e A Formação do Circuito Equivalente

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1 Cadeno de Estudos de MÁQUINAS ELÉCTRICAS nº 4 A Coe nte Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente Manuel Vaz Guedes (Pof. Associado com Agegação) Núcleo de Estudos de Máquinas Elécticas Faculdade de Engenhaia da Univesidade do Poto Nos tansfomadoes, o fluxo magnético, necessáio ao funcionamento desta máquina eléctica, é mantido pela ciculação pemanente de uma coente eléctica a coente eléctica de magnetização no enolamento pimáio. Po isso, este fenómeno tem de apaece epesentado em qualque modelo do tansfomado. Devido ao caácte não linea das popiedades magnéticas do cicuito magnético do tansfomado, a foma de onda da coente eléctica de magnetização é não sinusoidal. Po isso, é não linea o cicuito eléctico equivalente, capaz de modeliza os coespondentes fenómenos físicos, como o modelo que, actualmente, é utilizado nos estudos do funcionamento em egime tansitóio de um tansfomado aplicado em cicuitos de medida, ou de potecção. Os conceitos envolvidos nesse tipo de modelização analógica, sevem, também, paa o desenvolvimento de um modelo matemático pogamável paa intega na simulação computacional dos egimes tansitóios nos sistemas elécticos. Apesa dos poblemas com a excitação do tansfomado, com a coente de magnetização e com as pedas no feo já teem sido apesentados em divesos textos, [1] [2] [3], de uma foma que se tonou clássica, actualmente, tona-se necessáio a sua apesentação de uma foma que ealce os poblemas de não lineaidade, ineentes às necessidades de estudo do funcionamento de um tansfomado eal nos sistemas elécticos contempoâneos. 1 A Coente Eléctica de Magnetização No tansfomado, a ligação magnética ente os enolamentos é feita po um fluxo magnético comum ψ(t), vaiável no tempo, que pecoe um núcleo de mateial feomagnético, e que é ciado pela Cadeno de Estudos de MÁQUINAS ELÉCTRICAS, nº 4, pp. 3 13, Dezembo de 1992

2 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 2 passagem de uma coente eléctica num dos enolamentos que envolve o núcleo. Quando o enolamento induto é fomado po uma bobina de fio conduto com N espias, que envolve um núcleo maciço de i mateial feomagnético, e que é pecoida po uma coente eléctica u de valo instantâneo i(t), cia-se uma foça magnetomotiz, F = N i, que N devido ao compimento l do cicuito magnético se constante vai se esponsável pelo apaecimento de um campo magnético de valo H = N i/l. Como o mateial do núcleo é feomagnético, a elação ente Cicuito Magnético Maciço o valo do campo magnético H e o valo da indução magnética B é não linea. Como o cicuito magnético tem uma secção constante S, a indução magnética vai se esponsável pelo apaecimento de um fluxo de indução magnética totalizado ψ = B S, que encadeia as N espias do enolamento induto. Não sendo iguais os fluxos de indução magnética atavés da cada uma das espias da bobina, considea-se φ = ψ/n como o fluxo de indução magnética médio po espia. Habitualmente, considea-se que na situação de vazio o fluxo magnético de fugas ψ f é nulo; nessa situação o fluxo que, ealmente, atavessa cada espia coincide com o fluxo médio po espia. ψ i F H B ψ As elações ente as divesas gandezas que entam na caacteização do fenómeno da magnetização de um cicuito feomagnético, como o que foma o núcleo de um tansfomado, povam que há uma elação não linea ψ(i) ente o valo do fluxo magnético totalizado ψ e o valo da coente eléctica que o cia i. Essa elação depende das popiedades do mateial feomagnético que constitui o núcleo, e é epesentada, com outas escalas, pela cuva caacteística que elaciona a indução magnética com o campo magnético B(H). O núcleo do tansfomado é constuído com mateiais feomagnéticos, isto é, com mateiais que adquiem uma magnetização elevada quando são submetidos a um campo magnético exteno. Quando, esses mateiais são submetidos a uma pimeia magnetização, paa valoes cescentes do campo magnético H, a indução magnética B assume valoes que se podem elaciona atavés de uma cuva de magnetização inicial, ou, simplesmente, cuva de magnetização. B (T) 1,7 III Uma cuva de magnetização, paa um mateial feomagnético, pode se dividida natualmente em tês egiões. Numa pimeia egião (I) a cuva pate da oigem com uma 0,8 II inclinação dada pelo valo da pemeabilidade magnético do vazio µo. Nesta egião a cuva de magnetização é, usualmente, evesível. 0, I H (A/m) Na segunda egião (II) a cuva de magnetização tem uma gande inclinação e é, paticamente, ectilínea, mas ievesível. A Cuva de Magnetização teceia egião (III) da cuva de magnetização é sepaada da segunda po um joelho, e tem 2

3 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 3 um andamento ectilíneo. Nesta teceia egião, o valo da indução magnética é quase independente do valo da intensidade do campo magnético e, potanto, a inclinação da cuva é pequena, voltando a cuva a se evesível numa gande extensão. Este compotamento da cuva de magnetização de um mateial feomagnético esulta do compotamento destes mateiais duante a magnetização, pincipalmente do alinhamento dos pequenos volumes de matéia onde os spins dos electões estão espontaneamente alinhados os domínios (P. Weiss, 1906). Depois de efectuada a pimeia magnetização, a elação B ente o campo magnético e a indução po ele ciada deixa de B se unívoca, poque paa cada valo do campo magnético existem dois valoes da indução magnética, confome aquele H valo está a aumenta ou a diminui segundo uma vaiação Hc simética elativamente ao campo magnético nulo. Nas B Indução Remanente magnetizações subsequentes, o andamento da caacteística Hc Foça Coeciva de magnetização dependeá das anteioes situações de magnetização; poque o mateial iá conseva um egisto do Ciclo Histeético seu anteio estado de magnetização o valo da indução emanente. Assim, paa uma magnetização altenada simética a elação ente os valoes da indução magnética e o valo do campo magnético que os cia B(H) é um ciclo fechado o ciclo histeético. B B1 0 H1 H Associado ao ciclo histeético de um mateial feomagnético há uma infomação sobe a densidade de enegia posta em jogo duante o pocesso de magnetização. Quando é feita uma magnetização po aplicação de um campo magnético altenado simético, duante a fase de cescimento do campo, de 0 a H 1, é consumida uma quantidade de enegia po unidade de volume de mateial que é dada po wmc = W/v = B 1 H db, que é 0 popocional à áea limitada pelo amo infeio do ciclo histeético, pelo semi-eixo positivo da indução magnética e po um segmento de ecta paalelo ao eixo das abcissas e que passa po B 1. B B1 Quando, na sequência da magnetização, o valo do campo é diminuído de H 1 até 0, é devolvida uma quantidade de enegia po unidade de volume de mateial que é dada po wmd = W/v = H db, que é B 1 0 H popocional à áea limitada po um segmento de ecta paalelo ao eixo das 0 H1 abcissas e que passa po B 1, pelo semi-eixo positivo da indução magnética e pelo amo supeio do ciclo histeético. De uma foma análoga, e devidamente adaptada, é possível veifica que ocoe algo semelhante duante a altenância negativa da magnetização, 0 H 1. Duante um ciclo de magnetização, é gasta no tabalho de oientação dos domínios magnéticos uma quantidade de enegia po unidade de volume popocional à áea contida no inteio do ciclo histeético. No volume do mateial que constitui o núcleo magnético, esta enegia é dissipada, sob a foma de calo: constitui a enegia de pedas po histeese. Quando o campo magnético induto da magnetização

4 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 4 é vaiável no tempo, peiódico com uma fequência f, existem f ciclos de magnetização em cada segundo e, consequentemente, haveá uma dissipação de enegia devida à histeese magnética, com uma densidade volúmica f wm; isto é, as pedas po histeese são popocionais à fequência de magnetização. Mas, devido à vaiação, no tempo, do campo magnético existem, também, pedas de enegia motivadas pelas coentes de Foucault. A vaiação no tempo do fluxo magnético dá oigem ao apaecimento de um campo eléctico no meio magnético do núcleo (Lei de Faaday). Nesse meio, fomam-se cicuitos fechados, nos quais se induz uma foça electomotiz, que é popocional à fequência do fluxo magnético induto. A pesença dessa foça electomotiz induzida, num cicuito fechado, povoca a ciculação de uma coente eléctica. Ao conjunto dessas coentes elécticas que apaecem no mateial feomagnético, pecoido po um fluxo magnético vaiável no tempo, chama-se coentes de Foucault. ψ(t) Coentes de Foucault ψ(t) Como os cicuitos fechados têm uma dada esistência eléctica, a ciculação da coente eléctica nesses cicuitos taduz- -se po uma libetação de calo, po efeito Joule. A enegia dissipada em calo constitui a enegia de pedas po coentes de Foucault. Uma foma de diminui essas pedas de enegia consiste na diminuição do valo da coente eléctica atavés da diminuição do compimento dos cicuitos fechados onde se induz a foça electomotiz; o que se consegue com a divisão da áea tansvesa Coentes de Foucault (Laminagem) em divesas pequenas áeas, po utilização de um mateial laminado. O valo da coente eléctica também é diminuído, atavés do aumento do valo da esistência do cicuito fechado, po um aumento da esistividade do mateial ρ, o que se consegue com a adição de substâncias (silício) ao feo em fusão. Como consequência do efeito magnético das coentes de Foucault, suge o efeito pelicula, que povoca a alteação da distibuição da indução magnética, peto do cento da lâmina de mateial feomagnético, po acção do campo magnético de eacção ciado po aquelas coentes paasitas. Este efeito é ponunciado quando o campo magnético induto tem uma fequência elevada (> 950 Hz; 19º hamónico). À soma das pedas de enegia, num tansfomado, motivadas pelo acção de um campo magnético vaiável no tempo, devidas à histeese magnética do mateial feomagnético e às coentes de Foucault que ciculam nesse mateial, chama-se pedas no feo. A densidade volúmica destas pedas de enegia é dada po uma fómula do tipo, w Fe = W Fe /v = w h + w cf = k 2 1 f B m + k 2 f 2 B 2 m Quando se pocuam eduzi as pedas po coentes de Foucault, po utilização de um núcleo fomado po um empacotamento de lâminas de mateial feomagnético, suge um outo poblema que tem influência no valo da coente eléctica de magnetização. Devido à foma como é ealizado o empacotamento da chapa, essencialmente, devido à impossibilidade de se obte um ajuste pefeito

5 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 5 ente a chapa das colunas e das tavessas, sugem pequenos entefeos nos pecusos do fluxo magnético. São zonas de pemeabilidade magnética constante, mas baixa, µ o = 4π 10 7 H/m, o que cia a necessidade de uma coente eléctica de magnetização maio, paa que nesses pecusos o fluxo magnético pemaneça com o mesmo valo constante, que tem nos pecusos feitos no inteio do mateial feomagnético. Paa além deste, existem, ainda, outos fenómenos com efeitos cumulativos, como o desenvolvimento de coentes de Foucault ente lâminas, que ocoem devido à execução do empacotamento do núcleo. O valo do acéscimo da coente eléctica de magnetização depende de muitos paâmetos constutivos: pessão do empacotamento, toleâncias no cote da chapa, aspectos de montagem do núcleo, etc Step Lap Joint Butt Lap Joint Os difeentes fenómenos ineentes à utilização de um núcleo fomado po um empacotamento de lâminas de mateial feomagnético, taduzem-se, atavés dos contibutos das suas componentes, nas caacteísticas da coente eléctica de magnetização: foma de onda, amplitude, esfasamento Como a elação ente o fluxo magnético totalizado e a coente eléctica que o cia a coente eléctica magnetizante [4, ] tem uma foma peculia, um ciclo histeético, paa o fluxo magnético te uma vaiação sinusoidal no tempo, a coente eléctica de magnetização apesenta uma vaiação não sinusoidal. φ i1 ψ1 i ψ1 φ i1 i 0 t1 t Constução Gáfica A foma de onda da coente magnetizante pode se obtida atavés de uma constução gáfica, em que nas espectivas escalas, são epesentadas as cuvas de vaiação no tempo do fluxo totalizado ψ(t) e a cuva de vaiação do fluxo com a coente ψ(i) paa o mateial feomagnético do núcleo. Fazendo

6 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 6 coesponde, paa um dado instante t 1, o valo do fluxo induto ψ 1 e o valo coente magnetizante necessáia paa o cia i ψ1, obtém-se um ponto (i ψ1, t 1 ) da cuva de vaiação no tempo da coente magnetizante consumida paa mante um deteminado valo de fluxo no núcleo magnético, i ψ. De uma foma análoga podem se deteminados os pontos, da cuva de vaiação da coente eléctica magnetizante, coespondentes ao ciclo negativo do fluxo magnético. Esta constução gáfica, com um caácte pedagógico notável, é actualmente substituída pela deteminação numéica da cuva de vaiação da coente magnetizante no tempo i ψ (t), a pati da expessão da vaiação no tempo do fluxo totalizado, ψ = ψ m cos(ωt), e da epesentação analítica do ciclo histeético, atavés de funções exponenciais ψ = k (1 exp( k s i ψ )), ou atavés de expessões faccionáias, ou atavés de séies de potências faccionáias i ψ = k ψ α, com α < 1. Nomalmente, o ciclo histeético enconta-se globalmente definido po váias expessões analíticas, válidas apenas paa uma gama de valoes da coente eléctica magnetizante. Obtém-se, po cálculo, uma amostagem dos valoes da foma de onda da coente eléctica magnetizante, i ψk (t k ). A foma de onda da coente magnetizante, tem um andamento não sinusoidal. Devido à simetia do ciclo histeético a foma de onda é constituída po duas semi-ondas com igual andamento, mas de sinal contáio. Uma análise hamónica desta onda [5], pemite veifica que devido à semi-onda positiva te andamento igual à semi-onda negativa, ela não possui temo contínuo, e apenas possui temos hamónicos de odem ímpa, e, na situação em estudo em que há simetia da onda da coente eléctica elativamente ao eixo das odenadas, essa onda apenas possui temos com vaiação em cosseno. Veifica-se, ainda que a foma de onda da coente eléctica magnetizante possui um valo de pico elevado, e que existe um ângulo de esfasamento ente a coente eléctica e o fluxo magnético: o ângulo de ataso magnético. Também os temos hamónicos além da amplitude decescente com a odem do hamónico, possuem um esfasamento (phase) pópio ϕ h. U o = 55,7 V I o = 1,66 A P o = 12,5 W h i h A 1,99 1,03 0,22 0,06 0, / i h 118,5 9,9 100,3 46,6 147,2 105,6 172,1 Núcleo Feomagnético Satuado A impotância dos temos hamónicos componentes da foma de onda de coente eléctica magnetizante é gande, sendo habitual salienta-se as consequências da existência do teceio hamónico. Nos tansfomadoes tifásicos de potência a possibilidade de ciculação desse teceio hamónico condiciona a escolha do tipo de ligação das bobinas dos enolamentos do tansfomado, devido aos poblemas ciados nas edes de telecomunicações pela ciculação do teceio hamónico nas linhas de tanspote de enegia. Nos tansfomadoes de sinal, a existência de uma teceio hamónico na coente magnetizante, com uma fequência tipla da fequência do temo fundamental e esfasado elativamente a esse temo, pode povoca poblemas de distoção no sinal. Em qualque destas situações, a existência de temos hamónicos com difeentes fequências pode povoca poblemas de essonância, paa qualque uma dessas fequências, no cicuito eléctico em que está inseido o tansfomado. Quando, po simplificação, se considea que o ciclo histeético de um mateial feomagnético tem

7 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 7 um andamento esbelto, em que o valo da foça coeciva H c é muito infeio ao valo do campo magnético de satuação H s, e, apenas, se considea epesentada pela cuva de magnetização a vaiação do fluxo magnético com a coente eléctica ψ(i), pode-se detemina a foma de onda da coente magnetizante po uma constução gáfica análoga à anteio, ou po meio de deteminação numéica, a pati das expessões epesentativas das elações ente as gandezas envolvidas, t, ψ, i ψ. Uma foma analítica de epesenta a elação i(ψ) é atavés de um polinómio incompleto da foma i = α ψ + ß ψ 2m+1, com m>1 {m=3 ; m=4; m=5}, (ve Apêndice). Com uma expessão deste tipo, tona-se fácil elaboa um pogama de computado capaz de detemina valoes da coente magnetizante e pocede à espectiva análise hamónica [5]. Pogama CORMAG Defini constantes pi, f, psim, m, np Dimensiona as matizes i( ), psi( ), a( ), ik( ) Le os np valoes de i( ) e psi( ) Chama subotina MINQUA9(m,np,i( ),psi( ), Paa cada valo do tempo tk psi = psim*cos(2*pi*f*tk) ik(tk) = a(1)*psi + a(2)*psi m epeti Chama FOURIER_1 4, p. 21]!% Impimi tk, ik( ), Bh( ), Ch( ) Fim Nas condições desta hipótese de estudo, a foma de onda de vaiação da coente eléctica magnetizante i ψ (t), ainda está epesentada po uma foma de onda não sinusoidal, com temos hamónicos de odem ímpa e com vaiação em cosseno, mas o ângulo de ataso magnético é nulo, isto é, não existe esfasamento ente o fluxo magnético e a coente eléctica de magnetização. Note-se, que no estudo computacional apesentado podem sugi outos temos hamónicos, não pevistos, mas esultantes de uma má apoximação da caacteística de magnetização pela expessão analítica apesentada. Nesta apoximação à ealidade, a cuva de magnetização ainda possui temos hamónicos, com impotância nas aplicações do tansfomado tanto paa potências elevadas, como no domínio do sinal. Uma última hipótese de estudo, consiste em considea que duante todo o egime de funcionamento do tansfomado não ocoe satuação magnética, ou que o seu ponto de funcionamento está sempe colocado na pate ectilínea da caacteística de magnetização (zona II). Nessa hipótese de estudo, a caacteística de magnetização é linea, e consequentemente a foma de onda da coente magnetizante é sinusoidal. Tal pode se veificado po constução gáfica, ou po um simples pogama de computado. Esta situação de estudo, que não coesponde à ealidade do funcionamento do tansfomado, pode se necessáia paa aplicação de métodos de tatamento analítico, como o método simbólico de epesentação de gandezas sinusoidais, ou paa pemiti a epesentação das elações do fluxo magnético com a coente eléctica que o cia, atavés de paâmetos (indutâncias) constantes, como ocoe em cetas aplicações da Teoia Genealizada das Máquinas Elécticas. Paa que exista um deteminado fluxo magnético ψ(t), com vaiação sinusoidal no tempo, no núcleo do tansfomado é necessáio que seja fonecido ao tansfomado uma coente eléctica magnetizante i ψ (t), que tem uma vaiação no tempo não sinusoidal. Mas a pesença do fluxo magnético vaiável no tempo, no núcleo feomagnético do tansfomado, povoca o apaecimento de coentes de Foucault, com um valo popocional à vaiação do fluxo no tempo, mas com um sentido tal que cia uma foça magnetomotiz com um sentido, que se opõe ao da vaiação do fluxo magnético ψ. Essa acção tem de se contaiada po uma componente sinusoidal da foça magnetomotiz, ciada po uma coente eléctica sinusoidal, com a mesma fequência que o fluxo magnético, que tem de se fonecida ao tansfomado.

8 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 8 Só desta foma o fluxo magnético pemanece no valo necessáio paa cia uma foça electomotiz, e(t) = = dψ/dt, no enolamento induto, que veifique a equação eléctica do enolamento: u = Ri e. Existe, po isso, uma componente sinusoidal da coente eléctica de magnetização i cf (t) que está em fase com a foça electomotiz induzida e(t), e em quadatua avanço sobe o fluxo magnético ψ(t). Desta foma veifica-se paa a coente de magnetização i(t) que: i(t) = i ψ (t) + i cf (t). Po isso, a coente final mantem-se distocida, e aumenta o ângulo de ataso magnético. Mas devido à constução laminada do núcleo do tansfomado, mesmo quando efectuada com a melho tecnologia (step-lap joint) e cuidado, existe a necessidade de fonece uma coente eléctica de magnetização supeio ao valo necessáio paa contaia a acção das coentes de Foucault e paa cia uma deteminada onda sinusoidal de fluxo. Esse valo que depende do tipo, e modo, de constução do núcleo, pode se deteminado po cuvas de magnetização paa os entefeos (joint), pópias paa o tipo de constução do núcleo utilizado, [1, p. 10]. Assim, o valo da coente de magnetização, é: i(t) = i ψ (t) + i cf (t) + n j i ψj (t) não ultapassando um valo de 5 % do valo da coente do enolamento, quando está alimentado pela espectiva tensão nominal. Po exemplo, paa um tansfomado de distibuição tifásico actual com isolamento seco, (500 kva, /400 V, Dy11, 50 Hz), veifica-se que a coente de magnetização i I o2 = 10,47 A (1,45 %). Paa um tansfomado com uma capacidade infeio a 1 kva, aquela elação ente coentes elécticas pode se bastante difeente. A f W Cicuito de Medida V A deteminação da coente eléctica, necessáia à manutenção de um deteminado fluxo magnético no núcleo eal de um tansfomado, pode se feita ecoendo ao cálculo atavés das cuvas caacteísticas das popiedades do mateial feomagnético, ou po via expeimental, mediante uma montagem de medida análoga à figuada [6, 8.2]. Só há que atende ao caácte não linea da coente eléctica de magnetização, e, consequentemente, utiliza apaelhos de medida adaptados a uma onda não sinusoidal. Em todo este estudo consideou-se que o fluxo magnético tinha uma vaiação sinusoidal no tempo. Actualmente, devido à poluição hamónica intoduzida nas edes elécticas po cagas não lineaes, sucede que a tensão de alimentação do tansfomado, e, potanto, o fluxo magnético são não sinusoidais. Nessa situação, todos os fenómenos descitos vêm agavados, e as Nomas [6, 8.4] pevêem a edução da coente eléctica de magnetização a uma base de tensão sinusoidal. Conhecida a foma de vaiação no tempo da coente eléctica de magnetização, assim como os fenómenos que ocoem num núcleo de mateial feomagnético laminado, esta pocua um modelo que pemita efectua estudos sobe o funcionamento de tansfomadoes em qualque egime: pemanente ou tansitóio. Esse modelo, independentemente do seu tipo, deve epesenta os fenómenos caacteísticos do funcionamento do núcleo: a ciação do fluxo magnético, e as pedas de enegia ineentes à situação física daquela ciação. Quando se considea que o tansfomado está a funciona na zona linea da caacteística de magnetização e se despezam os efeitos dos entefeos do cicuito magnético, e que potanto a coente eléctica magnetizante é sinusoidal, mas que existem pedas magnéticas, devidas às coentes

9 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 9 de Foucault, esulta que a coente de eléctica de magnetização é sinusoidal e i I o, consideando-se como esultante da adição de duas componentes, I o = I m + I a : uma, a coente eléctica magnetizante I m, que é esponsável pela ciação do fluxo magnético, e a outa, a coente eléctica de pedas, que é esponsável pelas pedas no cicuito magnético, I a. A coente de pedas está em fase com a foça electomotiz e em quadatua avanço sobe a componente magnetizante da coente de magnetização, que nesta situação está em fase com o fluxo magnético. Este modelo descitivo, pode taduzi-se po um outo modelo um cicuito eléctico de paâmetos concentados que apesente um compotamento eléctico análogo ao do núcleo do tansfomado. A adição das duas componentes sugee que o cicuito eléctico é fomado po um paalelo de dois amos de cicuito eléctico, um, puamente óhmico, onde cicula a coente eléctica de pedas I a, o outo, puamente indutivo, onde cicula a coente magnetizante I m. Ao cicuito I o I a I m R L enconta-se aplicada uma tensão igual ao valo da foça electomotiz que se induz no espectivo enolamento. Quando se considea que as popiedades do cicuito magnético ficam integalmente epesentadas pela caacteística de magnetização, a coente eléctica magnetizante tem um foma de onda distocida, e sendo decomposta em séie de temos hamónicos veifica-se que é fomada po um conjunto de temos de odem ímpa. Pa que a coente eléctica de magnetização (= i ψ (t) + i cf (t) + n j i ψj (t)) pudesse se epesentada po uma coente eléctica sinusoidal ea necessáio que essa coente eléctica poduzisse os mesmos efeitos que a coente de magnetização, o que implica que se pocue uma coente eléctica com o mesmo valo eficaz. Assim, passa-se a considea que o núcleo é pecoido po uma coente eléctica sinusoidal com o valo eficaz da coente eléctica de magnetização, I ef = h I 2 hef, fomada po duas componentes ( I m, I a ), e utiliza-se um cicuito eléctico equivalente análogo ao pimeio. i I Mas, a pesença dos temos hamónicos de mais alta fequência o (t) i a (t) m (h > 9), apesa da sua pequena amplitude, taduzi-se-ia po um aumento de pedas magnéticas com a fequência, que o modelo não epesenta. Há, paa isso, que substitui a esistência linea po uma L Rnl esistência não linea. Este modelo podeia epesenta o núcleo de um tansfomado com consideação da influência das fequências pesentes na coente eléctica de magnetização, quando o fluxo magnético é sinusoidal. Isso exigia que as estantes esistências elécticas existentes no tansfomado, pincipalmente a esistência do enolamento pimáio, fossem modelizadas atendendo ao seu compotamento eal face à fequência dos difeentes hamónicos pesentes na coente eléctica. Quando existe a necessidade de considea o eal compotamento do núcleo do tansfomado, então a coente eléctica de magnetização tem de se epesentada pelo seu valo instantâneo i o (t) i(t), que coesponde à adição de uma coente devida ao efeito das coentes de Foucault, com uma foma de onda não sinusoidal da coente eléctica magnetizante necessáia paa i (t) o i (t) a i m (t) Rnl

10 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 10 cia o fluxo sinusoidal ψ. Esta coente só pode esulta da aplicação de uma tensão sinusoidal, igual à foça electomotiz induzida no enolamento pimáio e(t), a uma bobina não linea. Resulta assim um cicuito eléctico equivalente não linea, com os paâmetos concentados definidos po expessões analíticas, do tipo : i ψ = k ψ α, e i cf = k cf e ß + i c. Com este modelo pede-se o inteesse, e a simplicidade, caacteísticos do cicuito eléctico equivalente quando utilizado na modelização de um fenómeno físico, envolvendo cicuitos elécticos. Existe, po isso, a necessidade de desenvolvimento de um modelo puamente computacional, que podeá te um caácte qualitativo, mas que, mesmo quando fo apenas quantitativo seá complicado e de difícil deteminação das expessões que definem os paâmetos. Os modelos apesentados tona-se-iam ainda mais complicados se fosse consideado compotamento não sinusoidal da tensão de alimentação de algumas edes elécticas, e, potanto do fluxo magnético. Nessa situação, o valo das pedas magnéticas, que dependem do valo da indução magnética, seia afectado pela amplitude dos hamónicos e pelo seu esfasamento, o que complicaia as espectivas expessões analíticas. Os cicuitos equivalentes apesentados podem se utilizados na análise do funcionamento dos tansfomadoes de medida, em egime tansitóio, desde que não se considee que o egime de funcionamento altea o valo da indução emanente, ou, na sua foma computacional, podem se integados nos pogamas de análise do egime tansitóio de sistemas elécticos. 3 Conclusão Devido às caacteísticas não lineaes das popiedades magnéticas dos mateiais feomagnéticos utilizados nos núcleos dos tansfomadoes a coente eléctica de magnetização necessáia à ciação e manutenção do fluxo magnético, é não sinusoidal e existem pedas magnéticas, po histeese e po coentes de Foucault. A consideação destas coentes elécticas não sinusoidais, e das pedas de enegia pemite o desenvolvimento de modelos do fenómeno de magnetização do núcleo do tansfomado, que epesentam integalmente as eais condições de magnetização. Abandonando consideações simplificativas usuais, sugem novos modelos, baseados em cicuitos elécticos equivalentes de paâmetos concentados, mas não lineaes, que podem epesenta os fenómenos pincipais. Sugem, também, modelos computacionais que apenas estabelecem elações ente expessões analíticas, de difícil deteminação Mas, as modenas condições de exploação dos sistemas elécticos, e o egime de funcionamento tansitóio de alguns tansfomadoes, impõem uma adopção citeiosa destes modelos. Refeências Bibliogáficas [1] E. E. Staff MI T; Magnetic Cicuits and Tansfomes, MIT Pess 1943 [2] L. F. Blume A. Boyajian G. Camilli; Tansfome Engineeing, John Wiley & Sons 1958 [3] Calos Casto Cavalho; Tansfomadoes, AEFEUP 1983 [4] CEI 05; Vocabulaie Electotechnique Intenationale Définitions Fondamentales, CEI 1954 [5] Manuel Vaz Guedes; Gandezas Peiódicas Não Sinusoidais, NEME 1992 [6] ANSI/IEEE C ; IEEE Standad Test Code fo Liquid Immesed Distibution, Powe, and Regulating Tansfomes and, IEEE 1987 [7] Manuel Vaz Guedes; Métodos Numéicos Paa Análise do Campo Magnético das Máquinas Elécticas, dissetação de doutoamento, FEUP 1983

11 A Coente Eléctica de Magnetização e A Fomação do Cicuito Equivalente 11 Apêndice Apoximação da Cuva i(ψ) de um Mateial Feomagnético Quando se considea a natueza não linea das popiedades de um mateial magnético, tona-se, fequentemente, necessáio conhece uma expessão algébica que epesente pecisamente aquela cuva caacteística. Existem váios tipos de expessões que pemitem apoxima a cuva de magnetização: expessões algébicas, ou tanscendentes, do tipo funções spline, [7]. Um tipo de expessões, de cómoda utilização na epesentação da elação i(ψ), são as expessões polinomiais completas, de teceia ou de quata odem, que apesentam a vantagem de podeem se facilmente difeenciadas ou integadas: i = a ψ. O citéio de apoximação utilizado pode se o que esulta da aplicação do método dos mínimos quadados. No entanto, na utilização da expessão polinomial completa veifica-se que existem alguns membos que têm paâmetos a com valoes numéicos muito pequenos. Po isso, na apoximação da cuva i(ψ) também se utiliza uma expessão polinomial eduzida, como: i = α ψ + ß ψ 2m+1 com m>1, { m=3, m=4, m=5} A deteminação dos paâmetos {α, ß} é feita com a utilização do método dos mínimos quadados. Petende-se minimiza a expessão do quadado dos esíduos, [i(ψ ) i ] 2 = F(α,ß) Difeenciando em odem aos paâmetos, esulta o sistema de equações, F α = 2 α ψ + β ψ 2m+1 i ψ = 0 F = 2 α ψ + β ψ 2m+1 i ψ 2m+1 = 0 β A este sistema de equações pode se dada a foma: 2 2m+1 ψ α + ψ β = i ψ 2m + 2 2m+2 ψ α + ψ 2 2m+1 β = i ψ Pogama MINQUA9 Defini constantes m, np Dimensiona as matizes i( ), psi( ), S( ), t( ), a( ) Le os np valoes de i( ) e psi( ) Anula os elementos de [S] e {t} Paa cada ponto ip até np S(1,1) = S(1,1) + psi(ip)*psi(ip) pk = psi(ip) (2*m+1) S(1,2) = S(1,2) + pk*psi(ip) S(2,2) = S(2,2) + pk*pk t(1) = t(1) + i(ip)*psi(ip) t(2) = t(2) + i(ip)*pk epeti S(2,1) = S(1,2) denom = S(1,1)*S(2,2) S(2,1)*S(1,2) Came!%* a(1) = (t(1)*s(2,2) t(2)*s(1,2))/denom alfa!%* a(2) = (S(1,1)*t(2) S(2,1) *t(1))/denom beta!%* Impimi a(1), a(2) Fim [S] {a} = {t} A solução deste sistema de equações pode se, apidamente, deteminada ecoendo à ega de Came. Com o auxílio de um pequeno pogama de computado, onde se considea que a amostagem foi feita em np pontos, detemina-se os valoes dos paâmetos {α, ß} que ficaão no vecto {a}. MVG.92