,798 10,881 11,734 1,435 13,07 13,539 13,988 14,389 14,749 15,076 15,375 15,650 15,905 16,143 16,365 16,573 16, ,501 5,910 6,85 7,50 8,037 8,478 8,85 9,177 9,46 9,717 9,946 10,155 10,346 10,5 10,686 10,838 10,980 11,114 11,40 4 3,96 5,040 5,757 6,87 6,706 7,053 7,347 7,60 7,86 8,07 8,08 8,373 8,54 8,664 8,793 8,914 9,07 9,133 9,33 5 3,635 4,60 5,18 5,673 6,033 6,330 6,58 6,801 6,995 7,167 7,33 7,466 7,596 7,716 7,88 7,93 8,030 8,1 8,08 6 3,460 4,339 4,896 5,305 5,68 5,895 6,1 6,319 6,493 6,649 6,789 6,917 7,034 7,143 7,44 7,338 7,46 7,508 7, ,344 4,165 4,681 5,060 5,359 5,606 5,815 5,997 6,158 6,30 6,431 6,550 6,658 6,759 6,85 6,939 7,00 7,097 7, ,61 4,041 4,59 4,886 5,167 5,399 5,596 5,767 5,918 6,053 6,175 6,87 6,389 6,483 6,571 6,653 6,79 6,801 6, ,199 3,948 4,415 4,755 5,04 5,44 5,43 5,595 5,738 5,867 5,983 6,089 6,186 6,76 6,359 6,437 6,510 6,579 6, ,151 3,877 4,37 4,654 4,91 5,14 5,304 5,460 5,598 5,7 5,833 5,935 6,08 6,114 6,194 6,69 6,339 6,405 6, ,113 3,80 4,56 4,574 4,83 5,08 5,0 5,353 5,486 5,605 5,713 5,811 5,901 5,984 6,06 6,134 6,0 6,65 6,35 1 3,081 3,773 4,199 4,508 4,750 4,950 5,119 5,65 5,395 5,510 5,615 5,710 5,797 5,878 5,953 6,03 6,089 6,151 6, ,055 3,734 4,151 4,453 4,690 4,884 5,049 5,19 5,318 5,431 5,533 5,65 5,711 5,789 5,86 5,931 5,995 6,055 6, ,033 3,701 4,111 4,407 4,639 4,89 4,990 5,130 5,53 5,364 5,463 5,554 5,637 5,714 5,785 5,85 5,915 5,973 6, ,014 3,673 4,076 4,367 4,595 4,78 4,940 5,077 5,198 5,306 5,403 5,49 5,574 5,649 5,719 5,785 5,846 5,904 5,958 16,998 3,649 4,046 4,333 4,557 4,741 4,896 5,031 5,150 5,56 5,35 5,439 5,519 5,593 5,66 5,76 5,786 5,843 5,896 17,984 3,68 4,00 4,303 4,54 4,705 4,858 4,991 5,108 5,1 5,306 5,39 5,471 5,544 5,61 5,675 5,734 5,790 5,84 18,971 3,609 3,997 4,76 4,494 4,673 4,84 4,955 5,071 5,173 5,66 5,351 5,49 5,501 5,567 5,69 5,688 5,743 5,794 19,960 3,593 3,977 4,53 4,468 4,645 4,794 4,94 5,037 5,139 5,31 5,314 5,391 5,46 5,58 5,589 5,647 5,701 5,75 0,950 3,578 3,958 4,3 4,445 4,60 4,768 4,895 5,008 5,108 5,199 5,8 5,357 5,47 5,49 5,553 5,610 5,663 5,714 5,913 3,53 3,890 4,153 4,358 4,56 4,667 4,789 4,897 4,993 5,079 5,158 5,30 5,97 5,359 5,417 5,471 5,5 5,570 30,888 3,486 3,845 4,10 4,301 4,464 4,601 4,70 4,84 4,917 5,001 5,077 5,147 5,11 5,71 5,37 5,379 5,49 5,475 40,858 3,44 3,791 4,039 4,3 4,388 4,51 4,634 4,735 4,84 4,904 4,977 5,044 5,106 5,163 5,16 5,66 5,313 5,358 60,89 3,399 3,737 3,977 4,163 4,314 4,441 4,550 4,646 4,73 4,808 4,878 4,94 5,001 5,056 5,107 5,154 5,199 5,41 10,800 3,356 3,685 3,917 4,096 4,41 4,363 4,468 4,560 4,641 4,714 4,781 4,84 4,898 4,950 4,998 5,043 5,086 5,16,77 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,86 4,387 4,474 4,55 4,6 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891 4,934 4,974 5,01 41

42 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 ( 5%) X j D cít D (,1) 4, ,67 8,76 3 4

43 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 a a X j D D cít (,3) 4, , 67 7,

44 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 a a a X j D D cít (,4) 4, ,67 8,

45 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 a a a b X j D (mesma leta não pecisa testa) 45

46 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 a a a b X j D D cít (1,4) 4, ,67 9,60 46

47 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j q 1 1 4,6 Dcít ( a, b) QME n a n b q4,6 4,90 a a ab a b X j D D cít (3,4) 4, ,67 8,

48 Teste de Tukey (teste de compaação múltipla) Usando-se o exemplo da ANOVA: T1 T T3 T Total Total Média n j T T1 T3 T4 X j 13 a 15 a 19 ab 7 b b ab a a T1 A T B T3 C T4 D T T1 T3 T

49 Teste de Tukey / R ANOVA: fato único T1 T T3 T > dados<-c(1,18,14,1,13,19,17,1,4,30) > tat<-facto(c("t1","t1","t","t","t","t3","t3","t3","t4","t4")) > esultado<-aov(dados~tat) #analise de vaiancia > tukey<-tukeyhsd(esultado,odeed=true, conf.level=0.95) > plot(tukey) T T1 T3 T4 X j a a a ab b 49