Dinâmica de um Sistema de Partículas 4 - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

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1 Dinâmica de um Sistema de atículas Da. Diana Andade, Da. Angela Kabbe, D. Caius Lucius & D. Ségio illing 4 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Se um onto se moe numa cicunfeência, seu moimento é cicula, odendo se unifome ou não. Alguns moimentos ocoem em setoes de cicunfeência tendo caacteísticas semelhantes ao moimento cicula, emboa não sejam chamados com esse nome. Um eemlo é o êndulo. O moimento cicula ode se tatado como um moimento em uma dimensão (1D), (ataés de uma única coodenada) ou em duas dimensões (D), ataés da decomosição,, ois este moimento se dá num lano. imeio ejamos o moimento cicula como um moimento 1D. Uma ez definido o onto R e a conenção de sinais, a coodenada s de um onto numa eta ou numa cua abeta, ossui um único alo. Seu módulo é dado elo comimento do techo de cua que ai de R a, sendo o sinal atibuido de acodo com a conenção adotada. Num cículo, ou qualque cua fechada, a escolha de R e da conenção de sinais não é suficiente aa defini a coodenada de osição de modo inequíoco. Seja ela escala ou ola, há infinitos aloes ossíeis aa a coodenada de um deteminado onto sobe a cua, todos medidos a ati de R. O eemlo a segui mosta dois aloes, s 1 e s, aa uma mesma osição de e aa o mesmo obseado. R s 1 R cm s s 1 = (!/). 5 " 7,85 cm s = (3!/). 5 " 3,6 cm

2 O moimento cicula unifome é o moimento cicula no qual o onto se moe com elocidade escala (ou angula) constante. Nesse caso as funções s(t) e #(t) são lineaes em t: s(t) = s 0 t, onde s 0 e são a coodenada de osição escala inicial e a elocidade escala da atícula, esectiamente. #(t) = # 0 wt, onde # 0 e w são a coodenada ola inicial e a elocidade angula da atícula, esectiamente. s(t) e #(t) são fomas altenatias de descee o moimento cicula e não são indeendentes. As gandezas escalaes do moimento estão elacionadas dietamente com as esectias gandezas angulaes ataés do aio do cículo: s(t) = #(t) ; (t) = # (t) ; a(t) = # (t) No moimento cicula unifome temse: (t) =, constante e # (t) = w, $ constante odemos ainda, descee o moimento cicula unifome como um moimento em duas dimensões (D), ois o onto se moe num lano, o lano do cículo. Assim, o moimento de é descito elas coodenadas (t) e (t), num sistema de efeência catesiano eiamente escolhido. Os moimentos das sombas e obedecem às elações do moimento etilíneo, isto é, elocidade e aceleação são esectiamente a imeia e segunda deiadas das funções (t) e (t). A elocidade e aceleação de uma somba é a ojeção do eto elocidade e do eto aceleação, esectiamente, no eio coesondente. Eemlo41: Um onto moese num cículo de aio e dois obseadoes estudam seu moimento: o obseado 41 usa a descição 1D. aa esse obseado o moimento é descito ela coodenada ola #(t). As conenções aa a coodenada #(t) são as mesmas da coodenada escala s(t) e estão mostadas na FIG. 41 ela efeência R e conenção de sinais. A FIG. 41 mosta o onto num instante de temo t qualque. O ângulo mostado, #(t) é ositio (sentido antihoáio é ositio, de acodo com a conenção R ).! (t) R FIG. 1: coodenada ola segundo obseado 1

3 o obseado usa a descição D. aa esse obseado o moimento é descito no sistema de efeência catesiano mostado na FIG. 4. A oigem foi escolhida como sendo o cento do cículo. (t) 0 (t) FIG. : coodenadas catesianas segundo o obseado a)reesente na FIG. 43 o ângulo #(t), confome definido elo obseado 1 (FIG. 41) b)com dois iscos a láis, moste na FIG. 3 os segmentos de eta que eesentam os aloes de (t) e (t). (t) t! (t) 0 (t) FIG. 3

4 c)obtenha a elação ente o segmento (t) (cateto adjacente) e o ângulo #(t). (t) = cos [#(t)] d)faça o mesmo aa o segmento (t) (cateto oosto). (t) = sen [#(t)] ; (t) é igual ao tamanho do cateto oosto ao ângulo. 4.1 Aceleação centíeta e eíodo: Emboa a elocidade escala não aie no moimento cicula unifome, o moimento é aceleado oque a elocidade muda de dieção. A figua ao lado mosta a elação ente os etoes elocidade e aceleação em áias osições duante o moimento cicula unifome.! O módulo dos dois etoes emanece constante duante o moimento, mas a oientação aia continuamente.! A elocidade está seme na dieção tangente à cicunfeência e tem o mesmo sentido que o moimento.! A aceleação está seme na dieção adial e aonta aa o cento do cículo. o essa azão, a aceleação associada ao moimento cicula unifome é chamada de centíeta ( que busca o cento ). Como seá demonstado a segui, o módulo dessa aceleação centíeta a! é: a % (aceleação centíeta) (4.1) onde é o aio da cicunfeência e é a elocidade da atícula. Duante essa aceleação com elocidade escala constante a atícula ecoe a cicunfeência comleta (uma distância igual a! ) em um intealo de temo dado o: T! % (eíodo) (4.) O aâmeto T é chamado eíodo de eolução ou, simlesmente, eíodo. eíodo é o temo que uma atícula lea aa comleta uma olta em uma tajetóia fechada.

5 Demonstação da equação 5.1: aa detemina o módulo e a oientação da aceleação no caso do moimento cicula unifome, considee a figua ao lado. Em (a) a atícula se moe com elocidade escala constante enquanto ecoe uma cicunfeência de aio. No instante mostado, ossui coodenadas e.! é seme tangente a tajetóia da atícula na osição consideada. Isso significa que, na figua,! é eendicula a uma eta que liga o cento da cicunfeência à osição da atícula. Nesse caso, o ângulo # que! faz com a eta etical assando elo onto é igual ao ângulo # que o aio faz com o eio. As comonentes escalaes de! aaecem na figua (b). Assim,! ode se escita em temos dessas comonentes, como:! % iˆ & ˆj % (' sen# )ˆ i & ( cos# ) ˆj Vemos que sen# % e cos # %. (4.3)! ' %, * iˆ ( & ), * ˆ ( j ) (4.4) Sendo a aceleação, a taa de aiação temoal da elocidade e lembando que tanto o aio quanto a elocidade escala são constantes, odemos escee:!! d a % dt % ', d dt * d iˆ ( & ), dt * ˆ ( j ) (4.5) De acodo com a figua, % 'sen# e % cos#, sendo a imeia, a comonente e a segunda, a comonente da elocidade. Desta foma:! * a cos iˆ * % sen ˆ ' # & j ( ' # ( (5.6), ), )

6 Assim, o módulo da aceleação seá dado o: a % a & a % (cos# ) & ( sen# ) % aa detemina a oientação de a!, temos que enconta o ângulo.: a ' ( / ) sen# tg. % % % tg# a ' ( / )cos#. % # Significando que a! aonta na dieção do aio da figua acima, no sentido do cento da cicunfeência, como queíamos demonsta. Eemlo 4.1: Os ilotos de caça se eocuam quando têm que faze cuas muito fechadas. Como o coo do iloto fica submetido à aceleação centíeta, com a cabeça mais óima do cento de cuatua, a essão sanguínea no céebo diminui, o que ode lea à eda das funções ceebais. Os sinais de eigo são áios. Quando a aceleação é de g ou 3g, o iloto se sente esado. Quando a aceleação assa aa 4g a isão do iloto assa aa eto e banco. Se a aceleação é mantida ou aumentada, o iloto assa a não enega e logo em seguida ede a consciência. Qual o módulo da aceleação, em unidades de g, aa um iloto cuja! aeonae inicia uma cua hoizontal com uma elocidade 0 % (400ˆ i & 500 ˆ) j m / s e 4,0! s aós temina a cua com f % '( 400ˆ i & 500 ˆ) j m / s? Suonha que o moimento é cicula unifome. ( 400) & (500 a % % ), mas não temos. Usando: T! %! % T! Como a elocidade final é o negatio da elocidade inicial, significa que o aião temina a cua no lado oosto da cicunfeência e comletou metade de uma cicunfeência em 4,0 s. Assim, T=48 s. Substituindo na equação acima: 48 (400) & (500) % % 4891, 77m! ( (400) & (500) ) a % 4891, ,77 e ,81 % % % 83,81m / s Assim, a 8, 6g % /. 9,8

7 Eecícios: 1) Um onto moese numa cicunfeência de aio 50 cm e sua osição angula é dada! 5 ela função #(t) = &! t (ad, s). Considee o sistema de efeência catesiano 8 indicado na FIG. 4. As conenções aa as coodenadas escala e angula estão também indicadas. FIG. Mosta o onto num instante qualque t, difeente de zeo. # R Maque F (falso) V(edadeio) ( ) o moimento de é no sentido antihoáio. ( ) o eíodo do moimento é da 0,16s. ( ) a somba do onto moese ente = 50cm e = 50cm. ( ) quando # = 3!, a elocidade da somba é igual a zeo. ( ) quando t=0 a somba encontase na oigem do sistema de efeência. 5 ( ) a elocidade escala de é igual a! cm/s. ( ) em t=0,04s a elocidade da somba é negatia. ( ) no instante em que o onto comleta uma olta, a aceleação da somba é negatia. ( ) a coodenada escala de, no instante t=0 é s(0) = 50 8! cm. ( ) seme que =0 o eto aceleação é aalelo a. Res.: V V V F F F V V V V

8 )Um onto gia unifomemente no sentido hoáio sobe uma cicunfeência de aio 40cm na taa de 7 otações o minuto. No instante t=0, a osição do onto é dada o sua coodenada escala s(0) = 10! cm. O sistema de efeência e conenções aa coodenada escala estão indicadas na FIG. abaio. R a) Obtenha a função "(t) que descee o moimento do onto. b) Na FIG. 5, maque A, osição inicial de, e eesente o eto elocidade nesse instante. c) Calcule o eíodo, o módulo da elocidade escala 1 de um onto distante /4 do cento do cículo e os módulos da elocidade escala e da aceleação de. Res.: 0,833...s; 75,4 cm/s; 30 cm/s; 74 cm/s 3) A osição de um onto sobe uma cicunfeência é dada o # 0 = 4! ad, nas conenções mostadas na FIG. 6. A ati desse instante seu moimento é unifome, no sentido antihoáio e à taa de 3 oltas comletas o segundo. O aio da cicunfeência é igual a 0cm e o lano do moimento é etical. a) Dê a função #(t) que descee o moimento de aa t 0 0. b) Detemine: #(t) = o eíodo do moimento T = 1/3 s a função s(t) que descee o moimento de sobe a tajetóia. s(t) = 5! 10! t (cm,s)

9 o módulo da elocidade! (t) do onto num instante de temo t qualque. Res.: 10! cm/s FIG. # 0 R c) Obtenha as funções (t) e (t) que desceem o moimento de no sistema de efeência catesiano da FIG. 3 e detemine as funções (t), (t), a (t) e a (t), elocidades e aceleações das sombas e esectiamente. (t) = 0 cos (!/4 6! t) (cm,s) (t) = 10! sen (!/4 6! t) (cm,s) a (t) = 70! cos (!/4 6! t) (cm,s) (t) = (t) = a (t) = d) Detemine t 1 e t, instantes de temo em que a somba atinge o onto mais alto de seu moimento ela imeia e segunda ez, esectiamente. Obtenha o eto aceleação quando assa o esse onto e desenheo na FIG. 6. t 1 = (1/4) s ; t = 0,375 s a! = (a, a ) = (0, 70! cm/s )