LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:20. Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: Execícios Resolvidos de Física Básica Jason Alfedo Calson Gallas, pofesso titula de física teóica, Douto em Física pela Univesidade Ludwig Maximilian de Muniue, Alemanha Univesidade Fedeal da Paaíba (João Pessoa, Basil) Depatamento de Física Baseados na SEXTA edição do Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walke Esta e outas listas encontam-se em: jgallas Contents 6 Potencial Elético 61 Questões 6 Poblemas e Execícios 3 61 O potencial elético 3 6 Cálculo do potencial a pati do campo 3 63 Potencial ciado po uma caga puntifome 6 64 Potencial ciado po um dipolo elético 7 65 Potencial ciado po distibuição contínua de cagas 8 66 Cálculo do campo a pati do potencial 8 67 Enegia potencial elética de um sistema de cagas puntifomes 1 68 Um conduto isolado 1 69 O aceleado de van de Gaaff Poblemas da teceia edição do livo-texto 13 Comentáios/Sugestões e Eos: favo envia paa yahoocom (sem b no final) (lista3tex) jgallas Página 1 de 14

2 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: 6 Potencial Elético 61 Questões Q 6-1 Podemos considea o potencial da Tea igual a +1 Volts em vez de igual a zeo? Que efeito teá esta escolha nos valoes medidos paa: (a) potenciais e (b) difeenças de potencial? Sim O potencial elético num ponto pode assumi ualue valo Somente a difeença de potencial é ue possui sentido físico deteminado Po azões de comodidade, podemos admiti ue o potencial da Tea (ou de ualue outo efeencial eüipotencial ) seja igual a zeo Qualue outo valo escolhido também seve, pois o ue seá fisicamente elevante é a difeença de potencial Q 6- O ue aconteceia a uma pessoa, de pé sobe uma platafoma isolada, se o seu potencial fosse aumentado 1 Volts em elação a Tea? Não aconteceia nada de gave: como a pessoa está isolada, ela apenas teia seu potencial aumentado em 1 Volts Mas caso a pessoa esolvesse desce da tal platafoma deveia faze-lo com muito cuidado Q 6-3 Po ue o eléton-volt é feüentemente uma unidade mais convencional paa enegia do ue o joule? Espaço esevado paa a SUA esposta Q 6-13 O fato de só conhecemos E, num dado ponto tona possível o cálculo de V neste mesmo ponto? Se não, ue infomações adicionais são necessáias? Não De acodo com a E 6-8, paa se calcula uma difeença de potencial, tona-se necessáio o conhecimento de E ao longo de um dado pecuso ligando os dois pontos tomados paa o cálculo desta difeença de potencial Na Fig 6- do Halliday, o campo elético E é maio do lado esuedo ou do lado dieito? O módulo do campo elético pode se estimado da a azão V/ d, onde d é a distância ente duas supefícies eüipotenciais Note ue do lado esuedo da figua 6- a distância ente duas supefícies eüipotenciais é meno do ue a distância ente duas supefícies eüipotenciais do lado dieito Sendo assim, concluímos ue o valo de E na extemidade esueda da figua 6- é maio do ue E na extemidade dieita da figua 6- Lembe ue E é popocional à densidade de linhas de foça (as uais são otogonais às supefícies eüipotenciais em cada um dos pontos destas supefícies eüipotenciais) Q 6-4 Vimos na seção 6-1 ue o potencial no inteio de um conduto é o mesmo ue o da sua supefície (a) E no caso de um conduto com uma cavidade iegula no seu inteio? (b) E no caso da cavidade te uma peuena becha ligando-a com o lado de foa? (c) E no caso da cavidade esta fechada mas possui uma caga puntifome suspensa no seu inteio? Discuta o potencial no inteio do mateial conduto e em difeentes pontos dento das cavidades (a) Teia o mesmo valo 1 4πɛ R (b) Se o conduto está isolado e caegado, teíamos igualmente E = e constante no inteio e na supefície, mas não podeíamos detemina o valo numéico da constante (c) Idem ao item (b), inclusive dento da cavidade iegula A caga puntifome iá induzi cagas de sinal contáio e de mesmo valo absoluto na supefície da cavidade e, conseüentemente, de mesmo valo na supefície extena do sólido iegula No sólido, neste caso, devido a pesença da caga, o potencial mudaá de valo mas ainda seá constante e o campo elético nulo, pois tatase de um conduto caegado e isolado Q jgallas Página de 14

3 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: 6 Poblemas e Execícios 61 O potencial elético E 6-1 A difeença de potencial elético ente pontos de descaga duante uma deteminada tempestade é de V Qual é o módulo da vaiação na enegia potencial elética de um eléton ue se move ente estes pontos? Use o conceito de potencial e, subseüentemente, uma convesão de unidades, de Joules paa ev, confome o Apêndice F, paa obte a esposta do livo: U = e V E 6- = ( C)(1 1 9 V) = J = ( J)( ev/j) = ev 1 GeV Uma bateia de cao de 1 Volts é capaz de fonece uma caga de 84 Ampèes hoa (a) Quantos Coulombs de caga isto epesenta? (b) Se toda esta caga fo descaegada a 1 Volts, uanta enegia estaá disponível? (a) Como 1 A = 1 C/s, encontamos: = it = (84)(36) = C (b) Usando a E 4, encontamos paa a enegia solicitada o seguinte valo: W = M J U = J (b) Igualando a enegia solicitada no item (a) com a enegia cinética do cao, encontamos: U = K = mv / e, potanto, K v = m = m/s (c) A enegia U fonece o calo Q necessáio paa fundi uma ceta massa M de gelo Fazendo Q = L e usando a E 5 do Cap, encontamos o seguinte valo paa a massa M: P 6-5 M = U L = 3 19 J J/kg = kg Quando um eléton se move de A até B ao longo da linha de campo elético mostado na Fig 6-4 (pg 8), o campo elético ealiza um tabalho de J sobe ele Quais são as difeenças de potencial elético (a) V B V A, (b) V C V A e (c) V C V B? (a) V B V A = W AB = = 46 V Nota: é uma caga-teste positiva e W AB o tabalho feito pelo campo elético Obseve das linhas de campo na figua ue o ponto A está mais póximo de cagas negativas do ue o ponto B (O veto campo E aponta paa as cagas negativas) (b) A ddp é a mesma ue a do item anteio (c) Zeo, pois os pontos B e C estão sobe uma euipotencial P 6-3 Em um elâmpago típico, a difeença de potencial ente pontos de descaga é ceca de 1 9 V e a uantidade de caga tansfeida é ceca de 3 C (a) Quanta enegia é libeada? (b) Se toda a caga ue foi libeada pudesse se usada paa acelea um cao de 1 kg a pati do epouso, ual seia a sua velocidade final? (c) Que uantidade de gelo a C seia possível deete se toda a enegia libeada pudesse se usada paa este fim? O calo de fusão do gelo é L = J/kg (a) Usando a E 4, encontamos o seguinte valo paa a enegia: 6 Cálculo do potencial a pati do campo E 6-9 A densidade de caga de um plano infinito, caegado é σ = 1 µc/m Qual é a distância ente as supefícies eüipotenciais cuja difeença de potencial é de 5 Volts? De acodo com a Tabela 1, paa um plano infinito unifomemente caegado, podemos esceve a seguinte elação: V σ z ɛ jgallas Página 3 de 14

4 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: Donde se conclui ue paa duas supefícies eüipotenciais sepaadas po uma distância z, a difeença de enegia potencial é dada po: σ ɛ z Potanto consideando apenas o módulo de z, encontamos a esposta: P 6-11 z = ɛ V σ = 885 mm O campo elético dento de uma esfea não-condutoa de aio R, com caga espalhada com unifomidade po todo seu volume, está adialmente diecionado e tem módulo dado po E = 4πε R 3 Nesta expessão, (positiva ou negativa) é a caga total da esfea e R é a distância ao cento da esfea (a) Tomando no cento da esfea, detemine o potencial V () dento da esfea (b) Qual é a difeença de potencial elético ente um ponto da supefície e o cento da esfea? (c) Sendo positiva, ual destes dois pontos tem maio potencial? (a) Como a expessão do campo é dada, paa detemina-se o potencial basta calcula a integal V () V () = Como V () =, temos E d = 4πε R 3 V () = 8πε R 3 = 8πε R 3 (b) Na supefície ( = R) a difeença de potencial é V (R) V () = 1 8πε R d (c) Como a difeença acima é negativa, o cento tem potencial maio P 6-1 Um contado Geige possui um cilindo metálico com cm de diâmeto, tendo estendido ao longo do seu eixo um fio de cm de diâmeto Se aplicamos 85 V ente eles, calcule o campo elético na supefície: (a) do fio e (b) do cilindo (Sugestão: Use o esultado do Poblema 4, Cap 5) Usando o esultado do poblema 5-4, pag 58, encontamos paa o campo elético ente o fio e o cilindo a expessão E = λ/(πɛ ) Usando a E 6-11, pag 68, encontamos paa a difeença de potencial ente o fio e o cilindo a seguinte expessão: V f V c = f c Ed = = c f λ πɛ ln λ πɛ d ( c ), f onde f e c epesentam os aios do fio e do cilindo, espectivamente Desta euação obtemos facilmente ue e, potanto, ue E() = λ πɛ = λ = πɛ V ln[ c / f, V ln[ c / f Potanto: (a) Na supefície do fio, temos: Volts = Volts E = = 136 M V/m; m (b) Na supefície do cilindo: P 6-13* E = Volts 1 m = 88 kv/m Uma caga está unifomemente distibuída atavés de um volume esféico de aio R (a) Fazendo no infinito, moste ue o potencial a uma distância do cento, onde < R, é dado po (3R ) 8πε R 3 (Sugestão: Ve o exemplo 5-7) (b) Po ue este esultado difee dauele do item (a) do Poblema 11? (c) Qual a difeença de potencial ente um ponto da supefície e o cento da esfea? (d) Po ue este esultado não difee dauele do item (b) do Poblema 11? (a) Foa da distibuição de cagas a magnitude do campo elético é E = /(4πε ) e o potencial é /(4πε ), onde é a distância a pati do cento da distibuição de cagas jgallas Página 4 de 14

5 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: Dento da distibuição, usamos uma supefície Gaussiana esféica de aio concêntica com a distibuição de cagas O campo é nomal à supefície e sua magnitude é unifome sobe ela, de modo ue o fluxo atavés da supefície é 4π E A caga dento da Gaussiana é 3 /R 3 Com isto, a lei de Gauss fonece-nos 4πε E = 3 R 3 ue, simplificando, mosta se o campo foa da Gaussiana dado po E = 4πε R 3 Se chamamos de V s o potencial sobe a supefície da distibuição de cagas, então o potencial num ponto inteno localizado a uma distância do cento seá V s R E d = V s 4πε R 3 d R = V s 8πε R 3 + 8πε R O valo de V s pode se encontado colocando-se = R na expessão do potencial em pontos foa da distibuição de cagas, o ue fonece-nos V s = /(4πε R) Potanto [ 1 4πε R R ( = 3R R 8πε R 3 ) (b) No Poblema 11 o potencial elético foi tomado como sendo zeo no cento da esfea enuanto ue aui, o zeo está no infinito De acodo com a expessão deivada na pate (a), o potencial no cento da esfea é V c = 3/(8πε R) Potanto, V V c = /(8πε R 3 ), ue é o esultado encontado no Poblema 11 (c) A difeença de potencial é V s V c = 8πε R 3 8πε R = 8πε R Este valo ó mesmo dado pela expessão obtida no Poblema 11, como não podeia deixa de se (d) Moal da históia toda: apenas as difeenças de potencial tem significado físico, não impotando ual o valo do potencial num só ponto Analogamente ao caso gavitacional, muda-se o ponto de efeência de luga não altea as difeenças de potencial P 6-14* Uma casca esféica espessa de caga Q e densidade volumética de caga ρ, está limitada pelos aios 1 e, onde > 1 Com no infinito, detemine o potencial elético V em função da distância ao cento da distibuição, consideando as egiões (a) >, (b) 1 < <, (c) < 1 (d) Estas soluções concodam em = e = 1? (Sugestão: Ve o exemplo 5-7) (a) Paa > o campo é como o de uma caga puntifome e o potencial é 1 4πε Q, onde o zeo do potencial foi tomado no infinito (b) Paa detemina o potencial no intevalo 1 < < usamos a lei de Gauss paa calcula o campo elético, integando-o posteiomente ao longo de uma tajetóia adial, de até A melho Gaussiana é uma supefície esféica concêntica com a casca em uestão O campo é adial, nomal à supefície, com magnitude unifome sobe a supefície, de modo ue o fluxo atavés da supefície é Φ = 4π E O volume da casca é 4π( 3 3 1)/3, de modo ue a densidade de caga é ρ = 3Q 4π( ) Assim, a caga englobada pela Gaussiana de aio é = 4π ( 3 (3 1) ) 1 ρ = Q A lei de Gauss fonece-nos ( 4πε E = Q ), donde obtemos a magnitude do campo elético: E = Q 4πε ( ) Sendo V s o potencial elético na supefície extena da casca ( = ), então o potencial a uma distância do cento é dado po V s E d = V s Q 4πε ( 3 1 ) d = V s Q 1 ( ) 4πε O valo da constante V s na supefície extena é encontado substituindo-se = na expessão paa o potencial ue foi deteminada no item (a) acima, ou seja, jgallas Página 5 de 14

6 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: V s = Q/(4πε ) Substituindo-se este valo na expessão acima e simplificando-a, obtemos Q 1 ( 3 ) 4πε Como ρ = 3Q/[4π( 3 3 1), o potencial pode se escito de uma maneia mais simples e elegante como ρ ( 3 ) 3ε 3 1 (c) O campo elético anula-se na cavidade, de modo ue o potencial seá sempe o mesmo em ualue ponto da cavidade, tendo o mesmo valo ue o potencial de um ponto ualue sobe a supefície intena da casca Escolhendo-se = 1 no esultado do item (b) e simplificando, encontamos Q 4πε 3( 1) ( ), ou ainda, em temos da densidade de caga ρ, ρ ε ( 1) (d) As soluções concodam paa = 1 e = Um campo elético de apoximadamente 1 V/m é feüentemente obsevado póximo à supefície da Tea Se este campo fosse ealmente constante sobe a supefície total, ual seia o valo do potencial elético num ponto sobe a supefície? (Veja Exemplo 6-5; suponha no infinito) Usando o esultado do Exemplo 6-5, encontamos paa o potencial da esfea a seguinte expessão: /(4πɛ ) Usando a E 5-16, veificamos ue o campo elético de uma esfea é dado po E = 1 4πɛ Potanto, usando-se o valo paa o aio médio da tea = m, dado no Apêndice C, temos P 6-6 E = 637 M V 63 Potencial ciado po uma caga puntifome E 6-19 Gande pate do mateial compeendido pelos anéis de Satuno (Fig 6-7 na teceia edição do Halliday, ou Fig 6-8 na uata) tem a foma de minúsculas patículas de poeia cujos aios são da odem de 1 6 m Estes peuenos gãos estão numa egião ue contém um gás ionizado e diluído, e aduiem elétons em excesso Se o potencial elético na supefície de um gão fo de 4 V, uantos elétons em excesso foam aduiidos? Usando o esultado do Exemplo 6-3, encontamos paa o potencial da esfea a seguinte expessão: 4πɛ R Sendo n o númeo de elétons em excesso, temos = ne e, potanto, Uma gota esféica de água tem uma caga de 3 pc e o potencial na sua supefície é de 5 V (a) Calcule o aio da gota (b) Se duas gotas iguais a esta, com mesma caga e o mesmo aio, se juntaem paa constitui uma única gota esféica, ual seá o potencial na supefície desta nova gota? (a) Usando a E 6-1, temos /(4πɛ R) = 5 V, ou seja, R = 4πɛ V = 539 mm (b) O aio da nova gota esféica pode se obtido da expessão 4π 3 = (4πR 3 ), ou seja, = 1/3 R A caga total sobe a nova gota é dada po = C Supondo ue haja uma distibuição unifome, vemos ue o potencial V pocuado é dado po n = 4πɛ V R e = elétons V = 4πɛ = = 794 V 4πɛ ( 1/3 R) P jgallas Página 6 de 14

7 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: 64 Potencial ciado po um dipolo elético P 6-3 Uma caga puntifome 1 = 6e está fixa na oigem de um sistema de coodenadas etangulaes, e uma segunda caga puntifome = 1e está fixa em x = 86 nm, y = O luga geomético de todos os pontos, no plano xy com, é um cículo centado sobe o eixo x, como mosta a Fig 6-31 Detemine (a) a posição x c do cento do cículo e (b) o aio R do cículo (c) A seção tansvesal no plano xy da supefície euipotencial de 5 V também é um cículo? (a) e (b) As euações ue deteminam x c e R são as seguintes, chamando de A o ponto em R + x c e de B o ponto em R x c, onde o cículo intesecta o eixo x: 4πɛ V A = 1 R + x c + 4πɛ V B = 1 R x c + x (R x c ) x (R + x c ) =, = Resolvendo este sistema de euações paa R e x c encontamos x c = 1x 1 R = 1 x 1 (6e) (86) = (6e) = 48 nm, ( 1e) = (6e)( 1e)(86) (6e) = 81 nm ( 1e) (c) Não A única euipotencial ue é um cículo é auela paa V 1 = K, V = K d + K + d = K + d + d d = K d d, ( V 1 + V = K + d ) d Paa d temos, finalmente, E 6-34 ( K + d ) Temos ue, uma caga 5 está a uma distância d de P, uma caga 5 está a uma distância d de P, e duas cagas +5 estão cada uma a uma distância d de P, de modo ue o potencial elético em P é [ 5 4πε d 5 d + 5 d + 5 = 5 d 8πε d O zeo do potencial foi tomado como estando no infinito P 6-33 Paa a configuação de cagas da Fig 6-3 abaixo, moste ue V () paa os pontos sobe o eixo vetical, supondo ue d é dado po 1 4πɛ ( 1 + d (Sugestão: A configuação de cagas pode se vista como a soma de uma caga isolada e um dipolo) V 1 + V onde V 1 = potencial da caga do cento e V = potencial do dipolo ) E 6-39 (a) Toda caga está a mesma distância R de C, de modo ue o potencial elético em C é 1 [ Q 4πε R 6Q = 5Q R 4πε R, onde o zeo do potencial foi tomado no infinito (b) Toda a caga está a mesma distância R + z de P de modo ue o potencial elético é 1 [ Q 4πε R + z 6Q R + z 5Q = 4πε R + z jgallas Página 7 de 14

8 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: 65 Potencial ciado po distibuição contínua de cagas E 6-4 Um disco de plástico é caegado sobe um lado com uma densidade supeficial de caga σ e, a segui, tês uadantes do disco são etiados O uadante ue esta, é mostado na Fig 6-39, pg 85 Com no infinito, ual é o potencial ciado po esse uadante no ponto P, ue está sobe o eixo cental do disco oiginal, a uma distância z do cento oiginal? Como o disco foi unifomemente caegado, isto implica ue uando o disco completo estava pesente cada uadante contibuia de modo igual paa o potencial em P, de modo ue o potencial em P devido a um único uadante é igual a um uato do potencial devido ao disco todo Vamos, potanto, detemina o potencial devido ao disco completo Consideemos um anel de caga com aio e lagua d Sua áea é π d e ele contém uma caga d = πσ d Toda esta caga está a uma distância + z de P, de modo ue o potencial devido a tal anel é d 1 4πε πσ d + z = σ d ε + z O potencial total em P é a soma dos potenciais de todos anéis: σ ε R d = σ + z + z ε R = σ [ R + z ε z O potencial V m, devido a meio uadante, em P é V m = V 4 = σ [ R + z 8ε z 66 Cálculo do campo a pati do potencial E 6-45 Na seção 6-8, vimos ue o potencial paa um ponto sobe o eixo cental de um disco caegado ea σ ( ) R + z ɛ z Use a E 6-34 e a simetia paa mosta ue E paa um tal ponto é dado po Potanto, E = σ ( z 1 ) ɛ R + z dv () E = d = σ d ɛ d [( + ) 1/ = σ [ 1 ɛ (a + ) 1/ 1 = σ ɛ [1 (a + ) 1/ Se a E = K, onde = σπa ; Se a E = σ ɛ P 6-48 (a) Moste, calculando dietamente a pati da E 6-5, ue o potencial elético, num ponto do eixo de um anel caegado, de aio R, é dado po 1 4πɛ z + R (b) Patindo deste esultado, obtenha uma expessão coespondente paa E, nos pontos axiais, e compae com o esultado do cálculo dieto de E apesentado na seção 4-6 do Cap 4 (a) Seja dl um elemento de linha do anel A densidade de caga linea do anel é λ = /(πr) O potencial dv poduzido po um elemento infinitesimal de caga d = λdl é dado po d = 1 d 4πɛ 1 (/πr)dl 4πɛ (R + z ) 1/ O potencial no ponto P consideado é dado pela integal 1 dl d 4πɛ πr (R + z ) 1/ Note ue R e z pemanecem constantes ao longo do anel, fazendo com ue a integal se eduza a 1 (/πr) dl 4πɛ (R + z ) 1/ Como a integal de dl é igual a l = πr, o compimento do anel, obtemos jgallas Página 8 de 14

9 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: 1 4πɛ (R + z ) 1/ (b) Analisando a simetia do poblema, concluímos ue o campo elético não possui nenhuma componente otogonal ao eixo do anel Potanto, o campo elético é oientado ao longo do eixo do anel (paa foa do anel), sendo dado po P 6-49 E = dv dz = 1 4πɛ z (R + z ) 3/ A baa fina com caga positiva da Fig 6-4 tem uma densidade linea de caga unifome λ e se enconta ao longo de um eixo x como é mostado (a) Com no infinito, detemine o potencial devido à baa no ponto P sobe o eixo x (b) Use o esultado do item anteio paa calcula a componente do campo elético em P ao longo do eixo x (c) Use a simetia paa detemina a componente do campo elético em P numa dieção pependicula ao eixo x (a) Suponha a oigem dos x como sendo a extemidade dieita da baa e considee um elemento infinitesimal da baa localizado numa coodenada negativa x = x, com um compimento dx e contendo uma caga d = λdx Sua distância de P é x x e o potencial ue tal elemento cia em P é d 1 d 4πε (x x ) = 1 λdx 4πε (x x ) Paa enconta o potencial total em P, integamos sobe toda a baa: λ 4πε L dx x x = λ ln(x x ) 4πε λ = ln x + L 4πε x L (b) Encontamos a componente x do campo elético atavés da deivada do potencial elético com espeito a x: E x = V x = λ 4ππε x lnx + L x = λ x ( 1 4πε x + L x x + L ) x λ L = 4πε x(x + L) (c) Considee dois pontos a iguais distâncias de ambos lados de P, ao longo da linha ue é pependicula ao eixo x A difeença no potencial elético dividida pela sepaação dos dois pontos dá a componente tansvesal do campo elético Como os dois pontos estão situados simeticamente em elação à baa, seus potenciais coincidem sendo, potanto, zeo a difeença de potencial Conseuentemente, a componente tansvesal do campo elético também é zeo P 6-5 Na Fig 6-43, uma baa fina de compimento L caegada positivamente, colocada ao longo do eixo x com uma extemidade na oigem (x = ), tem uma distibuição de caga linea dada po λ = kx, onde k é constante (a) Consideando o potencial no infinito igual a zeo, calcule o valo de V no ponto P sobe o eixo dos y (b) Detemine a componente vetical E y, da intensidade do campo elético em P, a pati do esultado do item(a), bem como atavés de um cálculo dieto (c) Po ue não podemos calcula o componente hoizontal (E x ) do campo elético em P usando o esultado do item (a)? (a) Temos ue d = λdx e, potanto, ue d d K L λdx = K (x + y ) 1/ = K k L xdx (x + y ) 1/ Sabendo ue u = x + y, du = xdx e ue u n du = u n+1 n+1, temos (b) L K k 1 xdx (x + y ) 1/ [ = Kk 1 (x + y ) L = K k[(x + y ) 1/ L [ = K k (L + y ) 1/ y E y = d dy V (y) j = K k = K k [ 1 (L + y ) 1 1 y 1 [ 1 y(l + y ) 1/ j j jgallas Página 9 de 14

10 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: O cálculo dieto do módulo da componente E y pode se feito da seguinte maneia: L x cos θ E y = Kk y + x dx (c) Quando calculamos o potencial V (y) no item (a), a vaiável x foi integada Assim, não podemos usa a elação dada po e x = x V i paa calcula Ex Isto seia possível somente se soubéssemos o potencial V (x, y) 67 Enegia potencial elética de um sistema de cagas puntifomes E 6-5 Duas cagas = C estão fixas no espaço, sepaadas pela distância d = cm, como está indicado na figua abaixo (a) Qual é o potencial elético no ponto C? (b) Uma teceia caga = C é tazida lentamente do infinito até o ponto C Quanto tabalho foi ealizado? (c) Qual a enegia potencial U da configuação uando a teceia caga está no luga desejado? W = U 3 = 3 V c = ( 1 6 )( ) = 58 J Altenativamente, usando a técnica indicada no Exemplo 6-1, encontamos paa a enegia potencial do conjunto das tês cagas a seguinte elação: U f = = = 1 [ 4πɛ d + 4πɛ [ 1 d + d/ + d + d/ 4πɛ d (1 + ) 6884 J Antes de taze do infinito a teceia caga, a enegia potencial inicial do conjunto das duas cagas é dado po: U i = 1 4πɛ Substituindo os dados numéicos, obtemos paa a enegia potencial inicial U 1 = 1798 J O tabalho ue o agente exteno deve ealiza paa desloca a teceia caga do infinito até o ponto C é numéicamente igual à vaiação da enegia potencial do sistema, ou seja, W = U f U i = = 586 J d (c) A enegia potencial do conjunto das tês cagas já foi calculada no item (b), ou seja, U f = 6884 J (a) A distância ente o ponto C e ualue uma das duas cagas é dada po E 6-56 Detemine uma expessão paa o tabalho necessáio paa colocamos as uato cagas eunidas como está indicado na figua abaixo = (d ) + ( d ) = d Como as cagas estão a mesma distância, de acodo com o Pincípio de Supeposição, basta calcula o potencial devido a ualue uma delas e multiplica po dois Potanto, o potencial em C é [ 1 V c = = 54 M Volts 4πɛ (b) Sabendo-se o potencial no ponto C fica fácil calcula o tabalho paa desloca a caga 3 (= ) até tal ponto: A enegia total da configuação é a soma das enegias coespondentes a cada pa de cagas, a sabe: jgallas Página 1 de 14

11 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: U = U 1 + U 13 + U 14 + U 3 + U 4 + U 34 E 6-59 = K( a + a a a + a a ) = K a ( 4 + ) = 1 ɛ a (a) Seja l(= 15 m) o compimento do etângulo e ω(= 5 m) sua lagua A caga 1 está a uma distância l do ponto A e a caga está a uma distância ω, de modo ue o potencial elético em A é V A = 1 [ 1 4πε l + = Volts w (b) Analogamente, V B = 1 [ 1 4πε w + = Volts l (c) Como a enegia cinética é zeo no início e no fim da viagem, o tabalho feito pelo agente exteno é igual à vaiação da enegia potencial do sistema A enegia potencial é dada pelo poduto da caga 3 e o potencial elético Sendo U A a enegia potencial uando 3 está em A e U B uando está em B, o tabalho feito paa move-se 3 de B paa A é W = U A U B = 3 (V A V B ) = (3 1 6 ) ( ) = 5 J (d) O tabalho feito pelo agente exteno é positivo e, potanto, a enegia do sistema de tês cagas aumenta (e) e (f) A foça eletostática é consevativa Potanto, o tabalho é sempe o mesmo, independentemente da tajetóia pecoida P 6-61 Uma patícula de caga Q (positiva) é mantida num ponto P fixo Uma segunda patícula de massa m e caga (negativa) move-se com velocidade constante, num cículo de aio 1, cujo cento é o ponto P Obtenha uma expessão paa o tabalho W ue deve se ealizado po um agente exteno sobe a segunda patícula a fim de aumenta o aio deste cículo paa Seja W e o tabalho ealizado conta as foças eletostáticas Então, sendo V i = Q/(4πε i ) num ponto i devido a caga Q, temos W e = (V V 1 ) = Q 4πɛ [ Como o movimento é cicula unifome, igualando a foça centípeta com a foça eletostática, obtemos uma elação ue nos fonece mv e, potanto, a enegia cinética: F = 1 Q 4πɛ = mv Com isto, a enegia cinética da caga é K = mv = 1 1 4πɛ Q A vaiação da enegia cinética ente as óbitas de aios 1 e é K 1 K = 1 Q [ 1 1 4πɛ 1 P 6-64 Uma patícula de caga é mantida fixa num ponto P e uma segunda patícula de massa m com a mesma caga está inicialmente em epouso a uma distância 1 de P A segunda patícula é, então, libeada, sendo epelida pela pimeia Detemine sua velocidade no instante em ue ela se enconta a uma distância de P Dados: = 31 µc; m = mg; 1 = 9 mm e = 5 mm Pela lei da consevação da enegia, temos: 1 + = 1 + mv 4πɛ 1 4πɛ Donde se conclui ue v = m [ 1 1 4πɛ 1 Substituindo os dados numéicos, obtemos a seguinte esposta: P 6-65 v = m/s jgallas Página 11 de 14

12 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: Duas peuenas esfeas de metal de massa m 1 = 5 g e massa m = 1 g têm cagas positivas iguais, = 5 µc As esfeas estão ligadas po uma coda de massa despezível e de compimento d = 1 m, ue é muito maio ue o aio das esfeas (a) Calcule a enegia potencial eletostática do sistema (b) Qual é a aceleação de cada uma das esfeas no instante em ue cotamos o fio? (c) Detemine a velocidade de cada uma das esfeas muito tempo depois do fio te sido cotado (a) A enegia potencial inicial é dada po U inicial = 1 = 5 J 4πɛ d (b) A foça F existente depois do fio se cotado é dada pela foça de inteação Coulombiana Potanto, F = 1 = 475 N 4πɛ d De acodo com a Teceia Lei de Newton, esta foça é a mesma (em módulo) paa as duas esfeas Potanto, as magnitudes das aceleações são dadas po a 1 = F m 1 = 45 m/s, a = F m = 5 m/s (c) Muito tempo depois do fio se cotado, as esfeas estão suficientemente afastadas de modo ue a enegia potencial é igual a zeo Neste caso, pela Lei da Consevação de enegia, temos: U final = 1 m 1v m v Da consevação do momento linea sabemos ue = m 1 v 1 m v e, como temos m 1 = m /, segue ue v 1 = v Substituindo-se este valoes de v 1 e m 1 na expessão da enegia final U final acima encontamos finalmente ue Potanto, P 6-7 U final = 3 m v = U inicial = 5 v = 3873 m/s, v 1 = v = 7746 m/s Considee a enegia potencial como sendo zeo uando o eléton ue se move estive muito distante dos elétons fixos e use o pincípio de consevação da enegia A enegia potencial final é U f = e /(4πε d), onde d é a metade da distância ente os elétons A enegia cinética inicial é K i = mv /, onde v é a velocidade inicial e m a massa do eléton ue se move A negia cinética final é zeo Potanto, K i = U f ou, isto é, mv / = e /(4πεd), de onde se obtém 4e v = 4πε md = 3 1 m/s 68 Um conduto isolado P 6-75 Qual é a caga sobe uma esfea condutoa de aio = 15 m sabendo-se ue seu potencial é 15 V e ue no infinito? Sendo zeo o potencial no infinito, o potencial na supefície da esfea é /(4πε ), onde é a caga sobe a esfea e o seu aio Potanto = 4πε P 6-79 (15 m)(15 V) N m /C = C Duas esfeas metálicas têm aio de 3 cm e cagas de C e C Suponha ue estas cagas estejam distibuídas de maneia unifome e ue os centos das esfeas estejam afastados metos um do outo Sendo assim, calcule: (a) o potencial do ponto situado à meia distância ente os centos das esfeas e (b) o potencial de cada esfea (a) No ponto situado à meia distância, o potencial é dado po 1 [ πɛ 1 m m = ( ) 1 8 = 18 V (b) Como d é muito maio ue, paa calcula o potencial de cada esfea podemos despeza a influência mútua ente as esfeas Potanto, jgallas Página 1 de 14

13 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: V 1 = 1 1 4πɛ = (1 1 8 ) 3 1 = 3 V, O potencial da esfea é dado po /(4πɛ ) e o campo elético nas vizinhanças da supefície extena da esfea é dado po E = /(4πɛ ) Potanto, E = V/ Paa um valo E < 1 8 V/m, é necessáio ue V = 1 4πɛ = ( ) 3 1 = 9 V 69 O aceleado de van de Gaaff P 6-84 (a) (b) K = a ( C)(1 1 6 V) = J K = a ( C)(1 1 6 V) = J (c) Como K = mv /, temos K V v = m = m Como a patícula α tem o dobo da caga de um póton e 4 vezes mais massa, a azão das velocidades finais é v p /v α = Paa 1 6 Volts, temos v p = m/s P 6-86 v α = m/s Um eletodo de alta voltagem de um aceleado eletostático é uma casca esféica metálica, caegada, ue possui um potencial +9 MV (a) Descagas eléticas ocoem no gás desta máuina num campo E = 1 MV/m Que estição a espeito do aio da casca deve se feita paa evita ue tais descagas aconteçam? (b) Uma longa coeia de boacha em movimento tanspota cagas paa a casca a 3 µc/s, e o potencial da casca pemanece constante devido ao escoamento Qual é a potência mínima necessáia paa tanspota a caga? (c) A coeia tem lagua w = 5 m e se movimenta com velocidade v = 3 m/s Detemine a densidade supeficial de caga sobe a coeia = V E = (9 16 )(1 8 ) = 9 m = 9 cm (b) O tabalho ealizado pela foça extena paa caega a esfea com uma caga total Q é dado po W = QV Potanto, a potência P fonecida paa o geado eletostático deve se dada po P = dw dt = V dq dt = 7 W = 7 kw (c) Sendo σ a densidade supeficial de cagas e x o compimento da coeia, encontamos Q = σa = σ(wx) Com isto dq dt = σ dx dt = σwv Donde se conclui ue σ = dq/dt wv = 1 5 C/m = µ C/m 61 Poblemas da teceia edição do livo-texto E 6-64 Duas esfeas condutoas, idênticas, de aio = 15 cm, estão afastadas po uma distância a = 1 m Qual é a caga de cada esfea se o potencial de uma delas é +15 V e o da outa 15 V? Que suposições foam feitas? Como a, podemos supo ue as duas esfeas possuem uma distibuição unifome de cagas, uma vez ue podemos despeza a ação do campo elético de uma das esfeas sobe a outa esfea Potanto, 1 = ±15 V 4πɛ Donde se conclui ue paa = 15 m, as cagas valem = ±5 nc P 6-9 Uma gossa camada esféica, com densidade de caga unifome, é limitada pelos aios 1 e, onde > 1 Calcule o potencial elético V em função da distância ao cento da distibuição, consideando as egiões onde: (a) > ; (b) > > 1 e (c) < 1 (d) Estas soluções concodam se = e se = 1? jgallas Página 13 de 14

14 LISTA 3 - Pof Jason Gallas, DF UFPB 1 de Junho de 13, às 18: (a) Seja Q a caga total contida na camada esféica Paa > é clao ue o potencial V é dado pelo potencial de uma caga puntifome, potanto, Q 4πɛ A caga total também pode se expessa em função da densidade de cagas ρ de seguinte modo: Q = ρd ρ (volume da camada esféica) = ρ 4 3 π(3 3 1) Sobe a supefície da camada esféica, o potencial V calculado acima fonece V = Q = ρ [ 3 1 4πɛ 3ɛ (b) Paa detemina o potencial V na egião ente 1 e, é conveniente utiliza a E 6-8, V f V i = f i E ds Considee um caminho etilíneo ligado a um ponto da supefície a um ponto situado a uma distância do cento da esfea Logo, integando a E 6-8 ente estes limites, encontamos: V V = E ds Paa detemina o campo elético ente 1 e é conveniente utiliza a Lei de Gauss Constua uma supefície gaussiana esféica de aio igual a De acodo com a figua indicada na solução deste poblema, vemos ue existe uma caga total Q 1 no inteio desta supefície gaussiana esféica Potanto, aplicando a Lei de Gauss, podemos esceve a seguinte elação: E(4π ) = Q 1 ɛ = ρ ɛ V camada, onde V camada epesenta o volume da camada esféica ue contém a caga Q 1 Potanto, podemos esceve a seguinte elação paa o módulo do campo elético: E = ρ 3ɛ (3 3 1) Paa intega V V = E ds note ue o campo elético E é oientado paa foa enuanto ue o pecuso escolhido (de até ) está oientado paa dento Note também ue ds = d (poue uando s aumenta a distância até o cento diminui) Potanto, levando em conta a elação tiada da E 8 e a acima citada, temos: V = V [ ρ 3ɛ (3 1) 3 d, = V ρ [( 3ɛ ) ( ) Substituindo o esultado encontado anteiomente paa V na elação acima, encontamos a seguinte esposta paa o potencial V em função de paa a egião ente 1 e : V = ρ [ 3 3ɛ 3 1 Caso você deseje obte V em temos da caga total Q da camada esféica, basta substitui ρ po Q usando a elação encontada ente estas gandezas no item (a) (c) Em todos os pontos da cavidade, como não existe nenhuma caga nesta egião e levando em conta a simetia esféica, concluimos ue o potencial é constante e igual ao potencial na supefície esféica de aio 1 Em outas palavas, concluimos ue todo o volume delimitado pela supefície esféica de aio 1 é um volume eüipotencial Este potencial comum é igual ao potencial na supefície esféica de aio 1, ou seja, fazendo = 1 na elação encontada paa V encontamos a esposta: V 1 = ρ [ 1 ɛ Caso você deseje obte V 1 em temos da caga total Q da camada esféica, basta usa a elação paa ela, encontada no item (a) (d) Faça = na expessão paa V, item (b), e você encontaá o potencial na supefície esféica de aio, ou seja, você encontaá o potencial na supefície extena da camada esféica pela elação V [item (a) Faça = 1 na expessão paa V e você encontaá o potencial na supefície esféica de aio 1, ou seja, você encontaá o esultado V 1 (item (c)) jgallas Página 14 de 14

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