As grandezas vetoriais

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1 As gandezas vetoiais No capítulo I, vimos o poquê da utilização de vetoes na caacteização de algumas gandezas físicas, difeenciando as gandezas escalaes das vetoiais. As gandezas escalaes são aquelas pefeitamente definidas apenas com um valo numéico acompanhado de uma unidade. Já as vetoiais, paa uma caacteização completa, eigem, além da intensidade (valo numéico com uma unidade), uma dieção e um sentido do movimento. Entetanto, até agoa temos dado um tatamento escala mesmo às gandezas vetoiais. Isso que dize que os casos estudados tinham caáte unidimensional e, potanto, opeávamos em apenas uma dieção pé-definida. Ou seja, se tudo ocoe apenas em uma dieção, não pecisamos paa cada gandeza vetoial, defini sua dieção. Além disso, paa difeencia os dois sentidos possíveis, usávamos uma dieção com um sentido de oientação. Se o sentido da gandeza seguisse a oientação da eta equivalente à dieção em questão, seu valo escala ecebia um sinal positivo. Caso contáio, se o sentido da gandeza fosse conta a oientação da eta-dieção, atibuímos o sinal negativo ao valo escala. Repae que esse tatamento é idêntico ao dado a uma gandeza escala. Poém, se usamos os vetoes paa a epesentação das gandezas vetoiais, nosso estudo pode te mais de uma dimensão, podemos tabalha no plano (duas dimensões) e até no espaço (tês dimensões). Como o veto já subentende um sentido paa a gandeza, é desnecessáia a atibuição de um sinal positivo ou negativo à intensidade desse veto. Paa efeitos matemáticos, tataemos a intensidade do veto como sendo positiva. Podemos chamála também de módulo do veto. Revistos os conceitos de tigonometia no capítulo II, podemos nos apofunda nesse assunto. 1. Notação das gandezas vetoiais Paa difeencia o tatamento vetoial do escala dado a uma gandeza, toda vez que se epesenta uma gandeza vetoial, utiliza-se uma seta sobe a notação ou coloca-se a mesma em negito. Po eemplo, a velocidade escala pode se epesentada simplesmente po v. A velocidade vetoial pode se epesentada po v ou po v. A epesentação do veto ficaia da seguinte foma: v Nesse caso, em específico, temos o veto velocidade com dieção vetical e sentido paa baio. O módulo, ou intensidade, da velocidade vetoial é indicado colocando-se a epesentação do veto ente baas veticais. Po eemplo, podeíamos usa v = 15 m/s ou v = 15 m/s. Às vezes, po vício e acomodação, utiliza-se paa o módulo do veto a mesma epesentação que paa o valo escala da gandeza, ou seja, simplesmente v = 15 m/s. No entanto, convém lemba que se tata de conceitos difeentes: o módulo do veto é utilizado no tatamento vetoial da gandeza e, potanto, não caega sinal positivo ou negativo. Já o valo escala, paa difeencia um sentido de outo, deve vi com sinal positivo ou negativo.. oças Dize que um copo A eece uma foça sobe um copo B significa dize que ocoe uma inteação ente eles, poduzindo efeitos sobe o movimento de ambos. Na vedade, as equações hoáias do movimento de um copo, sejam de posição, velocidade ou aceleação, podem se obtidas dietamente a pati do conhecimento que se tem sobe o sistema de foças eistente sobe o copo e sobe o estado inicial do mesmo. Mais tade, estudaemos com detalhes a intefeência eata do sistema de foças sobe movimento. Na vedade, quando eiste mais de uma foça atuando sobe um copo, ao invés de estudamos a influência de cada uma delas, estudamos como o conjunto de foças se compota. Ou seja, pensamos no conjunto de foças como se fosse apenas uma foça, que equivale a todas as outas juntas. Essa foça imagináia, equivalente ao conjunto todo, é a chamada foça esultante. Uma foça pode altea não só as intensidades da posição, velocidade ou aceleação, mas também suas dieções ou sentidos. Essas alteações também vão depende da dieção e do sentido em que a foça é

2 aplicada. Podemos então caacteiza a foça como uma gandeza vetoial, isto é, que pode se epesentada po vetoes. No modelo clássico, o qual estudamos, eiste uma infinidade de oigens difeentes paa as foças. Po eemplo, podemos cita as foças de contato (quando empuamos um copo com as pópias mãos), as foças elásticas (feitas po uma mola), as foças de atito, as foças de empuo, as foças gavitacionais, as foças eléticas, as foças magnéticas e muitas outas. Mas as difeentes oigens não impotam paa a influência da foça sobe o movimento. A foça caacteizada como um veto simplesmente é suficiente paa a análise. No Sistema Intenacional, utilizamos como unidade paa foça o newton (N). Veemos também qual é a sua elação com as gandezas fundamentais. 3. O cálculo da foça esultante Como dissemos, a foça esultante é uma foça imagináia, que é capaz de substitui, de foma equivalente, todo o conjunto de foças eistente. Po eemplo, imagine quato pessoas empuando um cao. Se cada uma eece sobe o mesmo uma foça de 100 N, qual é a foça esultante? Ou seja, queemos sabe, caso fosse apenas uma pessoa empuando o cao, qual foça ela deveia faze paa obte o mesmo efeito que as quato juntas? A esposta é bastante intuitiva, paece óbvio que ela deve faze uma foça de 400 N. 3 4 equivale a R Epessando esse esultado na linguagem vetoial, podemos dize que, aplicam-se foças de mesma dieção e mesmo sentido sobe um copo, a intensidade da foça esultante é a soma das intensidades de cada foça. Além disso, a dieção e o sentido da foça esultante são os mesmos das foças aplicadas. Vamos supo agoa que sobe um copo aplicam-se duas foças de mesma dieção, mas sentidos contáios. Paa a dieita, aplica-se uma foça 1 de intensidade 1 = 1 N. Paa a esqueda, de intensidade = 9,0 N. Não é difícil supo que essa situação equivale à aplicação de uma única foça, hoizontal, apontada paa a dieita, de intensidade igual a 3,0 N. 4 equivale a R Isso ocoe poque, dos 1 newtons aplicados paa a dieita, 9 são anulados pela foça paa a esqueda, estando 3 newtons como esultante. Genealizando esse esultado, quando aplicam-se foças de mesma dieção, poém sentidos contáios, sobe um copo, a intensidade da foça esultante é a difeença ente as intensidades de cada foça. Além disso, a dieção da foça esultante é a mesma das foças, e seu sentido é o mesmo da foça de maio intensidade. É conveniente essalta que nós esolvemos os dois casos vistos, em que as foças aplicadas têm a mesma dieção, de foma absolutamente intuitiva. E cetamente a intuição não deve se o método final de esolução de um poblema. Paa solucioná-lo, é clao que a intuição é ponto de patida, paa que tenhamos uma noção do caminho pelo qual segui. Contudo, o póimo passo é elaboa uma teoia que seja coeente com os esultados intuitivos e empíicos, ou seja, compovados epeimentalmente. Além disso, a teoia deve te o compometimento com a genealidade, isto é, não pode se estingi aos casos

3 simples, facilmente analisados intuitivamente, como a situação em que as foças aplicadas têm a mesma dieção. Devemos desenvolve uma teoia que englobe o maio númeo possível de casos. EXTRA Ao longo do século XVII, a ciência e as ates conviveam simultaneamente com dois paadigmas antagônicos: o catesianismo e o empiismo. O pimeio pensamento foi fundado po René Descates ( ), o pai da filosofia modena, como ficou conhecido mais tade. Sua idéia ea tona matemáticas todas as áeas do conhecimento. Aliás, foi nesse peíodo que a alquimia passou a se consideada uma ciência, a química. Nesse ideal, assim como a matemática, tudo o que sabemos deve se deduzido (intui deduzi = pova logicamente). A dedução é um pocesso em que se combinam um ou mais conhecimentos pévios e, deles, foma-se um novo conhecimento, ou seja, um pocesso lógico. Po eemplo, imagine duas afimações: Nenhum planeta é quadado. A Tea é um planeta. A pati desses conhecimentos, deduz-se que a Tea não é quadada. Mas paa que tudo o que sabemos possa se deduzido, devemos pati de uma vedade inicial, a pati da qual se desencadeia o pocesso de deduções. E foi justamente isso que Descates fez: duvidou de todas as vedades eistentes até então, e patiu da única ceteza que tinha: que ea capaz de duvida. E posseguiu da seguinte foma: Se duvido, penso. Penso, logo eisto. Cogito, ego sum significa, em latim, penso, logo eisto, sua fase célebe. E assim seguiu em mais seqüências lógicas, chegando até a pova a eistência de Deus, po mais de uma maneia. Já o empiismo, opondo-se ao catesianismo, mas não ao seu acionalismo, teve seu epoente na Inglatea. Defende que a vedade e a ceteza da ciência vêm da epeiência (empiia) e da sensação (pecepções atavés dos nossos sentidos). ancis Bacon ( ), pecuso imediato da coente empíica, afimava que a impacialidade científica dá-se apenas com a utilização do método indutivo (a epeiência seguida da sensação), em oposição ao dedutivo clássico. Citicava os peconceitos da ciência, po ele denominados ídolos, que dificultaiam a obsevação científica. Os ídolos são da tibo (a pojeção da foma humana na intepetação da obsevação), da cavena (a influência dos inteesses pessoais na pesquisa), do foo (os peconceitos do senso comum) e do teato (distoções da epeiência e sua intepetação a fim de adequa a ealidade à teoia, e não o contáio, como deveia ocoe). David Hume ( ), epoente máimo do empiismo, adicaliza as idéias de Bacon, chegando ao ceticismo, negando a possibilidade de conhecimento científico da vedade e, po fim, negando a pópia ciência. A cítica do conhecimento abstato foi o ponto de patida paa sua teoia. Defendia que as idéias não são univesais justamente po dependeem das difeentes epeiências vividas, ou seja, mais dietamente das sensações, e po isso, as idéias e a ciência são falsas. Po eemplo, toda vez que lagamos um objeto ele cai. Mas isso não é suficiente paa dize que a póima vez que o lagamos, ele caiá. Ou seja, ciamos a teoia gavitacional, podemos até medi o valo da gavidade, mas como te ceteza de que ela de fato eiste e que faá com que, todas as vezes no futuo em que lagamos o objeto, ele caia? E usa isso paa eplica poque alguns epeimentos não são bem sucedidos: poque a teoia está eada. Na vedade, não eistiá teoia ceta. Aliás, Hume chega a citica a teoia da causalidade, base aistotélica paa a ciência ocidental desde a Gécia Antiga, pois ela não é sensível e, po isso, não é eal. A poblemática do método científico foi solucionada po Immanuel Kant ( ). Após le a oba de Hume, em 1770, esceveu uma dissetação sugeindo a difeença ente a coisa em si (númeno) e a coisa paa mim (fenômeno), citicando a indução pua de Hume. Isto é, há difeença ente o mundo eal, como ele de fato é, e como nós o sentimos e o entendemos. E a análise da epeiência é, na vedade, a análise do fenômeno, e não do númeno.

4 Em 1781, Kant fez a cítica da azão pua de Descates, popondo um novo citéio de ciência. Ele classificou o método de Descates como de juízos analíticos a pioi, isto é, deduções (juízo analítico) que têm po fim anteve os esultados de todos os epeimentos (a pioi). Classificou o método de Hume como de juízos sintéticos a posteioi, o que que dize induções (juízo sintético) com o único objetivo de tata de epeiências passadas (a posteioi), sem o compomisso com pevisões de novas epeiências. Segundo Kant, o gande poblema de ambos os métodos é a estagnação. Como valoiza mais a teoia do que a pática, se esta é a causa de eisti do pensamento? Ou seja, as deduções puas não nos tazem nenhuma novidade, são somente emontes do conhecimento já adquiido. E paa que seve um juízo a posteioi somente, se o pogesso tecnológico depende dos juízos científicos a pioi? As epeiências são individuais, mas as leis devem se univesais. Paa ele, o citéio coeto a se utilizado pela ciência é o juízo sintético a pioi, no qual a pati de epeiências ealizadas e devidamente analisadas, elaboa-se uma teoia paa eplica aquele compotamento, faz-se uma séie de conclusões lógicas, a fim de peve fenômenos semelhantes. Mesmo assim, faz a essalva de que a ciência não é estudo do Immanuel Kant: Nova visão da ciência: juízos sintéticos a pioi. númeno, impossível de se alcançado, mas do fenômeno. Isto é, não estudamos as coisas como elas são, e sim como nós as conhecemos. O fenômeno é, na vedade, o númeno tansfomado pelas sensações e pelo intelecto. As sensações coespondem às dimensões físicas, o espaço e o tempo. Kant defende que elas não são popiedades das coisas, isto é, os objetos não têm uma localização no espaço nem no tempo: somos nós quem inventamos e atibuímos tais caacteísticas a eles. A tansfomação intelectual pode se esumida na capacidade humana paa a causalidade aistotélica. Isto é, voltando ao eemplo anteio, fomos nós que inventamos a gavidade a fim de eplica a queda do objeto. O que seia a gavidade? Ela tem eistência? Kant diz que no númeno, os fatos simplesmente ocoem, e nós os tansfomamos em algo lógico, com causa e conseqüência. Repae que Hume havia negado a causalidade. Kant afima que ela eiste, mas somente como pocesso mental, colaboado paa a tansfomação do númeno em fenômeno. E assim ele faz a cítica fundamental à azão clássica, oiginada no pensamento gego, com a contetualização da teoia da causalidade de Aistóteles, e culmina negando a metafísica (estudo da alma, do mundo como um todo e de Deus) como ciência, pois é um pensamento puamente à moda catesiana, sem fundamentação pática. O gande poblema da negação da metafísica é a falta de fundamento paa a ética. Nesse sentido, Kant faz também, po coeência, a cítica à ética clássica ( se quees se feliz, faze o bem e evita o mal ). Diz que ela é inteesseia (paticá-la paa se feliz), supõe causalidade (sua pática é a causa da felicidade) e supõe também o conhecimento do bem e do mal e, potanto, do númeno. A nova oientação ética poposta po ele é o impeativo categóico (a ega pela ega, e não pela felicidade), com o seguinte pincípio: age de tal foma que a tua lei possa se univesal. Essa é a chamada cítica da azão pática. Nela, ao contáio da ciência, que nasce do númeno, a moal nasce do homem; a felicidade não é inteesseia, mas decoente da pática da ética. Mais tade, em meio à coente alemã do idealismo, ichte faz uma cítica à oba de Kant, mais especificamente à eistência do númeno. Na vedade, uma dedução lógica: A teoia da causalidade está estita à mente, nós inventamos as causas das coisas, elas não eistem. O númeno é a causa do fenômeno Logo, o númeno não eiste. Essa é a adicalização (lógica) do pensamento científico. Ao deduzi a não eistência do númeno, ichte defende que nada além de mim eiste, tudo é uma ciação mental e uma pojeção minha, o não-eu, o meu oposto. Nesse sentido, o eu é o ciado de tudo. Po eemplo, se eu decido se um empegado, suge o patão, o não-eu. Po isso, vou decidi se patão, de foma que o não-eu seja o empegado. Eu decido quem sou e, po conseguinte, decido quem é o não-eu. Dize que o mundo ocoe de foma independente de mim é uma alienação. O eu é o Eu Absoluto. Essa foi a ideologia esgatada futuamente na Alemanha como pessuposto paa as políticas de guea e paa a imposição da aça aiana como supeio. Essa adicalização do acionalismo foi o motivo pelo qual no século XX, sugiam inúmeas coentes filosóficas despezando a azão e a ciência ocidental (endeusada até então), valoizando a vida e a foma de vivê-la bem consigo mesmo, o individualismo. Nesse aspecto, podemos destaca iedich

5 Nietzsche. Suas obas pincipais são O Nascimento da Tagédia, Gaia Ciência e Assim falava Zaatusta, cujas leituas são bastante ecomendadas. Vamos agoa analisa um caso geal, em que são aplicadas duas foças, 1 e, com dieções difeentes, fazendo ente si um ângulo, sobe um copo puntifome (com dimensões despezíveis). Pode-se veifica epeimentalmente que a foça esultante teá a seguinte disposição: R Repae que o veto foça esultante é a diagonal de um paalelogamo fomado pelos vetoes 1 e. Paece azoável edesenha a disposição dos vetoes da seguinte foma: R Essa nova disposição dos vetoes pode se eplicada da seguinte foma: a pati da foça 1, colocase, em sua etemidade, a oigem do veto. O veto foça esultante é o que liga a oigem de 1 à etemidade de. Repae que podeíamos te feito o mesmo na odem invesa, sem altea o esultado: R Seguindo o mesmo aciocínio, se ao invés de duas, tivéssemos tês foças sendo aplicadas sobe o copo, pode-se mosta que não impota a odem em que é feita a constução geomética: teemos sempe o mesmo veto foça esultante. Além disso, o elemento neuto do cálculo da foça esultante é cetamente o veto nulo. Ou seja, adiciona ao sistema uma foça nula (veto de módulo igual a zeo) é o mesmo que não faze nada. Esse conjunto de popiedades (comutativa, associativa, zeo como elemento neuto) sugee que a opeação de cálculo da foça esultante seja uma soma. Mas não se tata de uma soma de númeos, mas de vetoes. Dizemos então R = 1 + paa o sistema em que aplicam-se duas foças sobe o copo. Em um caso geal, em que se aplicam n foças, temos

6 ou ainda R = n, i= n R = i, i= 1 o que que dize que a foça esultante que age sobe um copo é a soma vetoial de todas as foças que lhe são aplicadas. Obsevação impotante: Dize que a foça esultante é a soma vetoial de todas as foças NÃO SIGNIICA DIZER QUE seu módulo é a soma dos módulos de todas as foças. Isso só acontece quando as foças têm a mesma dieção e o mesmo sentido, como no eemplo inicial do cao. Já no segundo eemplo, em que as foças têm a mesma dieção, poém sentidos contáios, temos uma soma vetoial, e o módulo da foça esultante é a subtação dos módulos das foças. Isto é, paa o segundo eemplo, R = 1 + e, no entanto, R = 1. Nós vamos agoa analisa o caso geal. Mas lembe-se que o veto foça esultante é sempe a soma vetoial das foças aplicadas, independentemente de sua disposição no espaço. De acodo com o eemplo anteio, podemos sintetiza a idéia de soma vetoial, infomalmente, da seguinte foma: dados os vetoes 1 e, a soma R = 1 + é a opeação que dispõe os vetoes de tal foma que a oigem de um coincida com a etemidade do outo e que liga os etemos do caminho fomado. Paa que fique mais clao, vamos analisa o póimo eecício. Eecício 4.3.1: São dadas quato foças aplicadas sobe um copo, como ilustado abaio. Esboce a disposição da foça esultante. 3 4 Solução: Repae que na disposição dada, todos os vetoes estão dispostos com suas oigens em um único ponto. Paa calcula a soma vetoial, nós vamos ealiza a seqüência: coloca a oigem de um veto na etemidade de outo e faze a ligação. Mas, como temos quato foças, faemos um caminho só. Veja como fica. 3 R 4 Podeíamos te ealizado a soma vetoial em qualque odem, pois ela dispõe das mesmas popiedades que uma soma algébica, como comutativa e associativa. Veja:

7 4 3 R Não impota a odem em que ealizamos a opeação, o esultado é sempe o mesmo. Cálculo do módulo da foça esultante Vamos volta ao caso em que temos apenas duas foças sendo aplicadas sobe o copo e elas fazem ente si um ângulo. Já vimos que a disposição da foça esultante seá a seguinte: Paa que calculemos o módulo da foça esultante em função dos módulos das foças aplicadas, vamos tansfoma a disposição vetoial acima em uma foma geomética. Isto é, cada veto seá tansfomado em um segmento de eta, cujo compimento é igual ao seu módulo. Contudo, consideaemos somente a pate que nos inteessa. Veja a segui: Agoa, vamos polonga o segmento coespondente ao veto, constuindo um tiângulo etângulo, cuja hipotenusa é o segmento coespondente a 1. Vamos também denomina os novos segmentos como m e h. m h O ângulo é a abetua ente os vetoes 1 e. Po isso, pode se tansfeido paa o tiângulo etângulo. Podemos também completa o ângulo de 180º à esqueda com 180º. Veja:

8 180 m h Repae que temos na figua dois tiângulos etângulos. O meno, com os lados 1, h e m. O maio, com, h e + m. Aplicando Pitágoas no tiângulo etângulo meno, temos: = m + h (I) Além disso, temos nesse tiângulo: m cos= m= 1 cos (II) O mesmo paa o tiângulo etângulo maio: = h + + m Substituindo ( h m ) 1 1 ( ) = h m+ m = +.. m+ h + m + po I e m po II, a equação acima fica: 1 1 ( ) = cos, que é a Lei do Paalelogamo. Em outas palavas, a diagonal do paalelogamo, que equivale ao módulo do veto foça esultante, é epessa confome a elação acima, em função unicamente dos lados do paalelogamo, que equivalem aos módulos das foças aplicadas sobe o copo, e do ângulo de abetua ente eles. Agoa, vamos chama de α o ângulo 180º. Pelo cículo tigonomético, podemos dize que cos 180 = cosα ( ) Substituindo na equação acima, teemos: = ( cosα), = +...cosα 1 1 que é a Lei dos Co-senos. az-se essa difeenciação poque no pimeio caso, calculamos a diagonal de um paalelogamo dados os seus lados e o ângulo de abetua ente eles. No segundo caso, focamos o tiângulo de lados 1, e. Estamos calculando um dos lados do tiângulo, dados os outos dois lados e o ângulo ente eles. Aplicação das conclusões obtidas nos eemplos iniciais Todo o pocesso dedutivo patiu dos eemplos mais simples, em que as foças tinham a mesma dieção, os quais nós analisamos intuitivamente. Vamos agoa veifica se as conclusões que nós obtivemos estão de acodo com os esultados iniciais. Havíamos concluído, inicialmente, que quando duas foças de mesma dieção e sentido eam aplicadas sobe um copo, o módulo da foça esultante seia a soma dos módulos das foças. Vamos veifica isso.

9 Confome estabelecemos, a foça esultante é dada pela soma vetoial das foças aplicadas (e isso vale paa qualque caso!): R = 1 +. Resta sabe se podeemos também esceve, paa esse caso, que R = 1 +. Como não há abetua ente as foças 1 e, o ângulo é igual a 0º. Vamos aplica a lei do paalelogamo paa calcula a foça esultante: = cos 0º 1 1 Como cos0º = 1, a equação acima é eescita da seguinte maneia: = O segundo membo da equação agoa é uma epessão passível de se fatoada. Sabemos que ( ) a+ b = a + b + ab, o que tem eatamente o mesmo fomato que o segundo membo da equação. Vamos então fatoá-lo: = + ( ) 1 Etaindo a aiz de ambos os temos, teemos: = +, confome já havíamos concluído. 1 No segundo eemplo que vimos, as duas foças aplicadas sobe o copo tinham a mesma dieção, mas sentidos contáios. Pela convenção, independentemente da disposição gáfica das foças, dizemos que R = 1 +. Se a intuição estive ceta, podemos afima, paa esse caso, que = 1. Paa veifica isso, vamos usa a Lei do Paalelogamo. Como as foças estão na mesma dieção e em sentidos opostos, o ângulo de abetua ente elas é de 180º. Podemos então esceve: = cos180º Como cos180º = 1, temos 1 1 = = R ( ) Novamente, podemos fatoa o segundo temo da equação. Lembando que ( a b) = a + ( b) + a( b) ( a b) = a + b ab Podemos eesceve a Lei do Paalelogamo paa esse caso da seguinte foma: = ( ) 1 Etaindo a aiz de ambos os temos, teemos: = 1 Caso das foças pependiculaes Vamos agoa analisa o caso em que as duas foças que são aplicadas sobe o copo fazem ente si um ângulo de 90º., Estabelecemos que R = 1 +. Potanto, Pela Lei do Paalelogamo,

10 Como cos 90º = 0, = cos90º 1 1 = 1 +, que é justamente a elação de Pitágoas. Isso é mais facilmente entendido se pecebemos que ao invés de um paalelogamo, teemos um etângulo no cálculo da foça esultante. E esta seá a sua diagonal. Resumindo: Vale a pena insisti que em todos os casos, sempe teemos R = 1 +, isto é, a foça esultante é a soma vetoial das foças aplicadas sobe o copo. A soma vetoial é uma opeação que consiste em auma os vetoes de tal foma que a oigem de um coincida com a etemidade do outo, e o veto esultante é aquele que une os etemos do caminho fomado po eles. Isso não significa definitivamente que R = 1 +. Como vimos, isso só iá ocoe nos casos em que as foças têm a mesma dieção e o mesmo sentido. No caso mais geal, o módulo da foça esultante é dado pela Lei do Paalelogamo: = cos. 1 1 Eecício 4.3.: Aplicam-se duas foças sobe um mesmo copo, de módulos 10 e 0 newtons. O ângulo ente as foças é de 10º. Calcule o módulo da foça esultante. Solução: Vamos esboça a disposição das foças aplicadas e da foça esultante. R O módulo da foça esultante é dado simplesmente pela aplicação da Lei do Paalelogamo, já que, geometicamente, o que queemos sabe é o valo da diagonal de um paalelogamo, dados os seus lados e o ângulo ente eles que é cotado pela diagonal. Pelo cículo tigonomético, podemos visualiza que cos10º = cos 60º = 1. Potanto, = cos10º = = = 300 = 300 = 10 3 Eecício 4.3.3: Paa o eecício anteio, calcule o ângulo ente a foça esultante e. Solução: Vamos considea o tiângulo fomado po esse ângulo, à dieita:

11 R Aplicando a Lei dos Co-senos paa esse tiângulo, teemos: = +...cos 1 R R 400= cos cos=0 cos= 0 = 90º Eecício 4.3.4: Uma pessoa empua um bloco com uma foça de 100 N, enquanto outa o pua, também com uma foça de 100 N, atavés de um fio que faz um ângulo de 60º com a hoizontal, confome a figua a segui. Detemine o módulo da foça esultante, e sua inclinação em elação à dieção hoizontal. Solução: Eistem duas fomas equivalentes de enega a foça esultante nesse caso. A pimeia, deiando os vetoes na mesma posição em que estão, é liga os etemos do caminho fomado po eles. Veja: 10º 60º Nesse caso, a foça esultante é um dos lados de um tiângulo, oposta ao ângulo de 10º, e os outos dois lados são conhecidos. Aplicamos então a Lei dos Co-senos: = +...cos10º 1 1 Pelo cículo tigonomético, podemos conclui que cos10º = cos 60º. Substituindo essa infomação na equação acima, temos: = ( cos60º ) = cos60º R 1 1 A segunda solução nos levaá à mesma equação paa o cálculo da foça esultante. Ela consiste em posiciona os vetoes de foma que suas oigens sejam coincidentes. Isso baseia-se no pincípio de que empua um copo com uma foça de 100 N tem o mesmo efeito que puá-lo, mantendo-se a dieção, o sentido e o módulo. Isto é, não impota a foma com que a foça é aplicada sobe o copo, só nos inteessam as suas tês caacteísticas básicas como um veto: módulo, dieção e sentido. Então veja:

12 R 60º Agoa, com as duas foças tendo suas oigens coincidentes, a foça esultante passa a se a diagonal do paalelogamo, calculada com a Lei do Paalelogamo. = cos60º 1 1 Essa epessão é idêntica à que chegamos pela pimeia solução. 1 = = = = = Paa calculamos o ângulo que a foça esultante faz com a hoizontal, vamos considea o tiângulo que contem o ângulo pocuado, a foça esultante e algum segmento conhecido na hoizontal. Isto é, teemos o seguinte tiângulo: Vamos aplica a Lei dos Co-senos de foma que encontemos o ângulo. = +...cos 1 R 1 ( ) cos = = cos 0= cos 3.cos= 3 Isto é, é o aco (ângulo) cujo co-seno vale da seguinte foma: R cos = =. = = º R. Podemos esceve isso em linguagem matemática 3 = accos. Ou seja, pela tabela que constuímos no início do capítulo, = 30º. Eecício 4.3.5: Duas foças 1 e são aplicadas sobe um copo puntifome, fazendo ente si um ângulo de 143º. Sabe-se que seus módulos são espectivamente iguais a 4,0 e 6,0 newtons e que cos53º = 0,6. Veja a figua abaio:

13 143º a) Esboce a constução da foça esultante; b) Calcule seu módulo. c) Detemine o ângulo que a foça esultante faz com Solução: Paa o esboço da disposição da foça esultante no sistema dado, fazemos o paalelogamo cujos lados são as pópias foças aplicadas: R O módulo da foça esultante pode se calculado pela Lei do Paalelogamo. = cos = cos143º = cos143º A dificuldade agoa está em detemina o co-seno de 143º. Sabemos apenas que cos53º = 0,6. Mas, como 143º = 180º 37º, pelo cículo tigonomético, podemos dize que cos143º = cos 37º. Po outo lado, 37º é o ângulo complementa de 53º, isto é, 37º + 53º = 90º. Isso, pelas elações que já estudamos, leva à equação cos 37º = sen 53º. Em suma, o que temos até agoa é: cos143º = cos 37º = sen 53º Tendo o co-seno de 53º, é fácil calcula o seu seno, pois sen 53º + cos 53º = 1. Dessa foma, sen 53º + 0, 6 = 1. sen 53º + 0, 36= 1 sen 53º = 0, 64 sen 53º =± 0,8 Temos duas possibilidades paa o seno de 53º. Como este ângulo é do 1º quadante, sen 53º =+ 0,8. Voltando à conta anteio, cos143º = cos 37º = sen 53º = 0,8 Agoa vamos utiliza esse esultado na Lei do Paalelogamo, a qual não tínhamos conseguido continua. = ( 0,8) = ,8 = 13,6 = 3,69 N E, po fim, se queemos calcula o ângulo de abetua ente a foça esultante e a dieção hoizontal, devemos utiliza o tiângulo que contem esse ângulo e lados conhecidos. Potanto, vamos aplica a Lei dos Co-senos sobe o tiângulo a segui: R

14 = +...cos 1 R R 4 = 3, , 69 6.cos 16=13, ,3. cos cos= 0, 76 Não sabemos, a pincípio, qual ângulo tem como co-seno 0,76. Nesse caso, há tês saídas. A pimeia é deia como esposta na foma de accos. Veja como: = accos 0, 76 Isso, assim como no eecício anteio, que dize que é o aco (ângulo) cujo co-seno vale 0,76. Não há poblema nessa foma de esposta, desde que ealmente não esteja na tabela que constuímos no início do capítulo. Podeíamos também consulta uma tabela tigonomética, como a mostada abaio. Há ainda a possibilidade do uso de uma calculadoa. Algumas possuem as funções acsen, accos e actg. 1 Mas eles são apesentados de uma foma difeente: sin 1, cos 1 e tan, espectivamente. Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9945 0, , ,693 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0791 0, , , , , ,4951 0, , , , , ,419 0, , , , , , , , , ,5 1, , ,9616 0, ,8746 0, , ,937 0, , , , , , , , , , , , , , , ,438371, ,340 0, , , ,4618, , , , , ,406737, , , , , ,390731, , , , , ,374607, , , , , ,358368, ,4618 0, , , ,340, , , , , ,35568, , , , , , , , , , , ,937 3, , ,8746 0, ,9616 0, ,487414

15 30 0,5 0, , , , , , , , , ,419 4, , , , , ,4951 4, , , , , ,0791 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,693 0, , ,9945 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Os vetoes posição e deslocamento Desta seção em diante, vamos eapesenta as gandezas cinemáticas do capítulo anteio, epandindo seus conceitos atavés da notação vetoial. Pode paece que a apesentação de todo o conteúdo anteio a espeito de foças foi sem objetivo, já que vamos simplesmente volta aos assuntos anteiomente abodados. Eistem duas obsevações a seem feitas sobe isso. A pimeia é que nas póimas seções, pecisaemos de conceitos de subtação de vetoes e, po isso, fez-se necessáia a intodução imediata da soma vetoial, justificada fisicamente pelo cálculo da foça esultante. A segunda efee-se ao fato de que não faz sentido paa a física, como uma ciência, simplesmente estuda as difeentes componentes descitivas de um movimento: posição, velocidade e aceleação, sem que possamos intefei dietamente sobe um sistema. A foma de intefeência sobe um sistema ocoe com as foças, e os efeitos poduzidos po essa inteação são descitos pelas Leis de Newton. Dado um sistema de efeência, isto é, um sistema de eios odenados com uma oigem, o veto posição (ou posição vetoial) de um copo é aquele que liga a oigem do sistema à posição ocupada pelo copo. Vamos supo que um copo se desloca po uma tajetóia qualque ao longo de um peíodo de tempo t = t. t 0. Suas posições, inicial e final, são mostadas no esquema a segui: s s 0 Ignoando a tajetóia, e consideando apenas as posições inicial e final ocupadas pelo copo, definimos o veto deslocamento em um intevalo t como aquele que liga as posições inicial e final ocupadas pelo copo no intevalo t.

16 s s 0 d Vamos destaca o tio de vetoes analisados neste eemplo. Lembe-se que em uma soma vetoial, dispõem-se os vetoes de foma que a etemidade do pimeio coincida com a oigem do outo, e o esultado é o veto que liga os etemos do caminho fomado. Repae o caminho seguido pelo veto deslocamento (mostado etenamente aos vetoes posição): s s 0 d Podeíamos dize, potanto, que o veto deslocamento é a soma de dois vetoes: o pimeio, com o mesmo módulo e a mesma dieção que s0, mas de sentido contáio a ele (vamos chamá-lo de ); e o outo é s. Isto é, s d = + s Quando estudamos a cinemática escala, utilizamos como padão que, dada uma dieção, o sinal negativo em uma gandeza invetia o seu sentido. Assim sendo, é azoável dize que = s0. Sendo assim, podemos dize que o veto deslocamento pode se epesso da seguinte maneia: d = + s d = s0+ s d = s s Potanto, po analogia ao movimento unidiecional, também chamamos o veto deslocamento de 0 s. s= s s0 s s0 Obsevação impotante: De foma a genealiza o esultado anteio, podemos dize que a disposição dos vetoes acima sempe é válida paa uma subtação vetoial. Se dois vetoes a e b estão dispostos de foma que suas oigens estão posicionadas no mesmo ponto, como os vetoes s0 e s no eemplo acima, o veto a b é aquele que liga a etemidade de b à etemidade de a. Seja o ângulo ente os vetoes posição do móvel, confome mosta a figua acima. Pela Lei dos Cosenos, obtida a pati da Lei do Paalelogamo, podemos esceve: s = s + s. s. s.cos 0 0

17 Repae no sinal de menos no segundo temo da equação, que a difeencia da Lei do Paalelogamo, já que estamos estudando um tiângulo. 5. Os vetoes velocidade média e velocidade instantânea Vamos considea, em pincípio, o mesmo movimento do eemplo anteio, ocoido no intevalo de tempo t. Posseguindo na analogia com a cinemática escala, vamos defini o veto velocidade média (ou velocidade vetoial média) como: s v = m t Isto é, o veto velocidade média é a azão ente o veto deslocamento e o intevalo de tempo, uma divisão de um veto po um valo escala. az sentido que o veto velocidade média tenha a mesma dieção e sentido que o veto deslocamento e, além disso, sua intensidade coesponda de fato à apidez do movimento. Vamos então, genealizando, considea paa essa opeação uma deteminada ega. Sempe que dividimos um veto v po um escala c, o esultado seá um veto: Cuja dieção é a mesma de v ; Cujo sentido é o mesmo de v, se c fo positivo; ou é o contáio do de v, se c fo negativo; Cujo módulo é a azão ente o módulo de v e o escala c: v. c Dessa foma, paa o eemplo anteio teemos o veto velocidade média disposto da seguinte maneia: s s s s0 s vm = = t t s0 Pelo padão que definimos, o veto velocidade média deve te sempe a mesma dieção que o veto deslocamento. Além disso, como t é sempe um valo escala positivo, eles também teão sempe o mesmo sentido. E seu módulo é dado po s vm =, t onde s é calculado pela Lei dos Co-senos, confome a seção anteio. A pati de agoa, iemos continua mantendo a analogia com a cinemática escala sem a peocupação de tece esse comentáio paa cada nova definição. Vamos então defini o veto velocidade instantânea (ou velocidade vetoial instantânea) como: v= limv m, t 0 ou seja, a velocidade vetoial instantânea é a velocidade vetoial média paa um peíodo de tempo t muitíssimo pequeno, paa um instante. Dessa foma, escevemos também: s v= lim, t 0 t que, pela definição de deivada, equivale a esceve ds v=. dt Isso significa que a velocidade vetoial é a taa de vaiação da posição vetoial. Paece azoável supo que o módulo da velocidade vetoial instantânea é justamente o módulo do valo da velocidade escala, isto é, o módulo da velocidade vetoial instantânea epesenta eatamente a apidez do móvel naquele instante. Mas qual é a sua dieção e o seu sentido? A esposta não é eatamente óbvia poque em um intevalo t muito pequeno, não fica clao qual é a dieção do veto deslocamento.

18 Vamos considea a tajetóia de uma patícula no intevalo t = t t 0 significativo, e o espectivo veto deslocamento: d Nesse caso, a velocidade vetoial instantânea teá uma disposição como a segui: v m Se a velocidade vetoial instantânea equivale à velocidade vetoial média paa um intevalo t muitíssimo pequeno, vamos faze isso de foma a apoima t de t 0. Ou seja, vamos considea deslocamentos cada vez mais cutos a pati do instante t 0, que é fio. Em temos espaciais, dada a posição inicial do movimento, vamos anda com a posição final ao longo da tajetóia até que ela fique bastante póima da posição inicial. Veja: v m v m v m No caso limite, em que a posição final do peíodo analisado é infinitamente póima da posição inicial e, potanto, o intevalo t é infinitamente pequeno, teemos o caso limite, em que a dieção da velocidade vetoial instantânea é tangente a cuva. v Repae que a velocidade vetoial instantânea efee-se a um deteminado instante, e não a um intevalo de tempo. No caso acima, calculamos a velocidade vetoial instantânea paa o instante t 0. Paa cada instante difeente, a velocidade vetoial instantânea é tangente à tajetóia na posição ocupada pelo

19 móvel no instante consideado. Veja a segui as velocidades vetoiais instantâneas em difeentes instantes: v v v v 6. Os vetoes vaiação de velocidade, aceleação média e aceleação instantânea O veto vaiação de velocidade em um intevalo t = t t 0 é definido como v= v v, em que v 0 é a velocidade inicial (no instante t 0 ) e v, a velocidade ao final do peíodo t, no instante t. Se consideamos o eemplo anteio, teemos o seguinte: 0 v 0 v v De foma idêntica à seção anteio, quando estudamos o veto deslocamento, podemos calcula o módulo do veto v atavés da Lei dos Co-senos, a pati do tiângulo fomado pelos vetoes. O veto aceleação média (ou aceleação vetoial média) é a azão v am =, t que, pelos mesmos motivos eplicados anteiomente, tem a mesma dieção e o mesmo sentido que v v, e seu módulo é dado po. Paa o eemplo dado, temos t v a m 0 v v Chegamos a um ponto em que, caso não adiantemos alguns conceitos impotantes desenvolvidos po Newton, os assuntos abodados ficam demasiadamente abstatos. Po eemplo, a aceleação vetoial média, a pincípio, não tem nenhum significado tangível. Na vedade, podemos dize que a aceleação é o esultado da aplicação de uma foça. A foça aplicada sobe um copo é dietamente popocional à aceleação adquiida po ele. Vamos eve o eemplo anteio. O copo tem, inicialmente, a velocidade v 0, vetical apontada paa cima. Algum agente eteno inteage com ele, fazendo com que mude a dieção de sua velocidade e, potanto, a sua tajetóia.

20 v v v v 0 É plausível afima que a foça deve te a mesma dieção e o mesmo sentido que a aceleação vetoial média. Ou seja, teemos algo como a segui: v v v E é justamente essa inteação atavés da foça que faz com que o móvel mude a dieção de sua velocidade ao longo do tempo. O veto aceleação instantânea (ou aceleação vetoial instantânea) é a aceleação vetoial média paa um peíodo de tempo infinitamente pequeno. v dv a= lima = lim = m t 0 t 0 t dt A aceleação vetoial instantânea coesponde à taa de vaiação da velocidade vetoial instantânea. Isso significa que ela é esponsável po faze vaia tanto a dieção da velocidade, em uma tajetóia cuvilínea, como mostado anteiomente, quanto o módulo da velocidade, fazendo com que o movimento seja aceleado ou etadado. Vamos analisa essa dupla função da aceleação vetoial em difeentes eemplos. Eemplo 4.6.1: O movimento de um móvel é etilíneo (uma eta, não faz cuvas) e aceleado (o módulo da velocidade está aumentando). É plausível supo que a aceleação tem a mesma dieção e o mesmo sentido que a velocidade, já que vimos que a aceleação tem uma elação dieta com a foça aplicada sobe o móvel. Isto é, o móvel tem ceta velocidade em um movimento etilíneo, e queemos mante sua dieção, mas aumenta o seu módulo. É como se déssemos um empuão, na mesma dieção e no mesmo sentido que sua velocidade. Eemplo 4.6.: Ainda queemos te um movimento aceleado, mas queemos que a tajetóia tenha ceta cuvatua. Deveemos te uma foça e, potanto, uma aceleação, que eeça as duas funções. v 0 a v a v Eemplo 4.6.3: Paa um movimento etilíneo e etadado, teemos

21 a v Eemplo 4.6.4: Paa um movimento cuvilíneo e etadado, v a Eecício 4.6.1: Um móvel desloca-se sobe uma tajetóia qualque e suas velocidades v 0 e v nos instantes t 0 e t são epesentadas pelos vetoes abaio. v 0 60º v Sabe-se que v 0 = 8, 0 m/s t = t t 0 = 0,1 s. e v = 6,0 m/s. Detemine a aceleação vetoial média no intevalo Solução: Devemos eoganiza os vetoes acima dispostos de foma que suas oigens coincidam em um mesmo ponto. Assim, esboçamos também o veto v. Veja: v 0 10º 60º v v Pela Lei dos Co-senos, podemos calcula o módulo do veto v. v = v + v. v. v.cos10º Como cos10º = cos 60º, temos 0 0

22 v = v + v0. v. v0.( cos60º ) v = 6,0 + 8,0 6,0 8,0 v = v = 1,17 m/s ( 1 ) A aceleação vetoial média, deve te a mesma dieção e sentido que v 1,17 a = = = 11,7 m/s t 0,1 v, e seu módulo é dado po 7. Decomposição de um veto em componentes otogonais Suponha um sistema efeencial qualque, com a oigem sobe um copo de dimensões despezíveis. Sobe esse copo, aplicamos uma foça, que faz um ângulo com a dieção hoizontal, confome a figua abaio mosta. Agoa, vamos cia dois vetoes que epesentam as pojeções do veto sobe os eios e : e, espectivamente. Já à pimeia vista, podemos afima que é a soma vetoial de = + e. Potanto, é equivalente aplica sobe o copo a foça, ou simultaneamente e. Essa nova visão sobe a aplicação da foça não é po acaso: a decomposição em duas componentes otogonais sobe os eios catesianos deteminados viá a facilita muito os cálculos com vetoes. Podemos calcula o módulo de simplesmente utilizando as elações que já estudamos: = + Se aumamos os vetoes acima de foma a enega a esultante vetoial como a união dos etemos do caminho fomado pelos vetoes, teemos um tiângulo etângulo:

23 Desse tiângulo etângulo, podemos etai as seguintes elações tigonométicas em : cos = =.cos, sen = =.sen, tg = =.tg e =. tg Analogamente, se tivemos α= 90º, a disposição inicial seia a seguinte: E, nesse caso, teíamos: =.senα, =.cosα, =.tgα α e =. tgα Repae que, dado o módulo de um veto qualque, podemos calcula suas pojeções, simplesmente multiplicando-o pelo co-seno do ângulo ente o veto e a pojeção ou pelo seno do ângulo complementa. Eecício 4.7.1: Um pego enconta-se cavado nomalmente (pependiculamente) a uma tábua. É peciso aplica uma foça de 0N ao longo do pego paa aancá-lo. Que foça fomando um ângulo de 30º com a tábua pecisamos faze paa aanca o pego? Solução: Este eecício é uma aplicação pática da utilidade da decomposição de foças em componentes otogonais. Contudo, eistem muitas outas vantagens de seu uso. Vejamos como podemos esquematiza a situação descita acima. 30º

24 É fácil conclui que pua o pego hoizontalmente, isto é, na dieção paalela à tábua, em nada vai adianta paa aancá-lo. Assim, quando aplicamos a foça, iemos decompô-la em duas componentes otogonais: na dieção da tábua (a foça inútil) e pependicula a ela, ou seja, na dieção do pego (a foça útil). Como a foça aplicada é a soma vetoial de suas componentes, aplicá-la unicamente é equivalente a aplica isoladamente suas componentes. Vamos então substitui o poblema po outo, no qual aplicamos apenas as duas componentes otogonais no luga da foça eal. Agoa, só a componente ela deve te intensidade de 0 N. A componente seá esponsável po aanca o pego da tábua, e pelo que já sabemos, Podemos calcula o módulo da foça, pois =.sen 30º 0 =. 1. = 40 N não teá influência sobe o pego. Ainda podemos obseva que quanto mais inclinada em elação ao pego estive a foça aplicada, maio deve se sua intensidade de foma que aanque o pego. Po isso, a posição ótima da foça, isto é, que pemite a meno intensidade paa aanca o pego, é a posição vetical. Isso ocoe, poque quanto mais inclinada em elação ao pego estive a foça, maio seá a componente inútil da foça, que deveá se muito gande paa que ainda se tenha 0 N na componente vetical, a componente útil. Cetamente, a idéia de decomposição ainda não está muito claa, pincipalmente quanto ao motivo pelo qual esse método é usado. Nas póimas seções, a compeensão seá desenvolvida. 8. Os vesoes ou vetoes unitáios Antes de finalmente concluimos a utilização dos vetoes na física, ainda devemos apesenta um último conceito, os vetoes unitáios. Tatam-se de vetoes otogonais, na dieção dos eios estabelecidos paa o sistema efeencial do univeso estudado, e de módulo igual a 1. Paa evidencia essa caacteística desses vetoes, utilizaemos uma notação ligeiamente difeente: ao invés de uma seta, colocaemos um chapéu sobe o nome do veto. Po eemplo, no plano, teíamos po padão os seguintes vetoes unitáios (ou vesoes): Os vesoes apesentam uma foma altenativa de epesentação de um veto qualque. Po eemplo, vamos considea um veto, com = 1,0 N, inclinado de 60º com a dieção hoizontal. A epesentação de e de suas componentes otogonais é dada a segui. ŷ 60º Como vimos na seção anteio, podemos calcula os módulos das componentes otogonais da seguinte foma: 1 =.cos60º = 1 = 6,00 N

25 3 =.sen 60º = 1 = , 4 N A componente tem a mesma dieção e sentido que o veto unitáio. Além disso, como vetoes unitáios têm módulo igual a 1, o módulo de é então seis vezes maio que o de, ou seja, 6. =. Resumiemos, a pati de agoa, essas caacteísticas dizendo que 6. =. Peste bastante atenção na notação utilizada. Dize que 6. = significa que é a multiplicação do veso pelo valo escala 6. E isso é mais abangente do que simplesmente dize que 6. =, isto é, que o módulo de é seis vezes maio que o módulo de. A epessão inclui também a infomação de que esses vetoes tem a mesma dieção e o mesmo sentido. Colocando ambos os vetoes na mesma escala, temos: Que dize, multiplica um veto po um escala positivo é: Mante a dieção; Mante o sentido; Multiplica o módulo do veto pelo valo escala. é: Analogamente ao que vimos na divisão po um escala, multiplica um veto po um escala negativo Mante a dieção; Invete o sentido; Multiplica o módulo do veto pelo módulo do valo escala. De foma análoga, dizemos que = 10,4.. Como = +, dizemos que = , 4.. Eecício 4.8.1: Esceva em função dos vetoes unitáios e ŷ a foça dada abaio. Sabe-se que seu módulo é igual a 5,0 N e que o ângulo que ela faz com a hoizontal é de 30º. Solução: Vamos calcula pimeiamente as componentes otogonais: 3 =.cos 30º = 5 4, 3 N 1 =.sen 30º = 5 =,5 N Mas epae que dessa vez, tem sentido contáio ao de. Po isso, vamos dize que Sendo,5. =, podemos esceve como: = 4,3. +,5. = 4,3.. Obsevação: Agoa, de foma mais geal, podemos dize que =± ±.

26 9. Casos mais compleos do cálculo da foça esultante As técnicas que vimos nas últimas seções não eistem à toa. Vamos ve agoa, atavés de eecícios, alguns casos em que seu uso é bastante útil. Eecício 4.9.1: Detemine paa o sistema abaio o módulo da foça esultante aplicada sobe um copo puntifome = 8 N = 10 N 3 = 5 N = 6 N 4 Solução: Vamos considea os vetoes unitáios e ŷ, mas não nas dieções convencionais. Paa facilita a esolução, vamos chama de o veto unitáio que tem a mesma dieção e o mesmo sentido que 1 e de ŷ, o veto unitáio que tem a mesma dieção e o mesmo sentido que. Assim, podemos esceve todas as foças em função de e ŷ. Veja abaio: 1 = 8. = = 5. 4 = 6. A foça esultante é dada então po: R = i = R = R = + Se escevemos a foça esultante como a soma de suas componentes otogonais, nas dieções das foças dadas e dos vesoes definidos, teemos R = +, onde = 3 N e = 4 N. R Agoa, podemos calcula o módulo da foça esultante, pois R = + R = = 5 N R

27 Eecício 4.9.: Detemine a foça esultante no sistema abaio. 3 60º 60º 4 Desenho foa de escala 1 = N = 10 3 N 3 = 6 3 N = 4 3 N 4 Solução: Vamos defini como vetoes unitáios e ŷ, nas dieções hoizontal e vetical, espectivamente. Assim, podemos esceve em sua função as quato foças aplicadas sobe o copo. =. = = cos 60º. + sen 60º. = = = 3 cos 60º. + 3 sen 60º. 3 = = =. = ( 4 3 ). = ( 3 4 ) A foça esultante então é dada po: R = i = R = ( ). + ( ) ( 3 ). 3. R = + + Isso que dize que as componentes otogonais e da foça esultante têm módulos = + 3 N e = 3 N. Podemos então calcula o seu módulo: R = + R = ( + 3) + 3 R = = = ,73 N R O poblema é calcula a foça esultante, e não apenas o seu módulo. Isto é, falta descobimos sua dieção (e o seu sentido). Vamos então considea o seguinte tiângulo etângulo, cujos lados são a pópia foça esultante e suas componentes. R Desse tiângulo, tiamos dietamente uma das tês elações tigonométicas sobe, como a segui: 3 tg= = 0, = actg 0,3

28 A epessão anteio de é suficiente paa caacteiza a dieção da foça esultante. Poém, podemos ainda consulta a tabela tigonomética dada, e descobi o valo de. E, nesse caso, teemos: 18º Eecício 4.9.3: Um sistema de foças aplicadas sobe um copo puntifome é mostado abaio. Se a não aplicação de nenhuma foça sobe esse copo é equivalente ao sistema dado, calcule os módulos de e 3. Sabe-se que 1 = 6 N. 60º 45º 3 Solução: Dize que não aplica nenhuma foça sobe o copo é equivalente ao sistema dado, significa que sua foça esultante é nula. Nesse caso, tanto sua componente em quanto em são nulas também. Como temos feito nos últimos casos, teemos:.cos 60º.cos 45º. = + +.sen 60º.sen 45º. R ( 1 3 ) ( 1 3 ) Vamos anula cada uma das componentes agoa. Teemos então um sistema a se esolvido: 1.cos 60º + 3.cos 45º = 0 1.sen 60º 3.sen 45º = 0 Substituindo as elações tigonométicas e 1 = 6 N, teemos: A equação de baio nos dá: = = = = 6. = 3 N Substituindo esse valo na pimeia equação, teemos: = 0 1 = = ( 3+ 3) 3,35 N Conclusão Agoa você já deve domina de foma completa todas as gandezas mais básicas da física, tanto no âmbito escala quanto no âmbito vetoial. Isso que dize que as definições e as elações decoentes mais dietamente foam estudadas em ambos os planos de análise. Tudo que veemos a pati de agoa são as