DINÂMICA (CINÉTICA) DAS PARTÍCULAS

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1 Capítulo 4 DINÂMIC (CINÉTIC) DS PRTÍCULS 4. INTRODUÇÃO Quando ua patícula está sujeita a u sistea de foças não equilibado, essa patícula teá u oviento aceleado. cinética consiste no estudo das elações ente sisteas de foças não equilibados e nas udanças de ovientos po eles povocados. s popiedades dos sisteas de foças foa abodadas na Mecânica I (Estática) e o estudo do oviento da patícula (cineática da patícula) foi abodado no capítulo. Neste capítulo seão abodadas as leis govenativas das elações ente foça e oviento. Eiste quato conceitos fundaentais no estudo da dinâica: o espaço, a assa, o tepo e a foça. Os conceitos de espaço, assa e tepo já foa abodados nos capítulos anteioes. Noção de foça: oça é toda a causa capa de odifica o estado de epouso ou de oviento de u copo ou de lhe causa defoações. No caso geal, as foças que actua nos copos defoáveis são funções da posição do copo (isto é, do ponto de aplicação), da sua velocidade e do tepo. Na Mecânica II seá consideado apenas o oviento dos copos ígidos (se defoações). Quando se copaa os esultados das acções de ua esa foça sobe difeentes copos é-se levado à noção de inécia, da qual a assa do copo é ipotante e ua edida dessa inécia. Isto poque quando actua ua esa foça 09

2 Dinâica (cinética) das patículas sobe copos de assas difeentes e tepo iguais, os difeentes copos ocupaão difeentes posições e seão aniados de velocidades difeentes. Noção de inécia: inécia é função da quantidade de atéia de u copo, sendo, po isso, caacteiada à custa da assa do copo e é popocional a ela, daí que possa se ecanicaente efeido que a assa de u copo é ua edida da sua inécia. De ua foa siplificada, pode-se die que a inécia caacteia a popiedade que os copos tê paa se opoe a ua vaiação de velocidade sob a acção das foças que lhe estão aplicadas. Na ecânica clássica newtoniana, a assa é ua gandea positiva, escala e constante paa cada copo. Tabé o tepo é consideado absoluto, isto é, ocoe siultaneaente no univeso ecânico newtoniano. Na ecânica elativista de Einstein, a assa não é constante e o tepo não é absoluto. Na ealidade, a assa depende da velocidade dos copos: 0 (4.) v c onde c epesenta a velocidade da lu edida no vácuo. No capítulo, onde se abodou a cineática de sisteas de patículas, foi já efeido o caácte elativo do conceito de oviento e foi tabé enunciado o designado pincípio da elatividade newtoniana e elação a deteinados efeenciais. Desta foa, é peciso defini os sisteas de efeência paa os quais são válidos os pincípios fundaentais da dinâica que a segui seão apesentados. Paa tal, Newton intoduiu a noção de espaço absoluto e a noção de efeencial absoluto (ou de Copénico). 0

3 Capítulo 4 Noção de espaço absoluto e de efeencial absoluto: O efeencial absoluto é aquele cuja oige é o cento do sistea sola e cujas diecções dos eios coodenados são as tês deteinadas estelas fias que pode se consideadas coo e epouso no espaço absoluto. s hipóteses e pincípios fundaentais da dinâica, alé de see válidas no efeencial absoluto, são tabé válidas e qualque outo efeencial e tanslação ectilínea e unifoe elativaente ao efeencial absoluto (confoe se veificou no capítulo, na secção.6.4). U efeencial desta natuea designa-se efeencial de Galileu ou efeencial de inécia. Deste odo, as leis da dinâica newtoniana são as esas e todos os efeenciais de inécia pois estes são ecanicaente equivalentes. Teoicaente, deve-se-ia estuda o oviento, de qualque copo à supefície da Tea, elativaente a u efeencial de inécia. No entanto, veifica- -se que paa a gande aioia de epeiências e fenóenos da ecânica newtoniana são ainda válidas elativaente a u efeencial ligado à Tea. É e elação a u tal efeencial que, sepe que possível, se iá efectua o estudo da dinâica dos copos ígidos. 4. PRINCÍPIOS UNDMENTIS D DINÂMIC O estudo da dinâica assenta e pincípios básicos designados po pincípios fundaentais da dinâica (ou da ecânica), encaados coo postulados e consequência dos tabalhos de Galileu, Keple e Newton. 4.. Pieio pincípio Pincípio da inécia ou de Galileu Todo o copo peanece no seu estado de epouso ou ectilíneo e unifoe se nenhua causa eteio actua sobe ele. Deste pincípio esulta que não há difeença fundaental ente epouso e oviento ectilíneo e unifoe, de acodo co o já efeido pincípio da elatividade newtoniana. ssi, o oviento ectilíneo e unifoe e o epouso são duas faces da esa ealidade ecânica e pode-se então afia que o oviento

4 Dinâica (cinética) das patículas ectilíneo e unifoe é u estado natual dos copos. Po isso, a dinâica só analisaá as petubações a pati de tal estado natual. 4.. Segundo pincípio Pincípio fundaental da dinâica Este pincípio consiste na segunda lei de Newton, que elaciona o oviento do copo co as foças nele actuantes. segunda lei de Newton pode enuncia-se coo se segue: Se a esultante das foças actuantes nua patícula não fo eo, esta adquiiá ua aceleação popocional à intensidade da foça esultante, na esa diecção e no eso sentido desta. deonstação desta lei é puaente epeiental, sendo o seu significado descito pela seguinte epeiência: Ua patícula de assa está sujeita a ua foça co diecção constante e intensidade constante. Sob a acção desta foça, a patícula desloca-se segundo ua linha ecta, co a esa diecção e o eso sentido da foça. igua 4. Segunda lei de Newton. Deteinando a posição da patícula e váios instantes, veifica-se que a aceleação te ua intensidade constante a. Repetindo esta epeiência co as foças, 3,..., co difeentes intensidades ou diecções, conclui-se que e cada instante a patícula se ove na diecção da foça actuante, e que as intensidades a, a, a 3,..., das aceleações são popocionais às intensidades,, 3,..., das foças coespondentes, então: 3... constante a a a a 3 (4.) O valo constante que se obté paa a aão das intensidades das foças e das aceleações é ua popiedade da patícula que não se altea. Essa popiedade é a

5 Capítulo 4 inécia da patícula que coesponde à sua esistência e altea a sua velocidade. Paa ua patícula de gande inécia, a aceleação geada pela aplicação da foça seá eno que a aceleação de ua patícula de pequena inécia sujeita à esa foça. assa é usada coo ua edida dessa inécia e, po isso, este º pincípio fundaental da dinâica pode se epesso po: a (4.3) 4..3 Teceio pincípio Pincípio da igualdade da acção e eacção Toda a acção de u copo sobe outo povoca da pate deste ua eacção oposta e de gandea igual à acção. igua 4. Igualdade da acção e da eacção Quato pincípio Pincípio da independência do efeito das foças siultâneas Quando váias foças actua siultaneaente sobe u copo, este adquie ua aceleação que é a esultante das aceleações que isoladaente cada foça lhe counicaia. ssi, este quato pincípio pode se encaado coo u cooláio do pincípio fundaental da dinâica (segundo pincípio): n n n i ai ai i i i a (4.4) na qual o soatóio i epesenta a soa, ou a esultante, de todas as foças actuantes na patícula. 4.3 TIPOS DE PROBLEMS D DINÂMIC Os pobleas da dinâica pode se distinguidos e dois tipos: 3

6 Dinâica (cinética) das patículas Conhece-se as leis de oviento dos copos e petende-se sabe as foças que sobe eles actua. Conhece-se as foças e petende-se sabe as leis do oviento. O pieio tipo de pobleas não apesenta gandes dificuldades de esolução pois, po aplicação do pincípio fundaental da dinâica, facilente se deteina as foças ultiplicando as aceleações pela assa, obtendo-se de iediato as foças que actua sobe o copo: ( t) v( t) a( t) a (4.5) Os pobleas do segundo tipo pode não se de fácil esolução pois podeão sugi equações difeenciais não lineaes e de coeficientes funcionais de difícil esolução. No caso geal, as foças depende do tepo, do espaço e da velocidade: ( t,, v) ( t,,,, &, &, & ) (4.6) e, po aplicação do pincípio fundaental da dinâica, ve: d ( t,, v) a (4.7) ou seja, a equação do oviento seá dada pela seguinte equação difeencial: d ( t,, v) (4.8) Nos casos coentes, esta equação difeencial é habitualente ua equação difeencial odináia de coeficientes constantes. Mas, no caso geal, estas equações de oviento podeão se de esolução, analítica ou nuéica, eteaente coplicada. Paa contona esta dificuldade ecoe-se-á a pincípios e teoeas de dinâica deivados do pincípio fundaental da dinâica que facilita gandeente a esolução dos pobleas couns da dinâica. Tais pincípios peite analisa cetos aspectos paticulaes, cetas caacteísticas especiais da dinâica dos copos, se se necessáio estudá-los instantaneaente na íntega atavés das equações difeenciais do oviento. 4

7 Capítulo PRINCÍPIO UNDMENTL D DINÂMIC PLICDO À DINÂMIC D PRTÍCUL O pincípio fundaental da dinâica aplicado à dinâica da patícula, ou altenativaente o se cooláio (quato pincípio), assuiá o seguinte aspecto: n n i ai i i a (4.9) sendo a aceleação a o vecto esultante das aceleações que individualente cada foça i lhe counicaia. Quando 0 a então i 0 e di-se que, nestas cicunstâncias, a patícula está e equilíbio, ou seja: n i n i 0 i n 0 i i 0 (4.0) i n i 0 i as quais tadue as condições necessáias e suficientes de equilíbio da patícula. Note-se, todavia, que pelo facto da patícula esta e equilíbio não significa que esteja e epouso. Recode-se o conceito elativo de oviento e o pincípio da elatividade newtoniana. 4.5 QUNTIDDE DE MOVIMENTO Consideando a epessão que tadu o pincípio fundaental da dinâica ( a ) e a aceleação a pela deivada d v /, ve: n dv i (4.) i Ua ve que a assa é constante, então: 5

8 Dinâica (cinética) das patículas n i i d ( v) dp ; p v (4.) O vecto p é designado po quantidade de oviento da patícula. igua 4.3 Quantidade de oviento de ua patícula Diensões: [ ] M L T p S.I.: kg s - Note-se que a assa da patícula é consideada constante na ecânica newtoniana. No entanto, nos pobleas que envolva o oviento de copos que ganha ou pede assa (tais coo os foguetes), a epessão anteio contínua a se válida: dp d( v) d dv v + (4.3) Na ecânica elativista de Einstein, a assa vaia co a sua velocidade e, po isso, o quociente d/ não é nulo. Da equação (4.) pode-se conclui que se 0 i, a taa de vaiação da quantidade de oviento, ( v ), é nula. ssi, se a foça esultante que actua na patícula fo nula, a quantidade de oviento da patícula peanece constante, que e intensidade, que e diecção e e sentido. Este é o pincípio da consevação da quantidade de oviento de ua patícula, que pode se econhecido coo u enunciado altenativo à pieia lei de Newton. Eeplo de aplicação: 6

9 Capítulo IMPULSO DE UM ORÇ TEOREM D QUNTIDDE DE MOVIMENTO O pincípio da quantidade de oviento é paticulaente adequado na esolução de pobleas que envolva foça, assa, velocidade e tepo, noeadaente, pobleas que envolva oviento ipulsivo ou choque. Considee-se ua patícula de assa sob a acção de ua foça. De acodo co a segunda lei de Newton: 7

10 Dinâica (cinética) das patículas igua 4.4 Ipulso de ua foça. d( v) dv dp d ( v) (4.4) e que p v é a quantidade de oviento da patícula. Multiplicando abos os teos po e integando desde o instante t até ao instante t, ve: t t t dv v v t t t t p p (4.5) t Resultando na epessão que tadu o teoea da quantidade de oviento: I t p p v v (4.6) t De acodo co esta epessão, quando ua patícula se enconta sob a acção de ua foça duante u ceto intevalo de tepo, a quantidade de oviento final, v, da patícula pode obte-se pela adição vectoial da sua quantidade de oviento inicial, v, co o ipulso eecido pela foça duante o intevalo de tepo consideado. ssi, v + (4.7) I v 4.7 NOÇÃO DE CMPO Na natuea eiste fenóenos que pode se taduidos po gandeas escalaes ou vectoiais, cuja vaiação é contínua assuindo valoes nuéicos nos difeentes pontos de ua egião finita ou infinita. o univeso constituído pela vaiação destas gandeas chaa-se capo. 8

11 Capítulo 4 Eeplos de capos escalaes: tepeatua enegia potencial devida às acções gavíticas enegia electoagnética enegia electostática Eeplos de capos vectoiais: oentos velocidades aceleações foças de atacção gavítica foças electoagnéticas foças electostáticas Quando os capos vaia co o tepo, designa-se então po capos escalaes vaiáveis ou capos vectoiais vaiáveis. Quando os capos não depende do tepo designa-se de capos invaiáveis e depende apenas do ponto. Se C epesenta u capo escala e C u capo vectoial, a sua epesentação sibólica seá: paa capos vaiáveis: C C(, t) C(,,, t) paa capos invaiáveis: C C( ) C(,, ) ou C C(, t) C(,,, t) (4.8) ou C C( ) C(,, ) (4.9) ou ainda: C ( C, C, C ) (4.0) O conceito de capo é útil paa o estudo do oviento de ua patícula sujeita à acção de ua foça, noeadaente, paa a sua intepetação e epesentação. 9

12 Dinâica (cinética) das patículas Coo se efeiu na intodução deste capítulo, as foças que actua sobe ua patícula são funções da posição da patícula, da sua velocidade e do tepo. Isto é: d ( t,, v) t,, ( t, ) (4.) ou seja, coo o vecto posição (t) define copletaente o oviento da patícula, pode-se die que a função vectoial depende de t e : ( t, ). Esta é a epessão analítica de u capo vectoial de foças. Potanto, quando se di que ua patícula eecuta u oviento sujeito à acção de ua foça, é equivalente a die que a patícula se ove nu capo de foças dado. 4.8 TRBLHO RELIZDO POR UM ORÇ igua 4.5 Tabalho eleenta ealiado po ua foça. Considee-se ua patícula que se desloca de paa u ponto viinho B. Sendo o vecto posição do ponto, o pequeno vecto que liga o ponto ao ponto B pode epesenta-se pelo vecto eleenta d e designa-se po deslocaento da patícula. Considee-se que é a foça que actua sobe essa patícula e que povoca o deslocaento d. O tabalho ealiado pela foça duante o deslocaento d é definido pela quantidade: 0 dw d (4.) Repesentando a intensidade da foça e a intensidade do deslocaento espectivaente po e d ds e po α o ângulo que estes dois vectoes foa ente si, e ecodando a definição de poduto escala de dois vectoes, então: dw ds cosα (4.3)

13 Capítulo 4 Consideando as coodenadas catesianas da foça e do deslocaento, espectivaente (,, ) e d ( d, d, d ), o tabalho dw pode tabé se escito po: dw d + d + d (4.4) Tatando-se de ua gandea escala, o tabalho te intensidade e sinal, as não te diecção. Veifica-se tabé que o tabalho deve epessa-se e unidades tais que esulte da ultiplicação de unidades de foça po unidades de deslocaento: [W] [foças] [espaço] (M L T - - ) (L) M L T no S.I.: [W] N J (Joule) (4.5) Nota: O Joule (J) é a unidade de enegia no sistea intenacional, S.I., que na foa ecânica (tabalho, enegia potencial, enegia cinética), que na foa quíica, eléctica ou téica. Deve nota-se que apesa de N J, o oento de ua foça deve epessa-se e N e não e joules, ua ve que o oento de ua foça não constitui ua foa de enegia. O tabalho ealiado pela foça ao longo de u deslocaento finito da patícula desde o ponto ao ponto obté-se pela integação da equação de definição de dw ao longo da tajectóia descita pela patícula. Este tabalho, designado po W, obté-se da seguinte foa: W dw d (4.6a) ou W ds (4.6b) sendo t a coponente tangencial da foça, ou ( + + ) d d d t W (4.6c)

14 Dinâica (cinética) das patículas nálise da epessão do tabalho: Tendo e conta que a foça depende das leis do oviento (isto é, do tepo, do espaço e da velocidade), ou seja, depende da tajectóia e da lei hoáia, então: ( t,, v) (4.7) coo, (,, ) d d d e v,, ( &, &, & ) (4.8) então: ( t,,,, &, &, & ) (4.9) Consoante o tipo de dependência do tabalho co as leis de oviento, pode distingui-se os seguintes tês casos: º caso Caso geal O tabalho depende das leis do oviento que o ponto de aplicação da foça (isto é, da patícula ) eecuta ao i do ponto paa o ponto. º caso Capo invaiável O tabalho depende da tajectóia as não depende do odo coo o oviento é ealiado ao longo da tajectóia (isto é, não depende da lei hoáia). 3º caso Capo consevativo O tabalho não depende da tajectóia, ou seja, qualque que seja o pecuso e a lei hoáia ente os pontos e, o tabalho seá sepe o eso. Paa cada u destes tês casos típicos, as epessões do tabalho seão do seguinte tipo: º caso: Caso geal de capos vaiáveis t,,,, &, &, & ) (,, ) ( d ( d, d, d) (4.30) (4.3) coo

15 Capítulo 4 (t) ; (t) ; (t) (4.3) d & ; d & ; d & (4.33) então, W d ) [ ( t) & ( t) + ( t) & ( t) + ( t) & ( t ] (4.34) t f ( t) t W (4.35) ssi, no caso geal, se dois pontos e são ligados po dois pecusos (isto é, duas tajectóias) distintos e paa cada u deles eiste duas leis hoáias distintas, então obté-se quato tabalhos distintos: W taj. l. h. W W W (4.36) taj. l. h. taj. l. h. taj. l. h. igua 4.6 Capo vaiável. º caso: Capos invaiáveis igua 4.7 Capo invaiável. Neste caso, o tabalho (e a foça) não depende do tepo, po isso, (,,, &, &, & ) (,, ) (4.37) d ( d, d, d) (4.38) coo, 3

16 Dinâica (cinética) das patículas ( s) ; ( s) ; ( s) (4.39) então: d d ds & v ( s) ds ; & v ( s) ; & v ( s) (4.40) d ( s) ds ; d ( s) ds ; d ( s) ds (4.4) logo, ( s) ; ( s) ; ( s) (4.4) W d [ + ( s) ( s) ( s) ( s) + ( s) ( s ] ) ds (4.43) s g( s) s W ds (4.44) Neste caso, o tabalho é dado pelo integal de linha da função g(s). Consideando o eeplo anteio dos dois pecusos altenativos ente e e co difeentes leis hoáias. Nu capo de foças invaiável te-se-ia: W W W W (4.45) taj. l. h. taj. l. h. taj. l. h. taj. l. h. 3º caso: Capos consevativos Neste caso, coo o tabalho não depende da tajectóia ne da lei hoáia, o tabalho ealiado pela foça seá apenas ua função escala do ponto de aplicação, confoe seá efeido adiante ais detalhadaente. Na sibologia de tabalho, tajectóias e leis hoáias atás consideadas te-se-á: W W W W (4.46) taj. l. h. taj. l. h. taj. l. h. taj. l. h. 4

17 Capítulo 4 Eeplo : 5

18 Dinâica (cinética) das patículas Eeplo : 4.9 TEOREM DS ORÇS VIVS OU TEOREM D ENERGI CINÉTIC Considee-se ua patícula de assa e sujeita à acção de ua foça e que se desloca ao longo de ua tajectóia que pode se ectilínea ou cuva. igua 4.8 Patícula de assa sujeita a ua foça. 6

19 Capítulo 4 7 O teoea das foças vivas ou teoea da enegia cinética di que: o tabalho ealiado pela foça duante o deslocaento de paa é igual à vaiação da enegia cinética da patícula: v v T T W (4.47) ª foa de deonsta este teoea: cos ds d W α (4.48) onde, ds dv v ds ds dv dv dv a a t t t t t α cos (4.49) substituindo na epessão (4.48) ve: v v dv v W ds ds dv v W [ ] v v v v W v W (4.50) ª foa de deonsta o teoea: d d d d d W (4.5) coo, Na ísica, designa-se a gandea v coo foça viva. t

20 Dinâica (cinética) das patículas d d d d d d d d d d d d ( v v) v d d + d d (4.5) substituindo na epessão (4.5) ve: W v d v dv v v (4.53) v plicações deste teoea: aplicação do teoea das foças vivas, ou teoea da enegia cinética, siplifica consideavelente a esolução de uitos pobleas que envolva foças, deslocaentos e velocidades. Considee-se, coo eeplo, o pêndulo O, que é foado po ua esfea de peso P, ligada a ua coda de copiento l. Solta-se o pêndulo da posição hoiontal O, se ipii qualque velocidade inicial, que eecuta o oviento no plano vetical. Petende-se deteina a velocidade da esfea quando passa pela posição, situada na vetical de O. igua 4.9 Moviento de u pêndulo. Nu instante inteédio qualque, as foças que actua na esfea são o seu peso P e a foça eecida pela coda. Note-se que a foça não ealia tabalho, já que é noal à tajectóia; o peso P é a única foça que ealia tabalho. Este tabalho obté-se ultiplicando a intensidade P pelo deslocaento vetical l: dw P d dw P d W P ( ) W P l (4.54) nalisando agoa a enegia cinética da esfea e tendo que pate de ua situação de epouso (v 0), então: 8

21 Capítulo 4 T 0 ; T ; v P (4.55) g plicando o teoea da enegia cinética ( W T T ): P P l v v g l g (4.56) Note-se que esta velocidade é a esa que a de u gave e queda live a ua altua l. O eeplo aqui consideado ilusta as seguintes vantagens deste étodo:. Paa a deteinação da velocidade e, não é necessáio deteina a aceleação nua posição inteédia e, depois, intega a epessão obtida ente e.. Todas as gandeas envolvidas são escalaes e pode se adicionadas diectaente, se ecuso às coponentes e. 3. s foças que não ealia tabalho pode, desde logo, eliina-se na esolução do poblea. Há, no entanto, desvantagens na aplicação deste étodo pois: Não pode se utiliado paa obte diectaente a aceleação. deteinação de ua foça que é pependicula à tajectóia de ua patícula, e que po isso não ealia tabalho, se deve copleenta co a aplicação diecta da segunda lei de Newton. Supondo que se petende deteina a foça na coda do pêndulo do eeplo anteio, no instante e que a esfea passa po : Epiindo a segunda lei de Newton e função das coponentes tangencial e noal, as equações Σ t a t e Σ n a n condue espectivaente a: igua 4.0 Equilíbio do pêndulo. 9

22 Dinâica (cinética) das patículas 0 Consideando a epessão (4.56), t n P a n P v g l (4.57a) a t 0 P + P g g l l 3 P (4.57b) Então: 3 P (4.57c) 4.0 ENERGI POTENCIL. CMPOS CONSERVTIVOS Considee-se u copo de peso P que se desloca ao longo de ua tajectóia cuva desde o ponto de altua paa u ponto de altua. O tabalho da foça de gavidade P duante o coespondente deslocaento é: igua 4. Enegia potencial. W P d P P (4.58) Potanto, o tabalho de P pode obte-se pela subtacção do valo da função P coespondente à segunda posição do copo, ao valo que a efeida função toa paa a pieia posição. O tabalho de P é independente da tajectóia que o copo segue de facto; ele depende soente dos valoes iniciais e finais da função P. Esta função designa-se po enegia potencial do copo e elação à foça de gavidade P e é epesentada po U P. Pode-se esceve: W U U ; co U P (4.59) 30

23 Capítulo 4 Note-se que se U > U, isto é, se a enegia potencial auenta duante o deslocaento (coo é o caso aqui consideado), o tabalho W é negativo. Se, po outo lado, o tabalho de P é positivo, a enegia potencial diinui. Po esta aão, a enegia potencial U do copo fonece ua edida do tabalho que pode se ealiado pelo seu peso P. Dado que a epessão anteio (4.59) envolve apenas a vaiação de enegia potencial, e não o valo eal de U, pode-se adiciona ua constante abitáia à epessão obtida paa U : W P P P + k P + k U U (4.60) ( ) ( ) ( ) ( ) Po outas palavas, pode-se escolhe abitaiaente o nível, ou linha de efeência, a pati do qual se ede a altua. Considee-se u capo de foça qualque. Di-se que u capo de foças é consevativo quando o tabalho ealiado pelo vecto do capo de foças ao desloca-se de u ponto paa o outo é independente da tajectóia pecoida. Coo se viu anteioente, isto significa que se pode associa a cada ponto do espaço u escala que é o valo do tabalho ealiado pelo capo de foças desde u ponto genéico escolhido paa oige (caacteiado pelo vecto posição O ) até ao ponto coente (caacteiado pelo vecto posição ): W O O d (4.6) Este escala dependeá do ponto do espaço (potanto de ) e dependeá tabé do ponto abitáio escolhido coo oige. Mas, ua ve escolhida a oige, se o capo fo consevativo, o tabalho ealiado pelo vecto do capo seá apenas função do ponto consideado. Isto significa que paa ua oige abitáia, caacteiada po O, estaá associado a cada ponto do espaço u capo escala que é u capo dos valoes do tabalho ealiado pelos vectoes do capo de foças desde essa oige abitáia até ao ponto e questão. o escala siético (ou de valo negativo) do tabalho ealiado pelo vecto do capo desde ua oige abitáia até ao ponto coente dá-se o noe de enegia potencial no ponto coente: U O d (4.6) 3

24 Dinâica (cinética) das patículas Ou seja, a enegia potencial não é o tabalho ealiado, as a capacidade de o pode ealia, pois é definido coo o siético de u tabalho ealiável. enegia potencial não te eistência física e, coo tal, não se ede. O que é ensuável são as difeenças de enegia potencial, que coesponde a tabalho ealiado: O O W W + + W O d d O d d O O U U (4.63) Coo os tabalhos coesponde a concetiações, então pode-se edi. O copotaento diensional e as unidades de enegia potencial e de tabalho são as esas. 4. CRCTERIZÇÃO DE CMPOS CONSERVTIVOS Tal coo se efeiu na secção anteio, a foça que actua na patícula é dita consevativa quando o tabalho W é independente da tajectóia pecoida pela patícula à edida que se desloca desde a posição até à posição. Nesta situação, coo se viu, o tabalho W é dado pela difeença ente as enegias potencial de e (U e U ). Confoe se viu, a enegia potencial nu ponto genéico caacteiado pelo vecto posição é o escala: U ( ) U (,, ) d (4.64) O então o valo eleenta da enegia potencial, du, é: du d dw (4.65) epessando e função das suas coponentes: 3

25 Capítulo 4 du (,, ) (, (, ) ( d, d, d) d + d + d) (4.66) ace a esta epessão, eiste tês citéios equivalentes paa caacteia e veifica se u capo de foças é consevativo. º Citéio: O vecto capo de foças é o gadiente de u potencial enegia potencial eleenta du pode se escita coo: U U U du (,, ) d + d + d (4.67) consideando a epessão (4.66), então: U U d + U d + d ( d + d + d) (4.68) ou seja: U U U (, U U, ),, U gad U U (4.69) ace ao eposto, veifica-se que nu capo consevativo o vecto do capo é o siético do gadiente de u potencial. 33

26 Dinâica (cinética) das patículas 34 º Citéio: Igualdade das deivadas paciais cuadas das coponentes do vecto do capo Se a função escala do ponto U(,, ), designada de enegia potencial fo ua função contínua da classe C, isto é, função contínua e de pieias e segundas deivadas contínuas, então: U U U U U U (4.70) pois só paa este tipo de continuidade é que a ode de deivação é peutável. s tês igualdades anteioes coesponde espectivaente: ( ) ( ) U U U U 0 (4.7a) ( ) ( ) U U U U 0 (4.7b) ( ) ( ) U U U U

27 Capítulo (4.7c) Potanto, o º citéio pode se taduido pelas seguintes igualdades: (4.7) 3º Citéio: O capo consevativo é iotacional O vecto otacional de é: ot ( ) k j i k j i k j i + + (4.73) Tendo e conta as tês igualdades obtidas no º citéio, veifica-se que nu capo consevativo o vecto otacional desse capo é u vecto nulo, isto é, o capo de foças é iotacional: 0 ot (4.74) 4. PRINCÍPIO D CONSERVÇÃO D ENERGI MECÂNIC De acodo co o teoea das foças vivas, o tabalho ealiado po ua foça duante o deslocaento de paa é igual à vaiação de enegia cinética: T T W (4.75)

28 Dinâica (cinética) das patículas Viu-se tabé que o tabalho ealiado po ua foça consevativa se pode epii coo ua vaiação de enegia potencial: W U U, se fo consevativa (4.76) Então, nu capo de foças consevativas veifica-se a seguinte igualdade: T T U U T T + U T + U (4.77) Isto significa que, quando ua patícula se desloca sob a acção de foças consevativas, a soa da sua enegia cinética e da sua enegia potencial se anté constante: se é consevativo : T ( t) + U ( t) constante (4.77) Esta constatação tadu o Pincipio da Consevação da Enegia Mecânica: Nu capo consevativo, a enegia ecânica total, E(t) T(t)+U(t), peanece invaiável. Potanto, nu capo de foças consevativas ocoe apenas tansfoações de enegia cinética e enegia potencial e vice-vesa e, coo tal, não podeão eisti fontes dissipadoas de enegia tais coo atitos sólidos, esistência de fluidos, etc. Eeplo clássico: Capo gavítico (unifoe) de Galileu 36

29 Capítulo 4 Eeplo : Oscilação de u pêndulo 37

30 Dinâica (cinética) das patículas O pincípio da consevação da enegia ecânica só é válido, coo se viu, e capos consevativos. No entanto, eiste u pincípio escala ais geal designado de Pincípio da Consevação de Enegia, segundo o qual, e qualque sistea ecânico (consevativo ou dissipado) a enegia total de todas as fontes peanece constante. Ou seja, t E t) constante E ( t) + E ( t) + E ( t)... (4.78) total ( ecânica caloífica adioactiva + Po eeplo, as foças de atito são foças não consevativas. Po isso, o tabalho ealiado po ua foça de atito depende da tajectóia pecoida pelo seu ponto de aplicação, sendo sepe negativo. Daqui esulta que quando eiste atito nu sistea ecânico, a sua enegia ecânica total diinui. Poé, a enegia do sistea não se pede; ela é tansfoada e calo, e a soa da enegia ecânica e da enegia téica do sistea anté-se constante. 4.3 POTÊNCI potência é definida coo sendo o tabalho ealiado duante a unidade de tepo. Se W fo o tabalho ealiado duante o intevalo de tepo t, duante este tepo a potência édia é dada po: 38

31 Capítulo 4 W Potência édia : P ed (4.79) t No liite, quando t tende paa eo, obté-se a potência instantânea: Substituindo dw pela sua definição ( dw ve: dw P (4.80) dw d d P d ) e opeando convenienteente, v (4.8) s unidades de potência obtê-se pela divisão de unidades de tabalho po unidades de tepo: M L T P (4.8) T 3 [ ] M L T No sistea intenacional, SI: [P] J/s Watt W Nota: Quando da selecção de u oto, a potência constitui u citéio ais ipotante do que a pópia quantidade de tabalho que se deve ealia. Paa obte ua ceta quantidade de tabalho pode-se utilia desde u oto de pequena potência até u oto de gande potência; a difeença é que o oto de eno potência necessitaá de ais tepo paa ealia o eso tabalho. 4.4 MOMENTO CINÉTICO OU MOMENTO NGULR. TEOREM DO MOMENTO CINÉTICO Considee-se ua patícula de assa ovendo-se elativaente a u sistea de efeência newtoniano O. Coo se viu na secção 4.5, a quantidade de oviento de ua patícula nu dado instante é igual ao vecto p( t) v( t). 39

32 Dinâica (cinética) das patículas Designa-se oento cinético ou oento angula da patícula e elação ao ponto O no instante t ao oento do vecto p e elação ao ponto O, designa-se po H O : H O ( t) ( t) p( t) ( t) v( t) (4.83) O vecto H O te as seguintes caacteísticas: igua 4. Moento cinético. - diecção: pependicula ao plano que conté e p ; - sentido: deteinado a pati da ega do sacaolhas, faendo oda a diecção de sobe a diecção de p ; - gandea: H O v senφ ; φ é o ângulo foado po e v. s unidades do oento cinético obtê-se pela ultiplicação da unidade de copiento pela unidade da quantidade de oviento: [ ] L M L T M L T ( M L T ) T H O enegia (4.84) No sistea intenacional, SI: [H O ] J.s O teoea do oento cinético da patícula dedu-se deivando e ode ao tepo a epessão de definição do oento cinético: dh O d d dp ( p) p + (4.85) d d coo v // p v p 0, então: 40

33 Capítulo 4 dh O dp (4.86) ssi, de acodo co o teoea do oento cinético, e qualque instante a deivada tepoal do oento cinético da patícula nu ponto qualque é igual ao oento nesse ponto das foças eteioes aplicadas à patícula nesse instante: dh O ( t) ( t) ( t) (4.87) 4.5 PRINCÍPIO D CONSERVÇÃO DO MOMENTO CINÉTICO igua 4.3 Diecção da foça actuante passa pelo ponto fio O. deivada tepoal do oento cinético seá nula se a patícula não estive sujeita a foças eteioes (ou a esultante das foças fo nula), 0, ou se a foça actuando na patícula tive a diecção do ponto fio O, sendo O efeido coo o cento da foça. ssi, nestas condições, esulta: dh ( t) O 0 H O ( t) constante (4.88) di: Esta epessão tadu o pincípio da consevação do oento cinético, que O oento cinético de ua patícula não actuada po foças eteioes, ou co esultante nula; ou, ainda, sujeita a ua foça co diecção que passa po u ponto fio e qualque instante; é constante no tepo. 4

34 Dinâica (cinética) das patículas 4.6 ORÇS CENTRIS. MOVIMENTO SOB CÇÃO DE UM ORÇ CENTRL Designa-se po foça cental aquela cuja diecção e qualque instante de tepo passa po u ponto fio designado de cento ou pólo do capo de foças. O oviento de ua patícula sujeita à acção de ua foça cental di-se oviento da patícula nu capo de foças centais. igua 4.4 oças centais. Este odelo te aplicação iediata eplícita na ecânica celeste e na física atóica. Nu capo de foças centais, o vecto pode se obtido po: (,,, t) f (,, ) ( t) (4.89) s pincipais caacteísticas do oviento no capo de foças centais são as seguintes: ª) O oento cinético é constante Coo se efeiu na secção anteio, nua patícula sujeita a ua foça cental, veifica-se o seguinte: // dh O 0 0 H O ( t) constante (4.90) Potanto, no capo de foças centais o oento da quantidade de oviento no pólo (isto é, o oento cinético no pólo) é independente do tepo (vecto constante). 4

35 Capítulo 4 ª) tajectóia da patícula nu capo de foças centais é plana Coo H O ( t) p constante, então o plano foado pelos vectoes e p v é constante ao longo do tepo. Coo (t) e v (t) petence ao plano osculado da tajectóia no instante t e coo este plano é constante ao longo do tepo, isto significa que a tajectóia da patícula nu capo de foças centais é plana. 3ª) Lei das áeas do capo de foças centais gandea do poduto vectoial coesponde à áea do paalelogao epesentado na figua: igua 4.5 Paalelogao foado po e. senα (4.9) Veifica-se então que a áea do tiângulo coesponde a etade da gandea do poduto vectoial : h (4.9) áea eleenta, coespondente ao tiângulo, po unidade de tepo seá: t t t (4.93) Define-se velocidade aeola, c, da patícula à áea vaida pelo vecto posição po unidade de tepo nua patícula sujeita a ua foça cental: c li li t 0 t t 0 t c v (4.94) 43

36 Dinâica (cinética) das patículas Sendo o oento cinético dado po: H O ( t) p v ; então a velocidade aeola está elacionada co a gandea do oento cinético po : H O c (4.95) Coo o oento cinético de ua patícula sujeita a ua foça cental é constante, então: H O c constante (4.96) Isto é a velocidade aeola é constante. Daqui esulta a lei das áeas do capo de foças centais: Nu capo de foças centais, as áeas vaidas pelos vectoes posição nu ceto intevalo de tepo são popocionais aos tepos necessáios paa os vae. Tendo e conta que: H O d c constante (4.97) então obté-se o seguinte: t + t d c d c t igua 4.6 Lei das áeas. Áea c t (4.98) ltenativaente, a lei das áeas pode se enunciada po: áeas iguais são vaidas e iguais intevalos de tepo. s tês caacteísticas efeidas paa u capo de foças centais enconta- -se taduidas na segunda lei de Keple da Mecânica Celeste, deivada a pati das obsevações epíicas do dinaaquês Tcho-Bake: 44

37 Capítulo 4 Quando ua patícula está sujeita à acção de u capo de foças centais, desceve ua tajectóia plana segundo a lei das áeas. 4.7 LEI D GRVITÇÃO UNIVERSL. CMPO GRVITCIONL DE NEWTON Coo se viu na secção anteio, a foça gavítica eecida que pelo Sol sobe u planeta, que pela Tea sobe u satélite e óbita, constitui u bo eeplo de ua foça cental. Po outo lado, a odelação do capo gavítico coo unifoe (capo gavítico de Galileu) só é aplicável a lançaentos de pojécteis a pequenas altuas acia da supefície da Tea e desde que só alcance pequenas distâncias paa se duplaente despeável a vaiação da gavidade e altua e o efeito da cuvatua da Tea. odelação do capo gavítico, ais e geal, é devida a Newton atavés da lei da gavitação univesal ente dois copos de assas M e, espectivaente, situados à distância ente si. Lei da gavitação univesal: Dois copos de assas M e, espectivaente, situados à distância, atae-se co ua foça diigida segundo a diecção das assas, popocional ao poduto das assas e invesaente popocional ao quadado da distância ente elas. M G igua 4.7 Lei da gavitação univesal. constante de popocionalidade G é designada de constante de gavitação e é deteinada epeientalente pela balança de Cavendish. 45

38 Dinâica (cinética) das patículas foça de atacção que se eece ente a Tea e u seu satélite te a gandea de: igua 4.8 oça de atacção. M G (4.99) sendo a sua epesentação vectoial, toando coo oige o cento da Tea, dada po: M G 3 (4.00) Os esultados epeientais osta que a constante de gavitação univesal, G, é igual a: 3 G ( ± 0.03) 0 / kg s (4.0) e unidades do sistea intenacional, SI. Po inteédio da odelação newtoniana do capo gavítico teeste, e aditindo u capo gavítico unifoe apenas à supefície da Tea (abstaindo dos achataentos polaes e da bojua equatoial da Tea) as não e altua, pode- -se-á deteina a vaiação e altua da aceleação gavítica teeste sobe qualque objecto. O peso P de u copo de assa, situado sobe, ou póio, da supefície da Tea, define-se coo sendo a foça que esta eece sobe o copo. Ou seja, substituindo pela intensidade do peso, P g (onde g epesenta a aceleação gavítica) e pelo aio R da Tea, obté-se: igua 4.9 Copo de assa à altua h acia da Tea. GM GM P g g (4.0) R R sendo G /kg s -, de acodo co a epessão (4.0), o aio da Tea igual a R e a assa da Tea igual a M kg; então a aceleação gavítica é igual a: 46

39 Capítulo ( ) 4 - g 9.8 s (4.03) 6 vaiação e altua da aceleação gavítica pode se obtida atavés da consideação de u copo à altua h e elação à supefície édia teeste: G M g( h) (4.04) ( R + h) Quado 4. Vaiação e altua da aceleação gavítica. h () g(h) g g g g g( h) g(0) g(0) 00% s pincipais caacteísticas do capo gavitacional newtoniano são: ª) O capo gavitacional newtoniano é u capo de foças centais E cada instante, a foça de atacção ente os dois copos de assas M e é: igua 4.0 Capo gavitacional newtoniano. M M G G e (4.05) 3 onde e / é o veso adial. Coo a foça de atacção está diigida paa o cento das assas, logo o copo de assa oda e tono do copo de assa M co ua foça cental dada po (4.05). ª) O capo gavitacional newtoniano é u capo consevativo O capo gavitacional newtoniano coesponde a u capo sujeito a foças centais, logo, coo se viu anteioente, a tajectóia do 47

40 Dinâica (cinética) das patículas 48 oviento do satélite de assa e tono do copo de assa M é ua tajectóia plana descita pela lei das áeas. Considee-se então o plano da tajectóia no qual a foça atactiva é: ), ( ), ( 3 M G (4.06) sendo +, então: + + 3/ 3/ ) (, ) ( M G (4.07) s deivadas paciais e são: + 3/ ) ( M G 6 / / ) ( ) ( 3 M G + + 5/ ) ( 3 M G + (4.08) + 3/ ) ( M G 6 / / ) ( ) ( 3 M G + + M G + 5 / ) ( 3 (4.09) Logo, de acodo co o segundo citéio de capos de foças consevativos, veifica-se que o capo gavitacional newtoniano é consevativo.

41 Capítulo 4 Potanto, à Mecânica Celeste e à Mecânica do Sistea Sola podeá se aplicado o pincípio da consevação da enegia ecânica e o pincípio de consevação do oento cinético. 4.8 PRINCÍPIO DE D LEMBERT O pincípio de D lebet ecoe a ua foça fictícia se eistência física, designada de foça de D lebet ou foça de inécia, e po inteédio da qual o equilíbio dinâico de ua patícula e oviento é analisado coo se tatasse de u equilíbio estático. foça fictícia de D lebet (ou foça de inécia) é definida coo o siético do poduto da assa pela aceleação da patícula: a inécia (4.0) igua 4. oça de D lebet. Deste odo, o pincípio de D lebet di que é nula e qualque instante a soa vectoial de todas as foças actuantes sobe ua patícula e oviento, quando nesse soatóio está incluído a foça de inécia. t k + 0 (4.) n : inécia k Po inteédio deste pincípio, o equilíbio dinâico da patícula pode se taduido coo u pseudo-equilíbio estático e qualque instante, ecoendo à noção de foça de D lebet ou foça de inécia. 49

42 Dinâica (cinética) das patículas Eeplo de aplicação 50