Aplicac~oes Pouco Discutidas nos Cursos de Mec^anica. Rodrigo Dias Tarsia. Observatorio Astron^omico. Trabalho recebido em 29 de marco de 1997

Transcrição

1 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, O Poblea de Dois Copos: Aplicac~oes Pouco Discutidas nos Cusos de Mec^anica Rodigo Dias Tasia Obsevatoio Aston^oico Depataento de Fsica, ICEx - UFMG Caixa Postal 702, Belo Hoizonte Tabalho ecebido e 29 de aco de 1997 Neste atigo discute-se o poblea de dois copos petubado pela pesenca de ua teceia patcula, supondo existi a inteac~ao gavitacional utua ente elas. O foaliso ateatico siples e aplicado nua discuss~ao seiquantitativa de alguns casos tais coo estabilidade de satelites e aes oce^anicas. 1. Intoduc~ao O poblea de dois copos te ipot^ancia fundaental e Fsica, sendo estudado e todos os textos de Mec^anica. Entetanto ele e sepe tatado co as duas patculas isoladas do esto do Univeso, hipotese usada paa coloca e evid^encia as caactesticas pincipais do oviento. O caso geal e aquele e que cada ua das patculas sofe ac~ao de ua foca esultante extena ao sistea. Dependendo desta foca o poblea pode se tona coplicado, passando a se didaticaente desinteessante. Neste atigo apesentaos alguas aplicac~oes do caso geal, supondo existi a inteac~ao gavitacional utua ente as patculas e ente elas e ua teceia. O foaliso ateatico e siples e aplicavel a casos pouco discutidos nos livos de Mec^anica, as que eniquece o estudo do poblea. 2. O poblea geal Seja t^es patculas de assas 1, 2 e 3,inteagindo gavitacionalente. Estaos inteessados e desceve o oviento de 2 e elac~ao a 1,napesenca de 3. As equac~oes de oviento de 1 e 2 e elac~ao a u efeencial inecial co oige e u ponto O do espaco s~ao: 1 ~1 2 ~2 = ~ F (i) 21 + ~ F (e) (1) = ~ F (i) 12 + ~ F (e) (2) e que os ndices (i) e(e)s~ao usados paa efoca o que s~ao consideadas focas intenas e extenas ao poblea de dois copos. Seja agoa a udanca de coodenadas: ~R = 1~ ~ 2 ~ 21 = ~ 2 ; ~ 1 e as tansfoac~oes invesas: 2 ~ 1 = ~R ; ~ 21 ~ 2 = ~R + 1 ~ 21 e que ~R e oveto-posic~ao do cento de assa do sistea ( 1 2 )eelac~ao a O e ~ 21,oveto-posic~ao de 2 e elac~ao a 1. Co essas expess~oes e co a teceia lei de Newton, F ~ = ; F ~ (i), as equac~oes (1) e (2) pode se (i) tansfoadas e: co ( ) ~R = ~F (e) + ~F (e) (3) ~ 21 = ~F (i) + ~F (e) 12 2 ; ~F (e) 1! (4) = 1 2 A pieia equac~ao desceve ooviento do cento de assa do sistea ( 1 2 ) e elac~ao a O a segunda, o oviento de ua patcula de assa eduzida e elac~ao a 1. Assi, o oviento da

2 118 Rodigo Dias Tasia patcula 2, visto po 1,e o eso que se 1 fosse xa e 2 tivesse assa. Se as focas que atua sobe as patculas s~ao de oige gavitacional, a equac~ao acia ca escita: ~ 21 = G( ) ; ^u G ^u ^u 3 ; (5) e que ^u jk eoveto unitaio na diec~ao e sentido de ~ jk. Esta equac~ao nos da a aceleac~ao de 2 e elac~ao a 1. O pieio teo e odooviento kepleiano (descito pelas leis de Keple) de 2 e elac~ao a 1. O segundo teo, que chaaeos de aceleac~ao difeencial, epesenta a inu^encia de 3 sobe o oviento elativo de 2. Ele e a difeenca ente as aceleac~oes de 2 e 1,sobaac~ao de 3. Noalente n~ao consideado nos livos, e o esponsavel pelas aplicac~oes a see discutidas a segui. Noteos que os casos de nosso inteesse s~ao aqueles e que a aceleac~ao difeencial e pequena e elac~ao a kepleiana caso contaio, o poblea passa a se de t^es copos. 3. O sistea Tea-Lua A Lua desceve ua obita kepleiana elptica e tono da Tea, cuja excenticidade e 0,055. O peodo do oviento e de 27, dias a dist^ancia edia da Lua a Tea e de ceca de k. O plano da obita luna faz u ^angulo de 5,1 gaus co o da obita da Tea e tono do Sol (a Eclptica). Tanto o Sol coo os outos planetas inuencia no oviento da Lua e elac~ao a Tea ataves do teo n~ao kepleiano da equac~ao (5), as o Sol, po sua assa, e o que te aio ipot^ancia. Calculeos ent~ao a aceleac~ao difeencial paa o caso de 3 se o Sol. Despezando a inclinac~ao do plano obital da Lua e elac~ao a Eclptica, podeos ve que o valo axio deste teo ocoe co a Lua, a Tea e o Sol alinhados, quando ^u = ^u. Nesse caso, = = (dist^ancia edia Tea-Sol), 21 = e = d. Ent~ao: a S ( d) ; S 2 2 ' 2 Sd 3 pois d <<. Potanto,ainu^encia do Sol e invesaente popocional ao cubo da sua dist^ancia a Lua. Assi a aceleac~ao difeencial (a d ) pode se consideada coo o efeito de ua petubac~ao ao oviento kepleiano puo. O valo desta aceleac~ao, e elac~ao a poduzida pela atac~ao gavitacional da Tea sobe alua(a g )edadopo: a d a g = 2M S (M T + M L ) 3 d =' 0 01 co M L =M T =0 0123, M S = kg e M T = kg. Apesa de pequeno, este teo e facilente ensuavel. Ent~ao, quando os t^es copos est~ao alinhados, o Sol tende a afasta a Lua da Tea e quando a diec~ao Tea-Lua faz u ^angulo eto co a diec~ao Tea-Sol, o efeito e o de apoxia a Lua da Tea. E qualque caso, o Sol odica a foa da obita luna e tono da Tea. 4. Liite de estabilidade U outo efeito da pesenca da aceleac~ao difeencial e o fato de que passa a existi u liite paa a estabilidade do oviento de 2 e elac~ao a 1,na pesenca de 3. Co efeito, se d e adist^ancia ente 1 e 2 e aente 3 e 1, a aceleac~ao difeencial axia de 2, devida a pesenca de 3 e: a G G 3 ( ; d) ; Quando esta aceleac~ao se iguala a kepleiana, teos: 3 (2d ; ) = (d ; ) 2 d 2 3 Esta equac~ao da a aio dist^ancia d aque 2 pode ca de 1 de odo que ainda peaneca gavitando e tono de 1. Quando 2 << 1 e 1 << 3, ela se eduz a: No caso do sistea Tea-Lua co a pesenca do Sol, = , valo que e 4,8 vezes a dist^ancia Tea - Lua. Logo a Lua e estavel e sua obita e tono da Tea. 5. Maes oce^anicas O eso foaliso pode se aplicado paa se te ua explicac~ao siples sobe as aes oce^anicas. As focas de ae ocoe toda vez que u copo de diens~ao nita se acelea coo u todo sob ac~ao de ua foca que vaia ao longo da diens~ao deste copo. Devido ao fato da Tea n~ao se innitaente pequena

3 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, e elac~ao as suas dist^ancias ao Sol e a Lua, as focas de atac~ao gavitacional desses copos sobe os vaios pontos da Tea n~ao s~ao iguais, esultando nua foca petubadoa que e func~ao da diec~ao e da dist^ancia ente esses pontos e o copo petubado. Suponhaos a Tea solida e esfeica, inteiaente cobeta po ua caada de agua. A aceleac~ao de ua patcula de agua, devido a atac~ao gavitacional da Tea e g 0 = e que M e R s~ao a assa e o aio da Tea. Co a pesenca da Lua, a aceleac~ao difeencial desta patcula de agua, sea: a G 2 ^u G ; a ^u a 2 e que e a assa da Lua, e a, a dist^ancia Tea-Lua a dist^ancia patcula - Lua. De acodo co a posic~ao da patcula de agua, uda de valo e ^u de diec~ao. O Ap^endice conte ua deduc~ao siples paa a aceleac~ao difeencial po enquanto vaos pocua faze a discuss~ao de odo ais intuitivo paa que os efeitos fsicos que ais claos. A Figua 1 osta a Tea, a Lua e quato pontos (A,B,C,D) do oceano. No ponto A, a aceleac~ao difeencial vale a w a + w t = G G 2GR ; ' (a ; R) 2 a 2 a 3 Coo w a e aio que w t, a d te sentido voltado paa a Lua a aceleac~ao total da patculaea passa a se eno que g 0. No ponto B, teeos: ~a = ~g 0 + ~a d a w b + w t = G G 2GR ; ' (a + R) 2 a 2 a 3 e, coo agoa w t e aio que w b, a aceleac~ao difeencial esta diigida paa foa da Tea. Assi, da esa foa que e A, a aceleac~ao total e B e eno que g o. Nos pontos C e D, as aceleac~oes w c e w d faze u ^angulo obtuso co w t. Elas pode se decopostas e duas coponentes, ua paalela e oposta a w t e outa, pependicula a esta, voltada paa o cento da Tea. Dessa foa, e C e D, a aceleac~ao esultante tona-se aio que g 0.Ente C e D, no techo CAD, a aceleac~ao esultante esta diigida paa A e no techo CBD, ela esta diigida paa B. O efeito total e ent~ao do oceano se pecipita, e ua etade da Tea, no sentido do ponto A, onde a Lua esta noz^enite, e na outa etade, paa o ponto B, onde ela se enconta no nadi. Oinvoluco do oceano tona-se u elipsoide co o eixo aio apontado paa a Lua. Poxio a A e B ocoea aae alta e e C e D, a ae baixa. Co a otac~ao da Tea, os pontos de ae altae baixa se desloca sobe a supefcie de nosso planeta. Po isso, no intevalo de tepo ente duas passagens sucessivas da Lua pelo eidiano de u local (e edia, igual a 24 hoas e 52 inutos), os pontos de ae alta d~ao ua volta e tono da Tea e, duante este intevalo de tepo, havea duas aes altas e duas baixas. As aes poduzidas pelo Sol s~ao seelhantes as da Lua, as coo a az~ao ente as aceleac~oes devidas a Lua e ao Sol e: M RS R L 3 ' 2 2 afoca da ae solae 2,2 vezes ais faca que a da luna. Duante as luas Nova e Cheia, os uxos de ae sola e luna coeca siult^aneaente e obseva-se a ae alta axia nos quatos Cescente e Minguante da Lua, nos oentos da ae alta luna te luga a ae baixa sola e obseva-se a ae nia. Deve-se nota que, na ealidade o fen^oeno das aes e ais coplicado que o esquea siples apesentado acia povavelente o efeito ais ipotante n~ao discutido, e o de que os oceanos est~ao sujeitos a oscilac~oes natuais. Ale disso, a Tea n~ao esta cobeta totalente

4 120 Rodigo Dias Tasia pelas aguas a onda de ae enconta foas de litoal difeentes e coplexas, be coo fundos de a difeentes. Isso poduz atito e e consequ^encia, o axio de ae e u ponto da Tea, n~ao coincide co o oento de culinac~ao da Lua neste ponto, podendo have atasos de ate 6 hoas. Da esa foa, a altua da ae n~ao e a esa e todos os lugaes. 6. Liite de Roche E 1880, Edouad Roche ostou que se u satelite se apoxia de u planeta ale de ua dist^ancia nia, focas de ae pode destu-lo. Eboa a deteinac~ao igoosa desta dist^ancia seja coplicada, o foaliso descito e aplicado acia pode se usado paa teos ua boa apoxiac~ao. Seja u satelite de assa e aio, obitando e tono de u planeta de assa M >>,aua dist^ancia d. A aceleac~ao gavitacional poduzida pelo planeta sobe o satelite, e =d 2. A aceleac~ao difeencial que atua e u ponto da supefcie do satelite, sobe a linha que une os centos do planeta e do satelite, e dada po: e que M e s~ao as densidades volueticas do planeta e do satelite e R, o aio do planeta. Os calculos copletos esulta e que, paa copos solidos ou gelo, de aio aio que 20 k, o coeciente nueico da equac~ao acia e 1,38 paa u copo caindo dietaente sobe u planeta, o coeciente e 1,19. Paa o sistea Tea-Lua, d ' 2 9 R T =18500 k. Deveos nota que os satelites do sistea sola est~ao ale do liite de Roche ja osaneis de Satuno, que se localiza ente K e k do cento do planeta, o liite de Roche e k. O eso acontece co os aneis de Jupite, Uano e Netuno. Ap^endice A Figua 2 osta o ponto P do oceano sujeito a foca de atac~ao gavitacional da Tea e da Lua. a (d ) ; 2 d 2 ' 2G A aceleac~ao angula do cento do satelite e:! = 1=2 e a aceleac~ao difeencial centpeta ente a supefcie do satelite e seu cento e: a 1 = w 2 (d ) ; w 2 w 2 = G Paa que o satelite n~ao se fagente e necessaio que a cobinac~ao a 1 + a d seja igual a aceleac~ao autogavitacional do satelite, G= 2, o que da: 3M A dist^ancia d e a eno dist^anciaqueosatelite pode ca do planeta se se destuido pelos efeitos de ae. E teos de densidades, 3M R ' 1 44 M R A aceleac~ao de P, devido a atac~ao gavitacional da Tea e: g 0 = T A aceleac~ao difeencial a que esta sujeito P e ~a f ~ ; ~g L = G ^u G ; ^u x e que M e a assa da Tea e, a da Lua. Coo 2 = + T ; 2RR Tcos, o segundo teo da aceleac~ao difeencial ca: ~f = 2 ^u 1 ; 2(R T =R)cos +(R T =R) 2 Coo tabe (R T =R) << 1 a expess~ao acia pode se desenvolvida e, e pieia ode e (R T =R), teos:

5 Revista Basileia de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, ~f = f1+2(r T =R)cosg^u 1 g Tabe e pieia ode, sen ' (R T =R)sen cos ' 1 Co isso, a expess~ao da aceleac~ao difeencial do ponto P ca: RT ~a (2cos ^u x ; sen ^u y ) R 3 e a aceleac~ao total do ponto P e: ~g e = ~g 0 + ~a d A aceleac~ao difeencial e axia paa = 0, co diec~ao e sentido paa Lua, havendo ent~ao ua diinuic~ao de ~g e no ponto sub-luna (e que nosso satelite esta no z^enite). Quando = =2 (na diec~ao pependicula a da Lua), a aceleac~ao difeencial e nia eaponta paa o cento da Tea a aceleac~ao total e axia. Ente esses dois pontos, ~g e n~ao te a diec~ao do cento da Tea coo a agua n~ao supota focas tangenciais, o envelope aquoso se distoce de odo tal que ~g e seja noal a supecie da agua. A assa oce^anica tende ent~ao a se desloca paa as egi~oes da Tea situadas ao longo da eta que une os centos da Tea e da Lua, e abos os lados da Tea. Bibliogaa D.L. Boulet,Methods of Obit Deteinations fo the Micocopute Willann-Bell inc., Richond, Viginia, E.M. Roges, Physics fo the Inquiing Mind - Pinceton Univesity Pess, Pinceton, N.J K.R. Sion, Mechanics 2d Ed. - Addison Wesley Publishing Co., 1960.