Objetivo Estudo do efeito de sistemas de forças não concorrentes.

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1 Univesidade edeal de lagoas Cento de Tecnologia Cuso de Engenhaia Civil Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Código: ECIV018 Pofesso: Eduado Nobe Lages Copos Rígidos: Sistemas Equivalentes de oças Maceió/L

2 Objetivo Estudo do efeito de sistemas de foças não concoentes.

3 oças Concoentes e Não Concoentes oças concoentes centadas Podem induzi apenas a tanslações oças não concoentes e concoentes não centadas Podem induzi a otações combinadas ou não com tanslações

4 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Uma foça aplicada num copo cia, em elação a um ponto de efeência, uma tendência de gio em tono de um eixo pependicula ao plano fomado pelo veto aio e o veto foça.

5 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Vamos associa essa tendência de gio a um veto momento, na dieção e sentido da tendência de gio. M O d O que induz a uma maio ou meno tendência de otação poduzida po uma foça é o chamado baço de alavanca (distância do ponto de efeência à linha de ação da foça).

6 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Resumindo: M O d M O M O x M O d

7 Componentes Retangulaes Componentes Retangulaes do Momento de uma o do Momento de uma oça B x y z ( x ; y ; z ) ( x ; y ; z ) M ( ) x y y x z x x z y z z y ; ; M z y x z y x kˆ ĵ î M + -

8 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Exemplo: Os baços B e BC de uma lumináia estão em um plano vetical que foma um ângulo de 30º com o plano xy. Paa eposiciona o feixe de luz, é aplicada uma foça de intensidade 8 N em C. Detemine o momento dessa foça em elação a O sabendo que B 450 mm, BC 325 mm e a linha CD é paalela ao eixo z.

9 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Exemplo (continuação): ( o o ) o 450 sin sin 50 cos o o cos cos ( o o ) o x 30 y sin sin 50 sin 30 z M O 325 mm o o x 8cos 45 sin 20 o y 8sin 45 o o z 8cos 45 cos mm

10 Momento de uma oça a em Relação a um Ponto Exemplo (continuação): x y z 491,2 mm 259,3 mm 283,6 mm x y z 1,935 N 5,657 N 5,316 N M M O O î ĵ kˆ 491,2 259,3 283,6 1,935 5,657 5,316 ( 2982,8; 3160,0; 2277,0) N.mm

11 Teoema de Teoema de Vaignon Vaignon O momento geado po um sistema de foças concoentes pode se calculado somando-se os momentos de cada foça ou avaliando-se o momento da foça esultante equivalente. R P S Q 0 0 S Q P M O + + ( ) S Q P M O + + R M O

12 Teoema de Vaignon Exemplo: Uma foça de 800 N atua sobe um supote, confome mosta a ilustação abaixo. Detemine o momento da foça em elação ao ponto B. 800 N 60º 160 mm 200 mm B

13 Teoema de Vaignon Exemplo (continuação): 1ª estatégia uso dieto da definição 800 N 60º + M 800 d d 256,125 cos 8,660º 160 mm d 256,125 mm 38,660º 30º 200 mm B d 253,205 mm M ,205 M N mm

14 Teoema de Vaignon Exemplo (continuação): 2ª estatégia uso do Teoema de Vaignon 800 sin 60º 800 N 160 mm 60º 800 cos 60º + M 800 cos 60º sin 60º 200 M N mm 200 mm B

15 Teoema de Vaignon Exemplo: Um bote está penduado em dois supotes, um dos quais é mostado na figua. tação na linha BD é de 182 N. Detemine o momento em elação a C da foça esultante R execida pela linha em.

16 Teoema de Vaignon Exemplo (continuação): T B T D T B C

17 Teoema de Vaignon Exemplo (continuação): T λˆ D T D D ˆ λ D ( 0,585; 0,757; 0,292) T B T B T D T B λˆ B ( 106,4; 137,7; 53,2)N ( 0,0; 182,0; 0,0)N C ( 0,00;1,89; 00;189; 073 0,73 )m M C C R ˆλ λ B ( 0,000; 1,000; 0, ) T B T D 182 N R TD + TB + TB R 106,4; 501,7; 53,2 iˆ 0,00 ( ) N ˆj 1,89 kˆ 0,73 106,4 501,7 53,2 ( 265,7; 77,7; 201,1 ) N.m

18 Poduto Escala ente y Dois Vetoes Q θ P z x P Q PQcosθ P Q + P Q + x x y y P z Q z

19 Pojeção de um Veto e Veto Pojeção em uma Dieção λˆ P λˆ cos P θx; cos λˆ ( P λˆ )λˆ P OL ( ; cos ) P OL θ y θ z

20 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo M O λ^ M OL λ^.( x ) O momento de uma foça em elação a um eixo é dado pelo poduto tiplo envolvendo um veto unitáio que define o eixo de inteesse, um veto aio que nasce em qualque ponto no eixo e vai até qualque ponto ao longo da linha de ação da foça envolvida e esse veto foça.

21 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo M O λ^ λˆ ( λ ) x; λ y; λz ( ) x; y; z ( ; ; ) x y z M OL λ^.( x ) M OL λ x x x λ y y y λ z z z

22 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo Exemplo: O supote CD está aticulado em e D e é sustentado po um cabo que passa atavés do anel em B e que está peso nos ganchos em G e H. Sabendo que a tação no cabo é de 450 N, detemine o momento, em elação à diagonal D, da foça aplicada no supote pelo segmento BH do cabo.

23 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo Exemplo (continuação): T BH 450λˆBH λˆbh BH BH λˆd B D D B 450 N

24 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo Exemplo (continuação): ˆ λ BH T BH ( 0,333; 0,667; 0,667) ( 150; 300; 300)N B ( 0,000; 0,600) ˆ 0,800; λ D ( 0,5; 0,0; 0,0)m 450 N M D ˆ λ D ( T ) B M D 90,0 N.m BH 0,800 0, ,000 0, ,600 0,0 300

25 Momento de uma oça a em Relação a um Eixo Quem contibui? M OL M OL M OL ( λˆ ) ˆ [ ( ) ( λ )] ˆ ˆ λ λ 1 2 ˆ 0 ˆ λ λ 2 ˆ λ M OL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λˆ O 1 Q 2 L 1 2

26 Bináio Definição ão: Sistema paticula de duas foças de mesma intensidade, linhas de ação paalelas e sentidos opostos. - d s duas foças não ião tanslada o copo sobe o qual atuam, mas tendeão a fazê-lo gia.

27 M O B Momento de um Bin Momento de um Bináio io O O M ( ) B + B ( ) B M O B -

28 Momento de um Bináio M - B θ d M O veto momento de um bináio independe do ponto de efeência, caacteizando-o como um veto live que pode se epesentado em qualque posição. O O veto momento epesentativo da tendência de gio é pependicula ao plano das foças (ega da mão dieita). M sinθ M d

29 Bináios Equivalentes

30 dição de Bináios Bináios são epesentados po vetoes e po sua vez podem se combinados empegando-se a lei do paalelogamo. M 2 M R M 1

31 dição de Bináios e Bináios Equivalentes Exemplo: Duas cavilhas de 60 mm de diâmeto são montadas sobe uma placa de aço em e C e duas baas são pesas à placa em B e D. Uma coda é passada em tono das cavilhas, enquanto as baas execem foças de 10 N sobe a placa. (a) Detemine o bináio esultante que atua sobe a placa quando T 36 N. (b) Se apenas a coda fo usada, em que dieção ela deveá se puxada paa se cia o mesmo bináio com a mínima tação na coda? Qual o valo da tação mínima? 10 N T B 285 mm D C T 10 N 380 mm

32 dição de Bináios e Bináios Equivalentes Exemplo (continuação): (a) 10 N T 36 N B 345 mm 285 mm D C T 36 N 10 N 380 mm + M N mm M 8620 N mm

33 dição de Bináios e Bináios Equivalentes Exemplo (continuação): (b) M 8620 N mm Sabe-se que a intensidade do momento geado po um bináio é dada pelo poduto da intensidade da foça que foma o bináio pelo baço de alavanca. Como se deseja minimiza a foça, deve-se maximiza o baço de alavanca. T min D d max 380 mm B C T min 285 mm M T min d max d mm max + T min T min 16,1 N

34 Substituição de uma oça po uma oça a e um Bináio Motivação ão: Como modifica a linha de ação de uma foça mantendo os mesmos efeitos sobe o copo em que atua? 0 M O x 0-0 d onde M d

35 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio estatégia anteio pode se aplicada com cada uma das foças do sistema oiginal, tendo como efeência o mesmo ponto O. 3 pós isso, combinam-se as foças e os vetoes momentos oigináios dos bináios, chegando-se ao sistema esultante equivalente com uma única foça e um único veto momento. M R

36 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo: À medida que buchas de plástico são inseidas em um ecipiente cilíndico de chapa metática de 75 mm de diâmeto, a feamenta de inseção exece sobe o invóluco as foças mostadas. Cada uma das foças é paalela a um dos eixos de coodenadas. Substitua essas foças po um sistema foça-bináio em C. D B C

37 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo (continuação): B ( 0; 22,5; 0)N C ( 0; 13,5; 0)N ( 0; 0; 18) N D 31,5; ( 0; 0) N B ( 0; 0; 37,5)mm ( 25; 0; 37,5)mm C D ( 0; 0; 0)mm ( 0; 37,5; 37,5)mm No estabelecimento do veto aio fez-se uso da idéia de que é possível encea esse veto em qualque ponto ao longo da linha de ação da coespondente foça.

38 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo (continuação): R + R B + C + D ( 31,5; 36; 18) N C M + B B + C C + D D M 1350,00;1181,25; 843,75 ( ) N.mm

39 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo: Tês cabos pesos a um disco execem sobe o disco as foças mostadas. Substitua as tês foças po um sistema foça-bináio equivalente em. 140 N 45º B 30º C 45º 20 cm 110 N 20º D 45º 140 N

40 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo (continuação): 140 N 45º B 30º D C 45º 20 cm 110 N 20º 99,0 N 99,0 N B 37,6 N C 17,3 cm 14,1 cm 103,4 N 14,1 cm 10 cm 20 cm D 99,0 N 45º 140 N 99,0 N M R y R x R x 99, ,4-99,0 103,4 N R y -99,0+ 37,6 + 99,0 37,6 N M 99, ,4 14,1 + 37,6 14,1 + 99, ,0 17,3 329,5 N cm

41 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Exemplo (continuação): B 37,6 N C 103,4 N 329,5 N cm D D

42 Redução de um Sistema de oças a uma oça a e um Bináio Uma vez que um sistema de foças tenha sido eduzido a uma foça e um bináio em um ponto O, ele pode se facilmente eduzido a uma foça e um bináio em um outo ponto O. M O R O O O O foça esultante pemaneceá inalteada, a menos da sua linha de ação, mas o novo bináio esultante seá igual à soma do anteio mais o momento em elação a O da foça esultante aplicada na posição inicial. M M + O O O O R M O R O O

43 Redução de um Sistema de oças a um Toso M O R R M 1 M1 λˆ M M ( M ) O λˆ R R 2 O M1 O Passo do toso: M R p 1 Eixo do toso O R M 1 M 2 Toso O R + M 2 0 O

44 Redução de um Sistema de oças a um Toso Exemplo: Reduzi o sistema foça-bináio apesentado abaixo à foma mais simples de epesentação. Sabe-se que R ( 31,5; 36; 18)N M ( 1350,00;1181,25; 843,75)N.mm M 75 mm C R

45 Redução de um Sistema de oças a um Toso Exemplo (continuação): R λˆ R ( 0,616; 0,704; 0,352) R M ( ) 1 M λˆ λˆ R R M 2 M M ,14; 971,95; 739,10 x; 37,5 y; 37,5 z EC ( 183,14; 209,30;104,65) N.mm ( ) N.mm ( ) EC R + M , y 36z , x 31,5y 0 209,30 18x + 31,5z 0 x 11,63 + 1,75z y 47,67 + 2z

46 Redução de um Sistema de oças a um Toso Exemplo (continuação): Toso R M 1 ( 31,5; 36; 18) N ( 183,14; 209,30;104,65) N.mm Eixo do Toso λˆ ( 0,616; 0,704; 0,352) Passando pelo ponto (-11,63; 47,67; 0) mm Passo do Toso p 5,81mm

47 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças oças concoentes: Quando existe um ponto comum a todas as linhas de ação das foças envolvidas no pocesso de edução, essas podem se somadas dietamente paa obte a foça esultante empegando-se, po exemplo, a ega do polígono.

48 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças oças coplanaes: Como todas as foças atuam num plano em comum, a foça esultante também estaá no mesmo plano. Em elação a qualque novo ponto de eposicionamento do sistema de foças, o bináio intoduzido po qualque foça teá a dieção pependicula ao plano em pauta. ssim sendo, o bináio esultante também seá pependicula a esse plano. dequadamente o sistema esultante foça-bináio (pependiculaes) podeá se eposicionado paa se esumi apenas a uma foça. d M R R o

49 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças oças paalelas: Como todas as foças são paalelas, a foça esultante também teá a mesma dieção. Em elação a qualque novo ponto de eposicionamento do sistema de foças, o bináio intoduzido po qualque foça teá a dieção pependicula a da foça. ssim sendo, o bináio esultante também seá pependicula a dieção das foças. dequadamente o sistema esultante foça-bináio (pependiculaes) podeá se eposicionado paa se esumi apenas a uma foça.

50 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças Exemplo: Tês cianças estão em pé sobe uma balsa de 4,5 x 4,5 m. Sabendo que os pesos das cianças nos pontos, B e C são de 382,5 N, 270 N e 405 N, espectivamente, detemine a intensidade e o ponto de aplicação da esultante dos tês pesos.

51 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças Exemplo (continuação): 382,5 N 270 N 405 N

52 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças Exemplo (continuação): y 1057,5 N 2440,1 N.m 2885,6 N.m z x

53 Casos Paticulaes de Redução de um Sistema de oças Exemplo (continuação): y 1057,5 N 2,307 m 2,729 m z x

54 Sistemas Eqüipolentes e Sistemas Equivalentes de oças Dois sistemas de foças são eqüipolentes se pudeem se eduzidos ao mesmo sistema foça-bináio em um dado ponto de efeência, ou seja, e M O M O Dois sistemas de foças são equivalentes se foem eqüipolentes e povocaem os mesmo efeitos sobe o copo em que atuam. 10 N 5 N 10 N 5 N 5 N 10 N 5 N 10 N Eqüipolentes Equivalentes