FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECÇÃO DE ESTRUTURAS MECÂNICA DOS SÓLIDOS.

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1 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECÇÃO DE ESTRUTURAS MECÂNICA DOS SÓLIDOS Álvao Azevedo 996

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3 PREFÁCIO A matéia leccionada na disciplina de Mecânica dos Sólidos tem-se mantido paticamente inalteada nos últimos anos. Esta estabilidade deve-se ao facto de se tata de uma matéia nuclea do cuso de Engenhaia Civil e também po constitui uma intodução clássica ao estudo do compotamento das estutuas. Os tês capítulos fundamentais são os elativos aos estados de tensão e de defomação, complementados com o estudo das elações ente tensões e defomações. Com o objectivo de facilita a exposição destas matéias, é efectuada uma beve intodução ao cálculo tensoial, com especial ênfase na notação indicial e na mudança de efeencial. Nesta publicação o itmo de exposição é popositadamente lento e pomenoizado, de modo a facilita a um aluno de Licenciatua a apeensão de todos os conceitos expostos, sem te de ecoe à bibliogafia clássica. Esta, po se destina a leitoes mais expeientes, apesenta-se quase sempe demasiado compacta e esumida, equeendo uma capacidade de abstacção elevada, que não está ao alcance da genealidade dos alunos. O índice desta publicação espeita a odenação de assuntos que tem sido adoptada nos últimos anos pelos docentes da disciplina de Mecânica dos Sólidos da Faculdade de Engenhaia da Univesidade do Poto. Algumas das matéias aqui expostas baseiam-se nas lições do Pof. Coeia de Aaújo, que se encontam compiladas no livo Elasticidade e Plasticidade (ve a Bibliogafia). Os apontamentos da disciplina de Física II da autoia do Pof. Pinho de Mianda, bem como alguns manuscitos dos Pofs. Silva Matos e António Aede, constituíam também uma peciosa fonte de infomação, que muito facilitou a pepaação desta publicação. A todos os meus agadecimentos. Álvao Azevedo Dezembo de 996

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5 ÍNDICE CAPÍTULO - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TENSORIAL Notação indicial Definição de tenso Tansfomação linea de coodenadas Otogonalidade Significado dos elementos da matiz de tansfomação Índices lives e índices mudos Otogonalidade em notação indicial Tenso de odem n Lei de tansfomação em notação maticial Opeações com tensoes Adição Poduto Contacção Poduto contaído Deivação Tensoes notáveis Delta de Konecke Tenso altenante Opeadoes tensoiais Gadiente Divegência Rotacional Simetia e antissimetia tensoial CAPÍTULO - ESTADO DE TENSÃO Caso geal tidimensional Consideações geais Estado de tensão num ponto Tenso das tensões

6 ..4 - Equações de equilíbio definido Equações de equilíbio indefinido Mudança de efeencial Tensões pincipais e invaiantes do tenso das tensões Tensões tangenciais máximas e mínimas Cicunfeências de Moh Tensões octaédicas Tenso hidostático e tenso de desvio Estado plano de tensão Fomulação Cicunfeência de Moh Facetas conjugadas CAPÍTULO - ESTADO DE DEFORMAÇÃO Defomação homogénea Sobeposição de defomações homogéneas Decomposição de defomações homogéneas Rotação Defomação pua Defomação volumética Defomação em tono de um ponto Tenso das defomações - mudança de efeencial Extensões pincipais e diecções pincipais de defomação Tenso do desvio das defomações Equações de compatibilidade Estado plano de defomação Cicunfeência de Moh CAPÍTULO RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES Lei de Hooke genealizada Casos de simetia elástica Simetia elástica elativamente a um plano

7 4.. - Simetia elástica elativamente a dois planos otogonais Isotopia Relação invesa Valo máximo do coeficiente de Poisson Casos paticulaes Estado plano de tensão Estado plano de defomação BIBLIOGRAFIA

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9 SIMBOLOGIA A - matiz de tansfomação de coodenadas ente dois efeenciais (tansfomação diecta) a ij - elemento da matiz A B C C - matiz de tansfomação de coodenadas ente dois efeenciais (tansfomação invesa) - copo - cento da cicunfeência de Moh c ijkl - elemento do tenso de 4ª odem coespondente à lei de Hooke genealizada c - matiz 6 6 coespondente à lei de Hooke genealizada c ij - elementos da matiz 6 6 coespondente à lei de Hooke genealizada d d ij d ' d ij - tenso das defomações - elemento do tenso das defomações - tenso do desvio das defomações - elemento do tenso do desvio das defomações d - vecto com as 6 componentes independentes do tenso das defomações (Cap. 4) d i - componentes do vecto d (Cap. 4) d 0 - extensão média ds - elemento infinitesimal de supefície dv - elemento infinitesimal de volume E - módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young $e i - veso coespondente ao eixo x i e i0 - tenso de ª odem que caacteiza uma defomação homogénea (tanslação) e ij - tenso de ª odem que caacteiza uma defomação homogénea ( = ui xj ) F - foça genéica F - vecto foça com componentes ( f, f, f )

10 f i f m f S G I I I I I D I F - componente do vecto F segundo x i - foças mássicas ou de volume - foças de supefície - módulo de elasticidade tansvesal ou módulo de distoção - matiz identidade - º invaiante do tenso das tensões ou das defomações - º invaiante do tenso das tensões ou das defomações - º invaiante do tenso das tensões ou das defomações - cicunfeência de Moh: polo iadiante das diecções - cicunfeência de Moh: polo iadiante das facetas L L - compimento genéico - Lagangeano M - vecto momento com componentes ( m, m, m ) m i - componente do vecto M segundo x i $n - veso de uma diecção abitáia com componentes ( n, n, n ) $n - veso nomal a um elemento de supefície n i - componente do veso $n segundo x i $n I - veso da ª diecção pincipal de tensão ou de defomação $n II - veso da ª diecção pincipal de tensão ou de defomação $n III - veso da ª diecção pincipal de tensão ou de defomação $n oct - veso nomal a uma faceta octaédica O - oigem do efeencial P - ponto genéico de coodenadas ( x, x, x ) p R - vecto posição do ponto P - aio da cicunfeência de Moh S - efeencial ( Ox,, x, x) S - supefície t - vecto tensão com componentes ( t, t, t ) t n$ - tensão num ponto paa uma faceta de nomal $n

11 t( ei $ ) - tensão num ponto paa uma faceta de nomal $e i t - gandeza do vecto t t oct - gandeza do vecto tensão numa faceta octaédica u - vecto deslocamento com componentes ( u, u, u ) u i u T u R u D V w - componente do vecto u segundo x i - componente de tanslação do vecto deslocamento - componente de otação do vecto deslocamento - componente de defomação do vecto deslocamento - volume - tenso otação w ij - elemento do tenso otação w - vecto otação com componentes ( w, w, w ) w i - componente do vecto w segundo x i w - ângulo de otação ( = w ) X - ponto genéico de coodenadas ( x, x, x ) x x i - vecto posição do ponto X - eixo do efeencial x i - coodenada de um ponto segundo o eixo x i α α I - ângulo ente duas diecções - estado plano de tensão ou defomação: ângulo que define a ª diecção pincipal α II - estado plano de tensão ou defomação: ângulo que define a ª diecção pincipal - deslocamento genéico S - elemento de supefície δ ij - delta de Konecke ou símbolo de Konecke ε ijk - tenso altenante ε i - extensão segundo o eixo x i (e.g., ε =d ) ε I - ª extensão pincipal

12 ε II - ª extensão pincipal ε III - ª extensão pincipal ε x ε y ε ϕ γ ij - estado plano de defomação: extensão segundo x - estado plano de defomação: extensão segundo y - estado plano de defomação: extensão na diecção α - valo pópio de um tenso de ª odem - ângulo ente os eixos e$ i ' e $e j (Cap. ) γ ij - distoção ente os eixos x i e x j (γ ij = d ij,com i j) γ xy - estado plano de defomação: distoção ente as diecções x e y γ - estado plano de defomação: distoção ente as diecções α e α + 90 λ - multiplicado de Lagange λ - uma das constantes de Lamé (a outa é o módulo de distoção G) ν π σ - coeficiente de Poisson - plano - vecto coespondente à componente nomal da tensão σ i σ σ I - componente nomal da tensão na faceta pependicula ao eixo x i (e.g., σ = τ ) - gandeza da componente nomal da tensão - ª tensão pincipal σ II - ª tensão pincipal σ III - ª tensão pincipal σ I - ª tensão pincipal do tenso do desvio das tensões σ II - ª tensão pincipal do tenso do desvio das tensões σ III - ª tensão pincipal do tenso do desvio das tensões σ - tensão nomal média σ oct - tensão nomal numa faceta octaédica σ x σ y θ τ - estado plano de tensão: tensão nomal numa faceta pependicula ao eixo x - estado plano de tensão: tensão nomal numa faceta pependicula ao eixo y - ângulo ente duas diecções - tenso das tensões

13 τ ij - elemento do tenso das tensões τ τ ' τ ij - tenso do desvio das tensões - elemento do tenso do desvio das tensões τ H τ τ - tenso hidostático ou isotópico - vecto coespondente à componente tangencial da tensão - gandeza da componente tangencial da tensão τ oct - tensão tangencial numa faceta octaédica τ - vecto com as 6 componentes independentes do tenso das tensões (Cap. 4) τ i - componentes do vecto τ (Cap. 4) τ xy - estado plano de tensão: tensão tangencial numa faceta pependicula ao eixo x - opeado gadiente ( x x x ),,, também designado nabla

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15 FEUP - Mecânica dos Sólidos Álvao Azevedo. - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TENSORIAL Neste capítulo são apesentadas algumas noções sobe o cálculo tensoial, de modo a facilita mais adiante a dedução de algumas expessões fundamentais da Mecânica dos Sólidos.. - Notação indicial A pincipal vantagem da utilização da notação indicial é a de pemiti a dedução de expessões complexas utilizando uma notação compacta. Considee-se a seguinte equação que elaciona as gandezas vectoiais a, b e c v. c= a+ b (.) Uma vez que a b c ( a a a ) ( b b b ) ( c c c ) =,, (.) =,, (.) =,, (.4) veificam-se as seguintes elações ente as espectivas componentes c= a+ b (.5) c= a+ b (.6) c= a+ b (.7) As equações (.5)-(.7) elacionam as componentes dos vectoes segundo cada um dos eixos coodenados x, x e x. Em vez de esceve estas tês equações pode-se-ia ecoe a um índice i e esceve apenas c = a + b i =,..., (.8) i i i Em (.8) pode-se omiti a expessão ente paênteses poque se subentende que o índice i pode adopta os valoes, ou. Patindo de (.8) chega-se às equações

16 . oiginais (.5)-(.7) efectuando uma pemutação cíclica dos índices, i.e., atibuindo-lhes sucessivamente os valoes, e. Recoendo à utilização de índices, consegue-se, na genealidade dos casos, manipula expessões de um modo mais compacto. A notação indicial é também designada notação tensoial, devido ao facto de se utilizada no cálculo tensoial, que seá em seguida apesentado. Nalguma bibliogafia esta notação é designada notação de Einstein, po te sido muito utilizada po este físico.. - Definição de tenso Um tenso é um conjunto de gandezas físicas definidas em elação a eixos coodenados (e.g., deslocamento de um ponto no espaço). O conjunto de gandezas físicas que constitui o tenso apesenta algumas caacteísticas independentes do efeencial, que po esse motivo se designam invaiantes (e.g., gandeza de um deslocamento no espaço). A noção de tenso pode se genealizada a situações mais complexas e abstactas, que seão adiante apesentadas. Quando um tenso se enconta definido num sistema de eixos otonomado é designado tenso catesiano. Na disciplina de Mecânica dos Sólidos todos os tensoes são catesianos, sendo de aqui em diante designados apenas tensoes. Na Fig.. enconta-se epesentado um sistema de eixos otonomado, bem como os vesoes desses eixos. (Notas: um veso é um vecto de noma unitáia; um efeencial é otonomado quando os seus eixos são pependiculaes ente si e a escala segundo cada um dos eixos é comum a todos os eixos e apesenta como unidade a gandeza dos vesoes). x O ê ê ê x x Figua. - Sistema de eixos otonomado e espectivos vesoes. Em cetos casos paticulaes a notação maticial pode apesenta vantagens em elação à indicial, po exemplo, paa elimina ambiguidades ou paa aumenta a claeza da exposição. Sempe que tal se veifica, deve-se ecoe à notação maticial.

17 .. - Tansfomação linea de coodenadas Na Fig.. encontam-se epesentados os efeenciais otonomados S e S', sendo o pimeio constituído pelos eixos x, x e x e o segundo pelos eixos x ', x ' e x '. Ambos os efeenciais têm como oigem comum o ponto O e são diectos. (Nota: um efeencial é diecto quando ao oda o semi-eixo x positivo em tono de x, apoximando-o de x positivo, um saca-olhas avançaia segundo x positivo). Na disciplina de Mecânica dos Sólidos apenas seão consideados efeenciais otonomados diectos. x ' x P Refeencial S Refeencial S' (O, x, x, x ) (O, x ', x ', x ') ê ' ê p O ê ' ê ê x ' ê ' x x x ' Figua. - Refeenciais S e S' e espectivos vesoes. O efeencial S é definido pelos vesoes ê, ê e ê, e o efeencial S' pelos vesoes ê ', ê ' e ê '. Quando um efeencial é otonomado e diecto, atendendo à definição de poduto vectoial ( ) veifica-se o seguinte e$ = e$ e$ (.9) e$ = $ $ e e (.0)

18 .4 Na Fig.., P é um ponto genéico e p é o espectivo vecto posição. Pojectando p sobe cada um dos eixos x, x e x obtêm-se as suas componentes no efeencial S, que se designam x, x e x. Assim, tem-se p= x, x, x S (.) ou p= x e$ + x e$ + x e$ (.) Os valoes de x, x e x são as coodenadas do ponto P no efeencial S. Relativamente a S' tem-se p= x, x, x S (.) ou p= x e$ + x e$ + x e$ (.4) sendo x ', x ' e x ' as coodenadas do ponto P em S'. Na Fig.. enconta-se epesentado um vecto a e uma diecção definida pelo veso $n. Que o vecto, que o veso, podem te uma oientação qualque no espaço a tês dimensões. a a α ^n b Figua. - Pojecção de um vecto sobe uma ecta. A pojecção do vecto a sobe a diecção definida pelo veso $n coesponde ao poduto escala an $, poque

19 .5 an $ = a n$ cosα = a cosα = b (.5) Notas: no cálculo da pojecção de a sobe $n, o sinal do ângulo α é ielevante poque cos α = cos α ; quando α ] 90º, 80º ], b apesenta sinal negativo. Regessando à Fig.. e atendendo a (.5), veifica-se que as coodenadas do ponto P no efeencial S, i.e., as pojecções de p sobe os eixos do efeencial S, são dadas po x x x = p e$ (.6) = p e$ (.7) = p e$ (.8) De um modo semelhante têm-se as seguintes expessões paa as coodenadas do ponto P no efeencial S'. x = p e $ (.9) x = p e $ (.0) x = p e $ (.) Substituindo (.) em (.9)-(.), tem-se x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.) x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.) x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.4) Atendendo à popiedade distibutiva do poduto escala em elação à soma vectoial, tem-se x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.5) x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.6) x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.7)

20 .6 Atendendo à popiedade comutativa do poduto escala, veifica-se facilmente que as equações (.5)-(.7) são equivalentes à seguinte expessão maticial x e$ e$ e$ e$ e$ e$ x x = e$ e$ e$ e$ e$ e$ x x e$ e e e e e x $ $ $ $ $ (.8) ou x = A x (.9) sendo A a seguinte matiz A = e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ (.0) A matiz A, definida em (.0), é designada matiz de tansfomação de S em S'. Se a matiz A fo conhecida, ecoendo a (.9) é possível convete as coodenadas de um ponto do efeencial S paa o efeencial S'. Esta tansfomação de coodenadas é designada tansfomação diecta. Se em vez de se te efectuado a substituição de (.) em (.9)-(.) se tivesse substituído (.4) em (.6)-(.8), obte-se-iam as seguintes expessões paa as coodenadas de P no efeencial S x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.) x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.) x = x e$ + x e$ + x e$ e$ (.) Tal como no caso anteio, tem-se x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.4) x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.5) x = x e$ e$ + x e$ e$ + x e$ e$ (.6) e maticialmente

21 .7 x e$ e$ e$ e$ e$ e$ x x = e$ e$ e$ e$ e$ e$ x x e$ e$ e$ e$ e$ e$ x (.7) x = B x (.8) com B = e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ (.9) Com a expessão (.7) ou (.8) fica definida a tansfomação de coodenadas de S' em S, que se designa tansfomação invesa..4 - Otogonalidade Atendendo a (.9) e (.8) veifica-se simultaneamente x = A x (.40) x = B x (.4) Substituindo (.4) em (.40) esulta x = A B x (.4) Uma vez que x é um vecto qualque, de (.4) conclui-se que AB= I (.4) sendo I a matiz identidade. Multiplicando ambos os membos de (.4) pela invesa da matiz A, esulta B = A (.44) Obsevando (.0) e (.9), constata-se que B = A T (.45)

22 .8 De (.44) e (.45) conclui-se que A = A T (.46) Assim se conclui que a matiz de tansfomação é otogonal. (Nota: uma matiz é otogonal quando a sua invesa coincide com a sua tansposta). Substituindo (.45) em (.4), chega-se a T x = A x (.47) que constitui uma expessão altenativa paa a definição da tansfomação invesa..5 - Significado dos elementos da matiz de tansfomação O elemento genéico da matiz de tansfomação A designa-se a ij. Atendendo a (.0), a sua expessão é a seguinte a = e$ e$ (.48) ij i j Em a ij o índice i epesenta a linha de A e o índice j a coluna. Os índices i e j podem adopta os valoes, ou. Consideando, po exemplo, i= e j=, tem-se (ve Fig..4) a = e$ e$ (.49) a = e$ e$ cos e$, e$ (.50) Uma vez que as nomas dos vesoes são unitáias, esulta a ( e e ) = cos $, $ (.5) Designando po γ o ângulo fomado pelos vesoes ê ' e ê (ve Fig..4), tem-se a = cos( γ ) (.5) Nota: o sinal de γ é ielevante poque cos( γ ) = cos( γ ).

23 .9 x ' x γ ê ' ê ê O ê ' ê ê ' x ' x x x ' Figua.4 - Definição do ângulo γ. Genealizando estas consideações, conclui-se que os elementos da matiz de tansfomação A são cosenos de ângulos ente os semi-eixos positivos dos efeenciais S e S'. Estes ângulos podem se sempe definidos no intevalo [ 0, 80 ]. cos( γ ) cos( γ) cos( γ) A = cos( γ ) cos( γ ) cos( γ ) cos( γ ) cos( γ ) cos( γ ) a ij ( ij ) (.5) = cos γ (.54) Exceptuando alguns casos paticulaes (e.g., efeenciais S e S' coincidentes), o ângulo ente ê ' e ê é difeente do ângulo ente ê ' e ê (ve Fig..4). Assim, tem-se ( γ ) cos( γ ) cos e, atendendo a (.54), a a. Conclui-se assim que, exceptuando casos paticulaes, a matiz de tansfomação A não é simética. De acodo com (.0), considee-se que cada linha da matiz A A = e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ e$ constitui um vecto (.55)

24 .0 Atendendo à Fig.. e a (.5), constata-se que a pimeia linha da matiz A é constituída pelas pojecções do veso ê ' sobe os vesoes dos eixos do efeencial S (ê, ê e ê ). Tatam-se assim das componentes do veso ê ' em S. De um modo semelhante, veifica-se que a segunda linha e a teceia linha da matiz A são constituídas pelas componentes de ê ' e ê ' no efeencial S. Conclui-se assim que as linhas da matiz de tansfomação A componentes dos vesoes de S no efeencial S. são constituídas pelas Se num deteminado poblema os vesoes de S' foem os seguintes e$ = a, b, c S (.56) e$ = d, e, f (.57) S e$ = g, h, i S (.58) a matiz de tansfomação A pode esceve-se imediatamente como sendo A = a b c d e f g h i (.59).6 - Índices lives e índices mudos As coodenadas de um ponto no efeencial S' podem se obtidas a pati das suas coodenadas no efeencial S ecoendo à equação maticial (.9). Atendendo a (.8) e designando po a ij o elemento genéico da matiz A, pode esceve-se x a a a x = a a a x a a a x x x (.60) Desenvolvendo o poduto maticial em (.60) chega-se a x = ax+ a x+ ax (.6) = + + x a x a x a x (.6)

25 . x = ax+ a x+ ax (.6) De acodo com a notação indicial apesentada na Secção., pode-se ecoe a um índice i e esceve de um modo mais compacto x = a x + a x + a x i i i i (.64) Esta equação é válida paa i=, i= ou i=. A seguinte equação é equivalente a (.64). x = a x i ij j j= (.65) Em notação indicial o símbolo Σ é supimido, esultando xi = aij xj (.66) Nota: a notação indicial tonou as equações (.6)-(.6) mais compactas. Em (.66), i é um índice live e j é um índice mudo. As suas caacteísticas são as seguintes: Índice live Índice mudo - apaece uma vez em cada monómio - pode adopta os valoes, ou - figua em todos os monómios - apaece duas vezes no monómio - pode não figua em todos os monómios - implica a existência de um somatóio de a ao nível do monómio Notas: nenhum índice pode apaece mais do que duas vezes num monómio qualque índice mudo pode se substituído po outa leta que não figue no monómio. Como exemplo, apesentam-se as duas seguintes expessões que são equivalentes: x = a x x = a x i ij j i it t qualque índice live pode se substituído po outa leta que não figue na expessão. Po exemplo: xi = aij xj x p = apj xj num monómio a odem dos factoes é abitáia: xi = aij xj xi = xjaij Paa claifica as caacteísticas dos dois tipos de índices, apesenta-se a seguinte equação εijk εpjk = δip δjj δij δ jp (.67)

26 . Em todos os monómios de (.67), i e p são índices lives. No pimeio membo, j e k são índices mudos. Em ambos os monómios do segundo membo, j é um índice mudo. Substituindo p po t em todos os monómios obtém-se a seguinte equação, que é equivalente a (.67) εijk εtjk = δit δ jj δij δ jt (.68) Substituindo j po no último monómio, obtém-se uma nova equação que é equivalente às anteioes εijk εtjk = δit δ jj δi δt (.69).7 - Otogonalidade em notação indicial Considee-se que P, Q e R são matizes abitáias, cujos elementos genéicos são p ij, q ij e ij espectivamente. Atendendo às caacteísticas da notação maticial e da notação indicial, veifica-se a seguinte equivalência PQ= R p q = (.70) ij jk ik Nota: a epetição do índice j no monómio implica a existência de um somatóio de j= até. Pelos mesmos motivos, veifica-se também a seguinte equivalência T PQ = R p q = (.7) ij kj ik Nota: em notação indicial, a tansposição de uma matiz coesponde à toca da odem dos seus dois índices. Considee-se agoa a matiz de tansfomação A definida na Secção.. Da substituição de (.45) em (.4) conclui-se que ou AA T = I (.7)

27 . a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 = (.7) Atendendo a (.7), em notação indicial (.7) e (.7) coespondem a aij akj = δ ik (.74) Nesta equação, δ ik é o delta de Konecke, que apesenta as seguintes popiedades: quando i= k, δ ik =; quando i k, δ ik =0. Estas caacteísticas fazem com que o delta de Konecke coesponda à matiz identidade I. Multiplicando ambos os membos de (.7) po A T esulta A A A T T T Concluindo-se que = A (.75) T A A = I (.76) Em notação indicial (.76) coesponde a aji ajk = δ ik (.77) As equações (.74) e (.77) expimem a otogonalidade da matiz de tansfomação A em notação indicial..8 - Tenso de odem n De acodo com o que foi exposto nas Secções. e.6, as componentes de um vecto p no efeencial S' podem se calculadas com a expessão (.66), em que intevêm as componentes de p no efeencial S e a matiz de tansfomação A. xi = aij xj (.78) Considee-se agoa um vecto v= ( v v v ),,, ao qual coesponde um conjunto de gandezas físicas no espaço a tês dimensões. Se a espectiva lei de tansfomação fo vi = aijvj (.79)

28 .4 passa a designa-se v po tenso de pimeia odem. Notas: o tenso v possui = componentes; é necessáio que a lei de tansfomação (.79) seja válida paa que v seja um tenso. Genealizando estes conceitos, chega-se à lei de tansfomação de um tenso de segunda odem, que é a seguinte Notas: w = a a w pq pi qj ij (.80) no segundo membo de (.80) está implícito um duplo somatóio em i e em j; tal como em (.79), os índices i e j podem adopta os valoes, ou ; o tenso w possui = 9 componentes. No caso mais geal, a lei de tansfomação de um tenso de odem n é a seguinte Notas: w pql = apiaqjakl wijk L (.8) em w e em w' figuam n índices; no segundo membo de (.8), a matiz de tansfomação A figua n vezes; o tenso w possui n componentes. Consideando o caso do tenso de odem n com um valo de n nulo, tem-se o caso do tenso de odem zeo, cuja lei de tansfomação é a seguinte Notas: w = w (.8) no tenso w que figua em (.8), existem zeo índices; a matiz de tansfomação A apaece zeo vezes; w é um escala, i.e., não apesenta componentes segundo os eixos coodenados; a equação (.8) evela que o tenso w apesenta o mesmo valo em S e em S', sendo potanto independente do efeencial. Assim se conclui que um tenso de odem zeo é um invaiante.

29 Lei de tansfomação em notação maticial As leis de tansfomação dos tensoes de pimeia e de segunda odem podem se expessas em notação maticial. No caso do tenso de pimeia odem, a lei de tansfomação definida em (.79) vi = aijvj (.8) coesponde à seguinte equação maticial, já efeida nas Secções. e.6 (ve (.9) e (.66) ) v = A v (.84) No caso do tenso de segunda odem, cuja lei de tansfomação se enconta definida em (.80), pode-se efectua uma toca de factoes e esceve w pq = api wij aqj (.85) A expessão que figua no segundo membo de (.85) coesponde a um duplo somatóio, que pode se explicitado do seguinte modo w = a w a pq pi ij i= j= qj (.86) A seguinte equação maticial, que é equivalente a (.86), coesponde a uma epesentação altenativa da lei de tansfomação de um tenso de segunda odem. w = AwA T (.87) Nesta expessão A, w e w são matizes..0 - Opeações com tensoes Nesta secção são apesentadas algumas opeações envolvendo tensoes. Nalguns casos demonsta-se que o esultado da opeação continua a se um tenso, i.e., espeita a lei de tansfomação tensoial, cuja expessão genéica é (.8).

30 Adição Consideem-se dois tensoes de segunda odem designados u ij e v ij. Uma vez que se tatam de tensoes, a lei de tansfomação (.80) é válida paa cada um deles u = a a u pq pi qj ij (.88) v = a a v pq pi qj ij (.89) Em S, a soma de u ij com v ij designa-se w ij, sendo wij = uij + vij (.90) Em S' tem-se wij = uij + vij (.9) Uma vez que i e j são índices lives, podem se substituídos po outa leta que não figue na expessão, podendo esceve-se w pq = u pq + v pq (.9) Substituindo (.88) e (.89) em (.9), obtém-se w pq = api aqj uij + api aqj vij (.9) w = a a u + v pq pi qj ij ij (.94) Atendendo a (.90), esulta w = a a w pq pi qj ij (.95) A equação (.95) mosta que o esultado da soma tensoial é tansfomado de S paa S' ecoendo à lei de tansfomação de tensoes de segunda odem. Assim se conclui que da opeação de adição de tensoes esulta um tenso. Nota: de um modo semelhante seia possível chega à mesma conclusão paa o caso dos tensoes de odem n.

31 Poduto Consideem-se os tensoes u ij (segunda odem) e v k (pimeia odem). Uma vez que se tatam de tensoes, são válidas as leis de tansfomação (.79) e (.80) u = a a u pq pi qj ij (.96) v = ak vk (.97) Em S, o poduto de u ij po v k designa-se w ijk, sendo definido do seguinte modo w Em S' tem-se = u v (.98) ijk ij k w pq = u pq v (.99) Nota: em (.98) e (.99) não está implícito qualque somatóio poque não existem monómios com índices epetidos. Substituindo (.96) e (.97) em (.99) esulta w = a a a u v pq pi qj k ij k (.00) Substituindo (.98) em (.00) chega-se a w pq = apiaqjak wijk (.0) Uma vez que (.0) coesponde à lei de tansfomação de um tenso de teceia odem, conclui-se assim que o esultado do poduto ente um tenso de segunda odem e um tenso de pimeia odem é um tenso de teceia odem. Nota: de um modo semelhante pode-se-ia conclui que do poduto de um tenso de odem m po um tenso de odem n esulta um tenso de odem m+ n Contacção Efectua a contacção de uma expessão tensoial consiste em iguala dois índices lives em todos os monómios. Este pa de índices lives passa a constitui um pa de índices mudos. Po exemplo, a contacção dos índices i e j coesponde à substituição