TEORIA DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

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1 Aula 0 EORIA DA GRAVIAÇÃO UNIVERSAL MEA Mosta aos alunos a teoia da gavitação de Newton, peda de toque da Mecânica newtoniana, elemento fundamental da pimeia gande síntese da Física. OBJEIVOS Abi a pespectiva, paa o alunado, do que foi a pimeia gande síntese em Física, a qual se consubstancia na Mecânica e na eoia da Gavitação Univesal de Newton. Mosta o extaodináio alcance desta síntese, que se tonaá nos séculos seguintes, o modelo de elaboação científica. Seus extaodináios esultados, e seu pode de pevisão constuíam a confiança nas ciências e em paticula na Física que passou a se a caacteística dos peíodos modenos e contempoâneos da históia da civilização. PRÉ-REQUISIOS O cuso de Cálculo I. te dominado à nível conceitual e opeacional os elementos do cálculo integal e difeencial tabalhados nas aulas anteioes. 397

2 INRODUÇÃO A eoia da Gavitação Univesal de Newton é o feixo desta extaodináia ealização que nasce com a publicação dos Pincípios Matemáticas da Filosofia Natual po Newton em 686. Po que esta oba é consideada a pimeia gande síntese da Física? Poque ela eúne em tês leis e em uma expessão paa a foça de atação ente as massas, tudo que até então havia sido pensado e obsevado sobe o movimento duante toda históia da humanidade. Se nos lembamos que as pimeias obsevações astonômicas sistemáticas, das quais temos notícia, ou seja, que já são do peíodo históico da evolução da humanidade, datam de à anos antes de Cisto, no Egito e na Mesopotâmia, vemos a quantidade de pesquisa e infomação que estão sintetizadas nos Pincípios Matemáticos.... Mas muito mais que isto, estas obsevações espasas e desconexas, e mais todas as idéias sobe o movimento, que apaeceam na Gécia antiga, as contovésias astonômicas sobe a oganização do univeso, iniciadas na Gécia antiga, e etomadas na Renascença, ganham agoa uma explicação que lhes descotina o sentido. E esta explicação, ao mesmo tempo absolutamente pecisa, mas muito cuta, dá coeência e sentido, tanto as obsevações astonômicas, como ao movimento na supefície da ea, unificando, sob uma mesma lei, o movimento nos céus e o movimento na ea. Daí a expessão pimeia gande síntese da Física. Mas po que pimeia? Há uma segunda? Esta ª síntese ainda não aconteceu. O extaodináio avanço da Física na viada do século XIX paa o XX e nas pimeias décadas do século XX que touxeam as duas novas teoias, a eoia da Relatividade e a Mecânica Quântica, teoia estas que estabelecem os limites da mecânica newtoniana, que agoa passa a se vista como um caso patículas destas outas mais geais, não levaam a uma unificação, a uma síntese como a de Newton. Pelo contáio, o apofundamento do conhecimento que tem sido tazido pela física do século XX não tem levado a uma unificação de conceitos. Já a pópia Mecânica Quântica e a eoia da Relatividade, que são os dois pilaes da Física contempoânea, não encontam, apesa de imensas tentativas, nenhuma facilidade de constui um substato conceitual e opeacional comum. O ideal de uma nova síntese como a gande síntese newtoniana, uma teoia do campo unificado tão aduamente peseguido pelos maioes físicos da atualidade, não foi ainda alcançada. Assim uma nova síntese como a newtoniana, não foi mais alcançada no mundo contempoâneo. 398

3 A gande oba de Newton, além de se tona no dize de Einstein um pogama de 00 anos de pesquisa em Física, pois é na base de seus esultados e seus métodos, que se desenvolvem toda a elaboação científica até o início do século XX, tansfomou-se em um ideal de unificação, que jamais foi atingido novamente, pelo qual ainda se espea e que seia a ª gande síntese da Física. A eoia da gavitação tem, dento desta gande oba que inclui além dela a Mecânica, paticula impotância. Ela foi a gande inspiadoa da elaboação po Newton, do cálculo integal e difeencial. De fato, vimos a aplicação do Cálculo em paticamente todas as nossas aulas. Mas foi paa pode chega à sua famosa fómula: Mm F G, [0 ] d patindo das leis de Keple, que Newton teve a necessidade de desenvolve o Cálculo. Fómula [0 ] onde está dado o módulo da foça F, a constante G é a chamada constante da gavitação univesal e vale: G Nm kg 6,67 0 [0-] Newton estimou G a pati do valo apoximado da massa da ea. A deteminação expeimental de G foi feita somente um século depois po Cavendish. A fómula [0-] expime que a matéia atai a matéia, na azão dieta do poduto de suas massas e na azão invesa do quadado da distância ente elas. Vetoialmente a expessão [0-] fica: m m F G, ˆ,, [0-3] veto Na Fig. [0-], vemos que F é a foça que a massa m faz sobe a massa m. O,, é, como podemos ve na Fig. [0-], o veto que vai de m a m. Vemos que a foça F, tem dieção contáia à ˆ,, donde o sinal menos. E vemos também que foça é a de atação. 399

4 Fig. [0-] Das quato inteações da Física que são: Gavitacional; Eletomagnética; Inteação Fote; e Inteação Faca, a inteação gavitacional é a mais faca. A inteação eletomagnética é a inteação ente as cagas. Ela é em última análise esponsável pela consistência dos copos, poque ela detemina as dimensões dos átomos (elétons unidos aos núcleos pela foça de atação ente elétons e pótons, moléculas fomadas pela inteação eletomagnética dos átomos atavés dos elétons) e a estutua das moléculas. A inteação fote é que mantém pótons e nêutons fomando os núcleos atômicos e a inteação faca é que ege os pocessos de decaimento adiativo. Ambas estas inteações são nucleaes. Podemos veifica o quanto é débil a inteação gavitacional calculando a atação ente duas pessoas uma de 65 kg e outa de 50 kg. Usando a fómula [0-] vamos veifica que a foça de atação ente elas é 8, N. O peso de uma pessoa de 50 kg é 49 N, ou seja, ceca de um bilhão de vezes a atação ente as duas pessoas que calculamos. Isto poque no caso do peso, uma das massas é a massa da ea. Assim a foça de atação gavitacional só vai se tonando impotante quando gandes massas são envolvidas. Isto acontece na fomação dos buacos negos. Em estelas de gandes dimensões, quando se esgota o pocesso de fusão nuclea que tansfoma o hidogênio em hélio, todas as inteações vão sendo supeadas pela inteação gavitacional. Há então o colapso da estela (estamos omitindo as difeentes fases deste pocesso da evolução das estelas), quando toda a matéia, já sem nenhuma estutua se concenta em um único ponto (chamado de uma singulaidade). Aí a atação gavitacional é de tal monta, que nem a luz pode escapa. Daí o nome de buaco nego. As leis de Keple 400

5 Na pimeia aula já mencionamos que Newton conseguiu obte sua lei da gavitação univesal, patindo das leis de Keple e usando o feamental, em gande pate po ele inventado, do Cálculo Integal e Difeencial. Vejamos agoa as tês leis de Keple: lei - odos os planetas descevem óbitas elípticas, com o Sol ocupando um dos focos. lei-o aio veto que une o Sol a qualque planeta, vae áeas iguais em tempos iguais. 3 lei-o quadado do peíodo de evolução de um planeta é popocional ao cubo do semi-eixo maio de sua óbita. A elipse é uma cuva com a popiedade de que a somas das distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos chamados focos é constante. (Ve Fig. [0-]). Fig. [0-] Na Fig. [0-] a distância de P a cada foco é de d e d ', e de P a cada foco é d e d '. emos então d d' d d'. Notemos que tanto P quanto P são pontos quaisque da elipse. Ainda na Fig. [0-] a é o semi eixo maio e b o semi eixo meno. No caso da óbita da ea, ela é quase uma cicunfeência: a distância do ponto de maio afastamento do Sol (o afélio) a distância ao Sol é,5 0 m, e na de meno afastamento (o peiélio) é,48 0 m. A Fig. [0-3] ilusta a lei de Keple. 40

6 Fig. [0-3] As duas áeas indicadas na Fig. [0-3] são iguais. Com isto vemos que o planeta se desloca com maio velocidade quando está mais póximo do Sol. Podemos coloca a teceia lei em foma algébica como: 3 C Onde é o tempo paa uma tanslação completa do planeta em tono do Sol, e a distância média ente o planeta e o Sol. No caso, po exemplo, do Sol e Júpite a distância média é o peíodo de evolução de jupite em tono do Sol usando a 3 lei. 5,UA. Podemos acha UA é a distância média ente a ea e o sol UA=,500 m A constante C é a mesma paa todos os planetas. Aplicando então a 3 lei de Keple a ea temos: 3 C Donde: C 3 Então: 3 j C J 40

7 j 3 3 J 3 3 J 9 J 5,0UA.ano, anos. UA Dedução das leis de Keple Newton mostou que quando um copo (planeta ou cometa) se desloca em tono do Sol, sujeito a uma foça que vaia com, a tajetóia do copo ou é elipse, ou uma paábola ou hipébole. No caso de paábola ou hipébole, são então copos que passam nas imediações do Sol e depois não mais etonam. Paa os planetas então Newton concluiu que a tajetóia ea elíptica. Obsevação: Na vedade, o aciocínio de Newton foi o inveso. Ele sabia pela lei de Keple que as óbitas eam elípticas. Daí chegou à conclusão que a foça ente o sol e o planeta tem a dependência da distância ente o planeta e o sol ( é esta distância). Mostaemos agoa que a segunda lei é uma conseqüência da foça cental, ou seja, a foça sobe o planeta é uma foça sempe diigida paa o Sol, e da consevação do momento angula. Na Fig. [0-4], mostamos o deslocamento infinitesimal v dt duante o tempo dt. A áea vaida po uma eta que une o planeta ao Sol é: da vdt 403

8 Fig. [0-4] De fato, podemos ve que a áea do paalelogamo da Fig. [0-5] é: A h [0-4] Fig. [0-5] Mas, h cos. vdt Potanto: h vdt cos Po sua vez sendo e ' ângulos complementaes '. Então: 404

9 cos sen'. Mas: sen' sen Então: h vdt sen [0-5] Po sua vez: vdt v dt sen [0-6] Então vemos, levando em conta o valo de h em [0-5] e colocando na expessão da áea do paalelogamo, que a áea do paalelogamo é dada po [0-6] e então a áea vaida da é: da vdt m mv dt Mas: vdt p L, o módulo do momento angula. E, então: da Ldt [0-7] m Como a foça de atação ente o planeta e o Sol é uma foça diigida ao eixo de otação, seu toque é nulo. Então o momento angula é constante e de [0-7] tiamos que: da L [0-8] dt m L Onde é uma constante. A equação [0-8] nos diz que a taxa de vaiação m instantânea da áea é a mesma em todos os pontos. Isto equivale a dize que a áea vaida 405

10 é popocional ao tempo (ou, o que é o mesmo, o tempo de pecuso é popocional à áea). De fato, chamando em [0-8] L m k temos: da k [0-9] dt Então: da kdt [0-0] Integando a equação [0-0] de um instante t = 0 e fazendo neste instante a áea também se 0, até um tempo genéico t com áea A, temos: A 0 da' k t 0 dt' t A t A' k ' 0 0 A k t [0-] A equação [0-] é a popocionalidade pedida ente a áea vaida e o tempo gasto em pecoe a óbita da lei de Keple. Po último mostaemos que a lei da gavitação de Newton, acaeta a teceia lei de Keple. Mas mostaemos isto, po simplicidade, paa o caso de uma óbita cicula. Seja um planeta descevendo com velocidade v uma óbita cicula de aio em tono do Sol. A foça de atação gavitacional ente a ea e o Sol é a que dá a aceleação centípeta do movimento. F m P a v Onde a é a aceleação centípeta, e, potanto é. Então: M S mp v G mp [0-] Então: v GM S [0-3] 406

11 Ao mesmo tempo, como o planeta cobe a distância v [0-4] em um tempo temos: Então de [0-3] e [0-4] temos: 4 GM S Donde: GM 4 S 3, que é a teceia lei de Keple. Enegia Potencial Gavitacional Já temos muitas vezes mostado neste cuso que a aceleação da gavidade peto da supefície da ea é g, ( g 9,8m / s altua h muito meno de h R ). Isto acontece quando consideamos copos à uma R, o aio da ea. Despezando h diante de R (escevemos ) todos estes copos peto da supefície da ea estão à uma mesma distância do cento da ea. E já mostamos também que esta é a distância que apaece na fómula de atação gavitacional quando consideamos a foça peso de um copo qualque na supefície da ea. Neste caso então, tomando o nível zeo de enegia potencial como sendo a pópia supefície da ea, a enegia potencial de um copo de massa m: v mgh [0-5] Compeendemos agoa um pouco mais que esta conhecida fómula é futo de uma apoximação, qual seja h R. Mas o que acontece se nos afastamos significativamente da supefície da ea e a apoximação ( h R ) que consiste em considea a distância de qualque copo ao cento da ea como sendo h, não mais pude se tomada? Neste caso temos que usa a definição de enegia potencial (Recoda a aula 6). Fazemos: du F ds [0-6] 407

12 Como F e ds tem mesma dieção (a dieção adial), temos: M m du Fd G d M m G d Integando: U du M m G d U GMm d U 0 U GMm U 0 U GMm U 0 [0-7] Atibui um valo a U 0 é escolhe um nível como nível de enegia de efeência de enegia potencial. (nível zeo). Uma escolha bastante conveniente neste caso é toma enegia potencial. Neste caso fazemos U 0 0 e temos: GMm U, com U 0 em. [0-8] como nível zeo de Velocidade de escape Se fizemos um gáfico da enegia potencial pela distância ao cento da ea temos (Fig. [0-5]): 408

13 Fig. [0-5] Seja uma enegia mecânica total E. Vemos que em um ponto (aio ) do eixo das abscissas a enegia cinética K é dada po E U. Em MAX não há enegia cinética, e a enegia mecânica total é exclusivamente potencial. Os estados ligados são aqueles em que a enegia mecânica total é meno que zeo. Um estado em que à enegia mecânica total seja maio que zeo é um estado não-ligado (no nosso gáfico, e, potanto na escolha de nível de efeência de enegia potencial dado po [0-8], ou seja, U 0 em ). A velocidade de escape é aquela então em que a enegia cinética mais a potencial é igual a zeo. Fazemos então: E K U 0 Donde: e mv M m G R 0 v e GM R 409

14 v e GM R [0-9] Po outo lado: F M G m Como GM a F a m Na supefície da ea temos: GM g [0-0] R Voltando a [0-9]: GM GM ve R R R Intoduzindo agoa g de [0-0] obtemos a velocidade de escape: ve gr A velocidade de escape é a velocidade mínima paa que um copo tenha enegia cinética suficiente paa escapa do campo gavitacional da ea. CONCLUSÃO Na dedução das leis de Keple, mostamos como é possível admitindo a lei da gavitação univesal de Newton, chega às leis de Keple. A pimeia lei (das óbitas elípticas dos planetas) é conseqüência da foça de atação gavitacional se invesamente popocional ao quadado da distância. A segunda vem do fato que da foça de atação te dieção do eixo de otação (foça cental) e não exece toque. Assim o momento angula é constante e tiamos a popocionalidade ente as áeas vaidas e o tempo gasto em 40

15 pecoe a tajetóia coespondente. Quanto à teceia lei, ela foi simplesmente compovada expeimentalmente. Esta é uma possível abodagem pedagógica do poblema, destinada a pelo menos mosta alguma elação ente as leis de Keple e a lei da gavitação univesal de Newton. Na ealidade a constução da teoia foi pelo caminho inveso. As tês leis de Keple significaam um enome e extaodináio esfoço paa taduzi os dados de icho Bahe, de uma pecisão ímpa paa a época, em uma sistematização atavés de leis, mas leis empíicas, que pudessem de alguma foma desceve o movimento dos planetas. A passagem destas leis paa a fómula da gavitação é um passo cuja genialidade nunca seá suficientemente exaltada. Em pimeio luga foi peciso admiti uma foça à distância, o que consistiu em uma hipótese extaodinaiamente imaginativa e ousada. Em seguida, foi peciso enconta a foma desta foça de tal maneia que ela pudesse da o movimento descito pelas leis de Keple. RESUMO Na intodução pocuamos da uma pespectiva da eoia da Gavitação de Newton, como peda de toque da Gande Síntese de Física. Discutimos o significado desta designação, mostando o ideal, ainda não alcançado de uma Gande Síntese. Compaamos a inteação gavitacional com as demais inteações e mencionamos sua impotância na evolução das estelas e na ciação dos buacos negos. Explicamos as leis de Keple e vimos a elação destas leis com a gande lei da gavitação univesal. Em seguida deduzimos a enegia potencial, tanto na supefície da ea, quanto afastado dela. Definimos estado ligado e não ligado e calculamos a velocidade de escape. AIVIDADE - Poque dizemos que a Mecânica newtoniana e sua teoia da gavitação univesal constituem a gande síntese de Física. - Moste que a lei de Keple é uma decoência da dieção da foça de atação ente o Sol e os planetas. 4

16 Poblemas - Imagine que a inteação atativa ente uma estela de massa M e um planeta de massa m, muito meno do que M, teima a foma F = KMm/, com K a constante gavitacional. Qual a elação ente o aio da óbita cicula do planeta e o seu peíodo de evolução em tono da estela? - A massa da ea é de 5,97 x 0 4 kg e o seu aio é de 6370 km. O aio da Lua é de 738 km. A aceleação dá gavidade na supefície da Lua é,6 m/s. Qual a azão ente a densidade média da Lua e a da ea? 3 - Uma massa puntifome m 0 está sobe a supefície de uma gande esfea de massa M e aio R. Que tabalho é necessáio paa emove a pequena massa até uma gande distância da esfea? 4 - Um copo cai, do epouso, de uma altua de 4 x 0 6 m acima da supefície teeste, qual a sua velocidade ao atingi o solo, sem leva em conta a esistência do a? 5 - Uma sonda espacial, dispaada da ea com a velocidade inicial v i, deve te a velocidade de 60 km/s a uma gande distância da ea. Qual o valo de v i? REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS iple P.A. Física, volume. LC- Livos écnicos e Científicos S. A,999. Stewat, J. Cálculo, 4 Edição, Leaning homsom-pioneia,ano 00. 4