Transformações geométricas

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1 Instituto Politécnico de Bagança Escola upeio de Educação Tansfomações geométicas 1 Tanslações endo dado um vecto u, a tanslação associada a u é a aplicação que faz coesponde ao ponto M o ponto M tal que Notação: T u M é o tanslato de M MM = u - A invesa da tanslação associada ao vecto u é a tanslação associada ao vecto -u - A composta da tanslação associada ao vecto u e da tanslação associada ao vecto v é a tanslação associada ao vecto u + v - e A e B são as imagens espectivas de A e B po T, tem-se que u A B = AB - A imagem de uma ecta po uma tanslação é uma ecta paalela à pimeia - A imagem de uma cicunfeência po uma tanslação é uma cicunfeência com o mesmo aio, e cujo cento é o tanslato do cento da pimeia cicunfeência 2 Rotações Cala Alves (Equipaada a Assistente do 2º Tiénio) 1/4

2 endo dados um ponto C e um eal θ, a otação de cento C e de ângulo θ faz coesponde a M o ponto M definido po: Notação: R C,θ M é o otacionado de M CM = CM e, se M C, ( CM ^ CM ) = θ Exemplos: R C,0 é a identidade R C,π é a simetia de cento C R π é o quato de volta diecto C, 2 R π é o quato de volta indiecto C,- 2 - A invesa da otação de cento C e de ângulo θ é a otação de cento C e de ângulo -θ - A composta de duas otações de cento C e de ângulos α e β é a otação de cento C e de ângulo α + β - C é o único ponto invaiante pela R C,θ (se θ 0) - Tem-se que AB A B = e, se A B, ( ^ A B ) θ AB = - A imagem de uma cicunfeência é uma cicunfeência com o mesmo aio, e cujo cento é o otacionado do cento da pimeia cicunfeência 3 imetias imetia axial de eixo é uma aplicação que faz coesponde: - a cada ponto da ecta esse mesmo ponto; - a cada ponto P não petencente à ecta, um ponto P', de tal modo que seja pependicula ao meio de [PP'] Notação: M' é o simético de M, na Cala Alves (Equipaada a Assistente do 2º Tiénio) 2/4

3 - O conjunto dos pontos invaiantes po é - A imagem de uma cicunfeência é uma cicunfeência com o mesmo aio, e cujo cento é o simético do cento da pimeia cicunfeência - A composta de duas simetias de eixos paalelos é uma tanslação - Toda a tanslação é decomponível em duas simetias de planos paalelos - Existe uma infinidade de decomposições possíveis paa uma tanslação: a escolha do pimeio eixo é abitáia, excepto no que espeita ao facto de ele te de se otogonal (pependicula) ao vecto da tanslação - A composta de duas simetias de eixos concoentes em C é uma otação - Toda a otação é decomponível em duas simetias de eixos concoentes Eixo de imetia Dizemos que uma ecta é eixo de simetia de uma figua, quando a imagem dessa figua atavés de é ela pópia Exemplo: Cala Alves (Equipaada a Assistente do 2º Tiénio) 3/4

4 - Atavés da simetia de eixo, todos os pontos da figua [ABCDEF] são tansfomados em pontos da pópia figua - A imagem da figua é pois ela pópia - [ABCDEF] é simética em elação a, ou seja, é eixo de simetia da figua - A imagem da figua, atavés da ecta s, é também a pópia figua - [ABCDEF] é simética em elação a s, ou seja, s é eixo de simetia da figua Popiedades das simetias axiais Consideemos a figua: - Os tiângulos são siméticos em elação à ecta, pelo que são geometicamente iguais Assim, [AC] é tansfomado em [A'C'], ou seja, ([ AC] ) = [ A ] ou [ AC] [ A ] e [ AC] [ A C ] - [BC] é tansfomado em [B'C'], ou seja, ([ BC] ) = [ B ] ou [ BC] [ B ] e [ BC] [ B C ] - [AB] é tansfomado em [A'B'], ou seja, ([ AB] ) = [ A B ] ou [ AB] [ A B ] e [ AB] [ A B ] Concluímos que numa simetia axial, um segmento de ecta é tansfomado num segmento de ecta geometicamente igual Consideando, ainda, a mesma figua, também podemos compova que: O ângulo BAC no ângulo B A Cala Alves (Equipaada a Assistente do 2º Tiénio) 4/4

5 O ângulo ACB no ângulo A B O ângulo ABC no ângulo A B Concluímos que numa simetia axial, um ângulo é tansfomado num ângulo geometicamente igual Cala Alves (Equipaada a Assistente do 2º Tiénio) 5/4