9 a ficha de exercícios de Mecânica Geométrica

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1 Resolução Sumária a 9 a ficha e exercícios e Mecânica Geométrica 5 e Maio e. a) Dê um exemplo e uma varieae Riemanniana conteno ois pontos pelos quais não passa qualquer geoésica. b) Dê um exemplo e uma varieae Riemanniana conteno ois pontos pelos quais passam infinitas geoésicas. c) Mostre que em R com a métrica Eucliiana x x + y y não existem caminhos e comprimento máximo unino (, ) a (, ). ) Mostre que em R com a métrica e Minkowski t t+x x não existem caminhos e comprimento mínimo unino (, ) a (, ) que sejam imersões. e) Mostre que em R 3 com a métrica e Minkowski t t + x x + y y existe um caminho e comprimento zero (portanto mínimo) unino os pontos (,, ) e (π,, ) que é uma imersão mas não uma geoésica. Resolução: a) Por exemplo em R \ {(, )} com a métrica Eucliiana usual não existe qualquer geoésica que passe pelos pontos (, ) e (, ). b) Por exemplo por ois pontos antípoas a esfera S com a métrica reona usual passa uma infiniae não numerável e geoésicas. Outro exemplo é fornecio pelo toro R /Z com a métrica plana inuzia pela métrica Eucliiana usual e R ; neste caso, pelos pontos (, ) + Z e (, ) + Z, por exemplo, passa uma infiniae numerável e geoésicas. c) Consierem-se os caminhos c n : R R aos por c n (t) = (t, nt(t )). Estes caminhos unem os pontos (, ) e (, ) e o comprimento o segmento entre estes ois pontos é + (nt n) t nt n t = (nt n)t = n +. Consequentemente não poe existir um caminho e comprimento máximo. ) Se o vector tangente ao caminho c : R R é nulo, evemos ter ċ(τ), ċ(τ) = ṫ t + ẋ x, ṫ t + ẋ = ṫ ẋ = ṫ = ±ẋ. x Como a conição o caminho ser uma imersão proíbe ṫ = ẋ =, vemos que os únicos caminhos cujo vector velociae é nulo têm como imagem rectas o tipo t = ±x + b.

2 Concluimos que não existe qualquer caminho e comprimento zero unino os pontos (, ) a (, ) que seja uma imersão. Consiere-se a linha quebraa [ ( (, );, )] [(, ) ] ; (, ) ; É fácil construir uma sucessão e caminhos que são imersões cujas imagens coinciem com esta linha quebraa excepto numa vizinhança e raio n e (, ) ; uma vez que o comprimento e Minkowski é sempre majorao pelo comprimento Eucliiano, b a ṫ ẋ τ b a ṫ + ẋ τ, estes caminhos poem ser escolhios e forma a que os seus comprimentos convirjam para zero, e portanto não poe existir um caminho e comprimento mínimo. e) Consiere-se o caminho c : R R 3 ao por c(τ) = (τ, cos τ, sen τ). Este caminho une os pontos (,, ) e (π,, ), e o corresponente vector velociae é nulo: ċ(τ) = ṫ t + ẋ x + ẏ y = t sen τ x + cos τ y ċ(τ), ċ(τ) = sen τ cos τ =. Conseqeuntemente, o comprimento este caminho é zero. No entanto, este caminho não é uma geoésica, uma vez que, seno as componentes a métrica e Minkowski em coorenaas (t, x, y) constantes, os símbolos e Christoffel associaos a estas coorenaas são nulos e portanto as geoésicas são rectas nestas coorenaas (e não hélices).. (Problema Braquistócrono): Uma partícula e massa m move-se sobre uma curva y = y(x) sob a acção o campo gravitacional constante, U = mgy. A curva satisfaz y() = y() = e y(x) < para < x <. a) Supono que a partícula é largaa a origem com velociae nula, mostre que a norma a sua velociae é v = gy. Conclua que o tempo que a partícula emora a viajar entre a origem e o ponto (, ) é + y S = x = (g) ( + y ) ( y) x gy one y = y x. b) Escreva uma equação iferencial para a curva y = y(x) que leva a partícula a viajar entre os ois pontos em tempo mínimo. Mostre que esta equação poe ser reuzia a [( + y ) y ] =. x

3 c) Verifique que a solução a equação acima que satisfaz y() = y() = é aa parametricamente por x = Rθ R sen θ y = R + R cos θ one = πr. (Esta curva chama-se uma ciclóie, e é a curva escrita por um ponto numa circunferência que roa sem escorregar sobre o eixo os xx). Resolução: A conservação a energia mecânica implica m(ẋ + ẏ ) + mgy = já que inicialmente y = ẋ = ẏ =. Portanto a norma a velociae é aa por ẋ + ẏ = gy v = ẋ + ẏ = gy. Uma vez que concluimos que ẏ = y xẋ = y ẋ, ẋ + y ẋ = gy ẋ = gy + y ẋ = gy + y (uma vez que claramente ẋ > ). Portanto o tempo e trânsito é t x x = + y ẋ x = x. gy A existir uma curva que correspone ao tempo e trânsito mínimo, ela eve ser uma solução a equação e Euler-Lagrange para o Lagrangeano i.e., e x L(y, y, x) = ( + y ) ( y), ( ) L y L y = ( ) y ( + y ) ( y) x ( + y ) ( y) 3 = y ( + y ) ( y) y y ( + y ) 3 ( y) + y ( + y ) ( y) 3 ( + y ) ( y) 3 = y ( y) ( + y ) = y y y + y ( + y ) = [( + y ) y ] =. x 3

4 É interessante notar que esta quantiae conservaa é basicamente o Hamiltoniano: H = L y y L = y ( + y ) ( y) ( + y ) ( y) A curva aa parametricamente por = ( + y ) ( y) = [ ( + y )y ]. x = Rθ R sen θ y = R + R cos θ satisfaz (x, y) = (, ) para θ = e (x, y) = (πr, ) = (, ) para θ = π. Além isso, tem-se para esta curva e portanto y = y y x = θ x θ = R sen θ R R cos θ = sen θ cos θ ( + y )y = cos θ + cos θ + sen θ (cos θ ) R(cos θ ) = R é constante. Concluimos que esta curva é um ponto crítico o tempo e trânsito (e na realiae poe mostrar-se que se trata e um mínimo absoluto). Usano o parâmetro θ ], π[ como coorenaa, o movimento a partícula ao longo a curva é um movimento o sistema mecânico com Lagrangeano L = m(ẋ + ẏ ) mgy = mr ( ( cos θ) + sen θ ) θ mgr(cos θ ) = mr ( cos θ) θ mgr(cos θ + ) = ( ) ( ( ) ) θ θ 4mR sen θ mgr cos Introuzino a coorenaa z ], [ efinia por ( ) θ z = cos ż = ( ) θ sen θ poemos reescrever o Lagrangeano como L = 8mR ż mgr(z ); As equações e Euler-Lagrange para este Lagrangeano são obviamente as mesmas que para L = ż g 4 R z, que é o Lagrangeano para um oscilaor harmónico uniimensional com frequência ω = g R. 4

5 Concluimos que o movimento e uma partícula sobre a curva braquistócrona é oscilatório com períoo T = π ω = 4π R g (isto inepenentemente o ponto a curva em que seja largaa a massa! Este facto já teve aliás alguma importância na construção e relógios e pênulo exactos). Em particular, o tempo e trânsito entre (, ) e(, ) na curva braquistócrona é t BR = T = π R g. Para a linha quebraa [ ( )] [( ) ] (, );,, ; (, ), por exemplo, o tempo e trânsito é já que t LQ = + x = ] [x = 4 gx g t BR π π = t LQ = 4 <. g = 4 π R g > t BR, O problema braquistócrono (o grego braquis = mais curto, cronos = tempo), posto por Bernoulli em 696, é consierao o primeiro problema e Cálculo e Variações; foi resolvio inepenentemente, entre outros, pelo próprio Bernoulli, Leibniz e Newton. 5