Prova Teórica. Terça-feira, 5 de Julho de 2005

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1 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 Pova Teóica Teça-feia, 5 de Julho de 5 Po favo, le estas instuções antes de inicia a pova:. O tempo disponível paa a pova teóica é de 5 hoas.. Utiliza apenas o lado da fente das folhas. 3. Inicia cada questão numa folha sepaada. 4. Paa cada questão, além das folhas de papel em banco onde pode esceve, existe também uma folha de espostas onde deve faze o sumáio dos esultados que obteve. Os esultados numéicos devem se escitos com o númeo de algaismos significativos apopiado e as unidades coectas. 5. Esceve nas folhas em banco tudo o que considea elevante paa a esolução da questão. Po favo, utiliza o mínimo de texto; deveá pocua expimi-se sobetudo com equações, númeos, figuas e gáficos. 6. Peenche as caixas no topo de cada folha de papel que utiliza, egistando o país (County code), o seu númeo de estudante (Student code) e o númeo da questão (Question numbe). Numea cada página (Page numbe) indicando ainda o númeo total de folhas em banco usadas paa cada questão (Total numbe of pages). Esceve o númeo da questão e a secção a que está a esponde no topo de cada folha de papel. Se usa folhas de ascunho que não deseje que sejam coigidas, maque-as com uma gande cuz sobe a folha e não as inclua na sua numeação. 7. No final da pova, odena as folhas de cada questão pela seguinte odem: Folha de espostas Folhas utilizadas (odenadas) Folhas de ascunho inutilizadas Folhas não utilizadas e enunciado da pova. Coloca as folhas dento do envelope e deixa tudo sobe a mesa. Não é pemitido etia da sala quaisque folhas de papel.

2 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 T UM SATÉLITE COM UM TRISTE FADO A manoba mais fequentemente efectuada pelas naves espaciais é a vaiação da velocidade na diecção da tajectóia: aceleações paa atingi óbitas mais elevadas ou tavagens paa inicia a e-entada na atmosfea. Neste poblema seão estudadas as vaiações obitais quando a populsão é accionada na diecção adial. Paa obte valoes numéicos usa os seguintes dados: aio da Tea 6 R T 6,37 m, aceleação da gavidade à supefície da Tea g 9,8m/s, duação do dia sideal T 4,h. Considea um satélite de telecomunicações geoestacionáio de massa m colocado numa óbita equatoial de aio. Estes satélites possuem um moto de apogeu que lhes fonece a populsão tangencial paa atingi a óbita final. Imagem: ESA As cotações de cada questão estão indicadas no início de cada alínea, ente paênteses. Questão. (,3) Detemina o valo numéico de.. (,3+,) Obte a expessão analítica da velocidade v do satélite em função de g, RT e, e detemina o seu valo numéico..3 (,4+,4) Deduzi as expessões analíticas do momento angula L e da enegia mecânica E em função de v, m, g e R T. Assim que a óbita geoestacionáia é atingida (ve Figua F-) e o satélite está estabilizado no local petendido e está a se pepaado paa efectua o seu tabalho, um eo dos contoladoes no solo leva o moto de apogeu a se de novo ligado. A populsão comunicada à nave é na diecção da Tea e, apesa da ápida eacção da equipa no solo que desliga o moto, uma vaiação da velocidade indesejada Δ v é comunicada ao satélite. Esta vaiação é caacteizada pelo paâmeto β Δv / v. O peíodo de tempo duante o qual o moto está ligado é sempe despezável quando compaado com os tempos obitais, e po isso pode-se considea que o moto é ligado e desligado instantaneamente. v Δ v F- m Questão Assumi que β <.. (,4+,5) Detemina os paâmetos da nova óbita, semi-latus-ectum l e excenticidade ε, em função de e β.. (,) Calcula o ângulo α ente o eixo maio da nova óbita e o vecto posição no instante do dispao acidental dos motoes..3 (,+,) Obte a expessão analítica paa as distâncias do peigeu ( min ) e do apogeu ( max ) ao cento da Tea em função de e β e calcula os seus valoes numéicos paa β / 4. O seu peíodo de evolução é. T Ve a sugestão. T Página de 3

3 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5.4 (,5+,) Detemina o peíodo da nova óbita, T, em função de T e β / 4. β, e calcula o seu valo numéico paa Questão 3 3. (,5) Calcula o valo mínimo do paâmeto β, β esc, paa que o satélite escape à atacção da Tea. 3. (,) Detemina, neste caso, a distância min de apoximação máxima do satélite ao cento da Tea na nova tajectóia, em função de. Questão 4 Assumi que β > β esc. 4. (,) Detemina a velocidade esidual no infinito,, em função de v e β. v v Δ v φ 4. (,) Obte o paâmeto de impacto b da diecção assimptótica de escape em função de e β (ve Figua F-). 4.3 (,+,) Detemina o ângulo φ em função de β. Calcula o seu valo 3 numéico paa β β esc. F- b v SUGESTÃO Quando sujeitos a foças centais que obedeçam a uma lei do inveso do quadado da distância, os copos descevem tajectóias elípticas, paabólicas ou hipebólicas. Quando um copo de massa m << M obita em tono de outo de massa M, este último enconta-se num dos focos da tajectóia. Se este foco coincidi com a oigem do sistema de coodenadas, a equação geal destas cuvas pode se escita em coodenadas polaes como (ve Figua F-3) ( θ ) l ε cosθ M θ m onde l é uma constante positiva designada po semi-lactus-ectum e ε é a excenticidade da cuva. Em função das constantes de movimento: F-3 L l e GM m ε + E L 3 G M m / onde G é a constante de Newton, L é o módulo do momento angula, em elação à oigem, da massa em óbita e E é a sua enegia mecânica consideando que a enegia potencial é nula no infinito. Podem ocoe os seguintes casos: i) Se ε <, a cuva é uma elipse (uma cicunfeência quando ε ). ii) Se ε, a cuva é uma paábola. iii) Se ε >, a cuva é uma hipébole. T Página de 3

4 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES T FOLHA DE RESPOSTAS Questão Fómulas e ideias fundamentais utilizadas Resultados analíticos Resultados numéicos Pontuação.,3. v v,4.3 L E,4,4. l ε,4,5. α,.3 max max, min min.4 T T,7 3. β esc,5 3. min, 4. v, 4. b, 4.3 φ φ, T Página 3 de 3

5 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 T MEDIDAS ABSOLUTAS DE QUANTIDADES ELÉCTRICAS As tansfomações tecnológicas e científicas que ocoeam no século XIX ciaam a necessidade de estabelece unidades padão paa as quantidades elécticas. Pensava-se que as novas unidades absolutas deveiam depende apenas das unidades padão de massa, compimento e tempo estabelecidas após a Revolução Fancesa. Ente 86 e 9 foi desenvolvido intenso tabalho expeimental paa defini os valoes destas unidades. São aqui popostos tês casos modelo. As cotações de cada questão estão indicadas no início de cada alínea, ente paênteses. Deteminação do ohm (Kelvin) Uma bobina com N espias, aio a, e esistência total R oda com velocidade angula constante ω em tono de um diâmeto vetical. O fio da bobina está ligado em cutocicuito e a bobina está colocada num campo magnético hoizontal B B iˆ. Z ω. (,5+,) Detemina a foça electomotiz ε induzida na bobina e também a potência média a auto-indutância da bobina. P necessáia paa mante a bobina em movimento. Despeza B θ Uma pequena agulha magnética é colocada no cento da bobina, como se mosta na Figua F-. A agulha pode move-se livemente em tono do eixo Z no plano hoizontal, mas não pode acompanha a otação ápida da bobina. X F-. (,) Quando se atinge o egime estacionáio, a agulha fica a faze um ângulo pequeno θ com B. Detemina a esistência R da bobina em função deste ângulo e dos outos paâmetos do sistema. Lod Kelvin utilizou este método na década de 86 paa estabelece o padão absoluto paa o ohm. Paa não necessita de uma bobina em otação, Loenz concebeu um método altenativo que foi utilizado po Lod Rayleigh e Ms. Sidgwick, e que seá analizado nos póximos paágafos. Deteminação do ohm (Rayleigh, Sidgwick). Na Figua F- está esquematizada a montagem expeimental. Nesta montagem, dois discos metálicos idênticos D e D, de aio b, estão montados num veio conduto SS. Um moto impime uma velocidade angula ω ao conjunto. Esta velocidade pode se ajustada paa medi R. Duas bobinas idênticas C e C (de aio a e N espias cada) estão colocadas em tono dos discos. Estas bobinas estão ligadas de tal modo que a coente I as pecoe em diecções opostas. O sistema é utilizado paa medi a esistência R. ω S C 4 3 D R I F- G C' D' S' O valo médio X de uma quantidade t num sistema peiódico de peíodo T é Podeá vi a pecisa de algum destes integais: X () X X () t T T dt π π π sin x dx cos x dx sin x cos x dx, π, e mais tade sin x dx cos x dx π π n n x dx x + n + T Página de 3

6 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 3. (,) Assumi que a coente I que atavessa as bobinas C e C cia um campo magnético unifome B em tono de D e D, igual ao campo no cento da bobina. Detemina a foça electomotiz ε induzida ente os pontos e 4. Assumi que a distância ente as bobinas é muito supeio ao aio das bobinas e que a >> b. Os discos estão ligados ao cicuito po contactos deslizantes nos pontos e 4. O galvanómeto G detecta a coente que cicula no cicuito (,5) A esistência R é medida quando a coente indicada po G é nula. Detemina R em função dos paâmetos físicos do sistema. Deteminação do ampee A medição da foça ente dois condutoes quando neles passa uma coente eléctica possibilita a deteminação absoluta da coente. A Balança de Coente concebida po Lod Kelvin em 88 exploa este método. A balança é constituída po seis bobinas, C...C 6, idênticas, só com uma espia e de aio a, que estão ligadas em séie. Como se mosta na Figua F-3, as bobinas C, C 3, C 4 e C 6 estão fixas e são colocadas em planos paalelos hoizontais sepaados po uma pequena distância h. As bobinas C e C 5 estão suspensas dos baços da balança. Os baços têm compimento d e as bobinas C e C 5, quando em equilíbio, estão equidistantes dos planos das outas bobinas. A coente I cicula nas váias bobinas numa diecção tal que a foça magnética sobe C é diigida paa cima enquanto a foça sobe C 5 é diigida paa baixo. Quando uma coente passa no cicuito é necessáio coloca uma massa m a uma distância x do fulco O paa ecoloca a balança na posição de equilíbio descita acima. d d m x O G l I F F C C C 6 C 5 F F h h F-3 C 3 C 4 5. (,) Detemina a foça F sobe C devido à inteacção magnética com C. Paa simplifica, assumi que a foça po unidade de compimento é a mesma que actua ente dois fios longos e ectilíneos nos quais ciculam coentes paalelas. 6. (,) A coente I é medida quando a balança está em equilíbio. Detemina o valo de I em função dos paâmetos físicos do sistema. As dimensões do apaelho são tais que se podem despeza os efeitos mútuos das bobinas da esqueda sobe as da dieita. Seja M a massa da balança (não incluindo m nem as pates suspensas), G o seu cento de massa e l a distância OG. 7. (,) A balança está em equilíbio estável em elação a pequenas petubações que alteem a altua de C em δ z e a de C 5 em δz. Detemina o valo máximo δ zmax paa o qual a balança ainda egessa à posição de equilíbio quando é libetada. Considea que os centos das bobinas se mantêm apoximadamente alinhados. Usa as apoximações m β + β ou ± β ± β m β quando β <<, e sinθ tanθ paa θ pequeno. T Página de 3

7 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES T FOLHA DE RESPOSTAS Questão Fómulas fundamentais utilizadas Resultados analíticos Pontuação ε P,5 R, 3 ε, 4 R,5 5 F, 6 I, 7 δ z max, T Página 3 de 3

8 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 T 3 NEUTRÕES NUM CAMPO GRAVÍTICO No mundo clássico que nos é familia, uma bola que saltita no chão, elasticamente, sob a acção do campo gavítico teeste é um exemplo de um movimento pepétuo. O movimento da bola ocoe numa egião limitada do espaço, ente o chão e o ponto de invesão do movimento. Apenas a esistência do a ou eventuais choques inelásticos podem paa o pocesso, e ambos os efeitos seão ignoados no que se segue. Um gupo de físicos do Instituto Laue-Langevin em Genoble elatou, em, os esultados de uma expeiência aceca do compotamento de neutões no campo gavítico da Tea. Nessa expeiência, neutões lançados paa a dieita caem sobe uma supefície hoizontal que actua como um espelho de neutões, de onde eles essaltam, elasticamente, até à altua inicial, uma e outa vez. O dispositivo expeimental está esquematizado na figua F-. Consiste numa janela W, num espelho M paa neutões (à altua z ), numa supefície A de um mateial que absove neutões (à altua z H e compimento L) e num detecto de neutões D. Os neutões voam ente W e D atavés da cavidade ente A e M com uma componente hoizontal constante da velocidade, v x. Todos os neutões que tocam na supefície A são absovidos e desapaecem da expeiência. Aqueles que alcançam a supefície do espelho M são eflectidos elasticamente. O detecto D conta a taxa de tansmissão, N(H ), que é o númeo de neutões que atinge o detecto po unidade de tempo. A L W g M D Z X A M v z z v x H D As cotações de cada questão estão indicadas no início de cada alínea, ente paênteses. F- Os neutões entam na cavidade com uma distibuição laga de valoes, positivos e negativos, da componente vetical da velocidade absovente, em cima. v z. Uma vez na cavidade, os neutões voam na egião ente o espelho, em baixo, e a supefície. (,5) Calcula classicamente o intevalo da componente vetical da velocidade (z) dos neutões que, entando à altua z, podem chega ao detecto D. Assuma que L é muito maio que qualque outo compimento deste dispositivo. v z. (,5) Calcula classicamente o compimento mínimo da cavidade que gaante que todos os neutões foa do intevalo de velocidades da alínea anteio, paa qualque z, sejam absovidos pela supefície A. Use ms e H 5 μm. vx L c A taxa de tansmissão dos neutões com H. N(H ) é medida em D. É de espea que esta taxa aumente de foma monótona V. V. Nesvizhevsky et al. Quantum states of neutons in the Eath s gavitational field. Natue, 45 () 97. Phys Rev D 67, (3). T 3 Página de 3

9 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 3. (,5) Calcula a taxa clássica N c (H ), assumindo que os neutões chegam à cavidade com velocidade vetical à altua z, sendo que todos os valoes de N(H) v z v z e z são igualmente pováveis. Da a esposta em temos de ρ, o númeo constante de neutões po unidade de tempo, po unidade de velocidade vetical e po unidade de altua, que entam na cavidade com velocidade v z à altua z. Os esultados expeimentais obtidos pelo gupo de Genoble estão em desacodo com as pevisões clássicas, mostando que o valo de (H ) aumenta buscamente paa alguns valoes cíticos de H, os valoes H, H, K, tal como N mosta a figua F-. Dito de outa foma, a expeiência mosta que o movimento vetical dos neutões que são eflectidos no espelho está quantizado. Na linguagem que Boh e Sommefeld usaam paa desceve os níveis de enegia do átomo de hidogénio, diíamos A acção S dos neutões segundo a diecção vetical é um múltiplo da constante de Planck h. A acção S é a gandeza dada po S pz ( z) dz nh, n,, 3... (ega de quantização de Boh-Sommefeld) onde p z é a componente vetical do momento linea clássico e o integal deve se calculado paa um ciclo completo ente dois essaltos. Só os neutões com os valoes de S dados pela elação acima podem esta dento da cavidade. 4. (,5) Calcula as altuas cíticas H n e os níveis de enegia En (associados ao movimento vetical) usando as condições de quantização de Boh-Sommefeld. Calcule o valo numéico de H, em μ m, e de E, em ev. A distibuição inicial unifome, ρ, dos neutões à entada muda, duante o vôo na cavidade, paa uma distibuição em degaus, que é detectada em D (figua F-). De agoa em diante, e paa tona os cálculos mais simples, vamos considea uma cavidade longa em que H < H. Classicamente, todos os neutões com enegias no intevalo consideado na questão são pemitidos na cavidade, ao passo que do ponto de vista quântico apenas são pemitidos os neutões com enegias no nível E. De acodo com o pincípio da inceteza de Heisenbeg paa o tempo-enegia, esta edistibuição enegética dos neutões necessita de um tempo mínimo de vôo. A inceteza na enegia do movimento vetical seá significativa se o compimento da cavidade fo pequeno. Este fenómeno intoduziá um alagamento dos níveis de enegia. 5. (,) Estima o mínimo tempo de vôo t q e o compimento mínimo L q da cavidade necessáios paa obseva o pimeio aumento busco do númeo de neutões detectados em D. Paa o cálculo, use o valo ms. Dados: v x Constante de Planck h 6,63 J s Velocidade da luz no vazio 8 - c 3, m s Caga elementa -9 e,6 C Massa do neutão -7 M,67 kg Aceleação da gavidade na Tea g 9,8 m s - Se necessáio, usa a expessão: ( x) -34 dx ( ) / x 3 / 3 H F- H H T 3 Página de 3

10 36 a Olimpíada Intenacional de Física. Salamanca (Espanha) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES T 3 FOLHA DE RESPOSTAS Questão Fómulas fundamentais utilizadas Resultados analíticos Resultados numéicos Pontuação v z (z),5 L c L c,5 3 N c (H),5 H n H μm 4 E n E ev,5 t q t q 5, L q L q T 3 Página 3 de 3

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