a) Sabendo que o carro A faz 6 km por litro de combustível no circuito, quantos litros esse carro gastará durante o percurso total?

Transcrição

1 UFJF MÓDULO I DO PISM TRIÊNIO REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão 1 Um circuito e teste para carros é constituío e uas pistas circulares e raios 10 km e 5 km, que se intersectam num único ponto C. Na pista menor, o sentio obrigatório é o anti-horário e na pista maior é o sentio horário. As regras para um carro percorrer uma volta nesse circuito são: O carro parte e uma posição inicial. Se o carro passa pelo ponto C, ele é obrigao a muar e pista. O carro retorna a sua posição inicial. Consiere a aproximação 3,14 para π, e os pontos 1 e, na figura abaixo, posições iniciais os carros A e B, respectivamente. Para uma análise e consumo e combustível os carros A e B, será consierao um percurso total e 10 voltas nesse circuito. a) Sabeno que o carro A faz km por litro e combustível no circuito, quantos litros esse carro gastará urante o percurso total? 1 volta: π 10 + π 5 = 30 π Km. 10 voltas: 10 (30 π) = 300 π Km (fim a prova). Km litro 300 π Km x Portanto, x= 300 = 50 π litros. 1

2 UFJF MÓDULO I DO PISM TRIÊNIO REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA b) Sabeno que o tanque cheio o carro A comporta 0 litros e combustível, qual é o número mínimo e vezes que esse carro everá ser reabastecio, para completar o percurso total? RESOLUÇÃO 1: Usano o item anterior, o carro A gasta 50 π litros para percorrer o percurso completo = 5 (3,14) =,4 O número e vezes N, eve ser o maior inteiro menor que,4. Logo, N=. RESOLUÇÃO : Km litro x Km litros Portanto, x= 30 km com 1 tanque cheio = 5(3,14) =,4 O número e vezes N, eve ser o maior inteiro menor que,4. Logo, N=. c) Supono que o carro B faça 8 km por litro, na pista e raio 10 km, e 3 km por litro, na pista e raio 5 km, qual carro terá o menor consumo urante o percurso total? Consumo no círculo e raio 10: (Comprimento a pista: π 10 = 0 π Km) 1 litro Km x π Km Assim x= 0 8 = 5 litros. Consumo no círculo e raio 5: (Comprimento a pista: π 5 = 10 π Km) 1 litro Km x π Km Assim x= 10 3 litros. Total em 1 volta: = 35. Carro A: 5 π litros em 1 volta. Carro B: 35 π / litros em 1 volta. Resposta: carro A.

3 UFJF MÓDULO I DO PISM TRIÊNIO REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Em um jogo a Seleção Brasileira contra a Seleção Espanhola pela Copa as Confeerações e 013, aos 40 minutos o seguno tempo e jogo, o Brasil inicia um contra-ataque. Nessa jogaa, o atacante brasileiro Neymar (N) corre com a bola em ireção ao gol aversário numa trajetória linear com velociae igual a 3 m/s. O zagueiro espanhol (Z) corre para intersectar Neymar, com velociae igual a m/s, numa trajetória linear e perpenicular ao percurso o atacante, conforme figura abaixo. P Sabe-se que, neste momento, Neymar está a 4 m ao sul e o zagueiro está a 3 m a leste o ponto P e intersecção as trajetórias escritas anteriormente. Consierano que no sistema coorenao xpy, em que o eixo x é a trajetória o zagueiro e o eixo y é a trajetória e Neymar, resolva o que se propõe nos itens seguintes. a) Nessa jogaa, etermine as coorenaas ( x 0, y 0 ) as posições iniciais e Neymar (N) e o zagueiro (Z). Z=(3,0) e N=(0,- 4) 3

4 UFJF MÓDULO I DO PISM TRIÊNIO REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA b) Nessa jogaa, a posição e Neymar, em função o tempo, é aa por (0, y t ), e a posição o zagueiro, em função o tempo, é aa por ( x t, 0), com t 0. Determine x t e y t. Como a velociae e Neymar é 3m/s, o espaço percorrio por Neymar em função o tempo t função linear S (t)= 3t. N Como a velociae o Zagueiro é m/s, o espaço percorrio pelo Zagueiro em função o tempo t pela função linear S (t)= t. Z à meia que o tempo passa, o Zagueiro ocupa a posição Z=(3-t,0) (ou seja, x(t)=3 - t). 0, é ao pela 0, é ao OBS: Note que, quano t=0, o Zagueiro ocupa a posição inicial (3,0) e o sinal negativo em -t significa que a istância entre o Zagueiro e o ponto e encontro P iminui ao ecorrer o tempo. Analogamente, tem-se que Neymar ocupa a posição N=(0, -4+3t) (ou seja, y(t)= - 4+3t). c) Qual os ois jogaores chegará primeiro ao ponto e encontro P as trajetórias? Justifique a sua resposta com argumentos matemáticos. O Zagueiro chegará ao ponto P(0,0), quano x(t)=3 - t=0, isto é, o Zagueiro gastará t=3/ s. Já Neymar chegará ao ponto P(0,0), quano y(t)= - 4+3t =0, isto é, Neymar gastará t=4/3 s. Como 4/3 < 3/, então Neymar chegará primeiro. 4

5 UFJF MÓDULO I DO PISM TRIÊNIO REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA ) Durante essa jogaa, qual é a menor istância atingia entre Neymar e o zagueiro? Note que, a istância entre o Zagueiro e Neymar varia com o tempo. A istância entre Neymar e P é 3t. X = (3-t) -0 = 3-t, e a istância entre o Zagueiro e P é Pelo Teorema e Pitágoras, a istância D(Z,N) entre o Zagueiro e Neymar é aa por: Y = 0 - (-4+3t) = 4- D Z, N = ( ) X + ( ) Y D Z, N = 3 t + 4 3t = 5-3t+13 t. Pelo crescimento a função raiz quaraa, basta minimizar a (ou obter o valor mínimo a) função quarática f(t) = D Z, N =5-3t +13 t. t=18/13 s é o tempo gasto para que a istância entre os jogaores seja mínima. (t=18/13 é o valor a abscissa o vértice a parábola ou o ponto em que a parábola atinge o menor valor). Portanto, a istância mínima entre os jogaores é: D= f 18 /13 = /13 13(18/13) = 5 18 /13 13(18 /13 ) = = 5 18 /13 = 1/13 m. 5