I~~~~~~~~~~~~~~-~-~ krrrrrrrrrrrrrrrrrr. \fy --~--.. Ação de Flexão

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1 Placas - Lajes Placas são estutuas planas onde duas de suas tês dimensões -lagua e compimento - são muito maioes do que a teceia, que é a espessua. As cagas nas placas estão foa do plano da placa. As placas são as lajes nos edifícios. 1 Vejamos inicialmente o compotamento po fleão, consideando uma laje etangula com caga unifonnemente distibuída em toda a sua supefície, que chamaemos de "g". Nessa laje, consideemos duas vigas paalelas aos lados que se cuzam no meio do vão da laje. Ação de Fleão 0 \f As lajes podem te as mais vaiadas fomas: etangulaes, ciculaes, elípticas, com ou sem fuos. As lajes mais comuns são as lajes etangulaes com apoio ao longo do seu peímeto. Vamos faze consideações sobe lajes etangulaes ou quadadas apoiadas ao longo dos quato lados. --~--.. t f laje viga w pila Esse apoio é feito po vigas. As placas esistem às cagas po fleão e po toção. ~ Temos que supo as vigas de lagua unitáia paa considea a caga g sobe a viga com valo numeicamente igual à caga distibuída da viga. A viga (1) de vão f. ecebe a caga g da laje, poém ela é ajudada eação da viga () de vão i Como não conhecemos essa ajuda, chamaemos de s essa caga ainda incógnita. pela I~~~~~~~~~~~~~~-~-~ 9 k Essa caga é distibuída poque devemos imagina um conjunto de vigas tipo (1) e tipo (), lado-a-lado, fomando a laje. f

2 -,- - li As duas vigas situam-se no mesmo plano. As duas flechas das vigas (1) e (), no meio do vão, devem se iguais pois são solidáias. A flecha de una viga simplesmente apoiada com caga unifomemente distibuída é: o ---, 5 q..e f=8'~ Então, a flecha na viga (1) é: 5 ( g - s ) ~ fi = 8. E. I o g-5 ~~~~~~~~~~~~~[TI '" i A viga () que colaboa com a viga (I), com uma eação s, está obviamente sujeita a essa mesma caga s. Assim, a flecha seá: Como ~ =~, vem: 5 s ~I 1 =8'~ 5 8 (g-s) e E ( g - s ). e/ = s. ~/ s :«-S e.t =S e s«. =S e +S'~f S. (e + e ) = g. f S=g _-"--- 5 s. e l =_._-'- 8 E ~ i. ~_ e. g. g - S = g - R. + e.v '[1- /:1' g -s=g f +,. Paa unifomização de índices, chamaemos de: g = g - S e a caga que ea a incógnita s, chamaemos g = s de: L--. I~ " Assim, o momento em elação às dieções "" e "" são espectivamente:, S: ]-. e (.e+r. M = g '~ Assim, a viga (1) fica aliviada de uma caga "s" e a outa viga caegada desse valo. M = g '1:'./ _ 8 - Y 7 7

3 '-~-;:- 'IDço;t Eemplo: Detemina as cagas g ' g e depois os momentos M; e M da laje etangula de m po m com caga de,0 knlm É um calculo apoimado! M - 0,7596 g. =s 0,855 kn.m/m - 8 paa g = knlm, temos: i= m M M = 1,9 kn.mlm =,0 kn.mlm 7 L. e, =s 1-e +e/ (?+ e ) -g. g)- e = m => = 56 ~, = m => «= 81 g =g 0,0 g =g 0,7596 e i= m e 56 =0,7596 Pecebemos que a viga mais ígida é a de meno vão, ecebendo potanto caga maio, M= O,0'g =g.0,81 kn.m/m n A unidade do momento é a foça po compimento. Como tomamos a viga com lagua unitáia, o momento obtido é po faia unitáia. O momento é maio na dieção meno, po isso se enconta maio quantidade de amadua na meno dieção das lajes se compaada com a maio. A placa também esiste atavés da toção que se popaga de faia a faia até os apoios. Ações de toção na distibuição das cagas Paa visualiza essa distibuição, consideemos tês vigas iguais, com o mesmo vão, de seção tansvesal e de mesmo mateial, com tês cagas concentadas difeentes, agindo uma em cada viga. Ação de Toção As flechas são popocionais às cagas "P/'. As vigas, pela hipótese inicial' estão sepaadas e, potanto, defomam-se independentemente. Vamos agoa imagina que as tês vigas estejam ligadas pelas suas faces lateais, cono ocoe na ealidade. Tudo se passa como se tivéssemos uma outa viga que obiga as flechas das tês vigas a seem iguais. Podemos imagina a lagua das vigas tão pequenas que possamos despeza essa vaiação. ~~d'dld'dd' 1 75

4 Vemos que a viga (1) colaboa com a viga () e esta, com a viga (). Tal colaboação é desenvolvida po una foça cotante que se manifesta na face lateal das vigas, pois na lajes essas vigas estão justapostas fomando um copo único. Pl P P Ó!Q, Q,tÓ!Q, Q,tÓ 1 Agoa, as tês vigas também estão submetidas as incógnitas. Viga (1): Viga (): Viga (): PI + QI P-QI P - Q + Q d D D D--- ç ~ ~ j às foças QI e Q que são Como as tês vigas têm a mesma flecha, cada uma tem como esultante da soma das cagas P e assim podeemos esceve paa a viga 1 e paa a viga : PI +QI =-( PI +P 1 +P ) e P - Q =' ( PI + P 1 + P ) que pemitem calcula QI e Q' QI =--( PI +P +P )-PI k QI =!L+!..L_~.p I Q =P -_.( P I +P +P ) Q =f'p _!_!..L Tomando-se agoa a viga (), que é a viga do meio e decompondo-se o caegamento das cagas QI e Q em dois outos equivalentes, que não alteam as condições de equilíbio, temos: P I P QQ Ql ~ 1 - b -f,-q b t viga 1 Assim, a solidaiedade foças QQ + Ql+Q Ol momento toso Ql+Q das vigas povoca um alivio na viga () coespondente à difeença das cagas QI e Q e um momento de tosão igual à semisoma das foças Q I e Q multiplicada pela metade da lagua da viga. Essa é a ação de toção nas lajes. O calculo eato das lajes é feito pela teoia da elasticidade. Ação de membana nas lajes Quando os deslocamentos coespondentes às flechas aumentam, começa a apaece a ação de membana, em que a laje tabalha a suspensão, fonecendo solicitações de tação na placa que aumentam ainda mais a sua esistência. A ação de membana é como se ela se compotasse como um tecido peso nos lados, ou seja, com pedominância da ação do cabo nas duas dieções

5 Placas - lajes Lajes nevuadas Quando se que diminui o seu peso pópio, se faz nevuas nas lajes, nas duas dieções, paa alivia o peso. A laje nevuada só se justifica paa vãos significativos, po eemplo, acima de O m O m. 1l[][][[][]] ~ A caga que está no tapézio é descaegada no lado R e a caga que está no tiângulo é descaegada no lado e. A caga é deteminada pela áea das figuas, multiplicada pela caga po unidade de áea da laje. Essa caga é depois distibuída lineamente pela viga, dividindo-se a caga obtida pelo compimento e da viga, no caso do tapézio, e e, no caso do tiângulo. Vejamos como ficam as epessões: Áea do tapézio: Aapézio = e- '+e s.. e" e - e A I'. e. f. - e " e ' -v _I' V \' ; _._ Aapé:io = t: =-- - A caga Q é a áea do tapézio multiplicada áea. [ e. f. ~/ Q =«---- A caga ao longo lado f. é pela caga g po unidade de -.I' Reação das lajes q = Q Deteminação da eação das placas sobe as vigas de boda. Podemos imagina que as eações ocoem de acodo com o esquema de uptua das lajes. As lajes etangulaes com cagas unifomemente distibuídas apesentam a configuação a segui:, \ ' " 5 / /,, " /5 f "'" n f,//,.tx---, -. /' ~ ~, "" <. /, 5,// -...,5,, 0 /\ 5 5 "~, e f q.' ~(. el'. e/ \ q X = f. [ e e.v._ q =«l-e: Esta é a eação po meto do lado ~." Vejamos a eação q: e Y ' Q\. =«- el' / 78 79

6 ... Iacas - lajes c, =q 0 Q q =- -,' q = q o f q) =s 0 f Eecício: Detemine as eações de uma laje maciça de conceto de m m, com espessua de 8 em, evestimento de ceâmica, e que pesa, com a agamassa de assentamento, 1000 N/m 0 Cagas sobe a laje: Cálculo das eações: Peso pópio: pp = 0, = 000 N/m Revestimento: p = 1000 = 1000 N/m Sobecaga: se = 000 = 000 N/m Caga total po áea: g = 5000 N/m e = m (lado maio) e, = m ( I q=50000 "-0 q = 687,50 N/m q = _ ) q.\ = 750 Nlm 80

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