ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

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1 ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA Mecânica II ME 300 ova de Recupeação 3/07/015 Duação da ova: 100 minutos (Não é pemitido o uso de dispositivos eleto-eletônicos) 1ª Questão (3,5 pontos) anel homoêneo (de espessua despezível), de massa m e aio R ia ao edo da baa, de massa despezível e compimento, com velocidade anula a ela elativa (i.e., de otação pópia) constante, ω. Sabe-se que este oto está em movimento de pecessão estacionáia com ânulo e taa de pecessão Ω, ambos constantes e consideados conhecidos. sistema z acompanha a baa, com sempe hoizontal. s eios,, z e Z são oientados espectivamente pelos vesoes, i,, k e K. Nesta situação de equilíbio dinâmico, detemine: (a) a velocidade anula de otação pópia, ω ; (b) a foça de eação aplicada ao sistema, pela ótula. Z Ω z ω ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostado na fiua, o disco de cento, massa M e aio R, ola sem escoea sobe o plano hoizontal e está liado a uma paede vetical po meio de uma mola de iidez k e de um amotecedo viscoso linea de constante c. Um pêndulo ideal, fomado po uma pequena esfea de massa m posicionada na etemidade de uma haste de compimento e de massa despezível, é acoplado ao cento do disco. A mola tem defomação nula quando a coodenada vale zeo. Uma foça hoizontal F(t) atua no disco. Usando e como coodenadas enealizadas, pede-se: k c M, R F(t) m A (a) a eneia cinética do sistema; (b) a eneia potencial do sistema; (c) a função de dissipação de Raleih, associada ao amotecedo; (d) as demais foças enealizadas não consevativas atuando sobe o sistema; (e) as equações de movimento paa as coodenadas e, usando o fomalismo de aane.

2 ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA 3ª Questão (3,0 pontos) Duante a fomação de um tem estacionado e imóvel (feio acionado) no pátio de manobas, um vaão de massa total m se choca com velocidade constante V = ui imediatamente anteio ao choque. contato ente os vaões ocoe no ponto, coincidente com o cento dos enates tal que ( ) = ai b. Conhecido o coeficiente de estituição e, devido ao apaelho de choque e tação do vaão e despezando qualque foma de atito, pede-se: V TREM ESTACINAD a) elaboe o diaama de copo-live do vaão no instante do impacto; b) equacione o poblema de impacto; c) detemine o impulso I aplicado no ponto do vaão. d) detemine e a velocidade V = u i + v, do cento de massa do vaão, loo após o choque. e) detemine o veto de otação do vaão ω, loo após o choque. Dado:, momento de inécia total do vaão em tono do eio no cento de massa.

3 ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA Mecânica II ME 300 ova de Recupeação 3/07/015 Duação da ova: 100 minutos (Não é pemitido o uso de dispositivos eleto-eletônicos) 1ª Questão (3,5 pontos) anel homoêneo (de espessua despezível), de massa m e aio R ia ao edo da baa, de massa despezível e compimento, com velocidade anula a ela elativa (i.e., de otação pópia) constante, ω. Sabe-se que este oto está em movimento de pecessão estacionáia com ânulo e taa de pecessão Ω, ambos constantes e consideados conhecidos. sistema z acompanha a baa, com sempe hoizontal. s eios,, z e Z são oientados espectivamente pelos vesoes, i,, k e K. Nesta situação de equilíbio dinâmico, detemine: (a) a velocidade anula de otação pópia, ω; (b) a foça de eação aplicada ao sistema, pela ótula. Z Ω z ω Resolução: a) ω = ω + ω = ΩK + ωk ; mas K = cos k sen i, loo: ω abs abs a el = ( ω + Ω cos ) k Ωsen i (0,5) Da condição de pecessão estacionáia, ( & φ = Ω = cte; ψ& = ω = cte; & 0), pode-se deduzi, pelo TMA, & et H = M, com fio, um ponto petencente à etensão ideal íida do anel, que: de onde: u sea: ( ω + I ) Ωcos ) Ω = mz = m m I ω = + ( 1) Ω cos ; com Ω ( (1,5) ω = ΩR R = mr e 1 + Ω cos R I = m +. b) Neste caso de pecessão estacionáia ( a = ΩK = cte a = ωa ω que: = ΩK ( ΩK k ) = ΩK ( Ωsen ) = Ω sen( K ), i.e., a (0,5) ω ), tem-se: ( ( ) ) a ( cosi + sen k ) a, de foma = Ω sen (0,5) v Do TMB seuem as eações, Xi + Y + Zk, aplicadas pela aticulação ao sistema.

4 De fato: mω ma sen ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA v = Xi + Y + Zk mk, ou sea, v ( cos i + senk ) = Xi + Y + Zk m( seni + cosk ) Tal que: Ω X = m sen + sen cos Y Ω Z = m cos sen. (0,5) ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostado na fiua, o disco de cento, massa M e aio R, ola sem escoea sobe o plano hoizontal e está liado a uma paede vetical po meio de uma mola de iidez k e de um amotecedo viscoso linea de constante c. Um pêndulo ideal, fomado po uma pequena esfea de massa m posicionada na etemidade de uma haste de compimento e de massa despezível, é acoplado ao cento do disco. A mola tem defomação nula quando a coodenada vale zeo. Uma foça hoizontal F(t) atua no disco. Usando e como coodenadas enealizadas, pede-se: k c M, R F(t) m A (a) a eneia cinética do sistema; (b) a eneia potencial do sistema; (c) a função de dissipação de Raleih, associada ao amotecedo; (d) as demais foças enealizadas não consevativas atuando sobe o sistema; (e) as equações de movimento paa as coodenadas e, usando o fomalismo de aane. Resolução: (a) Eneia Cinética: T = T D + TA (D:disco; A: pêndulo) Disco, s/ escoeamento (C=CIR): Eneia cinética do pêndulo: T 1 1 3MR 3MR D = ICΩ = Ω = Ω. 1 T A = mv A. 4 Mas, v A & i & 1 = (& + cos ) + ( sin ) ; então: T A = m( & + & & cos + & ). otanto: T = M + m& + m& & cos + m &. (1,0) 4

5 ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA 1 (b) Eneia otencial: V = k + m(1 cos ). (0,5) (c) Raleihiana: 1 R = C &. (0,5) (d) Foças enealizadas outas (eceto as consevativas ou as dissipativas de Raleih): Q = F;. (0,5) Q Θ (e) Aplicando a equação de aane: d dt T T q & q V + q R + q& = Q vem: 3 M + m&& + ( m cos ) && m & sin + C& + k = F ( m cos )&& + m && + msin. (1,0) Resolução da 3a. Questão (3,0 pontos) Duante a fomação de um tem estacionado e imóvel (feio acionado) no pátio de manobas, um vaão de massa total m se choca com velocidade constante V = ui imediatamente anteio ao choque. contacto ente os vaões ocoe no ponto, coincidente com o cento dos enates tal que ( ) = ai b. Conhecido o coeficiente de estituição e, devido ao apaelho de choque e tação do vaão e despezando qualque foma de atito, pede-se: a) elaboe o diaama de copo-live do vaão; paa impacto sem atito (0,5 pontos) V I b) equacione o poblema de impacto; Aplicando o TRI e o TMI no vaão: TRI m( V ) = I i m( u u) = I m( v v) u = u v I m (3.1) (0,5 pontos)

6 ESCA ITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ AU DEARTAMENT DE ENENHARIA MECÂNICA TMI I b ( ω ω) = I b k ω = k ω = I b (3.) (0,5 pontos) Da fomula de campo de velocidades tem-se: = + Ib ω ( ) = u i k ( ai b) I Ib I Ib Iab = u i ( a + bi ) = u i m m (3.3) Fomula de estituição de Newton I Ib i = ev i u = eu m (3.4) c) detemine o impulso I aplicado no ponto do vaão; Utilizando (3.4): (1 + e) m e m I = u I (1 + ) = u i (3.5) (0,5 pontos) ( + mb ) ( + mb ) d) detemine e a velocidade = u i + v, do cento de massa do vaão: V (1 + e) Utilizando (3.5) em (3.1) u = u 1 ( + mb ) (1 + e) Sabendo que (3.1): v = u 1 i mb (0,5 pontos) ( + ) e) o veto de otação do vaão ω, loo após o choque. Utilizando (3.5) em (3.): mb(1 + e) ω = u ( + (0,5 pontos) mb )