DETERMINAÇÃO DE ROTAS PARA EMPRESAS DE ENTREGA EXPRESSA

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1 DETERMINAÇÃO DE ROTAS PARA EMPRESAS DE ENTREGA EXPRESSA Femin A. Tang Montané Pogama de Engenhaia de Sistemas, COPPE/UFRJ Vigílio José Matins Feeia Filho Depatamento de Engenhaia Industial/ UFRJ/ Escola de Engenhaia Robeto Diéguez Galvão Pogama de Engenhaia de Podução, COPPE/UFRJ Resumo Um poblema com o qual se depaam empesas de entega aéea expessa é como pojeta uma ede de distibuição de encomendas ente váias cidades, atendendo estições de tempo, disponibilidade e capacidade da fota de aeonaves. O poblema acima descito é muito complexo e não existem métodos conhecidos paa esolvê-lo exatamente. A abodagem adotada neste tabalho consistiu em defini uma vesão simplificada do mesmo, que é esolvida po intemédio de heuísticas. O poblema simplificado é tatado como uma vaiação do poblema de ávoe geadoa mínima capacitada e paa esolvê-lo foam desenvolvidos dois métodos heuísticos de busca local. Expeimentos computacionais compaam os esultados das duas heuísticas com a solução ótima obtida a pati de uma fomulação matemática do poblema, paa edes pequenas (de até 20 cidades). As soluções poduzidas pelas heuísticas ficaam bastante póximas das soluções ótimas; deve-se no entanto considea que a amosta é pequena e paa poblemas de pequeno pote. As duas heuísticas são também compaadas ente si paa edes de até 100 cidades. Palavas-chave: Pojeto de Redes, Entega Expessa, Heuísticas.

2 108 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Abstact A poblem that must be solved by expess delivey companies is the design of a distibution netwok fo the collection and delivey of small packages. This is a complex poblem fo which exact solution methods ae not eadily available. The pesent wok involves the definition of a simplified vesion of the poblem, which is solved though heuistic methods. The simplified poblem is teated as a vaiation of the capacitated minimum spanning tee poblem and fo its solution two local seach heuistics have been developed. Fo small netwoks (with up to 20 cities), some computational expeiments wee conducted to compae the esults obtained fom the two heuistics with optimal solutions obtained though a mathematical fomulation of the poblem,. The solutions obtained though the heuistics wee vey close to the optimal solutions; it must be consideed, howeve, that the sample is small and consists of small poblems. The two heuistics ae also compaed to each othe fo netwoks of up to 100 cities. Keywods: Netwok Design, Expess Delivey, Heuistics. 1. Intodução As empesas de entega expessa atendem diaiamente a um conjunto de clientes, cada um dos quais popociona uma deteminada quantidade de caga, que deve se tanspotada num pazo de tempo elativamente cuto, ente duas localidades distantes ente si, especificadas pelo cliente. O objetivo da empesa é ealiza o tanspote destas encomendas da maneia mais econômica possível. Paa isto é peciso pojeta uma ede de distibuição ente as cidades. O númeo de clientes que é atendido diaiamente costuma se bastante elevado, poém, a caga ofeecida po cada um deles costuma se de baixo volume e peso. Estão associadas ao cliente tanto a localização da oigem como a do destino de sua caga. Os clientes se encontam compeendidos em áeas locais, que são egiões da extensão de uma cidade. Em alguns casos as áeas locais são subdivididas em setoes. O univeso de clientes potenciais é caateizado como uma coleção de áeas locais dispesas numa egião geogáfica muito mais ampla, gealmente da extensão de um país, denominada áea de cobetua. Dependendo da sua extensão esta é dividida em váias egiões menoes denominadas áeas egionais, o que pemite administa e coodena melho as opeações de tanspote. O atendimento dos pedidos de cada cliente envolve o tanspote de caga em difeentes níveis do sistema. No nível de áea local, o tanspote é ealizado po via teeste; nos níveis de áea egional e inteegional ou de áea de cobetua, em função das gandes extensões que devem se pecoidas e do escasso tempo disponível, o tanspote é ealizado po via aéea. Em cada nível são utilizadas facilidades de concentação/distibuição de cagas. Usando estas facilidades é possível eduzi o númeo de conexões utilizadas na ede de tanspote; além disso elas pemitem que a caga seja concentada ou desagegada nos difeentes níveis do sistema, tonando possível utiliza o veículo mais apopiado em cada nível. Em paticula, a concentação de caga pemite utiliza veículos maioes e mais eficientes, popocionando economias de escala. As facilidades coespondentes aos níveis de seto, de áea local, de áea egional são denominadas espectivamente: estações locais, teminais aéeos e hubs ou centos de classificação.

3 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional O tanspote das encomendas ente duas cidades é ealizado em fases: etapas de coleta a nível local e egional, etapa de tanspote intehubs, etapa de classificação, etapas de entega egional e local. A etapa de coleta local é ealizada basicamente à tade; uma fota de vans coleta as encomendas dos clientes em cada ponto oigem e, após todos os pedidos teem sido ecolhidos, as vans etonam às suas espectivas estações locais. A caga é então tansfeida em caminhões paa a base no teminal aéeo, onde a caga com destino dento da mesma áea local é sepaada daquela destinada a outas áeas locais. No final da tade do mesmo dia uma fota de aeonaves ealiza a coleta egional, tanspotando as cagas dos divesos teminais paa o(s) hub(s). Em cada hub do sistema, a caga é classificada em função dos teminais aéeos de destino. A fota de aeonaves concentada em cada hub é pogamada paa decola duante a madugada, ealizando a entega da caga destinada a cada teminal aéeo da egião. Dado que as demandas de entega e coleta numa cidade são difeentes, as otas utilizadas neste etapa não são necessaiamente as mesmas que foam utilizadas na etapa de coleta. A etapa de entega local é ealizada duante as pimeias hoas da manhã, e consiste no tanspote, po uma fota de caminhões, da caga concentada nos teminais aéeos paa as estações locais. Depois, uma fota de vans ealiza as entegas em cada ponto destino, colocando em pimeio luga as entegas pioitáias. No pesente atigo estamos inteessados somente nas etapas associadas com o tanspote aéeo, basicamente as de coleta e entega egionais, e a de tanspote intehubs. O atigo está oganizado da seguinte foma. Na Seção 2 é apesentada uma evisão bibliogáfica do assunto, seguida, na Seção 3, pelo detalhamento do poblema abodado. Uma fomulação matemática de pogamação inteia é poposta na Seção 4 e heuísticas paa a solução do poblema são apesentadas a segui, na Seção 5. Resultados computacionais, na Seção 6, e as Conclusões, enceam o atigo. 2. Revisão Bibliogáfica O tópico geal de pojeto de edes de tanspote ou seviço tem sido amplamente pesquisado e documentado. Magnanti e Wong (1984) apesentam uma evisão geal destes poblemas, enquanto Etschmaie e Mathaisel (1985) tatam mais especificamente de oteamento e pogamação de aeonaves. Divesos atigos tatam do poblema da seleção de otas e da alocação de uma aeonave a elas. Consideando que a estutua das otas é conhecida, Masten e Mulle (1980) desenvolveam váios modelos de alocação de aeonaves e de designação de caga, consideando uma ede com um hub, com váios hubs, e um modelo paa duas edes de tanspote. Os modelos são esolvidos usando o método de banch and bound (B&B) auxiliado po um pocedimento heuístico paa melhoa a qualidade dos limites. Balakishnan et al. (1990) apesentam uma fomulação de pogamação inteia que pemite constui o conjunto de otas de tanspote a pati de um conjunto de acos viáveis. O modelo seleciona a quantidade de demanda que seá atendida e o númeo de aeonaves, de mesmo tipo, utilizado em cada ota. Uma heuística Lagangeana é utilizada paa obte um conjunto de otas viáveis. Kuby e Gay (1993) popuseam um modelo de pogamação inteia mista que contempla somente a etapa de coleta de encomendas. O modelo, patindo da geação das otas candidatas, com a espectiva alocação de aeonaves, é utilizado paa ilusta a conveniência das otas com paadas intemediáias e de otas alimentadoas na edução dos custos de tanspote. Recentemente, Banhat e Schneu (1996) genealizaam o modelo de Kuby e Gay de foma a otimiza tanto as etapas de coleta quanto de distibuição, a seleciona a quantidade de demanda que seá atendida e a admiti outos aspectos opeacionais. O poblema é esolvido usando um algoitmo

4 110 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 de B&B utilizando a técnica de geação de colunas paa eduzi o númeo de vaiáveis bináias e o tamanho da ávoe de busca. Atualmente, gande pate dos pesquisadoes tem se dedicado a estuda uma classe de poblemas nos quais as otas de tanspote e a localização das facilidades de concentação ( hubs), são deteminadas de maneia conjunta. Os poblemas de localização de hubs podem se classificados quanto ao espaço de soluções em contínuos e discetos. Em elação aos poblemas contínuos, o poblema de localização no plano com um e dois hubs foi apesentado e estudado po O Kelly (1986), e com tês hubs po Fotheingham e O Kelly (1989). Aykin (1988) desenvolveu uma fomulação paa o poblema com p-hubs. Aykin e Bown (1992) apesentaam um pocedimento heuístico paa este poblema com uma ega de alocação baseada em fluxos, e além disso, estendeam o modelo à esfea. Aykin (1995a) tatou do poblema de localização e oteamento, no qual são pemitidas otas dietas e é utilizada uma política de alocação múltipla. Outos tabalhos no espaço continuo são O Kelly (1992), O Kelly e Mille (1991). Os poblemas discetos são classificados pela foma que as cidades são alocadas aos hubs. Uma possibilidade é a alocação simples, na qual cada cidade é alocada a um único hub. O Kelly (1987) desenvolveu uma fomulação quadática inteia paa o poblema de localização de p-hubs, e popôs duas heuísticas de enumeação baseadas em distâncias. Aykin (1990) popôs uma ega de alocação baseada em fluxos. Métodos mais eficientes foam popostos po Klincewicz (1991) que desenvolveu divesas heuísticas de toca e de gupamento. Heuísticas baseadas em Busca Tabu foam desenvolvidas po Skoin-Kapov e Skoin-Kapov (1994) e Klincewicz (1992). Recentemente, O Kelly et al. (1995) desenvolveam métodos paa fonece limites infeioes paa o poblema. A segunda possibilidade de alocação é a alocação múltipla, no qual uma cidade pode se alocada a váios hubs. Campbell (1991) apesentou uma fomulação paa este poblema, popondo um algoitmo enumeativo paa esolvê-lo. O Kelly e Lao (1991) tataam do poblema envolvendo dois hubs, um mini-hub e um maste-hub, de localização conhecida, uma única paada intemediáia e escolha ente otas teestes ou aéeas. Eles desenvolveam uma fomulação quadática inteia que esolveam usando lineaização e sugeiam um pocedimento enumeativo paa detemina a localização ótima dos hubs. Uma extensão aos esquemas anteioes de alocação consiste em pemiti otas dietas ente cetos paes de cidades, como no tabalho de Aykin (1995b) que apesenta um pocedimento de B&B e uma heuística de toca baseada em Simulated Annealing. Outa extensão poposta po Aykin (1994) consiste em inclui estições de capacidade nos hubs. Duas heuísticas baseadas em elaxação Lagangeana foam desenvolvidas paa esolve este poblema. O tabalho de Chou (1989) apesenta um modelo paa constui uma ede, com estutua de ávoe, com váios hubs hieáquicos, no qual não é peciso fixa o númeo de hubs exogenamente; a hieaquia de cada hub é definida em função da quantidade de fluxo. Alguns poblemas fundamentais de localização de facilidades no espaço disceto foam estendidos po Campbell (1994) paa o caso de localização de hubs. Ente estes temos os poblemas das p-medianas, p-centos, localização de facilidades não-capacitado e poblemas de cobetua. Divesas fomulações matemáticas são apesentadas. Algoitmos paa esolve alguns destes poblemas foam desenvolvidos ecentemente: Campbell (1996) tatou do poblema dos p-hubs medianas, enquanto Klincewicz (1996) tabalhou com o poblema de localização de hubs não- capacitado. Outos tabalhos elacionados são Enst e Kishnamoothy (1996), O Kelly et al. (1996), Smith et al. (1996) e Lee et al. (1996). No pesente tabalho, o poblema é enfocado como uma vaiante do poblema de ávoe geadoa mínima com estições. Neste poblema, dado um conjunto de nós, pocua-se

5 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional detemina os acos de custo mínimo que pemitam conecta todos os nós ente si, definindo uma ávoe geadoa, a qual é sujeita a um conjunto de estições adicionais. Ente as estições mais comuns destacam-se: as estições na capacidade dos acos, no númeo de nós que podem se conectados num mesmo caminho e no gau de cada nó. Fomulações matemáticas paa estes poblemas foam desenvolvidas po Gavish (1982,1983,1985) e Minoux (1989) consideando difeentes hipóteses e conjuntos de estições. Uma descição dos pincipais métodos exatos e heuísticos desenvolvidos paa este conjunto de poblemas é apesentada em Keshenbaum e Chou (1974), Boostyn e Fank (1977), Fank e Chou (1972), e mais ecentemente, Feeia Filho e Galvão (1994). O pojeto de ávoes hieáquicas é tatado po Cuent et al. (1986) que modelaam uma ede constituída de um caminho pincipal inteligando um conjunto de pontos especificados, acescida de caminhos secundáios conectando os demais pontos ao caminho pincipal. Sancho (1996) estendeu o poblema paa considea múltiplos caminhos pincipais, o qual é esolvido utilizando pogamação dinâmica. 3. Poblema de Entega de Encomendas Uma séie de fatoes podem se consideados na solução do poblema de entega de encomendas, ente eles podemos menciona: a inclusão de encomendas com difeentes pioidades de atendimento, a escolha de um ou mais pontos de concentação e edistibuição de caga, a definição das otas a seem seguidas po cada encomenda, bem como das aeonaves que faão a ligação ente as cidades. O poblema consideando todas as fases coleta - entega e suas divesas vaiantes é muito complexo e não existem métodos conhecidos paa esolvê-lo exatamente. A abodagem adotada neste tabalho consiste em defini uma vesão simplificada do poblema, a qual é esolvida po intemédio de heuísticas. O poblema simplificado é definido a segui. Dado um conjunto de cidades, é consideado que existem demandas pelo tanspote de caga ente cada pa odenado oigem-destino que pode se fomado a pati delas. O tanspote da caga ente cada pa oigem-destino é ealizado utilizando um único hub, de localização conhecida, como ponto intemediáio. Em consequência, a taefa de tanspote pode se dividida em duas etapas: tanspote de caga da cidade oigem até o hub e tanspote do hub até a cidade de destino. Na pimeia etapa, a caga oiginada numa mesma cidade é agupada em um único caegamento, denominado demanda de coleta da cidade em questão. De maneia análoga, na segunda etapa a caga destinada paa uma mesma cidade é agupada em um único caegamento, denominado demanda de entega. São utilizadas otas aéeas específicas paa cada etapa, denominadas otas de coleta e otas de entega. É assumido que é peciso detemina apenas as otas coespondentes a uma das etapas (em paticula tabalhamos com a etapa de coleta), admitindo-se que as mesmas otas possam também se utilizadas, em sentido inveso, na etapa complementa. Uma classificação hieáquica das cidades é ealizada com base na demanda de caga concentada nas mesmas. Cidades com alta demanda de coleta, têm alta hieaquia e são denominadas pimáias enquanto que as de baixa demanda, têm baixa hieaquia e são denominadas secundáias. O hub é consideado um tipo adicional de cidade, com a mais alta hieaquia. São consideados acos viáveis aqueles nos quais a hieaquia da cidade oigem é meno ou igual a hieaquia da cidade destino. Uma hieaquia dos acos é definida a pati da hieaquia da cidade de oigem dos mesmos, assim sendo, são acos pimáios ou secundáios

6 112 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 aqueles acos com oigem em cidades pimáias ou secundáias, espectivamente. Os acos são ainda classificados em função da hieaquia do pa de cidades que conecta. São denominados acos de coleta aqueles que ealizam a conexão ente duas cidades da mesma hieaquia; já acos de tansfeência são aqueles que ealizam a conexão ente duas cidades de difeentes hieaquias. Uma ota é definida como um conjunto de acos viáveis sucessivamente adjacentes, com a mesma oientação e hieaquia, que não fomam nem contêm cicuitos. Estes acos conectam ente si um conjunto de cidades definindo uma odem de visita. A sucessão de acos é constituída po um conjunto de acos de coleta seguidos no último luga da sucessão po um aco de tansfeência. As otas utilizadas no tanspote são definidas de maneia que a demanda de coleta de cada cidade é satisfeita totalmente, somente uma aeonave é alocada a cada ota, não existem duas otas atendendo uma mesma cidade e as otas atendem cidades do mesmo tipo. Uma subota é fomada a pati de uma ota, selecionando um subconjunto de acos sucessivamente adjacentes e que excluem o aco de tansfeência. Em geal, toda subota compeende um conjunto de cidades atendidas, uma odem de visita, mas caece de uma cidade destino. Uma subota tona-se ota quando sua pimeia ou última cidade é conectada a um novo destino. De maneia simila à classificação das cidades, as otas são classificadas po tipos. São denominadas pimáias ou secundáias as otas que atendem cidades pimáias ou secundáias espectivamente. As otas secundáias são chamadas de centalizadas quando têm o hub como destino e de alimentadoas quando têm como destino uma cidade pimáia, a qual seve paa tansfei sua caga paa uma ota pimáia. As otas pimáias são sempe otas centalizadas e podem possui váias otas alimentadoas em cada uma de suas cidades. Um único tipo de aeonave é designado paa atende cada tipo de ota; são potanto usadas aeonaves pimáias e secundáias. A aeonave pimáia é caateizada po se de maio capacidade e velocidade que a secundáia. No entanto, seus custos fixo e vaiável (po unidade de distância) são maioes que os espectivos custos paa a aeonave secundáia. Restições de capacidade são intoduzidas paa gaanti que a capacidade de caga de qualque aeonave que seve uma ota não seja excedida, enquanto estições de tempo gaantem que o tempo gasto no tanspote das encomendas não exceda o tempo máximo disponível. É exigido que a estutua das otas empegadas seja uma ávoe oientada e centalizada no hub. Dado que esta estutua é uma ávoe, existe um único caminho paa tanspota as encomendas de cada cidade até o hub. O caminho de tanspote pode esta contido em uma única ota pimáia ou secundáia, ou compeende uma ota secundáia e pate ou a totalidade de uma ota pimáia. A estutua do poblema e as definições acima podem se melho compeendidos na Figua 1.

7 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional Cidades: Cidade secundáia Cidade pimáia Hub Acos Viáveis: Acos de coleta Acos de tansfeência Acos secundáios Acos pimáios Rotas: Rota pimáia Rota secundáia centalizada Rotas secundáias alimentadoas Figua 1 - Notações 4. Fomulação Matemática Sejam: n: númeo dado de cidades m: númeo de cidades pimáias n-m: númeo de cidades secundáias H = {0}: conjunto unitáio que contém o hub P = {1,...,m}: conjunto de cidades pimáias S = {m+1,...,n}: conjunto de cidades secundáias N = P S : conjunto de cidades pimáias e secundáias P = P H : conjunto de cidades pimáias incluindo o hub N = N H: conjunto de cidades pimáias e secundáias incluindo o hub C P : custo fixo associado à seleção de uma aeonave pimáia C S : custo fixo associado à seleção de uma aeonave secundáia C ij : custo de estabelece a conexão do aco (i,j). Este custo é calculado em função do tipo de aeonave e do compimento do mesmo. Sendo o custo po unidade de distância sempe maio nos acos pimáios que nos acos secundáios. t ij : tempo de pecuso no aco (i,j). Este tempo é calculado em função do tipo de aeonave e do compimento do mesmo. Sendo a velocidade sempe maio nos acos pimáios que nos acos secundáios. d i : demanda de coleta da cidade i ( unidades de caga) Q P : capacidade da aeonave pimáia ( unidades de caga) Q S : capacidade da aeonave secundáia ( unidades de caga) TDISP: tempo disponível paa o tanspote de qualque encomenda ente sua oigem e o hub

8 114 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Vaiáveis de Decisão 1, se o aco oientado (i, j) e selecionado x = ij 0, caso contaio 1, se alguma ota comeca no nó, F = 0, caso contaio y : quantidade de caga tanspotada no aco (i,j) λ ij ij : fluxo unitáio que associa o aco (i,j) ao caminho que começa na cidade. Esta vaiável toma o valo um se o aco (i,j) petence ao caminho, uma vez que a estutua da ota é uma ávoe e existe somente um caminho ente a cidade e o hub. cx cx c c Minimiza Z= + + F + F Sujeito a: i P j P ij ij i S j N ij ij P P S S j P x = 1 (i P) (1) ij j N x = 1 (i S) (2) ij y y d i j P ij - = (i P) (3) j N ji y y j N j S d i ij - = (i S) (4) ji y ij x Q (i P, j P) (5) P ij y x S N ij Q (i, j ) (6) S ij i P x = 1- F ( P) (7) i i S x = 1- F ( S) (8) i j P j N i P i N λ λ λ λ j j io io = F ( P) (9) = F ( S) (10) = F ( P) (11) = F ( S) (12)

9 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional λij λ ji j P j P - = 0 ( P, i P) (13) λij λ S ji j P j N - = 0 (, i P) (14) λij λ ji j N j S - = 0 ( S, i S) (15) λ ( N, i P, j P) S, i S, j N) (16) ij x ij ( i P j P tij λ ij TDISP ( P) (17) i S j N t + TDISP ( S) (18) ijλij i P j P tijλ ij λ 0 ( N, i P, j P) ( S, i S, j N) (19) ij y 0 (i P, j P) (i S, j N) (20) ij { } x 0,1 (i P, j P) (i S, j N) (21) ij { } F 0,1 ( N) (22)

10 116 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 O modelo busca minimiza os custos de tanspote que são calculados como a soma dos custos vaiáveis po pecoe cada aco com os custos fixos po usa cada ota selecionada. As duas pimeias pacelas da função objetivo coespondem aos custos vaiáveis dos acos pimáios e secundáios, espectivamente. As outas duas pacelas coespondem aos custos fixos po seleciona otas pimáias e secundáias, espectivamente. As estições (1) e (2) gaantem que apenas um aco sai de cada cidade pimáia e secundáia espectivamente. As estições (3) e (4) estabelecem que toda a demanda de coleta é ecolhida em cada cidade pimáia e secundáia e coespondem a estições de equilíbio de fluxo paa a quantidade de caga geada em cada cidade. As estições (5) e (6) gaantem que a demanda de coleta de uma cidade pimáia e secundáia somente seá tanspotada utilizando os acos, pimáios e secundáios espectivamente, que foem selecionados; além disso impõem um limite supeio na capacidade de caga de cada ota pimáia e secundáia que fo usada. Estas seis pimeias estições, juntamente com as estições (20) de não negatividade e (21) de integalidade, gaantem que a estutua das otas selecionadas é uma ávoe centalizada. As equações coespondem a uma extensão da fomulação apesentada po Gavish (1982), levando em conta que os acos são oientados e dois tipos de acos são consideados. As estições (7) e (8) associam o gau de entada das cidades (paa acos do mesmo tipo) com o início de uma ota. As estições (7) impõem que se uma ota pimáia começa em uma cidade (pimáia) deteminada, o gau de entada (pimáio) desta cidade seá zeo. Caso contáio o gau de entada seá um. As estições (8) impõem condições análogas paa cidades e otas secundáias. As estições (9-15) pemitem estabelece quais acos petencem a cada caminho iniciado em, quando o nó é o início de uma ota pimáia ou secundáia. As estições (9) e (10) associam um fluxo unitáio ao início de uma ota (pimáia ou secundáia espectivamente) no nó. As estições (11) e (12) impõem que o fluxo unitáio, pelo caminho, deve chega ao hub. As estições (13), (14) e (15) coespondem a equações de consevação de fluxo paa o fluxo unitáio em cada cidade i. Em (13) e (14) é pemitido que o fluxo unitáio que passa po cidades pimáias coesponda tanto a caminhos iniciados em nós pimáios quanto a caminhos iniciados em nós secundáios. Estas estições expessam o fato de que tanto o fluxo iniciado numa cidade pimáia quanto numa cidade secundáia pode passa po uma cidade pimáia. Em (15) o fluxo unitáio que passa po cidades secundáias é estito somente a caminhos iniciados em cidades secundáias. As estições (16) gaantem que somente seão consideados como pate de um caminho aqueles acos que tiveem sido selecionados. As estições (17) e (18) gaantem que o tempo gasto em um caminho qualque que começa em é meno que o tempo limite disponível. Em (17) temos os caminhos iniciados em cidades pimáias, enquanto em (18) os caminhos iniciados em cidades secundáias. As estições (19) estabelecem a não-negatividade das vaiáveis de fluxo unitáio que associam os acos com as otas. As estições (20) estabelecem a não negatividade das vaiáveis de fluxo de caga nos acos pimáios e secundáios. A seleção de acos pimáios e secundáios é definida pelas vaiáveis bináias em (21). A oigem de cada ota pimáia e secundáia selecionada é estabelecida pelas vaiáveis bináias em (22).

11 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional Heuísticas O poblema simplificado é tatado como uma vaiação do poblema de ávoe geadoa mínima capacitada e paa esolvê-lo foam usados dois métodos heuísticos de busca local. Os métodos foam desenvolvidos a pati das heuísticas popostas po Esau e Williams (1966) e po Fank et al.(1971), em um contexto de edes de computadoes, incopoando novas condições e estições. Estas heuísticas se baseiam no melhoamento de uma solução inicial viável, usando toca de aestas. 5.1 Descição dos Métodos Básicos. O método de Esau e Williams (1966) utiliza uma ávoe com topologia estela como solução inicial viável. Nesta topologia todos os nós estão conectados dietamente ao nó cental. Em cada iteação uma aesta cental, petencente a esta ávoe, é emovida. Sua emoção implica que uma subávoe seá desconectada da ávoe viável. Uma outa aesta é selecionada paa se intoduzida de maneia que esta subávoe é econectada. A seleção do pa de aestas a se substituído (aesta a se emovida e aesta a se incluída) é ealizada utilizando uma lista de economias. Cada entada nesta lista coesponde à maio economia pela toca de uma aesta cental, po alguma outa aesta que popocione conectividade à subávoe que foi desconectada. Em cada iteação é selecionada a toca coespondente à maio economia. É peciso veifica se a toca selecionada ainda é viável pois as tocas ealizadas peviamente podem tê-la tonado inviável. As causas de inviabilidade são basicamente falta de capacidade e fomação de ciclos. Se a toca selecionada é viável, então a toca é ealizada e emovida da lista de economias. Caso contáio, a entada na lista de economias é atualizada. Paa ealiza esta atualização, pocua-se dente todas as aestas ainda não selecionadas, aquela de meno compimento que pemita conecta a subávoe desconectada na ávoe viável. A heuística temina quando a maio economia selecionada deixa de se positiva. O método de Fank et al.(1971) utiliza uma ávoe viável qualque como solução inicial. Em cada iteação é ealizada uma tansfomação elementa de ávoe. Esta tansfomação consiste em intoduzi na ávoe uma aesta conectando dois nós não adjacentes de maneia a foma um ciclo, que é desfeito com a emoção de uma aesta do mesmo, sendo obtida assim uma nova ávoe viável. Pode se mostado que, usando uma seqüência destas tansfomações, qualque ávoe pode se obtida a pati de uma ávoe inicial. Cada tansfomação é ealizada atavés de uma substituição de aestas que somente é aceita quando satisfaz as estições de capacidade. O método é descito a segui. Os nós petencentes à ávoe são odenados usando algum citéio. Em cada iteação um nó i é selecionado segundo a odem estabelecida. Usando algum citéio de vizinhança é identificado o vizinho i 1 mais póximo a i, não adjacente a ele. Isto pemite detemina a aesta (i 1,i) que seá intoduzida na ávoe. O ciclo fomado (i 1,i),(i,i 2 ),(i 2,i 3 ),...,(i j,i 1 ) é identificado. A emoção de cada uma destas aestas com exceção de (i 1,i) é avaliada, em pincípio sem leva em conta sua viabilidade. É selecionada paa se emovida aquela aesta que poduz a ávoe de meno custo. A toca é efetivada sempe que esta nova ávoe poduza uma melhoa no valo da função objetivo e não viole as estições de capacidade. Se uma toca é ealizada, a avaliação dos nós é einiciada; caso contáio a avaliação dos nós continua em sequência. A heuística temina quando todos os nós tiveem sido avaliados e nenhuma toca eduz o valo da função objetivo. A Figua 2 ilusta as soluções obtidas em algumas iteações do método de Fank et al.. Na heuística podem se consideadas a avaliação de váios vizinhos paa cada nó e de váias emoções de aco paa cada ciclo.

12 118 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de Solução Inicial 0 Iteação 1 0 Iteação Iteação 5 0 Iteação 6 Iteação Cidade secundáia Cidade pimáia Hub Rota secundáia Rota pimáia 0 Iteação 13 Figua 2 - Exemplo Ilustativo 5.2 O pocesso de substituição de acos O pocesso de substituição de acos é cental nas duas heuísticas desenvolvidas. Nesta seção este pocesso é explicado. Uma vez selecionada a toca a se ealizada, identificamos os acos (d 1,d 2 ), a se emovido, e (l 1,l 2 ), a se inseido, sempe do mesmo tipo, vide Figuas 3a-4a, 3b-4b,..., 3f-4f.. A emoção de um aco (d 1,d 2 ) pimáio ou secundáio, poduz uma subávoe que ficaá desconectada da ávoe viável. As estições de gau de entada e a existência de dois tipos de otas deteminam as caateísticas desta subávoe. Ela é denominada pimáia ou secundáia em função da hieaquia do aco (d 1,d 2 ). Uma subávoe pimáia contém uma única subota pimáia e até váias otas secundáias alimentadoas (vide Figua 3c). Uma subávoe secundáia é constituída po uma única subota secundáia (vide Figua 3a). A inseção do aco (l 1,l 2 ) pemite conecta a subávoe peviamente desconectada a uma outa subávoe, poduzindo uma nova ávoe viável. 5.3 O pocesso de substituição de acos O pocesso de substituição de acos é cental nas duas heuísticas desenvolvidas. Nesta seção este pocesso é explicado. Uma vez selecionada a toca a se ealizada, identificamos os acos (d 1,d 2 ), a se emovido, e (l 1,l 2 ), a se inseido, sempe do mesmo tipo. A emoção de um aco (d 1,d 2 ) pimáio ou secundáio, poduz uma subávoe que ficaá desconectada da ávoe viável. As estições de gau de entada e a existência de dois tipos de

13 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional otas deteminam as caateísticas desta subávoe. Ela é denominada pimáia ou secundáia em função da hieaquia do aco (d 1,d 2 ). Uma subávoe pimáia contém uma única subota pimáia e até váias otas secundáias alimentadoas (vide Figua 2c). Uma subávoe secundáia é constituída po uma única subota secundáia (vide Figua 2a). A inseção do aco (l 1,l 2 ) pemite conecta a subávoe peviamente desconectada a uma outa subávoe, poduzindo uma nova ávoe viável. l 2 l 1 l 1 l 2 l 1 l 2 (a) (b) (c) l 1 l 1 l 2 l 2 l 2 l 1 (d) (e) (f) Cidade secundáia Cidade pimáia Hub Rota secundáia Rota pimáia Figua 3 - Remoção de acos

14 120 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 d 1 d 2 d 1 d 1 d 2 d 2 (a) (b) (c) d 2 d 1 d 1 d 2 d 2 d 1 (d) (e) (f) Cidade secundáia Cidade pimáia Hub Rota secundáia Rota pimáia Figua 4 - Inclusão de acos 5.4 Estutua Geal das Heuísticas de Toca. A difeença básica ente as duas heuísticas popostas se enconta no pocedimento de busca local. No entanto, ambas possuem a mesma estutua geal, que compeende os seguintes passos: (i) Seleciona uma ávoe deteminada como topologia inicial e inicializa o valo dos vetoes que egistam o volume de caga acumulado e os tempos acumulados em cada nó. De maneia análoga, inicializa o valo das vaiáveis que egistam estes mesmos valoes em cada ota. (ii) Enquanto o Pocedimento de Busca pude enconta paes de acos candidatos paa uma toca, tal que satisfaçam as estições de capacidade e de tempo, e poduzam uma edução no valo da função objetivo, faze:

15 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional a) seleciona o aco (d 1,d 2 ) paa se emovido da ávoe oiginal e o aco (l 1,l 2 ) paa se adicionado a esta mesma ávoe, que coespondem à maio edução na função objetivo; b) ealiza a toca do aco (d 1,d 2 ) pelo aco (l 1,l 2 ) e atualiza o valo dos vetoes de caga acumulada e tempo acumulado. Os passos a seem ealizados são esquematizados no Pocedimento Geal de Toca. (iii) Paa. Topologias Iniciais. Topologia Estela. Nesta topologia todas as cidades estão conectadas dietamente ao cento. Topologia MultiEstela. Nesta topologia todas as cidades pimáias são conectadas ao hub, enquanto as cidades secundáias são conectadas ao nó pimáio mais póximo ou ao hub. Esta topologia é implementada paa considea situações nas quais o tempo de tanspote ente as cidades secundáias e o hub é muito alto, tonando inviável a topologia estela. No entanto a capacidade das otas pimáias pode se excedida, dado que não existem estições limitando o númeo de otas alimentadoas numa cidade pimáia. Pocedimentos de Busca e Seleção de Acos Candidatos. Uma vez selecionados os acos candidatos paa toca é peciso veifica se as estições de capacidade e de tempo são atendidas. Além disso, as tocas viáveis são compaadas usando o valo da edução que poduzem na função objetivo. Veificação das Restições de Capacidade. As estições de capacidade exigem que o volume de caga alocada a cada ota não exceda a capacidade disponível. Paa cada toca candidata é veificado se o volume de caga associado com a subávoe obtida pela emoção do aco (d 1,d 2 ) não é maio que a capacidade de caga ainda disponível em cada ota que ecebeá esta caga. Veificação das Restições de Tempo. As estições de tempo exigem que o tempo gasto paa pecoe o caminho de cada cidade até o hub não exceda o tempo total disponível. É impotante obseva que o tempo gasto no pecuso de uma ota pimáia, na qual incidam otas alimentadoas, está sujeito a possíveis atasos poduzidos po estas últimas. Paa cada toca candidata é veificado se o tempo gasto paa pecoe a subota associada à subávoe obtida pela emoção do aco (d 1,d 2 ), mais o tempo de pecuso do aco (l 1,l 2 ) que a conecta a ávoe viável, não exceda o tempo ainda disponível no ponto de conexão l 2. Este tempo equivale à difeença ente o tempo total disponível e o tempo paa pecoe a ota ente l 2 e o hub (soma dos tempos de pecuso dos acos contidos na ota).

16 122 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Avaliação de acos que implicam na invesão de uma subota. A subota associada à subávoe obtida pela emoção do aco (d 1,d 2 ) consiste em uma sequência de cidades. A conexão desta subota à ávoe atavés da intodução de um aco (l 1,l 2 ) está limitada pelas estições de gau de saída em cada nó. Desta maneia, nenhum nó intemediáio pode se selecionado como l 1 ; com isto, só é possível utiliza um dos extemos de uma subota como l 1. Na veificação das estições de capacidade e tempo descitas anteiomente, é assumido que apenas o último nó na sequência de uma subota é selecionado como l 1. O númeo de possíveis conexões da subota emovida pode se estendido consideando também o pimeio nó da sequência, o que implica na invesão da oientação da sequência. Paa avalia a viabilidade de uma conexão é peciso conhece apenas a caga e o tempo acumulado no ponto de conexão l 1. A caga no ponto l 1 é independente do sentido da sequência, ou seja a caga seá a mesma, que se considee a sequência num sentido, ou no sentido inveso. Paa ealiza a invesão é mantido um egisto do volume de caga acumulado pelas otas alimentadoas em cada nó pimáio. Com elação aos tempos acumulados, a independência do sentido da sequência somente é válida paa otas secundáias ou otas pimáias que não possuem otas alimentadoas. Quando existem otas alimentadoas, o tempo acumulado no ponto l 1, na sequência invetida, é sobestimado (usando uma função do tempo na sequência oiginal). Uma vez que a conexão é aceita, este tempo é calculado exatamente. Cálculo da Economia. A função de economia oiginal considea a difeença ente o custo do aco a se emovido (d 1,d 2 ) e o custo do aco a se inseido (l 1,l 2 ). O custo po aco é um custo vaiável popocional à distância e que depende do tipo de aco. A função de economia é estendida paa inclui ou exclui custos fixos a cada aeonave adicionada ou poupada. Estes custos dependem do tipo de aco que é emovido ou adicionado. Quando uma aeonave é poupada, seu custo é adicionado à função de economia, e quando uma aeonave é adicionada, seu custo é subtaído desta função. Uma aeonave é poupada quando o aco emovido (d 1,d 2 ) sepaa a ota de seu destino, e o aco a se inseido (l 1,l 2 ) adiciona esta ota a outa do mesmo tipo, de maneia que as cidades contidas na pimeia ota passam a foma pate da segunda ota. Neste caso, a pimeia ota é eliminada. (vide Figua 2.a-3.a; 2.b-3.b; 2.c-3.c). Uma aeonave é adicionada quando o aco emovido (d 1,d 2 ) paticiona uma ota, e o aco a se inseido (l 1,l 2 ) conecta a subota geada a um destino de maio hieaquia, convetendo-a numa nova ota. (vide Figua 2.d-3.d; 2.e-3.e; 2.f - 3.f). Pocedimento de Busca paa Esau e Williams Neste caso, uma lista de economias é mantida com uma entada paa cada nó. Cada entada coesponde à maio economia de emove o aco oiginado no nó e ealiza a conexão da subávoe fomada. Paa atualiza esta lista, dado que o aco a se emovido é único, o pocesso de busca concenta-se em detemina o aco a se inseido. Paa isto são avaliadas todas as possíveis conexões da subávoe emovida com as outas otas existentes, de hieaquia maio ou igual. Considea-se que o hub é também uma ota, que tem a maio hieaquia. Devido às estições de gau de saída, nas conexões somente é possível utiliza um aco cuja oigem seja o último nó da subota, ou o pimeio; neste caso a subota deveá se invetida. Se a subota é conectada a uma

17 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional 123 ota de igual hieaquia, a conexão somente pode se feita ao início desta ota. Se a subota é conectada a uma ota de maio hieaquia, a subota tona-se alimentadoa; neste caso todas os nós seão avaliados como possíveis destinos do nó l 1. Em cada iteação seleciona-se a entada coespondente à maio economia. A heuística temina quando a maio economia deixa de se positiva. Pocedimento de Busca paa Fank et al. Paa cada nó i são identificados os quato vizinhos j 1,j 2,j 3,j 4, mais póximos em elação ao tempo e ainda não conectados a ele. A difeença do método oiginal neste caso é que a oientação do aco é impotante, devendo se veificado que o nó de destino deve se de hieaquia maio ou igual à hieaquia do nó de oigem. Quando os nós são de igual hieaquia, o nó de destino deve se o início de uma ota. Paa seleciona o aco a se emovido é peciso considea: (1) ele deve se do mesmo tipo do aco inseido; (2) paa atende as estição de gau de saída igual a 1, se a oigem do aco a insei se enconta na última cidade ou em uma cidade intemediáia, o aco a se emovido somente pode se o aco que sai desse nó; quando o aco a se inseido oigina-se na pimeia cidade da ota, o aco a se emovido pode se qualque um desta ota, que neste caso deve se invetida. Os acos candidatos são selecionados, um de cada vez, paa avalia sua emoção. Devido à natueza estitiva das tocas, além de avalia as duas possíveis conexões ente o nó i e cada um de seus quato vizinhos mais póximos, também são consideadas as conexões ente o nó oigem da ota que contém o nó i e aqueles vizinhos, e ente o último nó desta mesma ota e os mesmos vizinhos. Seleciona-se a toca coespondente à maio economia. Após ealiza a toca, a avaliação dos nós é einiciada. A heuística temina depois de te avaliado todos os nós sem consegui uma toca viável. Pocedimento Geal de Toca. Uma vez que a toca do aco (d 1,d 2 ) pelo aco (l 1,l 2 ) foi aceita, as seguintes opeações de atualização são ealizadas: (i) Atualiza o valo do custo total e o númeo de aeonaves utilizado. Remove o aco (d 1,d 2 ). (ii) Se a inseção do aco (l 1,l 2 ) implica na invesão da subota obtida a pati da emoção do aco (d 1,d 2 ), então invete a subota coespondente e ecalcula o valo dos tempos acumulados e cagas acumuladas nos nós contidos nesta subota, paa a nova oientação adotada. Adiciona o aco (l 1,l 2 ). (iii) Diminui o volume de caga acumulada e o tempo acumulado nos nós contidos no caminho oiginado em d 2 com destino no hub, assim como nas otas que contêm estes nós. Isto como consequência da emoção da subota usando o aco (d 1,d 2 ). Atualiza as listas de otas alimentadoas daqueles nós pimáios contidos neste caminho, se fo necessáio. (iv) Redefini as otas que foam alteadas, ciadas ou eliminadas como consequência da toca. (v) Adiciona o volume de caga acumulada e o tempo acumulado nos nós contidos no caminho oiginado em l 2 com destino no hub, assim como nas otas que contém estes nós. Isto como consequência da adição da subota usando o aco (l 1,l 2 ). Atualiza as listas de otas alimentadoas daqueles nós pimáios contidos neste caminho, se fo necessáio. (vi) Recalcula o tempo de folga nos nós contidos na subávoe.

18 124 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de Resultados Computacionais Com o objetivo de testa a metodologia poposta as heuísticas descitas na seção 5 foam implementadas e testes computacionais foam ealizados em um mico 486 DX2-66 MHz. Na ausência de dados eais, os quais não dispúnhamos, um conjunto de poblemas teste foi geado a pati das seguintes consideações: (a) O númeo de cidades pimáias foi estabelecido de maneia que epesentasse apoximadamente 40% do númeo total de cidades. (b)as coodenadas das cidades pimáias foam geadas aleatoiamente com distibuição unifome num plano pimáio de (2.500x2.500 km). As coodenadas do hub são estabelecidas no cento deste plano. As coodenadas das cidades secundáias são geadas aleatoiamente com distibuição unifome em planos secundáios de (500x500 km). O cento destes planos é estabelecido em cidades pimáias selecionadas aleatoiamente. (c) As demandas das cidades pimáias foi geada com distibuição unifome num intevalo ente 2500 e 7500 kg. Paa as cidades secundáias o intevalo está ente 500 e 1500 kg. (d)a capacidade das aeonaves pimáias e secundáias foi estabelecida como 3,5 vezes o ponto cental dos espectivos intevalos em (c), e 3500 kg espectivamente. (e) Os custos vaiáveis foam definidos como $1/km nos tajetos pimáios e $0,5/km nos secundáios (f) Os tempos po unidade de distância são estabelecidos de maneia que o tempo de pecuso é meno nos acos pimáios que nos secundáios; 0,08 min/km e 0,15 min/km espectivamente. (g)no calculo dos tempos de pecuso em cada aco incluem-se um tempo de subida e descida e o tempo de caga no nó oigem de cada aco. (h)o tempo total disponível paa ealiza a coleta em cada caminho é de 360 minutos. Um pimeio gupo de poblemas sem custo fixo com 12 poblemas teste, compeendendo ente 10 e 100 nós foi geado a pati destes fatoes. Os custos fixos são intoduzidos na geação de outos dois gupos de poblemas, com a finalidade de melhoa o nível de caga nas otas. No segundo gupo de poblemas teste, denominados de poblemas com custo fixo pequeno, os custos fixos pimáios e secundáios são estabelecidos de maneia que eles admitem que uma ota pioe em até 100 km ou 200 km, se isto pemite poupa uma aeonave pimáia ou secundáia, espectivamente. No teceio gupo de poblemas teste, denominados de poblemas com custo fixo maio, os custos fixos pimáios e secundáios são estabelecidos de maneia que admite-se uma pioa de até 500 km em qualque ota, caso isto pemita poupa uma aeonave. Na solução dos poblemas teste foam utilizadas quato heuísticas, denominadas EWA, EWE, FE1 e FE4. As duas pimeias são vaiantes da heuística de Esau e Williams e difeem na topologia utilizada como solução inicial. EWA utiliza uma topologia de tipo multiestela, enquanto EWE utiliza uma topologia de tipo estela. As outas duas heuísticas são vaiantes da heuística de Fank et al.; ambas utilizam uma topologia tipo estela como solução inicial, e difeem somente pela odem em que os nós são avaliados. Em FE1 a avaliação dos nós é ealizada segundo uma odem peestabelecida. Em FE4 a avaliação dos nós é ealizada segundo a odem dos nós dento das otas às quais petencem. Esta odem pode vaia de uma iteação paa outa. Em ambos casos a avaliação dos nós é einiciada após ealizada cada toca. A tabela I apesenta os esultados computacionais paa o gupo de poblemas sem custo fixo, os quais são esolvidos utilizando as quato heuísticas mencionadas anteiomente. As

19 Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 Pesquisa Opeacional 125 duas pimeias colunas desta tabela mostam espectivamente o númeo de aeonaves pimáias (AP) e secundáias (AS) obtido em cada solução heuística. A teceia coluna mosta o valo do custo vaiável (CV) desta solução, que na ausência de custos fixos epesenta o custo total da solução heuística. A quata coluna contém a difeença pecentual ente o custo de uma solução heuística e a melho solução heuística paa cada poblema (Dif %). A quinta e sexta colunas contêm o númeo de iteações (Ite) e o tempo de execução em segundos (Tempo). Paa poblemas pequenos, ente 10 e 25 nós, os esultados obtidos pelas heuísticas foam paticamente os mesmos. A melho heuística nesta faixa foi a EWA destacando-se pelo meno númeo de iteações e tempo de execução. Paa poblemas maioes, ente 30 e 100 nós, a heuística EWE mostou-se claamente supeio às demais. Na maioia dos casos esta heuística poduziu a melho solução, e nos casos em que não foi assim, a difeença pecentual foi pequena, meno que 3%. A difeença pecentual paa às heuísticas EWA, FE1, FE4, apesentou vaiações de até 17 %. Em geal a maioes difeenças pecentuais coespondeam as heuísticas FE1 e FE4, obsevando-se uma tendência cescente da difeença pecentual à medida que aumenta o númeo de nós. Além disso obsevou-se uma difeença cescente ente o númeo de aeonaves utilizadas nas soluções dadas po estas tês heuísticas e o númeo de aeonaves utilizado nas soluções dadas pela heuística EWE. Em temos de númeo de iteações e tempos de execução, a EWA continuou sendo a melho, seguida pela heuística EWE e pelas heuísticas FE1 e FE4, que foam as pioes. A tabela II apesenta os esultados computacionais paa o gupo de poblemas com custo fixo pequeno, os quais são esolvidos utilizando as heuísticas EWE, FE1 e FE2. A estutua desta tabela é simila à estutua da tabela I, poém nela são incluídas duas novas colunas: colunas CF e CT. A coluna CF contém o custo fixo associado às aeonaves utilizadas e a coluna CT contém o custo total. Os esultados obtidos paa este gupo de poblemas foam similaes aos obsevados na tabela I. Estes confimaam a supeioidade da heuística EWE em elação às outas duas heuísticas consideadas, em quase todos os aspectos, pincipalmente paa o gupo dos poblemas maioes. Os esultados obtidos a pati da solução do gupo de poblemas com custo fixo maio seguem a mesma tendência obsevada nos gupos de poblemas anteioes, e po isso não são apesentados. A tabela III apesenta os esultados coespondentes à solução ótima, obtida usando o CPLEX em uma estação de tabalho DEC Alpha 3000/300, paa poblemas ente 10 e 20 nós, paa os tês gupos de poblemas-teste. A pimeia coluna mosta o custo total ótimo paa cada poblema. A segunda coluna mosta a vaiação pecentual ente a melho solução heuística e a solução ótima - Gap = 100 x (solução heuística - solução ótima)/ solução ótima. Na teceia coluna temos os tempos de execução do CPLEX em segundos. A quata coluna mosta o tempo da melho solução heuística. Estes esultados mostam a conveniência do uso dos pocedimentos heuísticos quanto compaados ao método exato, pois enquanto a vaiação pecentual no custo é bastante pequena, a difeença ente os tempos computacionais é muito elevada. Além disso obseva-se que o poblema tona-se mais difícil de se esolvido ao seem intoduzidos custos fixos maioes. Os Gáficos 1 e 2 mostam a elação ente os custos poduzidos pelas heuísticas paa poblemas sem custo fixo e com custo fixo pequeno, espectivamente. Em ambos os casos a supeioidade dos esultados de EWE é claa paa poblemas com um númeo gande de nós. Os Gáficos 3 e 4 mostam a elação ente os tempos das heuísticas paa poblemas sem custo fixo e com custo fixo pequeno, espectivamente. Em ambos os casos obseva-se que os

20 126 Pesquisa Opeacional Vol. 17 N. 2. Dezembo de 1997 tempos de execução das heuísticas FE1 e FE4 tendem a cesce numa azão consideavelmente maio que no caso da heuística de EWE. Isto é mais notóio nos poblemas com um númeo gande de nós. A influência dos custos fixos na pocentagem de ocupação das aeonaves é mostada nos Gáficos 5, 6 e 7. No Gáfico 5 mosta-se a pocentagem de ocupação das aeonaves pimáias, no Gáfico 6 a pocentagem de ocupação das aeonaves secundáias, enquanto no Gáfico 7 mosta-se a pocentagem de ocupação geal, paa ambos tipos de aeonaves. A inclusão de custos fixos pequenos implicou numa pequena diminuição na pocentagem de ocupação das aeonaves pimáias (Gáfico 5), enquanto a taxa de ocupação das aeonaves secundáias aumentou consideavelmente (Gáfico 6). Isto é explicado pela edução no númeo de otas alimentadoas em favo de otas secun dáias centalizadas, já existentes. A inclusão de custo fixos maioes aumentou a taxa de ocupação oiginal das aeonaves pimáias e aumentou um pouco mais a taxa de ocupação secundáia. Neste caso, tanto o númeo de aeonaves pimáias como secundáias é diminuído. As vaiações nos custos fixos poduziam um incemento na pocentagem de ocupação geal de toda a fota. 7. Conclusões Foam desenvolvidas e implementadas um conjunto de heuísticas que pemitem esolve o poblema de entega de encomendas consideado. Ente estas, a EWE povou se amplamente supeio às outas. A supeioidade da heuística EWE fente às heuísticas FE1 e FE4 mosta a impotância da lista de economias como meio de seleciona a toca a se ealizada. A supeioidade da heuística EWE em elação à heuística EWA mosta a influência da seleção de acos centais na qualidade dos esultados. Pelo tipo de toca consideado, a tansfomação ente duas ávoes viáveis nem sempe é possível. Neste sentido, a qualidade dos esultados depende muito da topologia inicial e da odem em que as tocas são ealizadas. Os esultados da heuística EWE foam bastante póximos do ótimo em poblemas de até 20 nós. Esta heuística pode se utilizada paa analisa a influência de deteminados fatoes tais como os tipos e capacidades das aeonaves utilizadas, o conjunto de cidades a seem atendidas, e a demanda, ente outos. Foi obsevado ainda que nas soluções obtidas pelo algoitmo EWE somente foam ealizadas as tocas de acos centais, o que implica que o algoitmo pode se simplificado paa considea apenas este tipo de toca. Extensões do pesente tabalho são popostas a segui. Paa avalia a qualidade dos esultados heuísticos em poblemas com mais de 20 nós é peciso o cálculo de limites infeioes do valo da solução ótima. Estes limites podem se calculados, po exemplo, atavés de elaxações (Lagangeana, Suogate) da fomulação matemática apesentada. As heuísticas popostas estão baseadas em pocedimentos de busca local, que envolvem a toca de um aco em cada iteação. Neste caso foi obsevado que a emoção de deteminados acos nem sempe é possível, po implica na eoientação ou a emoção de acos adicionais. Os pocedimentos de busca podem se estendidos paa considea estas situações mediante a toca de mais de um aco. As heuísticas popostas podem sevi como base a implementação de algoitmos metaheuísticos, po exemplo Busca Tabu e Simulated Annealing. Nestes algoitmos, o