Notas de Aula de Física

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1 Vesão pelimina de setembo de Notas de Aula de ísica 8. CONSRVAÇÃO DA NRGIA... ORÇAS CONSRVATIVAS NÃO-CONSRVATIVAS... TRABALHO NRGIA POTNCIAL... 4 ORÇAS CONSRVATIVAS - NRGIA MCÂNICA... 4 negia potencial elástica... 5 negia potencial gavitacional... 5 CÁLCULO DA TRAJTÓRIA A PARTIR DO POTNCIAL... 6 USANDO A CURVA DA NRGIA POTNCIAL... 6 ORÇAS NÃO CONSRVATIVAS... 9 SOLUÇÃO D ALGUNS PROBLMAS

2 8. Consevação da enegia Quando eigimos das pessoas que moam em nossa casa que apaguem a luz ao sai de um aposento, não deiem a televisão ligada à noite enquanto domem, fechem bem a toneia paa que não fique pingando, ou, ainda, abaiem a chama do gás quando a água feveu, estamos demonstando peocupação com o despedício Despedício significa que algo útil foi jogado foa sem te sido apoveitado - foi despediçado. A água da toneia que pinga vai emboa pelo alo e a gente nem pecebe. uma água nova enta na caia d água, em substituição àquela que foi despediçada Agoa pae e pense em quantas vezes você já ouviu alguém dizendo esta fase, bastante conhecida: Nada se pede, tudo se tansfoma. ssa fase é de Lavoisie, um famoso cientista fancês do século 8. Podemos entende esta fase, po eemplo, quando colocamos água numa panela e a aquecemos, podemos ve que a água vai evapoando e o seu nível na panela vai diminuindo. Isso não significa que a água é pedida mas que está se tansfomando em vapo d água a água que escoe pelo alo, também se tansfoma? Podemos pensa em temos de utilidade, isto é, a água que estava na caia-d água ea útil, mas, depois que se foi pelo alo, pedeu sua utilidade. Se quisemos utiliza novamente a água que se foi, teemos que paga à companhia de água e esgoto, paa que tate mais água e que esta seja enviada pelo encanamento até a nossa caia-d água Ou seja, haveá um custo na eutilização da água que já foi utilizada. No nosso dia-a-dia, usamos muito a epessão despedício de enegia, que se efee ao despedício dos váios tipos de enegia, como, po eemplo: - negia témica: quando deiamos uma geladeia abeta, haveá um custo paa que seu inteio se esfie novamente. - negia elética: banhos de chuveio elético demoados geam enome consumo de eleticidade, que também teá um custo. - negia química: caos mal egulados consomem mais do que o nomal, aumentando assim o gasto de combustível. Todas essas tansfomações, cuja enegia não pode se eapoveitada, são chamadas de tansfomações. Ou seja, é impossível pega o fio que sai da geladeia enquanto a pota está abeta e colocá-lo de volta dento da geladeia. É impossível pega a eleticidade que foi usada no chuveio elético e colocá-la de volta no fio. É impossível usa o gás que saiu do escapamento de um automóvel, paa enche novamente o tanque de gasolina A maioia das tansfomações de enegia são do tipo ievesível. Isso significa que a enegia útil se tansfomou num outo tipo de enegia e não pode se eutilizada. Uma pequena pate das tansfomações são do tipo evesível, ou seja, a enegia pode se tansfomada em outa foma de enegia e depois volta a se o que ea. Um sistema que tem essa popiedade é chamado de sistema consevativo. Telecuso de ísica - º gau do Telecuso - Aula 6 Cap 8

3 oças consevativas e não-consevativas Uma foça consevativa caacteiza-se po eecuta um tabalho nulo quando se considea um pecuso fechado. No sistema massa - mola, quando a massa etona a um dado ponto, ela tem a mesma enegia cinética da passagem anteio, com a mesma capacidade de poduzi tabalho, potanto o tabalho ealizado pela mola foi nulo, neste pecuso fechado. A enegia potencial está sempe associada a uma foça. A enegia potencial de um copo epesenta a capacidade dele poduzi enegia cinética ou, de maneia mais genéica, tansfoma essa enegia num outo tipo de enegia. Um copo que está numa ceta altua acima do solo, tem enegia potencial gavitacional. Quando solto, ele caiá em dieção ao solo, tansfomando essa enegia potencial em enegia cinética à medida que cai. Se colocamos no solo uma mola numa posição adequada, o copo iá atingi-la e compimi-la até paa. m síntese: a enegia potencial gavitacional do início do movimento do copo foi tansfomada totalmente em enegia cinética que po sua vez foi tansfomada totalmente em enegia potencial da mola. ssas mudanças de foma de enegia se pocessaam sem pedas poque eam consevativas as foças envolvidas na situação descita. Não podemos associa enegia potencial com uma foça não-consevativa (tal como a foça de atito) poque a enegia cinética de um sistema em que tais foças atuam não etona ao seu valo inicial, quando o sistema ecupea a sua configuação inicial. Vamos considea uma foça consevativa que atua sobe uma patícula ao longo de um pecuso fechado, indo do ponto A até o ponto B pelo caminho da figua ao lado, e voltando de B paa A pelo caminho. Temos então que: B ou seja: W AB, + W BA, A W AB, - W BA, Mas como a foça é consevativa, i e volta pelo mesmo caminho seá apenas uma questão de sinal: W BA, - W AB, e finalmente: W AB, W AB, ou seja: o tabalho paa i do ponto A até o ponto B independe do pecuso quando a foça fo consevativa. sse tabalho seá o mesmo caso se utilize o pecuso, ou qualque outo pecuso. Cap 8

4 Tabalho e enegia potencial Quando a foça fo consevativa, podemos defini a enegia potencial associada à essa foça. Define-se a difeença de enegia potencial U ente os pontos i e f do seguinte modo: f U U U W d ou seja: U ( ) ( ) f i () U( ) d () U() A enegia potencial é sempe definida em elação a um deteminado efeencial de enegia. No caso anteio, definiu-se a enegia potencial U () no ponto definido pelo veto, em elação à enegia potencial U ( ) no ponto definido pelo veto. stamos de enegia potencial e todos os outos valoes seão medidos em elação a este efeencial. definindo, desse modo, um efeencial U ( ) if i oças consevativas - negia mecânica Já foi estabelecido que o tabalho eecutado pela foça esultante é igual a vaiação da enegia cinética. Ou seja: W if K K f K i mas tendo em vista os esultados anteioes: ( K + U) onde K U W if K U + onde essa dedução é absolutamente geal, apesa de te sido feita paa apenas uma foça atuando em apenas uma patícula. la é válida paa um sistema composto de um númeo qualque de patículas, quando estão atuando nessas patículas quaisque quantidade de foças consevativas. A nova gandeza definida, a enegia mecânica K + U é uma constante de movimento + U() cons tante Algumas foças tem uma eistência macante, seja no meio acadêmico ou na vida pática. Vamos calcula a enegia potencial associada a algumas destas foças. O sistema massa - mola enconta-se pesente no dia a dia como eemplo de sistema consevativo oscilante, onde a foça que a mola eece é vaiável. sse é um tipo de foça elástica. Cap 8 4

5 negia potencial elástica U( R) U d R R () ( k ) d Como o deslocamento se dá no eio, temos que: i ˆ d d d id ˆ logo, o tabalho ealizado pela mola seá: U L L () L U() + k d U() + k k L onde estamos consideando o efeencial de enegia potencial U( ) Consideando o esultado anteio, dizemos que a enegia potencial elástica de um sistema massa - mola tem a foma: U ( ) k Outo eemplo inteessante é a enegia potencial associada à foça gavitacional. É um caso de enegia potencial associada a uma foça constante. negia potencial gavitacional R U( R) U() d onde h () h U () ( mg j ˆ) jˆ mg d jˆ dy U h j ˆ dy mg dy U( h ) m g h onde estamos consideando o efeencial de enegia potencial U( ). Consideando o esultado anteio, dizemos que a enegia potencial gavitacional tem a foma: U( y ) m g y h y d m g Cap 8 5

6 Cálculo da tajetóia a pati do potencial Podemos conhece a tajetóia de uma patícula a pati do conhecimento do potencial ao qual ela está submetida. Quando temos a foma do potencial, como foi mencionado, ele obedece à equação: ou seja: + U ( ) cons tante U d dt m ( ) v [ U( ) ] dt m d [ U( ) ] ou seja: t dt t t t t t + m m d [ U( ) ] d [ U( ) ] À pati da foma da enegia potencial U() podeemos calcula a tajetóia da patícula ao faze o cálculo da integal indicada. Usando a cuva da enegia potencial m divesas situações não é possível faze o cálculo da integal de movimento. Mas mesmo nesse caso, a equação da consevação da enegia + U ( ) cons tante ou a equação que se oigina nela t t + m d [ U( ) ] nos daá infomações úteis soba a solução ou sobe o compotamento da patícula. Como a enegia mecânica é igual à soma das enegias potencial U() mais cinética K, o maio valo da enegia potencial seá quando toda a enegia mecânica fo potencial, ou seja: U() Cap 8 6

7 O gáfico da enegia potencial elástica é um eemplo simples da utilidade da análise do movimento de uma patícula a pati da foma funcional da enegia potencial. Vamos considea que a enegia mecânica deste sistema tem valo. i. Quando ± L toda a enegia mecânica está sob a foma de enegia potencial. sses pontos ± L são chamados pontos de invesão pois ao chega neles a velocidade da patícula se anula e invete o sentido. ii. Quando toda a enegia mecânica é cinética. U() iii. O movimento da patícula está confinado à egião - L + L. - L + L A segui mostamos um gáfico da enegia potencial de uma patícula, que tem um compotamento ico em detalhes. De modo geal o gáfico da enegia potencial de uma patícula apesenta váias situações físicas. Mosta o poblema paa váios valoes de enegia mecânica. Paa cada valo de enegia mecânica a patícula se compota de um modo difeente. U() a. Paa esse valo de enegia mecânica, toda a enegia é potencial e potanto a enegia cinética seá sempe zeo. A patícula vai esta pemanentemente localizada na posição e com velocidade nula. Como um eemplo dessa situação podemos lemba uma mola que está em sua posição de equilíbio com velocidade nula. le vai pemanece indefinidamente nessa situação. Cap 8 7

8 b. Como U() paa esse valo de enegia mecânica. A patícula está confinada a se movimenta ente os pontos e, passando pelo ponto, de mínimo da enegia potencial e consequentemente de máimo da enegia cinética. Nos pontos e temos U( ) U( ), e potanto toda a enegia é potencial. Isso implica que a enegia cinética é nula nesses pontos. sses pontos são chamados pontos de etono (ou pontos de invesão) pois a patícula estava se movendo em um sentido, sua velocidade se anulou e ela etonou usando o sentido contáio. Como um eemplo dessa situação podemos considea uma mola que está em sua posição de equilíbio com uma ceta velocidade não nula. la vai fica se movendo ente duas posições e sempe passando pelo ponto de máima enegia cinética. Como eemplo apenas de ponto de etono podemos considea uma peda lançada veticalmente paa cima. Ao atingi o ponto de máima altua ela iá paa e começaá o etono. nesse ponto a enegia cinética é nula. c. istem quato pontos de etono d. iste apenas um ponto de invesão. Se a patícula estive se movendo em dieção ao ponto, ao chega em ela páa, etonando no sentido contáio. e. 4 Não eistem pontos de etono. Da elação ente foça e potencial podemos faze váias infeências. Como já foi mencionado anteiomente U () U( ) d () U() m uma dimensão, a equação anteio tem a foma: U ( ) U( ) ( ) d ( ) e desse modo podemos dize que: Cap 8 8 d U( ) d i. Mínimo de U() () equilíbio estável ii. Máimo de U() () equilíbio instável iii. U() constante () equilíbio indifeente Podemos analisa as situações de equilíbio no gáfico anteio do seguinte modo: a. No ponto temos um equilíbio estável e citaemos como eemplo dessa situação um pêndulo em equilíbio na sua posição vetical infeio. Se alteamos a sua posição, suge uma foça estauadoa e o sistema tende a volta à posição de equilíbio inicial.

9 b. No ponto 4 temos um equilíbio instável e citaemos como eemplo dessa situação um pêndulo em equilíbio na sua posição vetical supeio. Se alteamos a sua posição, suge uma foça que afasta ainda mais o sistema de sua situação de equilíbio inicial. c. No ponto 5 temos um equilíbio indifeente.. Se alteamos a sua posição não acontece nenhuma das duas situações anteioes. Uma eemplo desse caso seia um cone apoiado em uma face lateal. oças não consevativas Vamos considea que estão atuando N foças sobe uma dada patícula, de modo que a foça esultante seá dada po: + N + " + N i i Como já foi mencionado, o tabalho eecutado pela foça esultante é igual à vaiação da enegia cinética da patícula: K W W + W + " + W N N i W i onde W i é o tabalho eecutado pela i-ésima foça que está atuando na patícula. Se foem consevativas todas as foças mencionadas, teemos: K Σ W C -Σ U K + Σ U (K + ΣU ) Paa cada foça consevativa teemos a sua enegia potencial associada a ela, daí a soma das enegias potenciais. A soma das enegias potenciais com a enegia cinética nos dá a enegia mecânica. Quando eistem apenas foças consevativas, a enegia mecânica não vaia, sendo então uma constante de movimento. Se, po outo lado, tivemos atuando também foças não - consevativas (em paticula a foça de atito), teemos: K Σ W C + Σ W A -Σ U + Σ W A K + Σ U Σ W A (K + ΣU ) Σ W A f - i Σ W A como é negativo o tabalho eecutado pela foça de atito, aconteceá uma peda da enegia mecânica; a enegia mecânica fina seá meno que a enegia mecânica inicial < Cap 8 9

10 Solução de alguns poblemas Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 7 Um cainho de montanha ussa sem atito chega ao alto da pimeia ampa da figua a segui com velocidade v. y v A D h B H h/ a) Qual a sua velocidade no ponto A? C Consideando o ponto mais baio da tajetóia do cainho como a oigem do efeencial da enegia potencial, temos que U(y) e U(yh) mgh Desse modo, a enegia mecânica inicial é dada po: + mgh Como só estão atuando foças consevativas A e como a altua do ponto A é a mesma altua da posição inicial as velocidades seão as mesmas: b) Qual a sua velocidade no ponto B? v A v + mgh h + mg B B v B v + gh c) Qual a sua velocidade no ponto C? C C + mgh v C v gh + d) A que altua chegaá à última ampa, que é alta demais paa se ultapassada? D + mgh mgh H h + v g Cap 8

11 Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição Um pojétil de massa,4kg é dispaado paa cima, do alto de uma colina de 5m de altua, com uma velocidade de 5m/s e numa dieção que faz 4 com a hoizontal. a) Qual a enegia cinética do pojétil no momento em que é dispaado? m,4kg h 5m v 5m/s K 7.J θ 4 b) Qual a enegia potencial do pojétil no mesmo momento? Suponha que a enegia potencial gavitacional é nula na base da colina ( y ). U m g h.94j c) Detemine a velocidade do pojétil no momento em que atinge o solo. Supondo que a esistência do a possa se ignoada, as espostas acima dependem da massa do pojétil? + mgh v v + gh As espostas dos itens a e b dependem da massa do pojétil, como pode se constatado nas equações. A velocidade ao atingi o solo não depende da massa do pojétil, como pode se notado na equação anteio. Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição Uma bola de massa m está pesa à etemidade de uma baa de compimento L e massa despezível. A outa etemidade da baa é aticulada, de modo que a bola pode desceve um cículo no plano vetical. A baa é mantida na posição hoizontal, como mosta a figua a segui, até ecebe um impulso paa baio suficiente paa chega ao ponto mais alto do cículo com velocidade nula. a) Qual a vaiação da enegia potencial da bola? y Consideando o ponto mais baio da tajetóia da bola como a oigem do efeencial da enegia potencial, temos que U(y). Desse modo, a enegia potencial gavitacional é dada po U (y) m g y L A difeença de altua ente as posições inicial e final é L, logo: U m g y m g L Cap 8

12 b) Qual a velocidade inicial da bola? Pof. Romeo Tavaes da Silva Vamos considea como oigem da enegia potencial o ponto mais baio da tajetóia da bola. i f mgy i + i mgy f + f mgl + i mg v i gl ( L) Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 7 Uma mola pode se compimida cm po uma foça de 7N. Um bloco de kg de massa é libeado a pati do epouso do alto de um plano inclinado sem atito cuja inclinação é de. O bloco compime a mola de 5,5cm antes de paa a) Qual a distância pecoida pelo bloco até paa? L cm,m 7N θ m kg L 5,5cm,55m Inicialmente vamos calcula a constante elástica da mola: k L k.5n/m θ D h h Seja D a distância que o bloco iá pecoe antes de paa. Pate dessa distância ( D - L ) o bloco pecoe live e a outa pate ( L ) ele pecoe compimindo a mola. Inicialmente ele estava em epouso e tinha enegia potencial gavitacional, e após o movimento de descida ele volta ao epouso e agoa a sua enegia e potencial elástica. Aconteceu uma tansfomação de enegia: de potencial gavitacional paa potencial elástica. temos potanto que: mgh kl Mas h D senθ então kl mgd senθ kl D,47m 4,7cm mg senθ b) Qual a velocidade do bloco no instante em que se choca com a mola? Quando o bloco pecoeu live a distância D - L, ele diminuiu a sua altua de h, Cap 8

13 como mostado na figua. Logo: h ( D - L ) senθ,46m Se v fo a velocidade com que o bloco se choca com a mola: mgh v gh,69m/s Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição A coda da figua a segui tem L cm de compimento e a distância d até o pino fio P é 75cm. Quando a bola é libeada em epouso na posição indicada na figua, desceve a tajetóia indicada pela linha tacejada. a) Qual a velocidade da bola quando está passando pelo ponto mais baio da tajetóia? y L Consideando o ponto mais baio da tajetóia da bola como a oigem do efeencial da enegia potencial, temos que U(y) e U(yL) mgl. d Como a enegia mecânica se conseva: P mgl v gl 4,84m/s b) Qual a velocidade da bola quando chega ao ponto mais alto da tajetóia, depois que a coda toca no pino? De maneia equivalente, temos a consevação da enegia mecânica: [ ( L d) ] mgl + mg de onde encontamos que: v g ( d L),4m/s Moste que se a bola faz uma volta completa em tono do pino, então d > L/5. A bola iá faze uma volta completa e passa pelo ponto sem afoua a coda quando a velocidade v tive um valo mínimo tal que a foça centípeta seja igual ao seu peso. ssa imposição implica que a tensão na coda seá nula. v P C Usando o esultado do item anteio, temos: ( ) mg m v g g( L d) Cap 8

14 ( d L) g( L d) v g d L 5 Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 5 Deia-se cai um bloco de kg de uma altua de 4cm sobe uma mola cuja constante é k 96N/m. Detemine a compessão máima da mola m kg h 4cm,4m k 96N/m A mola seá lagada com velocidade nula, caiá até enconta a mola, pessionaá a mola até alcança novamente o epouso. Desse modo, ela teá enegia potencial gavitacional na posição inicial e enegia potencial elástica no final: h L i f mg mg mg mg( h + L) kl L h k k k ( h + L) L L L mg k ± mg k mg + 4 h k, ±,8 +,,8 Como L deve se positivo, a solução aceitável fisicamente é: L,m cm Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 8 O módulo da foça de atação gavitacional ente duas patículas de massas m e m é dado po: mm ( ) G onde G é uma constante e é a distância ente as duas patículas. a) Qual é a foma funcional da enegia potencial gavitacional U()? Suponha que U() quando. De maneia geal nós temos que: U ) U( ) ( ( ) d m m d Cap 8 4

15 Como temos: Pof. Romeo Tavaes da Silva ( ) i ˆ ( ) d ( iˆ)( d) id ˆ ( i ˆ ( ) ) ( id ˆ ) U( ) + ( ) d U( Gmm U( ) U( ) ) + d U( ) U( ) Gm m Usando as condições indicadas no enunciado, encontamos que: mm U( ) G b) Qual o tabalho necessáio paa aumenta a distância ente as patículas de a paa b + d? U U( ) U( ) W b a ab W ab mm G b mm + G a Gm m b b a a W ab Gm m d ( + d) Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição Um pequeno bloco de massa m desliza sem atito na pista da figua a segui. a) O bloco é libeado em epouso no ponto P. Qual a foça esultante que age sobe ele no ponto Q? P No ponto Q eistem duas foças atuando no bloco: o seu peso e a foça que a pista eece nele (nomal). A nomal é a foça adial que está atuando, ou seja é a foça centípeta. Paa calcula a foça centípeta vamos usa a consevação da enegia mecânica, ou seja: a 5R enegia mecânica no ponto P é igual a Q enegia mecânica no ponto Q. R P Q mgh P mghq + Q ( h h ) g( 5R R) gr v Q g P Q 8 N P Cap 8 5

16 v Q 8gR N C m m N 8mg R R A foça esultante seá R P + N. Como esses vetoes são pependiculaes, a esultante é a hipotenusa de um tiângulo etângulo, e potanto: ( mg) + ( 8mg) R mg R P + N 65 b) De que altua em elação ao ponto mais baio da pista o bloco deve se libeado paa que esteja na iminência de pede o contato com a pista no ponto mais alto do semi-cículo? Quando o bloco pede o contato com a pista, a nomal se anula (e vice-vesa). Nessa situação, a única foça que estaá atuando no copo seá o seu peso e potanto a foça centípeta seá igual ao peso: v m mg mgr R P Na posição inicial, quando o bloco é solto ele tem apenas enegia potencial gavitacional, logo: 5 5 ( ) R I mgh + mg R mgr + mgr mgr h Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 5 Uma coente é mantida sobe uma mesa sem atito com um quato do seu compimento penduado paa foa da mesa, como mosta a figua. Se a coente tem compimento L e uma massa m, qual o tabalho necessáio paa puá-la totalmente paa cima da mesa? A foça necessáia paa pua com velocidade constante a coente paa cima da mesa é uma foça vaiável. la depende da quantidade de coente que está penduada. Num pedaço de coente de tamanho y temos uma massa m(y) e no tamanho total M temos a massa total M, logo: y yl/4 m( y ) y M L m( y) y M L m( y) M L y A foça necessáia, teá a foma: Mg ( y) y L Cap 8 6

17 f Wif d i ˆj ( y) d ( y) dy d ˆjd ˆjdy W [ ( y ) dy] L / 4 W Mg ydy L L / 4 Mg L L 4 W MgL Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walke - 4 a. edição 7 Um menino está sentado no alto de um monte hemisféico de gelo. le ecebe um pequeníssimo empuão e começa a escoega paa baio. Moste que, se o atito com o gelo pude se despezado, ele pede o contato com o gelo num ponto cuja altua é R/. O menino vai desce do monte aceleado. Podemos sepaa as aceleações em aceleação adial e aceleação tangencial (aceleação centípeta) : P + N m a P cosθ N m a P senθ m at R R θ P θ N h N P cosθ - m a R N m ( g cosθ - a R ) O copo do menino pede o contato com o hemisféio quando a nomal se anula, logo paa θ θ : N a R g cosθ R v Como este sistema é consevativo, a enegia mecânica do menino no topo do hemisféio seá igual àquela no ângulo θ θ : v mgr mgh + ; h R cosθ v θ R gr R g cos ( cosθ ) a ( ) Mas quando a nomal fo nula a R g cosθ g ( - cosθ ) cosθ R h R cosθ h Cap 8 7

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