Fenômenos de Transporte I. Aula 10. Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

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1 Fenômenos de Tanspote I Aula Pof. D. Gilbeto Gacia Cotez

2 8. Escoamento inteno iscoso e incompessíel 8. Intodução Os escoamentos completamente limitados po supefícies sólidas são denominados intenos. Ex: tubos, dutos, bocais, difusoes, contações e expansões súbitas, álulas e acessóios. Os escoamentos intenos podem se laminaes ou tubulentos. Como foi discutido na aula 5, o egime de escoamento em um tubo é deteminado pelo númeo de eynolds.

3 A Figua a segui ilusta o escoamento lamina na egião de entada de um tubo cicula. O escoamento tem a elocidade unifome U o na entada do tubo. Paa escoamento lamina e tubulento, o compimento de entada, L, é uma função do númeo de eynolds, ( lamina ) L D ρd,6 μ ( ) ( tubulemto ) L D ρd, μ /6 ( )

4 Escoamento lamina em um tubo pode se espeado apenas paa númeos de eynolds menoes que. Assim, o compimento de entada paa escoamento lamina em tubos pode se tão gande quanto,6 L,6 ed D 8D ( ) ou apoximadamente ezes o diâmeto do tubo. Se o escoamento fo tubulento, a mistua intensa ente camadas de fluido causa o cescimento mais ápido da camada limite. Expeiências mostam que o pefil de elocidades médias tona-se plenamente desenolido paa distâncias ente 5 e diâmetos de tubo a pati da entada.

5 8. Escoamento lamina completamente desenolido em um tubo hoizontal. Paa escoamento laminaes inteiamente desenolido no inteio de um tubo hoizontal, o fluxo esultante de quantidade de moimento ataés da supefície de contole é zeo. A componente x da equação da quantidade de moimento é: F Sx F Bx udv ud. t Consideações: Tubo hoizontal, F Bx = Escoamento pemanente Escoamento incompessíel Escoamento inteiamente desenolido VC SC A ( ) F Sx ( ) 5

6 Elemento cilíndico de fluido L x P P x L P Fluxo F Sx P P L P x x P L ( ) 6

7 x x d d x P L P L d d P L P d L o lei de Newton da iscosidade constante d P C L ( ) 7

8 Condição de contono: Paa =, = P L Substituindo a equação em, temos: C P C ( ) L P L P L P L P L ( ) 8

9 Distibuição da tensão de cisalhamento A tensão de cisalhamento é dado po: d P x ( 5 ) d L Vazão em olume no tubo cicula em função da queda de pessão A.dA d ΔP L d P 8L ( 6 ) PD 8L ( 7 ) A equação 7 é utilizada paa escoamento lamina (num tubo hoizontal) e é conhecida como sendo de Hagen-Poiseuille (89). A equação 7 é conhecida como Lei de Hagen-Poiseuille. Obs.: Gotthilf Heinich Ludwig Hagen (89-Alemanha) Jean Léonad Maie Poiseuille (88-Fança) 9

10 Velocidade média A ( 8 ) ΔP 8L ( 6 ) P 8L Substituindo a equação 7 na 8, fica: P 8L ( 9 ) A PD 8L D PD L ( )

11 Velocidade máxima Paa detemina o ponto de elocidade máxima, fazemos igual a zeo e esolemos paa o alo coespondente de na equação. d d P L ( ) d d P L d d P L

12 máx L 8 P L P máx ( ) Condição de contono: Paa =, d/d =, a elocidade é máxima no cento do tubo, potanto temos: L P máx L P máx ( )

13 O pefil de elocidade (equação ) pode se escito em temos da elocidade máxima (na linha de cento), como: P L V máx máx ( ) A equação () epesenta o pefil paabólico paa escoamento inteiamente desenolido, em egime lamina, num tubo hoizontal.

14 Exemplo : Um iscosímeto simples e peciso pode se feito com um tubo capila. Se a azão em olume e a queda de pessão foem medidas, e a geometia do tubo fo conhecida, a iscosidade de um fluido newtoniano podeá se calculada a pati da equação 7. Um teste de um ceto líquido num iscosímeto capila foneceu dados: Vazão em olume: 88 mm /s Compimento do tubo: m Diâmeto do tubo:,5 mm ueda de pessão:, MPa

15 Consideações: - Escoamento lamina. - Escoamento pemanente. - Escoamento incompessíel. - Escoamento completamente desenolido. 5- Tubo hoizontal. PD 8L PD 8L x,x 8 ( Equação 7 ) 6 N m x,5 s mm x 88mm x m m x mm,7x N.s/m 5

16 Exemplo : O pefil de elocidade paa escoamento completamente desenolido ente placas paalelas estacionáias é dado po onde a é uma constante, h é o espaçamento ente as placas e y é a distância medida a pati da linha de cento da folga. Desenola a azão. Solução: / máx (y) h a y y x h 6

17 A elocidade é máxima quando d/dy = paa y = : d ay dy () h a d dy Pela definição de elocidade média, temos: máx ; y h a A da A wh A wdy da (y) h a y 7

18 wh a h ah 6 h/ h/ h 8 h a y wdy h h 8 a h y h h y a h h/ h/ h h máx ah 6 h a máx 8

19 Exemplo : Um óleo iscoso escoa em egime pemanente ente duas placas paalelas estacionáias. O escoamento é lamina e completamente desenolido. O espaçamento ente as placas é h = 5 mm. A iscosidade do óleo é,5 N.s/m e o gadiente de pessão é - N/m /m. Detemine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobe a placa supeio e a azão em olume ataés do canal po meto de lagua. h P 8 x y h y x h = 5mm 9

20 Solução: yx d dy h P 8 x y h d dy yx h P 8 x y P x 8y h y P x P y x Paa a placa supeio, y = h/ yx yx P y x,5n/m h (paa a P x dieita),5m N/m m

21 b A h/ y h h da y y b h/ h P 8 x h h/ h/ h P 8 x h/ h P 8 x h P 8 x y h h P d h bdy y h y h bdy y d h 8 x d

22 b h P 8 x h P x b,5 m m N,5N.s m b,8x 5 m /s/m

23 8. Escoamento lamina completamente desenolido em um tubo inclinado. O ajuste necessáio paa lea em consideação a inclinação do tubo no modelo de escoamento lamina paa tubo hoizontal é bastante simples pois basta inclui o efeito gaitacional da foça peso (W) na dieção x (W x ).

24 Elemento cilíndico de fluido x L P P P W W x W x = Mgsen = Vgsen = Vsen = Lsen P P P γ Lsenθ L x x P γsenθ L ( )

25 x x d d P L x P L P L d d P γsenθ γsenθ γsenθ d γsenθ L o lei de Newton da iscosidade constante d P senθ γ C L ( ) 5

26 Condição de contono: Paa =, = P L γsenθ P C senθ γ L C ( ) Substituindo a equação em, temos: P L γsenθ P L P L γsenθ γsenθ P γ senθ L ( ) 6

27 Distibuição da tensão de cisalhamento A tensão de cisalhamento é dado po: d P x γ senθ ( 5 ) d L Vazão em olume no tubo cicula em função da queda de pessão A.dA d ΔP L γ senθ d P γ Lsenθ 8L ( 6 ) P γ Lsenθ 8L D ( 7 ) 7

28 Velocidade média A ( 8 ) 8 ΔP L γ senθ ( 6 ) P γ Lsenθ 8L P γ Lsenθ 8L ( 9 ) Substituindo a equação 7 na 8, fica: A P γ Lsenθ 8L D D P γ Lsenθ L D ( ) 8

29 Velocidade máxima Paa detemina o ponto de elocidade máxima, fazemos igual a zeo e esolemos paa o alo coespondente de na equação. d d P L γ senθ ( ) d d P γ senθ L d d P L γ senθ 9

30 Condição de contono: Paa =, d/d =, a elocidade é máxima no cento do tubo, potanto temos: máx P L γ senθ máx P L γ senθ ( ) máx P L γ senθ P γ Lsenθ 8L máx ( )

31 O pefil de elocidade (equação ) pode se escito em temos da elocidade máxima (na linha de cento), como: P γ senθ L V máx máx ( )

32 Exemplo : Um óleo (iscosidade dinâmica =, N.s/m e massa específica = 9 kg/m ) escoa num tubo que apesenta diâmeto inteno, D = mm. a) ual é a queda de pessão, P = P P, necessáia paa poduzi uma azão de =,x -5 m /s se o tubo fo hoizontal com L = m? b) ual dee se a inclinação do tubo,, paa que o óleo escoe com a mesma azão que na pate (a), mas com P = P? c) Paa as condições da pate (b), detemine a pessão em L = 5 m, sabendo que P = kpa. D,67 m/s,x,m m /s 5 e e ρd μ,87 9kg/m,67m/s,m (Lamina),kg/m.s

33 a) Como o escoamento é lamina e o tubo está na hoizontal, podemos calcula a queda de pessão, P, ataés da equação de Hagen-Poiseuille. PD 8L P 8μL πd 8 5,kg/m.s m x m /s,m P N/m, kpa

34 b) Paa P = e utilizando a equação 6 paa tubos inclinados, temos: P γ Lsenθ 8L D senθ 8 γd 8 ρgd 8 5,kg/m.s x m /s 9kg/m 9,8m/s,m senθ, θ,

35 c) P = P P e utilizando a equação 6 paa tubos inclinados, paa P = kpa e L = 5m, temos: P γ Lsenθ 8L 8L P γ Lsenθ D 8L P P γ Lsenθ D 8L P P γ Lsenθ D N 8,kg/m.s 5m x m /s kg m P x 9 9,8 5m sen, m,m m s 5 D N ,5 m P 79,7 kpa 5

36 6 Exemplo 5: Paa escoamento lamina completamente desenolido em um tubo hoizontal, detemine a distância adial a pati do eixo do tubo na qual a elocidade iguala-se à elocidade média. Paa fluxo lamina completamente desenolido em tubo hoizontal, temos: A elocidade média é dado pela seguinte equação: x P A d da A A

37 A A A da d P x d P x d P x P 8 x P x 7

38 Igualando a elocidade do fluido com a elocidade média com, temos: P x P 8 x,77 8

39 Exemplo 6: Água ( = 6, lbf/ft ) escoa, de modo plenamente desenolido, num tubo com ft de diâmeto. A tensão de cisalhamento na paede é,85 lbf/in. Detemine o gadiente de pessão,, onde x é a dieção do escoamento, se o tubo fo (a) hoizontal, (b) etical com escoamento ascendente e (c) etical com escoamento descendente. a) Tubo hoizontal, = P x P L P L P x P x x P L x D P x D x P 7, lbf/ft γsenθ (equação) γsenθ entada γsen P saída,85lbf/ft ft = 9

40 b) Tubo etical, = 9, com escoamento ascendente. P L P L P x P x x P L x D P x D x γsenθ γsenθ P 69,8 lbf/ft entada γsen9 P saída,85lbf/ft ft 6, lbf/ft = 9

41 c) Tubo etical, = -9, com escoamento descendente. P L P L P x P x x P L x D P x D x P 55lbf/ft γsenθ γsenθ entada γsen( 9 P saída ),85lbf/ft ft 6, lbf/ft = -9

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