Aula 1a As Leis de Kepler e a Gravitação Newtoniana
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- Catarina Azeredo Gameiro
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1 Aula a As Leis de Kepler e a Gravitação Newtoniana Profa. Jane Gregorio-Hete & Prof. Annibal Hete AGA05 Manobras Orbitais AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
2 Dinâica: As Três Leis de Newton Mecânica Clássica A Mecânica Clássica (ou Newtoniana) é ua teoria física cujas bases são as ideias de Massa Força Posição Aceleração Raos iportantes da Mecânica Clássica: Dinâica: estudo das interações entre força e assa Cineática: etodologia que estuda o oviento (independente de suas causas) AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
3 A nova visão cósica ver texto Obros de Gigantes Tycho Brahe (546-60) Dados Observacionais (quantidade e qualidade) Johannes Kepler (57-630) Forulação Mateática aplicada aos dados de Tycho Galileu Galilei (565-64) Observação: luas de Júpiter, fases de Vênus, anchas Solares Isaac Newton (64-77) Gravitação Universal: oviento corpos celestes AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 3
4 AS LEIS DE KEPLER AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 4
5 As Leis de Kepler As observações das posições dos planetas (usando dados do astrônoo Tycho Brahe) podia ser descritas por três leis. As três Leis de Kepler explica: A órbita dos planetas. A variação da velocidade ao longo da órbita. A diferença de velocidade dos planetas. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação Johannes Kepler Estas leis são epíricas: obtidas através da observação, as se foraliso. 5
6 Prieira Lei de Kepler AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 6
7 a Lei de Kepler: Elipses Sabeos que na elipse, a soa das distâncias até os focos é constante: r + r = a, onde a é o sei-eixo aior. No caso de ua órbita planetária, o sei-eixo aior da elipse é a distância édia do Sol até o planeta AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 7
8 O raio édio de ua órbita Quando dizeos que o raio da órbita da Terra é de 50 ilhões de k, estaos adotando u valor édio. Na verdade, ao cainhar sobre sua elipse, a Terra se aproxia até k do Sol (periélio) e chega a k (afélio). AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 8
9 Segunda Lei de Kepler Lei das Áreas O raio vetor que liga u planeta ao Sol descreve áreas iguais e tepos iguais. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 9
10 a Lei de Kepler: Áreas Lei da Áreas: A reta que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais e intervalos de tepo iguais. variação nas velocidades dos planetas o oviento é ais rápido nos pontos da órbita que são ais próxios do Sol. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 0
11 a Lei de Kepler: Áreas Ao over-se entre o ponto A e o ponto B, abos perto do periélio, a linha que liga o planeta ao Sol define ua área S. Ao over-se entre o ponto C e o ponto D, perto do afélio, a linha que liga o planeta ao Sol define ua área S. As áreas S e S são iguais. Isso significa que a velocidade do planeta varia, sendo enor perto do afélio e aior perto do periélio. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
12 Terceira Lei de Kepler AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
13 3 a Lei de Kepler: Haronia 0 anos depois Busca de haronia Lei Harônica 3ª Lei: O quadrado do período de u planeta é proporcional ao cubo de sua distância édia ao Sol. T a 3 k P é o período sideral* do planeta e a o sei-eixo de sua órbita. A constante k te o eso valor para todos os corpos co órbita ao redor do Sol. *Período Sideral é o intervalo de tepo necessário para que o planeta percorra 360 o e torno do Sol AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 3
14 3 a Lei de Kepler: Haronia O quadrado do período orbital de u planeta é diretaente proporcional ao cubo do seieixo aior de sua órbita. Isso significa que, dados dois planetas co períodos T e T e raios orbitais édios a e a, tereos: 3 AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 3 T T a a 4
15 AS LEIS DE NEWTON AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 5
16 Sir Isaac Newton As três leis universais do oviento e da gravitação (Philosophiae Naturalis Principia Matheatica - 687) Mebro do Parlaento ( ) Chefe do tesouro e fazenda (696-77) Presidente da Royal Society (703-77) AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 6
17 Sir Isaac Newton (carta a Robert Hooke - Fevereiro de 676) AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação Tycho Brahe Johannes Kepler 7 Galileu Galilei
18 Prieira Lei de Newton Lei da Inércia A prieira lei de Newton diz que todo corpo tende a anter o seu oviento. Se e repouso, irá peranecer e repouso desde que não haja forças atuando sobre este corpo, ou se estas se anulare. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 8
19 Segunda Lei de Newton Lei Fundaental da Dinâica F F a dp dt AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 9
20 Terceira Lei de Newton Lei da Ação e Reação Duas forças: -Mesa direção as sentidos opostos -Mesa intensidade -Aplicadas e corpos diferentes: não se anula! AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 0
21 Lei da Ação e Reação F F ação reação F F ação reação Yes!! AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
22 Lei da Gravitação Universal F G r rˆ Dois corpos se atrae na razão direta de suas assas e na razão inversa do quadrado da distância. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
23 Lei da Gravitação Universal F G r rˆ Força que atua à distância, se necessidade de contato entre os corpos. Constante da gravitação: G AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 3
24 Exeplos Calcule a força (e Newtons) devida à atração gravitacional entre. O Sol e a Terra. Dados:. A Terra e a Lua. 3. A Terra e u pessoa de 50 kg e sua superfície. 4. U elefante e ua foriga a. 5. O onte Everest e u autoóvel a k. 6. Júpiter e a Terra. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação Massa do Sol: M =, kg Massa da Terra: M =5, kg Massa de Júpiter: M =, kg Massa da Lua: M =7,35 0 kg Massa do Monte Everest: 6,4 0 5 kg Massa de u elefante: 4500 kg Massa de u autoóvel: 500 kg Massa de ua foriga: 0,003 g Distância Terra-Sol:,496 0 = UA Distância Terra-Lua: k Raio da Terra: 6400 k Distância Sol-Júpiter: 5, UA 4
25 Exeplos. Calcule a força devida à atração gravitacional entre o Sol e a Terra F G F r 30 4,980 5,980 6,6740,4960 F 3, N AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 5
26 Exeplos F. Calcule a força devida à atração gravitacional entre a Terra e a Lua F G r 4 5,980 7,350 6, AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação F, N 6
27 Leis de Kepler x Leis de Newton Kepler. Órbitas = Elipses. Lei das áreas 3. Lei Harônica Newton. Lei da Inércia. F=a 3. Ação e Reação Gravitação AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 7
28 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana Newton cobinou suas três leis de oviento e a lei da gravitação para deduzir as leis epíricas de Kepler. Kepler havia atribuído as órbitas elípticas a ua força de atração agnética. Newton linha de raciocínio seelhante lei da gravitação universal: coprovou-a por eio do oviento da Lua e explicou o oviento dos planetas. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 8
29 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana (cont.) Vaos considerar u sistea isolado: dois corpos e órbita circular, sob ação de sua força gravitacional útua (tabé se aplica a órbitas elípticas); assas e. Abos tê órbita e torno de u centro de assa suposto estacionário, do qual dista de r e r. baricentro AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 9
30 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana (cont.) Ua vez que a força gravitacional atua ao longo da linha iaginária que os une, abos os corpos deve copletar ua órbita no eso período P (ebora se ova co velocidades diferentes). Para ua órbita circular: T π v r v π T r A força centrípeta necessária para anter as órbitas é: F v r AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 30
31 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana (cont.) 4 4 P r π r P r π r v F 4 4 P r π r P r π r v F as r r F F então r r O corpo de assa aior peranece ais próxio do centro de assa. () () 3 AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
32 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana (cont.) a r r Re-escrevendo () r a r onde r r a então r a r a r a r (3) 3 AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
33 3 a Lei de Kepler na forulação Newtoniana (cont.) lebrando que a G F F F grav (4) 3 T a cobinando (), (3), e (4): )G ( a a π F r π P P r π F 3 4 a ) G( π T Podeos reforular a 3 a lei de Kepler r /F ) G( π K 4 33 AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação
34 Exeplo: no Sistea Solar Entre as várias aplicações, podeos calcular, por exeplo, a assa do Sol: Se u dos corpos te assa uito aior que a do outro (M >> P ), então T G( 4π 3 4 a ) π GM a 3 K 4π GM para o sistea Terra-Sol a distância é de U.A., e o período é de ano. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 34
35 Cálculo da assa do Sol M 4π G a T 3 M 3 3 4π (,50 ) 8 (6,670 )(3,60 7 ) c 3 (c g s 3 - ) (s ) então M =,99x0 33 g AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 35
36 Atividade Considere o planeta Endor e seu satélite natural Forest Moon, cuja órbita te 940 il quilôetros e seu sei-eixo aior e u período de 8 dias. Calcule a assa de Endor, supondo que a assa de Forest Moon é desprezível, quando coparada à assa do planeta. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 36
37 O PROBLEMA DE DOIS CORPOS AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 37
38 O problea de dois corpos Dois corpos de esa assa, e órbitas elípticas ao redor de u centro de assa cou. Dois corpos co diferentes assas, orbitando ao redor de u centro de assa cou. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 38
39 Equações do oviento Considereos as posição de dois corpos próxios. As velocidades e acelerações de cada u deles vale: Velocidades e acelerações absolutas : referentes ao referencial adotado AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 39
40 Equações do oviento A posição relativa de co relação a é dada por E o vetor unitário que define r: onde AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 40
41 Equações do oviento A força gravitacional exercida por sobre vale De acordo co a segunda lei de Newton AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 4
42 Equações do oviento Então Ação e reação O centro de assa dos dois corpos sente ua força dada por AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 4
43 Equações do oviento Podeos ainda aditir que o centro de assa te u oviento dado por O potencial gravitacional é dado por o que nos leva a AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 43
44 Equações do oviento Partindo de Podeos escrever AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 44
45 Equações do oviento Definios agora o parâetro gravitacional : a unidade de é k 3 s - Esta é ua equação diferencial de segunda orde que estabelece o oviento de co relação a. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 45
46 O MOMENTO ANGULAR AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 46
47 Moento angular O Moento angular, H, é ua das grandezas que se conserva nu sistea isolado, dado por H IW onde I é o oento de inércia (e torno do eixo de oento angular: é ua edida de quanto ele resiste ao oviento angular), e W é a velocidade angular. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 47
48 Moento angular Da esa fora, expressa-se o oento angular, H, coo o produto vetorial entre a posição do objeto a partir do centro de rotação, r (chaada de braço do oento) e o seu oento linear, p. Assi H r p AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 48
49 Moento angular W Regra da ão direita para obter a direção de W. H r v O giroscópio se anté ereto quando te rotação devido ao oento angular, H, que surge coo consequência dessa rotação. (Iage: Wikipedia.) AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação H IW 49
50 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ORBITAL AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 50
51 Apses Apoapsis r ap ( e) a Focus r per ( e) a Periapsis v ( e) ap ( e ) a AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação v ( e) per ( e ) a 5
52 Dedução da equação orbital () Partindo do oento angular de co relação a : Fazendo tereos oento linear de co relação a h é o oento angular relativo por unidade de assa de, isto é, o oento angular relativo específico. As unidades de h são k s - AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 5
53 Dedução da equação orbital () Derivando h no tepo, obté-se d/dt Mas Então r r r 0 r 3 r logo O oento angular relativo específico não varia no tepo. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 53
54 Dedução da equação orbital (3) A trajetória de co relação a fica e u plano cuja noral é dada por h. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 54
55 Dedução da equação orbital (4) Coponentes da velocidade no plano da órbita AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 55
56 Dedução da equação orbital (5) Durante u intervalo de tepo diferencial dt, o vetor posição varre ua área da: AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação da/dt é chaada de velocidade areal. 56
57 Dedução da equação orbital (6) Lebrando que então Tabé é verdade que então Coo podeos afirar que AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 57
58 Dedução da equação orbital (7) coo r r r 3 xh Deveos agora estudar AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 58
59 Dedução da equação orbital (8) Coo Aplicando ua das regras do produto vetorial Tabé sabeos que Então e AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 59
60 Dedução da equação orbital (9) Mas Então podeos dizer que Assi, a equação original......pode ser escrita coo: AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 60
61 Dedução da equação orbital (0) dt C é ua constante de integração que vale C = e Agora, podeos rearranjar a equação e obter O vetor adiensional e é chaado de vetor da excentricidade. e define a linha das apses. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 6
62 Dedução da equação orbital () Gostaríaos de obter ua versão na fora escalar. Coeçaos ultiplicando por r: Usando obteos E ainda, co chega-se a AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 6
63 Dedução da equação orbital () Pela definição de produto escalar, podeos escrever q é a anoalia verdadeira: ângulo entre o vetor posição r e vetor excentricidade e. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 63
64 A equação orbital Define a trajetória de e relação a. Lebre-se que, h, e e são constantes. A equação orbital descreve seções cônicas, incluindo elipses. Equivale ateaticaente à prieira lei de Kepler, ou seja, que os planetas segue trajetórias elípticas e torno do sol. Órbitas de dois corpos são uitas vezes referidas coo órbitas Keplerianas. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 64
65 A equação orbital h é o oento angular relativo por unidade de assa de, isto é, o oento angular relativo específico. As unidades de h são k s - e é o ódulo do vetor adiensional que define a linha das apses. q é a anoalia verdadeira: ângulo entre o vetor posição r e vetor excentricidade e. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação é o parâetro gravitacional. 65
66 A equação orbital AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 66
67 A LEI DA ENERGIA AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 67
68 A Lei da Energia () Dados dois corpos e órbita, e, o oento linear relativo por unidade de assa é dado pela velocidade relativa Fazendo o produto escalar co a equação orbital, chegaos e AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 68
69 A Lei da Energia () Sabeos que E tabé que pois Assi, AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 69
70 A Lei da Energia (3) dt energia cinética por unidade de assa energia potencial por unidade de assa energia ecânica total por unidade de assa Equação vis-viva: assegura a conservação da energia total. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 70
71 A Lei da Energia (4) Na periapsis coo Assi, podeos obter ua expressão para e e função das constantes: AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 7
72 A Lei da Energia energia cinética por unidade de assa energia potencial por unidade de assa energia ecânica total por unidade de assa Equação vis-viva: assegura a conservação da energia total. AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 7
73 Constantes do oviento orbital Na ausência de outras forças que não a gravitacional, duas quantidades se anté constantes e ua órbita. Energia ecânica, E: Moento angular, H: E H V R R V AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 73
74 Constantes do oviento orbital Definição: Energia ecânica específica, e E/; É a energia (constante) da órbita independente da assa do V/E vale para qqr V/E: ISS ou icrosat. e<0 => órbitas circulares e elípticas e=0 => trajetórias parabólicas e>0 => trajetórias hiperbólicas e V R Definição: Moento angular específico, h H/; Porque observaos que o plano orbital se anté fixo no espaço, u vetor perpendicular, tal coo h, é tabé constante e direção (desprezando perturbações orbitais). h RV AGA05 - Aula a: As Leis de Kepler e gravitação 74
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