ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA

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1 ELECTOMAGNETISMO E ÓPTICA (vesão de 5//4) NOTA: Estes poblemas, e espectivas soluções, foam cedidos pelo Pof. Filipe Mendes, do Dep. Física do IST.. Dois potões estão sepaados de uma distância d, como é mostado na figua. + d/ d/ + a) Qual é a diecção do campo eléctico em qualque ponto da ecta desenhada na figua a taço inteompido? b) Calcule o potencial eléctico sobe a linha a cheio. c) Esboce as linhas de campo eléctico e as equipotenciais.. Um potão e um electão estão sepaados de uma distância d, como é mostado na figua. A + d/ d/ _ B a) Qual é a diecção do campo eléctico em qualque ponto da ecta desenhada na figua a taço inteompido? b) Qual o valo do potencial na ecta a taço inteompido? c) Qual o tabalho necessáio paa desloca uma caga q ente os pontos A e B? d) Esboce as linhas de campo eléctico e as equipotenciais. 3. Considee um ao cicula de aio que está lineamente caegado com uma densidade de caga λ (C.m - ). a) Detemine, a pati da lei de Coulomb, a epessão do campo eléctico num qualque ponto da ecta pependicula ao plano definido pelo ao e que passa no seu cento. b) Calcule a epessão do potencial eléctico num qualque ponto da mesma ecta e calcule a epessão do campo eléctico a pati da epessão do potencial.

2 4. Considee um disco de aio que se enconta unifomemente electizado em supefície, com uma densidade de caga σ (C.m - ). a) Utilize o esultado do poblema 3 paa calcula as epessões do potencial e do campo eléctico num ponto qualque do eio pependicula ao disco que passa pelo seu cento. b) Utilize o esultado da alínea anteio paa enconta a epessão do campo eléctico ciado po um plano infinito unifomemente electizado em supefície, com uma densidade de caga σ. Comente o que obtém utilizando a mesma estatégia paa o potencial. 5. Considee um fio de compimento l que está caegado com uma densidade de caga λ (C.m - ). y -a o b a) Detemine a epessão do campo eléctico num ponto a uma distância y do fio e cuja linha que o une pependiculamente ao fio divide este último em duas pates de compimento a e b (a+b= l). b) Utilize o esultado da alínea anteio paa enconta a epessão do campo eléctico ciado po um fio infinito caegado com uma densidade de caga λ. 6. Uma baa de compimento a=3 cm e densidade linea de caga λ= C.m - é colocada alinhada com o eio. y -a o A d a) Detemine a epessão do campo eléctico num ponto A localizado ao longo do semi-eio positivo. b) Obtenha a epessão apoimada do campo eléctico paa pontos do semi-eio muito afastados da baa ( muito gande). Comente a epessão obtida.

3 7. Póimo da baa caegada do poblema 6 é colocada uma baa isolante de compimento l= cm e de constante dieléctica ε, de acodo com a figua, em que d=4 cm. A baa isolante possui duas cagas pontuais pesas nas etemidades. y Q Q -a o d d+l a) Sabendo que Q = µc, detemine qual teá que se o valo de Q paa que a baa pemaneça imóvel depois de colocada na posição indicada. b) O movimento da baa isolante podeia se estudado consideando todas as foças aplicadas no seu cento de massa e toda a massa do sistema aí concentada. Atendendo ao esultado da alínea anteio, indique justificando se faz sentido defini um cento de cagas. 8. Um átomo de hidogénio liga-se a um átomo de oigénio compotando-se o conjunto OH como um dipolo eléctico, com uma caga +q no hidogénio e uma caga -q no oigénio, em que q =,36e. H H 4 d O a) Calcule o momento dipola do conjunto OH fomado pelos átomos, sabendo que a distância ente os dois núcleos é d=,97 Å. b) Uma molécula de água pode se descita po duas ligações OH fazendo um ângulo de 4. Calcule o momento dipola da molécula da água. c) Detemine o campo eléctico ciado pela molécula a meto de distância, segundo a diecção de p. 9. O campo eléctico numa vasta egião da atmosfea teeste é vetical e diigido paa baio, sendo o seu valo 6 N.C - a 3 m de altitude e N.C - a m. Detemine a caga total eistente num cubo de m de lado, localizado ente m e 3 m de altitude. Despeze a cuvatua da Tea.. Considee um fio infinito caegado unifomemente com uma densidade de caga λ. Detemine, utilizando a lei de Gauss, o campo eléctico a uma distância do fio. 3

4 . Considee um plano infinito caegado unifomemente com uma densidade de caga σ. Detemine, utilizando a lei de Gauss, o campo eléctico a uma distância do plano.. Considee uma esfea condutoa de aio, caegada unifomemente em supefície com uma densidade de caga σ. a) Obtenha a epessão do campo eléctico nas difeentes egiões do espaço (< e >). b) Calcule a enegia necessáia paa taze uma caga +q desde um ponto em que V= até ao cento a esfea. 3. Utilizando a lei de Gauss e a lei das malhas ( Ñ E dl = um conduto: uu ) veifique que junto à supefície de a) a componente paalela do campo é nula ( EP = ); b) a componente pependicula do campo é E σ =. ε 4. Um conduto esféico oco de aios inteio e eteio espectivamente,5 m e,7m, tem no seu inteio um outo conduto esféico maciço de aio, m. As duas esfeas estão inicialmente ligadas po um fio conduto. Coloca-se uma caga positiva de -3 C na esfea eteio e, passado algum tempo, etia-se o fio conduto que unia as duas esfeas. a) Qual a difeença de potencial ente as duas esfeas? b) Qual a distibuição de caga nas duas esfeas após se te etiado o fio? Justifique. c) O esultado da alínea anteio modificava-se se inicialmente se tivesse caegado a esfea inteio em vez da eteio? Justifique. 5. O Campo eléctico máimo que o a supota sem se ioniza e sem que haja disupção é 3 6 V.m -. Detemine o aio mínimo de uma esfea metálica que possa esta ao potencial de milhão de volts sem que haja disupção do a. 6. Considee um cabo coaial constituído po um conduto cilíndico infinito de aio e uma cooa cilíndica condutoa, também infinita, de aios inteno e eteno espectivamente e 3 ( 3 > > ). Foi ligada ao cabo uma bateia que caegou o cabo inteio com uma densidade de caga λ (C.m - ), a) Detemine o campo eléctico nas váias egiões do espaço. Esboce o gáfico de E(). b) Calcule a difeença de potencial ente os cabos e desenhe as linhas equipotenciais. c) Calcule a difeença de potencial ente o conduto eteio do cabo e um ponto a uma distância adial 4 do cento do cabo ( 4 > 3 ) 4

5 7. Uma nuvem, num dia de tempestade, pode se epesentada po um dipolo eléctico com uma caga de Q= C (±). A pate infeio da nuvem está a uma altua de h =5 km acima do solo e a pate supeio a h =8 km acima do solo. O solo está molhado e pode-se considea um bom conduto. z +Q -Q h h y a) Detemine o potencial eléctico paa h >z>. b) Detemine o campo eléctico na vizinhança da Tea. c) Detemine a densidade de caga induzida na Tea. 8. Utilizando a lei de Gauss genealizada e a lei das malhas ( Ñ E dl = supefície de sepaação ente dois mateiais de constantes dielécticas ε e ε : uu ) veifique que junto à a) a componente do campo paalela à supefície é contínua ( E = E ); P P b) a componente do campo pependicula à supefície não é contínua se eisti uma densidade de caga σ ( ε E ε E = σ). 9. Considee uma esfea condutoa de aio, evestida com um mateial isolante, de constante dieléctica elativa ε = 5, po foma a obte uma esfea de aio (como a bola de um ato). Duante o pocesso de fabico a supefície inteio do isolante ganhou uma caga electostática Q. a) Calcule o campo D em função da distância ao cento da esfea,. b) Calcule o campo E em função da distância ao cento da esfea,. c) epesente gaficamente D e E. d) Calcule as cagas de polaização nas supefícies do isolante. 5

6 . A constante dieléctica de um meio infinito depende da distância adial,, a um cento de simetia segundo a epessão ε=ε (+a/), com a>. Uma esfea condutoa de aio e caga Q é colocada naquele meio e centada em =. a) Detemine o campo eléctico em função de. b) Detemine o potencial eléctico em função de. c) Detemine o vecto de polaização, P, em função de. d) Detemine as densidades de caga de polaização e veifique que Q TOTAL =.. Considee um condensado esféico constituído po dois condutoes concênticos. O conduto inteio tem um aio e o conduto eteio, com a foma de uma cooa esféica, tem aios e 3. Antes de se coloca o conduto eteio, que se enconta neuto, caegou-se o conduto inteio com uma caga Q. a) Calcule a capacidade do condensado, C. b) Calcule o potencial do conduto eteio em elação à tea. c) efaça a alínea a) estando o conduto eteio à tea. d) Qual o campo eléctico no eteio nesta nova situação?. Os iões no inteio e no eteio de um neuónio estão sepaados po uma membana de -8 m de espessua, que se compota como um isolante com uma constante dieléctica ε=8ε. a) Qual é a capacidade de cm desse neuónio? b) Sabendo que o campo eléctico devido aos iões que se acumulam à supefície da membana neuonal é da odem 6 N.C -, calcule a difeença de potencial a que está sujeito o neuónio. c) Detemine a caga po unidade de supefície da membana neuonal. 3. Considee um condensado plano de amaduas de áea A e sepaadas po tês camadas de mateial dieléctico de espessua d/3 e de constantes dielécticas ε =3ε, ε =5ε e ε 3 =7ε. O condensado está ligado a uma fonte de tensão V. a) Detemine o campo eléctico no espaço ente as placas. b) Detemine a capacidade do condensado. c) Detemine a caga de polaização nas supefícies dos dielécticos. 6

7 4. Um condensado esféico é composto po um conduto de aio envolvido po um conduto com a foma de cooa esféica de aios 3 e 4. O espaço ente os condutoes está peenchido po dois mateiais dielécticos lineaes e homogéneos de constantes dielécticas ε a e ε b (ve figua). O condensado está ligado a uma fonte de tensão que caega o conduto inteio com uma caga Q. 3 4 εa ε b V a) Calcule o campo eléctico no espaço ente os condutoes ( << 3 ), em função da tensão aplicada, V. b) Calcule a capacidade do condensado. 5. Um condensado plano é constituído po duas placas paalelas de lado l sepaadas de uma distância d. O espaço ente as placas está peenchido po dois dielécticos lineaes e homogéneos de constantes dielécticas ε, ε.o condensado está ligado a uma fonte de tensão, de acodo com a figua. d l/ ε l/ ε V a) Detemine o campo eléctico no espaço ente as placas. b) Detemine a distibuição de caga na supefície das amaduas. c) Detemine a distibuição de caga de polaização na supefície dos dielécticos. d) Calcule a capacidade do condensado. 7

8 6. Um cabo coaial é constituído po um conduto cilíndico inteio de aio, e um outo conduto que tem a foma de uma cooa cilíndica, de aios e 3, sendo o espaço que sepaa os condutoes um mateial de constante dieléctica ε. O compimento do cabo, l, é muito maio que 3. a) Calcule a capacidade po unidade de compimento do cabo. b) Calcule as distibuições de caga de polaização po unidade de compimento no caso de liga o cabo a uma fonte de tensão V. 7. Considee uma gota de chuva de foma esféica, com um aio = mm e uma caga Q= -9 C unifomemente distibuída pela sua supefície. a) Calcule o potencial eléctico a que se enconta a gota e a sua enegia potencial electostática. b) Suponha que em deteminado momento a gota se divide em duas gotas iguais, igualmente esféicas e que estas se afastam muito. Aveigúe se esta nova situação coesponde a um ganho ou uma peda de enegia potencial electostática. 8. Uma placa condutoa de lado l é caegada com uma caga Q. a) Detemine o campo eléctico num ponto a uma distância d muito póimo da placa, ou seja, na apoimação do campo geado po uma supefície de áea infinita. b) Uma segunda placa condutoa, também de lado l, e caegada com uma caga Q, é colocada a uma distância d da pimeia, po foma a foma um condensado plano. Qual a foça eecida sobe esta segunda placa. 9. Um condensado plano com amaduas quadadas de lado l e distanciadas de d (l>>d) é caegado com uma caga Q po uma bateia. O espaço ente as amaduas enconta-se peenchido po a. a) Detemine a difeença de potencial ente as amaduas. b) Detemine a capacidade do condensado. c) Detemine a enegia amazenada no condensado. d) Detemine a foça aplicada a cada uma das amaduas. 8

9 3. Um condensado plano com amaduas quadadas de lado l e distanciadas de d (l>>d) está ligado a uma fonte de tensão V. O espaço ente as amaduas enconta-se pacialmente peenchido um mateial de constante dieléctica ε, de acodo com a figua. O mateial pode move-se segundo a diecção. l ε ε d a) Detemine a capacidade do condensado em função da posição do dieléctico. b) Detemine a enegia amazenada pelo condensado em função da posição do dieléctico. Esboce a cuva da enegia em função da posição do dieléctico. c) Detemine a foça eecida sobe o dieléctico. 3. Um cabo coaial é constituído po um conduto cilíndico inteio de aio, e um outo conduto de aio e de espessua despezável (película metálica fleíve). O espaço que sepaa os condutoes um isolante de constante dieléctica ε. O cabo tem um compimento l muito maio que 3 e está ligado a uma fonte de tensão V. a) Calcule a enegia electostática amazenada no cabo po unidade de compimento. b) Calcule a pessão eecida pelo campo eléctico sobe o conduto eteio. 3. Um cabo de cobe com um compimento l = km e uma secção S= -4 m tem aplicado um campo eléctico com um módulo E=,5V.m -. A condutividade do cobe é σ=5,8 7 Ω -.m -. a) Qual a densidade de coente no cabo? b) Qual a difeença de potencial ente o início e o fim do cabo? c) Que coente tanspota o cabo? d) Qual a potência dissipada pelo cabo? 33. Um disco de espessua l =,5 cm e aio =5 cm está caegado unifomemente com uma densidade de caga = -6 C.m -3. O disco oda com uma fequência angula ω=5 pm. a) Calcule a densidade de coente que atavessa uma secção do disco. b) Calcule a coente que atavessa uma secção do disco. 34. Num fio de cobe com mm de diâmeto passa uma coente I=6 A. Qual a velocidade de 9

10 aastamento dos electões? [Nota: considee que eiste electão live po átomo, sendo a densidade do cobe =8,95 g.cm -3 e o númeo de massa A=63,5 g.mole - ] 35. Um páa-aios temina num conduto esféico meio enteado no solo. Uma pessoa diige-se na sua diecção quando este ecebe uma descaga de A poveniente de uma tovoada. Sabendo que quando se dá a descaga a pessoa está a da um passo, estando o seu pé da fente a 5 metos do páa-aios e o seu pé de tás a 5 metos do páa-aios, calcule a difeença de potencial ente os seus pés (σ solo = - Ω -.m - ). 36. Num cabo coaial de aios e os condutoes estão sepaados po um mateial de condutividade σ. Sabendo que o cabo tem um compimento l (l>> )está ligado a uma fonte de tensão V, detemine: a) A densidade de coente ente os condutoes. b) A coente eléctica que atavessa adialmente o cabo. c) A esistência eléctica do cabo à passagem de coente adial. d) A potência dissipada pelo cabo devido essa coente. 37. Utilizando a lei dos nós ( Ò Jnds = linhas do campo eléctico. ) veifique que os mateiais condutoes conduzem as 38. Dois fios paalelos muito compidos tanspotam coentes de A com o mesmo sentido e estão sepaados de mm. Detemine a foça que actua em m de cada um dos fios. 39. Considee uma espia cicula de aio situada no plano oy, centada na oigem e pecoida po uma coente eléctica estacionáia de intensidade I. Detemine o campo magnético B num ponto do eio zz, à distância genéica Z do plano da espia. 4. Detemine, utilizando a lei de Biot-Savat, o campo magnético ciado po um fio infinito pecoido po uma coente estacionáia I, a uma distância do fio. 4. Um disco isolante de aio, que está unifomemente caegado com uma densidade de caga supeficial σ, enconta-se a oda com uma velocidade angula ω. Calcule o campo magnético no cento do disco.

11 4. Um feie de electões inicialmente em epouso é aceleado numa zona po aplicação de uma difeença de potencial de kv. Seguidamente, após se enconta numa zona I, o feie é submetido à acção de um campo magnético pependicula à sua velocidade. a) Calcule a velocidade do feie de electões quando sai da zona. b) Obtenha a intensidade do campo magnético aplicado na zona sabendo que o feie passa a te uma tajectóia cicula de aio = cm. c) Calcule a intensidade da coente eléctica Ι ciada pelo movimento cicula do feie electónico na zona. d) Utilize a lei de Biot-Savat paa obte a intensidade do campo magnético ciado pela coente I, no cento da tajectóia do feie electónico. Podeá este campo influencia significativamente a sua tajectóia? 43. Num ciclotão (aceleado de patículas), patículas caegadas são sujeitas a um campo magnético, B, pependicula à sua velocidade. Devido a este campo a tajectóia das patículas seia cicula. No entanto, num ciclotão, ao fim de cada semi-volta as patículas são sujeitas uma difeença de potencial devida à aplicação de uma tensão sinusoidal dada po v(t)=v sen(ω.t) (ve figua). Deste modo, a tajectóia das mesmas deia de se cicula, paa passa a consisti em toços semiciculaes de aio cada vez maio. Vamos "dimensiona" um ciclotão que acelea patículas alfa (núcleos dos átomos de hélio- potões e neutões). B v B a) Paa que haja sinconia ente o efeito da aceleação do campo eléctico e a otação das patículas, qual deve se a fequência da tensão sinusoidal em função de B e da caga e da massa das patículas, q e m? b) Suponha que a fequência da tensão sinusoidal é khz. Qual deve se então, de acodo com a alínea a), o valo do campo magnético aplicado?

12 c) As patículas não ganham enegia devido à aplicação do campo magnético (é vedade? poquê?), poém, o campo eléctico fonece-lhes enegia. Qual é, em função da amplitude V da tensão aplicada, a enegia ganha em cada volta completa? d) Suponha que o aio da óbita de etacção (aio da última volta) é um meto. Qual a enegia cinética com que saem do ciclotão as patículas alfa? e) Suponha que as patículas pecoem voltas no inteio do ciclotão. A pati das alíneas c) e d) calcule a difeença de potencial máima V que é aplicada às patículas alfa. 44. Uma coente mainha hoizontal tem uma velocidade v= m.s - numa zona em que a componente vetical do campo magnético teeste tem uma intensidade B v =3,5-5 T. Sabendo que a condutividade eléctica da água do ma é σ=,4 Ω -.cm -,detemine a densidade de coente pependicula à diecção da coente maítima. 45. Uma baa metálica de compimento l= m move-se com uma velocidade v u = m.s - numa zona onde eiste, pependiculamente à sua velocidade, um campo magnético B = mt. u z B l v y z a) Detemine o módulo e o sentido da foça magnética que actua nos electões de condução da baa. b) Calcule a difeença de potencial ente as etemidades da baa após se te atingido o equilíbio. c) Se os etemos da baa fossem ligados com um conduto de esistência Ω, solidáio com a baa, qual seia a coente no cicuito? 46. Numa epeiência de efeito de Hall, uma coente de intensidade I= A pecoe um conduto de secção quadada com l=,5 cm de lado. Um campo magnético tansvesal ao conduto de intensidade B= T induz uma tensão V=,5-4 V. Supondo que os potadoes de caga são electões, calcule a densidade destes no conduto.

13 47. Um moto de coente contínua é constituído po um cicuito quadado de lado l, pecoido po uma coente I, na pesença de um campo magnético unifome, B. A nomal ao cicuito foma um ângulo de 9 com a diecção do campo magnético. a) Calcule a foça eecida em cada um dos lados do cicuito. b) Qual a esultante das foças que actuam no cicuito? c) Qual o momento das foças, N, que actuam o cicuito elativamente ao seu cento? d) Define-se o momento do dipolo magnético como m = I An, sendo A a áea do cicuito. Moste que podia esceve o momento das foças aplicadas ao cicuito como N = m B. 48. Detemine, utilizando a lei de Ampèe, o campo magnético ciado po um fio infinito pecoido po uma coente estacionáia I, a uma distância do fio. 49. Um cabo coaial tem um conduto cental de aio a sepaado po um mateial isolante de um tubo conduto concêntico de aios inteno e eteno b e c, espectivamente. Os dois condutoes tanspotam coente elécticas com sentidos opostos, unifomemente distibuídas e paalelas aos espectivos eios. A intensidade da coente em cada um dos condutoes é I. Calcule o campo magnético nas seguintes egiões: a) Inteio do conduto cental (<a). b) Espaço ente os dois condutoes (a<<b). c) Inteio do conduto eteio (b<<c). d) Eteio do cabo coaial (>c). 5. Um enolamento eléctico tem uma foma tooidal em que a cicunfeência que passa pelo cento das espias tem um aio. O enolamento tem N espias e é pecoido po uma coente estacionáia I: a) calcule o campo magnético na cicunfeência que passa pelo cento das espias; b) veifique que se utiliza a densidade de espias, n, efeida ao compimento da efeida cicunfeência, a epessão do campo não depende de, e diga qual seá o campo magnético ciado po uma bobina infinita. 5. Uma bobina muito compida (L>>) tem uma densidade de espias n e é pecoida po uma coente I. Calcule o campo magnético no seu inteio. 3

14 5. Um cilindo com um compimento L= cm, muito esteito e feito de mateial com uma susceptibilidade magnética χ m =, constitui o núcleo de um enolamento com 5 espias que são pecoidas po uma coente I= A. Detemine: a) a pemeabilidade magnética µ do mateial; b) a intensidade do campo magnético, H, a magnetização poduzida no mateial, M, e o campo magnético B, no inteio do cilindo; c) as coentes de magnetização no mateial. 53. Um conduto de cobe, de secção cicula, compido e ectilíneo, de aio a, está cobeto com uma camada de feo de aio eteio b (b=a+espessua). Este conduto compósito é pecoido po uma intensidade de coente I. Sendo a pemeabilidade magnética do cobe µ e a do feo µ, e sendo as espectivas condutividades elécticas σ Cu e σ Fe, detemine: a) a densidade de coente eistente no Cobe e no Feo; b) a intensidade do campo magnético, H, a magnetização poduzida no mateial, M, e o campo magnético B, em todas as egiões. 54. Utilize as condições de fonteia do campo magnético na ausência de coentes paa veifica que os mateiais feomagnéticos se compotam como condutoes das linhas de campo (sugestão: utilize a apoimação µ µ ). 55. Nas cabeças de gavação magnéticas os campos são ciados po coentes pequenas e, paa que sejam intensos, são ciados em entefeos (abetuas em núcleos de mateiais feomagnéticos). Um caso simples de um entefeo está epesentado na figua que se segue, em que um núcleo de um mateial feomagnético com a foma de um anel cilíndico de aio médio =cm tem um enolamento de N= espias pecoidas po uma coente I=mA. Nesse núcleo foi abeto um espaço de lagua d= µm. I N d Calcule o campo magnético no entefeo, B a, na linha de campo média (=), assumindo que o mateial feomagnético apesenta paa estas condições uma pemeabilidade magnética µ= 5 µ. 4

15 56. Um cicuito de áea A e esistência eléctica enconta-se numa zona do espaço em que o campo magnético lhe é pependicula e pode se consideado unifome. O campo tem uma t vaiação tempoal descita po B = B e α. Detemine a intensidade da coente eléctica que pecoe o cicuito. 57. Um cicuito quadado de esistência = Ω e de lado l=, m oda vezes po segundo em tono de um eio hoizontal que o divide ao meio. Eiste no local em que se enconta o cicuito um campo magnético unifome, de intensidade B= T e pependicula à posição ocupada pelo cicuito quando t= s. a) Detemine, em função do tempo, o fluo do campo atavés da espia. b) Detemine a coente induzida. c) Detemine a enegia dissipada na espia, po efeito de Joule, ao fim de minutos. 58. Considee dois cais condutoes, paalelos ente si, que se encontam a uma distância d. Os cais estão unidos, numa das etemidades, po um conduto. O sistema cais-conduto tem uma esistência equivalente. Uma baa condutoa de esistência despezável desliza apoiada nos cais com uma velocidade constante v = vu, sem atito, sob acção de uma foça eteio. Eiste um campo B = Bu unifome em toda a egião ocupada pelo sistema. z y B v d z a) Detemine a intensidade e sentido da coente induzida no cicuito. b) Detemine a potência dissipada po efeito de Joule. c) Detemine a foça que o campo B eece sobe a baa móvel. d) Detemine a potência coespondente ao tabalho da foça aplicada sobe a baa paa a movimenta. 5

16 59. Uma bobina muito compida, com um diâmeto D= cm e uma densidade de espias n= espias.m -, é pecoida po uma coente I. Em tono do seu eio vetical eiste um anel de um mateial conduto com um diâmeto D =4 cm. a) Calcule a foça electomotiz induzida no anel quando a coente na bobina vaia de I = A paa I = A numa décima de segundo. b) Se o anel tive uma secção S= cm e uma condutividade σ=6 8 Ω -.m -, qual a coente que o pecoe? c) Qual a esposta à alínea b) se o anel tive m de diâmeto? É impotante que os eios estejam coincidentes? 6. Um ampeímeto clip-on é um dispositivo paa medi coentes altenadas em cabos sem te que cota o cabo. Consiste num enolamento em tono de um núcleo metálico com a foma de um anel cilíndico, que é colocado de modo a que a nomal que passa pelo cento do cículo definido po essa cicunfeência esteja alinhada com o fio. O dispositivo tem um voltímeto que mede a difeença de potencial aos teminais do enolamento. Considee um destes dispositivos em que os aios que definem o anel são = cm e = cm, em que a espessua do anel é d= cm e em que o enolamento tem 5 espias. V fio d a) Detemine a epessão do campo magnético poduzido pelo fio em função da coente que o pecoe. b) Detemine a epessão do fluo do campo magnético ciado pelo fio no enolamento. c) Calcule a difeença de potencial medida pelo voltímeto sabendo que a coente que passa pelo fio é I=6cos(π.t) A e que o núcleo metálico tem uma pemeabilidade magnética elativa µ =. 6

17 6. Na figua que se segue está epesentado um tansfomado de núcleo feomagnético, cicula e de secção S. Os enolamentos pimáio e secundáio são atavessados po coentes I, I e possuem N e N espias, espectivamente. I I N N Calcule a azão ente as tensões no cicuito pimáio e no cicuito secundáio do tansfomado. [Sugestão: Detemine as foças electomotizes induzidas em cada um dos enolamentos, e e e, em função do fluo do campo magnético que atavessa uma secção do núcleo, φ, e do númeo espectivo de espias, N e N ] 6. Detemine os coeficientes de auto-indução etenos po unidade de compimento dos seguintes sistemas: a) dois fios condutoes infinitos de aio = mm que se encontam a uma distância d= cm um do outo; b) um cabo coaial de aio inteio = mm e de aios eteioes =3 mm e 3 =4 mm. 63. Considee uma bobina de compimento l e diâmeto D, em que l >> D, com n espias po unidade de compimento e com o seu inteio peenchido com a. A bobina é pecoida po uma coente I=I cos(ω.t). Detemine: a) o coeficiente de auto-indução da bobina; b) a foça electomotiz induzida num anel conduto concêntico com a bobina, de aio <D/ ; c) o campo eléctico eistente num ponto P a uma distância <D/ do eio da bobina. 7

18 64. Considee uma bobina de compimento l e diâmeto D, em que l >> D, com n espias po unidade de compimento e peenchido com a. A bobina tem uma esistência. Em tono da bobina eiste uma espia quadada de lado a que é pecoida po uma coente i=i cos(ω.t). Detemine: a) o coeficiente de indução mútua ente a espia e a bobina; b) a equação difeencial que desceve a coente induzida na bobina. 65. Considee uma bobina de compimento l, aio, com N espias, peenchido com a, e pecoida po uma coente i=i e -at. Esta bobina está colocada dento de uma segunda bobina de compimento l, aio, com N espias e de esistência. Os eios das duas bobinas estão coincidentes e l >>. a) Calcule o coeficiente de indução mútua ente as bobinas. b) Calcule a coente induzida na bobina eteio. 66. As bobinas pojectadas paa campos magnéticos fotes têm poblemas mecânicos de constução devido às pessões a que ficam sujeitas. Considee uma bobina de compimento l e aio (l >> ), com n espias po unidade de compimento, peenchida com a e pecoida po uma coente I. a) Detemine a densidade de enegia magnética dento da bobina. b) Detemine a enegia amazenada na bobine. c) Deive o coeficiente de auto-indução da bobina a pati da sua enegia. d) Veifique qualitativamente se a bobina fica sujeita a uma foça de implosão ou eplosão. e) Detemine a pessão sobe os enolamentos da bobina em função da intensidade do campo magnético. 67. Considee um conduto ectilíneo de compimento infinito e secção cicula de aio a, com uma pemeabilidade magnética µ e estando a se pecoido po uma coente eléctica estacionáia de intensidade I. Detemine: a) a densidade de enegia magnética dento do conduto; b) a enegia magnética do conduto po unidade de compimento; c) o coeficiente de auto-indução inteno do conduto po unidade de compimento. Compae com o esultado do poblema 6 a). 8

19 68. Considee um cabo coaial ectilíneo de compimento infinito, de aios a, b e c, em que o espaço ente os condutoes está peenchido com a. No caso de o cabo se pecoido po uma coente estacionáia I calcule: a) a densidade de enegia magnética no espaço ente os condutoes; b) a enegia magnética po unidade de compimento no espaço ente os condutoes; c) o coeficiente de auto-indução po unidade de compimento do cabo. 69. Considee duas espias ciculaes paalelas e alinhadas coaialmente, cujos planos estão distanciados de z, cujos aios são a e b, pecoidas po coentes elécticas I a e I b. Admitindo que uma das espias é muito mais pequena que a outa (a<<b) e que a distância a que se encontam seja gande quando compaada com os seus aios (z>>a,b), detemine: a) o coeficiente de indução mútua do sistema em função dos sentidos das coentes; b) designando po L a e L b os coeficientes de auto-indução das duas espias, a enegia magnética do sistema; c) a foça eistente ente as espias em função dos sentidos das coentes; utilize o esultado paa discuti qualitativamente as foças ente ímanes. 7. Considee um enolamento de compimento l, aio (l >> ) e densidade de espias n, pecoido po uma coente I. No seu inteio, colocado coaialmente, eiste um segundo enolamento de compimento l, aio, com a mesma densidade de espias e pecoido po uma coente I que tem o mesmo sentido de I. Este segundo enolamento possui um núcleo de mateial feomagnético que, nas condições de funcionamento descitas tem uma pemeabilidade magnética µ. a) Detemine o campo magnético eistente nas váias egiões inteioes aos enolamentos: >, <<, <. b) Detemine os coeficientes de auto-indução dos dois enolamentos e o coeficiente de indução mútua do sistema composto pelos dois enolamentos. c) Detemine a enegia magnética do sistema. d) Detemine a pessão a que está sujeito cada um dos enolamentos. 9

20 7. Um electoíman é constituído po um enolamento de espias em tono de um núcleo feomagnético com a foma indicada na figua. Junto à supefície do núcleo, desde que o objecto que se petende levanta esteja bastante póimo, o campo magnético pode se consideado unifome com um valo de T. A secção do núcleo, S, é de 4 cm. I S S a) Detemine a enegia magnética eistente no espaço ente o núcleo feomagnético e o objecto que se petende levanta em função da distância do núcleo ao objecto, ( pequeno). b) Detemine a foça eecida pelo electoíman sobe o objecto que se petende levanta. 7. Um condensado plano, cujo dieléctico é o a, é constituído po placas ciculaes de aio a e as dimensões das placas são muito supeioes à distância ente si. O condensado, que tem uma caga inicial Q, vai descaega atavés de uma esistência sendo a coente que pecoe o cicuito i=i e -αt. a) Detemine, em função do tempo, o campo magnético a uma distância do fio po onde o condensado se descaega (considee que esse fio é ectilíneo e tem um compimento longo). b) Detemine, em função do tempo, o campo eléctico no inteio do condensado. c) Detemine, em função da distância ao eio que une os centos das duas placas do condensado, o campo magnético no inteio do condensado. Compae com o esultado da alínea a).

21 73. Um conduto de compimento l, secção cicula de aio a e condutividade σ está ligado a uma fonte de tensão V. a) Detemine o vecto de Poynting, S, junto à supefície do conduto, no seu eteio. b) Detemine o fluo do vecto de Poynting atavés da supefície do conduto e compae-o com a potência dissipada no conduto po efeito de Joule. 74. Um cabo coaial com condutoes de aios a, b e c, liga uma fonte de tensão V a uma esistência. a) Detemine os campos eléctico e magnético na egião ente os condutoes. b) Detemine a magnitude e diecção do vecto de Poynting. c) Detemine o fluo do vecto de Poynting atavés da secção ecta do cabo. d) Calcule a potência dissipada po efeito de Joule na esistência. 75. Uma onda electomagnética plana, monocomática e sinusoidal popaga-se no vácuo segundo o eio zz e tem um compimento de onda λ=5 nm. O seu campo eléctico enconta-se polaizado segundo o eio. A amplitude do campo eléctico é µv.m -. a) Esceva a epessão do campo eléctico segundo nas coodenadas, y e z. b) Calcule o campo magnético. c) Calcule o vecto de Poynting. d) Colocaam-se 3 espias quadadas de lado λ/4 nos planos y, z e yz, como indica a figua. Calcule a foça electomotiz induzida devido ao campo eléctico nas tês espias no instante em que o campo é máimo em z=z. z z z Z Z Z λ/4 λ/4 y λ/4 y y

22 76. Se a velocidade da luz fosse infinita e o campo eléctico fosse caacteizado pela mesma constante,, qual seia o valo do campo magnético? Eistiiam ímanes? E compact 4π ε flash? 77. Seja uma onda plana monocomática com fequência de f=ghz que se popaga no vácuo, descita pelo campo eléctico E = E u + E y u y com E = E cos( ω t k z ) e E y = E sen( ω t k z). Calcule: a) O compimento de onda e o peíodo da onda. b) A diecção de popagação. c) A polaização da onda. d) O campo magnético. e) A densidade de enegia tanspotada pela onda. f) O vecto de Poynting. 78. O campo magnético de uma onda electomagnética plana que se popaga num meio com pemeabilidade magnética µ=µ é dada po: B = 7,5-9 sen(7,5 6.t 3 -.y) T B y = T B z = 7,5-9 sen(7,5 6.t 3 -.y) T a) Calcule a velocidade de popagação da onda. b) Qual a constante dieléctica e o índice de efacção do meio? c) Qual a diecção de popagação da onda? d) Desceva o estado de polaização da onda. 79. Uma onda electomagnética plana popaga-se num meio não conduto com µ=µ.o seu 6 3 campo eléctico é dado po E =,5cos 6,5 t 3, ( y z) u V.m a) Defina a diecção de popagação da onda. b) Qual o índice de efacção do meio? c) Detemine o campo magnético da onda. d) Qual a polaização da onda? e) Detemine o vecto de Poynting e a intensidade da onda.

23 8. Uma onda plana monocomática de fequência f=5 MHz viaja no vácuo na diecção dos zz, estando o campo magnético polaizado segundo a diecção com uma amplitude B ma. a) Qual o seu compimento de onda? b) Qual a diecção de polaização do campo eléctico? c) Admita que usa uma espia condutoa paa detecta o campo magnético da onda. Em que plano deve se colocada a espia paa que a eficiência de detecção seja máima? d) Se a espia, de diâmeto muito meno que o compimento de onda, tive uma áea A e esistência, qual a amplitude da coente induzida? 8. Uma fonte de adiação electomagnética adia isotopicamente uma potência média de saída de W. a) Detemine a intensidade de adiação à distância de metos. b) Qual o valo médio da densidade de enegia tanspotada pela onda? c) Como pode elaciona os campos eléctico e magnético eistentes a essa distância com a densidade de enegia tanspotada pela onda? 8. Um aio de sol (luz banca) incide sobe uma janela de vido de 4 mm com um ângulo de 45º. Sabendo que o índice de efacção do vido paa a co vemelha é de,5885 e paa a co azul é de,598, detemine a sepaação espacial das duas coes após o aio atavessa o vido. 83. Uma onda electomagnética plana monocomática popaga-se dento de um mateial caacteizado po ε =,5 e µ =. a) Veifique em que condições de incidência na supefície de sepaação do mateial com o a não eiste onda popagada no a. b) O fenómeno descito em a) (efleão total) pode-se ia veifica se a onda incidisse na supefície de sepaação dos meios mas popagando-se no a? 3

24 84. Um pescado pocua obseva na água (n água,5) um peie, sendo este visível caso a luz nele eflectida atinja os olhos do pescado. Considee que a luz poveniente de um peie (imóvel) está lineamente polaizada, com o seu campo eléctico no plano y (ve figua). y P 3 P a) Detemine a velocidade da luz na água e esceva uma epessão paa o campo eléctico associado à componente da luz com λ=5nm da onda que se popaga na diecção do ponto P. (Considee que a amplitude do campo eléctico é E ) b) Detemine as diecções de popagação da luz tansmitida paa o a dos aios luz que incidem na supefície da água nas posições P e P,. c) Qual o ângulo de incidência máimo que a luz poveniente do peie pode te paa que possa se obsevada pelo pescado? 65. Luz natual incide sobe uma janela cujo índice de efacção é n=,5. Despezando as pedas no vido e as efleões múltiplas no seu inteio, calcule a pecentagem de enegia que atavessa a janela se a incidência fo nomal. 66. Uma onda electomagnética plana monocomática e polaizada ciculamente desloca-se no a e incide segundo um dado ângulo de incidência θ i sobe a supefície plana de um dieléctico (ε =,7; µ =). Detemine o ângulo de incidência paa o qual a onda eflectida está polaizada lineamente. 67. Considee uma onda plana monocomática, polaizada lineamente, que incide pependiculamente numa supefície de sepaação ente dois meios dielécticos ( e ). Admita que a onda se popaga com a diecção u z, que o campo eléctico se enconta alinhado com o eio yy e tem uma amplitude Eo i, e que os índices de efacção dos meios e são espectivamente n e n. a) Esceva as condições de fonteia paa os campos eléctico e magnético. b) Detemine os campos eléctico eflectido e tansmitido em função do incidente. c) Detemine o fluo de enegia po unidade de áea e de tempo incidente, eflectido e tansmitido. 4

25 d) Detemine a intensidade de adiação incidente, eflectida e tansmitida, numa dada áea A da supefície de sepaação. e) Detemine as facções de enegia eflectida,, e tansmitida, T. Veifique a lei de consevação da enegia. 68. Uma onda electomagnética plana monocomática popaga-se no a estando o seu campo magnético polaizado como o indicado na figua. A onda incide com um ângulo θ i na supefície de um meio caacteizado po ε e µ. B θ i a) Esceva as condições de continuidade das componentes dos campos eléctico e magnético paalelas à supefície de sepaação. b) Calcule as facções de enegia eflectida e tansmitida em função de θ i e θ t. c) Sabendo que quando a incidência é nomal /36 da enegia da onda é eflectida, calcule a constante dieléctica elativa do meio. 5

26 CONSTANTES Velocidade da luz no vácuo - c 3 8 m.s - Massa do potão -m p,67-7 kg Massa do electão - m e 9, -3 kg Caga elementa - e,6-9 C Constante de Plank - h 6,6-34 J.s Constante dieléctica do vácuo ε 4π 9 9 C.N -.m - Pemeabilidade magnética do vácuo µ 4π. -7 N.A - Númeo de Avogado - N a 6, 3 6

27 SOLUÇÕES. a) E = E u y b) V( ) = q πε d d / Q b) E( ) = u 4π ε é como se a baa ficasse eduzida a uma caga pontual. a) E = E u f) V(y)= g) W= 3. a) Veifica pimeio que E = E uz ; λ E = ε z 3 ( z + ) b) V ( z + ) λ = ε σ 4. a) V( z) = ( z + ) z σ E = ε 5. a) E ε σ b) E = u z ε z ( z + ) u z Impossível paa o potencial E λ y = sen 4 actg + πεy a y y sen actg b λ y = cos 4 actg + πεy b λ b) E = u πε y + cos actg a λ a 6. a) E( ) = u 4π ε ( + a) 7. a) Q -,5 µc b) Não 8. a) p=5-3 C.m b) p=6-3 C.m (vectoialmente, a soma dos momentos dipolaes das duas ligações OH) c) E = -9 V.m - 9. Q=3,6 µc λ. E = u π ε. σ E = u z ε. a) < E = b) W = q σ ε 4. a) V= σ ; > E = u ε b) na supefície eteio do conduto oco c) não 5. mi =33 cm 6. a) < : E = λ << : E = u πε << 3 : E = > 3 : E = 7

28 λ b) V = ln πε c) V = Q 7. a) V = ( + y + ( z h ) ) 4π ε + ( ) + y + ( z h ) + ( + y + ( z + h ) ) + ( + y + ( z + h ) ) Q E = h + y + h π ε b) ( ) 3 c) σ =ε E h Q 9. a) u D = ; 4π b) < E = Q << E = 4π ε > 4 c) Q ( ) = Q 5 4 Q ( ) = Q 5. a) < E = + + ( ) 3 + y + h z u Q E = 4π ε ; u u Q > E = u 4π ε + a ( ) Q + a b) > V = ln 4π ε a < V Q + a = ln 4π ε a Qa c) P = u 4 π + a ( ) Qa d) > = 4π + a ( ). a) = C = 4π ε Qa σ = 4π a Q b) V = 4πε 3 ( + ) c) idêntico a a) pois a capacidade não depende da caga ou do potencial d) E =. a) C=,7 µf 3. a) 4. a) b) V= - V c) σ=7 nc.cm - E = σ 3ε ; E A 35 b) C = ε d 7 = σ 5ε ; E 3 σ = 7ε 4 6 c) σ = σ ; σ = σ ; σ3 = σ E E a b V = εa 3 + ε b 3 V = ε b 3 + ε a 3 4π b) C = + ε ε 5. a) E E a = = V d 3 b 3 εv εv b) σ = ; σ = d d c) ( σ ) = ( ε ε ) ( σ ) = ( ε ε ) V d V d 8

29 l ε ε d) C = + d ; (C +C ) b) ε V P = (paa dento) ln π ε 6. a) C = ln( / ) πv c) λ ( ( ) ( ) ) = ε ε ln / 7. a) 8. a) b) λ ( ) = λ ( ) Q V = 4πε We=, µj b) A uma peda E = Q l ε F = Q l ε Q = λ ε 9. a) V d 3. a) 3. a) λ b) ε C = d c) Q We = d λ ε (atactiva) d) Q F = (atactiva) λ ε ε ε λ ε λ( λ C = + d d εl C = + d ( l ( ε )) ) ; (C +C ) b) W() e = CV ; We a+ b λ d c) F = V ε ( ε ) πε V We = ln 3. a) J=,9 6 A.m - b) V=5 V c) I=3 A d) P=5kW 33. a) J=5, -6. A.m - b) I=3,5-9 A 34. v=,3 mm.s V=,5 V 36. a) b) c) d) σv J = ln / ( b a) πσv Ι = l ln b / a ( ) ( b a) ln / = πσ l πσv l P = ln / ( b a) u 38. F=4 - N (atactiva) 39. µι B = µ Ι B = u π ( + Z ) θ µ σ ω B = 4. a) v=,8c b) B=4 mt c) I=78 ma d) B=,9 µt 3 u z 9

30 43. a) = qb ν π m b) B=,3 mt c) T=qV d) T=,3-7 J e) V =3,4 V 44. J=4-5 A.m a) F =,6 u (N ) b) V= mv c) I= y 46. N= 6 electões.m a) F = nos lados paalelos a B F =± Ι Bl n nos outos dois lados b) F = c) N=Il B µ Ι B = u π a) θ µι B = π a µ b) Ι B = u π θ u µι c) b B = ( ) u π c b d) B = µ NΙ B = u π b) B = µ nι u θ 5. a) B µ nι u z 5. a) = 5. a) µ=3,8 µh.m - ; µ =3 θ θ b) H=5 A.m - M=3 A.m - B=5,7 mt c) J M =3 A.m - θ 53. a) J Cu = πa σ Fe J Fe = J σ b) < a : Ι σ + π( b a ) σ Fe Cu Cu Cu JCu H = M = B = µ H J a J ( a ) a b : H Cu + Fe < < = µ M = ( ) H µ B = µ H Ι > b: H = π 55. B a =,5 mt 56. Ι = BAα e M = B = µ H αt 57. a) Φ = Bλ cos( ωt ) com ω = π b) I=,3 sen( ω t ) A c) E=3,8 kj 58. a) ; sentido hoáio Ι = Bdv B b) P = d v B d v c) F = ( u ) B d) P = d v 59. a) e =3,6 mv 6. a) b) I=7 A c) I=7 A ; não µι B = π 3

31 µι b) Φ = N dln( ) π c) e sen(π t ) V e N 6. = e N µ d L = ln =,9 µ H.m π 6. a) 63. a) µ b) L = ln =,36 µ H.m π D L = µ n λ π b) e = µ nωι sen( ωt ) π 67. a) um e) P = µ n Ι b) Wm c) 68. a) u m µι = 4 8π a µ Ι = 6π µ = 8π L µ Ι = 8π µι b b) Wm = ln 4π a µ c) b L = ln π a 64. a) i(t ) = c) E = e π D M = µ nπ di M b) + i = I ωsen( ωt ) dt L L M I ω t L cos( ωt δ ) cos( δ )e L ω + L δ = actg L ω 65. a) M = 66. a) u m NN µ π l MaI t b) at i (t ) (e e L = ) al b) Wm = µ n Ι = µ n Ι π l c) L = µ n λπ d) eplosão µπ 3 z 69. a) M =± a b positivo se as coentes tiveem o mesmo sentido e negativo se as coentes tiveem sentidos difeentes b) Wm = LaΙ a + LbΙb + MΙaΙ b 3 µπ c) Fz = ΙaΙb a b, atactiva se 4 z as coentes tiveem o mesmo sentido e epulsiva se as coentes tiveem sentidos difeentes 7. a) <, B = µ n( Ι + Ι ) < <, B = µ nι >, B = b) L = µπ n l + + µπ( )n l M = L = µπ n l = + + µπ Ι Ι c) W n l ( ) d) P m µ π( )n l Ι ( ) µ n Ι + Ι µ n Ι = 3

32 7. a) 7. a) 73. a) 74. a) µ n Ι P = 4 Wm = 3, J 4 b) F = 3, N (3, toneladas t B e α µ Ι = uθ π αt Qe b) E = ε πa αt µ c) Ιe B = u θ πa b) Φ σv a S = u l V σπa V S = = l foça paa cima) V µι E = u B = u b θ ln( ) π a b) V Ι S = u b π ln( ) a c) ΦS = V Ι d) P = V Ι a) E = cos( ω t k z ) u (V.m ) 76. B= 4 ω = π z (ad.s ) 6 k = 4π (ad.m ) b) B = 3,3 5 cos( ω t k z ) u y (T ) 5 c) S =,6 cos ( ω t k z ) uz (W.m - ) d) yz:ε= ; z: ε=,5 pv ; y:ε= 77. a) λ=,3 m; T= -9 s b) n = uz c) polaização cicula dieita Euy Eyu d) B = c e) u = ε E ε f) S = E uz µ 78. a) v=,83c b) ε=,44ε ; n=, c) u y d) polaização linea no plano z, fazendo um ângulo de -45 com o eio a) uk = uy uz b) n=,43 c) B =,5 By = cos( ωt k ) (T) v ( ω k ),5 3 Bz = cos t v d) linea (T) u k µ e) S = ε,5 cos ( ωt k ) 8. a) λ=6 m b) u y S ε,5 Ι =< >= µ c) no plano yz Aπ fbma d) Ι ma = 8. a) Ι = W.m 4π b) < u T >= π 7 < > c) < E >= u T ε < B >= µ < ut 8. d=4,8 µm > J. m 3 3

33 83. a) θ i =54,7 b) não 84. a) E = Eu + Eyuy 3 4 E = E cos( 8π t π u + uy 4 Ey = E cos( 8π t π u + uy b) na _ = uy 65. T=,9 n =,75u +,66u a _ y c) θ ma = 4,8º n n T = n n n + + T = 68. a) E = E II ε E = ε E B = B II B = B b) = + T = ε c) ε =,96 Nota: cos cos cosθt ε cosθi cosθt ε cosθi θ θ ε = ε t i + + cosθt ε cosθi pois ε > 66. θ i =58,7 67. a) E = E B = B n b) n E = Ei cos( ω t + k z + δ ) uy n + n n Et = Ei cos( ω t + k z + β ) uy n + n E c) Et S = uz ; St = uz v µ v µ d) I E i i = v µ E i n n I = v n n µ + E i n It = v n n µ + n e) = n n n + 33

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