Relatório Interno. Método de Calibração de Câmaras Proposto por Zhang

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1 LABORATÓRIO DE ÓPTICA E MECÂNICA EXPERIMENTAL Relatóio Inteno Método de Calibação de Câmaas Poposto po Zhang Maia Cândida F. S. P. Coelho João Manuel R. S. Tavaes Setembo de 23

2 Resumo O pesente elatóio tem como pincipal objectivo desceve, esumidamente, o método e o softwae de calibação poposto po Zhang, facilitando a sua posteio utilização. Assim, o elatóio é constituído po tês secções: na pimeia, é feita uma pequena intodução ao método de calibação poposto; na segunda, são apesentados os paâmetos de calibação a estima e a classe na qual o método se insee; e na teceia e última secção, são descitas as funções implementadas no softwae que pemitem a calibação de uma câmaa e a coecção de imagens com distoção.

3 Abstact The main goal of the pesent epot is to biefly descibe the calibation method and softwae poposed by Zhang, facilitating its posteio use. Thus, this epot is constituted by thee sections: in the fist one, a small intoduction to the consideed calibation method is pesented; in the second, the calibation paametes to be estimated and the class in which the method fits ae indicated; and in the thid and last section, ae descibed the implemented functions that allow cameas calibation and distoted images coection.

4 Índice 1 - Intodução Classificação do Método Softwae de Calibação Desenvolvido po Zhang Calibação de uma câmaa Coecção da distoção adial da lente Refeências...9 Anexo: Paâmetos α, β, γ... 1

5 1 - Intodução O método de calibação de câmaas poposto po Zhang é um método simples, que não necessita de um gande conhecimento de geometia 3D e de Visão po Computado. Este método apesenta um setup de fácil aplicação e de custo baixo, que eque apenas que a câmaa obseve um padão plana com difeentes (pelo menos duas) oientações/posições 1, podendo ambos moveem-se livemente. O método poposto consiste na deteminação de uma solução analítica ( closed-fom solution ) que pemite obte uma apoximação inicial dos paâmetos intínsecos/extínsecos da câmaa, seguida de um efinamento não-linea baseado no citéio de Máxima Veosimilhança. Finalmente, é incluído no modelo a distoção adial da lente, dadas as soluções analítica e não-linea. 2 - Classificação do Método Este método de calibação está inseido nas técnicas de múltiplos-passos e utiliza: no pimeio passo, apoximação linea paa deteminação de uma solução analítica; no segundo passo, estimação da distoção adial da lente (dois temos); e, no teceio passo, optimização não-linea de todos os paâmetos utilizando o citéio de Máxima Veosimilhança (Fig. 1). Início Deteminação dos paâmetos intínsecos: cento da imagem na memóia fame, (C x, C y ), desfasamento ente os eixos da imagem, γ, factoes de escala segundo os eixo i e j da imagem, α e β, espectivamente). Deteminação dos paâmetos extínsecos (matiz de otação 3D, R, e vecto de tanslação 3D, T). Apoximação linea Estimação dos coeficientes da distoção adial da lente, k 1 e k 2. Refinamento não-linea de todos os paâmetos do modelo baseado no citéio de Máxima Veosimilhança. Fim Figua 1 - Esquema do método de calibação poposto po Zhang. 1 As matizes de otação obsevadas quando se adquiem duas imagens do padão plana têm de se independentes (não pode existi uma tanslação pua), de outa foma não fonecem estições adicionais necessáias à aplicação do método. Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 5

6 3 - Softwae de Calibação Desenvolvido po Zhang O softwae desenvolvido po Zhang paa calibação de câmaas pemite: estima os paâmetos intínsecos e extínsecos de uma câmaa consideando ou não distoção adial da lente (secção 3.1), e coigi essa distoção dados os paâmetos da câmaa e a imagem oiginal (secção 3.2). Este softwae foi desenvolvido paa os sistemas opeativos Micosoft Windows e é executável po linha de comando (Command Pompt). Este método de calibação de câmaas está implementado no OPENCV distibuído pela Intel (disponível em e em ambiente Micosoft Visual C ++ (disponível em Calibação de uma câmaa Paâmetos de entada: ModelFile - nome do ficheio de entada (fomato de texto) que contém as coodenadas 3D no efeencial mundo dos pontos de calibação. Na Fig. 2 é apesentado um exemplo desse ficheio em que os pontos de calibação são as coodenadas dos vétices de váios quadados; ImageDataFile1, ImageDataFile2, <... > - nome dos ficheios de entada (fomato de texto) que contêm as coodenadas 2D imagem na memóia fame dos pontos de calibação (Fig. 4). Quadado: Vétice 1 Vétice 2 Vétice 3 Vétice 4 X w Y w X w Y w X w Y w X w Y w Figua 2 Exemplo de um ficheio de entada (.txt) da implementação do método de Zhang, que contem as coodenadas 3D dos pontos de calibação (eixo Z do efeencial mundo é igual a zeo). Paa melho compeensão dos dados foam adicionadas as tês pimeias linhas (não fazem pate do ficheio). Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 6

7 Figua 3 Imagens adquiidas po uma câmaa com oientações distintas. As coodenadas 2D dos vétices dos quadados são os pontos de calibação na memóia fame a seem utilizados pela implementação. Quadado: Vétice 1 Vétice 2 Vétice 3 Vétice 4 I J I J I J I J Figua 4 Exemplo de um ficheio de entada (.txt) da implementação do método de Zhang, que contem as coodenadas 2D na memóia fame dos pontos de calibação. Paa melho compeensão dos dados foam adicionadas as tês pimeias linhas (não fazem pate do ficheio). Nota: Os vétices dos quadados apesentados nas imagens da Fig. 3 são detectados atavés da intesecção de linhas ectas ajustadas a cada quadado e as suas coodenadas são guadadas em ficheios de texto (Fig. 4) paa seem utilizados como paâmetos de entada da implementação do método de Zhang (o softwae utilizado paa a detecção dos pontos de calibação não foi disponibilizado, nem efeenciado, no tabalho publicado po Zhang) Paâmetos de saída (Fig. 5): α (alpha) - facto de escala da imagem na memóia fame segundo o eixo i; β (beta) - facto de escala na imagem na memóia fame segundo o eixo j; Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 7

8 γ (gamma) - paâmeto que desceve o desfasamento ente os dois eixos da imagem (numa câmaa ideal o valo deste paâmeto é, que coesponde a um ângulo de 9 ente os dois eixos da imagem); (C x, C y ) - cento da imagem na memóia fame; k 1, k 2 - pimeios dois coeficientes da séie infinita que epesenta a distoção adial da lente; R 1, T 1 ; R 2, T 2 ; <... > - matiz de otação 3D e vecto de tanslação 3D estimados paa os dados dos ficheios: ImageDataFile1, ImageDataFile2, <... >. o e (α, γ, β, C x, C y) (k, k ) 1 2 (ImageDataFile1) ( 11, 12, 13 ) ( 21, 22, 23 ) ( 31, 32, 33 ) (t x, t y, t z ) (ImageDataFile2) ( 11, 12, 13 ) ( 21, 22, 23 ) ( 31, 32, 33 ) (t x, t y, t z ) Figua 5 Exemplo do conteúdo do ficheio de saída da implementação do método de Zhang. Paâmetos intínsecos e extínseco estimados po esse método. Paa melho compeensão dos dados foam adicionados, ente paênteses, o paâmeto a que coesponde cada valo (não fazem pate do ficheio) Coecção da distoção adial da lente Paâmetos de entada: OiginalImage - nome do ficheio de entada (fomato de imagem) que contém as coodenadas 2D na memóia fame distocidas (Fig. 3); CalibationFile - nome do ficheio de entada (fomato de texto) que contém os paâmetos da câmaa estimados (Fig. 5) Paâmetos de saída: UndistotedImage - nome do ficheio de saída (fomato de imagem) que contém a imagem não distocida (Fig. 6). Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 8

9 Figua 6 Imagens não distocidas obtidas a pati da implementação desenvolvida po Zhang, tendo como paâmetos de entada as imagens apesentadas na Fig. 3 e os paâmetos da câmaa. 4 - Refeências Z. Zhang - A Flexible New Technique fo Camea Calibation. IEEE Tansactions on Patten Analysis and Machine Intelligence, 22(11): , 2. Z. Zhang - Flexible Camea Calibation By Viewing a Plane Fom Unknown Oientations. Intenational Confeence on Compute Vision (ICCV'99), Cofu, Geece, pgs , Sept OPENCV - Intel Open Compute Vision Libay E. Hebst - Camea Calibation by Cones Detection O método de calibação poposto, o softwae desenvolvido e as expeiências ealizadas po Zhang estão disponíveis na seguinte página da Web: Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 9

10 Anexo: Paâmetos α, β, γ a.1 - Método Pin Hole Um ponto P w, no sistema de coodenadas 3D mundo, é tansfomado num ponto P i, no sistema de coodenadas 2D imagem na memóia fame, po uma tansfomação geomética C, ou seja, P, = C P, ( u v) ( x, y z ) w w w, ou ainda, w. u d x = w v w 1 d y1 C C 1 x y t x xw xw t y yw = yw C, (1) t z zw zw x1 x x y1 y f com d = s d f e d = d, onde R é a matiz de otação 3D, T é o vecto de tanslação 3D, f é a distância focal efectiva, ( ) x C y C, são as coodenadas discetas do cento óptico na memóia fame, é facto de inceteza hoizontal (que neste modelo tem o valo um) e d e d são as distâncias ente centos dos elementos sensoes vizinhos segundo as diecções X e Y, espectivamente. x y s x a.2 - Apoximação Linea do método de Zhang [ ] T T Um ponto 2D é definido como m = u; v. Um ponto 3D é definido como M = [ X ; Y; Z ]. É usado x~ paa epesenta as coodenadas homogéneas desses pontos: m ~ ~ = 1 e M = X ; Y; Z; 1. [ u; v; ] T [ ] T Consideando um modelo ideal paa a câmaa (modelo Pin Hole): a elação ente um ponto 3D, M, e a sua pojecção na imagem, m, é dada po: sm~ ~ = A[ R T ]M, (2) onde s é um facto de escala abitáio e A, designada matiz dos paâmetos intínsecos da câmaa, é dada po: α A = γ C x C, 1 β y Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 1

11 onde, α e β são os factoes de escala da imagem na memóia fame segundo os eixos u e v, espectivamente, e γ é o paâmeto que desceve o desfasamento ente estes dois eixos (eixos da imagem na memóia fame). A.3 - Relação ente os Dois Métodos Obsevando as equações (1) e (2) de cada um dos métodos veifica-se que se tata da mesma tansfomação, assim conclui-se que, 1 ' α = d x f, 1 β = d y f, e γ =, pois o método Pin Hole não considea qualque desfasamentos ente os eixos u e v da imagem na memóia fame (modelo pefeito: o ângulo ente os eixos u e v da imagem é de 9 o γ = ). Note-se que, no método de Zhang, a deteminação da distância focal efectiva, f, é ealizada após o efinamento não-linea de todos os paâmetos do modelo (com distoção adial da lente) e conhecendo os paâmetos da câmaa d x ou d y, nomalmente fonecidos pelo fabicante. O seu valo é obtido diectamente do paâmeto β ou, indiectamente, do paâmeto α. Laboatóio de Óptica e Mecânica Expeimental 11

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