AULA 12 Aplicação da Derivada (página 220)

Transcrição

1 Belém, e maio e 0 Caro aluno, Nesta aula ocê encontra problemas resolios e Taxas Relacionaas. Resola os exercícios as páginas e a. Leia o enunciao com muita atenção. Cuiao com as uniaes. Faça um esquema gráfico o problema. É preciso saber a eriaa (implícita, Regra a Caeia) para calcular as taxas. AULA Aplicação a Deriaa (página 0) Taxas relacionaas calcular a taxa e ariação e uma granea em termos a taxa e ariação a outra. O proceimento é achar uma equação que relacione as uas graneas e então usar a regra a caeia para eriar ambos os laos em relação a ariáel inepenente m questão. Os exemplo a estão resolios no liro texto nas páginas 0 a. Aqui amos repetir o exemplo e resoleremos outros problemas os exercícios propostos. Exemplo. O carro A está se moimentano para o oeste a está moimentano para o norte a 90 km h e o carro B 00 km h. Ambos ão em ireção à interseção e uas estas. A que taxa os carros se aproximam um o outro quano o carro A está a carro B está a 80m a interseção? 0 m e o

2 Solução: (a) Daos o enunciao, enotano as elociaes os carros por t 90km h e B t 00km h A. Cuiao com as uniaes. (b) O que se pee: taxa e ariação os ois carros no ponto e interseção e encontro os ois carros. (c) o que usar: eriaa implícita e a rega caeia. Notações: Seja t a istância entre os carros A e B e sejam x xt, yt istância entre os carros e o ponto e interseção C, conforme a figura abaixo. y a Sabemos que t t 90km h e t A t y y B 00km h. Veja a figura e obseramos que, em relação ao plano cartesiano xy, a ireção os carros estão no sentio negatio e moo que as elociaes terão o sinal negatio. Além isso, o que queremos é a istância t. Poemos usar o teorema e Pitágoras: x y (*) Como conhecemos as elociaes e caa carro basta eriar implicitamente a equação (*) e obtemos:

3 x x y x A t yt t t y y B t t Substituino os aos o problema em (**) obtemos meios em x A t t y B t t x 0,0km h y 0,08km h km h : (**) (***) Para encontrar o alor e, como o carro A está a 0m 0, 0km o ponto C e o carro B está a 80m 0, 08km e C, pelo teorema e Pitágoras (*) poemos calcular a istância, x y 0,0 km 0,08 km 0,00 0,00 km 0,0km 0,0km 0, km Seno istância granea positia temos 0, km. Substituino x 0, 0km, y 0, 08km e 0, km em (***) obtemos: t xat yb t 0,0km 0, km,km h 8km h 0, km, km h 0km n 0, 90km h 0,08km00 km h Os ois carros aproximam-se um o outro a uma taxa e t km h. O sinal

4 negatio inica que a taxa está ecrescente. (graficamente, a hipotenusa está iuino a raão e kmh. Exemplo. Um homem ana ao longo e um caho reto a uma elociae e,m s. Um holofote localiao no chão a m o caho é mantio focaliao no homem. A que taxa o holofote está girano quano o homem está a 8m o ponto o caho mais próximo a lu? a Solução: (a) Daos o enunciao. Velociaes o homem t o holofote ao caho, m s e istância x m. (b) O que se pee: taxa e ariação o holofote em relação a lu. (c) o que usar: eriaa implícita e a rega caeia. Notações: Sejam t o ângulo entre o feixe o holofote e a perpenicular ao caho e t x x a istância entre o homem e o ponto o caho mais próximo ao holofote. Veja o esquema gráfico esse problema. Temos que t, m s. Pela figura temos x C cos e C cos comprimento o feixe o holofote ao homem quano estier com calculao usano o teorema e Pitágoras: one C é o x 8m que poe ser 8 C C 00 C C 00 0

5 Deste moo a relação entre x e ser formulao usano a relação trigonométrica x tg x tg isto é Deriano caa membro em relação a ariáel t obtemos: tg sec Para calcular, reescreeno expressão acima temos: Quano x 8m temos: Por outro lao, como Assim: cos cos cos t 0 cos temos cos,m s cos 0., cos m s ,9 s. Execícios (Página ) ) (a) Se A é a área e um círculo com raio r e o círculo expane à meia que o tempo A r passa, encontre em termos e. Solução: Sabemos que área A e um círculo e raio r é aa por: A r

6 Como tanto área quanto raio aria no tempo temos A At e r rt A. Para encontrar basta eriar em relação ao tempo, a fórmula acima membro a membro usano eriaa implícita e rega caeia em relação a A r rt. Temos assim: r r r A r r (b) Suponha que petróleo ae por uma ruptura e um petroleiro e espalha-se em um parão circular. Se o raio o petróleo erramao crescer a uma taxa constante e quão rápio a área o aamento está cresceno quano a raio é igual a 0 m. m s, Solução: Como o raio o petróleo erramao crescer a uma taxa constante e m s, significa que conforme r m s e quano r 0 m, a área o aamento estará cresceno A 0 m s. A A r r ou seja 0m m s 0 m s. 8) Suponha x 9y, one x e y são funções e t. Solução: A equação x 9y na forma reuia x y é uma equação a elipse centa na origem. Como x e y ariam com t, eriano a equação em t ambos membros resulta: 8x x 9y 8y y 0

7 (a) se y, encontre quano x e y. Solução: Quano x e y 8, se y 8 substituino na expressão acima: 0 y (b) se, encontre quano x e y. Solução: Quano x e y, se substituino na expressão acima: y y 8 0 y 8 y x ) Uma partícula moe-se ao longo a cura y sen. Quano a partícula passa pelo ponto P,, sua coorenaa x cresce a uma taxa e 0 cm s. Quão rápio a istância a partícula à sua origem está ariano nesse momento? Solução: Temos x y y sen, P, e 0cm s. Pee. 7

8 Deriano a expressão a cura x y sen em relação a t, resulta: y x x sen cos Substituino os aos o problema, obtemos: y x cos 0 0 cm s 0 cm s cm s cos. y 0 cm s,7 cm s ) Um aião oa horiontalmente a uma altitue e h km e passa iretamente sobre um telescópio no chão. Quano o ângulo e eleação for, esse ângulo estará iuino a uma taxa e. A que elociae o aião está iajano naquele instante? Solução: Pelo gráfico o oo o aião, poemos usar Teorema e Pitágoras para é:, h km e x cos km km, isto x h km km 8

9 km km 00 km 0 km Por outro lao temos em função o t Deriano em t, obtemos: Além isso como t x t h t x t km x 0 x x t x km x cos, eriano em t resulta: cos cos sen Substituino na expressão acima quano o ângulo e eleação for x, e lembrano que aião : e 9

10 cos 0 0 cos x sen aião aião aião A aião Ou seja aião aião aião aião 9 aião 0.