Unidade 13 Noções de Matemática Financeira. Taxas equivalentes Descontos simples e compostos Desconto racional ou real Desconto comercial ou bancário

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1 Unidade 13 Noções de atemática Financeia Taxas equivalentes Descontos simples e compostos Desconto acional ou eal Desconto comecial ou bancáio

2 Intodução A atemática Financeia teve seu início exatamente quando o homem ciou os conceitos de Capital, Juos, Taxas e ontante. Daí paa fente, os cálculos financeios tonaam-se mais justos e exatos, mas é peciso conhecê-los, se possível muito bem.

3 Conceitos CAPITAL (C ou PV) é o valo nomalmente dinheio que você pode aplica ou empesta. Também chamado de Capital Inicial ou Pincipal, epesentado pela leta C ou PV (Valo Pesente abeviação das palavas coespondentes em inglês a Pesent Value). JURO é a emuneação do capital empegado. Paa o INVESTIDOR: é a emuneação do investimento Paa o TOADOR: é o custo do capital obtido po empéstimo TAXA DE JUROS: é o índice que detemina a emuneação de um capital num deteminado peíodo de tempo (dias, meses, anos, etc.) Esse peíodo é epesentado pela leta n ou t. Taxa pecentual: 34% ao mês Taxa unitáia: 0,34 ao mês ONTANTE () ou VALOR FUTURO (FV abeviação das palavas coespondentes em inglês a Futue Value) é o capital inicial acescido do endimento obtido duante o peíodo de aplicação e epesentado pela leta ou FV, ou seja: C + J ou FV PV + J

4 Taxa equivalente Quando alguém aplica R$1000,00 a uma taxa de 20% ao ano duante dois anos, quanto ecebeá ao final da aplicação? As infomações são as seguintes: Capital inicial: C 1000,00 Taxa de juos: i 20% ao ano Pazo: t 2 anos ontante:?

5 Taxa equivalente A esposta a essa pegunta depende do egime de capitalização. Se o egime fo juos simples, elas ecebeá R$ 1400,00: C.(1 + i. t) 1000.(1 + 0,20.2) 1000.(1 + 0,40) 1000.(1,40) 1400,00 É impotante pecebe que, no egime de juos simples, a taxa incide apenas sobe o capital inicial. Assim, se a taxa ea de 20% ao ano, o endimento ea R$ 200,00 po ano. Em dois anos, endeá R$ 400,00 e, potanto o montante seá de R$ 1400,00

6 Taxa equivalente E se esse egime fosse de juos compostos? Nesse caso, o montante seia de R$ 1440,00. C.(1 + i) 1000.(1 + 0,20) 1000.(1,20) , ,00 t 2 2 No egime de juos compostos, a taxa sobe o capital inicial adicionado aos juos no peíodo anteio. Assim, o montante aumenta 20% sobe o montante obtido no ano anteio.

7 Taxa equivalente Obsevando o gáfico, podemos afima que, em egime de juos compostos, a vaiação do montante é exponencial, mas, em egime de juos simples, a vaiação do montante é linea. Conceito: Duas taxas são equivalentes se, aplicados a um mesmo capital e pelo mesmo pazo de tempo, ambas poduziem o mesmo juo.

8 Taxa equivalente Uma taxa de 10% ao mês é equivalente a uma taxa de 30% ao timeste? Depende do egime de capitalização. Em egime de juos simples, a taxa de 10% ao mês poduziá 30% em timeste: Supondo que o Capital é igual 1, temos C.(1 + i. t) 1(1 + 0,10.3) 1,30 (aumento de 30%) No juo composto, temos; C.(1 + i) t 1(1 + 0,10) 1,331(aumento de 33,1%) Logo, no egime de juos compostos, 10% ao mês não é equivalente a 30% ao timeste. 3

9 Taxa equivalente Esse exemplo esclaece que somente podemos veifica a equivalência ente duas taxas se conhecemos o egime de capitalização, No egime de juos compostos, quanto maio fo o pazo e a taxa, maio seá a difeença ente uma taxa popocional e a taxa equivalente.

10 Taxa equivalente Po exemplo: considee uma taxa de 10% ao mês, capitalizada duante um ano. Veja como a taxa popocional e a taxa equivalente são elativamente difeentes em um egime de juos compostos: 10% ao mês é popocional à (1+ 0,10.12) (1+ 1,2) taxa de120% ao ano : 2,20 120% de aumento 10% ao mês é equivalente à (1+ 0,10) 12 taxa de 213,84% ao ano 12 ( 1,10 ) 2, ,84% de aumento

11 Taxa equivalente - Resumo Em algumas situações elacionadas à atemática Financeia temos que ealiza opeações de equivalência das taxas de juos. Em situações de longo pazo conhecemos a taxa mensal de juos, mas desconhecemos o valo da taxa anual ou dos juos acumulados no peíodo estabelecido. A expessão matemática que fonece a taxa de juos equivalente a um peíodo é a seguinte: (1 + ia) (1 + ip) n ia taxa atual equivalente ip taxa do peíodo dado n númeo de peíodos

12 Taxa equivalente Exemplo de Aplicação Qual a taxa anual de juos de um financiamento que coba juos mensais de 4,5%. Temos que 4,5% 4,5 / 100 0,045 (1 + ia) (1 + 0,045) ia 1, ia 1,6959 ia 1, ia 0,6959 ia 69,59 % ao ano Calcule os juos acumulados duante 2 anos efeentes a uma taxa mensal de 0,5%. 0,5% 0,5 / 100 0,005 (1 + ia) (1 + 0,005) ia 1, ia 1,1271 ia 1, ia 0,1271 ia 12,71%

13 Descontos Simples e Composto Quando uma pessoa compa uma mecadoia e a paga a vista, em geal, ecebe po isso um desconto no pagamento. Entetanto, não é apenas em liquidações ou pomoções de vendas que utilizamos o conceito de desconto. Paa ilusta, imagine que Anselmo fez uma aplicação financeia com vencimento pedeteminado e, antes da data do vencimento, pecisou de dinheio. Como ele pode capta ecusos financeios, utilizando o título adquiido na aplicação financeia?

14 Descontos Simples e Composto Anselmo pode tansfei o título da aplicação paa um teceio, ecebendo na tansfeência o pincipal aplicado, adicionando aos juos que foam capitalizados no peíodo. Nesse caso, há uma opeação de desconto, pois ele pecisou toca o título po dinheio antes da data do vencimento e, po isso, não teá dieito ao valo nominal do título. A opeação de desconto é também muito utilizada po empesas. Em geal, quando uma empesa faz uma venda a pazo, ela ecebe um duplicata com vencimento pedeteminado. Se ela deseja toca antes do vencimento, pode ecoe a uma instituição financeia, tansfeindo a duplicata e ecebendo dinheio em toca. Com base nesses exemplos, fica clao que desconta um título é uma opeação que pode se utilizada tanto paa pessoas físicas quanto paa pessoas juídicas.

15 Fluxo de caixa Obseve um fluxo de caixa de uma opeação de desconto: O diagama ilusta um tipo de opeação de desconto bastante comum. Nele podemos obseva que um título cujo o valo no instante inicial é C (capital) tem vencimento futuo com valo pedeteminado igual a N (valo nominal). Em um instante futuo, anteio ao vencimento do título, deseja-se desconta o título po um valo A (valo atual), segundo uma taxa de desconto cujo o valo é i d.

16 Descontos Simples e Composto N (valo nominal, valo futuo ou montante): é o valo declaado no título de cédito a se pago na data do vencimento. A (valo atual, valo pesente ou valo descontado): é o valo ecebido pelo título descontando antes do coespondente vencimento. D (desconto): é a difeença ente o valo nominal e o valo atual, ou seja, D N A i (taxa de desconto): é a taxa de juos utilizada no desconto do título. t (pazo de desconto): é o pazo de antecipação do título de cédito.

17 Descontos Simples e Composto O temo desconto simples é utilizado nas opeações financeias cujo o egime de capitalização seja o de juos simples. O temo desconto composto são utilizados no egime de capitalização composta.

18 Desconto acional ou eal Um desconto acional (eal) pode se efetuado em egime de juos simples ou composto. Regime simples desconto acional simples; Regime composto desconto acional composto.

19 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação José petende salda um título de R$ 11000,00, quato meses antes do coespondente vencimento. Sabendo-se que o desconto seá dado sobe o valo atual, ou seja, sobe o valo descontado, calculando a uma taxa de juos simples de 36% ao ano, quanto ele obteá e qual o valo do desconto?

20 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação Obseve a ilustação: Das infomações do poblema, temos: N ,00 t 4 meses i 36% ao ano A taxa de 36% ao ano, popocional 3% ao mês, pois 0, ,03 3% a Com 4 meses de antecipação o desconto é igual a 4. 3% 12%. Dessa foma, se o desconto simples é acional, o valo atual (A valo descontado) aumentado de 12% deve coesponde ao valo nominal do título: A.1, ,000 A ,000 1, ,43 O valo descontado (ou valo atual do título) seá de R$ 9.821,43

21 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação O valo descontado é obtido pela difeença ente o valo nominal e o valo do desconto, ou seja: D N A D ,00-9,821,43 D 1.178,57 Logo, o valo do desconto acional simples é de R$ 1.178,57

22 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação Obseve que, se no poblema anteio o valo descontado, R$ 9.821,57, fosse aplicado em egime de juos simples a uma taxa de 3% ao mês, duante 4 meses, o montante poduzido seia igual ao valo nominal do título, R$ ,00 C. A. ( 1+ it) ( 1+ it) ( 1+ 0,03.4) 9.821, ,57.1, ,00 A conclusão é a de que, no egime de juos simples, o desconto acional aplicado ao valo nominal é igual ao juo devido sobe o capital (valo descontado) desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. Assim, a taxa de juos de opeação é também a taxa de desconto.

23 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação Sendo N o valo nominal do título, i a taxa de juos, t o peíodo de antecipação, em uma opeação de desconto acional simples, temos: Valo do desconto Valo descontado D N. i. t 1+ i. t D N 1+ i. t

24 Desconto acional ou eal (simples) - Exemplo de aplicação Uma dívida de R$ 5.600,00 seá saldada tês meses antes do coespondente vencimento. Qual deve se o valo do desconto acional, se a taxa de juos simples contatada fo de 36% ao ano? D N. i. t 1 + i. t 0, ,00..3 D 12 0, D 504 1,09 O desconto deve se de R$ 462,39

25 Desconto acional ou eal (composto) - Exemplo de aplicação José petende salda um título de R$ 11000,00, quato meses antes do coespondente vencimento. Sabendo-se que o desconto seá dado sobe o valo atual, ou seja, sobe o valo descontado, calculando a uma taxa de juos simples de 36% ao ano, quanto ele obteá e qual o valo do desconto?

26 Desconto acional ou eal (composto) - Exemplo de aplicação Das infomações do poblema, temos: N ,00 t 4 meses i 36% ao ano A taxa de 36% ao ano, popocional 3% ao mês, pois 0, ,03 3% Com quato meses de antecipação, o desconto é igual a: (1,03) 4 1 0, ,55% a Dessa foma, se o desconto composto é acional, o valo atual (A valo descontado) aumentado de 12,55% deve coesponde ao valo nominal do título: A.1, ,43 A A 9.773,43 1, ,43 O valo descontado (ou valo atual do título) seá de R$ 9.773,43.

27 Desconto acional ou eal (composto) - Exemplo de aplicação O valo descontado é obtido pela difeença ente o valo nominal e o valo do desconto, ou seja: D N A D ,43 D 1.226,57 Logo, o valo do desconto acional composto é de R$ 1.226,57

28 Desconto acional ou eal (composto) - Genealizando Sendo N o valo do título, i a taxa de juos, t o peíodo de antecipação, em uma opeação de desconto acional composto, temos: Valo do desconto D N 1 1 t ( 1+ i) Valo descontado A N 1 ( i) t

29 Desconto acional ou eal (composto) Paa você faze p.34 Uma pessoa possui uma nota pomissóia que vence daqui a um ano, com valo nominal de R$ 4.000,00. Foi-lhe poposta a toca desse título po outo, vencível daqui a nove meses e no valo de R$ 3.769,29. Sendo a taxa de juos composto de 2% ao mês, a toca é vantajosa sob o ponto de vista estito da atemática Financeia?

30 Desconto acional ou eal (composto) Paa você faze p.34 Vamos calcula o valo descontado da nota 3 meses antes do coespondente vencimento e compaa tal valo com o do título cujo valo nominal é de R$ 4.000,00. Assim temos: A A A N t ( 1 i) 4.000,00 ( 1 0,02) 3.769,29 Potanto, a toca é indifeente, pois os título são equivalentes: 3

31 Desconto comecial ou bancáio Assim como o desconto acional, um desconto comecial (ou bancáio) também pode se efetuado em egime de juos simples ou em egime de juos compostos. Caso seja paticado em um egime de juos simples é chamado de comecial simples; Se fo em egime de juos compostos, seá chamado de desconto comecial composto. Conceito: Desconto comecial (ou bancáio) é aquele obtido pelo cálculo do juo sobe o valo nominal do compomisso que seá saldado n peíodos antes do coespondente vencimento,

32 Desconto comecial simples Essa modalidade de desconto é, em cuto pazo, a mais utilizada nas opeações financeias. José petende salda um título de R$ 11000,00, quato meses antes do coespondente vencimento. Sabendo-se que o desconto seá dado sobe o valo atual, ou seja, sobe o valo descontado, calculando a uma taxa de juos simples de 36% ao ano, quanto ele obteá e qual o valo do desconto?

33 Desconto comecial simples Exemplo de aplicação Das infomações do poblema, temos: N ,00 t 4 meses i 36% ao ano A taxa de 36% ao ano, popocional a 3% ao mês, 0,36 pois 0,03 3% 12 Com 4 meses de antecipação, o desconto é igual a: 4. 3% 12 % Dessa foma, se o desconto simples é comecial, basta desconta o valo nominal em 12% paa obte o valo atual (A c valo descontado). Assim, o valo atual coesponde a 88% do valo nominal do título: A 0, ,00 A 9.680,00 O valo descontado (atual) é igual a R$ 9.680,00. O valo descontado é obtido pela difeença ente o valo nominal e valo descontado, ou seja: D c N A c D c , ,00 D c 1.320,00 O valo do desconto comecial simples é de R$ 1.320,00

34 Desconto comecial simples Sendo N o valo nominal do título, i a taxa de juos, t o peíodo de antecipação, em uma opeação de desconto comecial simples, temos: Valo do desconto Valo descontado D N. i. t A N( 1 it)

35 Desconto comecial simples Paa você faze p. 35 Uma nota pomissóia no valo de R$8.000,00 em seu vencimento, foi descontada tês meses antes de seu pazo de esgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comecia ea de 24% ao ano, qual foi o desconto? Qual foi o valo atual comecial?

36 Desconto comecial simples Paa você faze p. 35 D D D c c c N. i. t ,00.0, ,00 A A A c c c N D c 8.000, ,00 480,00 O valo descontado comecial foi de R$480,00, e o valo descontado comecial foi de R$ 7.520,00

37 Desconto comecial composto Se o egime fosse de juos compostos e o desconto fosse comecial, como podeíamos esolve o exemplo mencionado?

38 Desconto comecial composto Exemplo de aplicação Das infomações do poblema, temos: N ,00 t 4 meses i 36% ao ano A taxa de 36% ao ano, popocional 0,36 3% ao mês, pois 0,03 3% 12 Com 4 meses de antecipação, o desconto é igual a: (1 -.0,03) 4 0,97 4 0,8853 O esultado indica que o valo atual do título é 88,53% do valo nominal. a A c 0, ,00 A c 9.738,30. Potanto, o valo descontado comecial composto é igual a R$ 9.738,30 Então, o valo do desconto é dado po: D c N A c D c , ,30 D c 1.261,70 Ou seja, o valo descontado é igual a R$ 1.261,70

39 Desconto acional ou eal (composto) - Genealizando Sendo N o valo nominal do título, i a taxa de juos, t o peíodo de antecipação, em uma opeação de desconto comecial composto, temos: Valo do desconto D c [ ( i) t ] N.1 1 Valo descontado A c ( ) t N. 1 i

40 Desconto acional ou eal (composto) Paa você faze p. 35 Um título de valo nominal de R$ ,00 seá descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Se D c é o valo do desconto comecial composto e D é o valo do desconto acional composto, calcule D c D.

41 Desconto acional ou eal (composto) - Paa você faze p. 35 No caso do desconto acional composto, basta capitaliza o valo atual em dois meses, cada um à taxa de 10% paa obte o valo nominal do título. A A A 2.(1,10) ,00 1, , ,00 A.1, ,00 Paa o desconto comecial composto, basta descapitaliza o valo nominal do título em dois meses, cada um à taxa de 10% ao mês paa obte valo atual: A A A D D D D c c c , , ,00 Logo, temos : c c c c D D D D ( 1 0,10 ) 2 ( 0,90) ( N A ) ( N A) A A c c ,00 2

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