Geodésicas Nulas em Relatividade Geral

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1 Geoésicas Nulas em Relativiae Geal Fancisco João Lopes Instituto Supeio Técnico, Lisoa, Potugal Supotao pelo Pogama Novos Talentos em Matemática a Funação Calouste Gulenkian Tutoao pelo Pofesso José Natáio o Depatamento e Matemática o Instituto Supeio Técnico e Maço e 013 Resumo Petene-se estua aios e luz, ou seja, geoésicas nulas, em Relativiae Geal. Em paticula petene-se ote uma emonstação igoosa o efeito e Shapio, que é o ataso que um aio e luz sofe ao pecoe um ao tajecto num campo gavitacional. 1 Intoução No início o século XX, com a ciação a Teoia a Relativiae Restita, po Einstein que postulou que a velociae máxima que uma patícula poe atingi é a velociae a luz, c), sugiu a necessiae e uma nova teoia a gavitação. Isto poque na teoia e Newton a atacção gavítica popaga-se instantaneamente, logo mais ápio que a luz. Esta nova teoia sugiu em 1915, po Einstein, e é conhecia po Teoia a Relativiae Geal, seno uma teoia assente em geometia ifeencial. As equações e Einstein são: G µν = 8πG Tµν 1) c em que G µν = R µν 1 gµνr é o tenso e Einstein, Tµν é o tenso enegia-momento e G é a constante e gavitação univesal. Doavante, e moo a facilita os cálculos, utilizaei G = c = 1. Define-se o elemento e tempo pópio, τ, como: τ = g µνx µ x ν ) one usamos a convenção a soma e Einstein, em que se soma soe os ínices epetios. Outa convenção a utiliza é que as letas gegas tomam valoes em {0, 1,, 3} e as letas latinas tomam valoes em {1,, 3}. Os aios e luz são geoésicas nulas, ou seja, tais que s = 0. O efeito e Shapio é o ataso que um aio e luz sofe ao pecoe um ao tajecto num campo gavitacional. Isto acontece poque a massa gavitacional cuva o espaço-tempo. Este ataso poe se calculao na mética e Schwazschil, que esceve o campo gavitacional exteno a um copo esféico e massa M. Em geal utiliza-se a mética lineaizaa, ou seja, a apoximação e campos facos. Neste caso esceve-se: s 1 + φ) + 1 φ)x + y + z ) 3) em que φ é o potencial gavítico Newtoniano. Consiea-se um aio e luz a i o ponto A, com cooenaas x A, ) paa o ponto B, com cooenaas x B, ), em que é o paâmeto e impacto e x A, x B. O efeencial catesiano em questão tem oigem no cento o copo esféico, e assumimos x A < 0 < x B. Assim: 1 + φ) 1 1 φ)x 1 φ) x ) 1 φ)x 5) t xb xb 1 φ)x = x φ x 6) x A x A 1

2 e potanto t x + xb x A [ x + M sinh 1 x M x x + = x + M )] xb x A xb x x A 1 + ) x 7) x B x B ) = x + M log 1 + x A ) 8) x A + x + M log x A x + M log xb x B + ) x + M log x A 1 + x A M log x A x B x A + x A ) ) 9) x A = x + M log xb xa. 10) Otém-se assim uma estimativa o efeito e Shapio na mética e Schwazschil em campos facos. Na 3 a secção está a emonstação o efeito e Shapio paa qualque tipo e campos esfeicamente siméticos, soe a qual não foi encontaa nenhuma pulicação. Mética Luminosa Méticas estáticas são méticas a foma: s = e φx1,x,x 3) + γ ijx 1, x, x 3 )x i 11) A γ ijx 1, x, x 3 ) á-se o nome e mética espacial. O facto e φx1,x,x 3) poe se intepetao se consieamos ois osevaoes estacionáios muito póximos, um em x i e outo em x i + x i. Nesta situação tem-se que o tempo pópio, meio pelos osevaoes, que um aio e luz emoa a i e x i paa x i + x i elaciona-se com o tempo e cooenaas, t, atavés e: τ = e φ t. 1) Esta elação tauz o chamao eshift gavitacional. No tatamento e geoésicas nulas em méticas estáticas é útil efini uma mética luminosa, λ ij. Nestas geoésicas tem-se s = 0, o que, no caso e uma mética estática a foma e 11) leva a: ṫ = λ ijẋ i ẋ j 13) com x i = x i s), t = ts) e λ ij = e φ γ ij. Note-se que =. Petene-se pova que uma geoésica s x i t) a mética luminosa, paametizaa pelo compimento e aco, ou seja, tal que: λ ij x i = 1 1) é equivalente a uma geoésica nula a mética 11), x i s), isto é, e φ ṫ equações espaciais as geoésicas e pela equação o tempo: = γ ijẋ i ẋ j, escita pelas e φ ṫ = E 15) com E constante. Paa esolve este polema começa-se po pova a implicação: geoésica a mética luminosa implica geoésica nula a mética s. Utilizam-se as equações e Eule-Lagange: L xi aplicaas ao lagangeano que esceve as geoésicas a mética luminosa: L = 1 λij x i L x i = 0 16). 17)

3 Uma vez que x i t) = x i st)), seá útil expessa a 1 a e a eivaa e x i t) em eivaas em oem a s: x i = xi s s = ẋi ṫ. 18) Sustituino 17) em 16) e utilizano 18) otém-se, sucessivamente: λ ij ) 1 λ jk x k = 0 19) x i ) e φ ẋ j γ ij φ ṫ x γ i jk + γ ) jk ẋjẋ k e φ = 0. 0) x i ṫ De seguia utiliza-se o facto e t = ts) e efine-se o paâmeto s, e moo a que e φ ṫ = constante: e φ ṫ γ ijẋ j) + φ x γ ẋ j ẋ k e φ i jk γ jk ẋ j ẋ k e φ = 0 1) ṫ x i ṫ s γ ijẋ j) + φ x γ jkẋ j ẋ k γ jk ẋ j ẋ k = 0 ) i x i Como a paametização é a e compimento e aco: λ ij x i = 1 3) e φ = γ ij x i ) e φ ṫ = γ ijẋ i ẋ j. 5) Potanto, o o temo altea-se: γ ijẋ j) + φ s x i eφ ṫ γ jk ẋ j ẋ k = 0. 6) x i Note-se que 6) é a equação e Eule-Lagange as geoésicas paa a mética 11), one o Lagangeano é ao po: L = 1 e φ ṫ + γ ijẋ i ẋ j) 7) com as equações e Eule-Lagange paa as geoésicas x i s): ) L L = 0. 8) s ẋ i xi Falta satisfaze a seguinte equação e Eule-Lagange paa estas geoésicas: ) e φ ṫ = 0 9) s e φ ṫ = E. 30) E é uma constante aitáia, que coespone à lieae o paâmeto afim as geoésicas nulas. Está assim emonstaa a implicação petenia. Paa emonsta a implicação invesa, asta segui toos os passos, mas na oem invesa. 3

4 3 Efeito e Shapio numa mética estática esfeicamente simética Consiea-se uma mética estática esfeicamente simética, isto é, a foma: s = e T + e Q + θ + sin θ ϕ ) 31) one T = T ), Q = Q),, θ, ϕ) são cooenaas esféicas, seno θ a co-latitue e ϕ a longitue. As componentes o tenso e Ricci R µν, nesta mética, são aas po: R 00 = e T Q T + T ) T Q + T ) 3) R = T T ) + T Q + Q 33) R θθ = 1 e Q + e Q Q T ) 3) R ϕϕ = R θθ sin θ. 35) Calcula-se o escala e Ricci, R = g µν R µν: R = e Q T + T ) T Q + T ) + e Q T T ) + T ) Q + Q + [ 1 e Q + e Q Q T )] 36) R = e Q [ T T ) + T Q + Q T )] + 1 e Q). 37) De seguia calcula-se o tenso e Einstein, G µν = R µν 1 gµνr: G 00 = et Q Q + et 1 e Q) 38) G = T eq 1 e Q) 39) G θθ = e Q [ T + T ) T ] Q 0) G ϕϕ = G θθ sin θ. 1) Definino a massa gavitacional m) e o potencial gavítico φ) como: e Q = 1 1 m) ) e T = e φ). 3)

5 Nestas conições o tenso enegia-momento é: T µν = ρe φ P e Q P t P t sin θ one ρ é a ensiae, P a pessão aial e P t a pessão tangencial. Aplicano 1), ou seja, as equações e Einstein, otém-se: µ, ν = 0, 0 m = π ρ ) µ, ν = 1, 1 φ 1 m ) = πp + m 5) 3 µ, ν =, e µ, ν = 3, 3 1 m ) ] [φ + φ + φ φ + 1 ) m ) = 8πPt. 6) Note-se que µ, ν =, e µ, ν = 3, 3 levam à mesma equação evio à simetia esféica o polema. A equação ) á a consevação a massa. Petene-se ote a emonstação o efeito e Shapio vália em campos gavitacionais fotes), isto é, que o tempo seja pópio, τ, meio po um osevao estacionáio em = R, ou e cooenaas, t, meio po um osevao estacionáio em = ) que um aio luminoso emoa a viaja e um ponto a esfea em = R ao seu ponto antípoa é maio ou igual que R, seno igual a R apenas no limite e Minkowski, ou seja, na ausência e campo gavitacional. Po hipótese, > m), pois e Q, em ), é uma função positiva. Vamos assumi que ρ 0, o que implica que não há massa negativa m 0) e que m) mr); e que P 0. Estas hipóteses fazem sentio fisicamente, apesa e se poeem utiliza outas, tais como a conição e enegia ominante. Neste caso ρ P e ρ P t. O significao físico esta conição é que não existe tanspote e matéia/enegia com velociae maio que c. Nomaliza-se o potencial e moo a que φ ) = 0. Com estas conições, e 5), segue que φ é cescente, φ 0 e potanto φ) 0 Seja ξs) a geoésica nula que a luz pecoe. Então, como s = 0: = e φ) γ ijx i. 7) Integano ao longo a geoésica: t = e φ) 1 ξ 1 m[s)] s) ṙ s) + s) Ω s) s 8) com Ω = θ + sin θϕ. O tempo pópio elaciona-se com o tempo e cooenaas. Utiliza-se a mética s e o facto e os osevaoes que meem τ estaem paaos, o que implica = 0, θ = 0 e ϕ = 0. Segue imeiatamente que: τ = e φr) 9) E otém-se o tempo pópio: τ = e φr) φ) 1 ξ 1 m[s)] s) τ = e φr) t. 50) ṙ s) + s) Ω s) s. 51) 5

6 Como φ é cescente tem-se e φr) φ) 1. Como m) 0 e 0 tem-se que τ ξ 1 1 ms)) s) 1. Logo: ṙ s) + s) Ω s) s = lξ). 5) Está assim povao o efeito e Shapio, pois lξ) é o compimento eucliiano a geoésica luminosa, que liga ois pontos antípoas em = R e potanto τ R. No entanto, o esultao apenas foi povao paa geoésicas que não saem a esfea R, evio ao temo e φr) φ). Note-se que paa o tempo e cooenaas, t, ao po 8), poe-se pova o efeito e Saphio, que a geoésica saia a esfea que não, pois φ) 0 => e φ) 1. De moo equivalente ao que foi feito paa τ otém-se t R. Petene-se enconta, paa uma aa massa total M > 0 ento a esfea e aio R, a istiuição e massa que minimiza τ, ao po 51). Paa minimiza τ tem que se minimiza o integal 1 a equação 51), e potanto minimiza, o que é equivalente a maximiza 1 ms)) e a s) minimiza m) 1 ms)) s). Paa o faze asta istiui a massa a seguinte foma: m) = { M se = R 0 se < R. A istiuição e massa que minimiza o efeito e Shapio Esta istiuição coespone à ensiae ρ) se um elta e Diac centao em = R. Notese que 5) implica que a função φ) seá contínua, e logo constante igual a zeo, ese que P não seja tamém um elta e Diac. Suge natualmente a questão aceca a possiiliae e existência esta istiuição e massa. Nesta istiuição e massa tem-se, fisicamente, que P = 0 paa < R, evio à ausência e massa nesta egião. Seno assim a camaa esféica que inclui a massa M tem que se supotaa pela pessão tangencial, numa situação em que as patículas estão em óita. Paa avalia P t utilizam-se as equações e Einstein, )-6). Deiva-se 5), com pessão aial nula: 1 m ) φ m ) φ = 1 m ) m. 53) 3 De seguia insee-se φ em 6): m ) 8πP t = φ + 1 m ) m + 1 m 3 ) [φ + φ ] φ m ) 1 m ). 5) Utilizano 5) e simplificano: 8πP t = m ) φ m m ) φ + m 3 55) = m φ m φ + m 1 m = m m = m m + m = m m 3 1 m 1 m 1 m De seguia insee-se m, ao po ) e chega-se a: ) 1 56) ) 1 m + m 1 m ) 1 57) ) 1 m 58) ). 59) ρm P t = ). 60) 1 m 6

7 Como ρ 0 tem-se P t 0, logo a istiuição e massa 51) é concetizável fisicamente. 5 Polemas em aeto Após este taalho fica essencialmente um polema po esolve: pova o efeito e Shapio paa o tempo pópio τ, mesmo paa geoésicas que saiam foa a esfea = R. Aveiguemos a situação em que a massa está toa contia numa esfea e aio R = M + ɛ, com ɛ muito pequeno, que poeia eventualmente viola a esigualae e Shapio. Assim seno estamos em Schwazschil e tem-se: e φ = 1 M R = ɛ M + ɛ. 61) Logo, no limite ɛ 0, tem-se τ = e φ t 0, ese que t seja limitao. Atavés a análise o potencial gavítico é possível conclui que a óita estável e meno aio paa um aio e luz é = 3M. Como o ojectivo é faze a geoésica cuva até ao ponto antípoa a esfea R = M + ɛ, conclui-se que M + ɛ < < 3M. A mética, no plano θ = π é aa po: one V = 1 M. Num aio e luz, s = 0, logo: s = V + V 1 + ϕ 6) = V + V 1 ϕ. 63) Existe uma quantiae consevaa, o momento angula L = V 1 ϕ seno que = ). Assim e teno em conta que t é o compimento e aco: 1 = V ṙ + V 1 ϕ 6) 1 = V ṙ + V L 65) ṙ = ± V V 3 L 66) Com o sinal + paa quano a geoésica se afasta, e o sinal paa quano se apoxima o ponto antípoa. Calculano t: max max t = R ṙ =. 67) R V 1 V L Otém-se então τ: max τ = R V R). 68) V ) 1 V L É íficil analisa o integal a expessão anteio. V é um númeo pequeno, logo a aiz é apoximaamente 1. No entanto, ficamos com V R), que implica uma análise mais cuiaa o valo e V ) max. 6 Conclusões Em esumo, conseguimos pova o efeito e Shapio paa o tempo e cooenaas em méticas estáticas esfeicamente siméticas. Tamém conseguimos pova este efeito nas conições efeias, paa o tempo pópio e osevaoes na esfea = R, no entanto, esta pova só é vália quano as geoésicas não saem essa esfea. Paa essas geoésicas, imaginámos a istiuição e massa efeia na secção anteio e veificámos que é íficil conclui algo. Deixa-se assim este polema em aeto. Po fim, otivémos a istiuição e massa que minimiza o tempo pópio τ e vimos que ea fisicamente possível. 7

8 Refeências [1] CALLAHAN, James J., The Geomety of Spacetime, Spinge [] NATÁRIO, José, Geneal Relativity Without Calculus, Spinge [3] 8