A Forma Geométrica dos Cabos Suspensos Prof. Lúcio Fassarella

Transcrição

1 A Forma Geométrica os Cabos Suspensos Prof. Lúcio Fassarella Problema: Determinar a forma eométrica e um cabo e comprimento L suspenso em suas extremiaes por postes e mesma altura H separaos por uma istância D. Resolução Para resolver o problema começamos com alumas consierações. 1) Consierações físicas. Este é um problema e Estática, no contexto a Mecânica Clássica. Para resolvê-lo precisamos e e nir um sistema e coorenaas cartesianas e introuzir parâmetros relevantes. ) Parâmetros. Pensano no problema, percebemos ue os únicos parâmetros relevantes são a aceleração ravitacional local e massa m ou a ensiae o cabo, seno Lm. 3) Sistema e coorenaas cartesianas. De nimos o sistema e coorenaas cartezianas xyz ienti cano os planos coorenaos: z 0 plano e nio pelo cabo suspenso e postes; y 0 plano e nio pelo nível o solo; x 0 plano e simetria o cabo suspenso. A eometria o problema nos permite esconsierar a coorenaa z e supor ue a curva escrita pelo cabo suspenso é o rá co e uma função y y (x) e nia no intervalo [ D; D], D y : ; D! R: 4) Variáveis auxiliares. Para aplicar os princípios e Mecânica Clássica, e nimos as seuintes funções: T (x) : a tensão o cabo no ponto x [ D; D] (x) : o ânulo entre o eixo-x e a reta tanente ao cabo no ponto (x; y (x)), meio no sentio anti-horário para x [ D; D]. Do Cálculo Diferencial e Interal, sabemos ue vale D tan ( (x)) y 0 (x) ; 8x ; D ; (1) L (x 1 ; x ) : o comprimento o semento o cabo entre os pontos (x 1 y (x 1 )) e (x ; y (x )), para x 1 ; x [ D; D] com x 1 < x. Do Cálculo Diferencial e Interal, sabemos ue vale L (x 1 ; x ) Z x x y 0 (x) x: () 1

2 5) Desenvolvimento Consiere x 0 ; x [ D; D] com x 0 < x. A conição e ue o semento o cabo entre os pontos (x 0 ; y (x 0 )) e (x; y (x)) está em euilíbrio estático sini ca ue a resultante as forças externas ue atuam nesse semento é nula; isso implica nas seuintes euações para as componentes na ireção o eixo-x e o eixo-y: T (x) cos ( (x)) T (x 0 ) cos ( (x 0 )) 0 (3) e T (x) sin ( (x)) T (x 0 ) sin ( (x 0 )) L (x 0 ; x) : (4) A euação A implica ue o prouto a tensão pelo cosseno o ânulo a tanente é uma constante, T (x) cos ( (x)) : (5) Poemos ienti car essa constante como seno a tensão no ponto mais baixo o cabo, com coorenaa x 0: 1 (0) 0 T (0) : Usano a euação (5), substituimos T (x) por cos ( (x)) na euação (4) e obtemos tan ( (x)) tan ( (x 0 )) L (x 0 ; x) : Consierano as expressões (1) e () obtemos a seuinte euação intero-iferencial y 0 (x) 1 + Z x x y 0 (u) u: (6) Poemos transformar essa euação numa euação puramente iferencial erivano ambos os laos: y 00 (x) 1 + y 0 (x) : (7) então 6) Resolução a euação iferencial A euação (7) é e seuna orem, mas poemos reuzir a orem introuzino a variável auxiliar Essa euação é separável: z : y 0 ; z 0 (x) p 1 + z : z p 1 + z x: A solução essa euação poe ser obtia por interação ireta: Z Z z p 1 + z x: Então (sinh 1 enota a função inversa o seno-hiperbólico) one sinh 1 (z) x + ; z sinh x + : 1 Observamos ue a euação (5) nos permite concluir ue a tensão aumenta à meia em ue nos aproximamos as extremiaes o cabo.

3 Como z y 0, concluimos y (x) cosh x + + ; [; R] : As constantes e interação e poem ser xaas pelas conições e contorno o problema: D D y y H ) 0 ; H cosh : one O valor a tensão epene o comprimento o cabo: L Z D D Z D D Z D D 1 + y 0 (x) x r 1 + sinh x x cosh x x sinh x D L sinh Essa é uma euação transcenental para em termos e L, D, e. D : ; A solução o problema mostra ue um cabo suspenso tem a forma e uma catenária (especi camente, o rá co a função cosseno-hiperbólico). Seue uma plotaem a solução, para valores escolhios e D, H, L, e : cabo suspenso 3

4 7) Análise a solução y (x) cosh x + (8) L sinh ; H cosh (9) 7.1) Análise imensional. Seno uma aceleração, uma ensiae e massa linear e uma tensão (ue tem uniae e força), euzimos ue possui uniae e meia aa pelo inverso a uniae e istância: usano o Sistema Internacional e Uniaes, h i m k s m k m s m 1 Esse fato mostra ue nossa solução (8) é coerente imensionalmente: o arumento x a função cosh é aimensional, já ue a coorenaa x [ D; D] tem uniae e istância; a função y (x) tem uniae e istância, porue é proporcional a! 7.) Análise ualitativa. A relação (9) entre o comprimento L o cabo e a tensão na sua parte inferior é compatível com nossa intuiação: embora não seja uma relação eviente poemos euzir ue aumenta uano L L < 0 e ue vale o limite lim!1 L () D Realmente, esse limite poe ser calculao pela rera e L Hôpital sinh lim L () lim!1!1 Para calcular L usamos a ientiae Aora, L Destacamos ue a esiualae sinh < 0 ; 8 > 0 L sinh () cosh () D lim D lim D!0!0 1 1 L sinh + cosh sinh cosh [sinh (u) u cosh (u)] ; u sinh (u) u cosh (u) < 0 ; 8u > 0 poe ser veri caa pela inspeção e uma plotaem o rá co a função ou euzia a seuinte ientiae (ue seue e uma interação por partes) Z u 0 v sinh (v) v u cosh (u) sinh (u) 7.3) Moelaem experimental. A forma eométrica o cabo suspenso é ao pelo rá co a solução (8); isso poe ser testao experimentalmente, mas eixamos a caro o leitor... 4

5 Observação Histórica. Conta-se ue Galileu foi uem primeiro consierou o problema e eterminar a forma eométrica e cabos suspensos e conjecturou ue ela fosse e nia por uma parábola. curva formaa por um o suspenso entre ois pontos e sob a ação exclusiva a raviae foi proposto por Galileu Galilei, ue propôs a conjectura e ue a curva fosse uma parábola. No século XVII Johann Bernoulli propos o problema aos seus coleas matemáticos, como era costume nauela época; então a solução correta foi obtia inepenentemente por John Bernoulli, Leibniz e Huyens. Observações Gerais. Além o seu apelo estético, a catenária possui alumas proprieaes estruturais ue a torna útil na construção civil, particularmente na construção e pontes. 5